Bagaimana membuktikan bahwa garis tegak lurus. Pelajaran "tegak lurus dengan garis lurus". Tegak lurus garis - kondisi tegak lurus

Garis lurus (ruas garis) ditandai dengan dua huruf besar alfabet Latin atau satu huruf kecil. Intinya hanya ditunjukkan dengan huruf latin kapital.

Garis tidak boleh berpotongan, berpotongan, atau bertepatan. Garis yang berpotongan hanya memiliki satu titik persekutuan, garis yang tidak berpotongan tidak memiliki titik persekutuan, dan garis yang bertepatan memiliki semua titik yang sama.

Definisi. Dua garis yang berpotongan pada sudut siku-siku disebut tegak lurus. Garis tegak lurus (atau ruasnya) dilambangkan dengan tanda tegak lurus "⊥".

Misalnya:

Milikmu AB Dan CD(Gbr. 1) berpotongan di titik tersebut TENTANG dan ∠ AOC = ∠WOS = ∠AOD = ∠BOD= 90°, maka AB ⊥ CD.

Jika AB ⊥ CD(Gbr. 2) dan berpotongan di titik tersebut DI DALAM, lalu ∠ ABC = ∠ABD= 90°

Sifat-sifat garis tegak lurus

1. Melalui titik A(Gbr. 3) hanya satu garis tegak lurus yang dapat ditarik AB ke garis lurus CD; garis lain yang melewati titik tersebut A dan penyeberangan CD, disebut garis miring (Gbr. 3, garis lurus AE Dan AF).

2. Dari suatu titik A Anda dapat menjatuhkan garis tegak lurus ke garis lurus CD; panjang garis tegak lurus (panjang ruas AB) ditarik dari titik A secara langsung CD, adalah jarak terpendek dari A sebelum CD(Gbr. 3).

Definisi garis tegak lurus

Garis tegak lurus.

Misalkan a dan b adalah garis lurus yang berpotongan di titik A (Gbr. 1). Masing-masing garis ini dibagi oleh titik A menjadi dua setengah garis. Setengah garis dari satu garis membentuk empat sudut dengan setengah garis dari garis lainnya. Biarkan alfa menjadi salah satu sudut ini. Kemudian salah satu dari tiga sudut lainnya akan berdekatan dengan alfa atau vertikal ke alfa.

Oleh karena itu, jika salah satu sudutnya siku-siku, maka sudut lainnya juga akan menjadi sudut siku-siku.Dalam hal ini, kita mengatakan bahwa garis-garis berpotongan dengan sudut siku-siku.
Definisi.
Dua garis disebut tegak lurus jika berpotongan pada sudut siku-siku (Gbr. 2).

Garis tegak lurus ditunjukkan dengan tanda ⊥ Pencatatan a ⊥ b berbunyi : Garis a tegak lurus dengan garis b.
Dalil.

Melalui setiap titik garis, seseorang dapat menarik garis tegak lurus terhadapnya, dan hanya satu.

Bukti.
Biarkan a menjadi garis tertentu dan A menjadi titik tertentu di atasnya. Dilambangkan dengan kapak salah satu setengah garis dengan garis lurus a dengan titik awal A (Gbr. 3). Mari kita sisihkan sudut (a1b1) yang sama dengan 90° dari setengah garis a1.
Maka garis yang memuat sinar b1 akan tegak lurus dengan garis a.

Misalkan ada garis lain yang melalui titik A dan tegak lurus dengan garis a. Dilambangkan dengan c1 setengah garis dari garis ini terletak pada setengah bidang yang sama dengan sinar b2. Sudut (a1b1) dan (a1c1), masing-masing sama dengan 90°, disusun dalam satu setengah bidang dari setengah garis a1. Tetapi hanya satu sudut sama dengan 90° yang dapat ditarik dari setengah garis a1 ke dalam setengah bidang ini. Oleh karena itu, tidak mungkin ada garis lain yang melalui titik A dan tegak lurus garis a. Teorema telah terbukti.

Definisi.

Tegak lurus terhadap garis tertentu adalah ruas garis yang tegak lurus terhadap garis tertentu, yang salah satu ujungnya terletak pada titik potongnya. Ujung segmen ini disebut pangkal tegak lurus.
Pada Gambar 4, tegak lurus AB ditarik dari titik A ke garis a. Titik B adalah alas tegak lurus.

Untuk membuat garis tegak lurus, gunakan kotak gambar (Gbr. 5).

