Addition und Subtraktion von Zahlen unterschiedlichen Grades. Abschluss mit einem natürlichen Indikator

Betrachten wir das Thema der Transformation von Ausdrücken mit Potenzen, aber zunächst konzentrieren wir uns auf eine Reihe von Transformationen, die mit beliebigen Ausdrücken, einschließlich Potenzausdrücken, durchgeführt werden können. Wir lernen, wie man Klammern öffnet, ähnliche Terme angibt, mit Basis und Exponent arbeitet und die Eigenschaften von Potenzen nutzt.

Was sind Machtausdrücke?

Im Schulunterricht verwenden nur wenige Menschen den Begriff „Machtausdrücke“, aber dieser Begriff findet sich ständig in Sammlungen zur Prüfungsvorbereitung. In den meisten Fällen bezeichnet die Phrase Ausdrücke, deren Einträge Grade enthalten. Dies werden wir in unserer Definition widerspiegeln.

Definition 1

Machtausdruck ist ein Ausdruck, der Potenzen enthält.

Wir geben mehrere Beispiele für Potenzausdrücke, beginnend mit einem Grad mit einem natürlichen Exponenten und endend mit einem Grad mit einem reellen Exponenten.

Die einfachsten Potenzausdrücke können als Potenzen einer Zahl mit einem natürlichen Exponenten betrachtet werden: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Sowie Potenzen ohne Exponenten: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Und Potenzen mit negativen ganzzahligen Potenzen: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Es ist etwas schwieriger, mit einem Grad zu arbeiten, der rationale und irrationale Exponenten hat: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Der Indikator kann eine Variable 3 x - 54 - 7 3 x - 58 oder ein Logarithmus sein x 2 l g x − 5 x l g x.

Wir haben uns mit der Frage beschäftigt, was Machtausdrücke sind. Jetzt verwandeln wir sie.

Die wichtigsten Arten von Transformationen von Machtausdrücken

Zunächst betrachten wir die grundlegenden Identitätstransformationen von Ausdrücken, die mit Potenzausdrücken durchgeführt werden können.

Beispiel 1

Berechnen Sie den Leistungsausdruckswert 2 3 (4 2 − 12).

Lösung

Wir werden alle Transformationen in Übereinstimmung mit der Reihenfolge der Aktionen durchführen. In diesem Fall führen wir zunächst die Aktionen in Klammern aus: Wir ersetzen den Grad durch einen digitalen Wert und berechnen die Differenz zwischen den beiden Zahlen. Wir haben 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Es bleibt uns überlassen, den Abschluss zu ersetzen 2 3 es bedeutet 8 und berechne das Produkt 8 4 = 32. Hier ist unsere Antwort.

Antwort: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Beispiel 2

Vereinfachen Sie den Ausdruck mit Potenzen 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Lösung

Der uns in der Problemstellung gegebene Ausdruck enthält ähnliche Begriffe, die wir mitbringen können: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Antwort: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Beispiel 3

Drücken Sie einen Ausdruck mit Potenzen von 9 - b 3 · π - 1 2 als Produkt aus.

Lösung

Stellen wir uns die Zahl 9 als Potenz vor 3 2 und wenden Sie die abgekürzte Multiplikationsformel an:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Antwort: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

Kommen wir nun zur Analyse identischer Transformationen, die speziell auf Potenzausdrücke angewendet werden können.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Der Grad in der Basis oder im Exponenten kann Zahlen, Variablen und einige Ausdrücke enthalten. Zum Beispiel, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 Und . Es ist schwierig, mit solchen Aufzeichnungen zu arbeiten. Es ist viel einfacher, den Ausdruck in der Basis des Grades oder den Ausdruck im Exponenten durch einen identisch gleichen Ausdruck zu ersetzen.

Die Transformationen des Grades und des Indikators erfolgen nach den uns bekannten Regeln getrennt voneinander. Das Wichtigste ist, dass als Ergebnis der Transformationen ein Ausdruck entsteht, der mit dem Original identisch ist.

Der Zweck von Transformationen besteht darin, den ursprünglichen Ausdruck zu vereinfachen oder eine Lösung für das Problem zu erhalten. Beispielsweise können Sie in dem oben angegebenen Beispiel (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 Operationen ausführen, um zum Grad zu gelangen 4 , 1 1 , 3 . Wenn wir die Klammern öffnen, können wir ähnliche Begriffe in die Basis des Grades einfügen (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) und erhalten Sie einen Kraftausdruck einer einfacheren Form a 2 (x + 1).

Verwendung von Energieeigenschaften

Die als Gleichheiten geschriebenen Eigenschaften von Graden sind eines der wichtigsten Werkzeuge zur Transformation von Ausdrücken mit Graden. Vor diesem Hintergrund stellen wir hier die wichtigsten vor A Und B sind beliebige positive Zahlen, und R Und S- beliebige reelle Zahlen:

Definition 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

In Fällen, in denen es sich um natürliche, ganzzahlige, positive Exponenten handelt, können die Einschränkungen für die Zahlen a und b viel weniger streng sein. Wenn wir zum Beispiel die Gleichheit betrachten a m a n = a m + n, Wo M Und N natürliche Zahlen sind, dann gilt dies für alle Werte von a, sowohl positiv als auch negativ, sowie für a = 0.

Sie können die Eigenschaften von Graden ohne Einschränkungen anwenden, wenn die Basen der Grade positiv sind oder Variablen enthalten, deren akzeptabler Wertebereich so groß ist, dass die Basen darauf nur positive Werte annehmen. Tatsächlich besteht die Aufgabe des Schülers im Rahmen des schulischen Mathematiklehrplans darin, die entsprechende Eigenschaft auszuwählen und richtig anzuwenden.

Bei der Vorbereitung auf die Zulassung zu Hochschulen kann es zu Aufgaben kommen, bei denen eine ungenaue Anwendung von Eigenschaften zu einer Einengung der ODZ und anderen Schwierigkeiten bei der Lösung führt. In diesem Abschnitt werden wir nur zwei solcher Fälle betrachten. Weitere Informationen zum Thema finden Sie im Thema „Ausdrücke mithilfe von Exponenteneigenschaften transformieren“.

Beispiel 4

Stellen Sie den Ausdruck dar ein 2 , 5 (ein 2) - 3: ein - 5 , 5 als Abschluss mit Grundlagen A.

Lösung

Zunächst nutzen wir die Potenzierungseigenschaft und transformieren damit den zweiten Faktor (a 2) − 3. Dann nutzen wir die Eigenschaften der Multiplikation und Potenzteilung mit gleicher Basis:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

Antwort: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Die Transformation von Potenzausdrücken entsprechend der Eigenschaft der Grade kann sowohl von links nach rechts als auch in die entgegengesetzte Richtung erfolgen.

Beispiel 5

Finden Sie den Wert des Potenzausdrucks 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Lösung

Wenn wir die Gleichheit anwenden (a b) r = a r b r, von rechts nach links, dann erhalten wir ein Produkt der Form 3 7 1 3 21 2 3 und dann 21 1 3 21 2 3 . Addieren wir die Exponenten beim Multiplizieren von Potenzen mit den gleichen Basen: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Es gibt eine andere Möglichkeit, Transformationen vorzunehmen:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Antwort: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Beispiel 6

Gegeben ein Machtausdruck a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, geben Sie eine neue Variable ein t = a 0 , 5.

Lösung

Stellen Sie sich den Abschluss vor a 1 , 5 Wie a 0 , 5 3. Verwendung der Degree-Eigenschaft in einem Abschluss (a r) s = a r s von rechts nach links und erhalte (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Im resultierenden Ausdruck können Sie problemlos eine neue Variable einfügen t = a 0 , 5: erhalten t 3 − t − 6.

Antwort: t 3 − t − 6 .

Umwandeln von Brüchen, die Potenzen enthalten

Normalerweise haben wir es mit zwei Varianten von Potenzausdrücken mit Brüchen zu tun: Der Ausdruck ist ein Bruch mit einem Grad oder enthält einen solchen Bruch. Alle grundlegenden Bruchtransformationen sind ohne Einschränkungen auf solche Ausdrücke anwendbar. Sie können reduziert, auf einen neuen Nenner gebracht und getrennt mit Zähler und Nenner gearbeitet werden. Lassen Sie uns dies anhand von Beispielen veranschaulichen.

Beispiel 7

Vereinfachen Sie den Potenzausdruck 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Lösung

Da es sich um einen Bruch handelt, führen wir Transformationen sowohl im Zähler als auch im Nenner durch:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Setzen Sie ein Minus vor den Bruch, um das Vorzeichen des Nenners zu ändern: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Antwort: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Brüche, die Potenzen enthalten, werden auf die gleiche Weise wie rationale Brüche auf einen neuen Nenner reduziert. Dazu müssen Sie einen zusätzlichen Faktor finden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren. Es ist notwendig, einen zusätzlichen Faktor so auszuwählen, dass er für keine Werte der Variablen aus den ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck verschwindet.

Beispiel 8

Bringen Sie die Brüche auf einen neuen Nenner: a) a + 1 a 0, 7 zum Nenner A, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 zum Nenner x + 8 y 1 2 .

Lösung

a) Wir wählen einen Faktor, der es uns ermöglicht, auf einen neuen Nenner zu reduzieren. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , daher nehmen wir als zusätzlichen Faktor a 0 , 3. Der Bereich der zulässigen Werte der Variablen a umfasst die Menge aller positiven reellen Zahlen. In diesem Bereich ist der Abschluss a 0 , 3 geht nicht auf Null.

Lassen Sie uns Zähler und Nenner eines Bruchs mit multiplizieren a 0 , 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Achten Sie auf den Nenner:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Multiplizieren Sie diesen Ausdruck mit x 1 3 + 2 · y 1 6 , wir erhalten die Summe der Würfel x 1 3 und 2 · y 1 6 , d. h. x + 8 · y 1 2 . Dies ist unser neuer Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch bringen müssen.

