Trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments. Eigenschaften und Diagramme von trigonometrischen Funktionen. Trigonometrische Funktionen numerischer und winkeliger Argumente. Formungsformeln Trigonometrische Funktionen des numerischen Arguments Beispiele für Lösungen

Wir haben uns die grundlegendsten trigonometrischen Funktionen angesehen (teilen Sie nicht zusätzlich zu Sinus, Cosinus, Tangent und Catangent, es gibt noch viele andere Funktionen, jedoch später), während wir einige der grundlegenden Eigenschaften der bereits untersuchten Funktionen berücksichtigen.

Trigonometrische Funktionen des numerischen Arguments

Was für eine gültige Zahl t nicht dauert, kann er mit einer definitiv definierten Anzahl von Sünde (T) in Einklang gebracht werden. True ist die Regel der Konformitätsregel ziemlich kompliziert und ist wie folgt.

Um den Wert der Sünde (t) zu finden, müssen Sie:

1. suchen Sie den numerischen Kreis auf der Koordinatenebene, so dass die Mitte des Kreises mit dem Ursprung der Koordinaten übereinstimmt, und der Anfangspunkt und der Umfang kam an den Punkt (1; 0);
2. auf dem Kreis, um einen Punkt zu finden, der der Nummer T entspricht;
3. finden Sie die Ordinate dieses Punktes.
4. diese Ordinate ist die gewünschte Sin (t).

In der Tat handelt es sich um die Funktion s \u003d sin (t), wobei t eine gültige Zahl ist. Wir wissen, wie Sie einige Werte dieser Funktion berechnen (z. B. Sünde (0) \u003d 0, \\ (Sin \\ frac (\\ pi) (6) \u003d \\ frac (1) (2) \\) usw.), wir kennen einige ihrer Eigenschaften.

In gleicher Weise können wir davon ausgehen, dass einige Ideen bereits über drei Funktionen erhalten haben: s \u003d cos (t) s \u003d tg (t) s \u003d ctg (t) Alle diese Funktionen werden als trigonometrische Funktionen des numerischen Arguments T bezeichnet.

Kommunikation von trigonometrischen Funktionen

Ich hoffe, ich hoffe, dass alle trigonometrischen Funktionen miteinander verbunden sind und nicht einmal die Bedeutung von einem kennen, es kann durch einen anderen gefunden werden.

Zum Beispiel ist die wichtigste Formel aus der gesamten Trigonometrie - grundlegende trigonometrische Identität:

\\ [sin ^ (2) t + cos ^ (2) t \u003d 1 \\]

Wie Sie sehen, kann das Wissen des Sinus-Werts einen Cosinuswert und auch im Gegenteil gefunden werden. Auch sehr häufige Formeln, die Sinus und Cosinus mit Tangent und Kotangent verbinden:

\\ [\\ \\ \\ Tan \\; t \u003d \\ frac (\\ cos \\; t) (\\ cos \\; t), \\ qquad t \\ neq \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi k) \\]

\\ [\\ Box (\\ cot \\; t \u003d \\ frac (\\ cos \\;) (\\ sin \\;), \\ qquad t \\ neq \\ pi k) \\]

Von den letzten beiden Formeln kann eine weitere trigometrische Identität entfernt werden, die Tangente und Cotangent diesmal verbindet:

\\ [\\ \\ \\ Tan \\; t \\ cdot \\ cot \\; t \u003d 1, \\ qquad t \\ neq \\ frac (\\ pi k) (2)) \\]

Nun sehen wir, wie diese Formeln in der Praxis handeln.

Beispiel 1. Vereinfachen Sie den Ausdruck: a) \\ (1+ \\ tan ^ 2 \\; t \\), b) \\ (1+ \\ cot ^ 2 \\; t \\)

a) Zunächst einmal mit einem Tangenten, den Platz halten:

\\ [1+ \\ tan ^ 2 \\; T \u003d 1 + \\ frac (\\ sin ^ 2 \\; t) (\\ cos ^ 2 \\; t) \\]

\\ [1 + \\ frac (\\ sin ^ 2 \\; t) (\\ cos ^ 2 \\; t) \u003d \\ sin ^ 2 \\; t + \\ cos ^ 2 \\; T + \\ frac (\\ sin ^ 2 \\; t) (\\ cos ^ 2 \\; t) \\]

Jetzt werden wir alles für einen allgemeinen Nenner vorstellen, und wir bekommen:

\\ [\\ sin ^ 2 \\; t + \\ cos ^ 2 \\; T + \\ frac (\\ cos ^ 2 \\; t) \u003d frac (\\ cos ^ 2 \\; t + \\ sin ^ 2 \\; t) (\\ cos ^ 2 \\; t ) \\]

