Buat garis singgung m ke lingkaran singgung. Apa itu garis singgung lingkaran? Sifat garis singgung lingkaran. Garis singgung persekutuan dua lingkaran. Fillet menggunakan busur lingkaran

Tujuan Pelajaran

• Pendidikan - pengulangan, generalisasi dan pengujian pengetahuan tentang topik: "Bersinggungan dengan lingkaran"; pengembangan keterampilan dasar.
• Mengembangkan - untuk mengembangkan perhatian, ketekunan, ketekunan, pemikiran logis, ucapan matematis siswa.
• Mendidik - melalui pelajaran, menumbuhkan sikap perhatian satu sama lain, menanamkan kemampuan mendengarkan kawan, gotong royong, kemandirian.
• Perkenalkan konsep garis singgung, titik kontak.
• Pertimbangkan properti garis singgung dan tandanya dan tunjukkan penerapannya dalam memecahkan masalah di alam dan teknologi.

Tujuan pelajaran

• Membentuk keterampilan membangun garis singgung menggunakan penggaris skala, busur derajat dan menggambar segitiga.
• Periksa kemampuan siswa untuk memecahkan masalah.
• Pastikan penguasaan teknik algoritmik dasar untuk membangun garis singgung lingkaran.
• Untuk membentuk kemampuan menerapkan pengetahuan teoritis untuk pemecahan masalah.
• Untuk mengembangkan pemikiran dan ucapan siswa.
• Kerjakan pembentukan keterampilan mengamati, memperhatikan pola, menggeneralisasi, bernalar dengan analogi.
• Kembangkan minat pada matematika.

Rencana belajar

1. Munculnya konsep tangen.
2. Sejarah munculnya garis singgung.
3. Definisi geometris.
4. teorema dasar.
5. Konstruksi garis singgung lingkaran.
6. Konsolidasi.

Munculnya konsep tangen

Konsep garis singgung adalah salah satu yang tertua dalam matematika. Dalam geometri, garis singgung lingkaran didefinisikan sebagai garis yang memiliki tepat satu titik perpotongan dengan lingkaran tersebut. Orang dahulu, dengan bantuan kompas dan garis lurus, mampu menggambar garis singgung ke lingkaran, dan kemudian ke bagian berbentuk kerucut: elips, hiperbola, dan parabola.

Sejarah munculnya garis singgung

Ketertarikan pada garis singgung dihidupkan kembali di zaman modern. Kemudian kurva ditemukan yang tidak diketahui oleh para ilmuwan kuno. Misalnya, Galileo memperkenalkan sikloid, dan Descartes serta Fermat membangun garis singgungnya. Pada sepertiga pertama abad XVII. Mereka mulai memahami bahwa garis singgung adalah garis lurus, "paling berdekatan" dengan kurva di lingkungan kecil dari titik tertentu. Sangat mudah untuk membayangkan situasi di mana tidak mungkin untuk membuat garis singgung kurva pada titik (gambar) tertentu.

Definisi geometris

Lingkaran- lokus titik-titik bidang, berjarak sama dari titik tertentu, disebut pusatnya.

lingkaran.

Definisi terkait

• Ruas yang menghubungkan pusat lingkaran dengan sembarang titik di atasnya (dan juga panjang ruas ini) disebut radius lingkaran.
• Bagian bidang yang dibatasi oleh lingkaran disebut sekitar.
• Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut akord. Akord yang melewati pusat lingkaran disebut diameter.
• Setiap dua titik yang tidak bertepatan pada lingkaran membaginya menjadi dua bagian. Masing-masing bagian ini disebut busur lingkaran. Ukuran busur dapat menjadi ukuran sudut pusat yang sesuai. Busur disebut setengah lingkaran jika segmen yang menghubungkan ujungnya adalah diameter.
• Garis yang mempunyai tepat satu titik persekutuan dengan lingkaran disebut garis singgung ke lingkaran, dan titik persekutuannya disebut titik kontak garis dan lingkaran.
• Garis yang melalui dua titik pada lingkaran disebut garis potong.
• Sudut pusat dalam lingkaran adalah sudut datar dengan titik di tengahnya.
• Sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya memotong lingkaran disebut sudut tertulis.
• Dua lingkaran yang memiliki pusat yang sama disebut konsentris.

Garis singgung- garis lurus yang melewati titik kurva dan bertepatan dengannya pada titik ini hingga urutan pertama.

Bersinggungan dengan lingkaran Garis lurus yang memiliki satu titik persekutuan dengan lingkaran disebut.

Garis lurus yang melalui titik lingkaran pada bidang yang sama tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke titik tersebut, disebut garis singgung. Dalam hal ini, titik lingkaran ini disebut titik kontak.

Dimana dalam kasus kita "a" adalah garis lurus yang bersinggungan dengan lingkaran tertentu, titik "A" adalah titik kontak. Dalam hal ini, a ⊥ OA (garis a tegak lurus dengan jari-jari OA).

Mereka mengatakan itu dua lingkaran bersentuhan jika mereka memiliki satu poin yang sama. Titik ini disebut titik singgung lingkaran. Melalui titik singgung, seseorang dapat menggambar garis singgung ke salah satu lingkaran, yang juga bersinggungan dengan lingkaran lainnya. Garis singgung lingkaran adalah internal dan eksternal.

Garis singgung disebut internal jika pusat lingkaran terletak pada sisi yang sama dari garis singgung.

Garis singgung disebut eksternal jika pusat lingkaran terletak di sisi berlawanan dari garis singgung

a adalah garis singgung persekutuan dua lingkaran, K adalah titik kontak.

teorema dasar

Dalil tentang garis singgung dan garis potong

Jika garis singgung dan garis potong ditarik dari titik yang terletak di luar lingkaran, maka kuadrat panjang garis singgung sama dengan hasil kali garis potong dan bagian luarnya: MC 2 = MA MB.

Dalil. Jari-jari yang ditarik ke titik singgung lingkaran tegak lurus dengan garis singgung.

