Die Eckpunkte des Dreiecks werden online angegeben. Wie lernt man, Probleme in der analytischen Geometrie zu lösen? Typisches Problem bei einem Dreieck auf einer Ebene. Den Scheitelpunkt eines Dreiecks verwenden

Wie lernt man, Probleme in der analytischen Geometrie zu lösen?
Typisches Problem bei einem Dreieck auf einer Ebene

Diese Lektion befasst sich mit der Annäherung an den Äquator zwischen der Geometrie der Ebene und der Geometrie des Raums. Im Moment besteht die Notwendigkeit, die gesammelten Informationen zu systematisieren und eine sehr wichtige Frage zu beantworten: Wie lernt man, Probleme in der analytischen Geometrie zu lösen? Die Schwierigkeit besteht darin, dass man in der Geometrie unendlich viele Probleme lösen kann und kein Lehrbuch die ganze Vielzahl und Vielfalt an Beispielen enthält. Es ist nicht Ableitung einer Funktion mit fünf Differenzierungsregeln, einer Tabelle und mehreren Techniken….

Es gibt eine Lösung! Ich werde nicht laut darüber sprechen, dass ich eine Art grandiose Technik entwickelt habe, aber meiner Meinung nach gibt es einen effektiven Ansatz für das betrachtete Problem, der es sogar einem kompletten Dummy ermöglicht, gute und hervorragende Ergebnisse zu erzielen. Zumindest nahm der allgemeine Algorithmus zur Lösung geometrischer Probleme in meinem Kopf sehr deutlich Gestalt an.

WAS SIE WISSEN UND KÖNNEN MÜSSEN
zur erfolgreichen Lösung von Geometrieproblemen?

Daran führt kein Weg vorbei – um nicht wahllos mit der Nase in die Knöpfe zu stechen, muss man die Grundlagen der analytischen Geometrie beherrschen. Wenn Sie also gerade erst mit dem Studium der Geometrie begonnen haben oder es ganz vergessen haben, beginnen Sie bitte mit der Lektion Vektoren für Dummies. Neben Vektoren und Aktionen mit ihnen müssen Sie insbesondere die Grundkonzepte der ebenen Geometrie kennen Gleichung einer Geraden in einer Ebene Und . Die Geometrie des Raumes wird in Artikeln dargestellt Ebenengleichung, Gleichungen einer Linie im Raum, Grundlegende Probleme auf einer geraden Linie und einer Ebene und einige andere Lektionen. Geschwungene Linien und Raumflächen zweiter Ordnung stehen etwas auseinander und es gibt bei ihnen nicht so viele spezifische Probleme.

Gehen wir davon aus, dass der Student bereits über grundlegende Kenntnisse und Fähigkeiten zur Lösung einfachster Probleme der analytischen Geometrie verfügt. Aber es passiert so: Man liest die Problemstellung, und... man möchte die ganze Sache abschließen, sie in die hinterste Ecke werfen und sie vergessen, wie einen bösen Traum. Dabei kommt es grundsätzlich nicht auf das Niveau Ihrer Qualifikationen an; ich selbst stoße hin und wieder auf Aufgaben, bei denen die Lösung nicht auf der Hand liegt. Was ist in solchen Fällen zu tun? Sie brauchen keine Angst vor einer Aufgabe zu haben, die Sie nicht verstehen!

Erstens, sollte installiert sein - Ist das ein „flaches“ oder räumliches Problem? Wenn die Bedingung beispielsweise Vektoren mit zwei Koordinaten umfasst, dann handelt es sich natürlich um die Geometrie einer Ebene. Und wenn der Lehrer den dankbaren Zuhörer mit einer Pyramide belädt, dann liegt da eindeutig die Geometrie des Raumes vor. Die Ergebnisse des ersten Schritts sind bereits recht gut, da es uns gelungen ist, eine große Menge an Informationen herauszuschneiden, die für diese Aufgabe nicht erforderlich waren!

Zweite. Bei der Erkrankung handelt es sich in der Regel um eine geometrische Figur. Wenn Sie durch die Korridore Ihrer Heimatuniversität gehen, werden Sie viele besorgte Gesichter sehen.

