Potential- und Magnetvektorfelder. Definition eines Vektorfeldes. Gradientenfeld. Potentialfelder, Potentialitätsbedingungen Ermitteln Sie die Potentialität des Feldes und finden Sie sein Potential

Feldtheorie

Auch bekannt als Vektoranalyse. Und für einige die Vektoranalyse, bekannt als Feldtheorie =) Endlich sind wir bei diesem interessanten Thema angelangt! Dieser Abschnitt der höheren Mathematik kann nicht als einfach bezeichnet werden, aber in zukünftigen Artikeln werde ich versuchen, zwei Ziele zu erreichen:

a) damit jeder versteht, worum es in dem Gespräch geht;

b) und damit „Dummies“ lernen, zumindest einfache Dinge zu lösen – zumindest auf dem Niveau der Aufgaben, die Teilzeitstudierenden angeboten werden.

Das gesamte Material wird in einem populären Stil präsentiert, und wenn Sie genauere und vollständigere Informationen benötigen, können Sie zum Beispiel den 3. Band von Fichtenholtz nehmen oder einen Blick auf Wiki werfen.

Und entschlüsseln wir gleich den Titel. Ich denke, mit der Theorie ist alles klar – in bester Tradition der Website werden wir ihre Grundlagen analysieren und uns auf die Praxis konzentrieren. Nun, womit verbinden Sie das Wort „Feld“?

Rasenplatz, Fußballplatz... Noch? Tätigkeitsfeld, Experimentierfeld. Grüße Humanisten! ...Aus einem Schulkurs? Elektrisches Feld, magnetisch, elektromagnetisch..., okay. Das Gravitationsfeld der Erde, in dem wir uns befinden. Großartig! Also, wer hat das über das Feld gesagt? gültig Und komplexe Zahlen? ...einige Monster haben sich hier versammelt! =) Zum Glück Algebra Schon bestanden.

In den nächsten Lektionen werden wir uns mit einem konkreten Konzept vertraut machen Felder, konkrete Beispiele aus dem Leben, und lernen Sie auch, thematische Probleme der Vektoranalyse zu lösen. Die Feldtheorie lässt sich, wie Sie richtig vermuten, am besten auf einem Feld studieren – in der Natur, wo es einen Wald, einen Fluss, einen See, ein Dorfhaus gibt, und ich lade jeden ein, einzutauchen, wenn nicht in die warme Sommerrealität, dann in angenehmer Erinnerung:

Felder im heute betrachteten Sinne sind Skalar Und Vektor, und wir beginnen mit ihren „Bausteinen“.

Erstens, Skalar. Sehr oft wird dieser Begriff fälschlicherweise mit identifiziert Nummer. Nein, es ist etwas anders: Skalar ist eine Größe, deren jeder Wert ausgedrückt werden kann nur eine Zahl. In der Physik gibt es viele Beispiele für Masse: Länge, Breite, Fläche, Volumen, Dichte, Temperatur usw. All dies sind skalare Größen. Und Masse ist übrigens auch ein Beispiel.

Zweitens, Vektor. Ich habe die algebraische Definition eines Vektors in der Lektion darüber angesprochen lineare Transformationen und eine seiner privaten Inkarnationen Es ist einfach unmöglich, es nicht zu wissen=) Typisch Vektor ausgedrückt wird zwei oder mehr Zahlen(mit Ihren Koordinaten). Und sogar für einen eindimensionalen Vektor nur eine Nummer nicht genug- aus dem Grund, dass der Vektor eine andere Richtung hat. Und der Anwendungspunkt, wenn der Vektor nicht alleinstehend. Vektoren charakterisieren physikalische Kraftfelder, Geschwindigkeit und viele andere Größen.

Nun können Sie mit der Ernte von Aluminiumgurken beginnen:

Skalarfeld

Wenn jede Irgendwann Bereiche des Raumes eine bestimmte Nummer zugewiesen (oft real), dann sagen wir das in diesem Bereich Skalarfeld.

Betrachten Sie zum Beispiel eine Senkrechte Strahl. Stecken Sie zur Verdeutlichung eine Schaufel hinein =) Was Skalare Felder Darf ich nach diesem Strahl fragen? Das erste, was auftaucht, ist Höhenfeld– wenn jedem Punkt des Balkens seine Höhe über dem Boden zugewiesen wird. Oder zum Beispiel, atmosphärisches Druckfeld– hier entspricht jeder Punkt des Strahls einem numerischen Wert des Atmosphärendrucks an einem bestimmten Punkt.

Nun nähern wir uns dem See und zeichnen im Geiste eine Ebene über seine Oberfläche. Wenn jeder Punkt des „Wasser“-Fragments der Ebene mit der Tiefe des Sees verknüpft ist, dann ist bitte das Skalarfeld gegeben. An den gleichen Stellen können Sie auch andere skalare Größen berücksichtigen, beispielsweise die Temperatur der Wasseroberfläche.