Nun, schließlich können, wie wir sehen, dass der Zähler durch die wichtigste trigonometrische Identität an das Gerät reduziert werden kann, dadurch erhalten wir: \\ [1+ \\ tan ^ 2 \\; \u003d \\ Frac (1) (\\ cos ^ 2 \\; t) \\]

b) Mit Kothannz leisten Sie alle gleichen Aktionen, sondern nur im Nenner, sondern nicht mehr Cosinus, und der Sinus und die Antwort werden sich herausstellen:

\\ [1+ \\ cot ^ 2 \\; \u003d \\ Frac (1) (\\ sin ^ 2 \\; t) \\]

Wenn wir diese Aufgabe ausfüllen, brachten wir zwei wichtigere Formeln mit, die unsere Funktionen verbinden, die Sie auch wissen müssen, wie Ihre fünf Finger:

\\ [\\ Boxed (1+ \\ tan ^ 2 \\; \u003d \\ frac (1) (\\ cos ^ 2 \\; t), \\ qquad t \\ neq \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi k) \\]

\\ [\\ Boxed (1+ \\ cot ^ 2 \\; \u003d \\ frac (1) (\\ sin ^ 2 \\; t), \\ qquad t \\ neq \\ pi k) \\]

Alle Formel, die als Parteien präsentiert werden, die Sie auswendig kennen sollten, sonst ist die weitere Untersuchung der Trigonometrie ohne sie einfach unmöglich. In der Zukunft gibt es mehr Formeln, und es wird viele von ihnen geben, und ich versichere alle, dass Sie sich an lange erinnern, aber erinnern sich möglicherweise nicht, aber diese sechs Stücke sollten alles wissen!

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Beachtung! Die Vorschau-Slides wird ausschließlich zu Informationszwecken verwendet und bietet möglicherweise keine Ideen über alle Präsentationsfunktionen. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.

Ziele Lektion:

1. Entwicklung von Fähigkeiten und Fähigkeiten, um trigonometrische Formeln anzuwenden, um trigonometrische Ausdrücke zu vereinfachen.
2. Umsetzung des Prinzips des Aktivitätsansatzes bei Lernstudenten, der Entwicklung der Kommunikationsfähigkeit und Toleranz von Studenten, der Fähigkeit, andere zuzuhören und zu hören und ihre Meinung auszudrücken.
3. Verbesserung des Interesses von Studenten zur Mathematik.

Art der Lektion:ausbildung.

Art der Lektion:unterrichtsprüfungsfähigkeiten und -fähigkeiten.

Form der Studie:gruppe.

Art der Gruppe.: Gruppe zusammen sitzen. Schüler eines anderen Trainings, das Bewusstsein dieses Themas, kompatiblen Studenten, die es ihnen ermöglichen, sich zu ergänzen und sich anzureichern.

Ausrüstung: Tafel; ein Stück Kreide; Tabelle "Trigometer"; Routenblätter; Karten mit Buchstaben (A, B, C.), um den Test auszuführen; Platten mit den Namen der Crews; Geschätzte Blätter; Tische mit den Namen der Spuren; Magnete, Multimedia-Komplex.

Während der Klassen

Die Schüler sitzen in Gruppen: 4 Gruppen von 5-6 Personen. Jede Gruppe ist die Crew der Maschine mit den Namen, die den Namen von trigonometrischen Funktionen entsprechen, die durch Lenkung geleitet werden. Jede Crew wird eine Routenliste ausgestellt, und ein Ziel wird ermittelt: Gehen Sie mit der angegebenen Route ohne Fehler erfolgreich durch. Die Lektion wird von einer Präsentation begleitet.

I. Organisationsmoment.

Der Lehrer berichtet das Thema der Lektion, den Zweck der Lektion, den Verlauf der Lektion, den Arbeitsplan der Gruppen, die Rolle der Steuerung.

Lehrer einführendes Wort:

– Jungs! Zeichnen Sie die Nummer und das Thema der Lektion auf: "Trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments".

Heute lernen wir in der Lektion:

1. Berechnen Sie die Werte der trigonometrischen Funktionen;
2. Vereinfachen Sie trigonometrische Ausdrücke.

Dazu müssen Sie wissen:

1. Definitionen von trigonometrischen Funktionen
2. Trigonometrische Verhältnisse (Formeln).

Es ist lange bekannt, dass ein Kopf gut ist, und zwei ist besser, also arbeiten Sie heute in Gruppen. Es ist auch bekannt, dass die Straße eingesetzt ist. Aber wir leben im Alter der Geschwindigkeiten und die Zeit ist teuer, und deshalb können Sie so sagen: "Die Straße wird aufgestiegen", so dass wir heute eine Lektion in Form des Spiels "mathematische Rallye" haben. Jede Gruppe ist die Crew des Autos, die durch Lenkung geleitet wird.