Bei „flachen“ Problemen, ganz zu schweigen von den offensichtlichen Punkten und Linien, ist das Dreieck die beliebteste Figur. Wir werden es im Detail analysieren. Als nächstes kommt das Parallelogramm, und weitaus seltener sind Rechteck, Quadrat, Raute, Kreis und andere Formen.

Bei räumlichen Problemen können dieselben flachen Figuren + die Flugzeuge selbst und gewöhnliche dreieckige Pyramiden mit Parallelepipeden fliegen.

Frage zwei – Wissen Sie alles über diese Figur? Angenommen, in der Bedingung geht es um ein gleichschenkliges Dreieck, und Sie erinnern sich ganz vage, um welche Art von Dreieck es sich handelt. Wir schlagen ein Schulbuch auf und lesen über ein gleichschenkliges Dreieck. Was zu tun ist... der Arzt sagte eine Raute, das heißt eine Raute. Analytische Geometrie ist analytische Geometrie, aber Das Problem wird durch die geometrischen Eigenschaften der Figuren selbst gelöst, uns aus dem Lehrplan bekannt. Wenn Sie nicht wissen, wie groß die Winkelsumme eines Dreiecks ist, können Sie lange leiden.

Dritte. Versuchen Sie IMMER, der Zeichnung zu folgen(auf einem Entwurf/fertigen Exemplar/geistig), auch wenn die Bedingung dies nicht erfordert. Bei „flachen“ Problemen befahl Euklid selbst, zu Lineal und Bleistift zu greifen – und zwar nicht nur, um den Zustand zu verstehen, sondern auch zum Selbsttest. In diesem Fall ist der praktischste Maßstab 1 Einheit = 1 cm (2 Notebook-Zellen). Reden wir nicht über unvorsichtige Studenten und Mathematiker, die sich im Grab drehen – es ist fast unmöglich, bei solchen Problemen einen Fehler zu machen. Bei räumlichen Aufgaben erstellen wir eine schematische Zeichnung, die auch bei der Zustandsanalyse hilfreich ist.

Anhand einer Zeichnung oder schematischen Zeichnung lässt sich oft sofort erkennen, wie sich ein Problem lösen lässt. Dazu müssen Sie natürlich die Grundlagen der Geometrie kennen und die Eigenschaften geometrischer Formen verstehen (siehe vorherigen Absatz).

Vierte. Entwicklung eines Lösungsalgorithmus. Viele Geometrieprobleme sind mehrstufig, daher ist es sehr praktisch, die Lösung und ihren Entwurf in Punkte zu zerlegen. Oft kommt einem der Algorithmus sofort in den Sinn, nachdem man die Bedingung gelesen oder die Zeichnung fertiggestellt hat. Bei Schwierigkeiten beginnen wir mit der FRAGE der Aufgabe. Zum Beispiel gemäß der Bedingung „Sie müssen eine gerade Linie konstruieren ...“. Hier lautet die logischste Frage: „Was muss man genug wissen, um diese Gerade zu konstruieren?“ Angenommen: „Wir kennen den Punkt, wir müssen den Richtungsvektor kennen.“ Wir stellen die folgende Frage: „Wie finde ich diesen Richtungsvektor?“ Wo?" usw.

Manchmal gibt es einen „Bug“ – das Problem ist nicht gelöst und das war’s. Die Gründe für den Stopp können folgende sein:

– Erhebliche Lücke im Grundwissen. Mit anderen Worten: Sie wissen und/oder sehen etwas ganz Einfaches nicht.

– Unkenntnis der Eigenschaften geometrischer Figuren.

- Die Aufgabe war schwierig. Ja, es passiert. Es hat keinen Sinn, stundenlang zu dampfen und Tränen in einem Taschentuch zu sammeln. Holen Sie Rat bei Ihrem Lehrer oder Ihren Mitschülern ein oder stellen Sie eine Frage im Forum. Darüber hinaus ist es besser, die Aussage konkret zu formulieren – über den Teil der Lösung, den Sie nicht verstehen. Ein Schrei in der Form „Wie löst man das Problem?“ sieht nicht besonders gut aus... und vor allem für Ihren eigenen Ruf.