Die wichtigste Eigenschaft eines Skalarfeldes ist seine Invarianz relativ zum Koordinatensystem. Wenn wir es in die menschliche Sprache übersetzen, dann ist es egal, von welcher Seite wir auf die Schaufel/den See blicken – ein Skalarfeld (Höhe, Tiefe, Temperatur usw.) das wird sich nicht ändern. Darüber hinaus kann das Skalarfeld, beispielsweise die Tiefe, auf einer anderen Oberfläche, beispielsweise auf einer geeigneten, eingestellt werden Hemisphäre oder direkt auf der Wasseroberfläche selbst. Warum nicht? Ist es nicht möglich, jedem Punkt der Hemisphäre, der über dem See liegt, eine Nummer zuzuordnen? Ich habe die Flachheit nur aus Bequemlichkeitsgründen vorgeschlagen.

Fügen wir noch eine Koordinate hinzu. Nimm einen Stein in deine Hand. Jeder Punkt dieses Steins kann seinem zugeordnet werden physikalische Dichte. Und wiederum – egal in welchem ​​Koordinatensystem wir es betrachten, egal wie wir es in unserer Hand drehen – das Skalardichtefeld bleibt unverändert. Einige Leute mögen diese Tatsache jedoch bestreiten =) Das ist der Stein der Weisen.

Aus rein mathematischer Sicht (über die physische oder andere private Bedeutung hinaus) Skalare Felder werden traditionell durch unsere „gewöhnlichen“ Funktionen spezifiziert eins , zwei , drei und mehr Variablen. Gleichzeitig werden in der Feldtheorie häufig traditionelle Attribute dieser Funktionen verwendet, wie z Domain, ebene Linien und Flächen.

Beim dreidimensionalen Raum ist alles ähnlich:
– hier ist jedem zulässigen Punkt im Raum ein Vektor zugeordnet, der an einem bestimmten Punkt beginnt. „Zulässigkeit“ wird durch die Definitionsbereiche der Funktionen bestimmt, und wenn jeder von ihnen für alle „X“, „E“, „Z“ definiert ist, dann wird das Vektorfeld im gesamten Raum spezifiziert.

! Notation : Vektorfelder werden auch mit dem Buchstaben oder bezeichnet, ihre Komponenten mit oder.

Aus dem oben Gesagten ist seit langem klar, dass Skalar- und Vektorfelder zumindest mathematisch im gesamten Raum definiert werden können. Allerdings war ich bei den entsprechenden physikalischen Beispielen dennoch vorsichtig, da solche Konzepte wie Temperatur, Schwere(oder andere) schließlich irgendwo existiert möglicherweise überhaupt nicht. Aber das ist kein Horror mehr, sondern Science-Fiction =) Und nicht nur Science-Fiction. Denn der Wind weht in der Regel nicht in die Steine.

Es ist zu beachten, dass es einige Vektorfelder gibt (gleiche Geschwindigkeitsfelder)ändern sich im Laufe der Zeit schnell, und daher berücksichtigen viele physikalische Modelle eine zusätzliche unabhängige Variable. Das Gleiche gilt übrigens auch für Skalarfelder – die Temperatur wird tatsächlich auch nicht zeitlich „eingefroren“.

Im Rahmen der Mathematik beschränken wir uns jedoch auf die Dreieinigkeit, und wenn solche Felder „zusammentreffen“, meinen wir einen festen Zeitpunkt oder eine Zeit, in der sich das Feld nicht verändert hat.

Vektorlinien

Wenn Skalarfelder beschrieben werden Linien und ebene Flächen, dann kann die „Form“ des Vektorfeldes charakterisiert werden Vektorlinien. Wahrscheinlich erinnern sich viele an dieses Schulerlebnis: Ein Magnet wird unter ein Blatt Papier gelegt und oben drauf (sehen!) Eisenspäne laufen heraus, die sich einfach entlang der Feldlinien „ausrichten“.

Ich versuche es einfacher zu formulieren: Jeder Punkt einer Vektorlinie ist der Anfang Feldvektor, die an einem bestimmten Punkt auf der Tangente liegt:

Natürlich haben Linienvektoren im allgemeinen Fall unterschiedliche Längen, daher nimmt ihre Länge in der obigen Abbildung zu, wenn sie sich von links nach rechts bewegen – hier können wir davon ausgehen, dass wir uns beispielsweise einem Magneten nähern. In Kraftfeldern werden Vektorlinien genannt - Stromleitungen. Ein anderes, einfacheres Beispiel ist das Gravitationsfeld der Erde: Seine Feldlinien sind Strahlen mit dem Anfang im Zentrum des Planeten und den Vektoren Schwere direkt auf den Strahlen selbst gelegen.

