Summe negativer Zahlen in Excel. Negative Zahlen werden mit ihrem Konjugat multipliziert

Negative und imaginäre Zahlen

Jetzt wagen wir es, uns der Algebra zuzuwenden. Die Verwendung negativer und imaginärer Zahlen in der Algebra bestätigt den vierteiligen Charakter der Analyse und bietet eine zusätzliche Möglichkeit, die dreiteilige Analyse zu verwenden. In diesem Fall müssen wir erneut darauf hinweisen, dass wir beabsichtigen, die Konzepte der Algebra für Zwecke zu verwenden, die weit über die normale Anwendung dieser Konzepte hinausgehen, da einige der Entdeckungen der Algebra einen wesentlichen Beitrag zu unserer Forschung leisten.

Die Entwicklung der Mathematik ging sprunghaft voran, nachdem die Möglichkeit der Verwendung negativer Zahlen entdeckt wurde ( negative Mengen). Wenn wir uns positive Zahlen als eine Reihe vorstellen, die rechts von Null verläuft, dann gibt es links von Null negative Zahlen.
usw... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3... usw.

Anhand dieses Diagramms können wir uns die Addition als eine Bewegung nach rechts und die Subtraktion als eine Bewegung nach links vorstellen. Es wird möglich, eine größere Zahl von einer kleineren zu subtrahieren; Wenn wir beispielsweise 3 von 1 subtrahieren, erhalten wir -2, was eine reelle (wenn auch negative) Zahl ist.

Das nächste wichtige Konzept sind imaginäre Zahlen. Sie wurden nicht entdeckt, sondern eher zufällig entdeckt. Mathematiker kamen zu dem Schluss, dass Zahlen Wurzeln haben, also Zahlen, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert werden, die gewünschte Zahl ergeben. Die Entdeckung negativer Zahlen und ihr Vergleich mit Wurzeln löste in wissenschaftlichen Kreisen Panik aus. Welche Zahlen ergeben, wenn man sie miteinander multipliziert, die Zahl -1? Eine Zeitlang kam keine Antwort. Die Quadratwurzel einer negativen Zahl konnte nicht berechnet werden. Deshalb nannten sie es imaginär. Doch als Gauß, auch „Fürst der Mathematiker“ genannt, eine Methode zur Darstellung imaginärer Zahlen entdeckte, war es bald möglich, sie anzuwenden. Heute werden sie analog zu reellen Zahlen verwendet. Die Methode zur Darstellung imaginärer Zahlen verwendet ein Argand-Diagramm, das ein Ganzes als Kreis und die Wurzeln dieses Ganzen als Kreisabschnitte darstellt.

Erinnern wir uns daran, dass eine Reihe negativer und positiver Zahlen von einem Punkt – Null – in entgegengesetzte Richtungen divergieren. Daher können die Quadratwurzeln von ganzen Zahlen, +1 oder -1, auch als entgegengesetzte Enden einer Linie mit Null in der Mitte ausgedrückt werden. Diese Linie kann auch als Winkel von 180 0 oder Durchmesser dargestellt werden.

Gauß entwickelte die ursprüngliche Annahme und stellte die Quadratwurzel von -1 als den halben Abstand zwischen +1 und -1 oder als den Winkel 90° zwischen der Linie von -1 und +1 dar. Wenn also die Teilung des Ganzen in Plus und Minus ein Durchmesser oder 180 0 ist, dann führt die zweite Teilung zum Erscheinen einer anderen Achse, die diesen Durchmesser in zwei Hälften, also um einen Winkel von 90 0, teilt.

Somit erhalten wir zwei Achsen – eine horizontale, die die Unendlichkeiten positiver und negativer Zahlen darstellt, und eine vertikale, die die Unendlichkeiten imaginärer positiver und negativer Zahlen darstellt. Das Ergebnis ist eine reguläre Koordinatenachse, wobei die durch dieses Diagramm und die Achsen beschriebene Zahl eine Zahl ist, die Real- und Imaginärteile hat.

Mithilfe des Argand-Diagramms (dieser Kreis mit dem Radius des Ganzen (Radius +1) in einem komplexen Koordinatensystem) finden wir einfach die folgenden Wurzeln des Ganzen (Kubikwurzeln, Wurzeln zur vierten, fünften Potenz usw.). Teilen des Kreises in drei, fünf usw. ... gleiche Teile. Das Finden einer ganzen Wurzel wird zu einem Prozess, bei dem Polygone in einen Kreis eingeschrieben werden: ein Dreieck für eine Kubikwurzel, ein Fünfeck für eine fünfte Wurzel usw. Die Wurzeln werden zu Punkten auf dem Kreis; Ihre Werte haben Real- und Imaginärteile und werden entlang der horizontalen bzw. vertikalen Koordinatenachsen berechnet. Dies bedeutet, dass sie in Begriffen gemessen werden Quadratwurzeln und Wurzeln zur vierten Potenz.

Aus dieser wirkungsvollen logischen Vereinfachung wird deutlich, dass die Analyse ein vierteiliger Prozess ist. Jede Situation kann unter dem Gesichtspunkt von vier Faktoren oder Aspekten betrachtet werden. Dies bestätigt nicht nur Aristoteles‘ Vorstellung von vier Kategorien weiter, sondern erklärt auch, warum quadratische Gleichungen (mit anderen Worten „Vierecke“) in der Mathematik so beliebt sind.

Aber die Schlussfolgerung über die Natur der Analyse als Vierteiligkeit setzt im Wesentlichen ihre Arbeit in beide Richtungen voraus. Die Analyse zeigt sowohl die Vollständigkeit des Vierteilers als auch seine Grenzen. Und auch die Tatsache, dass sich die Essenz der Erfahrung manchmal jeder Analyse entzieht.

Da wir uns „innerhalb“ der geometrischen Methode befinden, haben wir gezeigt, dass diese nichtanalytischen Faktoren Dreiheit, Fünfheit und Siebenheit umfassen. Obwohl wir in der Lage sind, sie analytisch zu beschreiben, ist sie nicht in der Lage, ihre wahre Natur zu enthüllen.

Tatsächlich, warum? Die einfachste Antwort lautet: „Weil dies die Regeln für die Arbeit mit negativen Zahlen sind.“ Regeln, die wir in der Schule lernen und unser Leben lang anwenden. Die Lehrbücher erklären jedoch nicht, warum die Regeln so sind, wie sie sind. Wir erinnern uns daran, dass es genau so ist und stellen die Frage nicht mehr.

Fragen wir uns...

Vor langer Zeit kannten die Menschen nur natürliche Zahlen: 1, 2, 3, ... Sie wurden verwendet, um Utensilien, Beute, Feinde usw. zu zählen. Aber Zahlen an sich sind ziemlich nutzlos – man muss mit ihnen umgehen können. Die Addition ist klar und verständlich, und außerdem ist die Summe zweier natürlicher Zahlen auch eine natürliche Zahl (ein Mathematiker würde sagen, dass die Menge der natürlichen Zahlen durch die Additionsoperation abgeschlossen ist). Wenn es um natürliche Zahlen geht, ist die Multiplikation im Wesentlichen dasselbe wie die Addition. Im Leben führen wir häufig Aktionen aus, die mit diesen beiden Operationen zusammenhängen (z. B. beim Einkaufen addieren und multiplizieren), und es ist seltsam zu glauben, dass unsere Vorfahren ihnen seltener begegneten – Addition und Multiplikation wurden von der Menschheit schon sehr lange beherrscht vor. Oft muss man einige Größen durch andere dividieren, aber hier wird das Ergebnis nicht immer als natürliche Zahl ausgedrückt – so entstanden Bruchzahlen.

Natürlich geht es auch nicht ohne Subtraktion. In der Praxis subtrahieren wir jedoch normalerweise die kleinere Zahl von der größeren Zahl, und es besteht keine Notwendigkeit, negative Zahlen zu verwenden. (Wenn ich 5 Bonbons habe und meiner Schwester 3 gebe, dann habe ich 5 - 3 = 2 Bonbons übrig, aber ich kann ihr keine 7 Bonbons geben, selbst wenn ich möchte.) Dies kann erklären, warum Menschen für a keine negativen Zahlen verwendet haben lange Zeit.

