Tindakan dengan kekuatan dengan basis yang sama. Gelar dan sifat-sifatnya. Panduan lengkap (2020). Mari kita kembali ke contoh
Jelas, angka dengan kekuatan dapat ditambahkan seperti jumlah lainnya , dengan menambahkannya satu per satu dengan tanda-tandanya.
Jadi, jumlah a 3 dan b 2 adalah a 3 + b 2 .
Jumlah dari 3 - b n dan h 5 -d 4 adalah 3 - b n + h 5 - d 4 .
Kemungkinan kekuatan yang sama dari variabel yang sama bisa ditambah atau dikurangi.
Jadi, jumlah 2a 2 dan 3a 2 adalah 5a 2 .
Jelas juga bahwa jika kita mengambil dua kotak a, atau tiga kotak a, atau lima kotak a.
Tapi derajat berbagai variabel dan berbagai derajat variabel identik, harus ditambahkan dengan menambahkannya ke tanda-tandanya.
Jadi, jumlah a 2 dan a 3 adalah jumlah a 2 + a 3 .
Jelaslah bahwa kuadrat dari a, dan pangkat tiga dari a, bukanlah dua kali kuadrat dari a, tetapi dua kali pangkat tiga dari a.
Jumlah a 3 b n dan 3a 5 b 6 adalah a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Pengurangan kekuatan dilakukan dengan cara yang sama seperti penambahan, kecuali bahwa tanda-tanda pengurangan harus diubah sesuai dengan itu.
Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Perkalian daya
Bilangan dengan pangkat dapat dikalikan seperti besaran lain dengan menuliskannya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda perkalian di antara bilangan tersebut.
Jadi, hasil perkalian a 3 dengan b 2 adalah 3 b 2 atau aaabb.
Atau:
x -3 a m = a m x -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Hasil pada contoh terakhir dapat diurutkan dengan menambahkan variabel yang sama.
Ekspresi akan berbentuk: a 5 b 5 y 3 .
Dengan membandingkan beberapa bilangan (variabel) dengan pangkat, kita dapat melihat bahwa jika dua bilangan dikalikan, maka hasilnya adalah bilangan (variabel) dengan pangkat yang sama dengan jumlah derajat istilah.
Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Di sini 5 adalah pangkat dari hasil perkalian, sama dengan 2 + 3, jumlah pangkat dari suku-sukunya.
Jadi, a n .a m = a m+n .
Untuk a n , a diambil sebagai faktor sebanyak pangkat n;
Dan a m , diambil sebagai faktor sebanyak derajat m sama dengan;
Jadi, pangkat dengan basis yang sama dapat dikalikan dengan menambahkan eksponen.
Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Atau:
4a n 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Kalikan (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) (x - y).
Jawaban: x 4 - y 4.
Kalikan (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1).
Aturan ini juga berlaku untuk bilangan yang eksponennya - negatif.
1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini dapat ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Jika a + b dikalikan dengan a - b, hasilnya adalah 2 - b 2: yaitu
Hasil perkalian jumlah atau selisih dua bilangan sama dengan jumlah atau selisih kuadratnya.
Jika jumlah dan selisih dua bilangan dijumlahkan menjadi kotak, hasilnya akan sama dengan jumlah atau selisih angka-angka ini dalam keempat derajat.
Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Pembagian derajat
Bilangan dengan pangkat dapat dibagi seperti bilangan lain dengan mengurangkan dari pembagi, atau dengan menempatkannya dalam bentuk pecahan.
Jadi a 3 b 2 dibagi b 2 adalah 3 .
Atau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Menulis 5 dibagi 3 terlihat seperti $\frac(a^5)(a^3)$. Tapi ini sama dengan 2 . Dalam serangkaian angka
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0, a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
setiap nomor dapat dibagi dengan yang lain, dan eksponen akan sama dengan perbedaan indikator bilangan habis dibagi.
Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi..
Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Yaitu, $\frac(yyy)(yy) = y$.
Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yaitu, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Atau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Aturan ini juga berlaku untuk angka dengan negatif nilai derajat.
Hasil pembagian -5 dengan -3 adalah -2.
Juga, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Perkalian dan pembagian pangkat perlu dikuasai dengan baik, karena operasi semacam itu sangat banyak digunakan dalam aljabar.
Contoh penyelesaian contoh pecahan yang mengandung bilangan berpangkat
1. Kurangi pangkat di $\frac(5a^4)(3a^2)$ Jawaban: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Kurangi eksponen dalam $\frac(6x^6)(3x^5)$. Jawaban: $\frac(2x)(1)$ atau 2x.
3. Kurangi eksponen a 2 / a 3 dan a -3 / a -4 dan bawa ke penyebut yang sama.
a 2 .a -4 adalah pembilang pertama -2.
a 3 .a -3 adalah 0 = 1, pembilang kedua.
a 3 .a -4 adalah -1 , pembilang bersama.
Setelah disederhanakan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .
4. Kurangi pangkat 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa ke penyebut yang sama.
Jawaban: 2a 3/5a 7 dan 5a 5/5a 7 atau 2a 3/5a 2 dan 5/5a 2.
5. Kalikan (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.
6. Kalikan (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).
7. Kalikan b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .
8. Bagi 4 /y 3 dengan 3 /y 2 . Jawaban: a/y.
9. Bagi (h 3 - 1)/d 4 dengan (d n + 1)/h.
Konsep gelar dalam matematika diperkenalkan sejak kelas 7 dalam pelajaran aljabar. Dan di masa depan, selama pembelajaran matematika, konsep ini digunakan secara aktif dalam berbagai bentuknya. Derajat - Cukup topik yang sulit, membutuhkan hafalan nilai dan kemampuan berhitung dengan benar dan cepat. Untuk pekerjaan yang lebih cepat dan lebih baik dengan gelar matematika, mereka datang dengan sifat-sifat gelar. Mereka membantu mengurangi perhitungan besar, mengubah contoh besar menjadi satu angka sampai batas tertentu. Tidak begitu banyak properti, dan semuanya mudah diingat dan diterapkan dalam praktik. Oleh karena itu, artikel ini membahas sifat-sifat utama derajat, serta di mana mereka diterapkan.
sifat derajat
Kami akan mempertimbangkan 12 sifat derajat, termasuk sifat pangkat dengan basis yang sama, dan memberikan contoh untuk setiap sifat. Masing-masing properti ini akan membantu Anda memecahkan masalah dengan derajat lebih cepat, serta menyelamatkan Anda dari berbagai kesalahan komputasi.
properti pertama.
Banyak orang sangat sering melupakan properti ini, membuat kesalahan, mewakili angka ke nol derajat sebagai nol.
properti ke-2.
properti ke-3.
Harus diingat bahwa properti ini hanya dapat digunakan saat mengalikan angka, tidak bekerja dengan jumlah! Dan kita tidak boleh lupa bahwa properti ini dan berikut ini hanya berlaku untuk pangkat dengan basis yang sama.
properti ke-4.
Jika angka dalam penyebut dinaikkan ke pangkat negatif, maka saat mengurangkan, derajat penyebut diambil dalam tanda kurung untuk menggantikan tanda dengan benar dalam perhitungan lebih lanjut.