Dua garis berpotongan disebut tegak lurus (atau saling tegak lurus) jika membentuk empat sudut siku-siku. Garis tegak lurus AC dan BD dilambangkan sebagai berikut: AC ⊥ BD (dibaca: “Garis AC tegak lurus dengan garis BD”).
Perhatikan bahwa dua garis tegak lurus dengan yang ketiga tidak berpotongan (Gbr. 6a). Memang, perhatikan garis AA1 dan BB1 tegak lurus dengan garis PQ (Gbr. 6b). Mari kita lipat gambar secara mental di sepanjang garis lurus PQ sehingga bagian atas gambar tumpang tindih dengan bagian bawah. Karena sudut siku-siku 1 dan 2 sama, sinar RA akan tumpang tindih dengan sinar RA1. Demikian pula, sinar QB akan tumpang tindih dengan sinar QB1. Oleh karena itu, jika kita mengasumsikan bahwa garis AA1 dan BB1 berpotongan di titik M, maka titik ini akan ditumpangkan pada beberapa titik M1 yang juga terletak di garis ini (Gbr. 6, c), dan kita akan mendapatkan bahwa dua garis melewati poin M dan M1: AA1 dan BB1. Tapi ini tidak mungkin. Oleh karena itu, asumsi kami salah dan, oleh karena itu, garis AA1 dan BB1 tidak berpotongan.

Konstruksi sudut siku-siku di tanah

Untuk membangun sudut siku-siku di tanah, perangkat khusus digunakan, yang paling sederhana adalah eker. Eker terdiri dari dua palang yang terletak pada sudut siku-siku dan dipasang pada tripod (Gbr. 7). Di ujung jeruji, paku didorong masuk sehingga garis lurus yang melewatinya saling tegak lurus. Untuk membangun sudut siku-siku di tanah dengan sisi tertentu OA, pasang tripod dengan ecker sehingga garis tegak lurus tepat di atas titik O, dan arah satu batang bertepatan dengan arah balok OA. Kombinasi arah ini dapat dilakukan dengan bantuan tonggak yang ditempatkan pada balok. Kemudian mereka menggantung garis lurus ke arah batang lain (OB lurus pada Gambar 7). Ternyata AOB sudut kanan.
Dalam geodesi, instrumen yang lebih canggih, seperti teodolit, digunakan untuk membuat sudut siku-siku.

Secara horizontal:
3 . Ruas garis yang menghubungkan titik pada lingkaran dengan pusatnya. 6 . Pernyataan yang tidak memerlukan pembuktian. 9 . Konstruksi, sistem pemikiran. 10 . Semacam segi empat. 15 . Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada suatu kurva. 16 . Ukuran panjang. 17 18 . Titik potong diameter lingkaran. 19 . fungsi trigonometri. 20 . Bagian dari lingkaran. 21 . Ukuran panjang kuno.
Tegak lurus:
1 . Karakter alfabet. 2 . Jenis jajaran genjang. 4 . Tali busur yang melalui pusat lingkaran. 5 . Elemen geometris. 7 . Sinar yang membagi dua sudut. 8 . Simbol alfabet Yunani. 10 . Jumlah panjang sisi-sisi sebuah segitiga. 11 . Kalimat bantu digunakan untuk pembuktian. 12 . Elemen segitiga kanan. 13 . Salah satu garis segitiga yang indah. 14 . fungsi trigonometri.

Ada tugas seperti itu:

Ada 10 mata air ajaib di Hutan Ajaib - nomor 1, 2, 3, ... 10. Air dari setiap sumber tidak dapat dibedakan dalam warna, rasa, dan bau dari air biasa, tetapi itu adalah racun terkuat. Orang yang meminumnya akan binasa - jika hanya dalam waktu satu jam setelah itu dia tidak meminum air dari sumber dengan jumlah yang lebih tinggi (misalnya, sumber 4-10 diselamatkan dari racun sumber 3; racun sumber ke-10 tidak meninggalkan kesempatan untuk keselamatan). 9 mata air pertama tersedia untuk umum, tetapi mata air 10 berada di gua Kashchei the Immortal, dan hanya Kashchei yang memiliki akses ke sana.
Dan suatu hari Ivan the Fool menantang Kashchei untuk berduel. Syaratnya sederhana: masing-masing membawa segelas cairan, lawan bertukar gelas dan meminum isinya. Dan kemudian mereka melakukan apa yang mereka bisa.
Kashchei senang. Tetap saja: dia akan memberi Ivan racun nomor 10, dan tidak ada yang bisa menyelamatkan Ivan. Dan dia sendiri akan meminum racun yang diberikan Ivan dengan air dari sumber ke-10 - dan dia akan diselamatkan.
Cobalah untuk mengembangkan rencana duel untuk Ivan. Tugasnya adalah tetap hidup dan menghabisi Kashchei.

Jawaban 1. Parit Kashchei. Dia perlu diberi bukan racun, tapi air bersih. Dia akan meminumnya dengan racunnya - dan dia akan binasa.
Jawaban 2. Jangan bunuh diri. Racun apa pun selain nomor 1 juga bisa menjadi penawarnya. Sebelum Anda datang ke duel, Anda perlu minum racun dalam jumlah kecil. Dan kemudian racun nomor 10, yang diterima dari Kashchei dalam duel, tidak akan membunuh, tapi menyelamatkan.

