Susunan bersama antara dua bidang garis lurus dan bidang. Susunan bersama antara garis lurus dan bidang. Untuk prisma lurus, rumus berikut berlaku:
Garis mungkin atau mungkin bukan milik pesawat. Itu milik pesawat jika setidaknya dua dari titik-titiknya terletak di pesawat. Gambar 93 menunjukkan bidang Sum (axb). Lurus aku milik pesawat Sum, karena poin 1 dan 2 milik pesawat ini.
Jika garis itu bukan milik pesawat, itu bisa sejajar dengannya atau memotongnya.
Suatu garis lurus sejajar dengan suatu bidang jika garis tersebut sejajar dengan garis lurus lain yang terletak pada bidang tersebut. Gambar 93 menunjukkan garis lurus aku || Jumlah karena sejajar dengan garis lurus aku milik pesawat ini.
Garis lurus dapat memotong bidang pada sudut yang berbeda dan, khususnya, tegak lurus terhadapnya. Konstruksi garis perpotongan garis lurus dengan bidang diberikan dalam 61.
Gambar 93 - Garis lurus milik pesawat
Sebuah titik dalam kaitannya dengan pesawat dapat ditemukan dengan cara berikut: menjadi milik atau bukan miliknya. Suatu titik termasuk dalam bidang jika terletak pada garis lurus yang terletak di bidang ini. Gambar 94 menunjukkan gambar kompleks bidang Jumlah yang ditentukan oleh dua garis lurus paralel. aku dan P. Ada garis di pesawat M. Titik A terletak pada bidang Jumlah, karena terletak pada garis lurus M. Dot V bukan milik pesawat, karena proyeksi keduanya tidak terletak pada proyeksi garis yang sesuai.
Gambar 94 - Gambar kompleks bidang yang ditentukan oleh dua garis lurus paralel
Permukaan kerucut dan silinder
Permukaan kerucut termasuk permukaan yang dibentuk oleh perpindahan generatrix lurus aku sepanjang panduan melengkung M. Fitur dari pembentukan permukaan kerucut adalah bahwa dalam hal ini satu titik generator selalu tidak bergerak. Titik ini adalah puncak dari permukaan kerucut (Gambar 95, sebuah). Kualifikasi permukaan kerucut termasuk vertex S dan panduan M, di mana aku"~ S; aku"^ M.
Permukaan silinder termasuk permukaan yang dibentuk oleh generatrix lurus / bergerak sepanjang panduan melengkung T sejajar dengan arah tertentu S(Gambar 95, B). Permukaan silinder dapat dianggap sebagai kasus khusus dari permukaan kerucut dengan titik di tak terhingga S.
Pengidentifikasi permukaan silinder terdiri dari panduan T dan arah pembentukan S aku, sedangkan l "|| S; aku "^ m.
Jika generatris permukaan silinder tegak lurus terhadap bidang proyeksi, maka permukaan seperti itu disebut memproyeksikan. Pada Gambar 95, v permukaan silinder yang diproyeksikan secara horizontal ditampilkan.
Pada permukaan silinder dan kerucut, titik-titik yang diberikan diplot menggunakan generator yang melewatinya. Garis pada permukaan, seperti garis sebuah pada gambar 95, v atau horizontal H pada Gambar 95, a, b, dibangun menggunakan titik-titik individu milik garis-garis ini.
Gambar 95 - Permukaan kerucut dan silinder
Permukaan batang tubuh
Batang tubuh adalah permukaan yang dibentuk oleh generatrix lurus aku menyentuh selama gerakannya di semua posisinya ke beberapa kurva ruang T, ditelepon tepi pengembalian(Gambar 96). Tulang rusuk kembali sepenuhnya mendefinisikan batang tubuh dan merupakan bagian geometris dari kualifikasi permukaan. Bagian algoritmik adalah indikasi garis singgung generator ke tepi titik puncak.
Permukaan kerucut adalah kasus khusus dari batang tubuh dengan rusuk cusp T merosot ke titik S- bagian atas permukaan kerucut. Permukaan silinder adalah kasus khusus dari batang tubuh yang titik puncaknya adalah titik di tak terhingga.
Gambar 96 - Permukaan batang tubuh
Permukaan faceted
Permukaan faceted termasuk permukaan yang dibentuk oleh perpindahan generatrix lurus aku sepanjang panduan yang rusak M. Apalagi jika satu titik S generatrix diam, permukaan piramida dibuat (Gambar 97), jika generatrix sejajar dengan arah tertentu selama gerakan S, kemudian permukaan prismatik dibuat (Gambar 98).
Unsur-unsur permukaan segi adalah: titik sudut S(untuk permukaan prismatik, itu adalah tak terhingga), wajah (bagian dari pesawat, dibatasi oleh satu bagian panduan M dan posisi ekstrim dari generatrix relatif terhadapnya aku) dan tepi (garis perpotongan dari wajah yang berdekatan).
Penentu permukaan piramida termasuk vertex S, yang dilalui generator dan pemandu: aku " ~ S; aku^ T.
Determinan permukaan prismatik selain pemandu T, berisi arah S, yang semua generatornya paralel aku permukaan: l || S; l ^ t.
Gambar 97 - Permukaan piramida
Gambar 98 - Permukaan prismatik
Permukaan faceted tertutup yang dibentuk oleh sejumlah (setidaknya empat) wajah disebut polyhedra. Dari jumlah polihedra, dibedakan kelompok polihedra beraturan, yang semua sisinya adalah poligon beraturan dan kongruen, dan sudut polihedral di simpul yang cembung dan berisi jumlah wajah yang sama. Misalnya: segi enam - kubus (Gambar 99, sebuah), tetrahedron - segi empat biasa (Gambar 99, 6) segi delapan - polihedron (Gambar 99, v). Kristal memiliki bentuk berbagai polihedron.
Gambar 99 - Polihedra
Piramida- polihedron, di mana dasarnya terletak poligon sewenang-wenang, dan sisi-sisinya adalah segitiga dengan simpul yang sama S.
Dalam gambar kompleks, piramida ditentukan oleh proyeksi simpul dan tepinya, dengan mempertimbangkan visibilitasnya. Visibilitas tepi ditentukan menggunakan titik bersaing (Gambar 100).
Gambar 100 - Menentukan visibilitas tepi menggunakan titik bersaing
Prisma- polihedron, yang alasnya adalah dua poligon identik dan saling sejajar, dan sisi-sisinya adalah jajaran genjang. Jika tepi prisma tegak lurus terhadap bidang alasnya, prisma semacam itu disebut garis lurus. Jika tepi prisma tegak lurus terhadap sembarang bidang proyeksi, maka permukaan lateral itu disebut memproyeksikan. Gambar 101 menunjukkan gambar kompleks prisma segi empat lurus dengan permukaan proyeksi horizontal.