Properti hanya berfungsi saat membagi, bukan saat mengurangkan!
properti ke-5.
properti ke-6.
Properti ini juga dapat diterapkan secara terbalik. Satuan yang dibagi dengan suatu bilangan sampai derajat tertentu adalah bilangan tersebut dengan pangkat negatif.
properti ke-7.
Properti ini tidak dapat diterapkan pada penjumlahan dan perbedaan! Saat menaikkan jumlah atau perbedaan ke pangkat, rumus perkalian yang disingkat digunakan, bukan properti dari pangkat.
properti ke-8.
properti ke-9.
Properti ini bekerja untuk setiap derajat pecahan dengan pembilang sama dengan satu, rumusnya akan sama, hanya derajat akar yang akan berubah tergantung pada penyebut derajat.
Juga, properti ini sering digunakan dalam urutan terbalik. Akar dari pangkat apa pun dari suatu bilangan dapat direpresentasikan sebagai bilangan itu dengan pangkat satu dibagi dengan pangkat dari akarnya. Properti ini sangat berguna dalam kasus di mana akar angka tidak diekstraksi.
properti ke-10.
Properti ini tidak hanya berfungsi dengan akar pangkat dua dan derajat kedua. Jika derajat akar dan derajat di mana akar ini dimunculkan adalah sama, maka jawabannya adalah ekspresi radikal.
properti ke-11.
Anda harus dapat melihat properti ini tepat waktu saat menyelesaikannya untuk menyelamatkan diri dari perhitungan besar.
properti ke-12.
Masing-masing properti ini akan menemui Anda lebih dari sekali dalam tugas, dapat diberikan dalam bentuk murni, atau mungkin memerlukan beberapa transformasi dan penggunaan rumus lain. Oleh karena itu, untuk solusi yang benar, tidak cukup hanya mengetahui sifat-sifatnya, Anda perlu berlatih dan menghubungkan sisa pengetahuan matematika.
Penerapan derajat dan sifat-sifatnya
Mereka secara aktif digunakan dalam aljabar dan geometri. Gelar dalam matematika memiliki tempat yang terpisah dan penting. Dengan bantuan mereka, persamaan dan ketidaksetaraan eksponensial diselesaikan, serta kekuatan sering memperumit persamaan dan contoh yang terkait dengan bagian matematika lainnya. Eksponen membantu menghindari perhitungan besar dan panjang, lebih mudah untuk mengurangi dan menghitung eksponen. Tetapi untuk bekerja dengan kekuatan besar, atau dengan kekuatan jumlah besar, Anda perlu mengetahui tidak hanya sifat-sifat derajat, tetapi juga bekerja dengan basis secara kompeten, dapat menguraikannya untuk membuat tugas Anda lebih mudah. Untuk kenyamanan, Anda juga harus mengetahui arti angka yang dipangkatkan. Ini akan mengurangi waktu Anda dalam memecahkan dengan menghilangkan kebutuhan untuk perhitungan yang panjang.
Konsep derajat memainkan peran khusus dalam logaritma. Karena logaritma, pada dasarnya, adalah kekuatan angka.
Rumus perkalian yang disingkat adalah contoh lain penggunaan pangkat. Mereka tidak dapat menggunakan sifat derajat, mereka didekomposisi menurut aturan khusus, tetapi setiap rumus perkalian yang disingkat selalu mengandung pangkat.
Gelar juga digunakan secara aktif dalam fisika dan ilmu komputer. Semua terjemahan ke dalam sistem SI dibuat menggunakan derajat, dan di masa depan, ketika memecahkan masalah, sifat-sifat derajat diterapkan. Dalam ilmu komputer, kekuatan dua digunakan secara aktif, untuk kenyamanan menghitung dan menyederhanakan persepsi angka. Perhitungan lebih lanjut untuk konversi satuan pengukuran atau perhitungan masalah, seperti dalam fisika, terjadi dengan menggunakan sifat-sifat derajat.
Derajat juga sangat berguna dalam astronomi, di mana Anda jarang dapat menemukan penggunaan sifat-sifat derajat, tetapi derajat itu sendiri secara aktif digunakan untuk mempersingkat pencatatan berbagai besaran dan jarak.
Derajat juga digunakan dalam kehidupan sehari-hari, saat menghitung luas, volume, jarak.
Dengan bantuan derajat, nilai yang sangat besar dan sangat kecil ditulis dalam bidang sains apa pun.
persamaan eksponensial dan pertidaksamaan
Sifat derajat menempati tempat khusus tepatnya dalam persamaan dan pertidaksamaan eksponensial. Tugas-tugas ini sangat umum, baik dalam kursus sekolah maupun dalam ujian. Semuanya diselesaikan dengan menerapkan sifat-sifat derajat. Yang tidak diketahui selalu dalam derajat itu sendiri, oleh karena itu, mengetahui semua properti, tidak akan sulit untuk menyelesaikan persamaan atau ketidaksetaraan seperti itu.
Jika Anda perlu menaikkan angka tertentu ke pangkat, Anda dapat menggunakan . Sekarang kita akan melihat lebih dekat sifat-sifat kekuasaan.
Bilangan eksponen membuka kemungkinan besar, mereka memungkinkan kita untuk mengubah perkalian menjadi penjumlahan, dan penjumlahan jauh lebih mudah daripada perkalian.
Misalnya, kita perlu mengalikan 16 dengan 64. Hasil perkalian kedua bilangan ini adalah 1024. Tapi 16 adalah 4x4, dan 64 adalah 4x4x4. Jadi 16 kali 64=4x4x4x4x4 yang juga 1024.
Angka 16 juga dapat direpresentasikan sebagai 2x2x2x2, dan 64 sebagai 2x2x2x2x2x2, dan jika kita mengalikan, kita mendapatkan 1024.
Sekarang mari kita gunakan aturan. 16=4 2 , atau 2 4 , 64=4 3 , atau 2 6 , sedangkan 1024=6 4 =4 5 , atau 2 10 .
Oleh karena itu, masalah kita dapat ditulis dengan cara lain: 4 2 x4 3 =4 5 atau 2 4 x2 6 =2 10, dan setiap kali kita mendapatkan 1024.
Kita dapat memecahkan sejumlah contoh serupa dan melihat bahwa perkalian bilangan dengan pangkat berkurang menjadi penambahan eksponen, atau eksponen, tentu saja, asalkan basis faktornya sama.
Jadi, tanpa mengalikan, kita dapat langsung mengatakan bahwa 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Aturan ini juga berlaku saat membagi angka dengan kekuatan, tetapi dalam kasus ini, e eksponen pembagi dikurangi dari eksponen dividen. Jadi, 2 5:2 3 =2 2 , yang dalam bilangan biasa sama dengan 32:8=4, yaitu 2 2 . Mari kita rangkum:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, di mana m dan n adalah bilangan bulat.