Zweck des Spiels:

• die Route erfolgreich an jede Crew passieren;
• enthülle die Kampionsrallye.

Der Name der Crews entspricht der Marke der Maschine, auf der Sie Kilometerleistung machen.

CRESOSTERS UND IHRE LENKE sind dargestellt:

• Crew - "Sinus"
• Crew - "Cosinus"
• Crew - "Tangent"
• Crew - "Kotangent"

Motto of Racing: "Beeil dich langsam!"

Sie müssen mit vielen Hindernissen eine Kilometerleistung mit "mathematischer Lage" machen.

Routenlisten Jede Crew wird ausgestellt. Crews, die die Definitionen und trigonometrische Formeln kennen, können die Hindernisse überwinden.

Während des Laufs führt jede Lenkung die Besatzung, hilft und bewertet den Beitrag jedes Besatzungsmitglieds zur Überwindung der Route in Form von "PLUSES" und "Minus" im geschätzten Blatt. Für jede richtige Antwort empfängt die Gruppe "+", das falsche "-".

Sie müssen die folgenden Schritte des Weges überwinden:

Bühne I. PDD (Straßenregeln).
Stufe II. Inspektion.
Iii Bühne. Rennen im gekreuzten Gelände.
Iv Bühne. Plötzlicher Anschlag - ein Unfall.
V Bühne. Gesamt
Vi Bühne. Fertig.
VII Bühne. Ergebnisse.

Und so auf der Straße!

Bühne I. PDD (Straßenregeln).

1) In jedem Wagen wird die Lenkung mit theoretischen Fragen an jedes Mitglied der Crew-Tickets verteilt:

1. Erzählen Sie die Definition des Sinus der Nummer T und seine Anzeichen auf den Vierteln.
2. Erzählen Sie die Definition des Cosinus der Anzahl T und seine Anzeichen auf den Vierteln.
3. Nennen Sie die kleinste und größte SIN T und COS T.
4. Erzählen Sie die Definition des Tangens der Zahl t und ihre Anzeichen auf den Vierteln.
5. Erzählen Sie die Definition der Cotannce der Nummer T und seine Anzeichen auf den Vierteln.
6. Erzählen Sie, wie Sie den Wert der SIN T-Funktion an einer bekannten Zahl T finden können.

2) Sammeln Sie "verstreute" Formeln. Auf dem Mystery Board-Tisch (siehe unten). Crews sollten zur Übereinstimmung der Formel führen. Antwort Jeder Befehl schreibt als Zeichenfolge der entsprechenden Buchstaben (Paare) auf der Platine.

Antworten:ab, vg, de, yozh, zi, yk.

Stufe II. Inspektion.

Mundarbeit: Test.

Auf dem Mystery Board ist es geschrieben: Aufgabe: Vereinfachung des Ausdrucks.

In der Nähe sind aufgezeichnete Optionen für Antworten. Crews definieren die richtigen Antworten in 1. Min. Und erhöhen Sie den entsprechenden Satz von Buchstaben.

Antwort: c in A.

Iii Bühne. Rennen im gekreuzten Gelände.

3 Minuten Crews mit einer Besprechung zur Entscheidung der Aufgabe, und dann werden die Crews auf dem Vorstand geschrieben. Wenn Crew-Vertreter die Entscheidung der ersten Aufgabe beenden, überprüfen alle Studierenden (zusammen mit dem Lehrer) die Richtigkeit und Rationalität der Lösungen und in dem Notebook aufgenommen. Die Lenkung bewerten den Beitrag jedes Besatzungsmitglieds durch die Zeichen "+" und "-" in den geschätzten Blättern.

Aufgaben aus dem Lehrbuch:

• Crew - "Sinus": Nr. 118 g;
• Crew - "kosinus": Nr. 122 A;
• Crew - Tangente: Nr. 123 g;
• Crew - "Kotangent": № 125

Iv Bühne. Plötzlicher Anschlag - ein Unfall.

– Ihr Auto brach. Es ist notwendig, die Fehlfunktion Ihres Autos zu beseitigen.

Für jede Crew werden die Aussagen gegeben, aber sie sind irrtümlich. Finden Sie diese Fehler und erklären Sie, warum sie erlaubt waren. Die Aussagen verwenden trigonometrische Funktionen, die den Marken Ihrer Maschinen entsprechen.

V Bühne. Gesamt

Sie sind müde und müssen sich entspannen. Während die Crew die Lenkung ruht, um die vorläufigen Ergebnisse zusammenzufassen: Sie betrachten die "Profis" und "Minus" unter den Besatzungsmitgliedern und allgemein die Crew.

Für Studierende:

3 und mehr "+" - Schätzung "5";
2 "+" - Schätzung "4";
1 "+" - Rating "3".

Für Crews: "+" Und "-" voneinander zerstört. Nur die restlichen Zeichen werden berücksichtigt.