Gambar 101 - Gambar kompleks prisma segi empat lurus dengan permukaan proyeksi horizontal
Saat bekerja dengan gambar kompleks polihedron, Anda harus membuat garis di permukaannya, dan karena garis adalah kumpulan titik, Anda harus bisa membuat titik di permukaan.
Setiap titik pada permukaan segi dapat dibangun menggunakan generatrix yang melewati titik ini. Gambar 100 di wajah ACS titik dibangun M menggunakan genset S-5.
Permukaan sekrup
Permukaan sekrup termasuk permukaan yang dibuat oleh gerakan sekrup dari generatrix bujursangkar. Permukaan heliks beraturan disebut helikoid.
Helikoid lurus dibentuk oleh pergerakan generatrix bujursangkar Saya pada dua panduan: heliks T dan porosnya Saya; sambil menghasilkan aku melintasi sumbu sekrup di sudut kanan (Gambar 102, a). Helikoid lurus digunakan untuk membuat tangga spiral, sekrup, serta ulir listrik, pada peralatan mesin.
Helikoid miring dibentuk oleh pergerakan generatrix sepanjang pemandu heliks T dan porosnya Saya sehingga pembangkit aku melintasi sumbu Saya pada sudut konstan , berbeda dari garis lurus, yaitu, dalam posisi apa pun, generatrix aku sejajar dengan salah satu generatris kerucut pemandu dengan sudut puncak sama dengan 2φ (Gambar 102, B). Helikoid miring menentukan permukaan utas.
Gambar 102 - Helikoid
Permukaan revolusi
Permukaan revolusi termasuk permukaan yang dibentuk dengan memutar garis aku sekitar lurus Saya , mewakili sumbu rotasi. Mereka bisa linier, seperti kerucut atau silinder revolusi, dan non-linier atau melengkung, seperti bola. Penentu permukaan putaran termasuk generator aku dan sumbu Saya ... Setiap titik generator selama rotasi menggambarkan lingkaran, bidang yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Lingkaran permukaan revolusi seperti itu disebut paralel. Paralel terbesar disebut khatulistiwa. Khatulistiwa Mendefinisikan garis horizontal permukaan, jika i _ | _ P 1 . Dalam hal ini, paralel adalah garis horizontal permukaan ini.
Permukaan lengkung yang berevolusi akibat perpotongan permukaan dengan bidang-bidang yang melalui sumbu rotasi disebut meridian. Semua meridian dari satu permukaan kongruen. Meridian frontal disebut meridian utama; itu mendefinisikan garis depan dari permukaan revolusi. Meridian profil mendefinisikan garis besar profil permukaan revolusi.
Paling mudah untuk memplot titik pada permukaan melengkung dari revolusi menggunakan paralel permukaan. Pada Gambar 103, titik M dibangun di atas paralel h 4.
Gambar 103 - Membangun titik pada permukaan melengkung
Permukaan revolusi telah menemukan aplikasi terluas dalam teknologi. Mereka membatasi permukaan sebagian besar bagian teknik mesin.
Permukaan kerucut revolusi dibentuk dengan memutar garis lurus Saya di sekitar garis yang berpotongan dengannya - sumbu Saya(Gambar 104, sebuah). Dot M di permukaan dibangun menggunakan generator aku dan paralel H. Permukaan ini disebut juga kerucut revolusi atau kerucut lingkaran siku-siku.
Sebuah permukaan silinder revolusi dibentuk dengan memutar garis lurus aku di sekitar sumbu paralel Saya(Gambar 104, B). Permukaan ini disebut juga silinder atau silinder lurus melingkar.
Sebuah bola, dibentuk dengan memutar lingkaran di sekitar diameternya (Gambar 104, v). Titik A pada permukaan bola termasuk meridian utama F, dot V- khatulistiwa H, tapi titik M dibangun di atas paralel bantu H ".
Gambar 104 - Pembentukan permukaan revolusi
Torus dibentuk dengan memutar lingkaran atau busurnya di sekitar sumbu yang terletak di bidang lingkaran. Jika sumbu terletak di dalam lingkaran yang terbentuk, maka torus seperti itu disebut tertutup (Gambar 105, a). Jika sumbu rotasi berada di luar lingkaran, maka torus semacam itu disebut terbuka (Gambar 105, B). Torus terbuka juga disebut cincin.
Gambar 105 - Pembentukan torus
Permukaan revolusi dapat dibentuk oleh kurva lain dari orde kedua. Elipsoid revolusi (Gambar 106, sebuah) dibentuk dengan memutar elips di sekitar salah satu sumbunya; paraboloid revolusi (Gambar 106, B) - rotasi parabola di sekitar porosnya; hiperboloid revolusi satu lembar (Gambar 106, v) dibentuk oleh rotasi hiperbola di sekitar sumbu imajiner, dan dua lembar (Gambar 106, G) - rotasi hiperbola di sekitar sumbu nyata.
Gambar 106 - Pembentukan permukaan revolusi oleh kurva orde kedua
Dalam kasus umum, permukaan digambarkan tidak terbatas pada arah rambat garis pembangkit (lihat Gambar 97, 98). Untuk memecahkan masalah tertentu dan mendapatkan bentuk geometris, mereka terbatas pada bidang trim. Misalnya, untuk mendapatkan silinder melingkar, perlu untuk membatasi luas permukaan silinder dengan bidang trim (lihat Gambar 104, B). Akibatnya, kami mendapatkan basis atas dan bawahnya. Jika bidang trim tegak lurus terhadap sumbu rotasi, silinder akan lurus; jika tidak, silinder akan miring.
Untuk mendapatkan kerucut melingkar (lihat gambar 104, sebuah), perlu untuk memangkas di sepanjang bagian atas dan luarnya. Jika bidang lis alas silinder tegak lurus dengan sumbu rotasi, kerucut akan lurus, jika tidak miring. Jika kedua bidang trim tidak melewati titik puncak, kerucut akan terpotong.
Menggunakan bidang trim, Anda bisa mendapatkan prisma dan piramida. Misalnya, piramida heksagonal akan lurus jika semua tepinya memiliki kemiringan yang sama terhadap bidang trim. Dalam kasus lain, itu akan miring. Jika sudah selesai Dengan menggunakan pesawat trim dan tidak ada yang melewati bagian atas - piramida terpotong.
Prisma (lihat Gambar 101) dapat diperoleh dengan membatasi luas permukaan prismatik menjadi dua bidang trim. Jika bidang potongan tegak lurus dengan tepi, misalnya, prisma oktahedral, itu lurus, jika tidak tegak lurus, itu miring.