Negative Zahlen tauchen seit dem 7. Jahrhundert n. Chr. in indischen Dokumenten auf; Die Chinesen haben offenbar schon etwas früher damit begonnen, sie zu nutzen. Sie wurden zur Schuldenbilanzierung oder in Zwischenberechnungen zur Vereinfachung der Lösung von Gleichungen verwendet – sie waren lediglich ein Hilfsmittel, um eine positive Antwort zu erhalten. Die Tatsache, dass negative Zahlen im Gegensatz zu positiven Zahlen nicht das Vorhandensein einer Entität ausdrücken, löste großes Misstrauen aus. Die Menschen mieden buchstäblich negative Zahlen: Wenn ein Problem eine negative Antwort hatte, glaubten sie, dass es überhaupt keine Antwort gab. Dieses Misstrauen hielt sehr lange an und sogar Descartes, einer der „Begründer“ der modernen Mathematik, nannte sie „falsch“ (im 17. Jahrhundert!).

Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung 7x - 17 = 2x - 2. Sie kann folgendermaßen gelöst werden: Verschieben Sie die Terme mit der Unbekannten auf die linke Seite und den Rest auf die rechte Seite. Sie erhalten 7x - 2x = 17 - 2. 5x = 15, x = 3. Damit sind wir in unserer Lösung nicht einmal auf negative Zahlen gestoßen.

Aber es war möglich, es versehentlich anders zu machen: Verschieben Sie die Terme mit der Unbekannten auf die rechte Seite und erhalten Sie 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Um die Unbekannte zu finden, müssen Sie eine negative Zahl durch eine andere dividieren: x = (-15)/(-5). Aber die richtige Antwort ist bekannt, und es bleibt die Schlussfolgerung, dass (-15)/(-5) = 3.

Was zeigt dieses einfache Beispiel? Zunächst wird die Logik deutlich, die die Regeln für Aktionen auf negative Zahlen bestimmt: Die Ergebnisse dieser Aktionen müssen mit den Antworten übereinstimmen, die auf andere Weise, ohne negative Zahlen, erhalten werden. Zweitens ersparen wir uns durch die Zulassung der Verwendung negativer Zahlen die mühsame Suche nach einer Lösung (wenn sich die Gleichung als komplizierter erweist und eine große Anzahl von Termen aufweist), bei der alle Aktionen nur mit natürlichen Zahlen ausgeführt werden. Darüber hinaus denken wir möglicherweise nicht mehr jedes Mal über die Sinnhaftigkeit der transformierten Größen nach – und dies ist bereits ein Schritt auf dem Weg, die Mathematik zu einer abstrakten Wissenschaft zu machen.

Die Regeln für den Umgang mit negativen Zahlen wurden nicht sofort formuliert, sondern wurden zu einer Verallgemeinerung zahlreicher Beispiele, die bei der Lösung angewandter Probleme entstanden. Im Allgemeinen lässt sich die Entwicklung der Mathematik in Phasen einteilen: Jede nächste Phase unterscheidet sich von der vorherigen durch eine neue Abstraktionsebene beim Studium von Objekten. So erkannten Mathematiker im 19. Jahrhundert, dass ganze Zahlen und Polynome trotz aller äußerlichen Unterschiede viel gemeinsam haben: Beide können addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Diese Operationen gehorchen den gleichen Gesetzen – sowohl im Fall von Zahlen als auch im Fall von Polynomen. Aber ganze Zahlen durcheinander zu dividieren, so dass das Ergebnis wieder ganze Zahlen sind, ist nicht immer möglich. Dasselbe gilt auch für Polynome.

Dann wurden andere Sätze mathematischer Objekte entdeckt, an denen solche Operationen durchgeführt werden konnten: formale Potenzreihen, stetige Funktionen ... Schließlich kam man zu der Erkenntnis, dass die Ergebnisse auf alle angewendet werden können, wenn man die Eigenschaften der Operationen selbst untersucht diese Mengen von Objekten (dieser Ansatz ist typisch für die gesamte moderne Mathematik).

Daraus entstand ein neues Konzept: der Ring. Es handelt sich lediglich um eine Reihe von Elementen und Aktionen, die mit ihnen ausgeführt werden können. Die grundlegenden sind hier genau die Regeln (sie werden Axiome genannt), denen Handlungen unterliegen, und nicht die Natur der Elemente der Menge (hier handelt es sich um eine neue Abstraktionsebene!). Um zu betonen, dass es auf die Struktur ankommt, die nach Einführung der Axiome entsteht, sagen Mathematiker: ein Ring aus ganzen Zahlen, ein Ring aus Polynomen usw. Ausgehend von den Axiomen kann man andere Eigenschaften von Ringen ableiten.

Wir werden die Axiome des Rings formulieren (die natürlich den Regeln für die Arbeit mit ganzen Zahlen ähneln) und dann beweisen, dass in jedem Ring die Multiplikation eines Minus mit einem Minus ein Plus ergibt.

Ein Ring ist eine Menge mit zwei binären Operationen (d. h. jede Operation umfasst zwei Elemente des Rings), die traditionell als Addition und Multiplikation bezeichnet werden, und den folgenden Axiomen:

Die Addition von Ringelementen folgt den kommutativen (A + B = B + A für alle Elemente A und B) und kombinatorischen Gesetzen (A + (B + C) = (A + B) + C); Im Ring gibt es ein spezielles Element 0 (neutrales Element durch Addition), so dass A + 0 = A, und für jedes Element A gibt es ein entgegengesetztes Element (bezeichnet mit (-A)), so dass A + (-A) = 0 ;
-Multiplikation folgt dem Kombinationsgesetz: A·(B·C) = (A·B)·C;
Addition und Multiplikation hängen durch die folgenden Regeln zum Öffnen von Klammern zusammen: (A + B) C = A C + B C und A (B + C) = A B + A C.

Beachten Sie, dass Ringe in der allgemeinsten Konstruktion weder die Kommutierbarkeit der Multiplikation noch deren Umkehrbarkeit (d. h. Division kann nicht immer durchgeführt werden) oder die Existenz einer Einheit – eines neutralen Elements bei der Multiplikation – erfordern. Wenn wir diese Axiome einführen, erhalten wir unterschiedliche algebraische Strukturen, aber in ihnen werden alle für Ringe bewiesenen Sätze wahr sein.

Lassen Sie uns nun beweisen, dass für alle Elemente A und B eines beliebigen Rings erstens (-A) B = -(A B) und zweitens (-(-A)) = A gilt. Dies folgt leicht Aussagen über Einheiten : (-1) 1 = -(1 1) = -1 und (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Dazu müssen wir einige Fakten ermitteln. Zuerst beweisen wir, dass jedes Element nur ein Gegenteil haben kann. Angenommen, das Element A habe zwei Gegensätze: B und C. Das heißt, A + B = 0 = A + C. Betrachten Sie die Summe A + B + C. Unter Verwendung der assoziativen und kommutativen Gesetze und der Eigenschaft von Null berechnen wir Erhalten Sie, dass die Summe einerseits gleich B ist: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C und andererseits gleich C ist: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Also B = C.

Beachten Sie nun, dass sowohl A als auch (-(-A)) Gegensätze desselben Elements (-A) sind und daher gleich sein müssen.

Die erste Tatsache sieht so aus: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, das heißt, (-A) B ist entgegengesetzt zu A B, was bedeutet, dass es gleich ist - (A·B).

Um mathematisch genau zu sein, erklären wir auch, warum 0·B = 0 für jedes Element B ist. Tatsächlich ist 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Das heißt, das Hinzufügen von 0·B ändert den Betrag nicht. Das bedeutet, dass dieses Produkt gleich Null ist.