Pada pandangan pertama, mungkin terlihat seperti itu perkalian dan pembagian angka dengan kekuatan sangat tidak nyaman, karena pertama-tama Anda harus merepresentasikan angka dalam bentuk eksponensial. Tidak sulit untuk merepresentasikan angka 8 dan 16 dalam bentuk ini, yaitu 2 3 dan 2 4, tetapi bagaimana melakukannya dengan angka 7 dan 17? Atau apa yang harus dilakukan dalam kasus-kasus ketika angka dapat direpresentasikan dalam bentuk eksponensial, tetapi basis ekspresi eksponensial angka sangat berbeda. Misalnya, 8×9 adalah 2 3 x 3 2 , dalam hal ini kita tidak dapat menjumlahkan eksponennya. Baik 2 5 maupun 3 5 bukanlah jawaban, juga bukan jawaban di antara keduanya.
Lalu apakah layak repot dengan metode ini sama sekali? Pasti layak. Ini memberikan keuntungan besar, terutama untuk perhitungan yang rumit dan memakan waktu.
Penambahan dan pengurangan kekuatan
Jelas, angka dengan kekuatan dapat ditambahkan seperti jumlah lainnya , dengan menambahkannya satu per satu dengan tanda-tandanya.
Jadi, jumlah a 3 dan b 2 adalah a 3 + b 2 .
Jumlah a 3 - b n dan h 5 -d 4 adalah 3 - b n + h 5 - d 4.
Kemungkinan kekuatan yang sama dari variabel yang sama bisa ditambah atau dikurangi.
Jadi, jumlah 2a 2 dan 3a 2 adalah 5a 2 .
Jelas juga bahwa jika kita mengambil dua kotak a, atau tiga kotak a, atau lima kotak a.
Tapi derajat berbagai variabel dan berbagai derajat variabel identik, harus ditambahkan dengan menambahkannya ke tanda-tandanya.
Jadi, jumlah a 2 dan a 3 adalah jumlah a 2 + a 3 .
Jelaslah bahwa kuadrat dari a, dan pangkat tiga dari a, bukanlah dua kali kuadrat dari a, tetapi dua kali pangkat tiga dari a.
Jumlah a 3 b n dan 3a 5 b 6 adalah a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Pengurangan kekuatan dilakukan dengan cara yang sama seperti penambahan, kecuali bahwa tanda-tanda pengurangan harus diubah sesuai dengan itu.
Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 jam 2 b 6 - 4 jam 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Perkalian daya
Bilangan dengan pangkat dapat dikalikan seperti besaran lain dengan menuliskannya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda perkalian di antara bilangan tersebut.
Jadi, hasil perkalian a 3 dengan b 2 adalah 3 b 2 atau aaabb.
Atau:
x -3 a m = a m x -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Hasil pada contoh terakhir dapat diurutkan dengan menambahkan variabel yang sama.
Ekspresi akan berbentuk: a 5 b 5 y 3 .
Dengan membandingkan beberapa bilangan (variabel) dengan pangkat, kita dapat melihat bahwa jika dua bilangan dikalikan, maka hasilnya adalah bilangan (variabel) dengan pangkat yang sama dengan jumlah derajat istilah.
Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Di sini 5 adalah pangkat dari hasil perkalian, sama dengan 2 + 3, jumlah pangkat dari suku-sukunya.
Jadi, a n .a m = a m+n .
Untuk a n , a diambil sebagai faktor sebanyak pangkat n;
Dan a m , diambil sebagai faktor sebanyak derajat m sama dengan;
Jadi, pangkat dengan basis yang sama dapat dikalikan dengan menambahkan eksponen.
Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Atau:
4a n 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Kalikan (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) (x - y).
Jawaban: x 4 - y 4.
Kalikan (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1).
Aturan ini juga berlaku untuk bilangan yang eksponennya negatif.
1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini dapat ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Jika a + b dikalikan dengan a - b, hasilnya adalah 2 - b 2: yaitu
Hasil perkalian jumlah atau selisih dua bilangan sama dengan jumlah atau selisih kuadratnya.
Jika jumlah dan selisih dua bilangan dijumlahkan menjadi kotak, hasilnya akan sama dengan jumlah atau selisih angka-angka ini dalam keempat derajat.
Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Pembagian derajat
Bilangan dengan pangkat dapat dibagi seperti bilangan lain dengan mengurangkan dari pembagi, atau dengan menempatkannya dalam bentuk pecahan.
Jadi a 3 b 2 dibagi b 2 adalah 3 .
Menulis 5 dibagi 3 terlihat seperti $\frac $. Tapi ini sama dengan 2 . Dalam serangkaian angka
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0, a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
setiap nomor dapat dibagi dengan yang lain, dan eksponen akan sama dengan perbedaan indikator bilangan habis dibagi.
Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi..
Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Yaitu, $\frac = y$.
Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yaitu, $\frac = a^n$.
Atau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Aturan ini juga berlaku untuk angka dengan negatif nilai derajat.
Hasil pembagian -5 dengan -3 adalah -2.
Juga, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Perkalian dan pembagian pangkat perlu dikuasai dengan baik, karena operasi semacam itu sangat banyak digunakan dalam aljabar.
Contoh penyelesaian contoh pecahan yang mengandung bilangan berpangkat
1. Kurangi eksponen dalam $\frac $ Jawaban: $\frac $.
2. Kurangi eksponen dalam $\frac$. Jawaban: $\frac $ atau 2x.
3. Kurangi eksponen a 2 / a 3 dan a -3 / a -4 dan bawa ke penyebut yang sama.
a 2 .a -4 adalah pembilang pertama -2.
a 3 .a -3 adalah 0 = 1, pembilang kedua.
a 3 .a -4 adalah -1 , pembilang bersama.
Setelah disederhanakan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .
4. Kurangi pangkat 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa ke penyebut yang sama.
Jawaban: 2a 3/5a 7 dan 5a 5/5a 7 atau 2a 3/5a 2 dan 5/5a 2.
5. Kalikan (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.
6. Kalikan (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).
7. Kalikan b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .
8. Bagi 4 /y 3 dengan 3 /y 2 . Jawaban: a/y.
sifat derajat
Kami mengingatkan Anda bahwa di pelajaran ini memahami sifat derajat dengan indikator alami dan nol. Derajat dengan indikator rasional dan sifat-sifatnya akan dibahas dalam pelajaran untuk kelas 8.
Eksponen dengan eksponen alami memiliki beberapa sifat penting yang memungkinkan Anda menyederhanakan perhitungan dalam contoh eksponen.
Properti #1
Produk dari kekuatan
Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, basis tetap tidak berubah, dan eksponen ditambahkan.
a m a n \u003d a m + n, di mana "a" adalah bilangan apa pun, dan "m", "n" adalah bilangan asli apa pun.
Sifat derajat ini juga mempengaruhi produk dari tiga dan lebih banyak derajat.
- Sederhanakan ekspresi.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Hadir sebagai gelar.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Hadir sebagai gelar.
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15 - Tulis hasil bagi sebagai kekuatan
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 3 = (2b) 2 - Menghitung.
Harap dicatat bahwa di properti yang ditunjukkan itu hanya tentang mengalikan kekuatan dengan basis yang sama.. Itu tidak berlaku untuk penambahan mereka.
