Titik sudut segitiga diberikan secara online. Bagaimana cara belajar memecahkan masalah dalam geometri analitik? Masalah khas dengan segitiga di pesawat. Menggunakan titik sudut segitiga

Bagaimana cara belajar memecahkan masalah dalam geometri analitik?
Masalah khas dengan segitiga di pesawat

Pembelajaran ini dibuat tentang pendekatan garis khatulistiwa antara geometri bidang dan geometri ruang. Saat ini, ada kebutuhan untuk mensistematisasikan akumulasi informasi dan menjawab pertanyaan yang sangat penting: bagaimana cara belajar memecahkan masalah dalam geometri analitik? Kesulitannya adalah Anda dapat menemukan masalah geometri yang jumlahnya tak terbatas, dan tidak ada buku teks yang memuat banyak dan beragam contoh. Tidak turunan suatu fungsi dengan lima aturan diferensiasi, tabel dan beberapa teknik….

Ada solusinya! Saya tidak akan berbicara keras tentang fakta bahwa saya telah mengembangkan semacam teknik muluk-muluk, namun, menurut pendapat saya, ada pendekatan efektif untuk masalah yang sedang dipertimbangkan, yang memungkinkan bahkan boneka lengkap untuk mencapai hasil yang baik dan luar biasa. Setidaknya algoritma umum untuk memecahkan masalah geometri terbentuk dengan sangat jelas di kepala saya.

APA YANG PERLU ANDA KETAHUI DAN DAPAT DILAKUKAN
untuk berhasil memecahkan masalah geometri?

Tidak ada jalan keluar dari ini - agar tidak menyodok tombol secara acak dengan hidung Anda, Anda perlu menguasai dasar-dasar geometri analitik. Oleh karena itu, jika Anda baru mulai belajar geometri atau sudah benar-benar lupa, silakan mulai pelajarannya Vektor untuk boneka. Selain vektor dan tindakan dengannya, Anda perlu mengetahui konsep dasar geometri bidang, khususnya, persamaan garis pada bidang Dan . Geometri ruang disajikan dalam artikel Persamaan bidang, Persamaan garis dalam ruang, Soal-soal dasar garis lurus dan bidang serta beberapa pelajaran lainnya. Garis lengkung dan permukaan spasial orde kedua agak terpisah, dan tidak banyak masalah khusus dengannya.

Misalkan siswa telah memiliki pengetahuan dan keterampilan dasar dalam memecahkan masalah geometri analitik yang paling sederhana. Tapi yang terjadi seperti ini: Anda membaca pernyataan masalahnya, dan... Anda ingin menutup semuanya, membuangnya ke sudut jauh dan melupakannya, seperti mimpi buruk. Selain itu, hal ini pada dasarnya tidak bergantung pada tingkat kualifikasi Anda, dari waktu ke waktu saya sendiri menghadapi tugas-tugas yang solusinya tidak jelas. Apa yang harus dilakukan dalam kasus seperti itu? Tidak perlu takut dengan tugas yang tidak Anda pahami!

Pertama, harus dipasang - Apakah ini masalah “datar” atau spasial? Misalnya, jika kondisinya memuat vektor-vektor dengan dua koordinat, maka tentu saja ini adalah geometri suatu bidang. Dan jika guru mengisi pendengar yang bersyukur dengan sebuah piramida, maka jelas ada geometri ruang. Hasil dari langkah pertama sudah cukup bagus, karena kami berhasil memotong sejumlah besar informasi yang tidak diperlukan untuk tugas ini!

Kedua. Kondisi ini biasanya membuat Anda khawatir dengan suatu bentuk geometris. Memang, berjalanlah di sepanjang koridor universitas asal Anda, dan Anda akan melihat banyak wajah khawatir.

Dalam soal “datar”, belum lagi titik dan garis yang jelas, bangun datar yang paling populer adalah segitiga. Kami akan menganalisisnya dengan sangat rinci. Berikutnya adalah jajaran genjang, dan yang lebih jarang adalah persegi panjang, persegi, belah ketupat, lingkaran, dan bentuk lainnya.

Dalam masalah spasial, bangun datar yang sama + bidang itu sendiri dan piramida segitiga biasa dengan paralelepiped dapat terbang.