Vermutung Charad..

Von deinen Zahlen nimmst du meine erste Silbe
Der zweite ist das Wort "stolz".
Und die dritten Pferde, die Sie folgen,
Der vierte wird milry Schafe sein.
Meine fünfte Silbe ist das gleiche wie das erste
Der letzte Buchstabe im Alphabet ist der sechste,
Und wenn Sie Ihnen gut halten,
Das wird in der Mathematik dies bekommen.
(Trigonometrie)

Das Wort "Trigonometrie" (aus den griechischen Wörtern "Trigonon" - ein Dreieck und "Metreo" - messen) bedeutet "Messung von Dreiecke". Das Auftreten von Trigonometrie ist mit der Entwicklung der Geographie und der Astronomie verbunden - der Wissenschaft der Bewegung von Himmelskörpern, der Struktur und der Entwicklung des Universums.

Infolge der erzeugten astronomischen Beobachtungen war es notwendig, die Position der Leuchte, die Berechnung von Entfernungen und Winkeln zu bestimmen. Da einige Entfernungen zum Beispiel vom Boden zu anderen Planeten unmöglich, unmöglich zu messen, entwickelte sich Wissenschaftler, um die Empfänge der Beziehung zwischen den Parteien und den Ecken des Dreiecks zu entwickeln, in denen sich zwei Scheitelpunkte auf der Erde befinden, und der dritte steht für den Planeten oder den Stern. Solche Beziehungen können durch das Studieren verschiedener Dreiecke und ihre Eigenschaften entfernt werden. Deshalb führten astronomische Berechnungen zu einer Lösung (d. H. Find von Elementen) eines Dreiecks. Dies ist in Trigonometrie tätig.

Prinzipien der Trigonometrie wurden im alten Babylon gefunden. Babylonische Wissenschaftler wussten, wie Sie Solar- und Mondfinsternis vorherzusagen. Einige der trigonometrischen Natur sind in den antiken Monumenten anderer Völker der Antike zu finden.

Vi Bühne. Fertig.

Um die Ziellinie erfolgreich zu überqueren, bleibt es lügen und machen einen "Ruck". Es ist sehr wichtig in der Trigonometrie, die Werte von SIN T, Kosten, TGT, CTG T, wobei 0 ≤ t ≤ schnell bestimmen können. Lehrbücher schließen.

Crews nennen abwechselnd die Werte der Funktionen SIN T, Kosten, TGT, CTG T, wenn:

VII Bühne. Ergebnisse.

Ergebnisse des Spiels.

Lenkspende geschätzte Blätter. Die Crew, die der "mathematische Rallye" wurde, zeichnet sich durch die Arbeit des restlichen Gruppen aus. Des Weiteren heißt die Namen derer, die die Schätzungen "5" und "4" erhalten haben.

Die Ergebnisse der Lektion.

- Jungs! Was hast du heute in der Lektion gelernt? (Vereinfachen Sie trigonometrische Ausdrücke; Werte von trigonometrischen Funktionen suchen). Und was soll ich dafür wissen?

• definitionen und Eigenschaften sin t, cos t, tg t, ctg t;
• beziehungen, die die Werte verschiedener trigonometrischer Funktionen verbinden;
• anzeichen von trigonometrischen Funktionen auf Viertel eines numerischen Kreises.
• die Werte der trigonometrischen Funktionen des ersten Viertels des numerischen Kreises.

- Ich denke, Sie verstehen, dass die Formeln es wissen müssen, um sie richtig anzuwenden. Sie haben auch erkannt, dass Trigonometrie ein sehr wichtiger Teil der Mathematik ist, da es in anderen Wissenschaften verwendet wird: Astronomie, Geographie, Physik usw.

Hausaufgaben:

• für Studierende erhaltene "5" und "4": §6, №128A, 130A, 134A.
• für andere Studierende: §6, №119G, №120G, №121.

Video-Tutorial "Trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments" repräsentiert visuelles Material, um die Sichtbarkeit bereitzustellen, um das Thema in der Lektion zu erklären. Im Zuge der Demonstration wird das Prinzip des Bildens des Wertes von trigonometrischen Funktionen auf der Zahl berücksichtigt, ein Beispiel, um eine Reihe von Beispielen beschrieben, um die Werte von trigonometrischen Funktionen von der Zahl zu berechnen. Mit diesem Handbuch ist es einfacher, Fähigkeiten, um die entsprechenden Aufgaben zu lösen, um das Material zu erinnern. Die Verwendung von Vorteilen erhöht die Lektionseffizienz, trägt zur schnellen Erreichung der Lernziele bei.