Und die Tatsache, dass es genau eine Nullstelle im Ring gibt (die Axiome besagen schließlich, dass ein solches Element existiert, über seine Einzigartigkeit wird aber nichts gesagt!), überlassen wir dem Leser als einfache Übung.

Evgeniy Epifanov

Negative Zahlen stehen links von Null. Für sie ist wie für positive Zahlen eine Ordnungsrelation definiert, die es ermöglicht, eine ganze Zahl mit einer anderen zu vergleichen.

Für jede natürliche Zahl N es gibt eine und nur eine negative Zahl, bezeichnet -N, was ergänzt N bis Null: N + (− N) = 0 . Beide Nummern werden angerufen Gegenteil für einander. Eine ganze Zahl subtrahieren A ist gleichbedeutend damit, es mit seinem Gegenteil zu addieren: -A.

Eigenschaften negativer Zahlen

Negative Zahlen folgen fast den gleichen Regeln wie natürliche Zahlen, weisen jedoch einige Besonderheiten auf.

Historische Skizze

Literatur

Vygodsky M. Ya. Handbuch der Elementarmathematik. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
Glazer G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. - M.: Bildung, 1964. - 376 S.

Links

Wikimedia-Stiftung. 2010.

Negative Landformen
Negative und positive Null

Sehen Sie, was „negative Zahlen“ in anderen Wörterbüchern sind:

Negative Zahlen- reelle Zahlen kleiner als Null, zum Beispiel 2; 0,5; π usw. Siehe Zahl... Große sowjetische Enzyklopädie

Positive und negative Zahlen- (Werte). Das Ergebnis aufeinanderfolgender Additionen oder Subtraktionen hängt nicht von der Reihenfolge ab, in der diese Aktionen ausgeführt werden. Z.B. 10 5 + 2 = 10 +2 5. Hier werden nicht nur die Zahlen 2 und 5 neu angeordnet, sondern auch die Zeichen vor diesen Zahlen. Vereinbart... ... Enzyklopädisches Wörterbuch F.A. Brockhaus und I.A. Efron

Zahlen sind negativ- Zahlen in der Buchhaltung, die mit Rotstift oder roter Tinte geschrieben sind. Themen: Buchhaltung... Leitfaden für technische Übersetzer

NEGATIVE ZAHLEN- Zahlen in der Buchhaltung, die mit Rotstift oder roter Tinte geschrieben sind... Tolles Buchhaltungswörterbuch

Ganze Zahlen- Die Menge der ganzen Zahlen ist definiert als der Abschluss der Menge der natürlichen Zahlen in Bezug auf die arithmetischen Operationen Addition (+) und Subtraktion (). Somit sind Summe, Differenz und Produkt zweier ganzer Zahlen wieder ganze Zahlen. Es besteht aus... ... Wikipedia

Ganze Zahlen- Zahlen, die beim Zählen auf natürliche Weise entstehen (sowohl im Sinne des Aufzählens als auch im Sinne der Infinitesimalrechnung). Es gibt zwei Ansätze zur Bestimmung natürlicher Zahlen; Zahlen, die verwendet werden in: Auflistung (Nummerierung) von Objekten (erste, zweite, ... ... Wikipedia

EULER-ZAHLEN- Koeffizienten E n in der Erweiterung Die wiederkehrende Formel für E.-Zahlen hat die Form (in symbolischer Notation, (E + 1)n + (E 1)n=0, E0 =1. In diesem Fall ist E 2n+1= 0, E4n sind positiv, E4n+2 negative ganze Zahlen für alle n=0, 1, ...; E2= 1, E4=5, E6=61, E8=1385 ... Mathematische Enzyklopädie

Eine negative Zahl- Eine negative Zahl ist ein Element der Menge der negativen Zahlen, das (zusammen mit der Null) in der Mathematik bei der Erweiterung der Menge der natürlichen Zahlen auftaucht. Der Zweck der Erweiterung besteht darin, die Durchführung der Subtraktionsoperation für eine beliebige Zahl zu ermöglichen. Als Ergebnis... ... Wikipedia

Geschichte der Arithmetik- Arithmetik. Gemälde von Pinturicchio. Wohnung Borgia. 1492 1495. Rom, Vatikanische Paläste ... Wikipedia

Arithmetik- Hans Sebald Beham. Arithmetik. Arithmetik aus dem 16. Jahrhundert (altgriechisch ἀ ... Wikipedia

Bücher

Satz Tische. Mathematik. 6. Klasse. 12 Tabellen + Methodik, . Die Tabellen sind auf dickem bedrucktem Karton mit den Maßen 680 x 980 mm gedruckt. Das Kit enthält eine Broschüre mit Unterrichtsrichtlinien für Lehrer. Lernalbum mit 12 Blättern. Teilbarkeit... Kaufen Sie für RUR 3.063
Mathematik. 6. Klasse. Arbeitsheft. Positive und negative Zahlen, . Das Arbeitsbuch für die 6. Klasse gehört zu den Lehrmaterialien Mathematik für die Grundschule (Klassen 5-9), die im Rahmen des Projekts „Mathematik. Psychologie. Intelligenz“ zusammen mit Lehrbüchern, pädagogischen…

Technologische Karte der Lektion Nr. 35

VOLLSTÄNDIGER NAME. Lehrer: Ivanova Olga Anatolyevna
Artikel: Mathematik

Klasse: 6 A

Name des pädagogischen und methodischen Sets (UMK): Mathematik. Lehrbuch für die 6. Klasse / Nikolsky S.M., Potapov M.K.

Unterrichtsthema: negative ganze Zahlen

Unterrichtsart: Lektion zur ersten Präsentation neuen Wissens

Ort des Unterrichts im Unterrichtssystem: Lektion 1 im Thema „Ganzzahlen“

Lernziele:

Lehrreich: lernen, Temperaturunterschiede anhand der Thermometerwerte zu ermitteln, sich mit der Regel zum Subtrahieren von Zahlen anhand einer Reihe ganzer Zahlen vertraut machen;

Entwicklung: analytisches Denken entwickeln, die Hauptpunkte hervorheben und verallgemeinern

Lehrreich: ein Gefühl der gegenseitigen Zusammenarbeit und Zuhörfähigkeit kultivieren

Didaktische Aufgabe des Unterrichts: das Konzept der negativen, positiven Zahlen, einer Reihe von ganzen Zahlen, einführen; Lernen Sie die Regeln zum Subtrahieren von Zahlen mit einem Thermometer und einer Reihe von ganzen Zahlen

Geplante Ergebnisse

Themenergebnisse: die Bedeutung von Konzepten kennen und verstehen : positive Zahl, negative Zahl , eine Reihe von ganzen Zahlen, in der Lage sein, Zahlen mithilfe einer Reihe von ganzen Zahlen zu subtrahieren, das erworbene Wissen in anderen Lektionen anzuwenden.

Meta-Themen-Ergebnisse:

Kognitiv: die Fähigkeit, die pädagogische Aufgabe des Unterrichts zu verstehen, kognitive Ziele zu identifizieren und zu formulieren und eine logische Argumentationskette aufzubauen.

Regulatorisch: Ihre eigenen Aktivitäten und die Aktivitäten von Partnern überwachen und bewerten, Ihre Aktivitäten planen und anpassen;

Gesprächig: in der Lage sein, Ihre Gedanken vollständig und klar auszudrücken, Ihrem Gesprächspartner zuzuhören und einen Dialog zu führen.

Persönlich: Motivation für Bildungsaktivitäten haben, die soziale Rolle des Schülers akzeptieren und beherrschen, das erworbene Wissen über die pädagogische Zusammenarbeit mit Erwachsenen und Gleichaltrigen in verschiedenen Situationen nutzen.

Grundlegendes Konzept: negative Zahlen, positive Zahlen, Reihen von ganzen Zahlen

Interdisziplinäre Verbindungen: Physik

Ressourcen:http :// www . uroki . Netz ; http :// www . zavuch . die Info

Arbeitsformen: Frontalgespräch, Paararbeit, Einzelarbeit.