Secara umum, idenya sepele. Tidak selalu mungkin untuk menimbang suatu tindakan secara terpisah. Tindakan yang sama bisa menjadi racun dan penawar racun. Banyak tergantung pada latar belakang. Saya tidak akan mengatakan semuanya, tapi pasti banyak.
Dan ketika Anda mendengar bahwa salah satu kenalan Anda telah melakukan hal-hal keji ini-dan-itu dan ini-dan-itu, jangan terburu-buru untuk menutup label. Apakah Anda yakin itu omong kosong? Mungkinkah mereka hanya terlihat seperti ini? Apakah Anda yakin mengetahui latar belakang tindakan tersebut?

Pembuatan garis tegak lurus

Sekarang kita akan mencoba membuat garis tegak lurus menggunakan kompas. Untuk ini kita memiliki titik O dan garis a.

Gambar pertama menunjukkan garis di mana titik O terletak, dan pada gambar kedua, titik ini tidak terletak pada garis a.

Sekarang mari pertimbangkan kedua opsi ini secara terpisah.

opsi pertama

Pertama, kita mengambil kompas, meletakkannya di tengah titik O dan menggambar lingkaran dengan jari-jari sembarang. Sekarang kita melihat bahwa lingkaran tersebut memotong garis a di dua titik. Biarkan ini menjadi titik A dan B.

Selanjutnya, kita mengambil dan menggambar lingkaran dari titik A dan B. Jari-jari lingkaran ini adalah AB, tetapi titik C akan menjadi titik potong lingkaran tersebut. Jika Anda ingat, pada awalnya kita mendapat titik A dan B saat kita menggambar lingkaran dan mengambil radius sembarang.

Hasilnya, kita melihat bahwa garis tegak lurus yang diinginkan melewati titik C dan O.

Bukti

Untuk pembuktian ini, kita perlu menggambar segmen AC dan CB. Dan kita melihat bahwa segitiga yang dihasilkan adalah sama: Δ ACO = Δ BCO, ini mengikuti dari kriteria ketiga persamaan segitiga, yaitu ternyata AO = OB, AC = CB, dan CO umum dengan konstruksi. Sudut yang dihasilkan ∠COA dan ∠COB sama dan keduanya memiliki besaran yang sama dengan 90°. Oleh karena itu, garis CO tegak lurus AB.

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa sudut yang terbentuk pada perpotongan dua garis adalah tegak lurus jika setidaknya salah satunya tegak lurus, yang berarti sudut tersebut adalah 90 derajat dan benar.

opsi ke-2

Dan sekarang mari kita pertimbangkan varian membangun garis tegak lurus, di mana titik tertentu tidak terletak pada garis a.

Dalam hal ini, dengan bantuan kompas, dari titik O, kita menggambar lingkaran dengan radius sedemikian rupa sehingga lingkaran ini memotong garis a. Dan biarkan titik A dan B menjadi titik potong lingkaran ini dengan garis a yang diberikan.

Selanjutnya, kami mengambil jari-jari yang sama, tetapi menggambar lingkaran, yang pusatnya adalah titik A dan B. Kami melihat gambar dan melihat bahwa kami memiliki titik O1, yang juga merupakan titik potong lingkaran dan terletak di a setengah bidang, tetapi berbeda dari titik di mana O berada.

Hal selanjutnya yang akan kita lakukan adalah menarik garis lurus melalui titik O dan O1. Ini akan menjadi garis tegak lurus yang kita cari.

Bukti

Mari kita asumsikan bahwa titik potong garis OO1 dan AB adalah titik C. Kemudian segitiga AOB dan BO1A sama menurut kriteria persamaan segitiga ketiga dan AO = OB = AO1 = O1B, dan AB adalah umum dengan konstruksi. Dari sini dapat disimpulkan bahwa sudut OAC dan O1AC sama. Segitiga OAC dan O1AC, mengikuti tanda pertama persamaan segitiga, AO sama dengan AO1, dan berdasarkan konstruksi, sudut OAC dan O1AC sama dengan AC biasa. Oleh karena itu, sudut OCA sama dengan sudut O1CA, tetapi karena keduanya bertetangga, berarti keduanya merupakan garis lurus. Oleh karena itu, kami menyimpulkan bahwa OC adalah garis tegak lurus yang diturunkan dari titik O ke garis a.

Jadi, hanya dengan bantuan kompas dan penggaris, Anda bisa dengan mudah membuat garis tegak lurus. Dan tidak masalah di mana titik yang harus dilewati garis tegak lurus berada, di segmen atau di luar segmen ini, hal utama dalam kasus ini adalah menemukan dan menunjuk titik awal A dan B dengan benar.

Pertanyaan:

1. Garis manakah yang disebut tegak lurus?
2. Apa sudut antara garis tegak lurus?
3. Apa yang Anda gunakan untuk menggambar garis tegak lurus?