Pertanyaan kedua - Tahukah Anda segalanya tentang sosok ini? Misalkan kondisinya berbicara tentang segitiga sama kaki, dan Anda samar-samar mengingat jenis segitiga itu. Kami membuka buku pelajaran sekolah dan membaca tentang segitiga sama kaki. Apa yang harus dilakukan...kata dokter belah ketupat, itu artinya belah ketupat. Geometri analitik adalah geometri analitik, tetapi masalahnya akan diselesaikan dengan sifat-sifat geometris dari bangun-bangun itu sendiri, yang kita ketahui dari kurikulum sekolah. Jika Anda tidak tahu berapa jumlah sudut suatu segitiga, Anda bisa menderita lama sekali.

Ketiga. SELALU mencoba mengikuti gambarnya(pada draf/salinan akhir/mental), meskipun hal ini tidak diwajibkan oleh syarat. Dalam soal “datar”, Euclid sendiri memerintahkan untuk mengambil penggaris dan pensil - dan tidak hanya untuk memahami kondisinya, tetapi juga untuk tujuan tes mandiri. Dalam hal ini, skala yang paling nyaman adalah 1 unit = 1 cm (2 sel buku catatan). Jangan bicara tentang siswa yang ceroboh dan ahli matematika yang berputar-putar di dalam kubur mereka - hampir tidak mungkin membuat kesalahan dalam soal seperti itu. Untuk tugas spasial, kami melakukan gambar skema, yang juga akan membantu menganalisis kondisi.

Gambar atau gambar skema sering kali memungkinkan Anda untuk segera melihat cara memecahkan suatu masalah. Tentunya untuk itu Anda perlu mengetahui dasar-dasar geometri dan memahami sifat-sifat bangun geometri (lihat paragraf sebelumnya).

Keempat. Pengembangan algoritma solusi. Banyak masalah geometri yang bersifat multi-langkah, sehingga solusi dan desainnya sangat mudah untuk dipecah menjadi poin-poin. Seringkali algoritma langsung terlintas dalam pikiran setelah Anda membaca kondisi atau menyelesaikan gambar. Jika ada kesulitan, kita mulai dengan PERTANYAAN tugas. Misalnya, sesuai dengan kondisi “Anda perlu membuat garis lurus…”. Di sini pertanyaan yang paling logis adalah: “Apa yang cukup diketahui untuk membuat garis lurus ini?” Misalkan, “kita mengetahui suatu titik, kita perlu mengetahui vektor arahnya”. Kita menanyakan pertanyaan berikut: “Bagaimana cara mencari vektor arah ini? Di mana?" dll.

Terkadang ada "bug" - masalahnya tidak terpecahkan dan hanya itu. Alasan penghentiannya mungkin sebagai berikut:

– Kesenjangan serius dalam pengetahuan dasar. Dengan kata lain, Anda tidak mengetahui dan/atau tidak melihat sesuatu yang sangat sederhana.

– Ketidaktahuan tentang sifat-sifat bangun geometri.

– Tugasnya sulit. Ya, itu terjadi. Tidak ada gunanya mengukus berjam-jam dan mengumpulkan air mata di sapu tangan. Mintalah saran dari guru Anda, sesama siswa, atau ajukan pertanyaan di forum. Selain itu, lebih baik membuat pernyataannya spesifik - tentang bagian solusi yang tidak Anda pahami. Seruan berupa “Bagaimana cara mengatasi masalah?” tidak terlihat bagus... dan, yang terpenting, untuk reputasi Anda sendiri.

Tahap lima. Kita putuskan-periksa, putuskan-periksa, putuskan-periksa-berikan jawaban. Akan bermanfaat untuk memeriksa setiap poin tugas segera setelah selesai. Ini akan membantu Anda segera menemukan kesalahannya. Secara alami, tidak ada yang melarang menyelesaikan seluruh masalah dengan cepat, tetapi ada risiko menulis ulang semuanya lagi (seringkali beberapa halaman).

Ini mungkin semua pertimbangan utama yang harus diikuti ketika memecahkan masalah.