Stufe fünf. Wir entscheiden – prüfen, entscheiden – prüfen, entscheiden – prüfen – geben eine Antwort. Es ist von Vorteil, jeden Punkt der Aufgabe zu überprüfen unmittelbar nach der Fertigstellung. So können Sie den Fehler sofort erkennen. Natürlich verbietet niemand, das gesamte Problem schnell zu lösen, aber es besteht die Gefahr, alles noch einmal neu zu schreiben (oft mehrere Seiten).

Dies sind vielleicht alle wichtigen Überlegungen, die bei der Lösung von Problemen beachtet werden sollten.

Der praktische Teil der Lektion wird in ebener Geometrie präsentiert. Es wird nur zwei Beispiele geben, aber das scheint nicht genug zu sein =)

Lassen Sie uns den Thread des Algorithmus durchgehen, den ich mir gerade in meiner kleinen wissenschaftlichen Arbeit angesehen habe:

Beispiel 1

Gegeben sind drei Eckpunkte eines Parallelogramms. Finden Sie die Spitze.

Beginnen wir zu verstehen:

Schritt eins: Es ist offensichtlich, dass es sich um ein „flaches“ Problem handelt.

Schritt zwei: Das Problem betrifft ein Parallelogramm. Erinnert sich jeder an diese Parallelogrammfigur? Es besteht kein Grund zum Lächeln, viele Menschen erhalten ihre Ausbildung im Alter von 30, 40, 50 oder mehr Jahren, sodass selbst einfache Fakten aus dem Gedächtnis gelöscht werden können. Die Definition eines Parallelogramms finden Sie in Beispiel Nr. 3 der Lektion Lineare (Nicht-)Abhängigkeit von Vektoren. Basis von Vektoren.

Schritt drei: Machen wir eine Zeichnung, auf der wir drei bekannte Eckpunkte markieren. Es ist lustig, dass es nicht schwer ist, den gewünschten Punkt sofort zu konstruieren:

Die Konstruktion ist natürlich gut, aber die Lösung muss analytisch formuliert werden.

Schritt vier: Entwicklung eines Lösungsalgorithmus. Das erste, was mir in den Sinn kommt, ist, dass ein Punkt als Schnittpunkt von Linien gefunden werden kann. Wir kennen ihre Gleichungen nicht, daher müssen wir uns mit diesem Problem befassen:

1) Gegenüberliegende Seiten sind parallel. Nach Punkten Finden wir den Richtungsvektor dieser Seiten. Dies ist das einfachste Problem, das im Unterricht besprochen wurde. Vektoren für Dummies.

Notiz: Es ist korrekter zu sagen „die Gleichung einer Linie, die eine Seite enthält“, aber hier und im Folgenden werde ich der Kürze halber die Ausdrücke „Gleichung einer Seite“, „Richtungsvektor einer Seite“ usw. verwenden.

3) Gegenüberliegende Seiten sind parallel. Mithilfe der Punkte ermitteln wir den Richtungsvektor dieser Seiten.

4) Lassen Sie uns eine Gleichung einer geraden Linie erstellen, indem wir einen Punkt und einen Richtungsvektor verwenden

In den Absätzen 1-2 und 3-4 haben wir das gleiche Problem tatsächlich zweimal gelöst; es wurde übrigens in Beispiel Nr. 3 der Lektion besprochen Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene. Es war möglich, einen längeren Weg zu gehen – zuerst die Gleichungen der Geraden zu finden und erst dann die Richtungsvektoren daraus „herauszuziehen“.

5) Nun sind die Gleichungen der Geraden bekannt. Es bleibt nur noch das entsprechende lineare Gleichungssystem aufzustellen und zu lösen (siehe Beispiele Nr. 4, 5 derselben Lektion). Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene).

Der Punkt ist gefunden.