Dalil. Dari suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis, seseorang dapat menggambar suatu garis tegak lurus terhadap garis tersebut.

Bukti. Biarkan A menjadi titik yang tidak terletak pada garis a yang diberikan (Gbr. 56, a). Mari kita buktikan bahwa dari titik A dimungkinkan untuk menggambar garis tegak lurus a. Mari kita secara mental melipat bidang di sepanjang garis lurus a (Gbr. 56, b) sehingga setengah bidang dengan batas a, yang mengandung titik A, ditumpangkan pada setengah bidang lainnya. Dalam hal ini, titik A akan ditumpangkan pada suatu titik. Dilambangkan dengan huruf B. Mari luruskan bidang dan gambar garis lurus melalui titik A dan B.

Biarkan H menjadi titik potong garis AB dan a (Gbr. 56, c). Saat bidang ditekuk lagi sepanjang garis lurus, titik H akan tetap di tempatnya. Oleh karena itu, sinar HA akan ditumpangkan pada sinar HB, sehingga sudut 1 akan berimpit dengan sudut 2. Jadi, ∠1 = ∠2. Karena sudut 1 dan 2 bertetangga, jumlahnya adalah 180°, jadi masing-masing sudut siku-siku. Oleh karena itu, ruas AH tegak lurus dengan garis a. Teorema telah terbukti.

26. Buktikan teorema keunikan garis tegak lurus. (Gbr.57 di buku teks)

Dalil. Dari suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis, dua garis tegak lurus tidak dapat ditarik ke garis tersebut.

Bukti. Biarkan A menjadi titik yang tidak terletak pada garis tertentu a (lihat Gambar 56, a). Mari kita buktikan bahwa tidak mungkin menggambar dua garis tegak lurus dari titik A ke garis a. Misalkan dari titik A dua garis tegak lurus AH dan AK dapat ditarik ke garis a (Gbr. 57). Mari kita secara mental melipat bidang sepanjang garis lurus sehingga setengah bidang dengan batas a, yang mengandung titik A, ditumpangkan pada setengah bidang lainnya. Saat menekuk, titik H dan K tetap di tempatnya, titik A ditumpangkan pada beberapa titik. Dilambangkan dengan huruf B. Dalam hal ini ruas AH dan AK ditumpangkan pada ruas BH dan BK.

Sudut AHB dan AKB adalah sudut lurus, karena masing-masing sama dengan jumlah dua sudut siku-siku. Oleh karena itu titik A, H dan B terletak pada garis yang sama dan juga titik A, K dan B terletak pada garis yang sama.

Jadi, diperoleh bahwa dua garis AH dan AK melalui titik A dan B. Tapi ini tidak bisa. Oleh karena itu, anggapan kita salah, artinya dari titik A tidak mungkin menarik dua garis tegak lurus ke garis a. Teorema telah terbukti.

http://mthm.ru/geometry7/tegak lurus

Garis tegak lurus muncul di hampir setiap soal geometri. Kadang-kadang tegak lurus garis diketahui dari kondisi, sedangkan dalam kasus lain tegak lurus garis harus dibuktikan. Untuk membuktikan tegak lurus dua garis, cukup dengan menunjukkan, menggunakan metode geometris apa pun, bahwa sudut antara garis adalah sembilan puluh derajat.

Dan bagaimana menjawab pertanyaan "Apakah garis-garis itu tegak lurus" jika diketahui persamaan yang menentukan garis-garis ini pada bidang atau ruang tiga dimensi?

Untuk ini, Anda harus menggunakan syarat perlu dan cukup agar dua garis tegak lurus. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema.

Dalil.

A Dan B perlu dan cukup bahwa vektor arahnya lurus A tegak lurus dengan vektor arah garis B.

Pembuktian syarat garis tegak lurus ini didasarkan pada definisi vektor pengarah garis dan definisi garis tegak lurus.

Mari tambahkan beberapa hal spesifik.

Biarkan sistem koordinat Cartesian persegi panjang diperkenalkan di pesawat Oksi dan persamaan garis pada bidang dari beberapa bentuk diberikan, mendefinisikan garis A Dan B. Tunjukkan vektor arah garis A Dan B serta masing-masing. Menurut persamaan garis A Dan B adalah mungkin untuk menentukan koordinat vektor arah garis-garis ini - kita dapatkan dan . Kemudian, untuk garis tegak lurus A Dan B perlu dan cukup bahwa kondisi tegak lurus vektor dan dipenuhi, yaitu produk skalar vektor dan sama dengan nol: .

Jadi, A Dan B dalam sistem koordinat persegi panjang Oksi di pesawat memiliki bentuk , dimana dan adalah vektor arah garis A Dan B masing-masing.