Anda tidak dapat mengganti jumlah (3 3 + 3 2) dengan 3 5 . Hal ini dapat dimengerti jika
hitung (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 dan 3 5 = 243
Properti #2
Gelar pribadi
Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, basis tetap tidak berubah, dan eksponen pembagi dikurangkan dari eksponen dividen.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Contoh. Memecahkan persamaan. Kami menggunakan properti derajat parsial.
3 8: t = 3 4
Jawaban: t = 3 4 = 81
Menggunakan properti No. 1 dan No. 2, Anda dapat dengan mudah menyederhanakan ekspresi dan melakukan perhitungan.
Contoh. Sederhanakan ekspresi.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 4m 3 = 4 2m + 5
Contoh. Temukan nilai ekspresi menggunakan properti derajat.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Harap dicatat bahwa properti 2 hanya berurusan dengan pembagian kekuasaan dengan basis yang sama.
Anda tidak dapat mengganti perbedaan (4 3 4 2) dengan 4 1 . Hal ini dapat dimengerti jika Anda menghitung (4 3 4 2) = (64 16) = 48, dan 4 1 = 4
Properti #3
Eksponen
Saat menaikkan pangkat ke pangkat, basis daya tetap tidak berubah, dan eksponen dikalikan.
(a n) m \u003d a n m, di mana "a" adalah bilangan apa pun, dan "m", "n" adalah bilangan asli apa pun.
Kami mengingatkan Anda bahwa hasil bagi dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Oleh karena itu, kita akan membahas topik menaikkan pecahan ke pangkat secara lebih rinci di halaman berikutnya.
Cara melipatgandakan kekuatan
Bagaimana cara melipatgandakan kekuatan? Kekuatan mana yang bisa dikalikan dan mana yang tidak? Bagaimana cara mengalikan angka dengan kekuatan?
Dalam aljabar, Anda dapat menemukan hasil kali pangkat dalam dua kasus:
1) jika derajat memiliki dasar yang sama;
2) jika derajat memiliki indikator yang sama.
Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, basis harus tetap sama, dan eksponen harus ditambahkan:
Saat mengalikan derajat dengan indikator yang sama, indikator total dapat diambil dari tanda kurung:
Pertimbangkan bagaimana mengalikan kekuatan, dengan contoh-contoh spesifik.
Satuan dalam eksponen tidak ditulis, tetapi ketika mengalikan derajat, mereka memperhitungkan:
Saat mengalikan, jumlah derajat bisa berapa saja. Harus diingat bahwa Anda tidak dapat menulis tanda perkalian sebelum huruf:
Dalam ekspresi, eksponensial dilakukan terlebih dahulu.
Jika Anda perlu mengalikan angka dengan kekuatan, Anda harus terlebih dahulu melakukan eksponensial, dan baru kemudian - perkalian:
Mengalikan kekuatan dengan basis yang sama
Video tutorial ini tersedia dengan berlangganan
Apakah Anda sudah memiliki langganan? Untuk masuk
Dalam pelajaran ini, kita akan belajar bagaimana mengalikan kekuatan dengan basis yang sama. Pertama, kita mengingat kembali definisi derajat dan merumuskan teorema tentang validitas persamaan . Kemudian kami memberikan contoh penerapannya pada angka tertentu dan membuktikannya. Kami juga akan menerapkan teorema untuk memecahkan berbagai masalah.
Topik: Gelar dengan indikator alami dan sifat-sifatnya
Pelajaran: Mengalikan kekuatan dengan basis yang sama (rumus)
1. Definisi dasar
Definisi dasar:
n- eksponen,
— n kekuatan -th dari suatu bilangan.
2. Pernyataan Teorema 1
Teorema 1. Untuk nomor berapa pun sebuah dan alami apa pun n dan k persamaan itu benar:
Dengan kata lain: jika sebuah- nomor berapa pun; n dan k bilangan asli, maka:
Oleh karena itu aturan 1:
3. Menjelaskan tugas
Kesimpulan: kasus khusus mengkonfirmasi kebenaran Teorema No. 1. Mari kita buktikan dalam kasus umum, yaitu untuk sembarang sebuah dan alami apa pun n dan k.
4. Bukti Teorema 1
Diberi nomor sebuah- setiap; angka n dan k- alami. Membuktikan:
Pembuktian didasarkan pada definisi derajat.
5. Penyelesaian contoh menggunakan Teorema 1
Contoh 1: Hadir sebagai gelar.
Untuk menyelesaikan contoh berikut, kita menggunakan Teorema 1.
G) 
6. Generalisasi Teorema 1
Berikut ini adalah generalisasi:
7. Penyelesaian contoh menggunakan generalisasi Teorema 1
8. Menyelesaikan berbagai masalah menggunakan Teorema 1
Contoh 2: Hitung (Anda dapat menggunakan tabel derajat dasar).
sebuah) 
(sesuai tabel)
B) 
Contoh 3: Tulis sebagai kekuatan dengan basis 2.
sebuah) 
Contoh 4: Tentukan tanda bilangan:
, sebuah - negatif karena eksponen pada -13 adalah ganjil.
Contoh 5: Ganti ( ) dengan pangkat dengan basis R:
Kami memiliki , yaitu .
9. Menyimpulkan
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dkk Aljabar 7. Edisi ke-6. M.: Pencerahan. 2010
1. Asisten Sekolah (Sumber).
1. Nyatakan sebagai gelar:
a B C D E) 
3. Tulis sebagai pangkat dengan basis 2:
4. Tentukan tanda bilangan:
sebuah) 
5. Ganti ( ) dengan pangkat suatu bilangan dengan basis R:
a) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6
Perkalian dan pembagian pangkat dengan pangkat yang sama
Dalam pelajaran ini, kita akan mempelajari perkalian kekuatan dengan eksponen yang sama. Pertama, mari kita ingat kembali definisi dan teorema dasar tentang perkalian dan pembagian pangkat dengan basis yang sama dan menaikkan pangkat menjadi pangkat. Kemudian kita merumuskan dan membuktikan teorema perkalian dan pembagian pangkat dengan pangkat yang sama. Dan kemudian dengan bantuan mereka kami akan memecahkan sejumlah masalah khas.
Pengingat definisi dasar dan teorema
Di Sini sebuah- dasar derajat
— n kekuatan -th dari suatu bilangan.
Teorema 1. Untuk nomor berapa pun sebuah dan alami apa pun n dan k persamaan itu benar:
Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponen ditambahkan, basis tetap tidak berubah.
Teorema 2. Untuk nomor berapa pun sebuah dan alami apa pun n dan k, seperti yang n > k persamaan itu benar:
Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponen dikurangi, dan basis tetap tidak berubah.
Teorema 3. Untuk nomor berapa pun sebuah dan alami apa pun n dan k persamaan itu benar:
Semua teorema di atas adalah tentang kekuatan dengan yang sama alasan, pelajaran ini akan mempertimbangkan derajat dengan yang sama indikator.
Contoh perkalian pangkat dengan pangkat yang sama
Perhatikan contoh berikut:
Mari kita tuliskan ekspresi untuk menentukan derajat.