Es werden Vektorlinien von Geschwindigkeitsfeldern genannt aktuelle Zeilen. Stellen Sie sich noch einmal einen Staubsturm vor – Staubpartikel bewegen sich zusammen mit Luftmolekülen entlang dieser Linien. Ähnlich verhält es sich mit einem Fluss: Die Flugbahnen, auf denen sich Flüssigkeitsmoleküle (und nicht nur) bewegen, sind im wahrsten Sinne des Wortes Stromlinien. Im Allgemeinen stammen viele Konzepte der Feldtheorie aus der Hydrodynamik, auf die wir mehr als einmal stoßen werden.

Wenn ein „flaches“ Vektorfeld durch eine Funktion ungleich Null gegeben ist, können seine Feldlinien aus ermittelt werden Differentialgleichung. Die Lösung dieser Gleichung ergibt Familie Vektorlinien auf einer Ebene. Manchmal ist es bei Aufgaben notwendig, mehrere solcher Linien zu zeichnen, was normalerweise keine Schwierigkeiten bereitet – wir haben mehrere geeignete Werte für „tse“ ausgewählt und einige gezeichnet Hyperbel, und bestellen.

Interessanter ist die Situation mit einem räumlichen Vektorfeld. Seine Feldlinien werden durch die Beziehungen bestimmt. Hier müssen Sie sich entscheiden System zweier Differentialgleichungen und zwei Familien bekommen Raumflächen. Die Schnittlinien dieser Familien sind räumliche Vektorlinien. Wenn alle Komponenten („pe“, „ku“, „er“) ungleich Null sind, gibt es mehrere technische Lösungen. Ich werde nicht alle diese Methoden in Betracht ziehen. (weil der Artikel unanständige Größen annimmt), aber ich werde mich auf einen häufigen Sonderfall konzentrieren, wenn eine der Komponenten des Vektorfeldes gleich Null ist. Lassen Sie uns alle Optionen auf einmal auflisten:

Wenn, dann muss das System gelöst werden.
wenn, dann das System;
und wenn, dann.

Und aus irgendeinem Grund hatten wir schon lange keine Übung mehr:

Beispiel 1

Finden Sie die Feldlinien des Vektorfeldes

Lösung: In diesem Problem lösen wir also System:

Die Bedeutung ist sehr einfach. Wenn also eine Funktion ein Skalarfeld der Seetiefe angibt, dann definiert die entsprechende Vektorfunktion die Menge nicht frei Vektoren, von denen jeder eine Richtung angibt Steh so schnell wie möglich auf Boden an dem einen oder anderen Punkt und die Geschwindigkeit dieses Anstiegs.

Wenn eine Funktion ein skalares Temperaturfeld eines bestimmten Raumbereichs angibt, dann charakterisiert das entsprechende Vektorfeld die Richtung und Geschwindigkeit schnellstes Aufwärmen Platz an jedem Punkt in diesem Bereich.

Schauen wir uns ein allgemeines mathematisches Problem an:

Beispiel 3

Gegeben sei ein Skalarfeld und ein Punkt. Erforderlich:

1) Erstellen Sie die Gradientenfunktion des Skalarfelds.

Welches ist Potenzieller unterschied .

Mit anderen Worten: Im Potenzialfeld kommt es nur auf den Start- und Endpunkt der Route an. Und wenn diese Punkte zusammenfallen, ist die Gesamtkraftarbeit entlang einer geschlossenen Kontur gleich Null:

Lasst uns eine Feder vom Boden aufheben und sie zum Ausgangspunkt bringen. Auch in diesem Fall ist die Flugbahn unserer Bewegung willkürlich; Sie können den Stift sogar fallen lassen, ihn wieder aufheben usw.

Warum ist das Endergebnis Null?

Ist die Feder von Punkt „a“ nach Punkt „b“ gefallen? Es fiel. Die Schwerkraft erledigte die Arbeit.

Hat der Stift den Punkt „a“ nach hinten getroffen? Schrecklich. Dies bedeutet, dass genau die gleiche Arbeit durchgeführt wurde gegen die Schwerkraft, und es spielt keine Rolle, mit welchen „Abenteuern“ und mit welchen Kräften – selbst wenn der Wind ihn zurückblies.

Notiz : In der Physik symbolisiert das Minuszeichen die entgegengesetzte Richtung.

Somit ist die von den Kräften geleistete Gesamtarbeit Null:

Wie ich bereits festgestellt habe, unterscheiden sich der physische und der weltliche Arbeitsbegriff. Und dieser Unterschied wird Ihnen helfen, nicht eine Feder oder gar einen Ziegelstein gut zu verstehen, sondern zum Beispiel ein Klavier :)

Heben Sie gemeinsam das Klavier an und senken Sie es die Treppe hinunter. Ziehen Sie es die Straße hinunter. So viel Sie wollen und wo immer Sie wollen. Und wenn niemand den Narren nennt, bringen Sie das Instrument zurück. Hast du gearbeitet? Sicherlich. Bis zum siebten Schweiß. Aus physikalischer Sicht wurde jedoch keine Arbeit geleistet.