Unterrichtsschritte

Lehreraktivitäten

Studentische Aktivitäten

Zeit

UUD gegründet

Organisationsphase

Begrüßung der Studierenden. Überwachung der Unterrichtsbereitschaft.

Überprüfen Sie, ob alles in Ordnung ist? Bücher, Stifte und Notizbücher? Jetzt klingelt es: Der Unterricht beginnt!

Arbeiten Sie fleißig im Unterricht und der Erfolg erwartet Sie!

Vorbereitung auf den Unterrichtsbeginn

Persönlich: haben eine positive Einstellung zum Lernen und zur kognitiven Aktivität, sie möchten sich neue Kenntnisse und Fähigkeiten aneignen und bestehende verbessern.

Kognitiv: die pädagogische und kognitive Aufgabe verstehen.

Regulatorisch: Planen Sie in Zusammenarbeit mit dem Lehrer und den Klassenkameraden selbstständig die notwendigen Maßnahmen.

Kommunikation: Zuhören und einander hören.

Wissen aktualisieren

Leute, was ist die wichtigste Fähigkeit in Mathematik? Lassen Sie uns prüfen, wie gut Sie zählen können: Machen wir ein Mathe-Aufwärmtraining.

Beispiele werden an die Tafel geschrieben, wir lösen sie mündlich und sagen die Antwort.

Leute, was könnt ihr zu den Zahlen in der ersten und zweiten Spalte sagen? Was sind Sie?

Welche mathematischen Operationen haben Sie mit Zahlen durchgeführt?

Antwortoptionen anbieten (Anzahl)

Mündliche Arbeit mit Beispielen an der Tafel.

Beantworten Sie Fragen (natürlich, gebrochen)

(Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division)

Beurteilung Ihrer Aktivitäten

Persönlich: ein stabiles kognitives Interesse am Kopfrechnen zeigen.

Kognitiv: pädagogische und kognitive Handlungen in mentaler Form durchführen; Führen Sie Analyse-, Synthese-, Vergleichs- und Qualifizierungsoperationen durch, um Bildungsprobleme zu lösen.

Regulatorisch: Akzeptieren und speichern Sie die Lernaufgabe.

Kommunikation: ihren Standpunkt zum Ausdruck bringen und begründen.

Ziele setzen

Arbeitsorganisation mit Handouts.

Leute, achtet auf die Blätter mit Aufgabe 1

Das Demo-Thermometer zeigt die Lösung des Problems.

Leute, auf welches neue Konzept sind wir gestoßen? Wie zeichnen wir die Thermometerwerte auf? Was bedeutet der Eintrag -3? 0 MIT.

Von welchem Punkt aus messen wir die Temperatur? Wie nennt man eine Temperatur über 0? Unter 0? Welche Rolle spielt 0?

Was ist das Thema der Lektion?

Der Lehrer korrigiert die Antworten der Schüler und gibt das Thema der Lektion bekannt. Unterrichtsthema: negative ganze Zahlen.

Gemeinsam mit Studierenden:

formuliert den Zweck der Bildungsaktivitäten;

erstellt ein Projekt (Algorithmus) zur Lösung einer Problemsituation.

Organisiert und ergänzt gemeinsame Lernaktivitäten

Lesen Sie das Problem und bieten Sie mögliche Lösungen an.

Fragen beantworten

Antworten der Schüler

Temperatur am Abend -3 0 MIT

Setzen Sie vor der 3 ein Minus.

3 0 Vom Frost.

Wir zählen von 0 an. Plus (positiv), Minus (negativ). Grenze

Negative Temperaturen (Zahlen)

Die Schüler schreiben das Thema in ihr Heft.

Formulieren Sie im Dialog mit dem Lehrer den Zweck der pädagogischen Aktivität.

persönlich: Führen Sie einen Dialog auf der Grundlage gleichberechtigter Beziehungen sowie gegenseitiger Achtung und Akzeptanz.

Kognitiv: Aus Erklärungen, Aussagen von Mitschülern die notwendigen Informationen extrahieren, Wissen systematisieren.

Regulatorisch: Planen Sie die notwendigen Maßnahmen.

Kommunikation: Monologaussagen konstruieren, gemeinsame Aktivitäten durchführen.

Organisation der Arbeit mit dem Lehrbuch

206 in Notizbüchern

Überprüfen Sie gegenseitig die Antworten

Aufgabe 2

Lösen Sie Beispiele mit einem Thermometer:

10 0 C-5 0 С=+5 0 MIT

15 0 C -15 0 С=+0 0 MIT

0 0 C -10 0 С=-10 0 MIT

10 0 C – 15 0 C = -5 0 C

15 0 S-20 0 С=-5 0 MIT

Leute, stellen Sie sich vor, Sie und ich hätten das Thermometer horizontal platziert und den folgenden Eintrag erhalten

Wie nennen wir die Zahlen rechts von 0? Links von 0?

Geben Sie die Definition positiver und negativer Zahlen an

Erledigen Sie die Arbeit mündlich und in Notizbüchern.

Peer-Review

Partnerarbeit; Überprüfung der Lösung an der Tafel mit Erklärung mit einem Thermometer

Leistungsbeurteilung

Positiv negativ.

Formulieren Sie eine Definition

persönlich: Aufkommende Probleme konstruktiv lösen.

Kognitiv: Lesen und Hören, Extrahieren der notwendigen Informationen.

Regulatorisch: Bildungsaktivitäten kontrollieren, gemachte Fehler bemerken; die Kontrollregel verstehen und sie erfolgreich bei der Lösung einer Lernaufgabe anwenden.

Kommunikation: Gemeinsame Aktivitäten zu zweit durchführen.

Minute des Sportunterrichts

Stellen Sie sich nun vor, dass die Null Ihre vor der Brust gefalteten Hände ist. Dann zeigt Ihre linke Hand die Position welcher Zahlen an? Rechts?

Zeigen Sie mir, wo die Zahl 5 relativ zu Null ist? -7? -10? 100? 15? -20?

Machen wir ein Aufwärmtraining

Beantworten Sie Fragen und zeigen Sie die Position der Zahlen an

Machen Sie eine Pause von den Lernaktivitäten und wärmen Sie sich auf.

Persönlich: o Bewusstsein für den Wert der Gesundheit

Kognitiv: Stellen Sie Ursache-Wirkungs-Beziehungen zwischen Ihrer Gesundheit und Bewegung her.

Regulatorisch: Beurteilen Sie die Richtigkeit der Maßnahme ausreichend selbstständig und nehmen Sie sowohl am Ende der Maßnahme als auch während der Umsetzung die notwendigen Anpassungen an der Ausführung vor.

Primäre Wahrnehmung und Assimilation von Material

Leute, kommen wir zurück zur Aufnahme.

7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

Was bedeutet dieser Eintrag?

Aus welchen Zahlen besteht die Reihe der ganzen Zahlen?

Das Lehrbuch hilft Ihnen, die Antwort zu finden.

Wie kann uns eine Reihe ganzer Zahlen beim Subtrahieren von Zahlen helfen?

Versuchen Sie, eine Reihe von Ganzzahlen zu verwenden, um Aufgabe 3 abzuschließen

Machen Sie die Übung alleine

Aufgabe 3 abschließen

Lassen Sie uns überprüfen, welche Ergebnisse Sie erzielt haben.

Mit einem Lehrbuch arbeiten und nach einer Antwort auf eine Frage suchen. (eine Reihe von ganzen Zahlen)

Die Ganzzahlreihe besteht aus natürlichen Zahlen, negativen ganzen Zahlen und Null.

Beim Subtrahieren bewegen wir uns entlang der Zeile nach links

Erledigung von Aufgaben in Notizbüchern

Überprüfung mit mündlichem Kommentar

Diskussion von Lösungen

Leistungsbeurteilung

persönlich: ein Bedürfnis nach Selbstdarstellung und Selbstverwirklichung zeigen.

Kognitiv: Suchen Sie nach den notwendigen Informationen (aus den Lehrbuchmaterialien und der Geschichte des Lehrers, indem Sie sie im Gedächtnis abrufen).