Bagian praktis dari pelajaran disajikan dalam geometri bidang. Hanya akan ada dua contoh, tetapi sepertinya tidak cukup =)

Mari kita telusuri alur algoritma yang baru saja saya lihat dalam karya ilmiah kecil saya:

Contoh 1

Tiga simpul jajar genjang diberikan. Temukan yang teratas.

Mari kita mulai memahami:

Langkah pertama: Jelas sekali bahwa kita sedang membicarakan masalah yang “datar”.

Langkah kedua: Soalnya berkaitan dengan jajar genjang. Apakah semua orang ingat sosok jajar genjang ini? Tak perlu tersenyum, banyak orang mengenyam pendidikan pada usia 30-40-50 tahun atau lebih, sehingga fakta sederhana pun bisa terhapus dari ingatan. Pengertian jajar genjang terdapat pada Contoh No. 3 pelajaran Ketergantungan vektor yang linier (bukan). Dasar vektor.

Langkah ketiga: Mari kita membuat gambar yang menandai tiga simpul yang diketahui. Lucunya, tidak sulit untuk segera menyusun poin yang diinginkan:

Membangunnya tentu saja bagus, tetapi solusinya harus dirumuskan secara analitis.

Langkah keempat: Pengembangan algoritma solusi. Hal pertama yang terlintas dalam pikiran adalah bahwa suatu titik dapat ditemukan sebagai perpotongan garis. Kami tidak mengetahui persamaannya, jadi kami harus mengatasi masalah ini:

1) Sisi-sisi yang berhadapan sejajar. Berdasarkan poin Mari kita cari vektor arah sisi-sisinya. Ini adalah masalah paling sederhana yang dibahas di kelas. Vektor untuk boneka.

Catatan: lebih tepat dikatakan “persamaan garis yang memuat suatu sisi”, tetapi di sini dan selanjutnya agar singkatnya saya akan menggunakan frasa “persamaan suatu sisi”, “vektor arah suatu sisi”, dll.

3) Sisi-sisi yang berhadapan sejajar. Dengan menggunakan titik-titik, kita mencari vektor arah sisi-sisi ini.

4) Mari kita buat persamaan garis lurus dengan menggunakan titik dan vektor arah

Di paragraf 1-2 dan 3-4, sebenarnya kita memecahkan masalah yang sama dua kali, omong-omong, ini dibahas di contoh pelajaran No.3 Soal paling sederhana dengan garis lurus pada bidang. Dimungkinkan untuk mengambil rute yang lebih panjang - pertama-tama temukan persamaan garis dan baru kemudian “tarik” vektor arah dari persamaan tersebut.

5) Sekarang persamaan garisnya sudah diketahui. Yang tersisa hanyalah menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan linier yang sesuai (lihat contoh No. 4, 5 dari pelajaran yang sama Soal paling sederhana dengan garis lurus pada bidang).

Intinya telah ditemukan.

Tugasnya cukup sederhana dan solusinya jelas, tetapi ada cara yang lebih singkat!

Solusi kedua:

Diagonal-diagonal jajar genjang dibagi dua oleh titik potongnya. Saya menandai intinya, tetapi agar tidak mengacaukan gambar, saya tidak menggambar diagonalnya sendiri.

Mari kita buat persamaan sisi titik demi titik:

Untuk memeriksanya, Anda harus secara mental atau dalam rancangan mengganti koordinat setiap titik ke dalam persamaan yang dihasilkan. Sekarang mari kita cari kemiringannya. Untuk melakukannya, kita tulis ulang persamaan umum tersebut sebagai persamaan dengan koefisien kemiringan:

Jadi, kemiringannya adalah:

Demikian pula, kita menemukan persamaan sisi-sisinya. Saya tidak melihat ada gunanya menjelaskan hal yang sama, jadi saya akan segera memberikan hasil akhirnya:

2) Tentukan panjang sisinya. Ini adalah masalah paling sederhana yang dibahas di kelas. Vektor untuk boneka. Untuk poin kami menggunakan rumus:

Dengan menggunakan rumus yang sama, mudah untuk mencari panjang sisi lainnya. Pengecekan dapat dilakukan dengan sangat cepat dengan penggaris biasa.

Kami menggunakan rumusnya .