Kondisi ini nyaman digunakan ketika mudah untuk menemukan koordinat vektor pengarah garis lurus, dan juga ketika garis lurus A Dan B sesuai dengan persamaan kanonik garis pada bidang atau persamaan parametrik garis pada bidang.

Contoh.

Dalam sistem koordinat persegi panjang Oksi diberikan tiga poin. Apakah garisnya tegak lurus? AB Dan AC?

Larutan.

Vektor dan adalah vektor arah garis AB Dan AC. Mengacu pada artikel tersebut, kami menghitung koordinat vektor dengan koordinat titik awal dan akhirnya . Vektor dan tegak lurus, karena . Dengan demikian, syarat perlu dan cukup untuk garis tegak lurus terpenuhi AB Dan AC. Oleh karena itu, langsung AB Dan AC tegak lurus.

Menjawab:

Ya, garisnya tegak lurus.

Contoh.

Lurus dan tegak lurus?

Larutan.

mengarahkan vektor langsung , dan - mengarahkan vektor langsung . Mari menghitung produk skalar dari vektor dan : . Ini bukan nol, karenanya vektor arah garis tidak tegak lurus. Artinya, kondisi garis tegak lurus tidak terpenuhi, sehingga garis asli tidak tegak lurus.

Menjawab:

Tidak, garisnya tidak tegak lurus.

Juga, syarat perlu dan cukup untuk tegak lurus garis A Dan B dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz dalam ruang tiga dimensi memiliki bentuk , Di mana Dan - vektor arah garis lurus A Dan B masing-masing.

Contoh.

Apakah garis yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang tegak lurus Oxyz dalam ruang tiga dimensi dengan persamaan Dan ?

Larutan.

Angka-angka dalam penyebut persamaan kanonik garis lurus dalam ruang adalah koordinat yang sesuai dari vektor pengarah garis lurus. Dan koordinat vektor pengarah garis lurus, yang diberikan oleh persamaan parametrik garis lurus dalam ruang, adalah koefisien parameternya. Dengan demikian, dan adalah vektor arah dari garis yang diberikan. Mari kita cari tahu apakah mereka tegak lurus: . Karena perkalian titik adalah nol, vektor-vektor ini tegak lurus. Ini berarti kondisi tegak lurus dari garis-garis yang diberikan terpenuhi.

Menjawab:

garis-garisnya tegak lurus.

Untuk memeriksa tegak lurus dua garis pada bidang, ada kondisi lain yang diperlukan dan cukup untuk tegak lurus.

Dalil.

Untuk garis tegak lurus A Dan B pada bidang itu perlu dan cukup bahwa vektor garis normal A tegak lurus vektor garis normal B.

Kondisi tegak lurus garis yang terdengar nyaman digunakan jika koordinat vektor garis normal mudah ditemukan dari persamaan garis yang diberikan. Pernyataan ini sesuai dengan persamaan umum dari bentuk garis lurus , persamaan garis lurus dalam ruas dan persamaan garis lurus dengan kemiringan .

Contoh.

Pastikan itu lurus dan tegak lurus.

Larutan.

Mengingat persamaan garis, mudah untuk menemukan koordinat vektor normal dari garis-garis ini. adalah vektor garis normal . Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk , dari mana koordinat vektor normal garis ini terlihat: .

Vektor dan tegak lurus, karena produk skalarnya nol: . Dengan demikian, syarat perlu dan cukup agar garis-garis yang diberikan tegak lurus terpenuhi, yaitu benar-benar tegak lurus.

Secara khusus, jika langsung A pada bidang mendefinisikan persamaan garis lurus dengan kemiringan bentuk , dan garis lurus B– dari bentuk , maka vektor normal dari garis-garis ini memiliki koordinat dan , masing-masing, dan kondisi tegak lurus garis-garis ini direduksi menjadi hubungan berikut antara koefisien sudut .

Contoh.

Apakah garis dan ?

Larutan.

Kemiringan garis adalah , dan kemiringan garis adalah . Produk dari koefisien kemiringan sama dengan minus satu, oleh karena itu garisnya tegak lurus.

Menjawab:

garis yang diberikan tegak lurus.

Satu lagi syarat tegak lurus garis lurus pada bidang dapat disuarakan.

Dalil.

Untuk garis tegak lurus A Dan B pada bidang perlu dan cukup bahwa vektor arah dari satu garis dan vektor normal dari garis kedua adalah kolinear.

Kondisi ini jelas nyaman digunakan ketika koordinat vektor pengarah dari satu garis dan koordinat vektor normal dari garis kedua mudah ditemukan, yaitu ketika satu garis diberikan oleh persamaan kanonik atau persamaan parametrik dari garis tersebut. pada bidang, dan yang kedua - baik dengan persamaan umum garis, atau dengan persamaan garis dalam segmen, atau persamaan garis lurus dengan kemiringan.

Contoh.

Apakah lurus dan tegak lurus?

Larutan.