Dengan memilih posisi bidang trim yang sesuai, Anda bisa mendapatkan berbagai bentuk bentuk geometris, tergantung pada kondisi masalah yang sedang dipecahkan.
Dalam planimetri, pesawat adalah salah satu tokoh utama, oleh karena itu, sangat penting untuk memiliki gagasan yang jelas tentangnya. Artikel ini dibuat untuk membahas topik ini. Pertama, konsep pesawat diberikan, representasi grafisnya dan penunjukan pesawat ditampilkan. Selanjutnya, bidang dianggap bersama-sama dengan titik, lurus atau bidang lainnya, sedangkan opsi muncul dari posisi relatif dalam ruang. Dalam paragraf kedua dan ketiga dan keempat artikel, semua opsi untuk posisi relatif dua bidang, garis lurus dan bidang, serta titik dan bidang, dibahas, aksioma utama dan ilustrasi grafis diberikan. Sebagai kesimpulan, cara utama mendefinisikan bidang di ruang angkasa diberikan.
Navigasi halaman.
Pesawat - konsep dasar, sebutan dan gambar.
Yang paling sederhana dan mendasar bentuk geometris dalam ruang tiga dimensi adalah titik, garis, dan bidang. Kami sudah memiliki gagasan tentang titik dan garis pada bidang. Jika kita menempatkan bidang di mana titik dan garis digambarkan dalam ruang tiga dimensi, maka kita mendapatkan titik dan garis dalam ruang. Ide pesawat di luar angkasa memungkinkan Anda untuk mendapatkan, misalnya, permukaan meja atau dinding. Namun, meja atau dinding memiliki dimensi yang terbatas, dan bidang tersebut melampaui batasnya hingga tak terhingga.
Titik dan garis dalam ruang dilambangkan dengan cara yang sama seperti pada bidang - masing-masing dalam huruf Latin besar dan kecil. Misalnya titik A dan Q, garis a dan d. Jika diberikan dua buah titik yang terletak pada suatu garis lurus, maka garis lurus tersebut dapat dilambangkan dengan dua huruf yang bersesuaian dengan titik-titik tersebut. Misalnya garis AB atau BA melalui titik A dan B. Merupakan kebiasaan untuk menunjukkan pesawat dengan huruf Yunani kecil, misalnya, pesawat, atau.
Saat memecahkan masalah, menjadi perlu untuk menggambarkan pesawat dalam gambar. Pesawat biasanya digambarkan sebagai jajaran genjang atau area tertutup sederhana yang sewenang-wenang.
Sebuah bidang biasanya dianggap bersama-sama dengan titik, garis lurus atau bidang lainnya, dan berbagai pilihan untuk posisi relatif mereka muncul. Kami meneruskan ke deskripsi mereka.
Posisi relatif bidang dan titik.
Mari kita mulai dengan aksioma: ada titik di setiap bidang. Dari situ berikut varian pertama posisi relatif bidang dan titik – titik tersebut dapat termasuk ke dalam bidang. Dengan kata lain, sebuah pesawat dapat melewati suatu titik. Untuk menunjukkan kepemilikan titik mana pun pada bidang apa pun, gunakan simbol "". Misalnya, jika pesawat melewati titik A, maka dapat ditulis secara singkat.
Harus dipahami bahwa pada bidang tertentu di ruang angkasa terdapat banyak titik yang tak terhingga.
Aksioma berikut menunjukkan berapa banyak titik dalam ruang yang harus ditandai sehingga menentukan bidang tertentu: melalui tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus, sebuah bidang lewat, dan hanya satu. Jika tiga titik yang terletak pada sebuah bidang diketahui, maka bidang tersebut dapat ditunjuk dengan tiga huruf yang sesuai dengan titik-titik tersebut. Misalnya, jika pesawat melewati titik A, B dan C, maka dapat ditunjuk ABC.
Mari kita rumuskan satu aksioma lagi, yang memberikan varian kedua dari posisi relatif bidang dan titik: setidaknya ada empat titik yang tidak terletak pada bidang yang sama. Jadi, suatu titik di ruang angkasa mungkin bukan milik pesawat. Memang, berdasarkan aksioma sebelumnya, sebuah pesawat melewati tiga titik ruang, dan titik keempat mungkin atau mungkin tidak terletak pada bidang ini. Singkatnya, simbol "" digunakan, yang setara dengan frasa "bukan milik".
Misalnya, jika titik A tidak terletak pada bidang, maka gunakan notasi pendek.
Garis dan bidang dalam ruang.
Pertama, garis lurus dapat terletak pada bidang. Dalam hal ini, setidaknya dua titik dari garis lurus ini terletak pada bidang. Ini ditentukan oleh aksioma: jika dua titik dari garis lurus terletak pada sebuah bidang, maka semua titik dari garis lurus ini terletak pada sebuah bidang. Untuk catatan singkat milik garis lurus tertentu dari bidang tertentu, gunakan simbol "". Misalnya, catatan berarti bahwa garis a terletak pada bidang.
Kedua, garis lurus dapat memotong bidang. Dalam hal ini, garis lurus dan bidang memiliki satu titik persekutuan tunggal, yang disebut titik potong garis lurus dan bidang. Singkatnya, persimpangan dilambangkan dengan simbol "". Misalnya, catatan berarti bahwa garis lurus a memotong bidang di titik M. Ketika sebuah bidang memotong garis lurus, konsep sudut antara garis lurus dan bidang muncul.
Secara terpisah, ada baiknya memikirkan garis lurus yang memotong bidang dan tegak lurus dengan garis lurus yang terletak di bidang ini. Garis ini disebut tegak lurus bidang. Untuk notasi pendek tegak lurus gunakan simbol "". Untuk mempelajari materi lebih dalam, Anda dapat merujuk ke artikel tegak lurus garis dan bidang.
Yang sangat penting dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan bidang adalah apa yang disebut vektor normal bidang. Vektor normal suatu bidang adalah sembarang vektor tak nol yang terletak pada suatu garis lurus yang tegak lurus terhadap bidang tersebut.
Ketiga, garis lurus dapat sejajar dengan bidang, yaitu tidak memiliki titik yang sama di dalamnya. Untuk singkatan paralelisme, gunakan simbol "". Misalnya, jika garis a sejajar dengan bidang, maka Anda dapat menulis. Kami menyarankan Anda mempelajari kasus ini lebih detail dengan mengacu pada artikel paralelisme garis lurus dan bidang.