Regulatorisch: Kontrollieren und verwalten Sie selbstständig die für die Lösung einer bestimmten Aufgabe aufgewendete Zeit.

Kommunikation: den Inhalt der durchgeführten Aktionen in der internen Sprache widerspiegeln.

Betrachtung

Welches neue Konzept haben wir in der heutigen Lektion gelernt?

Was haben wir in der heutigen Lektion gelernt?

Was war das Schwierigste?

Fasst die Lektion zusammen. Bewertet die Arbeit der Klasse und einzelner Schüler.

Geben Sie eine angemessene Einschätzung ihrer Aktivitäten ab.

persönlich: die Bedeutung von Wissen für eine Person verstehen.

Kognitiv: die Fähigkeit erwerben, Wissen und Fertigkeiten in der Praxis und im Alltag anzuwenden; Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen dem Umfang der im Unterricht erworbenen Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten und den operativen, forschenden und analytischen Fähigkeiten als integrierte, komplexe Fähigkeiten her.

Regulatorisch: ihre Arbeit bewerten; korrigieren und erklären ihre Fehler.

Kommunikation: eigene Gedanken formulieren, seinen Standpunkt äußern und begründen.

Hausaufgaben

Verteilt Hausaufgaben.

425, 426, 434 * Zoll

Die Schüler schreiben Hausaufgaben auf

Beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen sowie Modulproblemen müssen Sie die gefundenen Wurzeln auf den Zahlenstrahl legen. Wie Sie wissen, können die gefundenen Wurzeln unterschiedlich sein. Sie können so aussehen: , oder sie können so sein: , .

Wenn die Zahlen dementsprechend nicht rational, sondern irrational sind (wenn Sie vergessen haben, was sie sind, schauen Sie im Thema nach) oder komplexe mathematische Ausdrücke sind, dann ist es sehr problematisch, sie auf der Zahlengeraden zu platzieren. Darüber hinaus dürfen Sie während der Prüfung keine Taschenrechner verwenden und Näherungsberechnungen bieten keine hundertprozentige Garantie dafür, dass eine Zahl kleiner als eine andere ist (was passiert, wenn zwischen den verglichenen Zahlen ein Unterschied besteht?).

Natürlich wissen Sie, dass positive Zahlen immer größer sind als negative und dass, wenn wir uns eine Zahlenachse vorstellen, beim Vergleich die größten Zahlen rechts liegen als die kleinsten: ; ; usw.

Aber ist alles immer so einfach? Wo wir auf dem Zahlenstrahl markieren, .

Wie können sie beispielsweise mit einer Zahl verglichen werden? Das ist das Problem...)

Lassen Sie uns zunächst allgemein darüber sprechen, wie und was verglichen werden soll.

Wichtig: Es empfiehlt sich, Transformationen so vorzunehmen, dass sich das Ungleichheitszeichen nicht ändert! Das heißt, bei Transformationen ist es unerwünscht, mit einer negativen Zahl zu multiplizieren, und es ist verboten Quadrat, wenn einer der Teile negativ ist.

Vergleich von Brüchen

Wir müssen also zwei Brüche vergleichen: und.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, dies zu tun.

Option 1. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren.

Schreiben wir es in Form eines gewöhnlichen Bruchs:

- (wie Sie sehen können, habe ich auch Zähler und Nenner reduziert).

Jetzt müssen wir Brüche vergleichen:

Jetzt können wir den Vergleich auf zwei Arten fortsetzen. Wir können:

Bringen Sie einfach alles auf einen gemeinsamen Nenner und stellen Sie beide Brüche als unechte Brüche dar (der Zähler ist größer als der Nenner):
Welche Zahl ist größer? Richtig, der mit dem größeren Zähler, also der erste.
„Lass uns verwerfen“ (denken Sie daran, dass wir von jedem Bruch eins abgezogen haben und sich das Verhältnis der Brüche zueinander dementsprechend nicht geändert hat) und vergleichen Sie die Brüche:
Wir bringen sie auch auf einen gemeinsamen Nenner:
Wir haben genau das gleiche Ergebnis wie im vorherigen Fall erhalten – die erste Zahl ist größer als die zweite:
Überprüfen wir auch, ob wir eins richtig subtrahiert haben? Berechnen wir die Differenz im Zähler in der ersten und der zweiten Berechnung:
1)
2)

Also haben wir uns angeschaut, wie man Brüche vergleicht und sie auf einen gemeinsamen Nenner bringt. Kommen wir zu einer anderen Methode: Brüche vergleichen und auf einen gemeinsamen ... Zähler bringen.

Option 2. Vergleichen von Brüchen durch Reduzieren auf einen gemeinsamen Zähler.

Ja Ja. Das ist kein Tippfehler. Diese Methode wird in der Schule selten jemandem beigebracht, ist aber sehr oft sehr praktisch. Damit Sie das Wesentliche schnell verstehen, stelle ich Ihnen nur eine Frage: „In welchen Fällen ist der Wert eines Bruchs am größten?“ Natürlich werden Sie sagen: „Wenn der Zähler so groß wie möglich und der Nenner so klein wie möglich ist.“

Kann man zum Beispiel definitiv sagen, dass es wahr ist? Was ist, wenn wir die folgenden Brüche vergleichen müssen: ? Ich denke, Sie werden das Zeichen auch sofort richtig setzen, denn im ersten Fall sind sie in Teile geteilt, im zweiten in ganze, was bedeutet, dass die Stücke im zweiten Fall sehr klein ausfallen, und dementsprechend: . Wie Sie sehen, sind hier die Nenner unterschiedlich, die Zähler jedoch gleich. Um diese beiden Brüche zu vergleichen, muss man jedoch nicht nach einem gemeinsamen Nenner suchen. Obwohl ... finden Sie es und sehen Sie, ob das Vergleichszeichen immer noch falsch ist?

Aber das Zeichen ist dasselbe.

Kehren wir zu unserer ursprünglichen Aufgabe zurück – vergleichen und... Wir vergleichen und... Reduzieren wir diese Brüche nicht auf einen gemeinsamen Nenner, sondern auf einen gemeinsamen Zähler. Um dies einfach zu tun Zähler und Nenner Multipliziere den ersten Bruch mit. Wir bekommen:

Und. Welcher Bruch ist größer? Genau, das erste.

Option 3: Brüche durch Subtraktion vergleichen.

Wie vergleiche ich Brüche durch Subtraktion? Ja, ganz einfach. Wir subtrahieren einen anderen von einem Bruch. Wenn das Ergebnis positiv ist, ist der erste Bruch (Minuend) größer als der zweite (Subtrahend), und wenn negativ, dann umgekehrt.

Versuchen wir in unserem Fall, den ersten Bruch vom zweiten zu subtrahieren: .

Wie Sie bereits verstehen, konvertieren wir auch in einen gewöhnlichen Bruch und erhalten das gleiche Ergebnis – . Unser Ausdruck hat die Form:

Als nächstes müssen wir noch zur Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner greifen. Die Frage ist: Auf die erste Art und Weise Brüche in unechte Brüche umwandeln, oder auf die zweite Art und Weise, als würde man die Einheit „entfernen“? Diese Aktion hat übrigens eine völlig mathematische Begründung. Sehen:

Die zweite Option gefällt mir besser, da die Multiplikation im Zähler viel einfacher ist, wenn man sie auf einen gemeinsamen Nenner reduziert.

Bringen wir es auf einen gemeinsamen Nenner:

Hier geht es vor allem darum, nicht verwirrt darüber zu sein, von welcher Zahl wir wo subtrahiert haben. Beobachten Sie den Fortschritt der Lösung sorgfältig und verwechseln Sie die Zeichen nicht versehentlich. Wir haben die erste Zahl von der zweiten Zahl subtrahiert und ein negatives Ergebnis erhalten, also? Das stimmt, die erste Zahl ist größer als die zweite.