Kesimpulan: Dari contoh, Anda dapat melihat bahwa 
, tapi ini masih perlu dibuktikan. Kami merumuskan teorema dan membuktikannya dalam kasus umum, yaitu, untuk sembarang sebuah dan B dan alami apa pun n.
Pernyataan dan bukti Teorema 4
Untuk nomor berapa pun sebuah dan B dan alami apa pun n persamaan itu benar:
Bukti Teorema 4 .
Menurut definisi gelar:
Jadi kami telah membuktikannya .
Untuk mengalikan pangkat dengan eksponen yang sama, cukup dengan mengalikan basis, dan membiarkan eksponen tidak berubah.
Pernyataan dan bukti Teorema 5
Kami merumuskan teorema untuk membagi kekuatan dengan eksponen yang sama.
Untuk nomor berapa pun sebuah dan B() dan alami apa pun n persamaan itu benar:
Bukti Teorema 5 .
Mari kita tuliskan dan menurut definisi derajat:
Pernyataan teorema dalam kata-kata
Jadi kami telah membuktikannya.
Untuk membagi derajat dengan eksponen yang sama menjadi satu sama lain, cukup membagi satu basis dengan yang lain, dan membiarkan eksponen tidak berubah.
Solusi dari masalah umum menggunakan Teorema 4
Contoh 1: Nyatakan sebagai produk kekuatan.
Untuk menyelesaikan contoh berikut, kita menggunakan Teorema 4.
Untuk memecahkan contoh berikut, ingat rumus:
Generalisasi Teorema 4
Generalisasi Teorema 4:
Memecahkan Contoh Menggunakan Teorema Umum 4
Melanjutkan pemecahan masalah tipikal
Contoh 2: Tulis sebagai derajat produk.
Contoh 3: Tulis sebagai kekuatan dengan eksponen 2.
Contoh Perhitungan
Contoh 4: Hitung dengan cara yang paling rasional.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljabar 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. dan lain-lain Aljabar 7 .M.: Pendidikan. 2006
2. Asisten sekolah (Sumber).
1. Hadir sebagai produk dari kekuasaan:
sebuah) ; B) ; v) ; G) ;
2. Tuliskan sebagai derajat produk:
3. Tulis dalam bentuk gelar dengan indikator 2 :
4. Hitung dengan cara yang paling rasional.
Pelajaran matematika dengan topik "Perkalian dan pembagian kekuasaan"
Bagian: Matematika
Tujuan pedagogis:
tugas:
Unit kegiatan doktrin: penentuan derajat dengan indikator alami; komponen derajat; definisi swasta; hukum perkalian asosiatif.
I. Organisasi demonstrasi penguasaan pengetahuan yang ada oleh siswa. (Langkah 1)
a) Memperbarui pengetahuan:
2) Merumuskan definisi derajat dengan indikator alami.
a n \u003d a a a a ... a (n kali)
b k \u003d b b b b a ... b (k kali) Jelaskan jawaban Anda.
II. Organisasi penilaian diri peserta pelatihan dengan tingkat kepemilikan pengalaman yang relevan. (Langkah 2)
Tes mandiri :( pekerjaan individu dalam dua versi.)
A1) Nyatakan hasil kali 7 7 7 7 x x x sebagai pangkat:
A2) Nyatakan sebagai produk derajat (-3) 3 x 2
A3) Hitung: -2 3 2 + 4 5 3
Saya memilih jumlah tugas dalam tes sesuai dengan persiapan tingkat kelas.
Untuk tes, saya memberikan kunci untuk self-testing. Kriteria: lulus-gagal.
AKU AKU AKU. Tugas Edukasi dan Praktikum (langkah 3) + langkah 4. (Siswa sendiri yang akan merumuskan sifat-sifatnya)
Dalam memecahkan masalah 1) dan 2), siswa mengusulkan solusi, dan saya, sebagai guru, mengatur kelas untuk menemukan cara menyederhanakan pangkat ketika mengalikan dengan basis yang sama.
Guru: temukan cara untuk menyederhanakan kekuatan ketika mengalikan dengan basis yang sama.
Sebuah entri muncul di cluster:
Tema pelajaran dirumuskan. Perkalian kekuasaan.
Guru: buatlah aturan untuk membagi derajat dengan basis yang sama.
Penalaran: tindakan apa yang memeriksa divisi? a5: a3 = ? bahwa a 2 a 3 = a 5
Saya kembali ke skema - cluster dan melengkapi entri - ..saat membagi, mengurangi, dan menambahkan topik pelajaran. ...dan pembagian derajat.
IV. Komunikasi kepada siswa tentang batas-batas pengetahuan (minimal dan maksimal).
Guru: tugas minimum untuk pelajaran hari ini adalah mempelajari bagaimana menerapkan sifat-sifat perkalian dan pembagian kekuatan dengan basis yang sama, dan maksimum: menerapkan perkalian dan pembagian bersama-sama.
Tulis dipapan : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n
V. Organisasi studi materi baru. (langkah 5)
a) Menurut buku teks: No. 403 (a, c, e) tugas dengan kata-kata yang berbeda
404 (a, e, f) kerja mandiri, lalu saya mengatur cek bersama, saya memberikan kunci.
b) Berapakah nilai m yang dimiliki persamaan tersebut? a 16 a m \u003d a 32; x t x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Tugas: berikan contoh serupa untuk pembagian.
c) Nomor 417(a), Nomor 418 (a) Perangkap untuk siswa: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.
VI. Meringkas apa yang telah dipelajari, melakukan pekerjaan diagnostik (yang mendorong siswa, bukan guru, untuk mempelajari topik ini) (langkah 6)
pekerjaan diagnostik.
Tes(letakkan kunci di bagian belakang tes).
Opsi tugas: hadir sebagai gelar hasil bagi x 15: x 3; menyatakan sebagai kekuatan hasil kali (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; dimana m adalah persamaan a 16 a m = a 32 benar; cari nilai dari ekspresi h 0: h 2 dengan h = 0,2; hitunglah nilai dari ekspresi (5 2 5 0) : 5 2 .
Ringkasan pelajaran. Cerminan. Saya membagi kelas menjadi dua kelompok.
Temukan argumen grup I: mendukung pengetahuan tentang properti derajat, dan grup II - argumen yang akan mengatakan bahwa Anda dapat melakukannya tanpa properti. Kami mendengarkan semua jawaban, menarik kesimpulan. Dalam pelajaran berikutnya, Anda dapat menawarkan data statistik dan memberi nama rubrik “Itu tidak cocok di kepala saya!”
VII. Pekerjaan rumah.
Referensi sejarah. Bilangan apa yang disebut bilangan Fermat.
H.19. #403, #408, #417
Buku bekas:
Sifat derajat, formulasi, bukti, contoh.
Setelah tingkat angka ditentukan, adalah logis untuk membicarakannya sifat derajat. Pada artikel ini, kami akan memberikan sifat dasar derajat suatu bilangan, sambil menyentuh semua eksponen yang mungkin. Di sini kami akan memberikan bukti semua sifat derajat, dan juga menunjukkan bagaimana sifat-sifat ini diterapkan saat memecahkan contoh.