Harus dikatakan bahwa garis lurus yang terletak pada sebuah bidang membagi bidang ini menjadi dua setengah bidang. Garis lurus dalam hal ini disebut batas setengah bidang. Setiap dua titik dari satu setengah bidang terletak pada satu sisi garis lurus, dan dua titik dari setengah bidang yang berbeda terletak pada sisi yang berlawanan dari garis lurus batas.
Saling mengatur pesawat.
Dua pesawat di luar angkasa bisa bertepatan. Dalam hal ini, mereka memiliki setidaknya tiga poin yang sama.
Dua bidang di luar angkasa dapat berpotongan. Perpotongan dua bidang adalah garis lurus, yang ditentukan oleh aksioma: jika dua bidang memiliki titik yang sama, maka mereka memiliki garis lurus yang sama di mana semua titik umum dari bidang ini terletak.
Dalam hal ini, konsep sudut antara bidang yang berpotongan muncul. Yang menarik adalah kasus ketika sudut antara bidang sama dengan sembilan puluh derajat. Bidang seperti itu disebut tegak lurus. Kami membicarakannya di artikel tegak lurus bidang.
Akhirnya, dua bidang di ruang angkasa bisa sejajar, yaitu, tidak memiliki titik yang sama. Kami menyarankan Anda membaca artikel paralelisme bidang untuk mendapatkan gambaran lengkap tentang opsi ini untuk posisi relatif bidang.
Metode untuk menentukan pesawat.
Sekarang kita akan membuat daftar cara utama untuk mendefinisikan bidang tertentu di ruang angkasa.
Pertama, sebuah bidang dapat didefinisikan dengan menetapkan tiga titik dalam ruang yang tidak terletak pada satu garis lurus. Metode ini didasarkan pada aksioma: sebuah bidang tunggal melewati tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus.
Jika sebuah bidang ditetapkan dan ditentukan dalam ruang tiga dimensi dengan menentukan koordinat tiga titik berbedanya yang tidak terletak pada satu garis lurus, maka kita dapat menulis persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu.
Dua cara berikutnya untuk mendefinisikan pesawat adalah konsekuensi dari yang sebelumnya. Mereka didasarkan pada akibat wajar dari aksioma pesawat yang melewati tiga titik:
- sebuah bidang melewati garis lurus dan sebuah titik tidak terletak di atasnya, apalagi hanya satu (lihat juga artikel persamaan bidang yang melalui garis lurus dan sebuah titik);
- sebuah bidang tunggal melewati dua garis lurus yang berpotongan (kami sarankan Anda membiasakan diri dengan materi artikel, persamaan bidang yang melewati dua garis lurus yang berpotongan).
Cara keempat untuk mendefinisikan bidang dalam ruang didasarkan pada definisi garis sejajar. Ingatlah bahwa dua garis lurus di ruang angkasa disebut sejajar jika mereka terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan. Jadi, dengan menunjukkan dua garis paralel dalam ruang, kita mendefinisikan satu-satunya bidang di mana garis-garis ini berada.
Jika dalam ruang tiga dimensi sehubungan dengan sistem koordinat persegi panjang sebuah pesawat ditentukan dengan cara ini, maka kita dapat merumuskan persamaan untuk sebuah pesawat yang melewati dua garis sejajar.
aku tahu SMA dalam pelajaran geometri, teorema berikut dibuktikan: melalui suatu titik tetap dalam ruang, ada satu bidang yang tegak lurus terhadap suatu garis lurus tertentu. Jadi, kita dapat menentukan sebuah bidang jika kita menunjukkan titik yang dilaluinya, dan garis lurus yang tegak lurus terhadapnya.
Jika sistem koordinat persegi panjang ditetapkan dalam ruang tiga dimensi dan bidang ditentukan dengan cara yang ditentukan, maka persamaan dapat dibuat untuk bidang yang melewati titik tertentu yang tegak lurus terhadap garis lurus tertentu.
Alih-alih garis lurus yang tegak lurus terhadap bidang, Anda dapat menentukan salah satu vektor normal bidang ini. Dalam hal ini, dimungkinkan untuk menulis
Artikel tersebut membahas tentang konsep garis lurus pada bidang datar. Mari kita pertimbangkan istilah dasar dan sebutannya. Mari kita bekerja dengan posisi relatif dari sebuah garis dan sebuah titik dan dua garis pada bidang. Mari kita bicara tentang aksioma. Sebagai hasilnya, kita akan membahas metode dan cara mendefinisikan garis lurus pada bidang.
Garis lurus pada pesawat - konsep
Pertama, Anda harus memiliki gagasan yang jelas tentang apa itu pesawat. Permukaan sesuatu apa pun dapat dikaitkan dengan bidang, hanya saja ia berbeda dari objek dalam ketidakterbatasannya. Jika kita membayangkan bahwa pesawat itu adalah sebuah meja, maka dalam kasus kita itu tidak akan memiliki batas, tetapi akan sangat besar.
Jika Anda menyentuh meja dengan pensil, akan ada tanda yang bisa disebut "titik". Dengan demikian, kita mendapatkan gambaran tentang suatu titik pada bidang.
Pertimbangkan konsep garis lurus pada bidang. Jika Anda menggambar garis lurus pada lembaran, maka itu akan ditampilkan di atasnya dengan panjang terbatas. Kami tidak menerima seluruh garis lurus, tetapi hanya sebagian saja, karena sebenarnya tidak ada ujungnya, seperti pesawat. Oleh karena itu, representasi garis dan bidang dalam buku catatan bersifat formal.
Kami memiliki aksioma:
Definisi 1
Poin dapat ditandai di setiap garis dan di setiap bidang.
Titik dilambangkan dalam huruf Latin besar dan kecil. Misalnya, A dan D atau a dan d.
Untuk titik dan garis lurus, hanya dua varian lokasi yang diketahui: titik pada garis lurus, dengan kata lain, bahwa garis lurus melewatinya, atau titik tidak pada garis lurus, yaitu garis lurus. garis tidak melewatinya.
Untuk menunjukkan apakah suatu titik pada bidang datar atau titik pada garis lurus termasuk, gunakan tanda "∈". Jika dalam kondisi diberikan bahwa titik A terletak pada garis a, maka notasi tersebut berbentuk A a. Jika titik A tidak termasuk, maka record lain adalah A a.
Penghakiman itu adil:
Definisi 2
Melalui dua titik yang terletak di sembarang bidang, ada satu garis lurus yang melewatinya.
Pernyataan ini dianggap sebagai akisoma, dan karena itu tidak memerlukan bukti. Jika Anda mempertimbangkan ini sendiri, Anda dapat melihat bahwa dengan dua titik yang ada hanya ada satu opsi untuk koneksi mereka. Jika kita diberi dua titik A dan B, maka garis yang melaluinya dapat disebut huruf-huruf tersebut, misalnya garis A B. Perhatikan gambar di bawah ini.