Zu Beginn der Lektion wird der Titel des Themas gezeigt. Dann wird die Aufgabe, das entsprechende Cosinus an ein paar numerische Argument zu finden, eingestellt. Es wird angemerkt, dass diese Aufgabe einfach gelöst ist und dies visuell nachgewiesen werden kann. Der Bildschirm zeigt einen einzelnen Kreis mit der Mitte zu Beginn der Koordinaten. In diesem Fall wird angemerkt, dass der Punkt der Kreuzung des Kreises mit einer positiven Achsachse der Abszessionsachse am Punkt A (1; 0) angeordnet ist. Ein Beispiel für einen Punkt M, der das Argument t \u003d π / 3 darstellt. Dieser Punkt wird auf einem einzigen Kreis bemerkt, und es wird durch senkrecht zur Abszisse-Achse abgestoßen. Fundierte Abszisse-Punkte und ist Cosinus Cos T. In diesem Fall wird der Abszisse-Punkt x \u003d 1/2 sein. Daher cos t \u003d 1/2.

Die Zusammenfassung der betrachteten Fakten wird darauf hingewiesen, dass es sinnvoll ist, über die Funktion S \u003d cos t zu sprechen. Es wird darauf hingewiesen, dass einige Kenntnisse dieser Funktion bereits für Studenten verfügbar sind. Einige Cosinuswerte cos 0 \u003d 1, cos π / 2 \u003d 0, cos π / 3 \u003d 1/2 werden berechnet. Auch mit dieser Funktion verknüpft sind die Funktionen S \u003d SIN T, S \u003d Tg T, S \u003d CTG T. Es wird angemerkt, dass sie einen gemeinsamen Namen - trigonometrische Funktionen haben.

Wichtige Beziehungen werden demonstriert, die bei der Lösung von Problemen mit trigonometrischen Funktionen verwendet werden: Die Hauptidentität der Sin 2 t + cos 2 t \u003d 1, der Expression von Tangent und Catangent durch Sinus und Cosinus TG T \u003d SIN T / COS T, wobei t Π / 2 + πk für kεz, ctg t \u003d cos t / sin t, wobei T ≠ πk für Kεz sowie das Tangentenverhältnis zur Tg Tg T · ctg t \u003d 1, wobei t ≠ πk / 2 für kεz.

Es wird vorgeschlagen, den Nachweis des Verhältnisses von 1+ Tg 2 t \u003d 1 / cos 2 t bei T ≠ π / 2 + πk für Kεz zu berücksichtigen. Um die Identität nachzuweisen, ist es notwendig, TG 2 T in Form des Verhältnisses von Sinus und Cosinus zu präsentieren, und nachdem die Komponenten im linken Teil zum Gesamtnichtator 1+ Tg 2 t \u003d 1 + Sin 2 t / cos führen 2 t \u003d (Sin 2 t + cos 2 t) / cos 2 t. Mit der wichtigsten trigonometrischen Identität erhalten wir in einem Zähler 1, dh der endgültige Ausdruck 1 / cos 2 T. Q.E.D.

Die Identität von 1+ ctg 2 t \u003d 1 / sin 2 t wird ähnlich auf t ≠ πk für kεz erwiesen. Wie bei dem vorherigen Beweis wird Cotangent durch das entsprechende Cosinus- und Sinus-Verhältnis ersetzt, und beide Begriffe im linken Teil sind dem Gesamtnichtator 1+ CTG 2 T \u003d 1 + cos 2 t / sin 2 t \u003d (Sin 2 T + cos 2 t) / sin 2 t. Nach dem Anwenden der wichtigsten trigonometrischen Identität in den Zähler erhalten wir 1 / Sin 2 t. Dies ist der gewünschte Ausdruck.

Die Lösung von Beispielen, in denen das Wissen gewonnen hat. In der ersten Aufgabe ist es notwendig, die Werte von Kosten, TGT, CTGT zu finden, wenn der Sinus SINT \u003d 4/5 bekannt ist, und t gehört zum Spalt π / 2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

Das Folgende gilt als eine Lösung eines ähnlichen Problems, in dem TNGT \u003d -8 / 15 Tangent bekannt ist, und das Argument ist auf 3π / 2 begrenzt

Um den Wert des Sinus zu finden, verwenden wir die Definition von TNGT \u003d Sint / Cost. Darin finden wir Sint \u003d TGT · Kosten \u003d (- 8/15) · (15/17) \u003d - 8/17. Zu wissen, dass Cotangent eine Funktion ist, umgekehrt Tangent, wir finden CTGT \u003d 1 / (- 8/15) \u003d - 15/8.

Video-Tutorial "Trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments" dient zur Verbesserung der Effizienz der Lektion der Mathematik in der Schule. Während des Fernunterrichts kann dieses Material als visuelles Zulage für die Bildung von Aufgabenlösungen verwendet werden, in denen sich trigonometrische Funktionen von der Zahl befinden. Um diese Fähigkeiten zu erwerben, kann der Schüler eine unabhängige Berücksichtigung eines visuellen Materials empfohlen werden.