Der Ausdruck „Potenzialunterschied“ ist verlockend, mehr über das potenzielle elektrostatische Feld zu sprechen, aber Ihre Leser zu schockieren ist irgendwie überhaupt nicht menschlich =) Darüber hinaus gibt es unzählige Beispiele, weil Jedes Gradientenfeld ist potentiell, von denen es ein Dutzend gibt.

Aber es ist leicht, „wie Sand am Meer“ zu sagen: Hier erhalten wir ein Vektorfeld – Wie kann man feststellen, ob es Potenzial hat oder nicht?

Vektorfeldrotor

Oder er Wirbel Komponente, die auch durch Vektoren ausgedrückt wird.

Nehmen wir die Feder wieder in die Hand und schicken sie vorsichtig den Fluss hinunter. Für die Reinheit des Experiments gehen wir davon aus, dass es homogen und relativ zu seinem Zentrum symmetrisch ist. Die Achse steht hoch.

Lassen Sie uns überlegen Vektorfeld Strömungsgeschwindigkeit und einem bestimmten Punkt auf der Wasseroberfläche, über dem sich der Mittelpunkt der Feder befindet.

Wenn drin angegebenen Punkt Der Stift dreht sich gegen den Uhrzeigersinn, dann passen wir ihn dem ausgehenden an unfrei Aufwärtsvektor. Gleichzeitig ist dieser Vektor umso länger, je schneller sich der Stift dreht, ... aus irgendeinem Grund kommt er mir in den hellen Sonnenstrahlen so schwarz vor ... Erfolgt die Drehung im Uhrzeigersinn, „schaut“ der Vektor nach unten. Wenn sich der Stift überhaupt nicht dreht, ist der Vektor Null.

Treffen - das ist Rotorvektor Geschwindigkeitsvektorfeld, es charakterisiert die Richtung der „Verwirbelung“ der Flüssigkeit angegebenen Punkt und Winkelgeschwindigkeit der Stiftdrehung (aber nicht die Richtung oder Geschwindigkeit des Stroms selbst!).

Es ist völlig klar, dass alle Punkte des Flusses einen Rotationsvektor haben (auch diejenigen, die „unter Wasser“ liegen), also z Vektorfeld der aktuellen Geschwindigkeit wir haben ein neues Vektorfeld definiert!

Wenn ein Vektorfeld durch eine Funktion gegeben ist, dann ist sein Rotorfeld wie folgt gegeben Vektorfunktion:

Darüber hinaus, wenn die Vektoren Rotorfeld Flüsse sind groß und neigen dazu, ihre Richtung zu ändern. Dies bedeutet jedoch keineswegs, dass es sich um einen gewundenen und unruhigen Fluss handelt (zurück zum Beispiel). Diese Situation kann auch in einem geraden Kanal beobachtet werden – wenn beispielsweise in der Mitte die Geschwindigkeit höher und in Ufernähe niedriger ist. Das heißt, die Drehung des Stifts wird erzeugt unterschiedliche Durchflussraten V benachbart aktuelle Zeilen.

Wenn die Rotorvektoren hingegen kurz sind, könnte es sich um einen „gewundenen“ Gebirgsfluss handeln! Es ist wichtig, dass in benachbarte Stromleitungen die Geschwindigkeit des Stroms selbst (schnell oder langsam) leicht unterschiedlich.

Und abschließend beantworten wir die oben gestellte Frage: An jedem Punkt im Potentialfeld ist sein Rotor Null:

Oder besser gesagt, der Nullvektor.

Potentialfeld wird auch Potentialfeld genannt rotationsfrei Feld.

Einen „idealen“ Fluss gibt es natürlich nicht, aber oft kann man ihn beobachten Geschwindigkeitsfeld Flüsse sind nahe am Potenzial - verschiedene Objekte schwimmen ruhig und drehen sich nicht, ... haben Sie sich dieses Bild auch vorgestellt? Sie können jedoch sehr schnell und in einer Kurve schwimmen, dann langsamer werden und dann schneller werden – es ist wichtig, dass die Geschwindigkeit der Strömung berücksichtigt wird benachbarte Stromleitungen blieb erhalten Konstante.