Dalil. Jika jari-jarinya tegak lurus dengan garis di titik potong lingkaran, maka garis ini bersinggungan dengan lingkaran tersebut.

Bukti.

Untuk membuktikan teorema ini, kita perlu mengingat apa itu garis tegak lurus dari titik ke garis. Ini adalah jarak terpendek dari titik ini ke garis ini. Mari kita asumsikan bahwa OA tidak tegak lurus garis singgung, tetapi ada garis lurus OC yang tegak lurus garis singgung. Panjang OS meliputi panjang jari-jari dan segmen tertentu BC, yang tentunya lebih besar dari jari-jari. Dengan demikian, seseorang dapat membuktikan untuk setiap baris. Kami menyimpulkan bahwa jari-jari, jari-jari yang ditarik ke titik kontak, adalah jarak terpendek ke garis singgung dari titik O, yaitu. OS tegak lurus dengan garis singgung. Dalam pembuktian teorema konvers, kita akan melanjutkan dari fakta bahwa garis singgung hanya memiliki satu titik persekutuan dengan lingkaran. Biarkan garis yang diberikan memiliki satu lagi titik persekutuan B dengan lingkaran. Segitiga AOB siku-siku dan kedua sisinya sama dengan jari-jarinya, yang tidak mungkin. Jadi, kita memperoleh bahwa garis yang diberikan tidak memiliki titik yang sama dengan lingkaran kecuali untuk titik A, yaitu. bersinggungan.

Dalil. Ruas garis singgung yang ditarik dari satu titik ke lingkaran adalah sama, dan garis lurus yang menghubungkan titik ini dengan pusat lingkaran membagi sudut antara garis singgung menjadi pukulan.

Bukti.

Buktinya sangat sederhana. Menggunakan teorema sebelumnya, kita menyatakan bahwa OB tegak lurus AB, dan OS tegak lurus AC. Segitiga siku-siku ABO dan ACO memiliki kaki dan sisi miring yang sama (OB = OS - jari-jari, AO - total). Oleh karena itu, kakinya AB = AC dan sudut OAC dan OAB juga sama.

Dalil. Nilai sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan tali busur yang memiliki titik persekutuan pada sebuah lingkaran sama dengan setengah nilai sudut busur yang tertutup di antara sisi-sisinya.

Bukti.

Pertimbangkan sudut NAB yang dibentuk oleh garis singgung dan akord. Gambarlah diameter AC. Garis singgung tegak lurus terhadap diameter yang ditarik ke titik kontak, oleh karena itu, ∠CAN=90 o. Mengetahui teorema, kita melihat bahwa sudut alfa (a) sama dengan setengah besar sudut busur BC atau setengah sudut BOC. ∠NAB=90 o -a, maka kita dapatkan ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB atau = setengah nilai sudut busur BA. h.t.d.

Dalil. Jika garis singgung dan garis potong ditarik dari suatu titik ke lingkaran, maka kuadrat segmen garis singgung dari titik tertentu ke titik singgung sama dengan hasil kali panjang segmen garis potong dari garis yang diberikan arahkan ke titik perpotongannya dengan lingkaran.

Bukti.

Pada gambar, teorema ini terlihat seperti ini: MA 2 \u003d MV * MS. Mari kita buktikan. Menurut teorema sebelumnya, sudut MAC sama dengan setengah ukuran sudut busur AC, tetapi juga sudut ABC sama dengan setengah ukuran sudut busur AC, menurut teorema, oleh karena itu, sudut ini sama dengan satu sama lain. Mempertimbangkan fakta bahwa segitiga AMC dan VMA memiliki sudut yang sama di titik M, kami menyatakan kesamaan segitiga ini dalam dua sudut (tanda kedua). Dari kesamaan yang kita miliki: MA / MB = MC / MA, dari mana kita mendapatkan MA 2 \u003d MB * MC

Konstruksi garis singgung lingkaran

Dan sekarang mari kita coba mencari tahu dan mencari tahu apa yang perlu dilakukan untuk membangun garis singgung lingkaran.

Dalam hal ini, sebagai aturan, sebuah lingkaran dan titik diberikan dalam soal. Dan Anda dan saya perlu membuat garis singgung lingkaran sehingga garis singgung ini melewati titik tertentu.

Jika kita tidak mengetahui lokasi suatu titik, maka mari kita pertimbangkan kasus kemungkinan lokasi titik tersebut.

Pertama, titiknya bisa berada di dalam lingkaran yang dibatasi oleh lingkaran yang diberikan. Dalam hal ini, tidak mungkin membuat garis singgung melalui lingkaran ini.

Dalam kasus kedua, titiknya ada pada lingkaran, dan kita dapat membuat garis singgung dengan menggambar garis tegak lurus ke jari-jari, yang ditarik ke titik yang kita ketahui.

Ketiga, anggaplah titik itu berada di luar lingkaran, yang dibatasi oleh lingkaran. Dalam hal ini, sebelum membuat garis singgung, perlu dicari titik pada lingkaran yang harus dilalui garis singgung.

Dengan kasus pertama, saya harap Anda memahami segalanya, tetapi untuk menyelesaikan opsi kedua, kita perlu membuat segmen pada garis lurus di mana jari-jari terletak. Ruas ini harus sama dengan jari-jari dan ruas yang terletak pada lingkaran, di sisi yang berlawanan.

Di sini kita melihat bahwa titik pada lingkaran adalah titik tengah segmen yang sama dengan dua kali jari-jarinya. Langkah selanjutnya adalah menggambar dua lingkaran. Jari-jari lingkaran ini akan sama dengan dua kali jari-jari lingkaran asli, dengan pusat di ujung segmen, yang sama dengan dua kali jari-jari. Sekarang kita dapat menggambar garis lurus melalui titik perpotongan lingkaran ini dan titik tertentu. Garis lurus seperti itu adalah median yang tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang digambar di awal. Jadi, kita melihat bahwa garis ini tegak lurus dengan lingkaran, dan dari sini dapat disimpulkan bahwa garis tersebut bersinggungan dengan lingkaran.

