Limit 1 x. Die erste bemerkenswerte Grenze. Stetigkeit einer Funktion Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt
Der erste bemerkenswerte Grenzwert sieht so aus: lim x → 0 sin x x = 1 .
In praktischen Beispielen trifft man häufig auf Modifikationen des ersten bemerkenswerten Grenzwerts: lim x → 0 sin k · x k · x = 1, wobei k ein bestimmter Koeffizient ist.
Erklären wir: lim x → 0 sin (k x) k x = leer t = k x und aus x → 0 folgt t → 0 = lim t → 0 sin (t) t = 1.
Folgen der ersten bemerkenswerten Grenze:
- lim x → 0 x sin x = lim x → 0 = 1 sin x x = 1 1 = 1
- lim x → 0 k x sin k x = lim x → 0 1 sin (k x) k x = 1 1 = 1
Diese Folgerungen lassen sich recht einfach beweisen, indem man die Regel von L'Hopital oder die Substitution von Infinitesimalfunktionen anwendet.
Betrachten wir einige Probleme beim Finden des Grenzwerts anhand des ersten bemerkenswerten Grenzwerts. Wir werden eine detaillierte Beschreibung der Lösung geben.
Beispiel 1
Es ist notwendig, den Grenzwert zu bestimmen, ohne die Regel von L'Hopital zu verwenden: lim x → 0 sin (3 x) 2 x.
Lösung
Ersetzen wir den Wert:
lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0
Wir sehen, dass die Unsicherheit von Null dividiert durch Null entstanden ist. Schauen wir uns die Unsicherheitstabelle an, um die Lösungsmethode festzulegen. Die Kombination von Sinus und seinem Argument gibt uns einen Hinweis auf die Verwendung des ersten wunderbaren Grenzwerts, aber zuerst transformieren wir den Ausdruck. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit 3 x und erhalten Sie:
lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0 = lim x → 0 3 x sin (3 x) 3 x (2 x) = lim x → 0 sin (3 x) 3 x 3 x 2 x = = lim x → 0 3 2 sin (3 x) 3 x
Basierend auf der Folgerung aus dem ersten bemerkenswerten Grenzwert gilt: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 1.
Dann kommen wir zum Ergebnis:
lim x → 0 3 2 sin (3 x) 3 x = 3 2 1 = 3 2
Antwort: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 3 2 .
Beispiel 2
Es ist notwendig, den Grenzwert lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 zu finden.
Lösung
Ersetzen wir die Werte und erhalten:
lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 1 - cos (2 0) 3 0 2 = 1 - 1 0 = 0 0
Wir sehen die Unsicherheit von Null dividiert durch Null. Lassen Sie uns den Zähler mithilfe trigonometrischer Formeln transformieren:
lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2
Wir sehen, dass hier nun die erste bemerkenswerte Grenze angewendet werden kann:
lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2 = lim x → 0 2 3 sin x x sin x x = 2 3 1 1 = 2 3
Antwort: lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 2 3 .
Beispiel 3
Es ist notwendig, den Grenzwert lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x zu berechnen.
Lösung
Ersetzen wir den Wert:
lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = a r c sin (4 0) 3 0 = 0 0
Wir sehen die Unsicherheit der Division von Null durch Null. Machen wir einen Ersatz:
a r c sin (4 x) = t ⇒ sin (a r c sin (4 x)) = sin (t) 4 x = sin (t) ⇒ x = 1 4 sin (t) lim x → 0 (a r c sin (4 x) ) = a r c sin (4 · 0) = 0, was bedeutet, dass t → 0 für x → 0 gilt.
In diesem Fall hat der Grenzwert nach dem Ersetzen der Variablen die Form:
lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 0 0 = lim t → 0 t 3 1 4 sin (t) = = lim t → 0 4 3 t sin t = 4 3 1 = 4 3
Antwort: lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 4 3 .
Für ein umfassenderes Verständnis des Materials im Artikel sollten Sie das Material zum Thema „Grenzen, grundlegende Definitionen, Beispiele für Erkenntnisse, Probleme und Lösungen“ wiederholen.
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Dieser Artikel: „The Second Remarkable Limit“ ist der Offenlegung innerhalb der Grenzen der Unsicherheiten der Form gewidmet:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ und $ ^\infty $.
Solche Unsicherheiten können auch mithilfe des Logarithmus der Exponentialfunktion aufgedeckt werden. Dies ist jedoch eine andere Lösungsmethode, die in einem anderen Artikel behandelt wird.
