Satu pesawat memiliki yang umum. Tiga pesawat berbeda memiliki titik yang sama. Verp Lee, bahwa pesawat ini memiliki langsung bersama? Menjelaskan. Lokasi Saling Pesawat

Stereometri aksiom.

A1. Berulir tiga poin yang tidak berbaring di baris ini, pesawat berlalu, dan apalagi satu;

Tembakan.1. Melalui titik langsung dan tidak berbaring, pesawat berlalu dan apalagi satu-satunya;

Tembakan.2. Melalui dua garis lurus berpotongan, pesawat berlalu, dan apalagi satu;

Tembakan.3. Melalui dua garis lurus paralel, pesawat berlalu, dan hanya dengan satu.

A2.Jika dua titik berbaring langsung di pesawat, maka semua poin lurus di pesawat ini;

A3. Jika dua pesawat memiliki titik yang sama, mereka memiliki langsung yang umum di mana semua titik umum dari pesawat-pesawat ini berbohong.

Tokoh utama stereometri - poin. (A, B, C ...), lurus (A, B, C ...)Pesawat ( …) , polyhedra dan mayat rotasi.

Dibawah menyanyikan pesawat. Sosok curah akan memahami pesawat, di kedua sisi yang ada poin dari angka ini.

Per ukur jarak Antara titik, langsung dan pesawat kita akan mengambil panjang tegak lurus mereka.

2. Lokasi timbal balik langsung di ruang angkasa.

Di luar angkasa, dua kaleng langsung menjadi paralel, berpotongan atau menyeberang.

1. Saling menguntungkan langsung dan pesawat di ruang angkasa.

Dalam ruang lurus dan pesawat bisa paralel, berpotonganatau lurus itu hanya bisa berbaring di pesawat.

1. Lokasi timbal balik pesawat di luar angkasa.

Di ruang pesawat bisa paralel atau menyeberang.

Dalam planimetri, pesawat ini adalah salah satu tokoh utama, oleh karena itu, sangat penting untuk memiliki gagasan yang jelas tentang itu. Artikel ini dirancang untuk mengungkapkan topik ini. Pada awalnya, konsep pesawat, representasi grafiknya dan menunjukkan sebutan pesawat. Selanjutnya, pesawat dianggap bersama dengan titik, langsung atau pesawat lain, sementara ada varian dari lokasi timbal balik di ruang angkasa. Pada paragraf kedua dan ketiga dan keempat dari artikel tersebut, semua varian dari pengaturan timbal balik dari dua pesawat, langsung dan pesawat, serta poin dan pesawat, disajikan, aksioma utama dan ilustrasi grafis disajikan. Kesimpulannya, cara dasar pengaturan pesawat dalam ruang diberikan.

Menavigasi halaman.

Pesawat - Konsep dasar, notasi dan gambar.

Paling sederhana dan dasar angka geometris Dalam ruang tiga dimensi adalah titik, lurus dan pesawat. Kami sudah memiliki gagasan tentang titik dan langsung di pesawat. Jika Anda menempatkan pesawat di titik mana dan langsung, dalam ruang tiga dimensi, maka kami akan mendapatkan poin dan langsung di ruang angkasa. Pandangan pesawat di ruang memungkinkan Anda mendapatkan, misalnya, permukaan meja atau dinding. Namun, meja atau dinding memiliki ukuran terbatas, dan pesawat memanjang untuk batas-batas mereka menjadi tak terhingga.

Poin dan langsung di ruang ditunjukkan serta pada pesawat - huruf Latin besar dan kecil. Misalnya, poin A dan Q, lurus a dan d. Jika dua titik diatur pada garis lurus, maka langsung dapat dilambangkan dengan dua huruf yang sesuai dengan titik-titik ini. Misalnya, luruskan AV atau WA melewati titik A dan B. Pesawat dibuat untuk menunjukkan dengan huruf-huruf Yunani kecil, misalnya, pesawat, atau.

Saat memecahkan tugas, perlu untuk menggambarkan bidang dalam gambar. Pesawat biasanya digambarkan sebagai paralelogram atau area tertutup sederhana yang sewenang-wenang.