Die Aufgabe ist ganz einfach und die Lösung liegt auf der Hand, aber es gibt einen kürzeren Weg!

Zweite Lösung:

Die Diagonalen eines Parallelogramms werden durch ihren Schnittpunkt halbiert. Ich habe den Punkt markiert, aber um die Zeichnung nicht zu überladen, habe ich die Diagonalen selbst nicht gezeichnet.

Erstellen wir Punkt für Punkt eine Gleichung für die Seite:

Um dies zu überprüfen, sollten Sie die Koordinaten jedes Punktes gedanklich oder auf einem Entwurf in die resultierende Gleichung einsetzen. Lassen Sie uns nun die Steigung finden. Dazu schreiben wir die allgemeine Gleichung in eine Gleichung mit Steigungskoeffizienten um:

Somit ist die Steigung:

Ebenso finden wir die Gleichungen der Seiten. Ich sehe keinen großen Sinn darin, dasselbe zu beschreiben, deshalb gebe ich gleich das fertige Ergebnis:

2) Ermitteln Sie die Länge der Seite. Dies ist das einfachste Problem, das im Unterricht behandelt wird. Vektoren für Dummies. Für Punkte Wir verwenden die Formel:

Mit der gleichen Formel ist es einfach, die Längen anderer Seiten zu ermitteln. Mit einem handelsüblichen Lineal lässt sich die Kontrolle sehr schnell durchführen.

Wir verwenden die Formel .

Finden wir die Vektoren:

Auf diese Weise:

Übrigens haben wir nebenbei die Längen der Seiten herausgefunden.

Ergebend:

Nun, es scheint wahr zu sein; um zu überzeugen, kann man einen Winkelmesser an der Ecke anbringen.

Aufmerksamkeit! Verwechseln Sie den Winkel eines Dreiecks nicht mit dem Winkel zwischen Geraden. Der Winkel eines Dreiecks kann stumpf sein, der Winkel zwischen Geraden jedoch nicht (siehe letzter Absatz des Artikels). Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene). Um den Winkel eines Dreiecks zu ermitteln, können Sie jedoch auch die Formeln aus der obigen Lektion verwenden, der Nachteil besteht jedoch darin, dass diese Formeln immer einen spitzen Winkel ergeben. Mit ihrer Hilfe habe ich dieses Problem im Entwurf gelöst und das Ergebnis erhalten. Und auf der endgültigen Kopie müsste ich noch weitere Ausreden aufschreiben, dass …

4) Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch einen Punkt parallel zur Geraden verläuft.

Standardaufgabe, ausführlich besprochen in Beispiel Nr. 2 der Lektion Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene. Aus der allgemeinen Geradengleichung Nehmen wir den Leitvektor heraus. Erstellen wir eine Gleichung einer geraden Linie mit einem Punkt und einem Richtungsvektor:

Wie finde ich die Höhe eines Dreiecks?

5) Lassen Sie uns eine Gleichung für die Höhe erstellen und ihre Länge ermitteln.

Es gibt kein Entrinnen vor strengen Definitionen, daher müssen Sie aus einem Schulbuch klauen:

Dreieckshöhe heißt die Senkrechte, die vom Scheitelpunkt des Dreiecks zu der Linie gezogen wird, die die gegenüberliegende Seite enthält.

Das heißt, es ist notwendig, eine Gleichung für eine Senkrechte zu erstellen, die vom Scheitelpunkt zur Seite gezogen wird. Diese Aufgabe wird in den Beispielen Nr. 6, 7 der Lektion besprochen Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene. Aus Gl. Entfernen Sie den Normalenvektor. Stellen wir die Höhengleichung aus einem Punkt und einem Richtungsvektor zusammen:

Bitte beachten Sie, dass wir die Koordinaten des Punktes nicht kennen.

Manchmal wird die Höhengleichung aus dem Verhältnis der Winkelkoeffizienten senkrechter Linien ermittelt: . In diesem Fall gilt dann: . Lassen Sie uns die Höhengleichung unter Verwendung eines Punktes und eines Winkelkoeffizienten zusammenstellen (siehe Beginn der Lektion). Gleichung einer Geraden in einer Ebene):

Die Höhenlänge kann auf zwei Arten ermittelt werden.