Mari kita cari vektornya:

Dengan demikian:

Ngomong-ngomong, di sepanjang jalan kami menemukan panjang sisinya.

Sebagai akibat:

Tampaknya benar; agar lebih meyakinkan, Anda bisa memasang busur derajat di sudutnya.

Perhatian! Jangan bingung antara sudut segitiga dengan sudut antara garis lurus. Sudut segitiga bisa tumpul, tapi sudut antar garis lurus tidak bisa (lihat paragraf terakhir artikel Soal paling sederhana dengan garis lurus pada bidang). Namun untuk mencari sudut suatu segitiga juga bisa menggunakan rumus-rumus pada pelajaran di atas, namun kasarnya rumus-rumus tersebut selalu memberikan sudut lancip. Dengan bantuan mereka, saya memecahkan masalah ini dalam bentuk draf dan mendapatkan hasilnya. Dan pada salinan terakhir saya harus menuliskan alasan tambahan, yaitu.

4) Tuliskan persamaan garis yang melalui suatu titik yang sejajar dengan garis tersebut.

Tugas standar, dibahas secara rinci pada contoh No. 2 pelajaran Soal paling sederhana dengan garis lurus pada bidang. Dari persamaan umum garis Mari kita ambil vektor panduannya. Mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Bagaimana cara mencari tinggi segitiga?

5) Mari kita buat persamaan tinggi dan cari panjangnya.

Tidak ada jalan keluar dari definisi yang ketat, jadi Anda harus mencuri dari buku pelajaran sekolah:

Tinggi segitiga disebut garis tegak lurus yang ditarik dari titik sudut segitiga ke garis yang memuat sisi berhadapan.

Artinya, perlu dibuat persamaan garis tegak lurus yang ditarik dari titik sudut ke samping. Tugas ini dibahas dalam contoh No. 6, 7 pelajaran Soal paling sederhana dengan garis lurus pada bidang. Dari Persamaan. hapus vektor normal. Mari kita buat persamaan ketinggian menggunakan titik dan vektor arah:

Perlu diketahui bahwa kita tidak mengetahui koordinat titik tersebut.

Terkadang persamaan ketinggian ditemukan dari perbandingan koefisien sudut garis tegak lurus: . Dalam hal ini, maka: . Mari kita buat persamaan tinggi badan menggunakan titik dan koefisien sudut (lihat awal pelajaran Persamaan garis lurus pada bidang datar):

Panjang tinggi badan dapat dicari dengan dua cara.

Ada jalan memutar:

a) temukan – titik potong tinggi dan sisi;
b) mencari panjang ruas dengan menggunakan dua titik yang diketahui.

Tapi di kelas Soal paling sederhana dengan garis lurus pada bidang rumus yang mudah untuk jarak dari suatu titik ke garis telah dipertimbangkan. Diketahui titik : , diketahui pula persamaan garisnya : , Dengan demikian:

6) Hitung luas segitiga. Di luar angkasa, luas segitiga dihitung secara tradisional menggunakan produk vektor dari vektor, tapi disini kita diberikan sebuah segitiga pada sebuah bidang. Kami menggunakan rumus sekolah:
– Luas segitiga sama dengan setengah hasil kali alas dan tingginya.

Pada kasus ini:

Bagaimana cara mencari median suatu segitiga?

7) Mari kita buat persamaan mediannya.

Median suatu segitiga disebut ruas yang menghubungkan titik sudut suatu segitiga dengan titik tengah sisi yang berhadapan.

a) Temukan titik - tengah sisinya. Kita gunakan rumus koordinat titik tengah suatu ruas. Koordinat ujung-ujung ruas diketahui: , maka koordinat tengahnya:

Dengan demikian:

Mari kita buat persamaan median poin demi poin :

Untuk memeriksa persamaannya, Anda perlu mengganti koordinat titik-titik ke dalamnya.

8) Temukan titik potong tinggi dan median. Saya rasa semua orang telah mempelajari cara melakukan elemen figure skating ini tanpa terjatuh:

Dalam geometri, konsep “titik sudut segitiga” sering dipertimbangkan. Ini adalah titik potong dua sisi suatu gambar. Konsep ini muncul di hampir setiap masalah, jadi masuk akal untuk mempertimbangkannya lebih detail.

