Bidang vektor potensial dan solenoida. Definisi medan vektor. Bidang gradien. Bidang potensial, kondisi potensi Menetapkan potensi bidang dan menemukan potensinya

Teori medan

Juga dikenal sebagai analisis vektor. Dan untuk beberapa, analisis vektor, yang dikenal sebagai teori medan =) Akhirnya, kita sampai pada topik yang paling menarik!Bagian matematika tingkat tinggi ini tidak bisa disebut sederhana, tetapi di artikel mendatang saya akan mencoba mencapai dua tujuan:

a) agar setiap orang mengerti tentang apa percakapan itu;

b) dan bahwa "boneka" belajar memecahkan setidaknya hal-hal sederhana - setidaknya pada tingkat tugas yang ditawarkan kepada siswa paruh waktu.

Semua materi akan disajikan dalam gaya populer, dan jika Anda membutuhkan informasi yang lebih teliti dan lengkap, maka Anda dapat mengambil, misalnya, Fichtenholtz jilid ke-3 atau melihat Wiki.

Mari kita uraikan judulnya segera. Dengan teori, saya pikir semuanya jelas - dalam tradisi terbaik situs ini, kami akan menganalisis dasar-dasarnya dan fokus pada praktik. Nah, dengan apa Anda mengasosiasikan kata "bidang"?

Lapangan rumput, lapangan sepak bola…. Lagi? Bidang kegiatan, bidang percobaan. Salam kemanusiaan! ... Dari kursus sekolah? Medan listrik, magnet, elektromagnetik... baiklah. Medan gravitasi Bumi tempat kita berada. Besar! Jadi yang mengatakan bahwa tentang lapangan sah Dan bilangan kompleks? … beberapa monster telah berkumpul di sini! =) Bagus, aljabar sudah berlalu.

Pada pelajaran selanjutnya, kita akan mengenal konsep spesifiknya bidang, contoh spesifik dari kehidupan, dan juga belajar bagaimana memecahkan masalah tematik analisis vektor. Teori lapangan paling baik dipelajari, seperti yang Anda duga, di lapangan - alam, di mana ada hutan, sungai, danau, rumah desa, dan saya mengundang semua orang untuk membenamkan diri, jika tidak dalam kenyataan musim panas yang hangat, maka dalam kenangan yang menyenangkan:

Bidang dalam arti dianggap hari ini adalah skalar Dan vektor, dan kita akan mulai dengan "batu bata" mereka.

Pertama, skalar. Cukup sering, istilah ini disalahartikan dengan nomor. Tidak, semuanya sedikit berbeda: skalar adalah besaran yang masing-masing nilainya dapat dinyatakan satu nomor saja. Dalam fisika, contohnya adalah massa: panjang, lebar, luas, volume, kerapatan, suhu, dll. Semua ini adalah besaran skalar. Dan omong-omong, massa juga merupakan contoh.

Kedua, vektor. Saya menyentuh definisi aljabar vektor dalam pelajaran tentang transformasi linier dan salah satu inkarnasi pribadinya tidak mungkin untuk tidak tahu=) Khas vektor menyatakan dua atau lebih angka(dengan koordinatnya). Dan bahkan untuk vektor satu dimensi satu nomor saja tidak cukup- karena vektor memiliki arah yang berbeda. Dan titik aplikasinya, jika vektornya tidak lajang. Vektor mencirikan medan fisik gaya, kecepatan, dan banyak besaran lainnya.

Nah, sekarang Anda bisa mulai memanen mentimun alumunium:

Bidang skalar

Jika setiap poin dari beberapa bidang ruang diberi nomor tertentu (sering sah), maka kita mengatakan bahwa dalam domain ini bidang skalar.

Pertimbangkan, misalnya, garis tegak lurus sinar. Tempelkan sekop untuk kejelasan =) Apa bidang skalar bisa di setting di beam ini? Hal pertama yang muncul adalah bidang ketinggian- ketika setiap titik balok diberi ketinggian di atas permukaan tanah. Atau, misalnya, medan tekanan atmosfer- di sini, setiap titik balok sesuai dengan nilai numerik tekanan atmosfer pada titik tertentu.