Formel und Konsequenzen
Formel Die zweite bemerkenswerte Grenze wird wie folgt geschrieben: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( wobei ) e \ungefähr 2,718 $$
Es folgt aus der Formel Folgen, die sich sehr gut zum Lösen von Beispielen mit Grenzwerten verwenden lassen: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( wobei ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Es ist erwähnenswert, dass die zweite bemerkenswerte Grenze nicht immer auf eine Exponentialfunktion angewendet werden kann, sondern nur in Fällen, in denen die Basis gegen Eins tendiert. Berechnen Sie dazu zunächst im Kopf die Grenze der Basis und ziehen Sie dann Schlussfolgerungen. All dies wird in Beispiellösungen besprochen.
Beispiele für Lösungen
Schauen wir uns Beispiele für Lösungen mit der direkten Formel und ihre Konsequenzen an. Wir werden auch Fälle analysieren, in denen die Formel nicht benötigt wird. Es reicht aus, nur eine fertige Antwort aufzuschreiben.
| Beispiel 1 |
| Finden Sie den Grenzwert $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Lösung |
|
Setzen wir Unendlich in den Grenzwert ein und schauen wir uns die Unsicherheit an: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Finden wir den Grenzwert der Basis: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Wir haben eine Basis gleich eins erhalten, was bedeutet, dass wir bereits die zweite bemerkenswerte Grenze anwenden können. Dazu passen wir die Basis der Funktion an die Formel an, indem wir eins subtrahieren und addieren: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Schauen wir uns die zweite Folgerung an und schreiben die Antwort auf: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Wenn Sie Ihr Problem nicht lösen können, dann senden Sie es an uns. Wir bieten eine detaillierte Lösung. Sie können den Fortschritt der Berechnung einsehen und Informationen erhalten. Dies wird Ihnen helfen, Ihre Note rechtzeitig von Ihrem Lehrer zu erhalten! |
| Antwort |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Beispiel 4 |
| Lösen Sie den Grenzwert $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Lösung |
|
Wir finden den Grenzwert der Basis und sehen, dass $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, was bedeutet, dass wir den zweiten bemerkenswerten Grenzwert anwenden können. Nach dem Standardplan addieren und subtrahieren wir eins zur Basis des Grades: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Wir passen den Bruch an die Formel der 2. Note an. Grenze: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Jetzt passen wir den Grad an. Die Potenz muss einen Bruch enthalten, der dem Nenner der Basis $ \frac(3x^2-2)(6) $ entspricht. Multiplizieren und dividieren Sie dazu den Grad und fahren Sie mit der Lösung fort: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Der in der Potenz bei $ e $ liegende Grenzwert ist gleich: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Deshalb setzen wir die Lösung fort, die wir haben: |
| Antwort |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Lassen Sie uns Fälle untersuchen, in denen das Problem der zweiten bemerkenswerten Grenze ähnelt, aber ohne sie gelöst werden kann.
Im Artikel: „Die zweite bemerkenswerte Grenze: Beispiele für Lösungen“ wurden die Formel, ihre Konsequenzen analysiert und häufige Arten von Problemen zu diesem Thema aufgeführt.
Der erste bemerkenswerte Grenzwert wird häufig zur Berechnung von Grenzwerten verwendet, die Sinus, Arkussinus, Tangens, Arkustangens und die daraus resultierenden Unsicherheiten von Null dividiert durch Null enthalten.
Formel
Die Formel für den ersten bemerkenswerten Grenzwert lautet: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
Wir stellen fest, dass wir für $ \alpha\to 0 $ $ \sin\alpha \to 0 $ erhalten, wir haben also Nullen im Zähler und Nenner. Daher wird die Formel des ersten bemerkenswerten Grenzwerts benötigt, um die Unsicherheiten $ \frac(0)(0) $ aufzudecken.
Um die Formel anzuwenden, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
- Die im Sinus und im Nenner des Bruchs enthaltenen Ausdrücke sind gleich
- Ausdrücke im Sinus und Nenner eines Bruchs tendieren gegen Null
Aufmerksamkeit! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Die Ausdrücke unter dem Sinus und im Nenner sind zwar gleich, jedoch $ 2x ^2+1 = 1 $, für $ x\to 0 $. Die zweite Bedingung ist nicht erfüllt, daher KÖNNEN Sie die Formel NICHT anwenden!
Folgen
Sehr selten sieht man in Aufgaben eine reine erste Wundergrenze, in die man die Antwort sofort aufschreiben könnte. In der Praxis sieht alles etwas komplizierter aus, aber für solche Fälle wird es nützlich sein, die Konsequenzen der ersten bemerkenswerten Grenze zu kennen. Dank ihnen können Sie schnell die erforderlichen Grenzwerte berechnen.