Also haben wir einen zusätzlichen Faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 gefunden. Über den Bereich akzeptabler Werte von Variablen X Und j der Ausdruck x 1 3 + 2 y 1 6 verschwindet nicht, also können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Antwort: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Beispiel 9

Reduziere den Bruch: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Lösung

a) Verwenden Sie den größten gemeinsamen Nenner (GCD), um den Zähler und Nenner reduziert werden können. Für die Zahlen 30 und 45 beträgt dieser 15 . Wir können auch reduzieren x 0 , 5 + 1 und auf x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Wir bekommen:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Hier ist das Vorhandensein identischer Faktoren nicht offensichtlich. Sie müssen einige Transformationen durchführen, um im Zähler und im Nenner die gleichen Faktoren zu erhalten. Dazu erweitern wir den Nenner mithilfe der Quadratdifferenzformel:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Antwort: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Zu den Grundoperationen mit Brüchen gehören die Reduktion auf einen neuen Nenner und die Reduktion von Brüchen. Beide Aktionen werden unter Einhaltung einer Reihe von Regeln durchgeführt. Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen werden die Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner reduziert, anschließend werden Aktionen (Addition oder Subtraktion) mit Zählern ausgeführt. Der Nenner bleibt derselbe. Das Ergebnis unserer Handlungen ist ein neuer Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist.

Beispiel 10

Führen Sie die Schritte x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 aus.

Lösung

Beginnen wir mit der Subtraktion der in Klammern stehenden Brüche. Bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Subtrahieren wir die Zähler:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Jetzt multiplizieren wir Brüche:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Reduzieren wir um einen Grad x 1 2, wir erhalten 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Darüber hinaus können Sie den Potenzausdruck im Nenner vereinfachen, indem Sie die Formel für die Differenz von Quadraten verwenden: Quadrate: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Antwort: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Beispiel 11

Vereinfachen Sie den Potenzausdruck x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Lösung

Wir können den Bruch reduzieren um (x 2 , 7 + 1) 2. Wir erhalten einen Bruch x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Fahren wir mit den Transformationen von x-Potenzen x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 fort. Jetzt können Sie die Potenzteilungseigenschaft mit denselben Basen verwenden: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Wir gehen vom letzten Produkt zum Bruch x 1 3 8 x 2, 7 + 1 über.

Antwort: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

In den meisten Fällen ist es bequemer, Multiplikatoren mit negativen Exponenten vom Zähler auf den Nenner und umgekehrt zu übertragen, indem man das Vorzeichen des Exponenten ändert. Diese Aktion vereinfacht die weitere Entscheidung. Geben wir ein Beispiel: Der Potenzausdruck (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 kann durch x 3 · (x + 1) 0 , 2 ersetzt werden.

Ausdrücke mit Wurzeln und Potenzen umwandeln

In Aufgaben gibt es Potenzausdrücke, die nicht nur Grade mit gebrochenen Exponenten, sondern auch Wurzeln enthalten. Es ist wünschenswert, solche Ausdrücke nur auf Wurzeln oder nur auf Potenzen zu reduzieren. Der Übergang zu Abschlüssen ist vorzuziehen, da diese einfacher zu handhaben sind. Ein solcher Übergang ist besonders vorteilhaft, wenn der DPV der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen ermöglicht, die Wurzeln durch Potenzen zu ersetzen, ohne auf den Modul zugreifen oder den DPV in mehrere Intervalle aufteilen zu müssen.

Beispiel 12

Drücken Sie den Ausdruck x 1 9 x x 3 6 als Potenz aus.

Lösung

Gültiger Bereich einer Variablen X wird durch zwei Ungleichungen bestimmt x ≥ 0 und x · x 3 ≥ 0 , die die Menge definieren [ 0 , + ∞) .

In diesem Set haben wir das Recht, von Wurzeln zu Potenzen zu wechseln:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Mithilfe der Eigenschaften von Graden vereinfachen wir den resultierenden Potenzausdruck.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Antwort: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Potenzen mit Variablen im Exponenten umrechnen

Diese Transformationen sind recht einfach durchzuführen, wenn Sie die Eigenschaften des Grades richtig verwenden. Zum Beispiel, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Wir können das Produkt des Grades ersetzen, durch den die Summe einer Variablen und einer Zahl ermittelt wird. Auf der linken Seite kann dies mit dem ersten und letzten Term auf der linken Seite des Ausdrucks erfolgen:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Teilen wir nun beide Seiten der Gleichung durch 7 2 x. Dieser Ausdruck auf der ODZ der Variablen x nimmt nur positive Werte an:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Reduzieren wir die Brüche mit Potenzen, erhalten wir: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Schließlich wird das Verhältnis von Potenzen mit gleichen Exponenten durch Potenzen von Verhältnissen ersetzt, was zu der Gleichung 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 führt, was äquivalent zu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 ist x - 2 = 0 .

Wir führen eine neue Variable t = 5 7 x ein, die die Lösung der ursprünglichen Exponentialgleichung auf die Lösung der quadratischen Gleichung 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 reduziert.

Ausdrücke mit Potenzen und Logarithmen umwandeln

Ausdrücke, die Potenzen und Logarithmen enthalten, kommen auch in Aufgaben vor. Beispiele für solche Ausdrücke sind: 1 4 1 - 5 log 2 3 oder log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Die Transformation solcher Ausdrücke erfolgt mit den oben diskutierten Ansätzen und den Eigenschaften von Logarithmen, die wir im Thema „Transformation logarithmischer Ausdrücke“ ausführlich analysiert haben.

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Das Konzept eines Mathematikstudiums wird bereits in der 7. Klasse im Algebraunterricht eingeführt. Und in Zukunft wird dieses Konzept im Laufe des Mathematikstudiums in seinen verschiedenen Formen aktiv genutzt. Abschlüsse sind ein ziemlich schwieriges Thema, das das Auswendiglernen von Werten und die Fähigkeit erfordert, richtig und schnell zu zählen. Für eine schnellere und bessere Arbeit mit Mathematikabschlüssen haben sie sich die Eigenschaften eines Abschlusses ausgedacht. Sie helfen dabei, umfangreiche Berechnungen einzusparen und ein großes Beispiel bis zu einem gewissen Grad in eine einzige Zahl umzuwandeln. Es gibt nicht so viele Eigenschaften und alle sind leicht zu merken und in der Praxis anzuwenden. Daher werden in dem Artikel die wichtigsten Eigenschaften des Abschlusses sowie deren Anwendung erörtert.

Abschlusseigenschaften

Wir betrachten 12 Eigenschaften eines Grades, einschließlich Eigenschaften von Potenzen mit derselben Basis, und geben für jede Eigenschaft ein Beispiel. Jede dieser Eigenschaften hilft Ihnen, Probleme mit Graden schneller zu lösen und erspart Ihnen zahlreiche Rechenfehler.

1. Anwesen.

Viele Menschen vergessen diese Eigenschaft sehr oft, machen Fehler und stellen eine Zahl bis zum Grad Null als Null dar.

2. Eigentum.

3. Eigentum.

Es ist zu beachten, dass diese Eigenschaft nur beim Multiplizieren von Zahlen verwendet werden kann, sie funktioniert nicht mit der Summe! Und wir dürfen nicht vergessen, dass diese und die folgenden Eigenschaften nur für Potenzen mit derselben Basis gelten.

4. Eigenschaft.

Wenn die Zahl im Nenner negativ potenziert wird, wird beim Subtrahieren der Grad des Nenners in Klammern gesetzt, um das Vorzeichen in weiteren Berechnungen korrekt zu ersetzen.

Die Eigenschaft funktioniert nur beim Dividieren, nicht beim Subtrahieren!

5. Eigenschaft.

6. Eigenschaft.

Diese Eigenschaft kann auch umgekehrt angewendet werden. Eine Einheit, die bis zu einem gewissen Grad durch eine Zahl dividiert wird, ist eine negative Potenz dieser Zahl.

7. Eigenschaft.

Diese Eigenschaft kann nicht auf Summe und Differenz angewendet werden! Bei der Potenzierung einer Summe oder Differenz werden abgekürzte Multiplikationsformeln verwendet, nicht die Eigenschaften der Potenz.

8. Eigenschaft.

9. Eigenschaft.

Diese Eigenschaft funktioniert für jeden gebrochenen Grad mit einem Zähler gleich eins. Die Formel ist dieselbe, nur der Grad der Wurzel ändert sich je nach Nenner des Grades.

Außerdem wird diese Eigenschaft häufig in umgekehrter Reihenfolge verwendet. Die Wurzel einer beliebigen Potenz einer Zahl kann als Zahl hoch Eins dividiert durch die Potenz der Wurzel dargestellt werden. Diese Eigenschaft ist in Fällen sehr nützlich, in denen die Wurzel der Zahl nicht extrahiert wird.

10. Eigenschaft.

Diese Eigenschaft funktioniert nicht nur mit der Quadratwurzel und dem zweiten Grad. Wenn der Grad der Wurzel und der Grad, um den diese Wurzel angehoben wird, gleich sind, dann wird die Antwort ein radikaler Ausdruck sein.

11. Anwesen.

Sie müssen diese Eigenschaft bei der Lösung rechtzeitig erkennen können, um sich große Berechnungen zu ersparen.

12. Anwesen.

Jede dieser Eigenschaften wird Ihnen in Aufgaben mehr als einmal begegnen, sie kann in reiner Form angegeben werden oder erfordert möglicherweise einige Transformationen und die Verwendung anderer Formeln. Für die richtige Lösung reicht es daher nicht aus, nur die Eigenschaften zu kennen, Sie müssen den Rest des mathematischen Wissens üben und verknüpfen.