Und natürlich unser tödliches Gravitationsfeld. Für das nächste Experiment ist jeder ziemlich schwere und homogene Gegenstand gut geeignet, zum Beispiel ein geschlossenes Buch, eine ungeöffnete Bierdose oder übrigens ein Ziegelstein, der in den Startlöchern gewartet hat =) Halten Sie seine Enden mit Ihren Händen fest , heben Sie es an und lassen Sie es vorsichtig in den freien Fall fallen. Er wird sich nicht drehen. Und wenn ja, dann ist das Ihre „persönliche Anstrengung“ oder der Baustein, den Sie bekommen haben, war der falsche. Seien Sie nicht faul und überprüfen Sie diese Tatsache! Nur nichts aus dem Fenster werfen, es ist keine Feder mehr

Danach können Sie sich mit gutem Gewissen und gesteigertem Ton wieder den praktischen Aufgaben widmen:

Beispiel 5

Zeigen Sie, dass ein Vektorfeld potentiell ist, und ermitteln Sie sein Potential

Lösung: Die Bedingung gibt direkt die Potentialität des Feldes an, und unsere Aufgabe ist es, diese Tatsache zu beweisen. Finden wir die Rotorfunktion oder, wie man häufiger sagt, den Rotor eines bestimmten Feldes:

Der Einfachheit halber notieren wir die Feldkomponenten:

und fange an, sie zu finden partielle Ableitungen– Es ist praktisch, sie in einer „rotierenden“ Reihenfolge von links nach rechts zu „sortieren“:
- Und sofort wir prüfen das (um zusätzliche Arbeit im Falle eines Ergebnisses ungleich Null zu vermeiden). Lass uns weitermachen:

Auf diese Weise:
Daher ist das Feld potentiell und stellt daher eine Gradientenfunktion dar ein durch das Potential spezifiziertes Skalarfeld.

Satz 1. Damit ein im Bereich T spezifiziertes Vektorfeld magnetisch ist, ist es notwendig und ausreichend, dass dieses Feld das Rotorfeld eines bestimmten Vektors ist, d.h. so dass es einen Vektor gibt, der die Bedingung an allen Punkten der Region T erfüllt

Nachweisen.

Angemessenheit. Wir haben

Notwendigkeit. Lassen

Finden wir eine solche Funktion

Im Folgenden zeigen wir, dass die Funktion nicht eindeutig definiert ist, sodass dieser Funktion zusätzliche Bedingungen auferlegt werden können. Lassen

Lassen Sie uns Funktionen auswählen

Zeigen wir, dass diese Funktionen das Gleichungssystem (1) erfüllen. Das haben wir tatsächlich

Tatsächlich erfüllt die konstruierte Funktion die Bedingung

Die Funktion heißt Vektorpotential.

Beim Beweis des Theorems haben wir eine Methode vorgeschlagen, mit der wir das Vektorpotential des Feldes bestimmen können.

Bemerkung 1. Wenn die Funktion ein Vektorpotential des Feldes ist, dann ist die Funktion

Dabei handelt es sich um eine beliebige Skalarfunktion und gleichzeitig um das Vektorpotential des Feldes.

Nachweisen.

Folglich wird das Vektorpotential mehrdeutig bestimmt.

Beispiel 1: Zeigen Sie, dass ein Feld

Lösung. Wir haben.

Rechnen wir

Die gefundene Funktion ist das gesuchte Vektorpotential. Lassen Sie uns diese Aussage überprüfen, d.h. Lasst uns den Rotor finden:

Die Bedingung ist erfüllt. Es lässt sich leicht überprüfen, dass das Vektorpotential dieses Feldes eine symmetrischere Funktion sein kann

Beispiel 2: Zeigen Sie, dass ein Feld

magnetisch und finden Sie das Vektorpotential dieses Feldes.

Lösung. Wir haben.

Rechnen wir

Lass uns das Prüfen:

Die Bedingung ist erfüllt. Es lässt sich leicht überprüfen, dass das Vektorpotential dieses Feldes symmetrischere Funktionen sein kann

Aus den obigen Beispielen wird deutlich, dass sich die Ausdrücke für das Vektorpotential für dasselbe Feld deutlich unterscheiden können. Dies liegt daran, dass der Gradient jeder Skalarfunktion zum gefundenen Vektorpotential addiert werden kann.

Theoretisches Material zu diesem Thema finden Sie auf S. 228-236 dieser Veröffentlichung.

Beispiel 30. Prüfen Sie, ob es sich um ein Vektorfeld handelt

Ein Potenzial; b) magnetisch. Wenn das Feld Potenzial hat, finden Sie sein Potenzial.

Lösung. A) Finden Sie den Feldrotor

Daher ist das Feld potenziell.

B) Finden Sie die Felddivergenz

Daher ist das Feld nicht magnetisch.

B) Da kann das Feldpotential mit der Formel berechnet werden

Das Linienintegral des Gesamtdifferentials hängt nicht vom Integrationsweg ab. Hier ist es zweckmäßig, den Koordinatenursprung als Ausgangspunkt zu nehmen. Als Integrationspfad nehmen wir die gestrichelte Linie OAWM(Abb. 17).

1. Auf dem Segment also

2. Auf dem Abschnitt von hier

3. Auf dem Abschnitt von hier

Wo ist also eine beliebige Konstante?