Garis lurus yang terletak pada bidang datar memiliki banyak titik. Dari sini muncul aksioma:
Definisi 3
Jika dua titik dari suatu garis lurus terletak pada suatu bidang, maka semua titik lain dari garis lurus ini juga termasuk dalam suatu bidang.
Himpunan titik yang terletak di antara dua titik tertentu disebut segmen garis lurus. Ia memiliki awal dan akhir. Penunjukan yang diperkenalkan oleh dua huruf.
Jika diketahui bahwa titik A dan P merupakan ujung suatu ruas, maka peruntukannya akan berbentuk PA atau A R. Karena peruntukan ruas dan garis lurus tersebut berimpit, maka disarankan untuk menambahkan atau menyelesaikan kata “ segmen”, “lurus”.
Singkatan keanggotaan mencakup penggunaan tanda dan . Untuk memperbaiki lokasi segmen relatif terhadap garis tertentu, gunakan . Jika pada kondisi diberikan ruas termasuk ke dalam garis b, maka record akan terlihat sebagai berikut: Р ⊂ b.
Kasus secara bersamaan milik tiga titik dari satu garis lurus terjadi. Ini benar ketika satu titik terletak di antara dua titik lainnya. Pernyataan ini dianggap sebagai aksioma. Jika diberikan titik A, B, C, yang merupakan salah satu garis lurus, dan titik B terletak di antara A dan C, maka semua titik yang diberikan terletak pada satu garis lurus, karena terletak pada kedua sisi relatif terhadap titik B.
Sebuah titik membagi garis lurus menjadi dua bagian, yang disebut sinar.Kami memiliki aksioma:
Definisi 4
Setiap titik O yang terletak pada garis lurus membaginya menjadi dua sinar, dan setiap dua titik dari satu sinar terletak di satu sisi sinar relatif terhadap titik O, dan yang lainnya - di sisi lain sinar.
Susunan garis lurus pada bidang dapat berbentuk dua keadaan.
Definisi 5
bertepatan.
Peluang ini muncul ketika garis memiliki titik yang sama. Berdasarkan aksioma yang ditulis di atas, kita memiliki bahwa garis lurus melalui dua titik dan hanya satu. Ini berarti bahwa ketika 2 garis melewati 2 titik yang diberikan, mereka bertepatan.
Definisi 6
Dua garis lurus pada bidang dapat menyeberang.
Kasus ini menunjukkan bahwa ada satu titik bersama, yang disebut perpotongan garis. Persimpangan penunjukan dengan tanda diperkenalkan. Jika terdapat notasi a b = M, maka garis a dan b yang diberikan berpotongan di titik M.
Saat memotong garis lurus, kita berhadapan dengan sudut yang dihasilkan. Pertimbangan terpisah diberikan pada bagian perpotongan garis lurus pada bidang dengan pembentukan sudut 90 derajat, yaitu sudut siku-siku. Maka garis tersebut disebut tegak lurus.Bentuk penulisan dua garis yang saling tegak lurus adalah a b, artinya garis a tegak lurus dengan garis b.
Definisi 7
Dua garis lurus pada bidang dapat menjadi paralel.
Hanya jika dua garis yang diberikan tidak memiliki persimpangan yang sama, dan karena itu tidak ada titik, apakah mereka sejajar. Notasi yang digunakan, yang dapat ditulis untuk paralelisme tertentu dari garis a dan b: a b.
Garis lurus pada bidang dianggap bersama-sama dengan vektor. Kepentingan khusus melekat pada vektor nol yang terletak pada garis lurus tertentu atau pada salah satu garis lurus paralel; mereka disebut vektor arah dari garis lurus. Perhatikan gambar di bawah ini.
Vektor bukan nol yang terletak pada garis yang tegak lurus dengan yang diberikan disebut vektor normal suatu garis. Ada penjelasan rinci dalam artikel vektor normal garis lurus di pesawat. Perhatikan gambar di bawah ini.
Jika 3 garis diberikan pada sebuah bidang, lokasinya bisa sangat berbeda. Ada beberapa opsi untuk lokasinya: persimpangan semua, paralelisme, atau keberadaan titik persimpangan yang berbeda. Gambar tersebut menunjukkan perpotongan tegak lurus dua garis relatif terhadap satu.
Untuk ini, kami menyajikan faktor-faktor yang diperlukan untuk membuktikan pengaturan timbal balik mereka:
- jika dua garis sejajar dengan yang ketiga, maka semuanya sejajar;
- jika dua garis tegak lurus terhadap garis ketiga, maka kedua garis ini sejajar;
- jika pada suatu bidang sebuah garis lurus memotong satu garis sejajar, maka garis tersebut memotong garis yang lain.
Mari kita pertimbangkan ini dalam gambar.
Garis lurus pada bidang dapat ditentukan dengan beberapa cara. Itu semua tergantung pada kondisi masalah dan pada apa solusinya akan didasarkan. Pengetahuan ini dapat membantu untuk pengaturan praktis dari garis lurus.
Definisi 8
Garis lurus ditentukan menggunakan dua titik tertentu yang terletak di pesawat.
Dari aksioma yang dipertimbangkan dapat disimpulkan bahwa melalui dua titik dimungkinkan untuk menggambar garis lurus dan, terlebih lagi, hanya satu garis tunggal. Ketika sistem koordinat persegi panjang menentukan koordinat dua titik yang tidak cocok, maka Anda dapat memperbaiki persamaan garis lurus yang melewati dua titik yang ditentukan. Pertimbangkan gambar di mana kita memiliki garis lurus yang melewati dua titik. 
Definisi 9
Garis lurus dapat ditentukan melalui suatu titik dan garis lurus yang sejajar dengannya.
Metode ini ada, karena melalui suatu titik Anda dapat menggambar garis lurus sejajar dengan yang diberikan, apalagi, hanya satu. Buktinya diketahui dari mata kuliah geometri sekolah.
Jika garis lurus diberikan relatif terhadap sistem koordinat Cartesian, maka dimungkinkan untuk membuat persamaan untuk garis lurus yang melalui set point sejajar dengan garis lurus tertentu. Pertimbangkan prinsip mendefinisikan garis lurus pada bidang.
Definisi 10
Garis lurus ditentukan melalui titik tertentu dan vektor arah.
Ketika garis lurus ditentukan dalam sistem koordinat persegi panjang, dimungkinkan untuk menyusun persamaan kanonik dan parametrik pada bidang. Pertimbangkan pada gambar lokasi garis lurus dengan adanya vektor arah.