Pesawat biasanya dianggap bersama dengan titik-titik, pesawat langsung atau lainnya, sementara berbagai pilihan untuk lokasi timbal balik mereka. Pergi ke deskripsi.

Saling Lokasi Pesawat dan Titik.

Mari kita mulai dengan aksioma: ada titik di setiap bidang. Ini mengikuti versi pertama dari posisi relatif pesawat dan titik - titik dapat menjadi bagian dari pesawat. Dengan kata lain, pesawat dapat melewati intinya. Untuk merujuk ke tempat mana pun dari pesawat apa pun, gunakan simbol "". Misalnya, jika pesawat melewati titik A, maka Anda dapat membakar secara singkat.

Harus dipahami bahwa pada bidang tertentu di ruang angkasa ada banyak poin.

Axiom berikut menunjukkan berapa banyak titik dalam ruang yang harus dicatat bahwa mereka menentukan bidang spesifik: melalui tiga titik yang tidak berbaring pada satu garis lurus, pesawat berlalu, dan hanya satu. Jika tiga titik berbaring di pesawat diketahui, maka pesawat dapat ditetapkan dalam tiga huruf yang sesuai dengan titik-titik ini. Misalnya, jika pesawat melewati titik A, B dan C, maka itu dapat dilambangkan oleh ABC.

Kami merumuskan aksioma lain, yang memberikan opsi kedua dari lokasi relatif pesawat dan poin: setidaknya ada empat poin yang tidak tergeletak di pesawat yang sama. Jadi, titik ruang mungkin bukan milik pesawat. Memang, karena aksioma sebelumnya melalui tiga titik ruang, sebuah pesawat berlalu, dan titik keempat bisa seperti berbaring di pesawat ini dan tidak berbohong. Dengan catatan singkat, gunakan simbol "", yang setara dengan frasa "bukan milik."

Misalnya, jika titik dan tidak terletak di pesawat, maka gunakan catatan singkat.

Langsung dan pesawat di ruang angkasa.

Pertama, lurus bisa terletak di pesawat. Dalam hal ini, pesawat berbohong setidaknya dua titik lurus ini. Ini diatur oleh aksioma: Jika dua poin langsung berbaring di pesawat, maka semua titik ini berbaring di pesawat. Untuk catatan singkat afiliasi beberapa bidang langsung menggunakan simbol "". Misalnya, catatan berarti bahwa lurus dan letak di pesawat.

Kedua, langsung bisa melintasi pesawat. Pada saat yang sama, lurus dan pesawat memiliki satu titik umum tunggal, yang disebut titik persimpangan lurus dan pesawat. Dengan catatan singkat, persimpangan menunjukkan simbol "". Misalnya, catatan berarti lurus dan melintasi pesawat pada titik m. Dengan persimpangan pesawat, beberapa lurus terjadi konsep sudut antara lurus dan pesawat.

Secara terpisah, ada baiknya berhenti pada garis lurus, yang melintasi pesawat dan tegak lurus terhadap letak langsung di pesawat ini. Seperti itu langsung disebut tegak lurus ke pesawat. Untuk catatan singkat tegendikularitas, Simomal "" digunakan. Untuk studi yang lebih dalam tentang materi, Anda dapat merujuk pada item tegak lurus dari langsung dan bidang.

Signifikansi khusus dalam memecahkan masalah yang terkait dengan pesawat memiliki apa yang disebut vektor bidang normal. Vektor normal pesawat adalah vektor nonzero yang berbaring lurus, tegak lurus terhadap pesawat ini.

Ketiga, langsung dapat paralel dengan pesawat, yaitu, tidak memiliki poin umum di dalamnya. Dengan catatan singkat paralelisme, gunakan simbol "". Misalnya, jika lurus dan sejajar dengan pesawat, maka Anda dapat menulis. Kami sarankan untuk membaca kasus ini secara lebih rinci dengan merujuk pada paralelisme artikel dari lurus dan bidang.

Seharusnya dikatakan bahwa yang lurus, berbaring di pesawat membagi pesawat ini menjadi dua pesawat setengah. Langsung dalam hal ini disebut batas semi-posisi. Setiap dua titik setengah bidang berbaring di satu sisi dari garis, dan dua titik dari setengah pesawat yang berbeda terletak pada sisi yang berbeda dari batas langsung.