Jelas, adalah vektor normal dari garis lurus, dan merupakan vektor pengarah garis lurus. Vektor dan tidak kolinear, karena tidak memenuhi kondisi kolinearitas dua vektor (tidak ada bilangan real seperti itu T, di mana ). Oleh karena itu, garis yang diberikan tidak tegak lurus.

Menjawab:

garis tidak tegak lurus.

21. Jarak dari titik ke garis.

Jarak dari titik ke garis ditentukan oleh jarak dari titik ke titik. Mari kita tunjukkan bagaimana hal itu dilakukan.

Biarkan garis lurus diberikan pada bidang atau ruang tiga dimensi A dan titik M1, tidak terletak pada garis lurus A. Mari kita melewati intinya M1 langsung B, tegak lurus garis A. Tunjukkan titik persimpangan garis A Dan B Bagaimana H1. Segmen garis M 1 H 1 ditelepon tegak lurus ditarik dari titik M1 ke garis lurus A.

Definisi.

Jarak dari titik M1 untuk lurus A menyebut jarak antar titik M1 Dan H1.

Namun, definisi jarak dari suatu titik ke garis lebih umum, di mana panjang garis tegak lurus muncul.

Definisi.

Jarak dari titik ke garis adalah panjang garis tegak lurus yang ditarik dari titik tertentu ke garis tertentu.

Definisi ini sama dengan definisi pertama jarak dari titik ke garis.

Perhatikan bahwa jarak dari suatu titik ke garis adalah jarak terkecil dari titik tersebut ke titik-titik pada garis yang diberikan. Mari kita tunjukkan.

Mari kita luruskan A titik Q, yang tidak sesuai dengan titik M1. Segmen garis M 1 Q ditelepon miring ditarik dari titik M1 ke garis lurus A. Kita perlu menunjukkan bahwa tegak lurus ditarik dari titik M1 ke garis lurus A, kurang dari setiap kemiringan yang ditarik dari titik tersebut M1 ke garis lurus A. Itu benar-benar: segitiga M 1 KH 1 persegi panjang dengan sisi miring M 1 Q, dan panjang sisi miring selalu lebih besar dari panjang salah satu kaki, oleh karena itu, .

22. Pesawat di ruang R3. Persamaan bidang.

Sebuah bidang dalam sistem koordinat kartesian persegi panjang dapat diberikan oleh persamaan, yang disebut persamaan umum pesawat.

Definisi. Vektor tegak lurus terhadap bidang dan disebut itu vektor biasa.

Jika dalam sistem koordinat persegi panjang diketahui koordinat tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus, maka persamaan bidangnya ditulis sebagai: .

Setelah menghitung determinan ini, kami memperoleh persamaan umum bidang.

Contoh. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik-titik tersebut.

Larutan:

Persamaan bidang: .

23. Mempelajari persamaan umum bidang.

Definisi 2. Setiap vektor yang tegak lurus terhadap suatu bidang disebut vektor normal bidang tersebut.

Jika titik tetap diketahui M 0 (X 0 , y 0 , z 0) terletak pada bidang yang diberikan dan vektor tegak lurus terhadap bidang yang diberikan, maka persamaan bidang yang melewati titik tersebut M 0 (X 0 , y 0 , z 0), tegak lurus terhadap vektor , memiliki bentuk

A(x-x 0)+B(Y y 0)+C(z-z 0)= 0. (3.22)

Mari kita tunjukkan bahwa persamaan (3.22) adalah persamaan umum bidang (3.21). Untuk melakukan ini, buka tanda kurung dan kumpulkan istilah gratis dalam tanda kurung:

.Kapak + Oleh + Cz +(-kapak 0 -By-Cz 0)= 0

Menandakan D = -kapak 0 -By-Cz 0 , kita mendapatkan persamaan Kapak + Oleh + Cz + D= 0.

Tugas 1. Tulis persamaan untuk bidang yang melalui titik A, tegak lurus terhadap vektor, jika A(4, -3, 1), B(1, 2, 3).

Larutan. Mari kita cari vektor normal bidang:

Untuk mencari persamaan bidang, kita menggunakan persamaan (3.22):

Menjawab: -3X + 5y + 2z + 25 = 0.

Tugas 2. Tuliskan persamaan bidang yang melalui suatu titik M 0 (-1, 2, -1), tegak lurus terhadap sumbu ons.

Larutan. Sebagai vektor normal dari bidang yang diinginkan, Anda dapat mengambil vektor apa saja yang terletak pada sumbu OZ, misalnya , maka persamaan bidang

Menjawab: z + 1 = 0.

24. Jarak dari suatu titik ke bidang.

Jarak dari suatu titik ke bidang ditentukan melalui jarak dari suatu titik ke suatu titik, salah satunya adalah titik tertentu, dan yang lainnya adalah proyeksi titik tertentu ke bidang tertentu.