Item keempat pada penetapan garis lurus masuk akal ketika sebuah titik ditunjukkan melalui mana itu harus ditarik, dan garis lurus tegak lurus dengannya. Dari aksioma kita mendapatkan:
Definisi 11
Hanya satu garis lurus yang tegak lurus dengan yang diberikan akan melewati titik tertentu yang terletak di pesawat.
Dan titik terakhir yang terkait dengan penentuan garis lurus pada bidang adalah pada titik tertentu yang dilalui oleh garis lurus, dan dengan adanya vektor normal dari garis lurus. Mengingat koordinat yang diketahui dari suatu titik yang terletak pada garis lurus tertentu, dan koordinat vektor normal, dimungkinkan untuk menulis persamaan umum lurus.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, silakan pilih dan tekan Ctrl + Enter
kaleng lurus milik pesawat, jadilah dia paralel atau menyeberang pesawat. Garis lurus termasuk dalam bidang jika dua titik yang termasuk dalam garis lurus dan sebuah bidang memiliki ketinggian yang sama... Konsekuensi yang mengikuti dari atas: sebuah titik milik sebuah pesawat jika itu milik garis lurus yang terletak di pesawat ini.
Garis lurus sejajar dengan bidang jika sejajar dengan garis lurus yang terletak di bidang ini.
Garis lurus yang memotong bidang. Untuk menemukan titik potong garis lurus dengan bidang, perlu (Gbr. 3.28):
1) menggambar bidang bantu melalui garis yang diberikan m T;
2) membuat garis n perpotongan bidang yang diberikan dengan bidang bantu T;
3) tandai titik persimpangan R, garis lurus yang diberikan M dengan garis potong n.
Perhatikan soal (Gbr. 3.29) Garis lurus m diberikan pada denah oleh titik A 6 dan sudut kemiringan 35 °. Sebuah bidang vertikal bantu ditarik melalui garis ini T, yang memotong bidang sepanjang garis n (B2C3). Jadi, seseorang bergerak dari posisi relatif garis lurus dan bidang ke posisi relatif dua garis lurus yang terletak pada bidang vertikal yang sama. Masalah ini diselesaikan dengan membangun profil garis lurus ini. Perpotongan garis lurus M dan n pada profil mendefinisikan titik yang diinginkan R... Ketinggian titik R ditentukan oleh skala skala vertikal.
Garis lurus yang tegak lurus bidang. Sebuah garis lurus tegak lurus terhadap sebuah bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap dua garis lurus yang berpotongan pada bidang ini. Gambar 3.30 menunjukkan garis lurus M tegak lurus bidang dan berpotongan di titik A. Pada denah, proyeksi garis lurus M dan horizontal bidang saling tegak lurus (sudut siku-siku, satu sisi yang sejajar dengan bidang proyeksi, diproyeksikan tanpa distorsi. Kedua garis lurus terletak pada bidang vertikal yang sama, oleh karena itu, posisi garis lurus tersebut besarnya timbal balik satu sama lain: aku m = II kamu Tetapi aku uΣ = aku, lalu aku m = II, yaitu, lokasi garis lurus m berbanding terbalik dengan lokasi bidang. Jatuh di dekat garis lurus dan bidang diarahkan ke arah yang berbeda.
3.4. Proyeksi elevasi numerik. permukaan
3.4.1 Permukaan polihedra dan melengkung. Permukaan topografi
Di alam, banyak zat memiliki struktur kristal dalam bentuk polihedron. Polihedron adalah kumpulan poligon datar yang tidak terletak pada bidang yang sama, di mana setiap sisi salah satunya secara bersamaan merupakan sisi yang lain. Saat menggambarkan polihedron, cukup untuk menunjukkan proyeksi simpulnya, menghubungkannya dalam urutan tertentu dengan garis lurus - proyeksi tepi. Dalam hal ini, tepi yang terlihat dan tidak terlihat harus ditunjukkan dalam gambar. dalam gambar. 3.31 menggambarkan prisma dan piramida, serta menemukan ketinggian titik milik permukaan ini.
Kelompok khusus poligon cembung adalah kelompok poligon beraturan di mana semua wajah sama satu sama lain poligon beraturan dan semua sudut poligonal adalah sama. Ada lima jenis poligon beraturan.
Segi empat- segi empat biasa, dibatasi oleh segitiga sama sisi, memiliki 4 simpul dan 6 tepi (Gbr. 3.32 a).
Pigur berenam segi- segi enam biasa (kubus) - 8 simpul, 12 tepi (Gambar 3.32b).
Segi delapan- segi delapan biasa, dibatasi oleh delapan segitiga sama sisi - 6 simpul, 12 tepi (Gbr. 3.32c).
Pigura berduabelas segi- sebuah dodecahedron biasa, dibatasi oleh dua belas segilima biasa, dihubungkan oleh tiga di dekat setiap simpul.
Ini memiliki 20 simpul dan 30 tepi (Gambar 3.32 d).
ikosahedron- segitiga beraturan dua puluh sisi, dibatasi oleh dua puluh segitiga sama sisi, dihubungkan oleh lima di dekat setiap simpul 12 simpul dan 30 tepi (Gbr. 3.32 e).
Saat membangun sebuah titik yang terletak di wajah polihedron, perlu untuk menggambar garis milik wajah ini dan menandai proyeksi titik pada proyeksinya.
Permukaan kerucut dibentuk dengan menggerakkan generatrix bujursangkar sepanjang panduan melengkung sehingga di semua posisi generatrix melewati titik tetap - bagian atas permukaan. Permukaan kerucut dari pandangan umum pada denah digambarkan oleh panduan horizontal dan simpul. dalam gambar. 3.33 menunjukkan lokasi elevasi suatu titik pada permukaan permukaan kerucut.
Kerucut lingkaran lurus digambarkan dengan serangkaian lingkaran konsentris yang digambar dengan selang waktu tertentu (Gambar 3.34a). Kerucut elips dengan alas melingkar - serangkaian lingkaran eksentrik (Gambar 3.34 b)
Permukaan bola. Permukaan bola disebut sebagai permukaan revolusi. Itu dibentuk dengan memutar lingkaran di sekitar diameternya. Pada denah, permukaan bola ditentukan oleh pusat KE dan proyeksi salah satu konturnya (ekuator bola) (Gbr. 3.35).
permukaan topografi. Permukaan topografi disebut sebagai permukaan yang tidak teratur secara geometris, karena tidak memiliki hukum pembentukan geometris. Untuk mengkarakterisasi permukaan, posisi titik karakteristiknya relatif terhadap bidang proyeksi ditentukan. dalam gambar. 3.3 b dan contoh bagian permukaan topografi diberikan, di mana proyeksi titik-titik individualnya ditampilkan. Rencana seperti itu, meskipun memungkinkan untuk mendapatkan gambaran tentang bentuk permukaan yang digambarkan, bagaimanapun, tidak terlalu jelas. Untuk memberikan gambar yang lebih jelas dan dengan demikian memudahkan pembacaannya, proyeksi titik-titik dengan ketinggian yang sama dihubungkan oleh garis lengkung halus, yang disebut kontur (isolin) (Gbr. 3.36 b).