Menentukan titik sudut suatu segitiga

Dalam suatu segitiga terdapat tiga titik yang kedua sisinya berpotongan sehingga membentuk tiga sudut. Mereka disebut simpul, dan sisi-sisi di mana mereka bertumpu disebut sisi-sisi segitiga.

Beras. 1. Titik sudut pada suatu segitiga.

Titik sudut pada segitiga ditunjukkan dengan huruf kapital. Oleh karena itu, paling sering dalam matematika, sisi dilambangkan dengan dua huruf latin kapital, setelah nama simpul yang termasuk dalam sisi tersebut. Misalnya sisi AB adalah sisi segitiga yang menghubungkan titik sudut A dan B.

Beras. 2. Penunjukan titik sudut pada segitiga.

Karakteristik konsep

Jika kita mengambil sebuah segitiga yang berorientasi sembarang pada suatu bidang, maka dalam praktiknya akan sangat mudah untuk menyatakan ciri-ciri geometrinya melalui koordinat titik-titik pada gambar ini. Jadi, titik sudut A suatu segitiga dapat dinyatakan sebagai titik dengan parameter numerik tertentu A(x; y).

Dengan mengetahui koordinat titik-titik sudut suatu segitiga, Anda dapat mencari titik potong median, panjang tinggi yang diturunkan ke salah satu sisi bangun, dan luas segitiga.

Untuk melakukan ini, digunakan sifat-sifat vektor yang digambarkan dalam sistem koordinat Cartesian, karena panjang sisi segitiga ditentukan melalui panjang vektor dengan titik-titik di mana simpul-simpul yang bersesuaian dari gambar ini berada.

Menggunakan titik sudut segitiga

Untuk setiap titik sudut segitiga, Anda dapat mencari sudut yang berdekatan dengan sudut dalam gambar tersebut. Untuk melakukan ini, Anda harus memanjangkan salah satu sisi segitiga. Karena pada setiap titik sudut terdapat dua sisi, maka pada setiap titik sudut terdapat dua sudut luar. Sudut luar sama dengan jumlah dua sudut dalam suatu segitiga yang tidak berdekatan.

Beras. 3. Sifat-sifat sudut luar suatu segitiga.

Jika Anda membuat dua sudut luar pada satu titik sudut, keduanya akan sama besar, seperti sudut vertikal.

Apa yang telah kita pelajari?

Salah satu konsep geometri yang penting ketika melihat berbagai jenis segitiga adalah titik sudut. Ini adalah titik di mana kedua sisi sudut suatu bangun geometri tertentu berpotongan. Itu dilambangkan dengan salah satu huruf kapital alfabet Latin. Titik sudut suatu segitiga dapat dinyatakan dalam koordinat x dan y, hal ini membantu menentukan panjang sisi segitiga sebagai panjang suatu vektor.

Uji topiknya

Peringkat artikel

Penilaian rata-rata: 4.2. Total peringkat yang diterima: 153.

BabV. GEOMETRI ANALITIS DI BIDANG

DAN DI RUANG ANGKASA

Bagian ini mencakup tugas-tugas yang dibahas dalam topik “Geometri analitik pada bidang dan ruang”: menyusun berbagai persamaan garis lurus pada bidang dan ruang; menentukan kedudukan relatif garis pada suatu bidang, garis lurus, garis lurus dan bidang, bidang dalam ruang; gambar kurva orde kedua. Perlu dicatat bahwa bagian ini menyajikan masalah-masalah yang bersifat ekonomis, yang penyelesaiannya menggunakan informasi dari geometri analitik pada suatu bidang.

Saat memecahkan masalah geometri analitik, disarankan untuk menggunakan buku teks dari penulis berikut: D.V. Kletenika, N.Sh.Kremer, D.T. Ditulis oleh V.I. Malykhina, karena Literatur ini mencakup lebih banyak tugas yang dapat digunakan untuk belajar mandiri tentang topik ini. Penerapan geometri analitik untuk memecahkan masalah ekonomi disajikan dalam publikasi pendidikan oleh M.S. Krass dan V.I. Ermakova.