Lokasi timbal balik dari pesawat.

Dua pesawat di luar angkasa mungkin bertepatan. Dalam hal ini, mereka memiliki setidaknya tiga poin umum.

Dua pesawat di ruang angkasa dapat berpotongan. Persimpangan dua pesawat adalah garis lurus, yang diatur oleh aksioma: Jika dua pesawat memiliki titik yang sama, maka mereka memiliki garis umum di mana semua titik umum dari pesawat ini berbohong.

Dalam hal ini, konsep sudut antara pesawat berpotongan terjadi. Bunga terpisah adalah kasus ketika sudut antara pesawat sama dengan sembilan puluh derajat. Pesawat semacam itu disebut tegak lurus. Kami berbicara tentang tegak lurus dari pesawat dalam artikel.

Akhirnya, dua pesawat di ruang dapat paralel, yaitu, bukan untuk memiliki poin umum. Kami merekomendasikan untuk membiasakan diri dengan paralelisme artikel dari pesawat untuk mendapatkan gambaran lengkap tentang perwujudan kerabat ini.

Cara untuk mengatur pesawat.

Sekarang kami mencantumkan cara utama untuk menentukan bidang spesifik di ruang angkasa.

Pertama, pesawat dapat diatur dengan memperbaiki tiga tidak berbaring pada satu titik lurus. Metode ini didasarkan pada aksioma: melalui tiga titik yang tidak berbaring pada satu garis lurus, satu-satunya pesawat berlalu.

Jika sebuah pesawat direkam dalam ruang tiga dimensi menggunakan indikasi koordinat dari tiga titik berbeda yang tidak berbaring pada satu lurus, maka kita dapat menulis persamaan pesawat yang melewati tiga setpoint.

Dua metode pengaturan pesawat berikut adalah konsekuensi dari yang sebelumnya. Mereka didasarkan pada konsekuensi aksioma pesawat yang melewati tiga poin:

• melalui titik langsung dan tidak berbaring, titik melewati pesawat, apalagi, hanya satu (lihat juga persamaan artikel dari pesawat yang melewati lurus dan titik);
• melalui dua garis lurus berpotongan, satu-satunya pesawat berlalu (kami sarankan untuk membiasakan dengan material artikel dengan persamaan pesawat yang melewati dua garis lurus berpotongan).

Cara keempat untuk mengatur pesawat dalam ruang didasarkan pada definisi garis lurus paralel. Ingatlah bahwa dua garis lurus disebut paralel jika mereka berbaring di bidang yang sama dan tidak berpotongan. Dengan demikian, menunjukkan dua garis lurus paralel di ruang angkasa, kita mendefinisikan satu-satunya bidang di mana kebohongan letaknya yang lurus.

Jika dalam ruang tiga dimensi relatif terhadap sistem koordinat persegi panjang, pesawat diatur dengan cara yang ditentukan, maka kita dapat membuat persamaan pesawat melewati dua garis lurus paralel.

aku tahu sMA Teorema berikut dibuktikan dalam pelajaran geometri: melalui titik tetap ruang ada satu bidang yang tegak lurus terhadap langsung ini. Dengan demikian, kita dapat mengatur pesawat jika Anda menentukan titik yang melewati, dan lurus, tegak lurus terhadapnya.

Jika sistem koordinat persegi panjang dicatat dalam ruang tiga dimensi dan pesawat diatur dengan cara yang ditentukan, maka persamaan bidang yang melewati titik yang ditentukan secara tegak lurus dengan garis lurus yang ditentukan.

Alih-alih lurus, tegak lurus ke pesawat, Anda dapat menentukan salah satu vektor normal dari pesawat ini. Dalam hal ini, dimungkinkan untuk menulis

titik-titik tidak berbaring di satu garis lurus? a) berpotongan; b) Tidak mungkin untuk mengatakan apa-apa; c) tidak berpotongan; d) bertepatan; e) memiliki tiga poin umum.

2. Manakah dari pernyataan berikut ini yang benar? a) Jika dua titik lingkar terletak di pesawat, maka seluruh lingkaran terletak di pesawat ini; b) garis lurus, berbaring di bidang segitiga, melintasi kedua sisinya; c) setiap dua pesawat hanya memiliki satu titik umum; d) Dua poin melewati pesawat dan selain itu hanya satu; e) Lurus terletak di bidang segitiga ini, jika melintasi dua lurus, mengandung sisi segitiga.