Pada opsi ketiga, kita memiliki sebuah titik yang terletak di luar lingkaran, yang dibatasi oleh sebuah lingkaran. Dalam hal ini, pertama-tama kita membuat segmen yang akan menghubungkan pusat lingkaran yang disediakan dan titik yang diberikan. Dan kemudian kita menemukan bagian tengahnya. Tetapi untuk ini, Anda perlu membuat garis bagi tegak lurus. Dan Anda sudah tahu cara membuatnya. Kemudian kita perlu menggambar sebuah lingkaran, atau setidaknya sebagian darinya. Sekarang kita melihat bahwa titik perpotongan lingkaran yang diberikan dan yang baru dibangun adalah titik yang dilalui garis singgung. Itu juga melewati titik yang ditentukan oleh kondisi masalah. Dan terakhir, melalui dua titik yang sudah Anda ketahui, Anda bisa menggambar garis singgung.

Dan terakhir, untuk membuktikan bahwa garis lurus yang telah kita bangun adalah garis singgung, perlu diperhatikan sudut yang dibentuk oleh jari-jari lingkaran dan ruas yang diketahui syarat dan menghubungkan titik potong lingkaran tersebut. lingkaran dengan titik yang diberikan oleh kondisi masalah. Sekarang kita melihat bahwa sudut yang dihasilkan terletak pada setengah lingkaran. Dan dari sini dapat disimpulkan bahwa sudut ini benar. Oleh karena itu, jari-jarinya akan tegak lurus dengan garis yang baru dibuat, dan garis ini adalah garis singgungnya.

Konstruksi garis singgung.

Konstruksi garis singgung adalah salah satu masalah yang menyebabkan lahirnya kalkulus diferensial. Karya terbitan pertama yang berkaitan dengan kalkulus diferensial, yang ditulis oleh Leibniz, berjudul "Metode baru maksima dan minima, serta garis singgung, yang baik kuantitas fraksional maupun irasional tidak menjadi kendala, dan jenis kalkulus khusus untuk ini."

Pengetahuan geometris orang Mesir kuno.

Jika kita tidak memperhitungkan kontribusi yang sangat sederhana dari penduduk kuno di lembah antara Tigris dan Efrat dan Asia Kecil, maka geometri berasal dari Mesir kuno sebelum 1700 SM. Selama musim hujan tropis, Sungai Nil mengisi kembali persediaan airnya dan banjir. Air menutupi petak-petak tanah yang ditanami, dan untuk keperluan pajak perlu ditentukan berapa banyak tanah yang hilang. Surveyor menggunakan tali yang diregangkan dengan kuat sebagai alat pengukur. Insentif lain untuk akumulasi pengetahuan geometris oleh orang Mesir adalah aktivitas mereka seperti pembangunan piramida dan seni rupa.

Tingkat pengetahuan geometris dapat dinilai dari manuskrip kuno, yang secara khusus dikhususkan untuk matematika dan merupakan sesuatu seperti buku teks, atau lebih tepatnya, buku soal, di mana solusi untuk berbagai masalah praktis diberikan.

Manuskrip matematika tertua orang Mesir disalin oleh seorang siswa antara tahun 1800 - 1600. SM. dari teks yang lebih tua. Papirus itu ditemukan oleh ahli Mesir Kuno Rusia Vladimir Semenovich Golenishchev. Itu disimpan di Moskow - di Museum Seni Rupa A.S. Pushkin, dan disebut papirus Moskow.

Papirus matematika lainnya, yang ditulis dua atau tiga ratus tahun kemudian dari Moskow, disimpan di London. Judulnya: "Instruksi tentang cara mencapai pengetahuan tentang semua hal gelap, semua rahasia yang menyembunyikan hal-hal di dalamnya ... Menurut monumen tua, juru tulis Ahmes menulis ini." dan membeli papirus ini di Mesir. Papirus Ahmes memberikan solusi dari 84 masalah untuk berbagai perhitungan yang mungkin diperlukan dalam praktik.

Transek, garis singgung - semua ini bisa didengar ratusan kali dalam pelajaran geometri. Tetapi kelulusan sekolah telah berakhir, tahun-tahun berlalu, dan semua pengetahuan ini dilupakan. Apa yang harus diingat?

Esensi

Istilah "bersinggungan dengan lingkaran" mungkin sudah tidak asing lagi bagi semua orang. Tetapi tidak mungkin setiap orang dapat dengan cepat merumuskan definisinya. Sedangkan garis singgung adalah garis lurus yang terletak pada bidang yang sama dengan lingkaran yang memotongnya hanya di satu titik. Variasinya mungkin sangat banyak, tetapi semuanya memiliki sifat yang sama, yang akan dibahas di bawah. Seperti yang Anda duga, titik kontak adalah tempat di mana lingkaran dan garis berpotongan. Dalam setiap kasus, itu adalah satu, tetapi jika ada lebih banyak, maka itu akan menjadi garis potong.

Sejarah penemuan dan studi

Konsep garis singgung muncul di zaman kuno. Konstruksi garis lurus ini, pertama menjadi lingkaran, kemudian menjadi elips, parabola, dan hiperbola dengan bantuan penggaris dan kompas, dilakukan bahkan pada tahap awal pengembangan geometri. Tentu saja, sejarah tidak melestarikan nama penemunya, tetapi jelas bahwa bahkan pada saat itu orang cukup menyadari sifat-sifat garis singgung lingkaran.

Di zaman modern, minat terhadap fenomena ini berkobar lagi - babak baru mempelajari konsep ini dimulai, dikombinasikan dengan penemuan kurva baru. Jadi, Galileo memperkenalkan konsep sikloid, dan Fermat serta Descartes membangun garis singgungnya. Adapun lingkaran, tampaknya tidak ada rahasia yang tersisa untuk orang dahulu di daerah ini.