Endlich,

Aufgaben für Kontrollarbeiten Nr. 5-8

Aufgabennummern werden anhand der letzten beiden Ziffern des Codes und des ersten Buchstabens des Nachnamens aus einer Tabelle ausgewählt. Zum Beispiel löst Student Ivanov, Code 1-45-5815, die Aufgaben 5, 15, 21,31 in Test 5, die Probleme 45, 51, 61, 71 in Test 6, die Probleme 85, 91 in Test 7, 101, 111, in Kontrollarbeit 8 - Aufgaben 125.135.141.151.

Test Nr. 5

Finden Sie in den Aufgaben 1-10 die allgemeine Lösung der Differentialgleichung erster Ordnung

Finden Sie in den Aufgaben 11–20 die allgemeine Lösung oder das allgemeine Integral einer Differentialgleichung zweiter Ordnung

Finden Sie in den Aufgaben 21-30 die allgemeine Lösung linearer Gleichungen zweiter Ordnung

Finden Sie in den Aufgaben 31-40 den Konvergenzbereich von Potenzreihen

Test Nr. 6

Erweitern Sie in den Aufgaben 41-50 die Funktion zu einer Maclaurin-Reihe und bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Reihe

Konstruieren Sie in den Aufgaben 51–60 den Integrationsbereich und ändern Sie die Reihenfolge der Integration

61. Berechnen Sie die Oberfläche eines Teils einer Kugel , geschnitten durch Zylinder und Flugzeug .

62. Berechnen Sie die Fläche einer flachen Platte, die durch die Linien: und (außerhalb der Parabel) begrenzt wird.

63. Berechnen Sie die Oberfläche des durch Ebenen geschnittenen Zylinders.

64. Finden Sie das Volumen eines durch Flächen begrenzten Körpers , , , , .

65. Finden Sie das Volumen eines durch Flächen begrenzten Körpers: und , liegt im ersten Oktanten bei .

66. Finden Sie die Fläche einer flachen Platte, die durch Linien begrenzt ist. .

67. Bestimmen Sie die Fläche des Teils des Kreises außerhalb des Kreises (Verwenden Sie Polarkoordinaten).

68. Berechnen Sie die Masse einer homogenen flachen Platte (),

begrenzter Kreis und Geraden und .

69. Finden Sie die Masse der Platte mit der Dichte , begrenzt durch Linien , , .

70. Ermitteln Sie die Masse der Platte anhand der Dichte , gegeben durch die Ungleichungen: .

Berechnen Sie in den Aufgaben 71-80 krummlinige Integrale entlang der Kurve:

Test Nr. 7

Erweitern Sie in den Aufgaben 81-86 die Funktionen zu einer Fourier-Reihe; Plotten Sie eine gegebene Funktion

81.

82.

83.

84.

85.

86.

Erweitern Sie in den Aufgaben 87 und 88 die Funktion in eine Fourier-Reihe anhand von Sinuswerten. Zeichnen Sie einen Graphen der gegebenen Funktion.

87.

88.

Erweitern Sie in Aufgabe 89.90 die Funktion in eine Fourier-Reihe in Kosinuswerten; Zeichnen Sie einen Graphen der gegebenen Funktion.

89.

90.

Lösen Sie in den Aufgaben 91–95 die Wellengleichung auf einem gegebenen Segment mit Randbedingungen mithilfe der Fourier-Methode und gegebene Anfangsbedingungen.

91.

93.

95.

Lösen Sie in den Aufgaben 96–100 die Wärmeleitungsgleichung für ein gegebenes Segment mit der Fourier-Methode für eine gegebene Anfangsbedingung und Randbedingungen .

96.

97.

98.

99.

100.

Berechnen Sie in den Aufgaben 101–106 das Dreifachintegral über die Fläche T, gegeben durch Ungleichungen. Fertige eine Zeichnung an.

103.
(Bei der Berechnung von Integralen gehen Sie zu Zylinderkoordinaten).

105. (Bei der Berechnung von Integralen gehen Sie zu Zylinderkoordinaten).

Finden Sie in den Aufgaben 107–110 die Masse eines Körpers, der durch die Ungleichungen gegeben ist und eine gegebene Dichte hat. Fertige eine Zeichnung an.

108. (Bei der Berechnung des Dreifachintegrals gehen Sie zu Zylinderkoordinaten.)

110. (Bei der Berechnung des Dreifachintegrals gehen Sie zu Zylinderkoordinaten).

Berechnen Sie in den Aufgaben 111-120 das Oberflächenintegral. Machen Sie eine Zeichnung der Oberfläche.

111. Wo ist ein Teil des Flugzeugs? durch Koordinatenebenen begrenzt.

112. - die Oberseite eines Teils eines parabolischen Zylinders, begrenzt durch einen Kreiszylinder und Flugzeug. Gehen Sie bei der Berechnung des Integrals über zu Polarkoordinaten.