Anwendung von Graden und ihren Eigenschaften

Sie werden aktiv in Algebra und Geometrie eingesetzt. Abschlüsse in Mathematik nehmen einen besonderen, wichtigen Stellenwert ein. Mit ihrer Hilfe werden Exponentialgleichungen und Ungleichungen gelöst, und Potenzen erschweren oft Gleichungen und Beispiele, die sich auf andere Bereiche der Mathematik beziehen. Exponenten helfen, große und lange Berechnungen zu vermeiden, es ist einfacher, die Exponenten zu reduzieren und zu berechnen. Um jedoch mit großen Potenzen oder mit Potenzen großer Zahlen arbeiten zu können, müssen Sie nicht nur die Eigenschaften des Grades kennen, sondern auch kompetent mit den Basen arbeiten und diese zerlegen können, um Ihre Aufgabe zu erleichtern. Der Einfachheit halber sollten Sie auch die Bedeutung der Potenz von Zahlen kennen. Dadurch wird Ihre Lösungszeit verkürzt, da keine langen Berechnungen mehr erforderlich sind.

Bei Logarithmen spielt der Gradbegriff eine besondere Rolle. Denn der Logarithmus ist im Wesentlichen die Potenz einer Zahl.

Ein weiteres Beispiel für die Verwendung von Potenzen sind abgekürzte Multiplikationsformeln. Sie können die Eigenschaften von Graden nicht nutzen, sie werden nach besonderen Regeln zerlegt, aber in jeder abgekürzten Multiplikationsformel gibt es ausnahmslos Grade.

Auch in der Physik und der Informatik werden Abschlüsse aktiv genutzt. Alle Übersetzungen in das SI-System erfolgen mithilfe von Graden, und bei der Lösung von Problemen werden künftig die Eigenschaften des Grades angewendet. In der Informatik werden Zweierpotenzen aktiv genutzt, um das Zählen zu erleichtern und die Wahrnehmung von Zahlen zu vereinfachen. Weitere Berechnungen zur Umrechnung von Maßeinheiten oder zur Berechnung von Problemen erfolgen wie in der Physik über die Eigenschaften des Grades.

Grade sind auch in der Astronomie sehr nützlich, wo man selten die Eigenschaften eines Grades nutzt, die Grade selbst jedoch aktiv genutzt werden, um die Aufzeichnung verschiedener Größen und Entfernungen zu verkürzen.

Grad werden auch im Alltag verwendet, wenn Flächen, Volumina und Entfernungen berechnet werden.

Mit Hilfe von Graden werden in jedem Wissenschaftsbereich sehr große und sehr kleine Werte geschrieben.

Exponentialgleichungen und Ungleichungen

Gradeigenschaften nehmen gerade in Exponentialgleichungen und Ungleichungen eine Sonderstellung ein. Diese Aufgaben kommen sowohl im Schulunterricht als auch bei Prüfungen sehr häufig vor. Alle werden durch die Anwendung der Eigenschaften des Abschlusses gelöst. Das Unbekannte liegt immer im Grad selbst, daher wird es bei Kenntnis aller Eigenschaften nicht schwierig sein, eine solche Gleichung oder Ungleichung zu lösen.

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Der Zweck der Lektion: Lernen Sie, wie man Operationen mit Potenzen einer Zahl durchführt.

Erinnern wir uns zunächst an das Konzept der „Potenz einer Zahl“. Ein Ausdruck wie $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ kann als $a^n$ dargestellt werden.

Das Umgekehrte gilt auch: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Diese Gleichstellung nennt man „Erfassung des Abschlusses als Produkt“. Es wird uns helfen zu bestimmen, wie man Potenzen multipliziert und teilt.
Erinnern:
A- die Basis des Abschlusses.
N- Exponent.
Wenn n=1, was die Zahl bedeutet A einmal genommen und jeweils: $a^n= 1$.
Wenn n=0, dann $a^0= 1$.

Warum das passiert, können wir herausfinden, wenn wir uns mit den Regeln für die Multiplikation und Division von Potenzen vertraut machen.

Multiplikationsregeln

Beispiel.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Diese Eigenschaft lässt sich bequem nutzen, um die Arbeit bei der Potenzierung einer Zahl zu vereinfachen.
Beispiel.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Wenn Potenzen mit einer anderen Basis, aber demselben Exponenten multipliziert werden.
Zu $a^n * b^n$ schreiben wir die Potenzen als Produkt: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Wenn wir die Faktoren vertauschen und die resultierenden Paare zählen, erhalten wir: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Also $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Beispiel.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Teilungsregeln

Somit ist es notwendig $\frac(a^n)(a^m)$, Wo n>m.

Wir schreiben die Grade als Bruch:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Jetzt reduzieren wir den Bruch.

Es stellt sich heraus: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Bedeutet, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Diese Eigenschaft hilft dabei, die Situation bei der Potenzierung einer Zahl mit Null zu erklären. Nehmen wir das an n=m, dann $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Beispiele.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Die Grundlagen des Abschlusses sind unterschiedlich, die Indikatoren sind gleich.
Nehmen wir an, Sie benötigen $\frac(a^n)( b^n)$. Wir schreiben die Potenzen der Zahlen als Bruch:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Beispiel.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Eines der Hauptmerkmale in der Algebra und in der gesamten Mathematik ist ein Abschluss. Natürlich können im 21. Jahrhundert alle Berechnungen auf einem Online-Rechner durchgeführt werden, aber für die Entwicklung des Gehirns ist es besser, dies selbst zu lernen.

In diesem Artikel werden wir die wichtigsten Aspekte dieser Definition betrachten. Wir werden nämlich verstehen, was es im Allgemeinen ist und welche Hauptfunktionen es hat und welche Eigenschaften es in der Mathematik gibt.

Schauen wir uns Beispiele an, wie die Berechnung aussieht und welche Grundformeln es gibt. Wir analysieren die wichtigsten Arten von Größen und wie sie sich von anderen Funktionen unterscheiden.

Wir werden verstehen, wie wir mit diesem Wert verschiedene Probleme lösen können. Wir zeigen anhand von Beispielen, wie man auf den Grad Null, irrational, negativ usw. anhebt.

Online-Potenzierungsrechner

Was ist der Grad einer Zahl?

Was versteht man unter dem Ausdruck „eine Zahl potenzieren“?

Der Grad n einer Zahl a ist das Produkt von Größenfaktoren a n-mal hintereinander.

Mathematisch sieht es so aus:

a n = a * a * a * …a n .

Zum Beispiel:

• 2 3 = 2 im dritten Schritt. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 im Schritt. zwei = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 im Schritt. vier = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 in 5 Schritten. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 in 4 Schritten. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Unten finden Sie eine Tabelle mit Quadraten und Würfeln von 1 bis 10.

Gradtabelle von 1 bis 10

Nachfolgend finden Sie die Ergebnisse der Potenzierung natürlicher Zahlen auf positive Potenzen – „von 1 auf 100“.

Abschlusseigenschaften

Was ist charakteristisch für eine solche mathematische Funktion? Schauen wir uns die grundlegenden Eigenschaften an.

Wissenschaftler haben Folgendes festgestellt für alle Grade charakteristische Zeichen:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Andererseits 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Ähnlich: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Ansonsten 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Was ist, wenn es anders ist? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Wie Sie sehen, funktionieren die Regeln.

Aber wie soll man sein? mit Addition und Subtraktion? Alles ist einfach. Zuerst wird die Potenzierung durchgeführt und erst dann die Addition und Subtraktion.

Schauen wir uns Beispiele an:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

In diesem Fall müssen Sie jedoch zunächst die Addition berechnen, da in Klammern Aktionen stehen: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Wie man produziert Berechnungen in komplexeren Fällen? Die Reihenfolge ist dieselbe:

• Wenn Klammern vorhanden sind, müssen Sie mit ihnen beginnen.
• dann Potenzierung;
• führen Sie dann Multiplikations- und Divisionsoperationen durch;
• nach Addition, Subtraktion.

Es gibt bestimmte Eigenschaften, die nicht für alle Abschlüsse charakteristisch sind:

1. Die Wurzel des n-ten Grades von der Zahl a zum Grad m wird wie folgt geschrieben: a m / n .
2. Bei der Potenzierung eines Bruchs: Sowohl der Zähler als auch der Nenner unterliegen diesem Verfahren.
3. Wenn man das Produkt verschiedener Zahlen potenziert, entspricht der Ausdruck dem Produkt dieser Zahlen zu einer gegebenen Potenz. Das heißt: (a * b) n = a n * b n .
4. Wenn Sie eine Zahl negativ potenzieren möchten, müssen Sie im selben Schritt 1 durch eine Zahl dividieren, jedoch mit einem „+“-Zeichen.
5. Wenn der Nenner eines Bruchs eine negative Potenz hat, ist dieser Ausdruck gleich dem Produkt aus Zähler und Nenner in einer positiven Potenz.
6. Jede Zahl hoch 0 = 1 und in Schritten. 1 = für sich.

Da diese Regelungen im Einzelfall wichtig sind, gehen wir im Folgenden näher darauf ein.

Abschluss mit negativem Exponenten

Was tun bei einem negativen Grad, also wenn der Indikator negativ ist?

Basierend auf den Eigenschaften 4 und 5(siehe Punkt oben) es stellt sich heraus:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Umgekehrt:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Was ist, wenn es ein Bruchteil ist?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Abschluss mit einem natürlichen Indikator

Es wird als Grad verstanden, dessen Exponenten ganzen Zahlen entsprechen.

Dinge, die Sie sich merken sollten:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…usw.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…usw.

Wenn (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…, dann wird das Ergebnis mit einem „+“-Zeichen versehen. Wenn eine negative Zahl ungerade potenziert wird, dann ist es umgekehrt.

Charakteristisch für sie sind auch allgemeine Eigenschaften und alle oben beschriebenen spezifischen Merkmale.

Bruchgrad

Diese Ansicht kann als Schema geschrieben werden: A m / n. Es wird gelesen als: die Wurzel des n-ten Grades der Zahl A hoch m.

Mit einem Bruchindikator können Sie alles tun: reduzieren, in Teile zerlegen, auf einen anderen Grad erhöhen usw.