Properti

Jari-jari yang ditarik ke titik persimpangan akan menjadi

utama, tetapi bukan satu-satunya properti yang dimiliki garis singgung lingkaran. Fitur penting lainnya sudah termasuk dua garis lurus. Jadi, melalui satu titik yang terletak di luar lingkaran, dua garis singgung dapat ditarik, sedangkan segmennya akan sama. Ada teorema lain tentang topik ini, tetapi jarang tercakup dalam kerangka kursus sekolah standar, meskipun sangat nyaman untuk menyelesaikan beberapa masalah. Kedengarannya seperti ini. Dari satu titik yang terletak di luar lingkaran, garis singgung dan garis potong ditarik ke sana. Segmen AB, AC dan AD terbentuk. A adalah persimpangan garis, B adalah titik kontak, C dan D adalah persimpangan. Dalam hal ini, persamaan berikut akan berlaku: panjang garis singgung lingkaran, kuadrat, akan sama dengan produk dari segmen AC dan AD.

Ada konsekuensi penting dari hal di atas. Untuk setiap titik lingkaran, Anda dapat membuat garis singgung, tetapi hanya satu. Buktinya cukup sederhana: secara teoritis menjatuhkan garis tegak lurus dari jari-jari ke atasnya, kami menemukan bahwa segitiga yang terbentuk tidak mungkin ada. Dan ini berarti garis singgungnya unik.

Bangunan

Di antara tugas-tugas lain dalam geometri, ada kategori khusus, biasanya tidak

disukai oleh siswa dan mahasiswa. Untuk menyelesaikan tugas dari kategori ini, Anda hanya membutuhkan kompas dan penggaris. Ini adalah tugas membangun. Ada juga metode untuk membangun garis singgung.

Jadi, berikan lingkaran dan titik yang terletak di luar batasnya. Dan perlu untuk menggambar garis singgung melalui mereka. Bagaimana cara melakukannya? Pertama-tama, Anda perlu menggambar segmen antara pusat lingkaran O dan titik tertentu. Kemudian, dengan menggunakan kompas, bagi menjadi dua. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengatur radius - sedikit lebih dari setengah jarak antara pusat lingkaran asli dan titik tertentu. Setelah itu, Anda perlu membuat dua busur yang berpotongan. Selain itu, jari-jari kompas tidak perlu diubah, dan pusat setiap bagian lingkaran masing-masing akan menjadi titik awal dan O. Persimpangan busur harus dihubungkan, yang akan membagi segmen menjadi dua. Tetapkan radius pada kompas sama dengan jarak ini. Selanjutnya, dengan pusat di titik persimpangan, gambar lingkaran lain. Baik titik awal maupun O akan terletak di atasnya.Dalam hal ini, akan ada dua persimpangan lagi dengan lingkaran yang diberikan pada soal. Mereka akan menjadi titik sentuh untuk titik awal yang diberikan.

Itu adalah konstruksi garis singgung lingkaran yang menyebabkan kelahiran

kalkulus diferensial. Karya pertama tentang topik ini diterbitkan oleh matematikawan terkenal Jerman Leibniz. Dia memberikan kemungkinan menemukan maxima, minima dan garis singgung, terlepas dari nilai pecahan dan irasional. Nah, sekarang ini digunakan untuk banyak perhitungan lainnya juga.

Selain itu, garis singgung lingkaran terkait dengan makna geometris dari garis singgung tersebut. Dari situlah namanya berasal. Diterjemahkan dari bahasa Latin, tangens berarti "tangen". Dengan demikian, konsep ini tidak hanya terkait dengan geometri dan kalkulus diferensial, tetapi juga dengan trigonometri.

Dua lingkaran

Garis singgung tidak selalu mempengaruhi hanya satu angka. Jika sejumlah besar garis lurus dapat ditarik ke satu lingkaran, mengapa tidak sebaliknya? Bisa. Tetapi tugas dalam kasus ini sangat rumit, karena garis singgung ke dua lingkaran mungkin tidak melewati titik mana pun, dan posisi relatif dari semua angka ini bisa sangat

berbeda.

Jenis dan varietas

Ketika berbicara tentang dua lingkaran dan satu atau lebih garis lurus, meskipun diketahui bahwa ini adalah garis singgung, tidak segera menjadi jelas bagaimana letak semua angka ini dalam hubungannya satu sama lain. Berdasarkan hal tersebut, ada beberapa varietas. Jadi, lingkaran dapat memiliki satu atau dua titik persekutuan atau tidak sama sekali. Dalam kasus pertama, mereka akan berpotongan, dan yang kedua, mereka akan bersentuhan. Dan di sini ada dua varietas. Jika satu lingkaran seolah-olah tertanam di lingkaran kedua, maka sentuhan itu disebut internal, jika tidak, maka eksternal. Anda dapat memahami posisi relatif figur tidak hanya berdasarkan gambarnya, tetapi juga memiliki informasi tentang jumlah jari-jarinya dan jarak antara pusatnya. Jika kedua besaran ini sama, maka lingkaran-lingkaran tersebut bersentuhan. Jika yang pertama lebih besar, mereka berpotongan, dan jika lebih kecil, maka mereka tidak memiliki poin yang sama.

Sama halnya dengan garis lurus. Untuk dua lingkaran yang tidak memiliki titik persekutuan, satu bisa

membangun empat garis singgung. Dua di antaranya akan berpotongan di antara sosok-sosok itu, mereka disebut internal. Beberapa lainnya bersifat eksternal.

Jika kita berbicara tentang lingkaran yang memiliki satu kesamaan, maka tugasnya sangat disederhanakan. Faktanya adalah bahwa untuk pengaturan timbal balik apa pun dalam hal ini, mereka hanya akan memiliki satu garis singgung. Dan itu akan melewati titik persimpangan mereka. Sehingga konstruksi tidak akan menimbulkan kesulitan.