Biarkan titik diberikan dalam ruang tiga dimensi M 1 dan pesawat. Mari kita melewati intinya M 1 langsung A tegak lurus terhadap bidang. Tunjukkan titik persimpangan garis A dan pesawat seperti H1. Segmen garis M 1 H 1 ditelepon tegak lurus, diturunkan dari titik M 1 ke bidang dan titik H1 – dasar tegak lurus.

Definisi.

adalah jarak dari titik tertentu ke dasar garis tegak lurus yang ditarik dari titik tertentu ke bidang tertentu.

Definisi jarak dari titik ke bidang lebih umum dalam bentuk berikut.

Definisi.

Jarak dari titik ke bidang adalah panjang tegak lurus yang dijatuhkan dari titik tertentu ke bidang tertentu.

Perlu dicatat bahwa jarak dari titik M 1 ke bidang, yang didefinisikan dengan cara ini, adalah jarak terkecil dari titik tertentu M 1 ke titik mana pun di pesawat. Memang, biarlah intinya H2 terletak pada bidang dan berbeda dari titik H1. Jelas segitiga M2H1H2 berbentuk persegi panjang, M 1 H 1- katet, dan M 1 H 2 adalah sisi miring, jadi . Ngomong-ngomong, potongannya M 1 H 2 ditelepon miring ditarik dari titik M 1 ke pesawat. Jadi, garis tegak lurus yang diturunkan dari titik tertentu ke bidang tertentu selalu lebih kecil dari garis miring yang ditarik dari titik yang sama ke bidang tertentu.

Jika sebuah garis melewati dua titik tertentu , lalu dia persamaan ditulis dalam formulir : .

Definisi. Vektor disebut membimbing vektor garis jika sejajar dengan atau milik itu.

Contoh. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu .

Solusi: Kami menggunakan rumus umum garis lurus yang melewati dua titik tertentu: - persamaan kanonik garis lurus yang melewati titik dan . Vektor adalah vektor pemandu langsung.

26. Saling menyusun garis dalam ruang R3.

Mari beralih ke opsi pengaturan timbal balik dua garis dalam ruang.

Pertama, dua garis dapat bertepatan, yaitu, memiliki titik persekutuan yang tak terhingga (setidaknya dua titik persekutuan).

Kedua, dua garis dalam ruang dapat berpotongan, yaitu memiliki satu titik yang sama. Dalam hal ini, kedua garis ini terletak pada suatu bidang ruang tiga dimensi. Jika dua garis berpotongan di ruang angkasa, maka kita sampai pada konsep sudut antara garis yang berpotongan.

Ketiga, dua garis dalam ruang bisa sejajar. Dalam hal ini, mereka terletak pada bidang yang sama dan tidak memiliki poin yang sama. Kami merekomendasikan untuk mempelajari artikel garis sejajar, garis sejajar.

Setelah kita memberikan definisi garis sejajar dalam ruang, kita harus mengatakan tentang vektor arah garis lurus karena kepentingannya. Setiap vektor bukan nol yang terletak pada garis ini atau pada garis yang sejajar dengan yang diberikan akan disebut vektor pengarah garis. Vektor arah garis lurus sangat sering digunakan dalam menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan garis lurus dalam ruang.

Terakhir, dua garis dalam ruang tiga dimensi bisa miring. Dua garis dalam ruang dikatakan berpotongan jika mereka tidak terletak pada bidang yang sama. Pengaturan timbal balik dari dua garis dalam ruang ini membawa kita pada konsep sudut antara garis miring.

Kepentingan praktis tertentu adalah kasus ketika sudut antara garis berpotongan atau miring dalam ruang tiga dimensi adalah sembilan puluh derajat. Garis seperti itu disebut tegak lurus (lihat artikel garis tegak lurus, garis tegak lurus).

27. Susunan bersama garis lurus dan bidang di ruang R3.

Garis lurus dapat terletak pada bidang tertentu, sejajar dengan bidang tertentu atau memotongnya di satu titik, lihat gambar berikut.

Jika , maka ini berarti bahwa . Dan ini hanya mungkin jika garis terletak pada bidang atau sejajar dengannya. Jika garis terletak pada bidang, maka setiap titik pada garis adalah titik pada bidang, dan koordinat setiap titik pada garis memenuhi persamaan bidang. Oleh karena itu, cukup untuk memeriksa apakah titik tersebut terletak pada bidang. Jika , maka titik - terletak pada bidang, artinya garis itu sendiri terletak pada bidang.

Jika , a , maka titik pada garis tidak terletak pada bidang, yang berarti garis sejajar dengan bidang.

Teorema telah terbukti.

Pelajaran video "Tegak Lurus ke Garis" adalah alat bantu visual yang dapat digunakan dalam pelajaran geometri tentang topik ini. Video tutorial berisi pengenalan konsep garis tegak lurus, serta pembuktian teorema menggambar garis tegak lurus dengan garis tertentu.