Grad mit irrationalem Exponenten

Sei α eine irrationale Zahl und À ˃ 0.

Um das Wesen des Abschlusses mit einem solchen Indikator zu verstehen, Schauen wir uns verschiedene mögliche Fälle an:

• A = 1. Das Ergebnis ist gleich 1. Da es ein Axiom gibt, ist 1 gleich eins in allen Potenzen;

À r 1 ˂ À α ˂ À r 2 , r 1 ˂ r 2 sind rationale Zahlen;

• 0˂А˂1.

In diesem Fall gilt umgekehrt: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 unter den gleichen Bedingungen wie im zweiten Absatz.

Der Exponent ist beispielsweise die Zahl π. Es ist rational.

r 1 - in diesem Fall ist es gleich 3;

r 2 - wird gleich 4 sein.

Dann ist für A = 1 1 π = 1.

A = 2, dann 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, dann (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Solche Abschlüsse zeichnen sich durch alle oben beschriebenen mathematischen Operationen und spezifischen Eigenschaften aus.

Abschluss

Zusammenfassend: Wozu dienen diese Werte, was sind die Vorteile solcher Funktionen? Natürlich vereinfachen sie zunächst einmal das Leben von Mathematikern und Programmierern bei der Lösung von Beispielen, da sie die Minimierung von Berechnungen, die Reduzierung von Algorithmen, die Systematisierung von Daten und vieles mehr ermöglichen.

Wo sonst kann dieses Wissen nützlich sein? In jedem Arbeitsgebiet: Medizin, Pharmakologie, Zahnmedizin, Bauwesen, Technologie, Ingenieurwesen, Design usw.

Ausdrücke, Ausdrucksumwandlung

Machtausdrücke (Ausdrücke mit Kräften) und ihre Transformation

In diesem Artikel werden wir über die Transformation von Ausdrücken mit Potenzen sprechen. Zunächst konzentrieren wir uns auf Transformationen, die mit Ausdrücken jeglicher Art durchgeführt werden, einschließlich Potenzausdrücken wie dem Öffnen von Klammern und dem Reduzieren ähnlicher Begriffe. Und dann analysieren wir die Transformationen, die speziell Ausdrücken mit Graden innewohnen: Arbeiten mit Basis und Exponent, Verwendung der Eigenschaften von Graden usw.

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Was sind Machtausdrücke?

Der Begriff „Potenzausdrücke“ kommt in Schulbüchern der Mathematik praktisch nicht vor, taucht jedoch häufig in Aufgabensammlungen auf, die beispielsweise speziell zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen und die OGE konzipiert sind. Nach der Analyse von Aufgaben, bei denen es erforderlich ist, beliebige Aktionen mit Potenzausdrücken auszuführen, wird deutlich, dass unter Potenzausdrücken Ausdrücke verstanden werden, die in ihren Einträgen Grade enthalten. Daher können Sie für sich selbst die folgende Definition übernehmen:

Definition.

Machtausdrücke sind Ausdrücke, die Potenzen enthalten.

Bringen wir Beispiele für Machtausdrücke. Darüber hinaus werden wir sie danach darstellen, wie sich die Meinungsentwicklung von einem Grad mit natürlichem Indikator zu einem Grad mit realem Indikator vollzieht.

Wie Sie wissen, lernen Sie zunächst den Grad einer Zahl mit einem natürlichen Exponenten kennen, in diesem Stadium die ersten einfachsten Potenzausdrücke vom Typ 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 usw.

Etwas später wird die Potenz einer Zahl mit einem ganzzahligen Exponenten untersucht, was zum Auftreten von Potenzausdrücken mit negativen ganzzahligen Potenzen wie den folgenden führt: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

In den Oberstufen kehren sie wieder zu den Abschlüssen zurück. Dort wird ein Grad mit rationalem Exponenten eingeführt, was zum Auftreten der entsprechenden Potenzausdrücke führt: , usw. Abschließend werden Grade mit irrationalen Exponenten und Ausdrücke, die diese enthalten, betrachtet: , .

Die Sache ist nicht auf die aufgeführten Potenzausdrücke beschränkt: Weiter dringt die Variable in den Exponenten ein, und es gibt beispielsweise solche Ausdrücke 2 x 2 +1 oder . Und nach dem Kennenlernen tauchen Ausdrücke mit Potenzen und Logarithmen auf, zum Beispiel x 2 lgx −5 x lgx.

Also haben wir die Frage geklärt, was Machtausdrücke sind. Als nächstes lernen wir, wie man sie umwandelt.

Die wichtigsten Arten von Transformationen von Machtausdrücken

Mit Power-Ausdrücken können Sie jede der grundlegenden Identitätstransformationen von Ausdrücken durchführen. Sie können beispielsweise Klammern erweitern, numerische Ausdrücke durch ihre Werte ersetzen, ähnliche Begriffe hinzufügen usw. In diesem Fall ist es natürlich notwendig, das akzeptierte Verfahren zur Durchführung von Aktionen zu befolgen. Lassen Sie uns Beispiele nennen.

Berechnen Sie den Wert des Potenzausdrucks 2 3 ·(4 2 −12) .

Entsprechend der Reihenfolge der Aktionen führen wir zunächst die in Klammern stehenden Aktionen aus. Dort ersetzen wir erstens die Potenz von 4 2 durch ihren Wert 16 (siehe ggf.) und berechnen zweitens die Differenz 16−12=4 . Wir haben 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Im resultierenden Ausdruck ersetzen wir die Potenz von 2 3 durch ihren Wert 8 und berechnen anschließend das Produkt 8·4=32 . Dies ist der gewünschte Wert.

Also, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

2 3 (4 2 −12)=32 .

Vereinfachen Sie Potenzausdrücke 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Offensichtlich enthält dieser Ausdruck ähnliche Terme 3 · a 4 · b − 7 und 2 · a 4 · b − 7 , und wir können sie reduzieren: .

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1 .

Drücken Sie einen Ausdruck mit Kräften als Produkt aus.

Die Bewältigung der Aufgabe ermöglicht die Darstellung der Zahl 9 als Potenz von 3 · 2 und die anschließende Verwendung der abgekürzten Multiplikationsformel, der Differenz der Quadrate:

Es gibt auch eine Reihe identischer Transformationen, die Machtausdrücken innewohnen. Als nächstes werden wir sie analysieren.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Es gibt Grade, deren Grundlage und/oder Indikator nicht nur Zahlen oder Variablen, sondern einige Ausdrücke sind. Als Beispiel schreiben wir (2+0,3 7) 5−3,7 und (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Bei der Arbeit mit solchen Ausdrücken ist es möglich, sowohl den Ausdruck in der Basis des Grades als auch den Ausdruck im Indikator durch einen identisch gleichen Ausdruck auf dem DPV seiner Variablen zu ersetzen. Mit anderen Worten, nach den uns bekannten Regeln können wir die Basis des Grades und separat den Indikator separat umrechnen. Es ist klar, dass als Ergebnis dieser Transformation ein Ausdruck erhalten wird, der dem Original identisch ist.

Solche Transformationen ermöglichen es uns, Ausdrücke mit Potenzen zu vereinfachen oder andere Ziele zu erreichen, die wir brauchen. Beispielsweise können Sie im oben erwähnten Potenzausdruck (2+0,3 7) 5−3,7 Operationen mit Zahlen in Basis und Exponent durchführen, wodurch Sie die Potenz von 4,1 1,3 erreichen können. Und nachdem wir die Klammern geöffnet und ähnliche Terme in die Basis des Grades (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) eingefügt haben, erhalten wir einen Potenzausdruck einer einfacheren Form a 2·(x+1 ).

Verwendung von Energieeigenschaften

Eines der Hauptwerkzeuge zur Transformation von Ausdrücken mit Potenzen sind Gleichheiten und das Reflektieren. Erinnern wir uns an die wichtigsten. Für alle positiven Zahlen a und b und beliebige reelle Zahlen r und s gelten die folgenden Potenzeigenschaften:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Beachten Sie, dass für natürliche, ganzzahlige und positive Exponenten die Einschränkungen für die Zahlen a und b möglicherweise nicht so streng sind. Beispielsweise gilt für natürliche Zahlen m und n die Gleichheit a m ·a n =a m+n nicht nur für positive a , sondern auch für negative und für a=0 .

In der Schule liegt das Hauptaugenmerk bei der Transformation von Machtausdrücken gerade auf der Fähigkeit, die entsprechende Eigenschaft auszuwählen und richtig anzuwenden. In diesem Fall sind die Basen der Grade in der Regel positiv, sodass Sie die Eigenschaften der Grade uneingeschränkt nutzen können. Gleiches gilt für die Transformation von Ausdrücken, die Variablen in Gradbasen enthalten – der Bereich akzeptabler Werte von Variablen ist normalerweise so, dass die Basen darauf nur positive Werte annehmen, was Ihnen die freie Verwendung der Eigenschaften ermöglicht von Graden. Generell muss man sich ständig fragen, ob es in diesem Fall möglich ist, eine Eigenschaft von Graden anzuwenden, denn eine ungenaue Verwendung von Eigenschaften kann zu einer Einengung der ODZ und anderen Problemen führen. Diese Punkte werden ausführlich und mit Beispielen im Artikel Transformation von Ausdrücken mithilfe der Eigenschaften von Graden besprochen. Wir beschränken uns hier auf einige einfache Beispiele.

Drücken Sie den Ausdruck a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 als Potenz mit der Basis a aus.

Zuerst transformieren wir den zweiten Faktor (a 2) −3 durch die Eigenschaft, eine Potenz zu potenzieren: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. In diesem Fall nimmt der anfängliche Potenzausdruck die Form a 2,5 ·a −6:a −5,5 an. Offensichtlich bleibt es weiterhin, die Eigenschaften der Multiplikation und Potenzteilung mit der gleichen Basis zu nutzen, wie wir sie haben
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

a 2,5 (a 2) -3: a -5,5 \u003d a 2.