Jika gambar memiliki dua titik perpotongan, maka garis lurus dapat dibuat untuknya, bersinggungan dengan lingkaran, baik yang satu maupun yang kedua, tetapi hanya yang terluar. Solusi untuk masalah ini mirip dengan apa yang akan dibahas di bawah ini.

Penyelesaian masalah

Garis singgung internal dan eksternal dua lingkaran tidak begitu sederhana dalam konstruksi, meskipun masalah ini dapat diselesaikan. Faktanya adalah angka tambahan digunakan untuk ini, jadi pikirkan sendiri metode ini

cukup bermasalah. Jadi, diberikan dua lingkaran dengan jari-jari dan pusat yang berbeda O1 dan O2. Bagi mereka, Anda perlu membuat dua pasang garis singgung.

Pertama-tama, di dekat pusat lingkaran yang lebih besar, Anda perlu membangun lingkaran tambahan. Dalam hal ini, perbedaan antara jari-jari kedua angka awal harus ditetapkan pada kompas. Garis singgung ke lingkaran bantu dibangun dari pusat lingkaran yang lebih kecil. Setelah itu, dari O1 dan O2, garis tegak lurus ditarik ke garis-garis ini hingga berpotongan dengan gambar aslinya. Sebagai berikut dari sifat utama garis singgung, titik yang diinginkan pada kedua lingkaran ditemukan. Masalahnya terpecahkan, setidaknya, bagian pertamanya.

Untuk membangun garis singgung internal, kita harus menyelesaikannya secara praktis

tugas serupa. Sekali lagi, angka tambahan diperlukan, tetapi kali ini radiusnya akan sama dengan jumlah aslinya. Garis singgung dibangun untuk itu dari pusat salah satu lingkaran yang diberikan. Solusi selanjutnya dapat dipahami dari contoh sebelumnya.

Bersinggungan dengan lingkaran atau bahkan dua atau lebih bukanlah tugas yang sulit. Tentu saja, ahli matematika telah lama berhenti memecahkan masalah seperti itu secara manual dan mempercayakan perhitungannya pada program khusus. Namun jangan mengira bahwa sekarang tidak perlu bisa melakukannya sendiri, karena untuk merumuskan tugas komputer dengan benar, Anda perlu melakukan dan memahami banyak hal. Sayangnya, ada kekhawatiran bahwa setelah transisi terakhir ke bentuk tes kontrol pengetahuan, tugas konstruksi akan semakin menyulitkan siswa.

Adapun menemukan garis singgung persekutuan untuk lebih banyak lingkaran, hal ini tidak selalu memungkinkan, bahkan jika mereka terletak pada bidang yang sama. Tetapi dalam beberapa kasus dimungkinkan untuk menemukan garis seperti itu.

Contoh kehidupan nyata

Garis singgung persekutuan dua lingkaran sering ditemui dalam praktiknya, meskipun hal ini tidak selalu terlihat. Konveyor, sistem blok, sabuk transmisi katrol, tegangan benang di mesin jahit, dan bahkan hanya rantai sepeda - semua ini adalah contoh dari kehidupan. Jadi jangan berpikir bahwa masalah geometri hanya tinggal teori: di bidang teknik, fisika, konstruksi, dan banyak bidang lainnya, mereka menemukan aplikasi praktis.

Konstruksi geometris

Konstruksi garis singgung lingkaran

Pertimbangkan masalah yang mendasari solusi dari masalah lain dalam menggambar garis singgung lingkaran.

Biarkan dari intinyaA(Gbr. 1) perlu menggambar garis singgung ke lingkaran yang berpusat di suatu titikTENTANG.

Untuk membuat garis singgung secara akurat, perlu untuk menentukan titik singgung garis ke lingkaran. Untuk poin iniAharus dihubungkan dengan titikTENTANGdan membagi segmenOAsetengah. Dari tengah segmen ini - poinDENGAN, bagaimana menggambarkan lingkaran dari tengah, yang diameternya harus sama dengan ruasnyaOA. poinKE1 DanKE2 perpotongan lingkaran yang berpusat pada satu titikDENGANdan berpusat pada satu titikTENTANGadalah titik-titik kontak dari garis-garisAK1 DanAK2 ke lingkaran tertentu.

Kebenaran penyelesaian soal dikonfirmasi oleh fakta bahwa jari-jari lingkaran yang ditarik ke titik kontak tegak lurus dengan garis singgung lingkaran. sudutOKE1 ADanOKE2 Alurus karena mengandalkan diameterJSClingkaran yang berpusat pada satu titikDENGAN.

Beras. 1.

Saat membangun garis singgung ke dua lingkaran, garis singgung dibedakanlokalDanluar. Jika pusat lingkaran yang diberikan terletak di satu sisi garis singgung, maka dianggap eksternal, dan jika pusat lingkaran berada di sisi berlawanan dari garis singgung, dianggap internal.

TENTANG1 DanTENTANG2 R1 DanR2 . Diperlukan untuk menggambar garis singgung luar ke lingkaran yang diberikan.

Untuk konstruksi yang tepat, perlu ditentukan titik kontak antara garis dan lingkaran tertentu. Jika jari-jari lingkaran dengan pusatTENTANG1 DanTENTANG2 mulai berturut-turut menurun dengan nilai yang sama, maka Anda bisa mendapatkan serangkaian lingkaran konsentris dengan diameter lebih kecil. Selain itu, dalam setiap kasus penurunan jari-jari, garis singgung ke lingkaran yang lebih kecil akan sejajar dengan yang diinginkan. Setelah dikurangi kedua jari-jari dengan ukuran jari-jari yang lebih kecilR2 lingkaran dengan pusatTENTANG2 akan berubah menjadi titik, dan lingkaran dengan pusatTENTANG1 akan diubah menjadi lingkaran konsentris dengan jari-jariR3 , sama dengan selisih jari-jariR1 DanR2 .