Es gibt einen Umweg:

a) finden – den Schnittpunkt von Höhe und Seite;
b) Ermitteln Sie die Länge des Segments mithilfe zweier bekannter Punkte.

Aber im Unterricht Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene Es wurde eine praktische Formel für den Abstand von einem Punkt zu einer Linie in Betracht gezogen. Der Punkt ist bekannt: , die Geradengleichung ist ebenfalls bekannt: , Auf diese Weise:

6) Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks. Im Weltraum wird die Fläche eines Dreiecks traditionell mit berechnet Vektorprodukt von Vektoren, aber hier erhalten wir ein Dreieck auf einer Ebene. Wir verwenden die Schulformel:
– Die Fläche eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts aus seiner Grundfläche und seiner Höhe.

In diesem Fall:

Wie finde ich den Median eines Dreiecks?

7) Lassen Sie uns eine Gleichung für den Median erstellen.

Median eines Dreiecks bezeichnet ein Segment, das die Spitze eines Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbindet.

a) Finden Sie den Punkt – die Mitte der Seite. Wir gebrauchen Formeln für die Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments. Die Koordinaten der Enden des Segments sind bekannt: , dann die Koordinaten der Mitte:

Auf diese Weise:

Lassen Sie uns die Mediangleichung Punkt für Punkt zusammenstellen :

Um die Gleichung zu überprüfen, müssen Sie die Koordinaten der Punkte darin einsetzen.

8) Finden Sie den Schnittpunkt der Höhe und des Medians. Ich denke, jeder hat bereits gelernt, wie man dieses Element des Eiskunstlaufs ausführt, ohne zu stürzen:

In der Geometrie wird häufig der Begriff „Scheitelpunkt eines Dreiecks“ berücksichtigt. Dies ist der Schnittpunkt zweier Seiten einer gegebenen Figur. Dieses Konzept taucht in fast jedem Problem auf, daher ist es sinnvoll, es genauer zu betrachten.

Bestimmen des Scheitelpunkts eines Dreiecks

In einem Dreieck gibt es drei Punkte, an denen sich die Seiten schneiden und drei Winkel bilden. Sie werden Eckpunkte genannt und die Seiten, auf denen sie ruhen, werden Seiten des Dreiecks genannt.

Reis. 1. Scheitelpunkt in einem Dreieck.

Die Eckpunkte in Dreiecken werden in Großbuchstaben angegeben. Daher werden Seiten in der Mathematik am häufigsten mit zwei lateinischen Großbuchstaben nach den Namen der Scheitelpunkte bezeichnet, die in die Seiten eintreten. Beispielsweise ist die Seite AB die Seite eines Dreiecks, das die Eckpunkte A und B verbindet.

Reis. 2. Bezeichnung der Eckpunkte in einem Dreieck.

Merkmale des Konzepts

Wenn wir ein Dreieck nehmen, das beliebig in einer Ebene ausgerichtet ist, ist es in der Praxis sehr praktisch, seine geometrischen Eigenschaften durch die Koordinaten der Eckpunkte dieser Figur auszudrücken. Somit kann der Scheitelpunkt A eines Dreiecks als Punkt mit bestimmten numerischen Parametern A(x; y) ausgedrückt werden.

Wenn Sie die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks kennen, können Sie die Schnittpunkte der Mediane, die Länge der auf eine der Seiten der Figur abgesenkten Höhe und die Fläche des Dreiecks ermitteln.

Dazu werden die Eigenschaften von im kartesischen Koordinatensystem dargestellten Vektoren genutzt, denn die Länge der Seite eines Dreiecks wird durch die Länge des Vektors mit den Punkten bestimmt, an denen sich die entsprechenden Eckpunkte dieser Figur befinden.