Sekarang mari kita mendekati danau dan secara mental menggambar sebuah pesawat di atas permukaannya. Jika setiap titik fragmen "air" pada bidang diberi kedalaman danau, maka, silakan, bidang skalar ditetapkan. Pada titik yang sama, besaran skalar lainnya dapat dipertimbangkan, misalnya suhu permukaan air.

Properti paling penting dari medan skalar adalah miliknya invarian relatif terhadap sistem koordinat. Jika diterjemahkan ke dalam bahasa manusia, tidak peduli dari sisi mana kita melihat sekop / danau - medan skalar (tinggi, kedalaman, suhu, dll.) ini tidak akan berubah. Selain itu, medan skalar, katakanlah, kedalaman, dapat diberikan pada permukaan lain, misalnya pada permukaan yang sesuai belahan bumi, atau langsung di permukaan air itu sendiri. Mengapa tidak? Apakah tidak mungkin memberi nomor pada setiap titik di belahan bumi yang terletak di atas danau? Saya menyarankan pesawat semata-mata demi kenyamanan.

Mari tambahkan satu koordinat lagi. Ambil batu di tangan Anda. Setiap titik batu ini dapat dikaitkan dengannya kepadatan fisik. Dan lagi - dalam sistem koordinat apa pun yang kita anggap, tidak peduli bagaimana kita memutarnya di tangan kita - bidang kerapatan skalar akan tetap tidak berubah. Namun, beberapa orang mungkin membantah fakta ini =) Begitulah batu filsuf.

Dari sudut pandang matematika murni (di luar fisik atau rasa pribadi lainnya) bidang skalar secara tradisional ditentukan oleh fungsi "biasa" kami satu , dua , tiga dan lebih banyak variabel. Pada saat yang sama, dalam teori medan, atribut tradisional dari fungsi-fungsi ini, seperti, domain, garis dan permukaan rata.

Dengan ruang tiga dimensi, semuanya serupa:
- di sini, setiap titik yang dapat diterima dalam ruang dikaitkan dengan vektor dengan permulaan pada titik tertentu. "Admisibilitas" ditentukan oleh domain definisi fungsi, dan jika masing-masing didefinisikan untuk semua "x", "y", "z", maka bidang vektor akan diberikan di seluruh ruang.

! Notasi : bidang vektor juga dilambangkan dengan huruf atau , dan komponennya dengan atau masing-masing.

Dari apa yang telah dikatakan sejak lama dan jelas dapat disimpulkan bahwa, setidaknya secara matematis, bidang skalar dan vektor dapat didefinisikan di seluruh ruang. Namun, saya tetap berhati-hati dengan contoh fisik yang sesuai, karena konsep seperti suhu, gravitasi(atau lainnya) di suatu tempat mungkin tidak ada sama sekali. Tapi ini bukan lagi horor, tapi fiksi ilmiah =) Dan bukan hanya fiksi ilmiah. Karena di dalam batu angin biasanya tidak bertiup.

Perlu dicatat bahwa beberapa bidang vektor (bidang kecepatan yang sama) berubah dengan cepat dari waktu ke waktu, dan oleh karena itu, dalam banyak model fisik, variabel independen tambahan dipertimbangkan. Omong-omong, hal yang sama berlaku untuk bidang skalar - suhu, pada kenyataannya, juga tidak "membeku" dalam waktu.

Namun, dalam kerangka matematika, kita akan membatasi diri pada trinitas, dan ketika bidang-bidang seperti itu "bertemu" yang kita maksudkan adalah suatu titik waktu atau waktu tertentu di mana bidang tersebut tidak memiliki waktu untuk berubah.

garis vektor

Jika bidang skalar dijelaskan garis dan permukaan rata, maka "bentuk" medan vektor dapat dicirikan garis vektor. Mungkin, banyak orang mengingat pengalaman sekolah ini: sebuah magnet diletakkan di bawah selembar kertas, dan di atasnya (Lihat!) serbuk besi mengalir keluar, yang hanya "berbaris" di sepanjang garis lapangan.

Saya akan mencoba merumuskannya dengan cara yang lebih sederhana: setiap titik garis vektor adalah awal vektor medan, yang terletak pada garis singgung di titik yang diberikan:

Tentu saja, vektor garis dalam kasus umum memiliki panjang yang berbeda, jadi pada gambar di atas, ketika bergerak dari kiri ke kanan, panjangnya bertambah - di sini kita dapat berasumsi bahwa kita sedang mendekati, misalnya, sebuah magnet. Dalam medan fisik gaya, garis vektor disebut - garis kekuatan. Contoh lain yang lebih sederhana adalah medan gravitasi bumi: garis gayanya adalah sinar dengan asal di pusat planet, dan vektor gravitasi terletak langsung pada balok itu sendiri.