Navigasi halaman.
Sifat derajat dengan indikator alami
Menurut definisi pangkat dengan eksponen alami, pangkat dari n adalah produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a . Berdasarkan definisi ini, dan menggunakan sifat perkalian bilangan real, kita dapat memperoleh dan membenarkan hal berikut: sifat derajat dengan eksponen alami:
- jika a>0 , maka a n >0 untuk sembarang n ;
- jika a=0 , maka a n =0 ;
- jika a 2 m >0 , jika a 2 m−1 n ;
- jika m dan n adalah bilangan asli sehingga m>n , maka untuk 0m n , dan untuk a>0 pertidaksamaan a m >a n benar.
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n = a m n ;
- jika n bilangan bulat positif, a dan b bilangan positif, dan a n n dan a−n>b−n ;
- jika m dan n bilangan bulat, dan m>n , maka untuk 0m n , dan untuk a>1, pertidaksamaan a m >a n terpenuhi.
Kami segera mencatat bahwa semua persamaan tertulis adalah identik di bawah kondisi yang ditentukan, dan bagian kanan dan kirinya dapat dipertukarkan. Misalnya, sifat utama pecahan a m a n = a m + n dengan penyederhanaan ekspresi sering digunakan dalam bentuk a m+n = a m a n .
Sekarang mari kita lihat masing-masing secara rinci.
Mari kita mulai dengan sifat perkalian dua pangkat dengan basa yang sama, yang disebut properti utama dari gelar: untuk sembarang bilangan real a dan bilangan asli m dan n, persamaan a m ·a n =a m+n adalah benar.
Mari kita buktikan sifat utama derajat. Dengan definisi derajat dengan eksponen alami, produk dari kekuatan dengan basis yang sama dari bentuk a m a n dapat ditulis sebagai produk 
. Karena sifat perkalian, ekspresi yang dihasilkan dapat ditulis sebagai 
, dan hasil kali ini adalah pangkat dari a dengan eksponen natural m+n , yaitu, a m+n . Ini melengkapi buktinya.
Mari kita berikan contoh yang menegaskan sifat utama derajat. Mari kita ambil derajat dengan basis yang sama 2 dan pangkat 2 dan 3, sesuai dengan sifat utama derajat, kita dapat menulis persamaan 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Mari kita periksa validitasnya, yang untuknya kita hitung nilai dari ekspresi 2 2 ·2 3 dan 2 5 . Melakukan eksponensial, kita memiliki 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 dan 2 5 =2 2 2 2 2=32 , karena kita mendapatkan nilai yang sama, maka persamaan 2 2 2 3 = 2 5 benar, dan itu menegaskan sifat utama derajat.
Sifat utama suatu derajat berdasarkan sifat perkalian dapat digeneralisasikan ke perkalian tiga derajat atau lebih dengan basis dan eksponen natural yang sama. Jadi untuk sembarang bilangan k bilangan asli n 1 , n 2 , …, n k persamaan a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k benar.
Misalnya, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .
Anda dapat beralih ke properti derajat berikutnya dengan indikator alami - properti kekuatan parsial dengan basis yang sama: untuk sembarang bilangan real tak nol a dan bilangan asli sembarang m dan n yang memenuhi syarat m>n , persamaan a m:a n =a m−n benar.
Sebelum memberikan bukti properti ini, mari kita bahas arti dari kondisi tambahan dalam pernyataan. Kondisi a≠0 diperlukan untuk menghindari pembagian dengan nol, karena 0 n =0, dan ketika kita mengenal pembagian, kita sepakat bahwa tidak mungkin membagi dengan nol. Kondisi m>n diperkenalkan sehingga kita tidak melampaui eksponen alami. Memang, untuk m>n, eksponen am−n adalah bilangan asli, jika tidak maka akan menjadi nol (yang terjadi ketika m−n) atau bilangan negatif (yang terjadi ketika mm−n an =a (m−n) +n =am Dari persamaan yang diperoleh am−n ·an =am dan dari hubungan antara perkalian dan pembagian dapat disimpulkan bahwa am−n adalah pangkat parsial dari am dan an Ini membuktikan sifat dari pangkat-pangkat parsial dengan basis yang sama.
Mari kita ambil contoh. Mari kita ambil dua derajat dengan basis yang sama dan eksponen alami 5 dan 2, properti derajat yang dipertimbangkan sesuai dengan persamaan π 5: 2 = 5−3 = 3.
Sekarang pertimbangkan properti gelar produk: gelar alami n produk dari setiap dua bilangan real a dan b sama dengan produk dari kekuatan a n dan b n , yaitu, (a·b) n =a n ·b n .
Memang, menurut definisi gelar dengan eksponen alami, kami memiliki 
. Produk terakhir, berdasarkan sifat-sifat perkalian, dapat ditulis ulang sebagai 
, yang sama dengan a n b n .
Berikut ini contohnya: 
.
Properti ini meluas ke tingkat produk dari tiga atau lebih faktor. Yaitu, sifat derajat alamiah n dari hasil kali k faktor ditulis sebagai (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
Untuk kejelasan, kami menunjukkan properti ini dengan sebuah contoh. Untuk produk dari tiga faktor pangkat 7, kami memiliki .
Properti berikutnya adalah properti alami: hasil bagi bilangan real a dan b , b≠0 pangkat alami n sama dengan hasil bagi pangkat a n dan b n , yaitu, (a:b) n =a n:b n .
Pembuktian dapat dilakukan dengan menggunakan properti sebelumnya. Jadi (a:b) n bn =((a:b) b) n =an , dan dari persamaan (a:b) n bn =an maka (a:b) n adalah hasil bagi dari an ke bn .
Mari kita tulis properti ini menggunakan contoh angka tertentu: 
.
Sekarang ayo bersuara properti eksponensial: untuk sembarang bilangan real a dan sembarang bilangan asli m dan n, pangkat a m pangkat n sama dengan pangkat a dengan pangkat m·n , yaitu, (a m) n =a m·n .
Misalnya, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .
Bukti dari sifat daya dalam suatu derajat adalah rantai persamaan berikut: 
.
Properti yang dipertimbangkan dapat diperluas ke derajat dalam derajat dalam derajat, dan seterusnya. Misalnya, untuk sembarang bilangan asli p, q, r, dan s, persamaannya 
. Untuk lebih jelasnya, mari kita berikan contoh dengan angka tertentu: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
Masih memikirkan sifat-sifat membandingkan derajat dengan eksponen alami.
Kami mulai dengan membuktikan properti perbandingan nol dan kekuatan dengan eksponen alami.
Pertama, mari kita membenarkan bahwa a n >0 untuk a>0 .
produk dari dua bilangan positif adalah bilangan positif, sebagai berikut dari definisi perkalian. Fakta ini dan sifat-sifat perkalian memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa hasil perkalian sejumlah bilangan positif juga akan menjadi bilangan positif. Dan pangkat dari a dengan eksponen alami n adalah, menurut definisi, produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a. Argumen-argumen ini memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa untuk sembarang basis positif a derajat dari n adalah bilangan positif. Berdasarkan sifat terbukti 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 dan 
.