Soal 5.1. Diberikan koordinat titik sudut segitigaABC . Diperlukan

a) tuliskan persamaan sisi-sisi segitiga;

b) tuliskan persamaan tinggi segitiga yang ditarik dari titik sudutnyaDENGAN ke sampingAB dan temukan panjangnya;

c) tuliskan persamaan median segitiga yang ditarik dari titik sudutnyaDI DALAM ke sampingAC ;

d) mencari sudut-sudut segitiga dan menentukan jenisnya (persegi panjang, lancip, tumpul);

e) mencari panjang sisi-sisi segitiga dan menentukan jenisnya (skala, sama kaki, sama sisi);

e) carilah koordinat pusat gravitasi (titik potong median) segitiga tersebutABC ;

g) carilah koordinat orthocenter (titik potong ketinggian) segitiga tersebutABC .

Untuk setiap titik a) – c) penyelesaiannya, buatlah gambar dalam sistem koordinat. Pada gambar, tandai garis dan titik yang sesuai dengan poin tugas.

Contoh 5.1

Diberikan koordinat titik sudut segitigaABC : . Penting untuk a) menuliskan persamaan sisi-sisi segitiga; b) tuliskan persamaan tinggi segitiga yang ditarik dari titik sudutnya DENGAN ke sampingAB dan temukan panjangnya; c) tuliskan persamaan median segitiga yang ditarik dari titik sudutnyaDI DALAM ke sampingAC ; d) mencari panjang sisi-sisi segitiga dan menentukan jenisnya (skala, sama kaki, sama sisi); e) mencari sudut-sudut segitiga dan menentukan jenisnya (persegi panjang, lancip, tumpul); e) carilah koordinat pusat gravitasi (titik potong median) segitiga tersebut ABC ; g) carilah koordinat orthocenter (titik potong ketinggian) segitiga tersebutABC .

Larutan

A) Untuk setiap sisi segitiga diketahui koordinat dua titik yang terletak pada garis yang dipersyaratkan, artinya persamaan sisi-sisi segitiga adalah persamaan garis yang melalui dua titik tertentu.

Di mana
Dan
koordinat titik-titik yang sesuai.

Jadi, dengan mensubstitusikan koordinat titik-titik yang bersesuaian dengan garis lurus ke dalam rumus (5.1), kita peroleh

,
,
,

dari mana, setelah transformasi, kita menuliskan persamaan sisi-sisinya

Pada Gambar. 7 kita menggambarkan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
lurus.

Menjawab:

B) Membiarkan
– tinggi yang ditarik dari titik sudut ke samping
. Karena
melewati suatu titik tegak lurus terhadap vektor
, maka kita akan menyusun persamaan garis lurus dengan menggunakan rumus berikut

Di mana
– koordinat vektor yang tegak lurus terhadap garis yang diinginkan,
– koordinat suatu titik yang termasuk dalam garis ini. Temukan koordinat vektor yang tegak lurus garis
, dan substitusikan ke dalam rumus (5.2)

,
,

.

Temukan panjang tingginya CH sebagai jarak dari titik ke garis lurus

Di mana
– persamaan garis lurus
,
– koordinat titik .

Pada paragraf sebelumnya ditemukan

Mengganti data ke dalam rumus (5.3), kita memperoleh

,

Pada Gambar. 8 Gambarlah sebuah segitiga dan tinggi yang didapat CH.

Menjawab: .

V) median
segi tiga
membagi sisinya
menjadi dua bagian yang sama, yaitu. dot adalah titik tengah segmen tersebut
. Berdasarkan ini, Anda dapat menemukan koordinatnya
poin

Di mana
Dan
Dan , mengganti yang mana ke dalam rumus (5.4), kita peroleh

;
.

Persamaan median
segi tiga
Mari kita tuliskan sebagai persamaan garis yang melalui titik-titik tersebut
Dan
menurut rumus (5.1)

,

.

Menjawab:(Gbr. 9).

G) Kita mencari panjang sisi-sisi segitiga sebagai panjang vektor-vektor yang bersesuaian, yaitu.

,
,
.

Para Pihak
Dan
segi tiga
sama artinya segitiga tersebut sama kaki dengan alasnya
.

Menjawab: segi tiga
sama kaki dengan alas
;

,
.