Textdekodierung:

Gegenstand der Lektion "Trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments".

Jede gültige Nummer T kann mit einem einzigartig definierten COS T eingerichtet werden. Dazu müssen Sie die folgenden Aktionen ausführen:

1) Auf der Koordinatenebene legen Sie einen numerischen Kreis, so dass die Mitte des Kreises mit dem Beginn der Koordinaten übereinstimmt, und der Anfangspunkt und der Umfang kamen auf den Punkt (1; 0);

2) Auf dem Kreis, um einen Punkt zu finden, der der Zahl T entspricht;

3) Finden Sie die Abszisse dieses Punktes. Das ist cos t.

Daher ist es ungefähr die Funktion S \u003d cos t (ES gleichermaßen Cosinus te), wobei t eine gültige Zahl ist. Wir haben bereits eine Idee von dieser Funktion erhalten:

• wir haben gelernt, um einige Werte zu berechnen, beispielsweise cos 0 \u003d 1, cos \u003d 0, cos \u003d usw. (Null Cosinin ist gleich eins, Cosinus pi um zwei ist Null, Cosinus pi bis drei ist gleich einer Sekunde und so auf).
• und da die Werte von Sinus, Cosinus, Tangent und Catangen miteinander verbunden sind, erhielten sie eine Idee von drei weiteren Funktionen: s \u003d Sint; S \u003d tgt; S \u003d ctgt. (Es ist gleich Sinus TE, es ist ES gleich der Tangente TE, es gleich Cotangent TE)

Alle diese Funktionen werden als trigonometrische Funktionen des numerischen Arguments T bezeichnet.

Die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangente und Catangen folgen einigen Verhältnissen:

1) SIN 2 T + COS 2 T \u003d 1 (Sinus Square TE plus Cosinus Square PE ist gleich einem)

2) TGT \u003d bei t ≠ + πk, Kεz (Tangent, gleich dem Verhältnis des Sinus des Sinus des TE an den Cosinus des Te mit dem TE nicht gleich den beiden Pi-Pi-Ka, KAT gehört zu Set)

3) CTGT \u003d bei T ≠ πK, Kεz (TE-Cotancenes ist gleich dem Verhältnis des Cosinus des TE zum Sinus des TE mit einem PE an der nicht gleichwertigen PA, KA zum Set gehört).

4) TGT ∙ CTGT \u003d 1 bei T ≠, Kεz (das Produkt von TEGENS TE auf Kotangent PE ist gleich einem in einem PE, der nicht gleich PI ist, geteilt von zwei, kAT gehört zu Set)

Wir werden zwei wichtigere Formeln beweisen:

Beispiele in Betracht ziehen.

Beispiel 1. Kosten, TGT, CTGT, falls Sint \u003d und< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Entscheidung. Aus dem ersten Verhältnis finden wir das Cosinus-Quadrat des TE gleich der Einheit Minus Sinus Square TE: cos 2 t \u003d 1 - Sin 2 T.

Also, cos 2 t \u003d 1 - () 2 \u003d (Cosinusquadrat des TE ist neunundzwanzig), das heißt, kosten \u003d (te cosine ist gleich drei fünfter) oder kosten \u003d - (Cosinus von PE ist minus drei fünf). Unter der Bedingung gehört das Argument T zum zweiten Quartal und dabei< 0 (косинус тэ отрицательный).

Es bedeutet, dass der Cosinus des TE minus den drei fünften, Kosten \u003d - ist.

Tangente berechnen:

tGT \u003d \u003d: (-) \u003d -; (Tenzeren PE ist gleich dem Verhältnis von Sinus Te zu Cosinus te, und daher vier Fünftel bis minus drei fünft und gleich den vier Dritten)

Berechnen Sie dementsprechend (Cotangancenz der Anzahl der TE. Da das Cotangent PE das Verhältnis des Cosinus des TE an den Sinus des TE,) ctgt \u003d \u003d -.

(Cotangent PE ist minus drei viertel).