Garis vektor bidang kecepatan disebut baris saat ini. Sekali lagi bayangkan badai debu - partikel debu bersama dengan molekul udara hanya bergerak di sepanjang garis ini. Demikian pula dengan sungai: lintasan yang dilalui molekul cairan (dan tidak hanya) bergerak - dalam arti literal, adalah arus. Secara umum, banyak konsep teori medan berasal dari hidrodinamika, yang akan kita temui lebih dari satu kali.

Jika medan vektor "datar" diberikan oleh fungsi bukan nol , maka garis gayanya dapat ditemukan dari persamaan diferensial. Solusi dari persamaan ini ditetapkan keluarga garis vektor pada bidang. Kadang-kadang dalam tugas diperlukan untuk menggambar beberapa garis seperti itu, yang biasanya tidak menimbulkan kesulitan - mereka memilih beberapa nilai "ce" yang nyaman, menggambar beberapa hiperbola, dan pesan.

Dengan bidang vektor spasial, situasinya lebih menarik. Garis kekuatannya ditentukan oleh hubungan. Di sini Anda perlu memutuskan sistem dua persamaan diferensial dan mendapatkan dua keluarga permukaan spasial. Garis persimpangan keluarga ini akan menjadi garis vektor spasial. Jika semua komponen ("pe", "ku", "er") bukan nol, maka ada beberapa solusi teknis. Saya tidak akan mempertimbangkan semua cara ini (karena artikel akan tumbuh ke ukuran yang tidak senonoh), tetapi saya akan fokus pada kasus khusus umum ketika salah satu komponen bidang vektor sama dengan nol. Mari kita tuliskan semua opsinya segera:

jika , maka perlu untuk memecahkan sistem ;
jika , maka sistem ;
dan jika , maka .

Dan sesuatu yang tidak diizinkan untuk waktu yang lama kami tidak berlatih:

Contoh 1

Temukan garis medan dari medan vektor

Larutan: dalam masalah ini, jadi kami memecahkan sistem:

Maknanya sangat sederhana. Jadi, jika fungsi tersebut mendefinisikan medan skalar dari kedalaman danau, maka fungsi vektor yang sesuai akan menentukan himpunan tersebut tidak gratis vektor, yang masing-masing menunjukkan arah bangun secepat mungkin bawah pada satu titik atau yang lain dan kecepatan kenaikan ini.

Jika fungsi menentukan medan suhu skalar dari suatu wilayah ruang, maka medan vektor yang sesuai mencirikan arah dan kecepatan pemanasan tercepat ruang di setiap titik di daerah ini.

Mari kita menganalisis masalah matematika umum:

Contoh 3

Diberikan sebuah medan skalar dan sebuah titik. Diperlukan:

1) menyusun fungsi gradien bidang skalar;

Yang perbedaan potensial .

Dengan kata lain, hanya titik awal dan akhir rute yang penting di medan potensial. Dan jika titik-titik ini bertepatan, maka total kerja gaya dalam loop tertutup akan sama dengan nol:

Ayo ambil bulu dari tanah dan kirimkan ke titik awal. Dalam hal ini, lintasan pergerakan kita kembali berubah-ubah; Anda bahkan dapat menjatuhkan pena, mengambilnya lagi, dll.

Mengapa hasil akhirnya nol?

Apakah pena jatuh dari titik "a" ke titik "menjadi"? Menjatuhkan. Gaya gravitasi telah berhasil.

Apakah pena memukul kembali ke titik "a"? Mengerikan. Dan ini berarti pekerjaan yang persis sama telah dilakukan melawan gravitasi, dan tidak masalah dengan "petualangan" apa dan dengan kekuatan apa - tapi setidaknya angin meniupnya kembali.

Catatan : dalam fisika, tanda minus melambangkan arah yang berlawanan.