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$
Beispiele für Lösungen
Betrachten wir den ersten bemerkenswerten Grenzwert, Beispiele seiner Lösung zur Berechnung von Grenzwerten, die trigonometrische Funktionen und die Unsicherheit $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $ enthalten
| Beispiel 1 |
| Berechnen Sie $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ |
| Lösung |
|
Schauen wir uns den Grenzwert an und stellen fest, dass er einen Sinus enthält. Als nächstes setzen wir $ x = 0 $ in den Zähler und Nenner ein und erhalten die Unsicherheit Null dividiert durch Null: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0 ) $$ Bereits zwei Anzeichen dafür, dass wir eine wunderbare Grenze anwenden müssen, aber es gibt eine kleine Nuance: Wir können die Formel nicht sofort anwenden, da sich der Ausdruck unter dem Sinuszeichen vom Ausdruck im Nenner unterscheidet. Und wir brauchen, dass sie gleich sind. Daher werden wir ihn mithilfe elementarer Transformationen des Zählers in $2x$ umwandeln. Dazu nehmen wir die beiden aus dem Nenner des Bruchs als separaten Faktor heraus. Es sieht so aus: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ Bitte Beachten Sie, dass am Ende $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ gemäß der Formel erhalten wurde. Wenn Sie Ihr Problem nicht lösen können, dann senden Sie es an uns. Wir bieten eine detaillierte Lösung. Sie können den Fortschritt der Berechnung einsehen und Informationen erhalten. Dies wird Ihnen helfen, Ihre Note rechtzeitig von Ihrem Lehrer zu erhalten! |
| Antwort |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| Beispiel 2 |
| Finden Sie $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ |
| Lösung |
|
Wie immer müssen Sie zunächst die Art der Unsicherheit kennen. Wenn es Null geteilt durch Null ist, achten wir auf das Vorhandensein eines Sinus: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Diese Unsicherheit ermöglicht es uns, die Formel des ersten bemerkenswerten Grenzwerts zu verwenden, aber der Ausdruck aus dem Nenner ist nicht gleich dem Argument des Sinus? Daher kann die Formel nicht „frontal“ angewendet werden. Es ist notwendig, den Bruch durch das Argument des Sinus zu multiplizieren und zu dividieren: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x -x^4)(x ^3+2x)) = $$ Jetzt schreiben wir die Eigenschaften der Grenzwerte auf: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ Der zweite Grenzwert passt genau zur Formel und ist gleich zu eins: $$ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x )(2x-x^4) = $$ Ersetzen Sie $ x = 0 $ erneut durch einen Bruch und wir erhalten die Unsicherheit $ \frac(0)(0) $. Um es zu beseitigen, genügt es, $ x $ aus Klammern zu nehmen und zu reduzieren um: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$ |
| Antwort |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| Beispiel 4 |
| Berechnen Sie $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ |
| Lösung |
|
Beginnen wir die Berechnung mit der Substitution $ x=0 $. Als Ergebnis erhalten wir die Unsicherheit $ \frac(0)(0) $. Der Grenzwert enthält einen Sinus und einen Tangens, was anhand der Formel des ersten bemerkenswerten Grenzwerts auf eine mögliche Entwicklung der Situation hinweist. Lassen Sie uns den Zähler und Nenner des Bruchs in eine Formel und Konsequenz umwandeln: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Jetzt sehen wir, dass es im Zähler und Nenner Ausdrücke gibt, die zur Formel und den Konsequenzen passen. Das Sinusargument und das Tangensargument sind für die entsprechenden Nenner gleich $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| Antwort |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
Der Artikel „Die erste bemerkenswerte Grenze, Beispiele für Lösungen“ befasste sich mit Fällen, in denen es ratsam ist, diese Formel zu verwenden, und ihren Konsequenzen.
Lassen Sie uns nun mit ruhiger Seele mit der Überlegung fortfahren wunderbare Grenzen.
sieht aus wie .
Anstelle der Variablen x können auch verschiedene Funktionen vorhanden sein, Hauptsache sie tendieren gegen 0.
Es ist notwendig, den Grenzwert zu berechnen
Wie Sie sehen, ist diese Grenze der ersten bemerkenswerten sehr ähnlich, aber das ist nicht ganz richtig. Generell gilt: Wenn Sie eine Sünde im Limit bemerken, sollten Sie sofort darüber nachdenken, ob es möglich ist, das erste bemerkenswerte Limit zu nutzen.
Gemäß unserer Regel Nr. 1 ersetzen wir Null anstelle von x:
Wir bekommen Unsicherheit.