Antwort: Kosten \u003d -, TGT \u003d -; Ctgt \u003d -. (Antwort auf die Entscheidung)

Beispiel 2. Es ist bekannt, dass TGT \u003d - und< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Entscheidung. Wir verwenden dieses Verhältnis und ersetzen die Bedeutung in dieser Formel, wir erhalten:

1 + (-) 2 \u003d (Die Einheit am Cosinusquadrat des PE ist gleich der Summe der Einheit und dem Quadrat minus acht fünfzehnt). Von hier aus finden wir cos 2 t \u003d

(Cosinus Square TE ist zweihundertfünfundzwanzig zweihundertachtzig neununddauer). Es bedeutet, dass Kosten \u003d (Cosinus des TE ist gleich fünfzehn siebzehnt) oder

kosten \u003d. Unter dem Zustand gehört das Argument T zum vierten Quartal, wo Kosten\u003e 0. Daher, Kosten \u003d. (Teaksus Pe entspricht dem 15. siebzehnten)

Wir finden den Wert des Arguments von Sinus TE. Da das Verhältnis (um das TGT \u003d T ≠ + πk, Kεz-Verhältnis) des TE dem Produkt von zehn Tangens an der Cosinus des TE entspricht, ist der Wert des Arguments des Te..tangents gleichgesetzt zu minus acht fünfzehnten früher gelöst, bekommen Sie

sINT \u003d TGT ∙ Cost \u003d (-) ∙ \u003d -, (Sinus TE ist minus acht siebzehnt)

ctgt \u003d \u003d -. (Da Cotangent te, gibt es eine umgekehrte Tangente, was bedeutet, dass Cotangent PE minus fünfzehn achtzehnt ist)

Ziele Lektion:

Lehrreich:

• Wiederholung, Verallgemeinerung und Systematisierung des Materialthemas "Trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments" bereitstellen;
• Erstellen Sie die Kontrollbedingungen (Selbstkontrolle) Lernkenntnisse und Fähigkeiten.

Entwicklung:

• Tragen zur Bildung der Fähigkeit zur Anwendung von Anwendungen - Vergleiche, Verallgemeinerungen, Verallgemeinerungen, Zuordnen des Hauptwissens in eine neue Situation;
• Die Entwicklung des mathematischen Horizonts, des Denkens, Sprache, Aufmerksamkeit und Erinnerung.

Lehrreich:

• Um die Erziehung von Interesse an Mathematik, Tätigkeit, Aktivität, Kommunikation, eine gemeinsame Kultur zu fördern.

Art der Lektion: Lektion der Verallgemeinerung und Systematisierung des Wissens.

Lehrmethoden: Teilsuche, (heuristisch).

Prüfstand des Wissens, der kognitive Verallgemeinerungsaufgaben, Selbsttest, systemische Verallgemeinerungen löst.

Unterrichtsplan.

1. Org. Moment - 2 min.
2. Selbsttestprüfung - 10 min.
3. Nachricht zum Thema - 3 min.
4. Systematisierung des theoretischen Materials - 15 min.
5. Differenzierte unabhängige Arbeit mit Selbsttest - 10 min.
6. Das Ergebnis unabhängiger Arbeit beträgt 2 Minuten.
7. Summieren der Lektion - 3 min.

Während der Klassen

1. Organisationsmoment.

Aufgabe für das Haus:

Absatz 1 Absatz 1.4
- Testarbeiten (Aufgaben wurden auf dem Stand gebucht).

Französischer Schriftsteller Anatole Frankreich Nachmal bemerkte: "Sie können nur Spaß machen. Wissen zu verdauen, ist es notwendig, sie mit Appetit aufzunehmen. " Lassen Sie uns heute in der Lektion, wir werden diesem Rat des Autors folgen, wird aktiv, aufmerksam sein, wir werden Wissen mit großem Verlangen aufnehmen. Immerhin verwenden sie Sie in der Zukunft.

Heute haben wir eine letzte Lektion zum Thema: "Trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments". Wir wiederholen, wir verallgemeinern das untersuchte Material, Methoden und Techniken, um trigonometrische Ausdrücke zu lösen.

2. Testen Sie mit dem Selbsttest.

Die Arbeit wird in zwei Versionen durchgeführt. Fragen auf dem Bildschirm.

Die Schüler feiern falsche Schritte. Die Anzahl der richtigen Antworten wird in ein Beilage des Wissenskenntnissen eingegeben.

3. Nachricht

Der Bericht über die Geschichte der Entwicklung der Trigonometrie (der Student vorbereitet).

4. Systematisierung des theoretischen Materials.

Orale Aufgaben.

1) Worüber reden wir? Was ist besonders?

Bestimmen Sie das Zeichen des Ausdrucks:

a) cos (700 °) tg 380 °,
b) cos (- 1) sin (- 2)

2) Was sagt dieser Formelblock? Wo ist der Fehler?

3) Betrachten Sie den Tisch:

4) Lösen von Problemen jeder Art von trigonometrischen Transformationen.

Einführung trigonometrischer Ausdrücke.

Finden des Werts der trigonometrischen Funktion auf den bekannten Wert dieser trigonometrischen Funktion.

Danached: sin \u003d;< <

Finden Sie COS2, CTG2.

Antworten:.< < 2

Suche: cos2, tg2

Dritter Schwierigkeitsgrad:

Danached: sin \u003d;< <

Finde: sin2; Sin (60 ° -); TG (45 ° +)

Zusätzliche Aufgabe.