Jadi, total kerja gaya adalah nol:

Seperti yang telah saya catat, konsep kerja fisik dan filistin berbeda. Dan perbedaan ini akan membantu Anda untuk memahami dengan baik bukan bulu atau bahkan batu bata, tetapi, misalnya, piano :)

Bersama-sama angkat piano dan turunkan menuruni tangga. Seret di sepanjang jalan. Sebanyak yang Anda inginkan dan di mana Anda inginkan. Dan jika tidak ada yang disebut bodoh, kembalikan instrumen itu. Apakah kamu bekerja? Tentu. Sampai keringat ketujuh. Tetapi dari sudut pandang fisika, tidak ada pekerjaan yang dilakukan.

Ungkapan "perbedaan potensial" menggoda untuk berbicara lebih banyak tentang medan elektrostatik potensial, tetapi entah bagaimana mengejutkan pembaca Anda sama sekali tidak manusiawi =) Selain itu, tidak ada habisnya contoh, karena potensial adalah bidang gradien apa pun, yang jumlahnya selusin sepeser pun.

Tapi mudah untuk mengatakan "selusin sepeser pun": ini adalah bidang vektor yang diberikan kepada kita - bagaimana menentukan apakah itu potensial atau tidak?

Rotor bidang vektor

Atau dia pusaran komponen, yang juga dinyatakan oleh vektor.

Sekali lagi, ambil bulu itu di tangan kami dan kirimkan dengan hati-hati untuk mengapung di sungai. Untuk kemurnian percobaan, kami akan menganggap bahwa itu homogen dan simetris di sekitar pusatnya. Porosnya mencuat.

Mempertimbangkan bidang vektor kecepatan arus, dan beberapa titik di permukaan air, di atasnya terdapat pusat bulu.

Jika di titik yang diberikan pulpen berputar berlawanan arah jarum jam, lalu kita letakkan sejajar dengan keluarnya tidak gratis vektor atas. Pada saat yang sama, semakin cepat pena berputar, semakin lama vektor ini, ... entah mengapa menurut saya begitu hitam-hitam di bawah sinar matahari yang cerah .... Jika rotasi searah jarum jam, maka vektor "melihat" ke bawah. Jika pena tidak berputar sama sekali, maka vektornya nol.

Temui - ini vektor rotor bidang vektor kecepatan, itu mencirikan arah "pusaran" cairan masuk titik yang diberikan dan kecepatan sudut rotasi pena (tetapi bukan arah dan bukan kecepatan arus itu sendiri!).

Cukup jelas bahwa semua titik sungai (termasuk yang "di bawah air") memiliki vektor putar, jadi untuk medan vektor dari kecepatan arus kami telah mendefinisikan bidang vektor baru!

Jika medan vektor diberikan oleh fungsi , maka medan putarnya diberikan sebagai berikut fungsi vektor:

Dalam hal ini, jika vektor bidang putar sungai besar dalam modulus dan cenderung berubah arah, ini tidak berarti bahwa kita berbicara tentang sungai yang berkelok-kelok dan gelisah (kembali ke contoh). Situasi seperti itu juga dapat diamati di saluran lurus - ketika, misalnya, kecepatannya lebih tinggi di tengah, dan lebih rendah di dekat pantai. Artinya, rotasi pena dihasilkan laju aliran yang berbeda V berdekatan baris saat ini.

Di sisi lain, jika vektor rotornya pendek, maka itu bisa menjadi sungai pegunungan yang "berkelok-kelok"! Penting bahwa di garis arus yang berdekatan kecepatan arus (cepat atau lambat) sedikit berbeda.

Dan akhirnya, jawaban untuk pertanyaan di atas: di setiap titik medan potensial, ikalnya adalah nol:

Lebih tepatnya, vektor nol.

Medan potensial disebut juga irrotasional bidang.

Aliran "ideal", tentu saja, tidak ada, tetapi cukup sering orang dapat mengamatinya bidang kecepatan sungai mendekati potensi - berbagai benda mengapung dengan tenang ke dirinya sendiri dan tidak berputar, ... apakah Anda juga menyajikan gambar ini? Namun, mereka bisa berenang dengan sangat cepat, dan di sepanjang tikungan, lalu melambat, lalu berakselerasi - penting agar kecepatan arus masuk garis arus yang berdekatan disimpan konstan.