Dengan bantuan video pembelajaran akan lebih mudah dalam mempelajari materi, karena semua konstruksi dibuat menggunakan animasi, menirukan peragaan materi oleh guru menggunakan papan tulis. Dalam hal ini, semua detail penting disorot menggunakan warna atau kursor khusus. Penjelasan terperinci yang menyertai konstruksi dengan jelas dan komprehensif menghadirkan salah satu bagian geometri yang paling sulit - buktinya. Pelajaran video dapat menjadi bagian mandiri dari pelajaran, membebaskan guru untuk pekerjaan individu atau untuk menemani penjelasan.

Di awal video pelajaran, diumumkan nama topik "Tegak lurus terhadap garis lurus". Pembuatan garis tegak lurus dimulai dengan pembuatan titik A dan garis lurus a. Dari titik A ke garis a, ruas diturunkan ke titik H. Ditunjukkan bahwa ruas AN diturunkan ke garis a disebut tegak lurus jika garis yang melewati ruas tersebut tegak lurus dengan garis a. Pada gambar yang menyertai penjelasannya, sudut siku-siku yang terbentuk di antara garis-garis ini ditandai dengan simbol khusus, dan dengan bantuan animasi, ruas AH berlanjut menjadi garis lurus. Berdasarkan pernyataan ini, definisi garis tegak lurus diberikan sebagai ruas yang merupakan bagian dari garis lurus yang tegak lurus dengan garis yang diberikan. Definisi ditampilkan di layar, menyoroti konsep yang dipelajari dengan warna merah. Presentasi seperti itu memfokuskan perhatian siswa pada definisi, dimungkinkan untuk menuliskannya di buku catatan, lebih mudah diingat. Perhatikan bahwa titik H tempat garis-garis ini berpotongan disebut alas garis tegak lurus.

Selanjutnya, siswa diberikan bukti teorema penting yang akan membantu memecahkan banyak masalah geometri dan membuktikan teorema berikut. Teks teorema ditampilkan di layar dan dapat ditawarkan untuk ditulis di buku catatan siswa. Pembuktian teorema dimulai dengan konstruksi garis BC dan titik A bukan milik garis BC. Bagian pertama pembuktiannya adalah bahwa dari titik A dapat ditarik garis tegak lurus BC. Untuk membuktikan pernyataan ini, pertama-tama, sudut ∠МВС dibuat, yang sama dengan sudut ∠АВС, dibuat dari awal sinar BC. Karena sudut-sudut ini sama, mereka berimpit ketika ditumpangkan. Sisi BA dan BC dari ∠ABC juga berimpit dengan sisi BM dan BC dari sudut ∠MBC. Dalam hal ini, titik A ditumpangkan pada titik A 1. Ditandai titik H yang merupakan perpotongan ruas AA 1 dengan garis lurus BC. Hamparan ini dapat diartikan sebagai infleksi pola sepanjang garis lurus BC. Dalam hal ini, ruas AH diperoleh sebagai hasil konstruksi tegak lurus dengan garis lurus H. Dan balok HA digabungkan dengan balok HA 1. Dalam hal ini, ∠1 - sudut persimpangan segmen AH dan garis BC ditumpangkan pada ∠2 - sudut persimpangan segmen HA 1 dan garis BC. Dalam hal ini, sudut ∠1 dan ∠2 bertetangga. Dapat dikatakan bahwa masing-masing sudut ini siku-siku, karena jumlah sudut yang berdekatan adalah 180 °, dan karena sudut siku-siku terbentuk di persimpangan, maka AH tegak lurus dengan garis BC. Penunjukan garis tegak lurus ditunjukkan pada layar dengan simbol khusus yang dialokasikan untuk dihafal.

Bagian kedua dari bukti dikhususkan untuk fakta bahwa hanya satu garis tegak lurus BC yang dapat ditarik dari titik A. Untuk ini, konstruksi tambahan dibuat di bawah gambar pertama. Buktinya dengan kontradiksi. Diasumsikan bahwa dari titik A dimungkinkan untuk menggambar beberapa garis yang tegak lurus dengan garis BC. Pada gambar, selain garis tegak lurus, ditarik satu garis lagi, diturunkan dari titik A ke garis BC. Namun, ternyata garis AH 1 yang dibangun akan berpotongan dengan AH tegak lurus yang ada. Dan ini tidak mungkin, oleh karena itu, dari titik A, hanya satu garis lurus yang dapat ditarik tegak lurus ke BC - ini membuktikan teorema tersebut.

Pelajaran video "Tegak Lurus Garis" dapat digunakan oleh guru untuk menyajikan materi baru tentang topik ini. Juga, bukti yang jelas dan visual akan membantu siswa untuk memahami topik baru mereka sendiri. Materi tersebut juga dapat digunakan dalam pembelajaran jarak jauh.