Menggunakan metode yang dijelaskan sebelumnya, dari intinyaTENTANG2 menggambar garis singgung luar lingkaran dengan jari-jariR3 , hubungkan titik-titiknyaTENTANG1 DanTENTANG2 , dibagi dengan titikDENGANsegmen garisTENTANG1 TENTANG2 menjadi dua dan menggambar radiusJADI1 busur yang perpotongannya dengan lingkaran tertentu akan menentukan titik kontak garisTENTANG2 KE1 DanTENTANG2 KE2 .

DotA1 DanA2 kontak garis yang diinginkan dengan lingkaran yang lebih besar terletak pada kelanjutan garisTENTANG1 KE1 DanTENTANG1 KE2 . poinDI DALAM1 DanDI DALAM2 garis singgung garis dengan lingkaran yang lebih kecil tegak lurus dengan alasTENTANG2 masing-masing ke garis singgung bantuTENTANG2 KE1 DanTENTANG2 KE2 . Memiliki titik kontak, Anda dapat menggambar garis yang diinginkanA1 DI DALAM1 DanA2 DI DALAM2 .

Beras. 2.

Biarkan dua lingkaran dengan pusat di titikTENTANG1 DanTENTANG2 (Gbr. 2), masing-masing memiliki jari-jariR1 DanR2 . Diperlukan untuk menggambar garis singgung internal ke lingkaran yang diberikan.

Untuk menentukan titik kontak antara garis dan lingkaran, kami menggunakan argumen yang serupa dengan yang diberikan dalam menyelesaikan soal sebelumnya. Jika kita mengurangi radiusR2 ke nol, lalu lingkaran dengan pusatTENTANG2 beralih ke intinya. Namun, dalam hal ini, untuk menjaga kesejajaran garis singgung bantu dengan yang diperlukan, jari-jariR1 harus diperbesarR2 dan menggambar lingkaran dengan jari-jariR3 , sama dengan jumlah jari-jariR1 DanR2 .

Dari satu titikTENTANG2 menggambar garis singgung lingkaran dengan jari-jariR3 , yang kami hubungkan titik-titiknyaTENTANG1 DanTENTANG2 , dibagi dengan titikDENGANsegmen garisTENTANG1 TENTANG2 menjadi dua dan menggambar busur lingkaran yang berpusat pada suatu titikDENGANdan radiusJADI1 . Persimpangan busur dengan lingkaran jari-jariR3 akan menentukan posisi titik-titik tersebutKE1 DanKE2 garis singgung garis bantuTENTANG2 KE1 DanTENTANG2 KE2 .

DotA1 DanA2 R1 adalah di persimpangan lingkaran ini dengan segmenTENTANG1 KE1 DanTENTANG1 KE2 . Untuk menentukan poinDI 1DanDI 2garis singgung garis yang diinginkan dengan radius lingkaranR2 mengikuti dari intinyaO2mengatur garis tegak lurus ke garis bantuO2K1DanO2K2sampai berpotongan dengan lingkaran tertentu. Memiliki titik singgung dari garis yang diinginkan dan lingkaran yang diberikan, kami menggambar garisA1B1DanA2B2.

Beras. 3.

Garis singgung lingkaran membentuk sudut 90  dengan jari-jari ditarik ke titik kontak. Jadi, untuk membuat garis singgung lingkaran pada titik tertentu, perlu menggambar garis tegak lurus yang diperlukan terhadap jari-jari.

Mari kita perhatikan beberapa contoh konstruksi garis singgung dan konjugasi.

CONTOH 1

Melalui titik A, buat garis singgung lingkaran dengan pusat O 1

Untuk mengatasi masalah tersebut, kami melakukan konstruksi berikut:

1) hubungkan titik O 1 dan A dengan garis lurus;

2) dari titik O 2 - tengah ruas O 1 A - gambarlah lingkaran bantu dengan jari-jari O 2 A hingga berpotongan dengan lingkaran tertentu di titik B.

Yang terakhir adalah titik kontak, karena sudut ABO 1 sama dengan 90  (berdasarkan

pada diameter AO 1), oleh karena itu, jari-jari O 1 B adalah garis normal persekutuan pada garis lurus dan busur lingkaran di titik B.

CONTOH 2

Buatlah garis singgung persekutuan pada dua lingkaran dengan jari-jari R 1 dan R 2 (Gbr. 3.4).

Untuk mengatasi masalah tersebut, kami melakukan konstruksi berikut:

1) dari pusat O 1 lingkaran besar kita menggambar lingkaran bantu dengan jari-jari yang sama dengan selisih antara R 1 dan R 2, yaitu R 1 - R 2;

2) ke lingkaran ini dari titik O 2 kita menggambar garis singgung O 2 K seperti yang dilakukan pada contoh 1;

3) kita lanjutkan garis lurus O 1 K hingga berpotongan dengan lingkaran besar tertentu, kita dapatkan titik B yang merupakan titik kontak. Dari titik O 2 kita tarik garis lurus sejajar dengan O 1 B hingga garis tersebut berpotongan dengan lingkaran di titik A yang merupakan titik kontak kedua dari garis singgung AB.

Beras. 3.3. Konstruksi garis singgung

garis ke lingkaran

Beras. 3.4. Konstruksi garis singgung

menjadi dua lingkaran

3.3. Konjugasi dua baris

CONTOH 3

Bangun konjugasi dua garis berpotongan m dan n dengan jari-jari

konjugasi R c (Gbr. 3.5).

Beras. 3.5. Konstruksi konjugasi dua garis berpotongan

jatuhkan garis tegak lurus ke garis yang diberikan dan dapatkan titik konjugasi A dan B; dari titik O dengan jari-jari R c kita menggambar busur konjugasi antara titik A dan B.

3.4. Konjugasi garis dengan lingkaran (internal dan eksternal)

CONTOH 4

Bangun konjugasi luar dan dalam lingkaran dengan jari-jari R c

dengan pusat O 1 dengan garis lurus t busur dengan jari-jari konjugasi tertentu.