113. - Teil der Zylinderoberfläche, begrenzt durch Ebenen

114. , wo ist ein Teil der Kegeloberfläche , begrenzt durch die Ebenen und (bei der Berechnung des Doppelintegrals gehen Sie zu Polarkoordinaten).

115. , - Teil eines kreisförmigen Zylinders, der von Ebenen begrenzt wird

116. - die Oberseite des Kegelteils , begrenzt durch Flugzeuge . Gehen Sie bei der Berechnung des Integrals über zu Polarkoordinaten.

117. , wo ist die Oberseite des Teils der Kugel . Wechseln Sie bei der Berechnung des Doppelintegrals zu Polarkoordinaten.

118. , wo ist die Oberseite des Teils der Ebene durch Koordinatenebenen begrenzt.

119. , - Teil eines parabolischen Zylinders, der durch Koordinatenebenen und die Ebene begrenzt wird.

120. ; - die Oberseite des Teils des Kreiszylinders, der durch den Kreiszylinder begrenzt wird und Ebene Wechsel zu Polarkoordinaten.

Test Nr. 8

Finden Sie in den Aufgaben 121–130 den Gradienten des Skalarfeldes und prüfen Sie, ob das Skalarfeld harmonisch ist.

Finden Sie in den Aufgaben 131-135 den Vektorfeldfluss durch den Teil der Oberfläche, der im ersten Oktanten liegt in Richtung der Normalen und bildet mit der Achse einen spitzen Winkel. Fertige eine Zeichnung an.

Verwenden Sie in den Aufgaben 136–140 den Satz von Ostrogradsky, um den Fluss des Vektorfelds in Richtung der äußeren Normalen durch die Oberfläche des im ersten Oktanten liegenden Körpers zu berechnen und durch eine gegebene Oberfläche und Koordinatenebenen begrenzt. Fertige eine Zeichnung an.

Berechnen Sie in den Aufgaben 141-150 die Zirkulation des Vektorfeldes entlang der Schnittlinie mit den Koordinatenebenen des Teils der Oberfläche, der im ersten Oktanten liegt . sind jeweils die Schnittpunkte der Oberfläche mit den Achsen. Fertige eine Zeichnung an.

Berechnen Sie in den Aufgaben 141–145 Zirkulationen mithilfe des Satzes von Stokes.

Berechnen Sie in den Aufgaben 146-150 die Zirkulation anhand ihrer Definition.

Überprüfen Sie in den Aufgaben 151–160, ob das Vektorfeld: a) potentiell, b) magnetisch ist. Wenn das Feld Potenzial hat, finden Sie sein Potenzial.

152.

155.

Aktuelle Kontrolle

Testaufgaben

1. Bestimmen Sie, welche Gleichung die folgende Lösung hat .

A) B) V)

2. Bestimmen Sie die charakteristische Gleichung für die Differentialgleichung

a) b) V)

3. Bestimmen Sie mithilfe des D’Alembert-Tests, bei welchem ​​Wert die Potenzreihe konvergiert .

4. Formulieren Sie eine geometrische Interpretation des Doppelintegrals.

5. Formulieren Sie eine geometrische Interpretation des Dreifachintegrals.

6. Bestimmen Sie das Vorzeichen der Potentialität eines Vektorfeldes:

a B C)

Endkontrolle

Fragen zur Vorbereitung auf die Mathematikprüfung

(III. Semester)

Differentialgleichung

1. Definition einer gewöhnlichen Differentialgleichung, ihrer Reihenfolge und Lösung. Differentialgleichung erster Ordnung, Richtungsfeld, Isoklinen.

2. Cauchy-Problem für eine Differentialgleichung erster Ordnung. Satz der Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung des Cauchy-Problems.

3. Bestimmung der allgemeinen und besonderen Lösung (Integral) einer Differentialgleichung erster Ordnung.

4. Gleichung mit trennbaren Variablen, ihre Integration.

5. Lineare Gleichung erster Ordnung, ihre Integration.

6. Homogene Differentialgleichung erster Ordnung, ihre Integration.

7. Differentialgleichung N-te Ordnung. Cauchy-Problem für Differentialgleichung N-te Ordnung. Existenz- und Eindeutigkeitssatz zur Lösung des Cauchy-Problems für die Gleichung N-te Ordnung.

8. Bestimmung allgemeiner und besonderer Lösungen einer Differentialgleichung N-te Ordnung. Integration einer Gleichung der Form.

9. Gleichungen, die eine Abnahme der Ordnung ermöglichen. Methode zur Integration einer Gleichung der Form , wobei k< N.

10. Methode zur Integration von Gleichungen der Form .

11. Definition einer linearen Differentialgleichung N-te Ordnung. Homogene lineare Gleichung. Eigenschaften von Lösungen einer homogenen linearen Gleichung.

12. Definition linear abhängiger und linear unabhängiger Funktionen. Beispiele.

13. Bestimmung des fundamentalen Lösungssystems einer linearen homogenen Gleichung. Satz über die Struktur der allgemeinen Lösung einer linearen homogenen Gleichung N-te Ordnung.