Kontur permukaan topografi terkadang juga didefinisikan sebagai garis perpotongan permukaan ini dengan bidang horizontal yang berjarak satu sama lain pada jarak yang sama (Gambar 3.37). Selisih elevasi antara dua kontur yang berdekatan disebut tinggi penampang.
Semakin akurat citra permukaan topografi, semakin kecil perbedaan elevasi antara dua kontur yang berdekatan. Pada denah, kontur ditutup di dalam gambar atau di luarnya. Pada kemiringan permukaan yang lebih curam, proyeksi garis kontur bertemu, pada yang lembut, proyeksinya menyimpang.
Jarak terpendek antara proyeksi dua kontur yang berdekatan pada denah disebut inception. dalam gambar. 3.38 titik tembus SEBUAH beberapa segmen garis lurus digambar pada permukaan topografi DAN KAMU dan IKLAN... Semuanya memiliki sudut datang yang berbeda. Sudut datang terbesar memiliki segmen SEBAGAI, yang peletakannya memiliki nilai minimum. Oleh karena itu, akan menjadi proyeksi garis datangnya permukaan di tempat ini.
dalam gambar. 3.39 adalah contoh membangun proyeksi garis datang melalui titik tertentu SEBUAH... Dari titik 100, seperti dari pusat, tarik busur lingkaran yang bersinggungan dengan garis horizontal terdekat di titik T 90... Dot Pada 90, horisontal jam 90, akan menjadi bagian dari garis jatuh. Dari titik T 90 gambar busur yang menyentuh horizontal berikutnya di titik C80, dst. Gambar tersebut menunjukkan bahwa garis datang dari permukaan topografi adalah garis putus-putus, yang masing-masing ruasnya tegak lurus terhadap horizontal, melewati ujung bawah dari sambungan yang bertanda lebih rendah.
3.4.2 Perpotongan permukaan kerucut dengan bidang
Jika bidang potong melewati puncak permukaan kerucut, maka bidang itu memotongnya sepanjang garis lurus yang membentuk permukaan. Dalam semua kasus lain, garis bagian akan menjadi kurva datar: lingkaran, elips, dll. Pertimbangkan kasus perpotongan permukaan kerucut dengan bidang.
Contoh 1. Buatlah proyeksi garis potong kerucut melingkar Φ( h tentang , S 5) dengan bidang sejajar dengan generatrix permukaan kerucut.
Permukaan kerucut untuk lokasi tertentu dari bidang berpotongan dalam parabola. Interpolasi generatrix T kami membangun horizontal kerucut melingkar - lingkaran konsentris dengan pusat S 5 . Kemudian kita tentukan titik potong garis kontur dengan nama bidang dan kerucut yang sama (Gbr. 3.40).
3.4.3. Perpotongan permukaan topografi dengan bidang dan garis lurus
Kasus perpotongan permukaan topografi dengan bidang paling sering dijumpai dalam memecahkan masalah geologi. dalam gambar. 3.41 diberikan contoh konstruksi perpotongan permukaan topografi dengan bidang . Mencari kurva M ditentukan oleh titik potong kontur dengan nama bidang yang sama dan permukaan topografi.
dalam gambar. 3.42 diberikan contoh konstruksi pandangan sebenarnya dari permukaan topografi dengan bidang vertikal . Garis yang dicari m ditentukan oleh titik-titik A, B, C… Perpotongan garis kontur permukaan topografi dengan bidang potong . Pada denah, proyeksi kurva merosot menjadi garis lurus yang bertepatan dengan proyeksi bidang: M. Profil kurva m dibangun dengan mempertimbangkan lokasi proyeksi titik-titiknya pada denah, serta ketinggiannya.
3.4.4. Permukaan lereng yang sama
Permukaan dengan kemiringan yang sama adalah permukaan yang diatur, semua generator bujursangkar yang membuat sudut konstan dengan bidang horizontal. Permukaan seperti itu dapat diperoleh dengan menggerakkan kerucut melingkar lurus dengan sumbu tegak lurus terhadap bidang rencana, sehingga sudutnya meluncur sepanjang pemandu tertentu, dan sumbu pada posisi apa pun tetap vertikal.
dalam gambar. 3.43 menunjukkan permukaan dengan kemiringan yang sama (i = 1/2), yang dipandu oleh kurva spasial A, B, C, D
Pesawat kelulusan. Sebagai contoh, perhatikan bidang lereng jalan raya.
Contoh 1. Kemiringan memanjang jalan i = 0, kemiringan lereng timbunan i n = 1:1.5, (Gbr. 3.44a). Diperlukan untuk menggambar horizontal melalui 1m. Solusinya adalah sebagai berikut. Kami menggambar skala kemiringan bidang yang tegak lurus dengan tepi jalan raya, menandai titik-titik pada jarak yang sama dengan interval 1,5 m, diambil dari skala linier, dan menentukan tanda 49, 48 dan 47. Melalui titik diperoleh kita menggambar kontur lereng sejajar dengan tepi jalan.
Contoh 2. Kemiringan memanjang jalan i 0, kemiringan lereng timbunan i n = 1:1.5, (Gambar 3.44b). Bidang permukaan jalan digradasi. Kemiringan dasar jalan digradasi sebagai berikut. Pada suatu titik dengan puncak 50,00 (atau titik lain), tempatkan puncak kerucut, gambarkan sebuah lingkaran dengan jari-jari yang sama dengan interval kemiringan tanggul (dalam contoh kita aku= 1,5 m). Ketinggian kontur kerucut ini akan menjadi satu kurang dari ketinggian puncak, mis. 49m. Kami menggambar serangkaian lingkaran, kami mendapatkan tanda garis kontur 48, 47, sehubungan dengan itu dari titik tepi dengan tanda 49, 48, 47 kami menggambar garis horizontal lereng tanggul.
Kelulusan permukaan.
Contoh 3. Jika kemiringan memanjang jalan i = 0 dan kemiringan lereng timbunan pada = 1:1.5, maka kemiringan mendatar digambar melalui titik-titik skala kemiringan, yang selangnya sama dengan selang waktu lereng tanggul (Gambar 3.45a). Jarak antara dua proyeksi garis kontur yang berdekatan dalam arah norma umum (skala kemiringan) adalah sama di mana-mana.