Potenzeigenschaften werden beim Transformieren von Potenzausdrücken sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links verwendet.

Finden Sie den Wert des Potenzausdrucks.

Gleichheit (a·b) r =a r ·b r , von rechts nach links angewendet, ermöglicht es Ihnen, vom ursprünglichen Ausdruck zum Produkt der Form und darüber hinaus zu gelangen. Und wenn man Potenzen mit derselben Basis multipliziert, addieren sich die Indikatoren: .

Es war möglich, die Transformation des ursprünglichen Ausdrucks auf andere Weise durchzuführen:

.

Geben Sie bei gegebenem Potenzausdruck a 1.5 −a 0.5 −6 eine neue Variable t=a 0.5 ein.

Der Grad a 1,5 kann als a 0,5 3 dargestellt werden und weiter auf der Grundlage der Eigenschaft des Grades im Grad (a r) s =a r s, angewendet von rechts nach links, in die Form (a 0,5) 3 umgewandelt werden. Auf diese Weise, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Jetzt ist es einfach, eine neue Variable t=a 0,5 einzuführen, wir erhalten t 3 −t−6 .

Umwandeln von Brüchen, die Potenzen enthalten

Potenzausdrücke können Brüche mit Potenzen enthalten oder solche Brüche darstellen. Alle grundlegenden Bruchtransformationen, die Brüchen jeglicher Art innewohnen, sind vollständig auf solche Brüche anwendbar. Das heißt, Brüche, die Grade enthalten, können gekürzt, auf einen neuen Nenner reduziert, getrennt mit ihrem Zähler und getrennt mit dem Nenner bearbeitet werden usw. Um die obigen Wörter zu veranschaulichen, betrachten Sie die Lösungen mehrerer Beispiele.

Vereinfachen Sie den Machtausdruck .

Dieser Potenzausdruck ist ein Bruch. Lassen Sie uns mit Zähler und Nenner arbeiten. Im Zähler öffnen wir die Klammern und vereinfachen den danach erhaltenen Ausdruck mithilfe der Eigenschaften von Potenzen, und im Nenner stellen wir ähnliche Begriffe dar:

Und wir ändern auch das Vorzeichen des Nenners, indem wir vor dem Bruch ein Minus setzen: .

.

Die Reduktion von Brüchen, die Potenzen enthalten, auf einen neuen Nenner erfolgt ähnlich wie die Reduktion rationaler Brüche auf einen neuen Nenner. Gleichzeitig wird auch ein zusätzlicher Faktor gefunden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multipliziert. Bei dieser Aktion ist zu beachten, dass die Reduzierung auf einen neuen Nenner zu einer Verengung des DPV führen kann. Um dies zu verhindern, ist es erforderlich, dass der zusätzliche Faktor für keinen Wert der Variablen aus den ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck verschwindet.

Bringen Sie die Brüche auf einen neuen Nenner: a) auf den Nenner a, b) zum Nenner.

a) In diesem Fall lässt sich ganz einfach herausfinden, welcher zusätzliche Faktor zum Erreichen des gewünschten Ergebnisses beiträgt. Dies ist ein Faktor a 0,3, da a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Beachten Sie, dass im Bereich akzeptabler Werte der Variablen a (dies ist die Menge aller positiven reellen Zahlen) der Grad a 0,3 nicht verschwindet, daher haben wir das Recht, Zähler und Nenner des gegebenen Bruchs zu multiplizieren durch diesen zusätzlichen Faktor:

b) Wenn wir den Nenner genauer betrachten, finden wir das

und die Multiplikation dieses Ausdrucks mit ergibt die Summe der Kubikzahlen, d. h. . Und das ist der neue Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch bringen müssen.

Also haben wir einen zusätzlichen Faktor gefunden. Der Ausdruck verschwindet nicht im Bereich akzeptabler Werte der Variablen x und y, daher können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:

A) , B) .

Auch bei der Reduktion von Brüchen mit Graden gibt es nichts Neues: Zähler und Nenner werden durch eine bestimmte Anzahl von Faktoren dargestellt und die gleichen Faktoren wie Zähler und Nenner werden reduziert.

Reduziere den Bruch: a) , B).

a) Zunächst können Zähler und Nenner um die Zahlen 30 und 45 reduziert werden, was 15 ergibt. Natürlich können Sie auch um x 0,5 +1 und um reduzieren . Das haben wir:

b) In diesem Fall sind die gleichen Faktoren im Zähler und Nenner nicht sofort sichtbar. Um sie zu erhalten, müssen Sie vorläufige Transformationen durchführen. In diesem Fall bestehen sie darin, den Nenner gemäß der Quadratdifferenzformel in Faktoren zu zerlegen:

A)

B) .

Das Reduzieren von Brüchen auf einen neuen Nenner und das Reduzieren von Brüchen wird hauptsächlich zur Durchführung von Operationen an Brüchen verwendet. Aktionen werden nach bekannten Regeln ausgeführt. Beim Addieren (Subtrahieren) von Brüchen werden diese auf einen gemeinsamen Nenner reduziert, anschließend werden die Zähler addiert (subtrahiert) und der Nenner bleibt derselbe. Das Ergebnis ist ein Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist. Eine Division durch einen Bruch ist eine Multiplikation mit ihrem Kehrwert.

Folge den Schritten .

Zuerst subtrahieren wir die Brüche in Klammern. Dazu bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner, nämlich , dann subtrahiere die Zähler:

Jetzt multiplizieren wir Brüche:

Offensichtlich ist eine Reduktion um die Potenz x 1/2 möglich, danach gilt .

Sie können den Potenzausdruck im Nenner auch vereinfachen, indem Sie die Quadratdifferenzformel verwenden: .

Vereinfachen Sie den Machtausdruck .

Offensichtlich kann dieser Bruch um (x 2,7 +1) 2 reduziert werden, das ergibt den Bruch . Es ist klar, dass mit den Potenzen von x noch etwas anderes gemacht werden muss. Dazu wandeln wir den resultierenden Bruch in ein Produkt um. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Eigenschaft der Teilungskräfte mit den gleichen Grundlagen zu nutzen: . Und am Ende des Prozesses gehen wir vom letzten Produkt zur Fraktion über.

.

Und wir fügen hinzu, dass es möglich und in vielen Fällen wünschenswert ist, Faktoren mit negativem Exponenten vom Zähler auf den Nenner oder vom Nenner auf den Zähler zu übertragen, indem man das Vorzeichen des Exponenten ändert. Solche Transformationen vereinfachen oft das weitere Vorgehen. Beispielsweise kann ein Potenzausdruck durch ersetzt werden.

Ausdrücke mit Wurzeln und Potenzen umwandeln

In Ausdrücken, in denen einige Transformationen erforderlich sind, gibt es häufig neben Graden mit gebrochenen Exponenten auch Wurzeln. Um einen solchen Ausdruck in die gewünschte Form zu bringen, reicht es in den meisten Fällen aus, nur auf Wurzeln oder nur auf Potenzen zu gehen. Da es jedoch bequemer ist, mit Graden zu arbeiten, gehen sie normalerweise von Wurzeln zu Graden über. Es ist jedoch ratsam, einen solchen Übergang durchzuführen, wenn die ODZ der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen ermöglicht, die Wurzeln durch Grade zu ersetzen, ohne auf das Modul zugreifen oder die ODZ in mehrere Intervalle aufteilen zu müssen (wir haben dies im Detail besprochen). Artikel, der Übergang von Wurzeln zu Potenzen und umgekehrt. Nach dem Kennenlernen des Grades mit einem rationalen Exponenten wird ein Grad mit einem irrationalen Indikator eingeführt, der es ermöglicht, von einem Grad mit einem beliebigen reellen Indikator zu sprechen. In dieser Phase wird der Die Schule beginnt zu lernen Exponentialfunktion, das analytisch durch den Grad gegeben wird, auf dessen Grundlage eine Zahl und im Indikator eine Variable steht. Wir haben es also mit Potenzausdrücken zu tun, die Zahlen in der Basis des Grades und im Exponenten enthalten – Ausdrücke mit Variablen, und natürlich besteht die Notwendigkeit, Transformationen solcher Ausdrücke durchzuführen.

Es sollte gesagt werden, dass die Transformation von Ausdrücken des angegebenen Typs normalerweise beim Lösen durchgeführt werden muss Exponentialgleichungen Und exponentielle Ungleichheiten, und diese Transformationen sind recht einfach. In den allermeisten Fällen basieren sie auf den Eigenschaften des Abschlusses und zielen hauptsächlich auf die Einführung einer neuen Variablen in der Zukunft ab. Die Gleichung wird es uns ermöglichen, sie zu demonstrieren 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Zunächst werden die Exponenten, in deren Exponenten die Summe einer Variablen (oder eines Ausdrucks mit Variablen) und einer Zahl vorkommt, durch Produkte ersetzt. Dies gilt für das erste und letzte Glied des Ausdrucks auf der linken Seite:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Als nächstes werden beide Seiten der Gleichheit durch den Ausdruck 7 2 x dividiert, der nur positive Werte für die ODZ-Variable x für die ursprüngliche Gleichung annimmt (dies ist eine Standardtechnik zum Lösen von Gleichungen dieser Art, über die wir nicht sprechen). es jetzt, also konzentrieren Sie sich auf nachfolgende Transformationen von Ausdrücken mit Potenzen ):

Nun werden Brüche mit Potenzen gestrichen, was ergibt .

Schließlich wird das Verhältnis von Potenzen mit gleichen Exponenten durch Verhältnispotenzen ersetzt, was zur Gleichung führt , was äquivalent ist zu . Die durchgeführten Transformationen ermöglichen es uns, eine neue Variable einzuführen, die die Lösung der ursprünglichen Exponentialgleichung auf die Lösung der quadratischen Gleichung reduziert

Abschnitte: Mathematik

Unterrichtsart: Lektion der Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen

Ziele:

Ausrüstung: Computer, Multimedia-Projektor, interaktives Whiteboard, Präsentation „Abschlüsse“ zum mündlichen Zählen, Aufgabenkarten, Handouts.