D

Beras. 3.6. Membangun eksternal

konjugasi lingkaran dan garis lurus

Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Federasi Rusia

Lembaga pendidikan anggaran kota

kota Novosibirsk "Gimnasium No. 4"

Bagian: matematika

RISET

pada topik ini:

SIFAT DUA LINGKARAN SENTUH

siswa kelas 10:

Khaziakhmetov Radik Ildarovich

Zubarev Evgeny Vladimirovich

Pengawas:

II. Barinova

guru matematika

Kategori kualifikasi tertinggi

§ 1.Pendahuluan………..……………………………….………………………………………………………………3

§ 1.1 Susunan bersama dua lingkaran………………………………………...………3

§ 2 Harta dan bukti-buktinya………………………………………..…………….....….…4

§ 2.1 Harta benda 1………………...………………………………………..…………………...….…4

§ 2.2 Properti 2………………………………………………………………………………………...……………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

§ 2.3 Properti 3………………………………………………………………..………………...…………6

§ 2.4 Properti 4……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.5 Properti 5………………………………………..……………………………………...………8

§ 2.6 Properti 6………………………………………………………………………………………………………9

§ 3 Tugas………………………………………………………..…………………...………………..…11

Referensi……………………………………………………………………………….………….13

§ 1. Perkenalan

Banyak masalah yang melibatkan dua lingkaran bersinggungan dapat diselesaikan secara lebih ringkas dan sederhana dengan mengetahui beberapa sifat yang akan disajikan nanti.

Pengaturan timbal balik dari dua lingkaran

Untuk memulainya, kita akan membahas kemungkinan pengaturan timbal balik dari kedua lingkaran tersebut. Mungkin ada 4 kasus berbeda.

1. Lingkaran tidak boleh berpotongan.

2. Salib.

3. Sentuh satu titik di luar.

4. Sentuh satu titik di dalam.

§ 2. Properti dan buktinya

Mari kita lanjutkan langsung ke pembuktian sifat-sifatnya.

§ 2.1 Properti 1

Segmen antara titik persimpangan garis singgung dengan lingkaran sama satu sama lain dan sama dengan dua jari-jari rata-rata geometris dari lingkaran-lingkaran ini.

Bukti 1. O 1 A 1 dan O 2 V 1 - jari-jari ditarik ke titik kontak.

2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1, O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (sesuai paragraf 1)

1. ▲O 1 O 2 D - persegi panjang, karena O 2 D ┴ O 2 V 1
2. O 1 O 2 \u003d R + r, O 2 D \u003d R - r

1. Dengan teorema Pythagoras А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (dibuktikan dengan cara yang sama)

1) Gambarkan jari-jari ke titik perpotongan garis singgung dengan lingkaran.

2) Jari-jari ini akan tegak lurus dengan garis singgung dan sejajar satu sama lain.

3) Jatuhkan garis tegak lurus dari pusat lingkaran yang lebih kecil ke jari-jari lingkaran yang lebih besar.

4) Sisi miring dari segitiga siku-siku yang dihasilkan sama dengan jumlah jari-jari lingkaran. Kakinya sama dengan selisihnya.

5) Dengan teorema Pythagoras, kami memperoleh hubungan yang diinginkan.

§ 2.2 Properti 2

Titik-titik perpotongan garis yang memotong titik singgung lingkaran dan tidak terletak di salah satunya, dengan garis singgung membagi segmen garis singgung luar yang dibatasi oleh titik singgung, menjadi beberapa bagian, yang masing-masing sama dengan rata-rata geometris dari jari-jari lingkaran ini.

Bukti 1.MS= MA 1 (sebagai ruas garis singgung)

2.MS = MV 1 (sebagai ruas garis singgung)

3.A 1 M \u003d MV 1 \u003d √Rr, A 2 N \u003d NB 2 \u003d √Rr (sesuai paragraf 1 dan 2 )

Pernyataan yang digunakan dalam pembuktian Ruas garis singgung yang ditarik dari satu titik ke suatu lingkaran adalah sama. Kami menggunakan properti ini untuk kedua lingkaran yang diberikan.

§ 2.3 Properti 3

Panjang ruas garis singgung dalam yang tertutup antara garis singgung luar sama dengan panjang ruas garis singgung luar antara titik kontak dan sama dengan dua jari-jari rata-rata geometrik dari lingkaran-lingkaran ini.

Bukti Kesimpulan ini mengikuti dari properti sebelumnya.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Properti 4

Segitiga yang dibentuk oleh pusat lingkaran singgung dan titik tengah ruas garis singgung antara jari-jari yang ditarik ke titik singgung berbentuk persegi panjang. Rasio kakinya sama dengan hasil bagi akar jari-jari lingkaran ini.

Bukti 1.MO 1 adalah garis bagi sudut A 1 MC, MO 2 adalah garis bagi sudut B 1 MC, karena Pusat lingkaran yang ditulisi suatu sudut terletak pada garis bagi sudut itu.

2. Menurut paragraf 1 РО 1 МS + РСМО 2 = 0,5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.РО 1 MO 2 - lurus. MS - tinggi segitiga O 1 MO 2, karena garis singgung MN tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik ke titik kontak → segitiga О 1 МС dan MO 2 С serupa.

4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr \u003d √r / R (berdasarkan kesamaan)

Pernyataan yang digunakan dalam pembuktian 1) Titik pusat lingkaran pada suatu sudut terletak pada garis bagi sudut tersebut. Kaki-kaki segitiga adalah garis bagi sudut.

2) Menggunakan fakta bahwa sudut yang terbentuk dengan cara ini sama, kita memperoleh bahwa sudut yang kita cari adalah sudut siku-siku. Kami menyimpulkan bahwa segitiga ini memang segitiga siku-siku.

3) Kami membuktikan kesamaan segitiga yang tingginya (karena garis singgung tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik pada titik kontak) membagi segitiga siku-siku, dan dengan kesamaan kami memperoleh rasio yang diinginkan.