Sangat jelas bahwa untuk setiap n natural dengan a=0 derajat n adalah nol. Memang, 0 n =0·0·…·0=0 . Misalnya, 0 3 =0 dan 0 762 =0 .
Mari kita beralih ke basis negatif.
Mari kita mulai dengan kasus ketika eksponen adalah bilangan genap, nyatakan sebagai 2 m , di mana m adalah bilangan asli. Kemudian 
. Menurut aturan perkalian bilangan negatif, masing-masing produk dari bentuk a a sama dengan produk modul dari angka a dan a, yang berarti bahwa itu adalah bilangan positif. Karena itu, produknya juga akan positif. 
dan derajat a 2 m . Berikut adalah contohnya: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 dan .
Akhirnya, ketika basis a adalah bilangan negatif dan eksponennya adalah bilangan ganjil 2 m−1, maka 
. Semua produk a·a adalah bilangan positif, produk dari bilangan positif ini juga positif, dan perkaliannya dengan sisa bilangan negatif a menghasilkan bilangan negatif. Berdasarkan sifat ini, (−5) 3 17 n n adalah hasil kali bagian kiri dan kanan dari n pertidaksamaan sejati a sifat pertidaksamaan, pertidaksamaan yang dibuktikan berbentuk a n n . Misalnya, karena sifat ini, pertidaksamaan 3 7 7 dan 
.
Masih untuk membuktikan yang terakhir dari properti yang terdaftar derajat dengan indikator alami. Mari kita merumuskannya. Dari dua derajat dengan indikator alami dan basis positif yang sama, kurang dari satu, derajatnya lebih besar, indikatornya lebih kecil; dan dua derajat dengan indikator alami dan basis yang sama lebih besar dari satu, derajat yang indikatornya lebih besar lebih besar. Kami beralih ke bukti properti ini.
Mari kita buktikan bahwa untuk m>n dan 0m n . Untuk melakukan ini, kami menulis perbedaan a m a n dan membandingkannya dengan nol. Selisih yang ditulis setelah mengeluarkan n dari kurung akan berbentuk a n ·(a m−n 1) . Produk yang dihasilkan adalah negatif sebagai produk dari bilangan positif a n dan angka negatif am−n 1 (an positif sebagai pangkat asli bilangan positif, dan selisih am−n 1 negatif, karena m−n>0 karena kondisi awal m>n , maka untuk 0m n kurang dari satu). Oleh karena itu, a m a n m n , yang harus dibuktikan. Misalnya, kami memberikan pertidaksamaan yang benar.
Tetap membuktikan bagian kedua dari properti. Mari kita buktikan bahwa untuk m>n dan a>1, a m >a n benar. Selisih a m −a n setelah mengeluarkan n dari kurung membentuk a n ·(a m−n 1) . Hasil kali ini positif, karena untuk a>1 derajat an adalah bilangan positif, dan selisih am−n−1 adalah bilangan positif, karena m−n>0 berdasarkan kondisi awal, dan untuk a>1 derajat amin lebih besar dari satu. Oleh karena itu, a m a n >0 dan a m >a n , yang harus dibuktikan. Sifat ini diilustrasikan oleh pertidaksamaan 3 7 >3 2 .
Sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat
Karena bilangan bulat positif adalah bilangan asli, maka semua sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat positif sama persis dengan sifat-sifat pangkat dengan pangkat asli yang tercantum dan dibuktikan dalam paragraf sebelumnya.
Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif, serta derajat dengan eksponen nol, sehingga semua sifat derajat dengan eksponen alami yang dinyatakan oleh persamaan tetap valid. Oleh karena itu, semua sifat ini berlaku baik untuk pangkat nol dan pangkat negatif, sementara, tentu saja, basis derajatnya bukan nol.
Jadi, untuk setiap bilangan real dan bukan-nol a dan b, serta setiap bilangan bulat m dan n, berikut ini adalah benar sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat:
Untuk a=0, pangkat a m dan a n masuk akal hanya jika m dan n keduanya bilangan bulat positif, yaitu bilangan asli. Jadi, sifat-sifat yang baru saja ditulis juga berlaku untuk kasus-kasus ketika a=0 dan bilangan m dan n adalah bilangan bulat positif.
Tidak sulit untuk membuktikan masing-masing sifat ini, untuk ini cukup menggunakan definisi derajat dengan eksponen alami dan bilangan bulat, serta sifat-sifat tindakan dengan bilangan real. Sebagai contoh, mari kita buktikan bahwa sifat pangkat berlaku untuk bilangan bulat positif dan bilangan bulat nonpositif. Untuk melakukan ini, kita perlu menunjukkan bahwa jika p adalah nol atau bilangan asli dan q adalah nol atau bilangan asli, maka persamaan (ap) q =ap q , (a p) q =a (−p) q , (ap ) q =ap (−q) dan (a p) q =a (−p) (−q) . Ayo lakukan.
Untuk p dan q positif, persamaan (a p) q =a p·q telah dibuktikan pada subbab sebelumnya. Jika p=0 , maka kita memiliki (a 0) q =1 q =1 dan a 0 q =a 0 =1 , dari mana (a 0) q =a 0 q . Demikian pula, jika q=0 , maka (a p) 0 =1 dan a p 0 =a 0 =1 , dari mana (a p) 0 =a p 0 . Jika p=0 dan q=0 , maka (a 0) 0 =1 0 =1 dan a 0 0 =a 0 =1 , dari mana (a 0) 0 =a 0 0 .
Mari kita buktikan bahwa (a p) q =a (−p) q . Dengan definisi derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif , maka 
. Dengan sifat hasil bagi dalam derajat, kita memiliki 
. Sejak 1 p=1·1·…·1=1 dan , maka . Ekspresi terakhir, menurut definisi, adalah pangkat dari bentuk a (p q) , yang, berdasarkan aturan perkalian, dapat ditulis sebagai (−p) q .
Demikian pula 
.
DAN 
.
Dengan prinsip yang sama, seseorang dapat membuktikan semua sifat derajat lainnya dengan eksponen bilangan bulat, yang ditulis dalam bentuk persamaan.
Dalam kedua dari belakang dari sifat-sifat yang dicatat, ada baiknya memikirkan bukti ketidaksetaraan a n >b n , yang berlaku untuk sembarang bilangan bulat negatif n dan setiap positif a dan b yang syaratnya a . Kami menulis dan mengubah perbedaan antara bagian kiri dan kanan pertidaksamaan ini: 
. Karena dengan syarat a n n , oleh karena itu, b n a n >0 . Hasil kali a n ·b n juga positif sebagai hasil kali bilangan positif a n dan b n . Kemudian pecahan yang dihasilkan positif sebagai hasil bagi bilangan positif b n a n dan a n b n . Oleh karena itu, dari mana a n >b n , yang harus dibuktikan.
Properti terakhir derajat dengan eksponen bilangan bulat dibuktikan dengan cara yang sama seperti properti analog derajat dengan eksponen alami.