Identität nachweisen:

4 SIN 4 - 4 SIN 2 \u003d COS 2 2 - 1

6. Das Ergebnis unabhängiger Arbeit.

Die Studierenden überprüfen die Arbeit und bringen Ergebnisse in eine Liste der Wissensabrechnung.

7. Das Ergebnis der Lektion wird geliefert.

Lektion und Präsentation zum Thema: "Trigonometrische Funktion des numerischen Arguments, Definition, Identität"

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Was wir studieren werden:
1. Definition des numerischen Arguments.
2. Grundformeln.
3. Trigonometrische Identitäten.
4. Beispiele und Aufgaben für Selbstlösungen.

Bestimmung der trigonometrischen Funktion des numerischen Arguments

Erinnern Sie sich an die Grundformeln:
$ sin ^ 2 (t) + cos ^ 2 (t) \u003d 1 $. Wie heißt diese Formel übrigens?

$ Tg (t) \u003d \\ frac (sin (t)) (cos (t)) $, mit $ t ≠ \\ frac (π) (2) + πk $.
$ Ctg (t) \u003d \\ frac (cos (t)) (Sünde (t)) $, mit $ t ≠ πk $.

Lass uns neue Formeln bringen.

Trigonometrische Identitäten.

Jetzt teilen wir beide Teile der Identität auf $ SIN ^ 2 (t) $.
Wir bekommen: $ \\ frac (sin ^ 2 (t)) (sin ^ 2 (t)) + \\ frac (cos ^ 2 (t)) (sin ^ 2 (t)) \u003d \\ frac (1) (Sin ^ 2 (t)) $.
Wir konvertieren: $ 1 + (\\ frac (cos (t)) (sin (t))) ^ 2 \u003d \\ frac (1) (Sin ^ 2 (t)). $
Wir haben eine neue Identität, die es wert ist, sich zu erinnern:
$ Ctg ^ 2 (t) + 1 \u003d \\ frac (1) (sin ^ 2 (t)) $, mit $ t ≠ πk $.

Wir haben es geschafft, zwei neue Formeln zu erhalten. Erinnere dich an sie
Diese Formeln werden verwendet, wenn dies gemäß einem bekannten Wert der trigonometrischen Funktion erforderlich ist, um den Wert einer anderen Funktion zu berechnen.

Lösung von Beispielen auf trigonometrischen Funktionen eines numerischen Arguments

$ Cos (t) \u003d \\ frac (5) (7) $, um $ sin (t) $ zu finden; $ Tg (t) $; $ Ctg (t) $ für alle t.

Entscheidung:

$ sin ^ 2 (t) + cos ^ 2 (t) \u003d 1 $.
Dann $ sin ^ 2 (t) \u003d 1-cos ^ 2 (t) $.
$ sin ^ 2 (t) \u003d 1 - (\\ frac (5) (7)) ^ 2 \u003d 1- \\ frac (25) (49) \u003d \\ frac (49-25) (49) \u003d \\ frac (24) (49) $.
$ sin (t) \u003d ± \\ frac (\\ sqrt (24)) (7) \u003d ± \\ frac (2 \\ sqrt (6)) (7) $.
$ Tg (t) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (1) (cos ^ 2 (t)) - 1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (1) (\\ frac (25) (49)) - 1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (49) (25) -1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (24) (25)) \u003d ± \\ frac (\\ sqrt (24)) (5) $.
$ Ctg (t) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (1) (sin ^ 2 (t)) - 1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (1) (\\ frac (24) (49)) - 1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (49) (24) -1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (25) (24)) \u003d ± \\ frac (5) (\\ sqrt (24)) $.

Beispiel 2.

$ Tg (t) \u003d \\ frac (5) (12) $, um $ sin (t) $ zu finden; $ Cos (t) $; $ Ctg (t) $, bei allen $ 0

Entscheidung:
$ Tg ^ 2 (t) + 1 \u003d \\ frac (1) (cos ^ 2 (t)) $.
Dann $ \\ frac (1) (cos ^ 2 (t)) \u003d 1+ \\ frac (25) (144) \u003d \\ frac (169) (144) $.
Wir erhalten diesen $ cos ^ 2 (t) \u003d \\ frac (144) (169) $.
Dann $ cos ^ 2 (t) \u003d ± \\ frac (12) (13) $, aber $ 0 Cosinus im ersten Quartal ist positiv. Dann $ cos (t) \u003d \\ frac (12) (13) $.
Wir erhalten: $ sin (t) \u003d tg (t) * cos (t) \u003d \\ frac (5) (12) * \\ frac (12) (13) \u003d \\ frac (5) (13) $.
$ Ctg (t) \u003d \\ frac (1) (tg (t)) \u003d \\ frac (12) (5) $.

Aufgaben für Selbstlösungen