Unterrichtsplan:

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment

Präsentation des Themas und der Ziele der Lektion.

In den vorherigen Lektionen haben Sie die wunderbare Welt der Grade entdeckt und gelernt, wie man Grade multipliziert, dividiert und potenziert. Heute müssen wir das erworbene Wissen durch das Lösen von Beispielen festigen.

II. Wiederholung der Regeln(oral)

1. Geben Sie die Definition des Grades mit einem natürlichen Indikator an? (durch die Potenz der Zahl A mit einem natürlichen Exponenten größer als 1 wird als Produkt bezeichnet N Multiplikatoren, von denen jeder gleich ist A.)
2. Wie multipliziert man zwei Potenzen? (Um Potenzen mit derselben Basis zu multiplizieren, müssen Sie die Basis gleich lassen und die Exponenten addieren.)
3. Wie dividiert man Grad für Grad? (Um Potenzen mit derselben Basis zu dividieren, müssen Sie die Basis gleich lassen und die Exponenten subtrahieren.)
4. Wie kann man ein Produkt potenzieren? (Um ein Produkt zu potenzieren, müssen Sie jeden Faktor auf diese Potenz erhöhen)
5. Wie kann man einen Abschluss zu einem Abschluss machen? (Um eine Potenz zu potenzieren, müssen Sie die Basis gleich lassen und die Exponenten multiplizieren.)

III. Verbales Zählen(per Multimedia)

IV. Historische Referenz

Alle Probleme stammen aus dem Papyrus von Ahmes, der um 1650 v. Chr. geschrieben wurde. e. im Zusammenhang mit der Baupraxis, der Abgrenzung von Grundstücken usw. Die Aufgaben sind nach Themen gruppiert. Meistens handelt es sich dabei um Aufgaben zum Ermitteln der Flächen eines Dreiecks, Vierecks und eines Kreises, verschiedene Operationen mit ganzen Zahlen und Brüchen, Proportionaldivision, Finden von Verhältnissen, daneben auch das Erhöhen in verschiedene Grade, das Lösen von Gleichungen ersten und zweiten Grades mit einem Unbekannten.

Es gibt absolut keine Erklärung oder Beweise. Das gewünschte Ergebnis wird entweder direkt angegeben oder ein kurzer Algorithmus zu seiner Berechnung angegeben. Diese für die Wissenschaft der Länder des Alten Ostens typische Darstellungsweise legt nahe, dass sich die Mathematik dort durch Verallgemeinerungen und Vermutungen entwickelte, die keine allgemeine Theorie bildeten. Allerdings gibt es im Papyrus eine Reihe von Beweisen dafür, dass ägyptische Mathematiker in der Lage waren, Wurzeln zu ziehen und zu potenzieren, Gleichungen zu lösen und sogar über die Grundlagen der Algebra verfügten.

V. Tafelarbeit

Finden Sie den Wert des Ausdrucks auf rationale Weise:

Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks:



VI. Minute des Sportunterrichts

6. für Augen
7. für den Hals
8. für Hände
9. für den Rumpf
10. für Beine

VII. Probleme lösen(mit interaktivem Whiteboard-Display)

Ist die Wurzel der Gleichung eine positive Zahl?

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Formeln von Kräften und Wurzeln.

Kraftformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke sowie beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Nummer C Ist N-te Potenz einer Zahl A Wann:



Operationen mit Abschlüssen.

1. Durch Multiplikation der Grade mit derselben Basis ergeben sich ihre Indikatoren:

2. Bei der Einteilung der Grade mit gleicher Basis werden deren Indikatoren subtrahiert:



3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

5. Bei der Potenzierung werden die Exponenten multipliziert:

Jede der oben genannten Formeln ist in der Richtung von links nach rechts und umgekehrt korrekt.

Operationen mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel des Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Teilers der Wurzeln:



3. Bei der Potenzierung einer Wurzel reicht es aus, die Wurzelzahl auf diese Potenz zu erhöhen:



4. Wenn wir den Grad der Wurzel erhöhen N einmal und gleichzeitig erhöhen N Die Potenz ist eine Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:



5. Wenn wir den Grad der Wurzel verringern N gleichzeitig rooten N Grad von der Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:



Der Grad einer Zahl mit einem nicht positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins geteilt durch den Grad derselben Zahl mit einem Exponenten, der dem Absolutwert des nicht positiven Exponenten entspricht:



Formel Bin :a n = a m - n kann nicht nur für verwendet werden M > N, aber auch bei M 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Zur Formel Bin :a n = a m - n wurde fair bei m=n, Sie benötigen das Vorhandensein des Nullgrades.

Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich eins.

Eine reelle Zahl erhöhen A bis zu einem Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren N-ter Grad von M Potenz dieser Zahl A:



Abschlussformeln.

6. A - N = - Einteilung der Abschlüsse;

7. - Einteilung der Abschlüsse;

8. a 1/n = ;

Grade der Handlungsregel mit Graden

1. Der Grad des Produkts zweier oder mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren (bei demselben Indikator):

(abc…) n = a n b n c n …

Beispiel 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Beispiel 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x + a)(x - a)] 3 =( x + a) 3 (x - a) 3

In der Praxis ist die Rücktransformation wichtiger:

a n b n c n … = (abc …) n

diese. Das Produkt gleicher Potenzen mehrerer Größen ist gleich der gleichen Potenz des Produkts dieser Größen.

Beispiel 3 Beispiel 4. (a + b) 2 (a 2 - ab + b 2) 2 \u003d [(a ​​​​+ b) (a 2 - ab + b 2)] 2 \u003d (a 3 + b 3) 2

2. Der Grad des Quotienten (Bruch) ist gleich dem Quotienten der Division desselben Grades des Teilbaren durch denselben Grad des Divisors:

Beispiel 5 Beispiel 6

Rücktransformation:. Beispiel 7 . Beispiel 8 .

3. Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen werden die Exponenten addiert:

Beispiel 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Beispiel 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 = (a - 4c + x) 5 .

4. Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis wird der Exponent des Divisors vom Exponenten des Dividenden subtrahiert

Beispiel 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Beispiel 12. (x-y) 3:(x-y) 2 = x-y.

5. Bei der Potenzierung eines Grades werden die Exponenten multipliziert:

Beispiel 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Beispiel 14

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Abschlüsse und Wurzeln

Operationen mit Kräften und Wurzeln. Abschluss mit Negativ ,

Null und Bruch Indikator. Über Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben.

Operationen mit Abschlüssen.

1. Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Indikatoren addiert:

Bin · a n = a m + n .

2. Bei der Division von Graden mit derselben Basis ihre Indikatoren subtrahiert .



3. Der Grad des Produkts zweier oder mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren.

4. Der Grad des Verhältnisses (Bruch) ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden (Zähler) und des Divisors (Nenner):

(a/b) n = a n / b n .

5. Bei der Potenzsteigerung werden deren Indikatoren multipliziert:

Alle oben genannten Formeln werden in beide Richtungen von links nach rechts und umgekehrt gelesen und ausgeführt.

BEISPIEL (2 3 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operationen mit Wurzeln. In allen folgenden Formeln bedeutet das Symbol arithmetische Wurzel(radikaler Ausdruck ist positiv).

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel des Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis der Wurzeln von Dividende und Divisor:



3. Wenn man eine Wurzel zu einer Potenz erhebt, reicht es aus, sie auf diese Potenz zu erhöhen Wurzelnummer:



4. Wenn Sie den Grad der Wurzel um das m-fache erhöhen und gleichzeitig die Wurzelzahl auf den m-ten Grad erhöhen, ändert sich der Wert der Wurzel nicht:



5. Wenn Sie den Grad der Wurzel um das m-fache reduzieren und gleichzeitig die Wurzel des m-ten Grades aus der Wurzelzahl extrahieren, ändert sich der Wert der Wurzel nicht:





Erweiterung des Gradbegriffs. Bisher haben wir nur Grade mit einem natürlichen Indikator betrachtet; aber auch Operationen mit Kräften und Wurzeln können dazu führen Negativ, null Und gebrochen Indikatoren. Alle diese Exponenten erfordern eine zusätzliche Definition.

Abschluss mit negativem Exponenten. Die Potenz einer Zahl mit einem negativen (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins geteilt durch die Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten, der dem Absolutwert des negativen Exponenten entspricht:



Jetzt die Formel Bin : ein = a m - n kann nicht nur für verwendet werden M, mehr als N, aber auch bei M, weniger als N .

BEISPIEL A 4: A 7 = a 4 - 7 = a - 3 .

Wenn wir die Formel wollen Bin : ein = Bin - N war fair m = n, wir brauchen eine Definition des Nullgrades.

Grad mit Nullexponent. Der Grad jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist 1.

BEISPIELE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Ein Grad mit einem gebrochenen Exponenten. Um eine reelle Zahl a auf die Potenz m/n zu erhöhen, müssen Sie die Wurzel n-ten Grades aus der m-ten Potenz dieser Zahl a ziehen:



Über Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben. Es gibt mehrere solcher Ausdrücke.

Wo A ≠ 0 , existiert nicht.

In der Tat, wenn wir das annehmen X eine bestimmte Zahl ist, dann gilt gemäß der Definition der Divisionsoperation: A = 0· X, d.h. A= 0, was der Bedingung widerspricht: A ≠ 0

- irgendeine Nummer.

In der Tat, wenn wir annehmen, dass dieser Ausdruck einer Zahl entspricht X, dann gilt nach der Definition der Divisionsoperation: 0 = 0 X. Aber diese Gleichheit gilt eine beliebige Zahl x, was bewiesen werden sollte.

0 0 - irgendeine Nummer.