§ 2.5 Properti 5

Segitiga yang dibentuk oleh titik kontak lingkaran satu sama lain dan titik potong lingkaran dengan garis singgung adalah segitiga siku-siku. Rasio kakinya sama dengan hasil bagi akar jari-jari lingkaran ini.

Bukti

1. ▲А 1 МС dan ▲СМВ 1 adalah sama kaki → РМА 1 С = РМСА 1 = α, РМВ 1 С = РМСВ 1 = β.

1. 2α + 2β + РА 1 MS + РСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (РА 1 МS + РСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Tetapi RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - langsung → РВ 1 CO 2 = РSV 1 О 2 = p/2 - β = α

1. ▲A 1 MS dan ▲CO 2 B 1 serupa → A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Pernyataan yang digunakan dalam pembuktian 1) Kami melukis jumlah sudut segitiga, menggunakan fakta bahwa mereka sama kaki. Segitiga sama kaki dibuktikan menggunakan sifat persamaan ruas garis singgung.

2) Setelah melukis jumlah sudut sedemikian rupa, kita mendapatkan bahwa dalam segitiga yang ditinjau ada sudut siku-siku, oleh karena itu berbentuk persegi panjang. Bagian pertama dari pernyataan itu terbukti.

3) Dengan kesamaan segitiga (saat membenarkannya, kami menggunakan tanda kesamaan pada dua sudut) kami menemukan rasio kaki-kaki segitiga siku-siku.

§ 2.6 Properti 6

Segi empat yang dibentuk oleh titik-titik perpotongan lingkaran dengan garis singgung adalah trapesium tempat lingkaran dapat ditulisi.

Bukti 1.▲A 1 RA 2 dan ▲B 1 RV 2 sama kaki karena A 1 P \u003d RA 2 dan B 1 P \u003d PB 2 sebagai segmen garis singgung → ▲A 1 RA 2 dan ▲B 1 PB 2 serupa.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, karena sudut yang sesuai yang terbentuk di persimpangan garis potong A 1 B 1 adalah sama.

1. MN - garis tengah menurut properti 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 \u003d 2 √ Rr + 2 √ Rr \u003d 4 √ Rr \u003d A 1 A 2 + B 1 B 2 → dalam trapesium A 2 A 1 B 1 B 2 jumlah dari alasnya sama dengan jumlah sisinya, dan ini merupakan syarat yang perlu dan cukup untuk keberadaan lingkaran bertulis.

Pernyataan yang digunakan dalam pembuktian 1) Mari kita gunakan lagi properti segmen garis singgung. Dengan bantuannya, kami akan membuktikan segitiga sama kaki yang dibentuk oleh titik potong garis singgung dan titik singgung.

2) Dari sini, kesamaan segitiga ini dan paralelisme alasnya akan mengikuti. Atas dasar ini, kami menyimpulkan bahwa segiempat ini adalah trapesium.

3) Menurut sifat (2) yang telah kita buktikan sebelumnya, kita menemukan garis tengah trapesium. Itu sama dengan dua jari-jari rata-rata geometris lingkaran. Dalam trapesium yang dihasilkan, jumlah alasnya sama dengan jumlah sisinya, dan ini merupakan syarat perlu dan cukup untuk keberadaan lingkaran bertulis.

§ 3. Tugas

Mari kita pertimbangkan contoh praktis bagaimana menyederhanakan solusi masalah menggunakan sifat-sifat di atas.

Tugas 1

Pada segitiga ABC, panjang sisi AC = 15 cm Di dalam segitiga tersebut terdapat sebuah lingkaran. Lingkaran kedua menyentuh yang pertama dan sisi AB dan BC. Titik F dipilih pada sisi AB, dan titik M dipilih pada sisi BC sehingga segmen FM merupakan garis singgung persekutuan dengan lingkaran. Hitunglah perbandingan luas segitiga BFM dan segiempat AFMC jika FM adalah 4 cm, dan jarak titik M dari pusat satu lingkaran dua kali lebih jauh dari pusat lingkaran lainnya.

Diberikan: Garis singgung persekutuan FM AC=15cm FM=4cm O 2 M=2O 1 M

Temukan S BFM /S AFMC

Larutan:

1) FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P dan ▲BO 2 Q mirip → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0.25;BP = 4/3

4) FM+BP=16/3, S FBM=r*P FBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5) S ABC \u003d R * R ABC \u003d 4 * (61/3) \u003d 244/3 → S BFM / S AFMC \u003d (16/3): (244/3) \u003d 4/61

Tugas 2

Dua lingkaran singgung dengan titik persekutuannya D dan garis singgung persekutuan FK yang melewati titik ini tertulis dalam segitiga sama kaki ABC. Hitunglah jarak antara pusat-pusat lingkaran tersebut jika alas segitiga AC = 9 cm, dan ruas sisi samping segitiga yang diapit oleh titik-titik kontak kedua lingkaran tersebut adalah 4 cm.

Diberikan: ABC adalah segitiga sama kaki; FK adalah garis singgung persekutuan dari lingkaran-lingkaran bertulis. AC = 9 cm; T = 4 cm

Larutan:

Misalkan garis AB dan CD berpotongan di titik O. Maka OA = OD, OB = OC, jadi CD = AB = 2√Rr

Titik O 1 dan O 2 terletak pada garis bagi sudut AOD. Garis bagi segitiga sama kaki AOD adalah tingginya, jadi AD ┴ O 1 O 2 dan BC ┴ O 1 O 2, jadi

AD ║ BC dan ABCD adalah trapesium sama kaki.

Segmen MN adalah garis tengahnya, jadi AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Oleh karena itu, sebuah lingkaran dapat ditorehkan pada trapesium ini.

Misalkan AP adalah tinggi trapesium, segitiga siku-siku АРВ dan О 1 FO 2 sebangun, jadi АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .

Dari sini kita menemukan itu

Bibliografi

• Tambahan surat kabar "Pertama September" "Matematika" No. 43, 2003
• GUNAKAN 2010. Matematika. Tugas C4. Gordin R.K.