Habe es? Versuchen Sie, Brüche zu vergleichen:

Halt halt. Beeilen Sie sich nicht, die Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen oder zu subtrahieren. Schauen Sie: Sie können es leicht in einen Dezimalbruch umwandeln. Wie lange wird es dauern? Rechts. Was ist am Ende mehr?

Dies ist eine weitere Option – der Vergleich von Brüchen durch Umwandlung in eine Dezimalzahl.

Option 4: Brüche durch Division vergleichen.

Ja Ja. Und das ist auch möglich. Die Logik ist einfach: Wenn wir eine größere Zahl durch eine kleinere Zahl dividieren, erhalten wir als Antwort eine Zahl größer als eins, und wenn wir eine kleinere Zahl durch eine größere Zahl dividieren, fällt die Antwort auf das Intervall von bis.

Um sich an diese Regel zu erinnern, nehmen Sie zum Beispiel zwei beliebige Primzahlen zum Vergleich und. Weißt du, was noch mehr ist? Teilen wir nun durch. Unsere Antwort ist. Dementsprechend ist die Theorie richtig. Wenn wir durch dividieren, erhalten wir weniger als eins, was wiederum bestätigt, dass es tatsächlich weniger ist.

Versuchen wir, diese Regel auf gewöhnliche Brüche anzuwenden. Lass uns vergleichen:

Teilen Sie den ersten Bruch durch den zweiten:

Lassen Sie uns nach und nach kürzen.

Das erhaltene Ergebnis ist kleiner, was bedeutet, dass die Dividende kleiner als der Divisor ist, d. h.:

Wir haben uns alle möglichen Optionen zum Vergleichen von Brüchen angesehen. Wie siehst du sie 5:

Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner;
Reduktion auf einen gemeinsamen Zähler;
Reduktion auf die Form eines Dezimalbruchs;
Subtraktion;
Aufteilung.

Bereit zum Training? Brüche optimal vergleichen:

Vergleichen wir die Antworten:

(- in Dezimalzahl umwandeln)
(Dividieren Sie einen Bruch durch einen anderen und reduzieren Sie ihn durch Zähler und Nenner.)
(Wählen Sie den ganzen Teil aus und vergleichen Sie Brüche nach dem Prinzip des gleichen Zählers.)
(Teilen Sie einen Bruch durch einen anderen und reduzieren Sie ihn durch Zähler und Nenner).

2. Vergleich der Abschlüsse

Stellen Sie sich nun vor, dass wir nicht nur Zahlen vergleichen müssen, sondern auch Ausdrücke, bei denen es einen Grad () gibt.

Natürlich können Sie ganz einfach ein Schild anbringen:

Wenn wir schließlich den Grad durch Multiplikation ersetzen, erhalten wir:

Aus diesem kleinen und primitiven Beispiel folgt die Regel:

Versuchen Sie nun, Folgendes zu vergleichen: . Sie können auch ganz einfach ein Schild anbringen:

Denn wenn wir Potenzierung durch Multiplikation ersetzen ...

Im Allgemeinen versteht man alles und es ist überhaupt nicht schwierig.

Schwierigkeiten ergeben sich nur dann, wenn die Abschlüsse im Vergleich unterschiedliche Grundlagen und Indikatoren haben. In diesem Fall muss versucht werden, zu einer gemeinsamen Basis zu gelangen. Zum Beispiel:

Natürlich wissen Sie, dass dieser Ausdruck dementsprechend die Form annimmt:

Öffnen wir die Klammern und vergleichen wir, was wir erhalten:

Ein etwas besonderer Fall ist, wenn die Basis des Grades () kleiner als eins ist.

Wenn, dann ist von zwei Grad und der größere derjenige, dessen Index kleiner ist.

Versuchen wir, diese Regel zu beweisen. Lassen.

Lassen Sie uns eine natürliche Zahl als Differenz zwischen und einführen.

Logisch, nicht wahr?

Und nun achten wir noch einmal auf den Zustand – .

Jeweils: . Somit, .

Zum Beispiel:

Wie Sie wissen, haben wir den Fall betrachtet, dass die Grundlagen der Grade gleich sind. Schauen wir uns nun an, wann die Basis im Intervall von bis liegt, die Exponenten aber gleich sind. Hier ist alles ganz einfach.

Erinnern wir uns anhand eines Beispiels daran, wie man dies vergleicht:

Natürlich hast du schnell nachgerechnet:

Wenn Sie also zum Vergleich auf ähnliche Probleme stoßen, denken Sie an ein einfaches ähnliches Beispiel, das Sie schnell berechnen können, und setzen Sie anhand dieses Beispiels Zeichen in ein komplexeres.

Denken Sie beim Durchführen von Transformationen daran, dass beim Multiplizieren, Addieren, Subtrahieren oder Dividieren alle Aktionen sowohl mit der linken als auch mit der rechten Seite ausgeführt werden müssen (wenn Sie mit multiplizieren, müssen Sie beide multiplizieren).

Darüber hinaus gibt es Fälle, in denen Manipulationen einfach unrentabel sind. Zum Beispiel müssen Sie vergleichen. In diesem Fall ist es nicht so schwierig, das Zeichen zu potenzieren und darauf basierend anzuordnen:

Lass uns üben. Abschlüsse vergleichen:

Sind Sie bereit, Antworten zu vergleichen? Folgendes habe ich bekommen:

- das Gleiche wie
- das Gleiche wie
- das Gleiche wie
- das Gleiche wie

3. Zahlen mit Wurzeln vergleichen

Erinnern wir uns zunächst daran, was Wurzeln sind? Erinnern Sie sich an diese Aufnahme?

Die Wurzel einer Potenz einer reellen Zahl ist eine Zahl, für die die Gleichheit gilt.

Wurzeln ungeraden Grades gibt es für negative und positive Zahlen, und sogar Wurzeln- nur für positive.

Der Wurzelwert ist oft eine unendliche Dezimalzahl, was eine genaue Berechnung erschwert. Daher ist es wichtig, Wurzeln vergleichen zu können.

Wenn Sie vergessen haben, was es ist und wozu es gegessen wird – . Wenn Sie sich an alles erinnern, lernen wir Schritt für Schritt, Wurzeln zu vergleichen.

Nehmen wir an, wir müssen Folgendes vergleichen:

Um diese beiden Wurzeln zu vergleichen, müssen Sie keine Berechnungen durchführen, sondern lediglich das Konzept der „Wurzel“ selbst analysieren. Verstehen Sie, wovon ich rede? Ja, dazu: Ansonsten kann es als dritte Potenz einer Zahl geschrieben werden, gleich dem Wurzelausdruck.

Was ist mehr? oder? Natürlich können Sie dies problemlos vergleichen. Je größer die Zahl ist, die wir potenzieren, desto größer ist der Wert.

Also. Lassen Sie uns eine Regel ableiten.

Wenn die Exponenten der Wurzeln gleich sind (in unserem Fall ist dies der Fall), müssen die Wurzelausdrücke (und) verglichen werden – je größer die Wurzelzahl, desto größer der Wert der Wurzel bei gleichen Exponenten.

Schwer zu merken? Dann behalten Sie einfach ein Beispiel im Kopf und... Das mehr?

Die Exponenten der Wurzeln sind gleich, da die Wurzel quadratisch ist. Der radikale Ausdruck einer Zahl () ist größer als eine andere (), was bedeutet, dass die Regel wirklich wahr ist.

Was ist, wenn die Wurzelausdrücke gleich sind, die Grade der Wurzeln jedoch unterschiedlich sind? Zum Beispiel: .

Es ist auch ganz klar, dass man eine kleinere Zahl erhält, wenn man eine Wurzel mit einem größeren Grad zieht. Nehmen wir zum Beispiel:

Bezeichnen wir den Wert der ersten Wurzel als und der zweiten als, dann:

Sie können leicht erkennen, dass in diesen Gleichungen mehr enthalten sein muss, daher:

Wenn die Wurzelausdrücke gleich sind(in unserem Fall), und die Exponenten der Wurzeln sind unterschiedlich(in unserem Fall ist das und), dann ist es notwendig, die Exponenten zu vergleichen(Und) - je höher der Indikator, desto kleiner ist dieser Ausdruck.