14. Satz über die Struktur der allgemeinen Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung N-te Ordnung.

15. Lineare homogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten. Euler-Methode, charakteristische Gleichung.

16. Konstruktion eines fundamentalen Lösungssystems und einer allgemeinen Lösung einer linearen homogenen Gleichung N-ter Ordnung im Fall reeller unterschiedlicher Wurzeln der charakteristischen Gleichung. Beispiel.

17. Konstruktion eines fundamentalen Lösungssystems und einer allgemeinen Lösung einer linearen homogenen Gleichung N-ter Ordnung im Fall komplex konjugierter Wurzeln der charakteristischen Gleichung. Beispiel.

18. Konstruktion eines fundamentalen Lösungssystems und einer allgemeinen Lösung einer linearen homogenen Gleichung N-ter Ordnung bei reellen gleichen Wurzeln der charakteristischen Gleichung. Beispiel.

19. Die Regel zum Finden einer bestimmten Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung mit konstanten Koeffizienten, wenn die rechte Seite die Form hat , wobei es sich um ein Polynom vom Grad handelt.

20. Die Regel zum Finden einer bestimmten Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung mit konstanten Koeffizienten, wenn die rechte Seite die Form hat, wo .

21. Methode zur Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung der Form (Superpositionsprinzip).

22. System linearer Differentialgleichungen in Normalform. Cauchy-Problem. Satz der Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung des Cauchy-Problems. Bestimmung allgemeiner und besonderer Lösungen des Systems. Eliminierungsmethode für normale Differentialgleichungssysteme.

23. Systeme linearer Differentialgleichungen. Eigenschaften von Lösungen. Lösen von Systemen linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.

Reihen

24. Zahlenreihe. Definition N-te Teilsumme der Reihe. Konzepte der Konvergenz und Divergenz einer Zahlenreihe. Summe einer konvergenten Reihe. Geometrische Reihe.

25. Eigenschaften konvergenter Reihen: Multiplikation einer Reihe mit einer Zahl, Term-für-Term-Addition von Reihen.

26. Der Rest der Reihe. Satz über die gleichzeitige Konvergenz einer Reihe und ihres Restes.

27. Ein notwendiges Zeichen für die Konvergenz einer Reihe. Veranschaulichung seiner Unzulänglichkeit anhand eines Beispiels.

28. Positive Serie. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer positiven Reihe.

29. Das erste und zweite Zeichen des Vergleichs positiver Serien.

30. D'Alemberts Zeichen.

31. Integraler Cauchy-Test.

32. Verallgemeinerte harmonische Reihe, wo P– jede reelle Zahl. Verhalten der Serie bei P<1, P=1, P>1.

33. Wechselserie. Absolute und nicht absolute Konvergenz. Satz über die Konvergenz einer absolut konvergenten Reihe.

34. Leibniz’ Test für die Konvergenz einer alternierenden Reihe. Schätzung des absoluten Fehlers beim Ersetzen der Summe einer konvergenten Reihe durch die Summe der ersten N

42. Binomialreihe für die Funktion.

Definition 1. Sei A ein Vektorfeld in einer Domäne. Die Funktion heißt Potential des Feldes A in einer Domäne, wenn sie in dieser Domäne liegt

Definition 2. Ein Feld, das Potenzial hat, wird Potenzialfeld genannt.

Da in einem zusammenhängenden Bereich die partiellen Ableitungen die Funktion bis auf eine Konstante bestimmen, wird in einem solchen Bereich das Feldpotential bis auf eine additive Konstante bestimmt.

Im ersten Teil des Kurses haben wir bereits kurz auf Potenziale eingegangen. Hier werden wir dieses wichtige Konzept etwas detaillierter besprechen. Beachten wir im Zusammenhang mit diesen Definitionen, dass in der Physik bei der Betrachtung verschiedener Arten von Kraftfeldern das Feldpotential üblicherweise als eine solche Funktion bezeichnet wird, dass sich ein solches Potential von dem durch Definition 1 eingeführten nur im Vorzeichen unterscheidet.

Beispiel 1. Die Stärke des Gravitationsfeldes, das von einem Punkt der Masse M erzeugt wird, der im Koordinatenursprung an einem Punkt im Raum mit einem Radiusvektor platziert ist, wird nach dem Newtonschen Gesetz in der Form berechnet

Dies ist die Kraft, mit der das Feld auf eine Masseneinheit am entsprechenden Punkt im Raum einwirkt. Schwerkraftfeld (1)

möglicherweise. Sein Potenzial im Sinne von Definition 1 ist die Funktion

Beispiel 2. Die elektrische Feldstärke E einer Punktladung, die am Koordinatenursprung an einem Punkt im Raum mit einem Radiusvektor platziert ist, wird nach dem Coulombschen Gesetz berechnet