Lösung. Betrachten Sie drei Hauptfälle:

1) X = 0 – Dieser Wert erfüllt diese Gleichung nicht

2) wann X> 0 erhalten wir: x / x= 1, d.h. 1 = 1, woraus folgt,

Was X- irgendeine Nummer; aber unter Berücksichtigung dessen

unser Fall X> 0 lautet die Antwort X > 0 ;

Abschlusseigenschaften

Wir erinnern Sie daran, dass wir in dieser Lektion verstehen Abschlusseigenschaften mit natürlichen Indikatoren und Null. Abschlüsse mit rationalen Indikatoren und deren Eigenschaften werden im Unterricht der 8. Klasse besprochen.

Ein Exponent mit einem natürlichen Exponenten verfügt über mehrere wichtige Eigenschaften, die es Ihnen ermöglichen, Berechnungen in Exponentenbeispielen zu vereinfachen.

Eigentum Nr. 1
Produkt von Potenzen

Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und die Exponenten werden addiert.

a m a n = a m + n, wobei „a“ eine beliebige Zahl ist und „m“, „n“ beliebige natürliche Zahlen sind.

Diese Eigenschaft von Potenzen wirkt sich auch auf das Produkt von drei oder mehr Potenzen aus.

• Den Ausdruck vereinfachen.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Als Abschluss vorhanden.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Als Abschluss vorhanden.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Bitte beachten Sie, dass es in der angegebenen Eigenschaft nur um die Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen ging.. Dies gilt nicht für deren Hinzufügung.

Sie können die Summe (3 3 + 3 2) nicht durch 3 5 ersetzen. Das ist verständlich, wenn
Berechnen Sie (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 und 3 5 = 243

Eigentum Nr. 2
Private Abschlüsse

Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert.

• Schreiben Sie den Quotienten als Potenz
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Berechnung.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Beispiel. Löse die Gleichung. Wir nutzen die Eigenschaft partieller Grade.
3 8: t = 3 4

Antwort: t = 3 4 = 81

Mit den Eigenschaften Nr. 1 und Nr. 2 können Sie Ausdrücke einfach vereinfachen und Berechnungen durchführen.

Beispiel. Den Ausdruck vereinfachen.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Beispiel. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks mithilfe von Gradeigenschaften.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Bitte beachten Sie, dass es in Objekt 2 nur um die Gewaltenteilung mit denselben Grundlagen ging.

Sie können die Differenz (4 3 −4 2) nicht durch 4 1 ersetzen. Dies ist verständlich, wenn man (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 und 4 1 = 4 berechnet

Eigentum Nr. 3
Potenzierung

Bei der Potenzierung einer Potenz bleibt die Basis der Potenz unverändert und die Exponenten werden multipliziert.

(a n) m = a n m, wobei „a“ eine beliebige Zahl ist und „m“, „n“ beliebige natürliche Zahlen sind.

Durch die Eigenschaft der Potenzierung Es ist bekannt, dass Exponenten multipliziert werden, wenn sie potenziert werden, was bedeutet:

Eigenschaften 4
Produktabschluss

Wenn eine Potenz mit der Potenz eines Produkts erhöht wird, wird jeder Faktor mit dieser Potenz erhöht und die Ergebnisse werden multipliziert.

(a b) n = a n b n, wobei „a“, „b“ beliebige rationale Zahlen sind; „n“ ist eine beliebige natürliche Zahl.

• Beispiel 1
  (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
• Beispiel 2
  (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft Nr. 4, wie andere Eigenschaften von Graden auch, in umgekehrter Reihenfolge angewendet wird.

(a n b n)= (a b) n

Das heißt, um Grade mit denselben Exponenten zu multiplizieren, können Sie die Basen multiplizieren und den Exponenten unverändert lassen.

• Beispiel. Berechnung.
  2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
• Beispiel. Berechnung.
  0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

In komplexeren Beispielen kann es Fälle geben, in denen Multiplikationen und Divisionen für Potenzen mit unterschiedlichen Basen und unterschiedlichen Exponenten durchgeführt werden müssen. In diesem Fall empfehlen wir Ihnen, Folgendes zu tun.

Beispiel: 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Beispiel für die Potenzierung eines Dezimalbruchs.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Eigenschaften 5
Potenz des Quotienten (Brüche)

Um einen Quotienten zu potenzieren, können Sie den Dividenden und den Divisor separat potenzieren und das erste Ergebnis durch das zweite dividieren.

(a: b) n = a n: b n, wobei „a“, „b“ beliebige rationale Zahlen sind, b ≠ 0, n eine beliebige natürliche Zahl ist.

• Beispiel. Drücken Sie den Ausdruck als Teilpotenzen aus.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Wir erinnern Sie daran, dass ein Quotient als Bruch dargestellt werden kann. Daher gehen wir auf der nächsten Seite näher auf das Thema der Potenzierung eines Bruchs ein.

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Erinnern wir uns zunächst an die Grundformeln der Grade und ihre Eigenschaften.

Produkt einer Zahl A n-mal auf sich selbst vorkommt, können wir diesen Ausdruck als a a … a=a n schreiben

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Potenz- oder Exponentialgleichungen- Dies sind Gleichungen, in denen die Variablen Potenzen (oder Exponenten) sind und die Basis eine Zahl ist.

Beispiele für Exponentialgleichungen:

In diesem Beispiel ist die Zahl 6 die Basis, sie steht immer unten und ist die Variable X Grad oder Maß.

Lassen Sie uns weitere Beispiele für Exponentialgleichungen geben.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Schauen wir uns nun an, wie Exponentialgleichungen gelöst werden.

Nehmen wir eine einfache Gleichung:

2 x = 2 3

Ein solches Beispiel kann sogar im Kopf gelöst werden. Es ist ersichtlich, dass x=3. Damit die linke und rechte Seite gleich sind, müssen Sie schließlich die Zahl 3 anstelle von x eingeben.
Schauen wir uns nun an, wie diese Entscheidung getroffen werden sollte:

2 x = 2 3
x = 3

Um diese Gleichung zu lösen, haben wir entfernt gleiche Gründe(das heißt Zweien) und aufgeschrieben, was übrig blieb, das sind Grade. Wir haben die Antwort bekommen, nach der wir gesucht haben.

Fassen wir nun unsere Lösung zusammen.

Algorithmus zur Lösung der Exponentialgleichung:
1. Muss überprüft werden das gleiche ob die Basen der Gleichung rechts und links sind. Sollten die Gründe nicht übereinstimmen, suchen wir nach Lösungsmöglichkeiten für dieses Beispiel.
2. Nachdem die Basen gleich sind, gleichsetzen Grad und lösen Sie die resultierende neue Gleichung.

Lassen Sie uns nun einige Beispiele lösen:

Fangen wir einfach an.

Die Basen auf der linken und rechten Seite entsprechen der Zahl 2, was bedeutet, dass wir die Basis verwerfen und ihre Grade gleichsetzen können.

x+2=4 Die einfachste Gleichung ist herausgekommen.
x=4 - 2
x=2
Antwort: x=2

Im folgenden Beispiel können Sie sehen, dass die Basen unterschiedlich sind, nämlich 3 und 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Zunächst übertragen wir die Neun auf die rechte Seite, wir erhalten:

Jetzt müssen Sie die gleichen Grundlagen erstellen. Wir wissen, dass 9=3 2 . Verwenden wir die Potenzformel (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Wir erhalten 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 Jetzt ist klar, dass die Basen auf der linken und rechten Seite gleich und gleich drei sind, was bedeutet, dass wir sie verwerfen und die Grade gleichsetzen können.

3x=2x+16 hat die einfachste Gleichung
3x - 2x=16
x=16
Antwort: x=16.

Schauen wir uns das folgende Beispiel an:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Zunächst schauen wir uns die Basen an, die Basen sind unterschiedlich zwei und vier. Und wir müssen gleich sein. Wir transformieren das Vierfache gemäß der Formel (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Und wir verwenden auch eine Formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Zur Gleichung hinzufügen:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Aus den gleichen Gründen haben wir ein Beispiel gegeben. Aber andere Zahlen 10 und 24 stören uns. Was tun mit ihnen? Wenn Sie genau hinsehen, können Sie sehen, dass wir auf der linken Seite 2 2x wiederholen. Hier ist die Antwort: Wir können 2 2x aus Klammern setzen:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Berechnen wir den Ausdruck in Klammern:

2 4 - 10 = 16 - 10 = 6

Wir dividieren die ganze Gleichung durch 6:

Stellen Sie sich 4=2 2 vor:

2 2x \u003d 2 2 Basen sind gleich, verwerfen Sie sie und setzen Sie die Grade gleich.
Es stellte sich heraus, dass 2x \u003d 2 die einfachste Gleichung war. Wir teilen es durch 2 und erhalten
x = 1
Antwort: x = 1.

Lösen wir die Gleichung:

9 x - 12*3 x +27= 0

Lassen Sie uns transformieren:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Wir erhalten die Gleichung:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Unsere Basen sind die gleichen, gleich drei. In diesem Beispiel ist klar, dass das erste Tripel einen doppelten Grad (2x) hat als das zweite (nur x). In diesem Fall können Sie entscheiden Substitutionsmethode. Die Zahl mit dem kleinsten Grad wird ersetzt durch:

Dann ist 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Wir ersetzen alle Grade durch x in der Gleichung durch t:

t2 - 12t+27 = 0
Wir erhalten eine quadratische Gleichung. Wir lösen durch die Diskriminante, wir erhalten:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

zurück zur Variablen X.

Wir nehmen t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Das ist,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Eine Wurzel wurde gefunden. Wir suchen den zweiten, ab t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Antwort: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Auf der Website können Sie im Abschnitt „ENTSCHEIDEN HELFEN“ Fragen stellen, die Sie interessieren. Wir werden Ihnen auf jeden Fall antworten.