Versuchen Sie, die folgenden Wurzeln zu vergleichen:

Vergleichen wir die Ergebnisse?

Wir haben das erfolgreich geklärt :). Es stellt sich eine weitere Frage: Was wäre, wenn wir alle unterschiedlich wären? Sowohl Grad als auch radikaler Ausdruck? Nicht alles ist so kompliziert, wir müssen nur... die Wurzel „loswerden“. Ja Ja. Werde es einfach los)

Wenn wir unterschiedliche Grade und Wurzelausdrücke haben, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (lesen Sie den Abschnitt darüber) für die Exponenten der Wurzeln finden und beide Ausdrücke auf eine Potenz erhöhen, die dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen entspricht.

Dass wir alle in Worten und Worten sind. Hier ist ein Beispiel:

Wir schauen uns die Indikatoren der Wurzeln an – und. Ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ist.
Potenzieren wir beide Ausdrücke:
Lassen Sie uns den Ausdruck transformieren und die Klammern öffnen (weitere Details im Kapitel):
Zählen wir, was wir getan haben, und setzen wir ein Zeichen:

4. Vergleich von Logarithmen

So kamen wir langsam aber sicher zu der Frage, wie man Logarithmen vergleicht. Wenn Sie sich nicht erinnern, um welche Art von Tier es sich handelt, empfehle ich Ihnen, zunächst die Theorie aus dem Abschnitt zu lesen. Hast du es gelesen? Dann beantworten Sie ein paar wichtige Fragen:

Was ist das Argument eines Logarithmus und was ist seine Basis?
Was bestimmt, ob eine Funktion zunimmt oder abnimmt?

Wenn Sie sich an alles erinnern und es perfekt beherrschen, legen wir los!

Um Logarithmen miteinander zu vergleichen, müssen Sie nur drei Techniken kennen:

Reduzierung auf die gleiche Basis;
Reduktion auf dasselbe Argument;
Vergleich mit der dritten Zahl.

Achten Sie zunächst auf die Basis des Logarithmus. Erinnern Sie sich daran, dass die Funktion abnimmt, wenn sie kleiner ist, und wenn sie größer ist, nimmt sie zu. Darauf werden unsere Urteile basieren.

Betrachten wir einen Vergleich von Logarithmen, die bereits auf dieselbe Basis oder dasselbe Argument reduziert wurden.

Vereinfachen wir zunächst das Problem: Geben wir die verglichenen Logarithmen ein gleiche Gründe. Dann:

Die Funktion wächst z. B. im Intervall von, was per Definition dann bedeutet („direkter Vergleich“).
Beispiel:- Die Gründe sind die gleichen, wir vergleichen die Argumente entsprechend: , also:
Die Funktion at nimmt im Intervall von ab, was per Definition dann bedeutet („umgekehrter Vergleich“). - Die Basen sind gleich, wir vergleichen die Argumente entsprechend: Das Vorzeichen der Logarithmen wird jedoch „umgekehrt“ sein, da die Funktion abnehmend ist: .

Betrachten Sie nun Fälle, in denen die Gründe unterschiedlich, die Argumente jedoch gleich sind.

Die Basis ist größer.
- . In diesem Fall verwenden wir den „umgekehrten Vergleich“. Zum Beispiel: - Die Argumente sind die gleichen und. Vergleichen wir die Grundlagen: Allerdings wird das Vorzeichen der Logarithmen „umgekehrt“ sein:
Die Basis a liegt in der Lücke.
- . In diesem Fall verwenden wir den „direkten Vergleich“. Zum Beispiel:
- . In diesem Fall verwenden wir den „umgekehrten Vergleich“. Zum Beispiel:

Schreiben wir alles in allgemeiner tabellarischer Form auf:

, dabei	, dabei

Dementsprechend müssen wir, wie Sie bereits verstanden haben, beim Vergleich von Logarithmen zur gleichen Basis bzw. zum gleichen Argument gelangen. Zur gleichen Basis gelangen wir, indem wir die Formel für den Übergang von einer Basis zur anderen verwenden.

Sie können Logarithmen auch mit der dritten Zahl vergleichen und daraus schließen, was weniger und was mehr ist. Überlegen Sie beispielsweise, wie Sie diese beiden Logarithmen vergleichen können.

Ein kleiner Hinweis: Zum Vergleich hilft Ihnen ein Logarithmus sehr, dessen Argument gleich ist.

Gedanke? Lassen Sie uns gemeinsam entscheiden.

Diese beiden Logarithmen können wir ganz einfach mit Ihnen vergleichen:

Sie wissen nicht wie? Siehe oben. Wir haben das gerade geklärt. Welches Zeichen wird es geben? Rechts:

Zustimmen?

Vergleichen wir miteinander:

Sie sollten Folgendes erhalten:

Fassen Sie nun alle unsere Schlussfolgerungen zu einem zusammen. Passiert?

5. Vergleich trigonometrischer Ausdrücke.

Was ist Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens? Warum brauchen wir einen Einheitskreis und wie findet man darauf den Wert trigonometrischer Funktionen? Wenn Sie die Antworten auf diese Fragen nicht kennen, empfehle ich Ihnen dringend, die Theorie zu diesem Thema zu lesen. Und wenn Sie es wissen, fällt es Ihnen nicht schwer, trigonometrische Ausdrücke miteinander zu vergleichen!

Frischen wir unser Gedächtnis ein wenig auf. Zeichnen wir einen trigonometrischen Einheitskreis und ein darin eingeschriebenes Dreieck. Hast du es geschafft? Markieren Sie nun anhand der Seiten des Dreiecks, auf welcher Seite wir den Kosinus und auf welcher Seite den Sinus eintragen. (Sie erinnern sich natürlich daran, dass der Sinus das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse und der Kosinus die Ankathete ist?). Hast du es gezeichnet? Großartig! Der letzte Schliff besteht darin, festzulegen, wo wir es haben werden, wo und so weiter. Hast du es abgelegt? Puh) Lass uns vergleichen, was dir und mir passiert ist.

Puh! Jetzt fangen wir mit dem Vergleich an!

Nehmen wir an, wir müssen vergleichen und. Zeichnen Sie diese Winkel mithilfe der Eingabeaufforderungen in den Feldern (wo wir markiert haben, wo) und platzieren Sie Punkte auf dem Einheitskreis. Hast du es geschafft? Hier ist, was ich habe.

Lassen Sie uns nun eine Senkrechte von den Punkten, die wir auf dem Kreis markiert haben, auf die Achse fallen lassen ... Welche? Welche Achse zeigt den Wert der Sinuswerte? Rechts, . Das sollten Sie bekommen:

Wenn Sie sich dieses Bild ansehen, welches ist größer: oder? Natürlich, weil der Punkt über dem Punkt liegt.

Auf ähnliche Weise vergleichen wir den Wert von Kosinuswerten. Wir senken nur die Senkrechte zur Achse... Das ist richtig, . Schauen wir uns dementsprechend an, welcher Punkt rechts (oder höher, wie bei Sinus) liegt, dann ist der Wert größer.

Sie wissen wahrscheinlich schon, wie man Tangenten vergleicht, oder? Sie müssen lediglich wissen, was eine Tangente ist. Was ist also ein Tangens?) Richtig, das Verhältnis von Sinus zu Cosinus.

Um Tangenten zu vergleichen, zeichnen wir einen Winkel auf die gleiche Weise wie im vorherigen Fall. Nehmen wir an, wir müssen Folgendes vergleichen:

Hast du es gezeichnet? Jetzt markieren wir auch die Sinuswerte auf der Koordinatenachse. Hast du bemerkt? Geben Sie nun die Werte des Kosinus auf der Koordinatenlinie an. Passiert? Lass uns vergleichen:

Analysieren Sie nun, was Sie geschrieben haben. - Wir teilen ein großes Segment in ein kleines. Die Antwort wird einen Wert enthalten, der definitiv größer als eins ist. Rechts?