Contoh 4. Jika kemiringan memanjang jalan i 0, dan kemiringan lereng timbunan pada = 1:1.5, (Gambar 3.45b), maka kontur dibuat dengan cara yang sama, kecuali kontur lereng ditarik tidak dalam garis lurus, tetapi dalam kurva.
3.4.5. Penentuan garis batas pekerjaan tanah
Karena sebagian besar tanah tidak dapat mempertahankan dinding vertikal, lereng (struktur buatan) harus dibangun. Kemiringan yang diberikan oleh lereng tergantung pada tanah.
Untuk memberikan sebidang permukaan bumi tampilan bidang dengan kemiringan tertentu, Anda perlu mengetahui garis batas untuk pekerjaan tanah dan pekerjaan nol. Garis yang membatasi daerah yang direncanakan ini diwakili oleh perpotongan lereng tanggul dan lereng yang dipotong dengan permukaan topografi yang ditentukan.
Karena setiap permukaan (termasuk yang datar) digambarkan menggunakan garis kontur, maka garis perpotongan permukaan dibuat sebagai kumpulan titik perpotongan garis kontur dengan elevasi yang sama. Mari kita lihat beberapa contoh.
Contoh 1. Pada gambar. 3.46 diberikan struktur tanah dalam bentuk piramida segi empat terpotong, berdiri di atas bidang n... Basis atas ABCD piramida memiliki tanda 4m dan ukuran sisinya 2 × 2,5 m... Wajah samping (lereng tanggul) memiliki kemiringan 2:1 dan 1:1, yang arahnya ditunjukkan oleh panah.
Perlu untuk membangun garis persimpangan lereng struktur dengan bidang n dan di antara mereka sendiri, serta membangun profil memanjang di sepanjang sumbu simetri.
Pertama, diagram lereng, interval dan skala peletakan, lereng yang diberikan, dibangun. Tegak lurus ke setiap sisi situs, skala lereng lereng digambar pada interval tertentu, setelah itu proyeksi garis kontur dengan ketinggian yang sama dari wajah yang berdekatan adalah garis persimpangan lereng, yang merupakan proyeksi dari tepi samping piramida ini.
Basis bawah piramida bertepatan dengan kontur nol lereng. Jika struktur tanah ini dilintasi oleh bidang vertikal Q, di bagian Anda mendapatkan garis putus-putus - profil memanjang struktur.
Contoh 2... Buatlah garis perpotongan antara lereng pit dengan kemiringan datar dan satu sama lain. Bawah ( ABCD) sebuah lubang berbentuk persegi panjang dengan ketinggian 10 m dan dimensi 3 × 4 m. Sumbu situs membentuk sudut 5 ° dengan garis selatan-utara. Kemiringan galian memiliki kemiringan yang sama yaitu 2:1 (Gambar 3.47).
Garis nol pekerjaan dibuat sesuai dengan rencana medan. Itu dibangun sesuai dengan titik persimpangan dari proyeksi yang sama dari kontur permukaan yang dipertimbangkan. Pada titik perpotongan garis kontur lereng dan permukaan topografi dengan elevasi yang sama, ditemukan garis perpotongan lereng yang merupakan penonjolan tepi-tepi samping lubang ini.
Dalam hal ini, lereng samping galian berdekatan dengan dasar galian. Garis abcd- garis persimpangan yang dicari. Aa, Bb, , Dd- tepi lubang, garis persimpangan lereng satu sama lain.
4. Pertanyaan untuk pengendalian diri dan tugas untuk kerja mandiri pada topik "Proyeksi persegi panjang"
Dot
4.1.1. Inti dari metode proyeksi.
4.1.2. Apa itu Proyeksi Titik?
4.1.3. Bagaimana bidang proyeksi disebut dan ditunjuk?
4.1.4. Apa garis-garis sambungan proyeksi dalam gambar dan bagaimana letaknya dalam gambar sehubungan dengan sumbu proyeksi?
4.1.5. Bagaimana cara membuat proyeksi (profil) ketiga dari suatu titik?
4.1.6. Bangun tiga proyeksi titik A, B, C pada gambar tiga gambar, tuliskan koordinatnya dan isi tabel.
4.1.7. Bangun sumbu proyeksi yang hilang, x A = 25, y A = 20. Buatlah proyeksi profil titik A.
4.1.8. Buatlah tiga proyeksi titik di sepanjang koordinatnya: A (25,20,15), B (20,25,0) dan C (35,0,10). Tentukan posisi titik dalam kaitannya dengan bidang dan sumbu proyeksi. Manakah dari titik-titik yang lebih dekat ke bidang P3?
4.1.9. Poin materi A dan B mulai jatuh secara bersamaan. Dimanakah titik B ketika titik A menyentuh tanah? Tentukan visibilitas poin. Membangun poin di posisi baru.
4.1.10. Buatlah tiga proyeksi titik A, jika titik tersebut terletak pada bidang P 3, dan jaraknya ke bidang P 1 adalah 20 mm, ke bidang P 2 - 30 mm. Tuliskan koordinat titik tersebut.
Lurus
4.2.1. Bagaimana garis lurus dapat ditentukan dalam gambar?
4.2.2. Garis lurus manakah yang disebut lurus? posisi umum?
4.2.3. Posisi apa yang dapat ditempati oleh garis lurus terhadap bidang proyeksi?
4.2.4. Kapan proyeksi garis lurus berubah menjadi titik?
4.2.5. Apa karakteristik dari gambar kompleks tingkat lurus?
4.2.6. Tentukan posisi relatif dari garis lurus ini.
a… b a… b a… b
4.2.7. Buatlah proyeksi segmen garis lurus AB dengan panjang 20 mm, sejajar dengan bidang: a) P 2; b) P 1; c) sumbu Ox. Tentukan sudut kemiringan segmen terhadap bidang proyeksi.
4.2.8. Buatlah proyeksi segmen AB menurut koordinat ujungnya: A (30,10,10), B (10,15,30). Bangun proyeksi titik C yang membagi segmen dalam kaitannya dengan AC: CB = 1: 2.
4.2.9. Tentukan dan catat jumlah tepi polihedron yang diberikan dan posisinya relatif terhadap bidang proyeksi.
4.2.10. Gambarlah garis mendatar dan garis depan melalui titik A, berpotongan dengan garis m.
4.2.11. Tentukan jarak antara garis b dan titik A
4.2.12. Buatlah proyeksi segmen AB yang panjangnya 20 mm melalui titik A dan tegak lurus bidang a) P2; b) P 1; c.P3.