Versuchen wir nun, die erste wunderbare Grenze selbst zu organisieren. Machen wir dazu eine einfache Kombination:
Also organisieren wir Zähler und Nenner, um 7x hervorzuheben. Jetzt ist bereits die bekannte bemerkenswerte Grenze erreicht. Es empfiehlt sich, bei der Entscheidung Folgendes hervorzuheben:
Ersetzen wir die Lösung durch das erste bemerkenswerte Beispiel und erhalten:
Den Bruch vereinfachen:
Antwort: 7/3.
Wie Sie sehen, ist alles sehr einfach.
Sieht aus wie 
, wobei e = 2,718281828... eine irrationale Zahl ist.
Anstelle der Variablen x können verschiedene Funktionen vorhanden sein, Hauptsache sie tendieren dazu.
Es ist notwendig, den Grenzwert zu berechnen
Hier sehen wir das Vorhandensein eines Grades unter dem Vorzeichen einer Grenze, was bedeutet, dass es möglich ist, eine zweite bemerkenswerte Grenze zu verwenden.
Wie immer verwenden wir Regel Nr. 1 – ersetzen Sie x anstelle von:
Es ist ersichtlich, dass bei x die Basis des Grades ist und der Exponent 4x > ist, d. h. wir erhalten eine Unsicherheit der Form:
Nutzen wir die zweite wunderbare Grenze, um unsere Unsicherheit offenzulegen, aber zuerst müssen wir sie organisieren. Wie Sie sehen, müssen wir eine Präsenz im Indikator erreichen, wofür wir die Basis auf die Potenz von 3x und gleichzeitig auf die Potenz von 1/3x erhöhen, damit sich der Ausdruck nicht ändert:
Vergessen Sie nicht, unser wunderbares Limit hervorzuheben:
Das ist es, was sie wirklich sind wunderbare Grenzen!
Wenn Sie noch Fragen dazu haben die erste und zweite wunderbare Grenze, dann frag sie gerne in den Kommentaren.
Wir werden allen so viel wie möglich antworten.
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Die Formel für den zweiten bemerkenswerten Grenzwert lautet lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Eine andere Schreibweise sieht so aus: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Wenn wir über den zweiten bemerkenswerten Grenzwert sprechen, müssen wir uns mit einer Unsicherheit der Form 1 ∞ befassen, d. h. Einheit bis ins Unendliche.
Betrachten wir Probleme, bei denen die Fähigkeit zur Berechnung der zweiten bemerkenswerten Grenze nützlich sein wird.
Beispiel 1
Finden Sie den Grenzwert lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Lösung
Ersetzen wir die erforderliche Formel und führen die Berechnungen durch.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Es stellte sich heraus, dass unsere Antwort eine Antwort auf die Potenz der Unendlichkeit war. Um die Lösungsmethode zu bestimmen, verwenden wir die Unsicherheitstabelle. Wählen wir den zweiten bemerkenswerten Grenzwert und nehmen eine Änderung der Variablen vor.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Wenn x → ∞, dann t → - ∞.
Mal sehen, was wir nach dem Austausch bekommen haben:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Antwort: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Beispiel 2
Berechnen Sie den Grenzwert lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Lösung
Ersetzen wir Unendlich und erhalten wir Folgendes.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
In der Antwort erhalten wir wieder das Gleiche wie in der vorherigen Aufgabe, daher können wir wieder den zweiten bemerkenswerten Grenzwert verwenden. Als nächstes müssen wir den gesamten Teil an der Basis der Potenzfunktion auswählen:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Danach nimmt das Limit folgende Form an:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Ersetzen Sie Variablen. Nehmen wir an, dass t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; wenn x → ∞, dann t → ∞.
Danach schreiben wir auf, was wir im ursprünglichen Limit erhalten haben:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Um diese Transformation durchzuführen, haben wir die grundlegenden Eigenschaften von Grenzen und Kräften verwendet.
Antwort: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Beispiel 3
Berechnen Sie den Grenzwert lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Lösung
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Danach müssen wir die Funktion transformieren, um den zweiten großen Grenzwert anzuwenden. Folgendes haben wir bekommen:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Da wir jetzt im Zähler und Nenner des Bruchs (gleich sechs) die gleichen Exponenten haben, ist der Grenzwert des Bruchs im Unendlichen gleich dem Verhältnis dieser Koeffizienten bei höheren Potenzen.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Durch Einsetzen von t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 erhalten wir einen zweiten bemerkenswerten Grenzwert. Bedeutet, was:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Antwort: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
Schlussfolgerungen
Unsicherheit 1 ∞, d.h. Die Einheit einer unendlichen Potenz ist eine Unsicherheit des Potenzgesetzes und kann daher mithilfe der Regeln zum Ermitteln der Grenzen exponentieller Potenzfunktionen aufgedeckt werden.
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