3. Bisakah dua pesawat berbeda hanya memiliki dua poin umum? tidak pernah; b) Saya bisa, tetapi dalam kondisi tambahan; c) selalu miliki; d) Tidak mungkin untuk menjawab pertanyaan; e) jawaban lain.

4. Poin K, L, M berbaring pada satu garis lurus, titik N tidak berbaring di atasnya. Setelah setiap tiga poin, satu pesawat dilakukan. Berapa banyak pesawat berbeda yang berhasil? a) 1; b) 2; dalam 3; d) 4; e) banyak sekali.

5. Pilih pernyataan yang benar. a) Melalui tiga poin pesawat berlalu, dan apalagi satu; b) Jika dua poin langsung berbaring di pesawat, maka semua poin berbaring langsung di pesawat ini; c) Jika dua pesawat memiliki titik yang sama, mereka tidak berpotongan; d) melalui lurus dan titik berbaring di atasnya, pesawat berlalu, dan apalagi hanya satu; e) Dalam dua bidang lurus berpotongan tidak dapat dilakukan.

6. Sebutkan keseluruhan PBM dan Pesawat MAB langsung. a) pm; b) AB; c) pb; d) Bm; D) Tidak mungkin untuk menentukan.

7. Lurus A dan B berpotongan pada titik M. Langsung C, tidak melewati titik m, melintasi A dan B langsung. Apa yang bisa dikatakan tentang posisi timbal balik A, B dan C? a) Semua Lurus terletak di berbagai bidang; b) lurus a dan b terletak di pesawat yang sama; c) semua letak lurus di bidang yang sama; d) tidak bisa mengatakan apa-apa; e) lurus dengan bertepatan dengan salah satu garis lurus: atau dengan, atau dengan b.

8. Lurus A dan B berpotongan pada titik O. € A, b € b, y € ab. Pilih pernyataan yang benar. a) poin o dan y tidak terletak di pesawat yang sama; b) lurus dan paralel; c) lurus a, b dan point y berbaring di pesawat yang sama; d) poin o dan y bertepatan; e) poin y dan bertepatan.

1. Apa yang bisa dikatakan tentang pengaturan timbal balik dua pesawat, yang memiliki tiga poin umum yang tidak berbaring pada satu garis lurus?
a) berpotongan; b) Tidak mungkin untuk mengatakan apa-apa; c) tidak berpotongan; d) bertepatan; e) memiliki tiga poin umum.

2. Manakah dari pernyataan berikut ini yang benar?
a) Jika dua titik lingkar terletak di pesawat, maka seluruh lingkaran terletak di pesawat ini; b) garis lurus, berbaring di bidang segitiga, melintasi kedua sisinya; c) setiap dua pesawat hanya memiliki satu titik umum; d) Dua poin melewati pesawat dan selain itu hanya satu; e) Lurus terletak di bidang segitiga ini, jika melintasi dua lurus, mengandung sisi segitiga.

3. Bisakah dua pesawat berbeda hanya memiliki dua poin umum?
tidak pernah; b) Saya bisa, tetapi dalam kondisi tambahan; c) selalu miliki; d) Tidak mungkin untuk menjawab pertanyaan; e) jawaban lain.

4. Poin K, L, M berbaring pada satu garis lurus, titik N tidak berbaring di atasnya. Setelah setiap tiga poin, satu pesawat dilakukan. Berapa banyak pesawat berbeda yang berhasil?
a) 1; b) 2; dalam 3; d) 4; e) banyak sekali.

5. Pilih pernyataan yang benar.
a) Melalui tiga poin pesawat berlalu, dan apalagi satu; b) Jika dua poin langsung berbaring di pesawat, maka semua poin berbaring langsung di pesawat ini; c) Jika dua pesawat memiliki titik yang sama, mereka tidak berpotongan; d) melalui lurus dan titik berbaring di atasnya, pesawat berlalu, dan apalagi hanya satu; e) Dalam dua bidang lurus berpotongan tidak dapat dilakukan.

6. Sebutkan keseluruhan PBM dan Pesawat MAB langsung.
a) pm; b) AB; c) pb; d) Bm; D) Tidak mungkin untuk menentukan.

7. Bagaimana dengan pesawat yang terdaftar melintasi garis lurus PM (Gbr. 1)?
a) dd1c; b) D1PM; c) B1pm; d) abc; e) CDA.
B1 c1.

8.TVE Pesawat berpotongan dalam garis lurus dengan. Poin m terletak hanya di salah satu pesawat. Apa yang bisa dikatakan tentang posisi timbal balik dari titik m dan lurus?
a) Tidak ada output yang dapat dilakukan; b) lurus dengan lintasan melalui titik m; c) dot m terletak pada garis lurus dengan; d) garis lurus dengan tidak melewati titik m; e) jawaban lain.

9. Lurus A dan B berpotongan pada titik M. Langsung C, tidak melewati titik m, melintasi A dan B langsung. Apa yang bisa dikatakan tentang posisi timbal balik A, B dan C?
a) Semua Lurus terletak di berbagai bidang; b) lurus a dan b terletak di pesawat yang sama; c) semua letak lurus di bidang yang sama; d) tidak bisa mengatakan apa-apa; e) lurus dengan bertepatan dengan salah satu garis lurus: atau dengan, atau dengan b.

10. Langsung A dan B berpotongan pada titik O. € A, b € b, y € ab. Pilih pernyataan yang benar.
a) poin o dan y tidak terletak di pesawat yang sama; b) lurus dan paralel; c) lurus a, b dan point y berbaring di pesawat yang sama; d) poin o dan y bertepatan; e) poin y dan bertepatan.

sinar AV dan sebagai tegak lurus ke ujungnya? 2.well, apa sudut linear Anda sudut dihedral, jika sinar AB dan AU terletak di tepi sudut dihedral? 3. Benarkah sudut Anda adalah sudut linear dari sudut dummy, jika sinar AV dan AU tegak lurus terhadap keunggulannya, dan poin E dan C berbaring di sudut-sudutnya? 4. Sudut linear dari sudut dwarbon adalah 80 derajat. Apakah ada garis lurus, tegak lurus ke wajah lain di salah satu wajah? 5. Sudut sudut adalah sudut linear sudut dummy dengan ujung alfa. Apakah Pesawat Alpha Perlentekular ABC? Benarkah itu semua lurus, tegak lurus dari pesawat ini dan menyilangkan ini, terletak di pesawat yang sama.

Tiga pesawat mungkin tidak memiliki satu poin umum (jika setidaknya dua dari mereka paralel, dan juga jika persimpangan langsung mereka paralel), mungkin memiliki poin umum yang tak terhitung jumlahnya (jika semuanya melewati satu lurus) atau hanya memiliki

satu poin umum. Dalam kasus pertama, sistem persamaan

itu tidak memiliki solusi, pada detik ada banyak solusi, di ketiga - hanya satu solusi. Untuk penelitian ini lebih mudah untuk menerapkan faktor penentu (§ 183, 190), tetapi Anda dapat melakukannya tanpa aljabar dasar.

Contoh 1. Pesawat.

tidak memiliki poin umum, karena pesawat (1) dan (2) paralel (§ 125). Sistem persamaan yang tidak lengkap (persamaan (1) dan (2) saling bertentangan).

Contoh 2. Jelajahi apakah ada poin umum dalam tiga pesawat

Kami mencari solusi sistem (4) - (6). Dengan mengecualikan 2 dari (4) dan (5), kami memperoleh pengecualian 2 dari (4) dan (6), kami memperoleh dua persamaan ini tidak lengkap. Jadi, tiga pesawat tidak memiliki poin umum. Karena tidak ada pesawat paralel di antara mereka, maka tiga langsung, di mana pesawat berpasangan berpasangan berpotongan, paralel.

Contoh 3. Jelajahi apakah ada poin umum dari pesawat

Dengan melakukan, seperti pada contoh 2, kita akan mendapatkan kedua kali begitu. E. Faktanya, bukan dua, tetapi satu persamaan. Ini memiliki solusi yang tak terhitung jumlahnya. Jadi ketiganya