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Im vorherigen Artikel haben wir darüber gesprochen, was Monome sind. In diesem Material analysieren wir, wie Beispiele und Probleme, in denen sie verwendet werden, gelöst werden können. Hier betrachten wir Aktionen wie Subtraktion, Addition, Multiplikation, Division von Monomen und deren Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten. Wir zeigen, wie solche Operationen definiert sind, geben die Grundregeln für ihre Umsetzung an und zeigen, was dabei herauskommen soll. Alle theoretischen Grundlagen werden wie üblich durch Problembeispiele mit Lösungsbeschreibungen veranschaulicht.

Am bequemsten ist es, mit der Standardnotation von Monomen zu arbeiten. Daher präsentieren wir alle Ausdrücke, die im Artikel verwendet werden, in einer Standardform. Wenn sie zunächst unterschiedlich festgelegt sind, empfiehlt es sich, sie zunächst in eine allgemeingültige Form zu bringen.

Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Monomen

Die einfachsten Operationen, die mit Monomen durchgeführt werden können, sind Subtraktion und Addition. Im allgemeinen Fall ist das Ergebnis dieser Aktionen ein Polynom (in einigen Sonderfällen ist auch ein Monom möglich).

Wenn wir Monome addieren oder subtrahieren, schreiben wir zunächst die entsprechende Summe und Differenz in der allgemein akzeptierten Form auf und vereinfachen anschließend den resultierenden Ausdruck. Falls es ähnliche Begriffe gibt, müssen diese angegeben werden, die Klammern müssen geöffnet werden. Lassen Sie es uns anhand eines Beispiels erklären.

Beispiel 1

Zustand: Addiere die Monome − 3 · x und 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Lösung

Schreiben wir die Summe der Originalausdrücke auf. Fügen Sie Klammern hinzu und setzen Sie ein Pluszeichen dazwischen. Wir erhalten Folgendes:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Wenn wir die Klammern erweitern, erhalten wir - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Dies ist ein in Standardform geschriebenes Polynom, das das Ergebnis der Addition dieser Monome ist.

Antwort:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Wenn wir drei, vier oder mehr Begriffe haben, führen wir diese Aktion auf die gleiche Weise durch.

Beispiel 2

Zustand: Führen Sie die angegebenen Operationen mit Polynomen in der richtigen Reihenfolge durch

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Lösung

Beginnen wir mit dem Öffnen der Klammern.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Wir sehen, dass der resultierende Ausdruck vereinfacht werden kann, indem ähnliche Terme reduziert werden:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Wir haben ein Polynom, das das Ergebnis dieser Aktion sein wird.

Antwort: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Im Prinzip können wir mit einigen Einschränkungen die Addition und Subtraktion zweier Monome durchführen, sodass wir am Ende ein Monom erhalten. Dazu müssen einige Bedingungen bezüglich der Terme und subtrahierten Monome beachtet werden. Wie das geht, beschreiben wir in einem separaten Artikel.

Regeln für die Multiplikation von Monomen

Die Multiplikationsaktion unterliegt keinen Einschränkungen für Multiplikatoren. Die zu multiplizierenden Monome dürfen keine zusätzlichen Bedingungen erfüllen, damit das Ergebnis ein Monom ist.

Um eine Multiplikation von Monomen durchzuführen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1. Nehmen Sie das Stück richtig auf.
2. Erweitern Sie die Klammern im resultierenden Ausdruck.
3. Wenn möglich, gruppieren Sie Faktoren mit denselben Variablen und numerischen Faktoren separat.
4. Führen Sie die erforderlichen Aktionen mit Zahlen durch und wenden Sie die Eigenschaft der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen auf die verbleibenden Faktoren an.

Mal sehen, wie das in der Praxis umgesetzt wird.

Beispiel 3

Zustand: Multipliziere die Monome 2 · x 4 · y · z und - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Lösung

Beginnen wir mit der Komposition des Werkes.

Wenn wir die Klammern darin öffnen, erhalten wir Folgendes:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Wir müssen lediglich die Zahlen in der ersten Klammer multiplizieren und die Potenzeigenschaft auf die zweite anwenden. Als Ergebnis erhalten wir Folgendes:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Antwort: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Wenn die Bedingung drei oder mehr Polynome enthält, multiplizieren wir sie mit genau demselben Algorithmus. Wir werden die Frage der Multiplikation von Monomen in einem separaten Material ausführlicher betrachten.

Regeln für die Potenzierung eines Monoms

Wir wissen, dass das Produkt einer bestimmten Anzahl identischer Faktoren als Grad mit natürlichem Exponenten bezeichnet wird. Ihre Anzahl wird durch die Zahl im Indikator angezeigt. Nach dieser Definition ist die Potenzierung eines Monoms gleichbedeutend mit der Multiplikation der angegebenen Anzahl identischer Monome. Mal sehen, wie es gemacht wird.

Beispiel 4

Zustand: Erhöhe das Monom − 2 · a · b 4 mit 3 .

Lösung

Wir können die Potenzierung durch die Multiplikation von 3 Monomen − 2 · a · b 4 ersetzen. Lassen Sie uns aufschreiben und die gewünschte Antwort erhalten:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

Antwort:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Aber was ist, wenn der Grad einen großen Exponenten hat? Das Aufzeichnen einer großen Anzahl von Multiplikatoren ist unpraktisch. Um ein solches Problem zu lösen, müssen wir dann die Eigenschaften des Grades anwenden, nämlich die Eigenschaft des Grades des Produkts und die Eigenschaft des Grades im Grad.

Lösen wir das oben genannte Problem auf die angegebene Weise.

Beispiel 5

Zustand: erhöhe − 2 · a · b 4 in die dritte Potenz.

Lösung

Wenn wir die Eigenschaft des Grades im Grad kennen, können wir zu einem Ausdruck der folgenden Form übergehen:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

Danach potenzieren wir - 2 und wenden die Exponenteneigenschaft an:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

Antwort:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Der Potenzierung eines Monoms haben wir auch einen eigenen Artikel gewidmet.

Regeln für die Division von Monomen

Die letzte Aktion mit Monomen, die wir in diesem Material analysieren werden, ist die Division eines Monoms durch ein Monom. Als Ergebnis sollten wir einen rationalen (algebraischen) Bruch erhalten (in manchen Fällen ist es möglich, ein Monom zu erhalten). Lassen Sie uns gleich klarstellen, dass die Division durch das Nullmonomin nicht definiert ist, da die Division durch 0 nicht definiert ist.

Um eine Division durchzuführen, müssen wir die angegebenen Monome in Form eines Bruchs schreiben und diesen, wenn möglich, kürzen.

Beispiel 6

Zustand: Teilen Sie das Monom − 9 x 4 y 3 z 7 durch − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Lösung

Beginnen wir damit, die Monome in Form eines Bruchs zu schreiben.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Dieser Anteil kann reduziert werden. Nachdem wir dies getan haben, erhalten wir:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Antwort:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Die Bedingungen, unter denen wir durch Division von Monomen ein Monom erhalten, werden in einem separaten Artikel angegeben.

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Offensichtlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem man sie einzeln mit ihren Zeichen hinzufügt.

Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2 .
Die Summe von a 3 - b n und h 5 -d 4 ist a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Chancen die gleichen Potenzen der gleichen Variablen kann addiert oder subtrahiert werden.

Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also gleich 5a 2 .

Es ist auch offensichtlich, dass, wenn wir zwei Quadrate a oder drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nehmen.

Aber Grad verschiedene Variablen Und verschiedene Grade identische Variablen, müssen hinzugefügt werden, indem sie zu ihren Zeichen hinzugefügt werden.

Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3 .

Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und die Kubikzahl von a nicht das Doppelte des Quadrats von a, sondern das Doppelte der Kubikzahl von a sind.

Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion Die Potenzierung erfolgt analog zur Addition, nur dass die Vorzeichen des Subtrahends entsprechend geändert werden müssen.

Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potenzmultiplikation

Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie nacheinander schreibt, mit oder ohne das Multiplikationszeichen dazwischen.

Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.

Oder:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen derselben Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3 .

Durch den Vergleich mehrerer Zahlen (Variablen) mit Potenzen können wir sehen, dass das Ergebnis einer Multiplikation von zwei beliebigen Zahlen eine Zahl (Variable) mit einer Potenz von ist Summe Grad der Begriffe.

Also, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.

Also, a n .a m = a m+n .

Für a n wird a so oft als Faktor genommen, wie die Potenz von n ist;

Und a m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;

Deshalb, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten multipliziert werden.

Also, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplizieren Sie (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multiplizieren Sie (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten sind: Negativ.

1. Also, a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa geschrieben werden.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Wenn a + b mit a - b multipliziert werden, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt

Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer Quadrate.

Wenn die Summe und Differenz zweier Zahlen erhöht wird Quadrat, das Ergebnis ist gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.

Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Aufteilung der Abschlüsse

Zahlen mit Potenzen können wie andere Zahlen dividiert werden, indem man sie vom Divisor subtrahiert oder sie in die Form eines Bruchs bringt.

Also ist a 3 b 2 dividiert durch b 2 a 3 .

Oder:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Das Schreiben einer 5 dividiert durch eine 3 sieht wie folgt aus: $\frac(a^5)(a^3)$. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Zahlenreihe
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.

Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..

Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Das heißt, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Und a n+1:a = a n+1-1 = a n . Das heißt, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Oder:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Gradwerte.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist a -2 .
Auch $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Es ist notwendig, die Multiplikation und Potenzenteilung sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.

Beispiele für das Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

1. Reduzieren Sie die Exponenten in $\frac(5a^4)(3a^2)$ Antwort: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduzieren Sie die Exponenten in $\frac(6x^6)(3x^5)$. Antwort: $\frac(2x)(1)$ oder 2x.

3. Reduzieren Sie die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 und bringen Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach der Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .

4. Reduzieren Sie die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringen Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5/5a 2.

5. Multiplizieren Sie (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.

6. Multiplizieren Sie (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multiplizieren Sie b 4 /a -2 mit h -3 /x und a n /y -3 .

8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.

9. Teilen Sie (h 3 - 1)/d 4 durch (d n + 1)/h.