Dan, tentu saja, medan gravitasi fana kita. Untuk percobaan berikutnya, benda apa pun yang cukup berat dan homogen sangat cocok, misalnya buku tertutup, kaleng bir yang belum dibuka, atau, omong-omong, batu bata yang telah menunggu di sayap =) Pegang ujungnya dengan tangan Anda , angkat dan lepaskan dengan lembut agar jatuh bebas. Dia tidak akan berputar. Dan jika ya, maka itu adalah "usaha pribadi" Anda atau batu batanya salah. Jangan malas dan periksa fakta ini! Jangan membuang apa pun ke luar jendela, itu bukan pulpen lagi

Setelah itu, dengan hati nurani yang bersih dan nada yang meningkat, Anda dapat kembali ke tugas-tugas praktis:

Contoh 5

Tunjukkan bahwa medan vektor potensial dan temukan potensinya

Larutan: kondisi secara langsung menegaskan potensi lapangan, dan tugas kita adalah membuktikan fakta ini. Mari kita temukan fungsi putar atau, seperti yang sering mereka katakan, rotor dari bidang yang diberikan:

Untuk kenyamanan, kami menulis komponen bidang:

dan mulai menemukan mereka turunan parsial- lebih mudah untuk "mengurutkan" mereka dalam urutan "berputar", dari kiri ke kanan:
- Dan langsung kami memeriksa itu (agar tidak melakukan pekerjaan ekstra jika hasilnya tidak nol). Kami melangkah lebih jauh:

Dengan demikian:
, oleh karena itu, medannya potensial, dan karenanya, adalah fungsi gradien beberapa bidang skalar yang diberikan oleh potensi.

Teorema 1 Agar medan vektor yang diberikan di wilayah T menjadi solenoida, perlu dan cukup medan ini menjadi medan rotor dari beberapa vektor, yaitu. sehingga terdapat vektor yang memenuhi syarat di semua titik daerah T

Bukti.

Kecukupan. Kita punya

Kebutuhan. Membiarkan

Mari kita cari fungsi sehingga

Di bawah ini kami akan menunjukkan bahwa fungsi didefinisikan secara ambigu, sehingga kondisi tambahan dapat dikenakan pada fungsi ini. Membiarkan

Mari kita pilih fungsi

Mari kita tunjukkan bahwa fungsi-fungsi ini memenuhi sistem persamaan (1). Memang kita punya

Memang, fungsi yang dibangun memenuhi kondisi

Fungsi ini disebut potensial vektor.

Dalam membuktikan teorema, kami mengusulkan metode yang memungkinkan kami menentukan potensi vektor medan.

Keterangan 1. Jika suatu fungsi merupakan potensial vektor suatu bidang, maka fungsi tersebut

dimana adalah fungsi skalar arbitrer, juga potensial vektor medan.

Bukti.

Oleh karena itu, potensi vektor didefinisikan secara ambigu.

Contoh 1: Tunjukkan bidang itu

Larutan. Kita punya.

Menghitung

Fungsi yang ditemukan adalah potensi vektor yang diinginkan. Mari kita verifikasi pernyataan ini, mis. menemukan rotor:

Kondisi terpenuhi. Sangat mudah untuk memeriksa bahwa potensi vektor bidang ini dapat menjadi fungsi yang lebih simetris

Contoh 2: Tunjukkan bidang itu

solenoidal dan temukan potensi vektor bidang ini.

Larutan. Kita punya.

Menghitung

Mari kita periksa:

Kondisi terpenuhi. Sangat mudah untuk memeriksa bahwa potensi vektor bidang ini dapat menjadi fungsi yang lebih simetris

Dapat dilihat dari contoh di atas bahwa ekspresi potensial vektor untuk bidang yang sama dapat sangat berbeda. Ini disebabkan oleh fakta bahwa gradien fungsi skalar apa pun dapat ditambahkan ke potensi vektor yang ditemukan.

Materi teoretis tentang topik ini disajikan pada hal. 228-236 edisi ini.

Contoh 30. Periksa apakah bidang vektor

sebuah potensi; b) solenoida. Jika bidangnya potensial, temukan potensinya.

Larutan. A) Temukan rotor medan

Oleh karena itu, bidang ini berpotensi.

B) Temukan divergensi bidang

Oleh karena itu, medannya bukan solenoidal.