Sifat-sifat pangkat dengan eksponen rasional
Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen pecahan dengan memperluas sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat untuk itu. Dengan kata lain, derajat dengan pangkat pecahan memiliki sifat yang sama dengan derajat dengan pangkat bilangan bulat. Yaitu:
- properti dari produk kekuatan dengan basis yang sama
untuk a>0 , dan jika dan , maka untuk a≥0 ; - milik kekuatan parsial dengan basis yang sama
untuk a>0 ; - properti produk pecahan
untuk a>0 dan b>0 , dan jika dan , maka untuk a≥0 dan (atau) b≥0 ; - properti hasil bagi ke kekuatan fraksional
untuk a>0 dan b>0 , dan jika , maka untuk a≥0 dan b>0 ; - gelar properti dalam derajat
untuk a>0 , dan jika dan , maka untuk a≥0 ; - properti membandingkan kekuatan dengan eksponen rasional yang sama: untuk setiap bilangan positif a dan b, a 0 pertidaksamaan a p p valid, dan untuk p p >b p ;
- sifat membandingkan pangkat dengan pangkat rasional dan basis yang sama: untuk bilangan rasional p dan q, p>q untuk 0p q, dan untuk a>0, pertidaksamaan a p >a q .
- a p a q = a p + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- untuk sembarang bilangan positif a dan b , a 0 pertidaksamaan a p p valid, dan untuk p p >b p ;
- untuk bilangan irasional p dan q , p>q untuk 0p q , dan untuk a>0 pertidaksamaan a p >a q .
Pembuktian sifat-sifat derajat dengan pangkat pecahan didasarkan pada definisi derajat dengan pangkat pecahan, pada sifat-sifat akar aritmatika derajat ke-n, dan pada sifat-sifat derajat dengan pangkat bilangan bulat. Mari kita beri bukti.
Dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan dan , maka 
. Sifat-sifat akar aritmatika memungkinkan kita untuk menulis persamaan berikut. Selanjutnya, dengan menggunakan properti derajat dengan eksponen bilangan bulat, kita memperoleh , dimana, dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan, kita memiliki 
, dan pangkat yang diperoleh dapat dikonversikan sebagai berikut: . Ini melengkapi buktinya.
Sifat kedua dari pangkat dengan pangkat pecahan dibuktikan dengan cara yang persis sama: 
Persamaan lainnya dibuktikan dengan prinsip serupa: 
Kami beralih ke bukti properti berikutnya. Mari kita buktikan bahwa untuk setiap positif a dan b , a 0 ketidaksamaan a p p valid, dan untuk p p >b p . Kami menulis bilangan rasional p sebagai m/n , di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Kondisi p 0 dalam hal ini akan setara dengan kondisi m 0, masing-masing. Untuk m>0 dan am m . Dari pertidaksamaan ini, dengan sifat akar, kita memiliki , dan karena a dan b adalah bilangan positif, maka, berdasarkan definisi derajat dengan eksponen pecahan, pertidaksamaan yang dihasilkan dapat ditulis ulang sebagai , yaitu, a p p .
Demikian pula, ketika m m >b m , dari mana , yaitu, dan a p >b p .
Masih membuktikan yang terakhir dari properti yang terdaftar. Mari kita buktikan bahwa untuk bilangan rasional p dan q , p>q untuk 0p q , dan untuk a>0 pertidaksamaan a p >a q . Kita selalu dapat mengurangi bilangan rasional p dan q menjadi penyebut yang sama, mari kita dapatkan pecahan biasa dan , di mana m 1 dan m 2 adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli. Dalam hal ini, kondisi p>q akan sesuai dengan kondisi m 1 >m 2, yang mengikuti aturan perbandingan pecahan biasa dengan penyebut yang sama. Kemudian, dengan sifat membandingkan pangkat dengan basis dan eksponen natural yang sama, untuk 0m 1 m 2 , dan untuk a>1, pertidaksamaan a m 1 >a m 2 . Pertidaksamaan ini dalam hal sifat-sifat akar dapat ditulis ulang, masing-masing, sebagai 
dan 
. Dan definisi gelar dengan eksponen rasional memungkinkan kita untuk melewati ketidaksetaraan dan, masing-masing. Dari sini kita menarik kesimpulan akhir: untuk p>q dan 0p q , dan untuk a>0, pertidaksamaan a p >a q .
Sifat derajat dengan eksponen irasional
Dari bagaimana derajat dengan eksponen irasional didefinisikan, kita dapat menyimpulkan bahwa ia memiliki semua sifat derajat dengan eksponen rasional. Jadi untuk setiap a>0 , b>0 dan bilangan irasional p dan q berikut ini benar: sifat derajat dengan eksponen irasional:
Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa pangkat dengan eksponen nyata p dan q untuk a>0 memiliki sifat yang sama.
- Aljabar - kelas 10. Persamaan trigonometri Pelajaran dan presentasi tentang topik: "Solusi persamaan trigonometri paling sederhana" Materi tambahan Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran! Semua bahan […]
- Sebuah kompetisi untuk posisi "SELLER - CONSULTANT" terbuka: Tanggung jawab: penjualan ponsel dan aksesori untuk pemeliharaan layanan komunikasi seluler pelanggan Beeline, Tele2, koneksi MTS dari rencana tarif dan layanan Beeline dan Tele2, MTS [...]
- Sebuah paralelepiped dari rumus Sebuah paralelepiped adalah polihedron dengan 6 wajah, yang masing-masing adalah jajaran genjang. Balok adalah balok yang setiap mukanya berbentuk persegi panjang. Setiap paralelepiped ditandai dengan 3 […]
- Masyarakat untuk Perlindungan Hak Konsumen Astana Untuk mendapatkan kode pin untuk mengakses dokumen ini di situs web kami, kirim pesan SMS dengan teks zan ke nomor Pelanggan operator GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) dengan mengirim SMS ke kamar, […]
- Ejaan DAN DI BAGIAN BERBEDA Pidato 2. Sebutkan pengecualian untuk aturan ini. 3. Bagaimana membedakan kata sifat verbal dengan akhiran -n- dari participle dengan [...]
- Mengadopsi undang-undang tentang wisma keluarga Adopsi hukum federal tentang alokasi gratis untuk setiap warga negara yang bersedia Federasi Rusia atau keluarga warga sebidang tanah untuk mengatur Rumah Kerabat di atasnya dengan ketentuan sebagai berikut: 1. Tanah itu dialokasikan untuk […]
- INSPEKSI GOSTEKHNADZOR WILAYAH BRYANSK Kwitansi pembayaran bea negara (Unduh-12.2 kb) Permohonan pendaftaran untuk perorangan (Unduh-12 kb) Permohonan pendaftaran badan hukum (Unduh-11.4 kb) 1. Saat mendaftarkan mobil baru : 1.aplikasi 2.paspor […]
- Kami sudah lama tidak bermain turnamen 1x1. Dan inilah saatnya untuk melanjutkan tradisi ini. Sampai kami dapat mengatur tangga dan turnamen terpisah untuk pemain 1v1, sebaiknya gunakan profil tim Anda di situs web. Kurangi atau tambah poin untuk permainan dalam pertandingan [...]