D) Sudut-sudut suatu segitiga
mari kita cari sudut antara vektor-vektor yang berasal dari titik-titik sudut yang bersesuaian dari suatu segitiga tertentu, mis.

,
,
.

Karena segitiga sama kaki dengan alasnya
, Itu

,

Kami menghitung sudut antara vektor menggunakan rumus (4.4), yang membutuhkan produk skalar dari vektor
,
.

Mari kita cari koordinat dan besaran vektor yang diperlukan untuk menghitung sudut

,
;

,
,
.

Mengganti data yang ditemukan ke dalam rumus (4.4), kita memperoleh

,

Karena kosinus semua sudut yang ditemukan adalah positif, maka segitiga tersebut
bersudut lancip.

Menjawab: segi tiga
sudut lancip;

,
,
.

e) Membiarkan

, lalu koordinatnya
poin
dapat dicari dengan menggunakan rumus (5.5)

Di mana
,
Dan
– koordinat titik masing-masing , Dan , karena itu,

,
.

Menjawab:
– pusat gravitasi segitiga
.

Dan) Membiarkan – ortopusat segitiga
. Temukan koordinat titik tersebut sebagai koordinat titik potong ketinggian segitiga. Persamaan Tinggi Badan
ditemukan di B). Mari kita cari persamaan ketinggiannya
:

,
,

.

Karena
, maka solusi sistemnya

adalah koordinat titik tersebut , di mana kita menemukan
.

Menjawab:
– ortopusat segitiga
.

Soal 5.2. Biaya tetap pada suatu perusahaan pada saat memproduksi produk tertentu adalahF V 0 menggosok. per unit produksi, dengan pendapatan sebesarR 0 menggosok. per unit produk yang diproduksi. Buat fungsi keuntunganP (Q ) (Q

Data untuk kondisi masalah yang sesuai dengan opsi:

Contoh 5.2

Biaya tetap pada suatu perusahaan pada saat memproduksi produk tertentu adalah
menggosok. per bulan, biaya variabel –
menggosok. per unit produksi, dengan pendapatan sebesar
menggosok. per unit produk yang diproduksi. Buat fungsi keuntunganP (Q ) (Q – jumlah produk yang dihasilkan); buat grafiknya dan tentukan titik impasnya.

Larutan

Mari kita hitung total biaya produksi pada saat rilis Q unit beberapa produk

Jika dijual Q unit produksi, maka total pendapatannya adalah

Berdasarkan fungsi total pendapatan dan total biaya yang diperoleh, kita mencari fungsi keuntungan

,

.

Titik impas – titik dimana keuntungan sama dengan nol, atau titik dimana total biaya sama dengan total pendapatan

,

,

dari mana kita menemukannya?

- impas.

Untuk memplot grafik (Gbr. 10) dari fungsi keuntungan, kita akan menemukan satu titik lagi

Menjawab: fungsi keuntungan
, impas
.

Soal 5.3. Hukum penawaran dan permintaan suatu produk tertentu masing-masing ditentukan oleh persamaanP = P D (Q ), P = P S (Q ), Di manaP – harga produk,Q - jumlah barang. Diasumsikan bahwa permintaan hanya ditentukan oleh harga produk di pasarP DENGAN , dan tawarannya hanya berdasarkan hargaP S diterima oleh pemasok. Diperlukan

a) menentukan titik keseimbangan pasar;

b) titik keseimbangan setelah diberlakukannya pajak sama denganT . Menentukan kenaikan harga dan penurunan volume penjualan keseimbangan;

c) mencari subsidiS , yang akan menyebabkan peningkatan penjualan sebesarQ 0 unit relatif terhadap aslinya (didefinisikan dalam paragraf a));

d) menemukan titik keseimbangan baru dan pendapatan pemerintah ketika mengenakan pajak yang sebanding dengan harga dan setaraN %;

e) menentukan berapa banyak uang yang akan dikeluarkan pemerintah untuk membeli surplus ketika menetapkan harga minimum yang sama P 0 .

Untuk setiap titik penyelesaian, buatlah gambar sistem koordinatnya. Pada gambar, tandai garis dan titik yang sesuai dengan titik tugas.

Data untuk kondisi masalah yang sesuai dengan opsi: