Variabel acak x ditentukan oleh fungsi kepadatan distribusi. Ekspektasi matematis dari variabel acak kontinu. Fungsi distribusi variabel acak kontinu

Tugas 2. Temukan varians dari variabel acak X yang diberikan oleh fungsi integral.

Tugas 3. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak X dengan fungsi distribusi.

Tugas 4. Kepadatan probabilitas suatu variabel acak diberikan sebagai berikut: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Temukan koefisien A, fungsi distribusi F(x), ekspektasi dan varians matematis, serta peluang bahwa variabel acak akan mengambil nilai dalam interval tersebut. Gambarlah grafik f(x) dan F(x).

Tugas. Fungsi distribusi beberapa variabel acak kontinu diberikan sebagai berikut:

Tentukan parameter a dan b, temukan ekspresi kepadatan probabilitas f(x), ekspektasi dan varians matematis, serta probabilitas bahwa variabel acak akan mengambil nilai dalam interval. Gambarlah grafik f(x) dan F(x).

Mari kita cari fungsi kepadatan distribusi sebagai turunan dari fungsi distribusi.
F′=f(x)=a
Mengetahui bahwa kita akan menemukan parameter a:

atau 3a=1, maka a = 1/3
Kami menemukan parameter b dari properti berikut:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 maka b = -1/3
Oleh karena itu, fungsi distribusinya berbentuk: F(x) = (x-1)/3

Contoh No.1. Kepadatan distribusi probabilitas f(x) dari variabel acak kontinu X diberikan. Diperlukan:

1. Tentukan koefisien A.
2. tentukan fungsi distribusi F(x) .
3. Buatlah grafik secara skematis dari F(x) dan f(x).
4. tentukan ekspektasi matematis dan varians dari X.
5. tentukan peluang X akan mengambil nilai dari interval (2;3).

Variabel acak X ditentukan oleh kepadatan distribusi f(x):

Penyebaran variabel acak kontinu X, yang kemungkinan nilainya dimiliki oleh seluruh sumbu Ox, ditentukan oleh persamaan:

Tujuan layanan. Kalkulator online dirancang untuk memecahkan masalah yang mana pun kepadatan distribusi f(x) atau fungsi distribusi F(x) (lihat contoh). Biasanya dalam tugas seperti itu Anda perlu menemukannya ekspektasi matematis, deviasi standar, fungsi plot f(x) dan F(x).

instruksi. Pilih jenis data sumber: kepadatan distribusi f(x) atau fungsi distribusi F(x).

Kepadatan distribusi f(x) diberikan:

Fungsi distribusi F(x) diberikan:

Variabel acak kontinu ditentukan oleh kepadatan probabilitas
(Hukum distribusi Rayleigh - digunakan dalam teknik radio). Temukan M(x) , D(x) .

Variabel acak X disebut kontinu , jika fungsi distribusinya F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Fungsi distribusi variabel acak kontinu digunakan untuk menghitung peluang suatu variabel acak jatuh ke dalam interval tertentu:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Selain itu, untuk variabel acak kontinu, tidak menjadi masalah apakah batas-batasnya termasuk dalam interval ini atau tidak:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Kepadatan distribusi variabel acak kontinu disebut fungsi
f(x)=F’(x) , turunan dari fungsi distribusi.

Sifat kepadatan distribusi

Karena itu, . Memecahkan sistem ini, kita memperoleh dua pasang nilai: . Karena berdasarkan kondisi permasalahan, akhirnya kita mempunyai: .

Menjawab: .

Contoh 2.11. Rata-rata, pada 10% kontrak, perusahaan asuransi membayar jumlah asuransi sehubungan dengan terjadinya peristiwa yang diasuransikan. Hitung ekspektasi matematis dan penyebaran jumlah kontrak tersebut di antara empat kontrak yang dipilih secara acak.

Larutan: Ekspektasi dan varians matematis dapat dicari dengan menggunakan rumus:

.

Kemungkinan nilai SV (jumlah kontrak (dari empat) dengan terjadinya peristiwa yang diasuransikan): 0, 1, 2, 3, 4.

Kami menggunakan rumus Bernoulli untuk menghitung probabilitas berbagai jumlah kontrak (dari empat) yang jumlah asuransinya dibayarkan:

.

Rangkaian pembagian IC (jumlah kontrak dengan terjadinya suatu peristiwa yang dipertanggungkan) berbentuk:

Menjawab: , .

Contoh 2.12. Dari lima mawar, dua berwarna putih. Buatlah hukum distribusi suatu variabel acak yang menyatakan jumlah bunga mawar putih di antara dua bunga mawar yang diambil secara bersamaan.

Larutan: Dalam pemilihan dua mawar, mungkin tidak ada mawar putih, atau mungkin ada satu atau dua mawar putih. Oleh karena itu, variabel acak X dapat mengambil nilai: 0, 1, 2. Kemungkinan itu X mengambil nilai-nilai ini, kami menemukannya menggunakan rumus:

Di mana -- jumlah mawar;

-- jumlah mawar putih;

– jumlah mawar yang diambil pada waktu yang sama;

-- jumlah mawar putih di antara yang diambil.

.

.

.

Maka hukum distribusi variabel acak adalah sebagai berikut:

Contoh 2.13. Di antara 15 unit rakitan, 6 memerlukan pelumasan tambahan. Buatlah hukum distribusi jumlah unit yang memerlukan pelumasan tambahan di antara lima unit yang dipilih secara acak dari jumlah total.

Larutan: Nilai acak X– jumlah unit yang memerlukan pelumasan tambahan di antara lima unit yang dipilih – dapat mengambil nilai berikut: 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan memiliki distribusi hipergeometri. Kemungkinan itu X mengambil nilai-nilai ini, kami menemukannya menggunakan rumus:

Di mana -- jumlah unit yang dirakit;

-- jumlah unit yang memerlukan pelumasan tambahan;

– jumlah unit yang dipilih;

-- jumlah unit yang memerlukan pelumasan tambahan di antara unit yang dipilih.

.

.

.

.

.

.

Maka hukum distribusi variabel acak adalah sebagai berikut:

Contoh 2.14. Dari 10 jam tangan yang diterima untuk diperbaiki, 7 memerlukan pembersihan umum pada mekanismenya. Jam tangan tidak diurutkan berdasarkan jenis perbaikan. Sang master, yang ingin menemukan jam tangan yang perlu dibersihkan, memeriksanya satu per satu dan, setelah menemukan jam tangan tersebut, berhenti melihat lebih jauh. Temukan ekspektasi matematis dan varians jumlah jam menonton.

Larutan: Nilai acak X– jumlah unit yang memerlukan pelumasan tambahan di antara lima unit yang dipilih – dapat mengambil nilai berikut: 1, 2, 3, 4. Probabilitas yang X mengambil nilai-nilai ini, kami menemukannya menggunakan rumus:

.

.

.

.

Maka hukum distribusi variabel acak adalah sebagai berikut:

Sekarang mari kita hitung karakteristik numerik suatu besaran:

Menjawab: , .

Contoh 2.15. Pelanggan lupa digit terakhir nomor telepon yang dibutuhkannya, namun ingat bahwa itu ganjil. Temukan ekspektasi matematis dan varians berapa kali dia memanggil nomor telepon sebelum mencapai nomor yang diinginkan, jika dia memanggil digit terakhir secara acak dan kemudian tidak memutar nomor yang dipanggil tersebut.

Larutan: Variabel acak dapat mengambil nilai berikut: . Karena pelanggan tidak memanggil nomor yang dipanggil di masa depan, probabilitas nilai-nilai ini adalah sama.

Mari kita kompilasi rangkaian distribusi variabel acak:

Mari kita hitung ekspektasi matematis dan varians dari jumlah upaya panggilan:

Menjawab: , .

Contoh 2.16. Probabilitas kegagalan selama pengujian keandalan untuk setiap perangkat dalam seri adalah sama P. Tentukan ekspektasi matematis dari jumlah perangkat yang gagal jika diuji N perangkat.

Larutan: Variabel acak diskrit X adalah jumlah perangkat yang gagal N pengujian independen, yang masing-masing pengujian memiliki kemungkinan kegagalan yang sama P, didistribusikan menurut hukum binomial. Ekspektasi matematis dari distribusi binomial sama dengan jumlah percobaan dikalikan dengan peluang terjadinya suatu peristiwa dalam satu percobaan:

Contoh 2.17. Variabel acak diskrit X mengambil 3 kemungkinan nilai: dengan probabilitas ; dengan probabilitas dan dengan probabilitas. Temukan dan , mengetahui bahwa M( X) = 8.

Larutan: Kami menggunakan definisi ekspektasi matematis dan hukum distribusi variabel acak diskrit:

Kami menemukan: .

Contoh 2.18. Departemen kontrol teknis memeriksa standaritas produk. Peluang produk tersebut standar adalah 0,9. Setiap batch berisi 5 produk. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak X– jumlah batch, yang masing-masing berisi tepat 4 produk standar, jika 50 batch harus diperiksa.

Larutan: Dalam hal ini, semua percobaan yang dilakukan bersifat independen, dan peluang setiap batch berisi tepat 4 produk standar adalah sama, oleh karena itu ekspektasi matematisnya dapat ditentukan dengan rumus:

,

dimana jumlah partai;

Peluang suatu batch berisi tepat 4 produk standar.

Kami mencari probabilitas menggunakan rumus Bernoulli:

Menjawab: .

Contoh 2.19. Temukan varians dari variabel acak X– jumlah kemunculan peristiwa tersebut A dalam dua percobaan yang saling bebas, jika peluang terjadinya suatu kejadian dalam percobaan tersebut sama dan diketahui M(X) = 0,9.

Larutan: Masalahnya dapat diselesaikan dengan dua cara.

1) Kemungkinan nilai SV X: 0, 1, 2. Dengan menggunakan rumus Bernoulli, kita tentukan peluang kejadian berikut:

, , .

Kemudian hukum distribusi X memiliki bentuk:

Dari definisi ekspektasi matematis, kita menentukan probabilitas:

Mari kita cari dispersi SV X:

.

2) Anda dapat menggunakan rumus:

.

Menjawab: .

Contoh 2.20. Ekspektasi dan deviasi standar dari variabel acak yang terdistribusi normal X masing-masing sama dengan 20 dan 5. Tentukan peluang hasil pengujian tersebut X akan mengambil nilai yang terdapat pada interval (15; 25).

Larutan: Kemungkinan mengenai variabel acak normal X pada bagian dari ke dinyatakan melalui fungsi Laplace:

Contoh 2.21. Fungsi yang diberikan:

Pada nilai parameter berapa C fungsi ini adalah kepadatan distribusi beberapa variabel acak kontinu X? Temukan ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak X.

Larutan: Agar suatu fungsi menjadi kepadatan distribusi suatu variabel acak, fungsi tersebut harus non-negatif, dan harus memenuhi sifat:

.

Karena itu:

Mari kita hitung ekspektasi matematisnya menggunakan rumus:

.

Mari kita hitung variansnya menggunakan rumus:

T sama P. Ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak ini perlu dicari.

Larutan: Hukum distribusi variabel acak diskrit X - banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam percobaan bebas, yang masing-masing peluang terjadinya peristiwa tersebut sama dengan , disebut binomial. Ekspektasi matematis dari distribusi binomial sama dengan hasil kali jumlah percobaan dan peluang terjadinya kejadian A dalam satu percobaan:

.

Contoh 2.25. Tiga tembakan independen ditembakkan ke sasaran. Peluang mengenai setiap tembakan adalah 0,25. Tentukan simpangan baku jumlah pukulan dengan tiga tembakan.

Larutan: Karena tiga percobaan independen dilakukan, dan peluang terjadinya kejadian A (pukulan) pada setiap percobaan adalah sama, kita asumsikan bahwa variabel acak diskrit X - jumlah pukulan pada target - didistribusikan sesuai dengan hukum binomial.

Varians distribusi binomial sama dengan hasil kali jumlah percobaan dan peluang terjadinya dan tidak terjadinya suatu peristiwa dalam satu percobaan:

Contoh 2.26. Rata-rata jumlah klien yang mengunjungi perusahaan asuransi dalam 10 menit adalah tiga. Temukan probabilitas bahwa setidaknya satu klien akan tiba dalam 5 menit berikutnya.

Jumlah rata-rata klien yang tiba dalam 5 menit: . .

Contoh 2.29. Waktu tunggu aplikasi dalam antrian prosesor mengikuti hukum distribusi eksponensial dengan nilai rata-rata 20 detik. Temukan probabilitas bahwa permintaan (acak) berikutnya akan menunggu di prosesor selama lebih dari 35 detik.

Larutan: Dalam contoh ini, ekspektasi matematis , dan tingkat kegagalan sama dengan .

Maka probabilitas yang diinginkan:

Contoh 2.30. Sekelompok siswa yang berjumlah 15 orang mengadakan pertemuan di sebuah aula yang mempunyai 20 baris yang masing-masing berisi 10 kursi. Setiap siswa mengambil tempat di aula secara acak. Berapa peluang bahwa tidak lebih dari tiga orang akan berada pada urutan ketujuh?

Larutan:

Contoh 2.31.

Kemudian, menurut definisi klasik tentang probabilitas:

Di mana -- jumlah bagian dalam batch;

-- jumlah bagian non-standar dalam satu batch;

– jumlah bagian yang dipilih;

-- jumlah bagian non-standar di antara yang dipilih.

Maka hukum distribusi variabel acak adalah sebagai berikut.