Den Scheitelpunkt eines Dreiecks verwenden

Für jeden Scheitelpunkt eines Dreiecks können Sie einen Winkel finden, der an den Innenwinkel der betreffenden Figur angrenzt. Dazu müssen Sie eine der Seiten des Dreiecks verlängern. Da es an jedem Scheitelpunkt zwei Seiten gibt, gibt es an jedem Scheitelpunkt zwei Außenwinkel. Ein Außenwinkel ist gleich der Summe zweier Innenwinkel eines Dreiecks, die nicht an ihn angrenzen.

Reis. 3. Eigenschaft des Außenwinkels eines Dreiecks.

Wenn Sie zwei Außenwinkel an einem Scheitelpunkt konstruieren, sind diese gleich, wie vertikale.

Was haben wir gelernt?

Eines der wichtigen Geometriekonzepte bei der Betrachtung verschiedener Dreieckstypen ist der Scheitelpunkt. Dies ist der Punkt, an dem sich die beiden Seiten des Winkels einer bestimmten geometrischen Figur schneiden. Es wird mit einem der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet. Der Scheitelpunkt eines Dreiecks kann durch x- und y-Koordinaten ausgedrückt werden. Dies hilft dabei, die Seitenlänge des Dreiecks als Länge eines Vektors zu definieren.

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KapitelV. ANALYTISCHE GEOMETRIE AUF DER EBENE

UND IM RAUM

Der Abschnitt umfasst Aufgaben, die im Thema „Analytische Geometrie in der Ebene und im Raum“ behandelt werden: Aufstellen verschiedener Geradengleichungen in der Ebene und im Raum; Bestimmen der relativen Position von Linien in einer Ebene, Geraden, einer Geraden und einer Ebene, Ebenen im Raum; Bild von Kurven zweiter Ordnung. Es ist zu beachten, dass in diesem Abschnitt Probleme ökonomischen Inhalts vorgestellt werden, deren Lösung Informationen aus der analytischen Geometrie in einer Ebene nutzt.

Bei der Lösung von Problemen der analytischen Geometrie empfiehlt es sich, Lehrbücher folgender Autoren zu verwenden: D.V. Kletenika, N. Sh. Kremer, D.T. Geschrieben von V.I. Malychina, weil Diese Literatur deckt ein breiteres Spektrum an Aufgaben ab, die zum Selbststudium zu diesem Thema genutzt werden können. Die Anwendung der analytischen Geometrie zur Lösung wirtschaftlicher Probleme wird in Bildungspublikationen von M.S. vorgestellt. Krass und V.I. Ermakowa.

Aufgabe 5.1. Gegeben sind die Koordinaten der Eckpunkte des DreiecksABC . Notwendig

a) Schreiben Sie die Gleichungen der Seiten des Dreiecks;

b) Schreiben Sie die Höhengleichung eines Dreiecks, das vom Scheitelpunkt aus gezogen wirdMIT auf die SeiteAB und finde seine Länge;

c) Schreiben Sie die Gleichung des Medians eines Dreiecks, das vom Scheitelpunkt aus gezogen wirdIN auf die SeiteWechselstrom ;

d) Finden Sie die Winkel des Dreiecks und bestimmen Sie seinen Typ (rechteckig, spitz, stumpf);

e) Finden Sie die Längen der Seiten des Dreiecks und bestimmen Sie seinen Typ (skalenförmig, gleichschenklig, gleichseitig);

e) Finden Sie die Koordinaten des Schwerpunkts (den Schnittpunkt der Mediane) des DreiecksABC ;

g) Finden Sie die Koordinaten des Orthozentrums (des Schnittpunktes der Höhen) des DreiecksABC .

Erstellen Sie für jeden der Punkte a) – c) der Lösung Zeichnungen in einem Koordinatensystem. Markieren Sie in den Bildern die Linien und Punkte, die den Punkten der Aufgabe entsprechen.

Beispiel 5.1

Gegeben sind die Koordinaten der Eckpunkte des DreiecksABC : . Es ist notwendig, a) die Gleichungen der Seiten des Dreiecks zu schreiben; b) Schreiben Sie die Höhengleichung eines Dreiecks, das vom Scheitelpunkt aus gezogen wird MIT auf die SeiteAB und finde seine Länge; c) Schreiben Sie die Gleichung des Medians eines Dreiecks, das vom Scheitelpunkt aus gezogen wirdIN auf die SeiteWechselstrom ; d) Finden Sie die Längen der Seiten des Dreiecks und bestimmen Sie seinen Typ (skalenförmig, gleichschenklig, gleichseitig); e) Finden Sie die Winkel des Dreiecks und bestimmen Sie seinen Typ (rechteckig, spitz, stumpf); e) Finden Sie die Koordinaten des Schwerpunkts (den Schnittpunkt der Mediane) des Dreiecks ABC ; g) Finden Sie die Koordinaten des Orthozentrums (des Schnittpunktes der Höhen) des DreiecksABC .

Lösung

A) Für jede Seite des Dreiecks sind die Koordinaten zweier Punkte bekannt, die auf den erforderlichen Geraden liegen, was bedeutet, dass die Gleichungen der Seiten des Dreiecks die Gleichungen von Geraden sind, die durch zwei gegebene Punkte verlaufen

Wo
Und
die entsprechenden Koordinaten der Punkte.

Wenn wir also die Koordinaten der Punkte, die den Geraden entsprechen, in die Formel (5.1) einsetzen, erhalten wir

,
,
,

von wo aus wir nach Transformationen die Gleichungen der Seiten aufschreiben

In Abb. In Abb. 7 zeigen wir die entsprechenden Seiten des Dreiecks
gerade.

Antwort:

B) Lassen
– Höhe vom Scheitelpunkt aus auf die Seite
. Weil das
geht durch einen Punkt senkrecht zum Vektor
, dann stellen wir die Gleichung der Geraden anhand der folgenden Formel zusammen

Wo
– Koordinaten des Vektors senkrecht zur gewünschten Linie,
– Koordinaten eines Punktes, der zu dieser Linie gehört. Finden Sie die Koordinaten des Vektors senkrecht zur Linie
, und in Formel (5.2) einsetzen

,
,

.

Finden Sie die Länge der Höhe CH als Abstand vom Punkt zu einer geraden Linie

Wo
– Gleichung einer Geraden
,
– Punktkoordinaten .

Im vorherigen Absatz wurde es gefunden

Wenn wir die Daten in Formel (5.3) einsetzen, erhalten wir

,

In Abb. 8 Zeichnen Sie ein Dreieck und die gefundene Höhe CH.

Antwort: .

V) Median
Dreieck
teilt die Seite
in zwei gleiche Teile, d.h. Punkt ist der Mittelpunkt des Segments
. Auf dieser Grundlage können Sie die Koordinaten ermitteln
Punkte

Wo
Und
Und , indem wir welche in die Formeln (5.4) einsetzen, erhalten wir

;
.

Mediangleichung
Dreieck
Schreiben wir es als Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte verläuft
Und
nach Formel (5.1)

,

.

Antwort:(Abb. 9).

G) Wir ermitteln die Längen der Seiten des Dreiecks als die Längen der entsprechenden Vektoren, d.h.

,
,
.

Partys
Und
Dreieck
sind gleich, was bedeutet, dass das Dreieck mit der Grundfläche gleichschenklig ist
.

Antwort: Dreieck
gleichschenklig mit Basis
;

,
.

D) Winkel eines Dreiecks
Finden wir die Winkel zwischen den Vektoren, die von den entsprechenden Eckpunkten eines gegebenen Dreiecks ausgehen, d.h.

,
,
.

Da das Dreieck gleichschenklig mit einer Basis ist
, Das

,

Wir berechnen die Winkel zwischen den Vektoren mithilfe der Formel (4.4), die Skalarprodukte von Vektoren erfordert
,
.

Lassen Sie uns die Koordinaten und Größen der Vektoren ermitteln, die zur Berechnung der Winkel erforderlich sind

,
;

,
,
.

Wenn wir die gefundenen Daten in Formel (4.4) einsetzen, erhalten wir

,

Da die Kosinuswerte aller gefundenen Winkel positiv sind, dann das Dreieck
ist spitzwinklig.