C) Karena , maka potensial medan dapat dihitung dengan rumus

Integral lengkung dari diferensial total tidak bergantung pada jalur integrasi. Di sini, lebih mudah mengambil asal koordinat sebagai titik awal. Sebagai jalur integrasi, kami mengambil garis putus-putus OAWM(Gbr. 17).

1. Oleh karena itu, pada segmen tersebut

2. Di segmen dari sini

3. Di segmen dari sini

Jadi, di mana konstanta arbitrer.

Akhirnya,

Penugasan untuk pekerjaan kontrol No. 5-8

Nomor tugas dipilih sesuai tabel sesuai dengan dua digit terakhir kode dan huruf pertama nama belakang. Misalnya, siswa Ivanov, kode 1-45-5815, menyelesaikan tugas 5, 15, 21,31 dalam tes kerja 5, tugas 45, 51, 61, 71 dalam tes kerja 6, tugas 85, 91, dalam tes kerja 7, 101, 111, dalam kontrol pekerjaan 8 - tugas 125.135.141.151.

Pemeriksaan No.5

Dalam soal 1-10 temukan solusi umum dari persamaan diferensial orde pertama

Dalam soal 11-20 temukan solusi umum atau integral umum dari persamaan diferensial orde kedua

Dalam soal 21-30 temukan solusi umum persamaan linear orde kedua

Dalam soal 31-40 temukan luas konvergensi deret pangkat

Tes No.6

Pada soal 41-50, luaskan fungsi pada deret Maclaurin, tentukan luas konvergensi deret tersebut

Dalam soal 51-60, bangun domain integrasi dan ubah urutan integrasi

61. Hitung luas permukaan bagian bola , dipotong oleh silinder dan pesawat .

62. Hitung luas bidang datar yang dibatasi oleh garis: dan (di luar parabola).

63. Hitung luas permukaan silinder yang dipotong oleh bidang.

64. Temukan volume benda yang dibatasi oleh permukaan , , , , .

65. Temukan volume benda yang dibatasi oleh permukaan: dan , terletak di oktan I di .

66. Temukan luas pelat datar yang dibatasi oleh garis, .

67. Tentukan luas bagian lingkaran di luar lingkaran (menggunakan koordinat kutub).

68. Hitung massa pelat datar homogen (),

lingkaran dibatasi dan garis lurus dan .

69. Tentukan massa pelat dengan massa jenis , dibatasi oleh garis , , .

70. Carilah massa pelat dengan massa jenisnya diberikan oleh pertidaksamaan: .

Dalam soal 71-80, hitung integral lengkung sepanjang kurva:

Pekerjaan uji No.7

Pada soal 81-86, perluas fungsi-fungsi dalam deret Fourier; membuat grafik dari fungsi yang diberikan

81.

82.

83.

84.

85.

86.

Dalam soal 87, 88, perluas fungsi tersebut menjadi deret Fourier dalam bentuk sinus; plot fungsi yang diberikan.

87.

88.

Dalam Soal 89,90, perluas fungsi tersebut menjadi deret Fourier dalam bentuk kosinus; plot fungsi yang diberikan.

89.

90.

Dalam soal 91-95, selesaikan persamaan gelombang pada segmen tertentu dengan syarat batas menggunakan metode Fourier dan diberikan kondisi awal.

91.

93.

95.

Dalam soal 96-100, selesaikan persamaan kalor pada segmen tertentu menggunakan metode Fourier untuk kondisi awal dan kondisi batas tertentu .

96.

97.

98.

99.

100.

Dalam soal 101-106 hitunglah integral rangkap tiga atas luas T diberikan oleh pertidaksamaan. Membuat gambar.

103.
(saat menghitung integral, buka koordinat silinder).

105. (saat menghitung integral, buka koordinat silinder).

Dalam soal 107-110 temukan massa benda yang diberikan oleh pertidaksamaan dan memiliki kerapatan tertentu . Membuat gambar.

108. (saat menghitung integral rangkap tiga, buka koordinat silinder).

110. (saat menghitung integral rangkap tiga, lanjutkan ke koordinat silinder).

Dalam soal 111-120, hitunglah integral permukaan. Buatlah gambar permukaannya.

111. di mana adalah bagian dari pesawat dibatasi oleh bidang koordinat.

112. - sisi atas bagian silinder parabola yang dibatasi oleh silinder bundar dan pesawat. Saat menghitung integral, alihkan ke koordinat kutub.

113. - bagian dari permukaan silinder, dibatasi oleh bidang

114. , dimana merupakan bagian dari permukaan kerucut , dibatasi oleh bidang dan (saat menghitung integral ganda, alihkan ke koordinat kutub).

115. , - bagian dari silinder bundar, dibatasi oleh bidang

116. - sisi atas kerucut , dibatasi oleh pesawat . Saat menghitung integral, lanjutkan ke koordinat kutub.

117. , dimana sisi atas dari bagian bola . Saat menghitung integral ganda, alihkan ke koordinat kutub.

118. , dimana sisi atas dari bagian pesawat dibatasi oleh bidang koordinat.

119. , - bagian silinder parabola yang dibatasi oleh bidang koordinat dan bidang .

120. ; - sisi atas bagian silinder bundar, dibatasi oleh silinder bundar dan pesawat Ubah ke koordinat kutub.

Tes No.8

Dalam soal 121-130, temukan gradien medan skalar dan periksa apakah medan skalar harmonik.

Dalam soal 131-135 temukan aliran medan vektor melalui bagian permukaan yang terletak di oktan pertama dalam arah normal membentuk sudut lancip dengan sumbu. Membuat gambar.

Dalam soal 136-140, gunakan teorema Ostrogradsky untuk menghitung aliran medan vektor menuju normal luar melalui permukaan benda yang terletak di oktan pertama dan dibatasi oleh permukaan tertentu dan bidang koordinat. Membuat gambar.

Pada soal 141-150, hitunglah sirkulasi medan vektor sepanjang lintasan perpotongan dengan bidang koordinat bagian permukaan yang terletak pada oktan pertama . adalah titik perpotongan permukaan dengan sumbu, masing-masing. Membuat gambar.

Dalam soal 141-145, hitung sirkulasi menggunakan teorema Stokes.

Dalam soal 146-150 hitung sirkulasi menggunakan definisinya.

Dalam tugas 151-160, periksa apakah medan vektor: a) potensial, b) solenoidal. Jika bidangnya potensial, temukan potensinya.

152.

155.

kontrol saat ini

Tugas tes

1. Tentukan persamaan mana yang memiliki solusi berikut .

A) B) V)

2. Tentukan persamaan karakteristik untuk persamaan diferensial

a) b) V)

3. Tentukan pada nilai berapa deret pangkat akan bertemu berdasarkan d'Alembert .

4. Merumuskan interpretasi geometris dari integral ganda.

5. Merumuskan interpretasi geometri integral rangkap tiga.

6. Tentukan tanda potensi medan vektor:

a B C)

Kontrol akhir

Pertanyaan untuk mempersiapkan ujian matematika

(semester III)

Persamaan Diferensial

1. Definisi persamaan diferensial biasa, orde dan penyelesaiannya. Persamaan diferensial orde pertama, medan arah, isoklin.

2. Masalah Cauchy untuk persamaan diferensial orde pertama. Teorema eksistensi dan keunikan untuk solusi masalah Cauchy.

3. Penentuan solusi umum dan khusus (integral) dari persamaan diferensial orde pertama.

4. Persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan, integrasinya.

5. Persamaan linier orde pertama, integrasinya.

6. Persamaan diferensial homogen orde pertama, integrasinya.

7. Persamaan diferensial N urutan ke-th. Masalah Cauchy untuk persamaan diferensial N urutan ke-th. Teorema eksistensi dan keunikan untuk solusi dari masalah Cauchy untuk persamaan N urutan ke-th.

8. Definisi solusi umum dan khusus dari persamaan diferensial N urutan ke-th. Integrasi persamaan bentuk .

9. Persamaan mengakui urutan pengurangan. Metode mengintegrasikan persamaan bentuk , Dimana k< N.

10. Metode untuk mengintegrasikan persamaan bentuk .

11. Definisi persamaan diferensial linier N urutan ke-th. persamaan linier homogen. Sifat-sifat solusi dari persamaan linier homogen.

12. Definisi fungsi bergantung linier dan bebas linier. Contoh.

13. Definisi sistem dasar solusi persamaan homogen linier. Teorema struktur solusi umum persamaan homogen linier N urutan ke-th.

14. TEOREMA STRUKTUR SOLUSI UMUM PERSAMAAN LINEAR INHOMOGEN N urutan ke-th.

15. Persamaan homogen linier dengan koefisien konstan. Metode Euler, persamaan karakteristik.

16. Konstruksi sistem solusi fundamental dan solusi umum persamaan homogen linier N urutan th dalam kasus akar berbeda nyata dari persamaan karakteristik. Contoh.

17. Konstruksi sistem solusi fundamental dan solusi umum persamaan homogen linier N urutan ke dalam kasus akar konjugasi kompleks dari persamaan karakteristik. Contoh.

18. Konstruksi sistem solusi fundamental dan solusi umum persamaan homogen linier N urutan ke dalam kasus akar persamaan karakteristik yang nyata. Contoh.

19. Aturan untuk menemukan solusi tertentu untuk persamaan linier tidak homogen dengan koefisien konstan, jika ruas kanan berbentuk , Dimana adalah polinomial derajat .

20. Aturan untuk menemukan solusi tertentu untuk persamaan linier tidak homogen dengan koefisien konstan, jika ruas kanan berbentuk , dimana .

21. Metode penyelesaian persamaan diferensial tak homogen linier dari bentuk (prinsip superposisi).

22. Sistem persamaan diferensial linier dalam bentuk normal. Masalah Cauchy. Teorema eksistensi dan keunikan untuk solusi masalah Cauchy. Penentuan solusi umum dan khusus dari sistem. Metode eliminasi untuk sistem persamaan diferensial normal.

23. Sistem persamaan diferensial linier. Properti solusi. Memecahkan sistem persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan.

peringkat

24. Seri nomor. Definisi N-jumlah parsial ke-th dari deret tersebut. Konsep konvergensi dan divergensi deret bilangan. Jumlah deret konvergen. Seri geometris.

25. Sifat-sifat deret konvergen: perkalian suatu deret dengan suatu bilangan, penjumlahan deret secara suku.

26. Sisa baris. Teorema konvergensi simultan suatu deret dan sisanya.

27. Kriteria yang diperlukan untuk konvergensi suatu deret. Ilustrasi ketidakcukupannya dengan sebuah contoh.

28. Deret positif. Kondisi perlu dan cukup untuk konvergensi deret positif.

29. Tanda pertama dan kedua perbandingan deret positif.

30. Tanda d'Alembert.

31. Tanda integral dari Cauchy.

32. Deret harmonik umum , di mana P adalah sembarang bilangan real. Perilaku seri di P<1, P=1, P>1.

33. Seri bergantian. Konvergensi absolut dan non-absolut. Teorema tentang kekonvergenan deret yang benar-benar konvergen.

34. Uji Leibniz untuk kekonvergenan deret bolak-balik. Perkiraan kesalahan absolut saat mengganti jumlah deret konvergen dengan jumlah deret pertama N

42. Deret binomial untuk fungsi tersebut.

Definisi 1. Misalkan A adalah medan vektor di daerah tersebut Fungsinya disebut potensial medan A di daerah tersebut jika di daerah tersebut

Definisi 2. Medan yang memiliki potensial disebut medan potensial.

Karena dalam domain terhubung, turunan parsial menentukan fungsi hingga konstanta, maka dalam domain seperti itu potensi medan ditentukan hingga konstanta aditif.

Di bagian pertama kursus, kita sudah membahas secara singkat tentang potensi. Di sini kita membahas konsep penting ini secara mendetail. Sehubungan dengan definisi ini, kami mencatat bahwa dalam fisika, ketika mempertimbangkan berbagai jenis medan gaya, potensial medan biasanya disebut fungsi sedemikian rupa sehingga Potensi tersebut berbeda dari yang diperkenalkan oleh Definisi 1 hanya dalam tanda.

Contoh 1. Intensitas medan gravitasi yang diciptakan oleh massa titik M yang ditempatkan pada titik asal koordinat pada suatu titik dalam ruang dengan radius vektor dihitung menurut hukum Newton dalam bentuk

Ini adalah gaya yang digunakan medan pada satu satuan massa pada titik yang sesuai di ruang angkasa. Medan gravitasi (1)

berpotensi. Potensinya dalam pengertian Definisi 1 adalah fungsinya

Contoh 2. Kekuatan E dari medan listrik muatan titik yang ditempatkan pada titik asal koordinat, pada suatu titik dalam ruang dengan radius vektor dihitung menurut hukum Coulomb