Und wenn wir das Kleine durch das Große teilen. Die Antwort wird eine Zahl sein, die genau kleiner als eins ist.

Welcher trigonometrische Ausdruck hat also den größeren Wert?

Rechts:

Wie Sie jetzt verstehen, ist der Vergleich von Kotangenten dasselbe, nur umgekehrt: Wir betrachten, wie die Segmente, die Kosinus und Sinus definieren, zueinander in Beziehung stehen.

Versuchen Sie, die folgenden trigonometrischen Ausdrücke selbst zu vergleichen:

Beispiele.

Antworten.

ZAHLENVERGLEICH. DURCHSCHNITTSNIVEAU.

Welche Zahl ist größer: oder? Die Antwort liegt auf der Hand. Und jetzt: oder? Nicht mehr so offensichtlich, oder? Also: oder?

Oft muss man wissen, welcher numerische Ausdruck größer ist. Zum Beispiel, um beim Lösen einer Ungleichung die Punkte auf der Achse in der richtigen Reihenfolge anzuordnen.

Jetzt werde ich Ihnen beibringen, wie man solche Zahlen vergleicht.

Wenn Sie Zahlen vergleichen müssen, setzen wir ein Zeichen dazwischen (abgeleitet vom lateinischen Wort Versus oder abgekürzt vs. – gegen): . Dieses Zeichen ersetzt das unbekannte Ungleichheitszeichen (). Als nächstes führen wir identische Transformationen durch, bis klar ist, welches Vorzeichen zwischen den Zahlen gesetzt werden muss.

Der Kern des Zahlenvergleichs besteht darin, dass wir das Zeichen so behandeln, als wäre es eine Art Ungleichheitszeichen. Und mit dem Ausdruck können wir alles machen, was wir normalerweise mit Ungleichungen machen:

Addiere auf beiden Seiten eine beliebige Zahl (und wir können natürlich auch subtrahieren)
„Alles zur Seite verschieben“, also einen der verglichenen Ausdrücke von beiden Teilen subtrahieren. Anstelle des subtrahierten Ausdrucks bleibt: .
mit derselben Zahl multiplizieren oder dividieren. Ist diese Zahl negativ, wird das Ungleichheitszeichen umgekehrt: .
Erhöhen Sie beide Seiten auf die gleiche Potenz. Wenn diese Potenz gerade ist, müssen Sie sicherstellen, dass beide Teile das gleiche Vorzeichen haben; Wenn beide Teile positiv sind, ändert sich das Vorzeichen bei der Potenzierung nicht, sind sie jedoch negativ, dann ändert es sich ins Gegenteil.
Extrahieren Sie aus beiden Teilen die Wurzel gleichen Grades. Wenn wir eine Wurzel geraden Grades ziehen, müssen wir zunächst sicherstellen, dass beide Ausdrücke nicht negativ sind.
alle anderen äquivalenten Transformationen.

Wichtig: Es empfiehlt sich, Transformationen so vorzunehmen, dass sich das Ungleichheitszeichen nicht ändert! Das heißt, bei Transformationen ist es unerwünscht, mit einer negativen Zahl zu multiplizieren, und Sie können sie nicht quadrieren, wenn einer der Teile negativ ist.

Schauen wir uns einige typische Situationen an.

1. Potenzierung.

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Lösung.

Da beide Seiten der Ungleichung positiv sind, können wir sie quadrieren, um die Wurzel zu entfernen:

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Lösung.

Hier können wir es auch quadrieren, aber das hilft uns nur, die Quadratwurzel loszuwerden. Hier ist es notwendig, ihn so weit anzuheben, dass beide Wurzeln verschwinden. Das bedeutet, dass der Exponent dieses Grades sowohl durch (Grad der ersten Wurzel) als auch durch teilbar sein muss. Diese Zahl wird daher auf die te Potenz erhöht:

2. Multiplikation mit seinem Konjugat.

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Lösung.

Lassen Sie uns jede Differenz multiplizieren und durch die konjugierte Summe dividieren:

Offensichtlich ist der Nenner auf der rechten Seite größer als der Nenner auf der linken Seite. Daher ist der rechte Bruch kleiner als der linke:

3. Subtraktion

Erinnern wir uns daran.

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Lösung.

Natürlich könnten wir alles in Einklang bringen, neu gruppieren und es erneut in Einklang bringen. Aber Sie können etwas Intelligenteres tun:

Es ist ersichtlich, dass auf der linken Seite jeder Term kleiner ist als jeder Term auf der rechten Seite.

Dementsprechend ist die Summe aller Terme auf der linken Seite kleiner als die Summe aller Terme auf der rechten Seite.

Aber sei vorsichtig! Wir wurden gefragt, was noch...

Die rechte Seite ist größer.

Beispiel.

Vergleichen Sie die Zahlen und...

Lösung.

Erinnern wir uns an die Trigonometrieformeln:

Schauen wir uns an, in welchen Vierteln des trigonometrischen Kreises die Punkte liegen.

4. Abteilung.

Auch hier verwenden wir eine einfache Regel: .

Bei oder, das heißt.

Wenn sich das Vorzeichen ändert: .

Beispiel.

Vergleichen: .

Lösung.

5. Vergleichen Sie die Zahlen mit der dritten Zahl

Wenn und dann (Gesetz der Transitivität).

Beispiel.

Vergleichen.

Lösung.

Vergleichen wir die Zahlen nicht miteinander, sondern mit der Zahl.

Es ist klar, dass.

Andererseits, .

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Lösung.

Beide Zahlen sind größer, aber kleiner. Wählen wir eine Zahl aus, die größer als eine, aber kleiner als die andere ist. Zum Beispiel, . Lass uns das Prüfen:

6. Was tun mit Logarithmen?

Nichts Besonderes. Wie man Logarithmen loswird, wird im Thema ausführlich beschrieben. Die Grundregeln sind:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Wir können auch eine Regel für Logarithmen mit unterschiedlichen Basen und demselben Argument hinzufügen:

Dies lässt sich folgendermaßen erklären: Je größer die Basis, desto geringer muss sie angehoben werden, um das Gleiche zu erreichen. Wenn die Basis kleiner ist, ist das Gegenteil der Fall, da die entsprechende Funktion monoton fallend ist.

Beispiel.

Vergleichen Sie die Zahlen: und.

Lösung.

Nach den oben genannten Regeln:

Und nun die Formel für Fortgeschrittene.

Die Regel zum Vergleichen von Logarithmen kann kürzer geschrieben werden:

Beispiel.

Was ist mehr: oder?

Lösung.

Beispiel.

Vergleichen Sie, welche Zahl größer ist: .

Lösung.

ZAHLENVERGLEICH. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

1. Potenzierung

Wenn beide Seiten der Ungleichung positiv sind, können sie quadriert werden, um die Wurzel zu entfernen

2. Multiplikation mit seinem Konjugat

Ein Konjugat ist ein Faktor, der den Ausdruck zur Quadratdifferenzformel ergänzt: - Konjugat für und umgekehrt, weil .

3. Subtraktion

4. Abteilung

Wann oder das ist

Wenn sich das Vorzeichen ändert:

5. Vergleich mit der dritten Zahl

Wenn und dann

6. Vergleich von Logarithmen

Grundregeln:

Logarithmen mit unterschiedlicher Basis und gleichem Argument:

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema verstanden. Und ich wiederhole, das... das ist einfach super! Sie sind bereits besser als die überwiegende Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Für das erfolgreiche Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens, für den Studieneintritt mit kleinem Budget und vor allem für das Leben.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich sage nur eines ...

Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten haben, verdienen viel mehr als diejenigen, die diese nicht erhalten haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Hauptsache, sie sind GLÜCKLICHER (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben schöner wird? Weiß nicht...

Aber denken Sie selbst...

Was braucht es, um beim Einheitlichen Staatsexamen sicher besser zu sein als andere und letztendlich ... glücklicher zu sein?

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Abschließend...

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