Antwort: Dreieck
spitzwinklig;

,
,
.

e) Lassen

, dann die Koordinaten
Punkte
kann mithilfe der Formeln (5.5) ermittelt werden

Wo
,
Und
– Koordinaten der jeweiligen Punkte , Und , somit,

,
.

Antwort:
– Schwerpunkt des Dreiecks
.

Und) Lassen – Orthozentrum des Dreiecks
. Finden Sie die Koordinaten des Punktes als Koordinaten des Schnittpunkts der Höhen des Dreiecks. Höhengleichung
wurde gefunden bei B). Finden wir die Höhengleichung
:

,
,

.

Weil das
, dann die Lösung des Systems

sind die Koordinaten des Punktes , wo wir finden
.

Antwort:
– Orthozentrum des Dreiecks
.

Aufgabe 5.2. Bei der Herstellung einiger Produkte fallen in einem Unternehmen Fixkosten anF V 0 reiben. pro Produktionseinheit, mit einem Umsatz in Höhe vonR 0 reiben. pro Einheit des hergestellten Produkts. Erstellen Sie eine GewinnfunktionP (Q ) (Q

Daten zum Problemzustand entsprechend den Optionen:

Beispiel 5.2

Bei der Herstellung einiger Produkte fallen in einem Unternehmen Fixkosten an
reiben. pro Monat, variable Kosten –
reiben. pro Produktionseinheit, mit einem Umsatz in Höhe von
reiben. pro Einheit des hergestellten Produkts. Erstellen Sie eine GewinnfunktionP (Q ) (Q – Menge der produzierten Produkte); Erstellen Sie sein Diagramm und bestimmen Sie den Break-Even-Punkt.

Lösung

Berechnen wir die Gesamtproduktionskosten bei Veröffentlichung Q Einheiten einiger Produkte

Wenn verkauft Q Produktionseinheiten, dann beträgt das Gesamteinkommen

Basierend auf den erhaltenen Funktionen des Gesamteinkommens und der Gesamtkosten ermitteln wir die Gewinnfunktion

,

.

Break-Even-Punkt – der Punkt, an dem der Gewinn Null ist, oder der Punkt, an dem die Gesamtkosten dem Gesamtumsatz entsprechen

,

,

Woher finden wir es?

- die Gewinnzone erreichen.

Um ein Diagramm (Abb. 10) der Gewinnfunktion zu zeichnen, müssen wir noch einen weiteren Punkt finden

Antwort: Gewinnfunktion
, die Gewinnzone erreichen
.

Aufgabe 5.3. Die Gesetze von Angebot und Nachfrage für ein bestimmtes Produkt werden jeweils durch die Gleichungen bestimmtP = P D (Q ), P = P S (Q ), WoP – Preis des Produkts,Q - Warenmenge. Es wird davon ausgegangen, dass die Nachfrage nur durch den Preis des Produkts auf dem Markt bestimmt wirdP MIT , und das Angebot gilt nur nach PreisP S von Lieferanten erhalten. Notwendig

a) den Marktgleichgewichtspunkt bestimmen;

b) der Gleichgewichtspunkt nach Einführung einer Steuer gleichT . Bestimmen Sie den Preisanstieg und den Rückgang des Gleichgewichtsverkaufsvolumens.

c) einen Zuschuss findenS , was zu einer Umsatzsteigerung von führen wirdQ 0 Einheiten relativ zum Original (definiert in Absatz a));

d) Finden Sie einen neuen Gleichgewichtspunkt und ein neues Staatseinkommen, wenn Sie eine Steuer einführen, die proportional zum Preis und gleich istN %;

e) Bestimmen Sie, wie viel Geld die Regierung für den Aufkauf des Überschusses ausgeben wird, wenn ein Mindestpreis von festgelegt wird P 0 .

Erstellen Sie für jeden Lösungspunkt eine Zeichnung im Koordinatensystem. Markieren Sie in der Abbildung die Linien und Punkte, die dem Aufgabenpunkt entsprechen.

Daten zum Problemzustand entsprechend den Optionen: