Konstruieren Sie eine Tangente m an die Tangentenkreise. Was ist eine Tangente an einen Kreis? Eigenschaften einer Tangente an einen Kreis. Gemeinsame Tangente an zwei Kreise. Verrundungen mithilfe eines Kreisbogens

Lernziele

• Lehrreich - Wiederholung, Verallgemeinerung und Prüfung von Wissen zum Thema: „Tangente an einen Kreis“; Entwicklung grundlegender Fähigkeiten.
• Entwickeln - um die Aufmerksamkeit, Ausdauer, Ausdauer, das logische Denken und die mathematische Sprache der Schüler zu entwickeln.
• Lehrreich - durch eine Lektion einen aufmerksamen Umgang miteinander zu kultivieren, die Fähigkeit zu vermitteln, Kameraden zuzuhören, sich gegenseitig zu helfen und Unabhängigkeit zu zeigen.
• Führen Sie das Konzept einer Tangente, eines Berührungspunkts, ein.
• Betrachten Sie die Eigenschaft der Tangente und ihres Vorzeichens und zeigen Sie deren Anwendung bei der Lösung von Problemen in Natur und Technik.

Lernziele

• Erlernen Sie Fähigkeiten zum Erstellen von Tangenten mithilfe eines Maßstabslineals, eines Winkelmessers und eines Zeichendreiecks.
• Überprüfen Sie die Fähigkeit der Schüler, Probleme zu lösen.
• Stellen Sie sicher, dass Sie die grundlegenden algorithmischen Techniken zum Konstruieren einer Tangente an einen Kreis beherrschen.
• Die Fähigkeit entwickeln, theoretisches Wissen zur Problemlösung anzuwenden.
• Das Denken und Sprechen der Schüler entwickeln.
• Arbeiten Sie an der Bildung von Fähigkeiten zum Beobachten, Erkennen von Mustern, Verallgemeinern und Schließen durch Analogie.
• Wecken Sie Interesse an Mathematik.

Unterrichtsplan

1. Die Entstehung des Tangentenbegriffs.
2. Die Geschichte des Auftretens der Tangente.
3. Geometrische Definitionen.
4. Grundlegende Sätze.
5. Konstruktion einer Tangente an einen Kreis.
6. Konsolidierung.

Die Entstehung des Tangentenbegriffs

Das Konzept einer Tangente ist eines der ältesten in der Mathematik. Als Tangente an einen Kreis wird in der Geometrie eine Gerade definiert, die genau einen Schnittpunkt mit diesem Kreis hat. Die Alten konnten mit Hilfe von Zirkel und Lineal Tangenten an einen Kreis und später an Kegelschnitte zeichnen: Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln.

Die Geschichte des Auftretens der Tangente

Das Interesse an Tangenten erwacht in der Neuzeit wieder. Dann wurden Kurven entdeckt, die den Wissenschaftlern der Antike nicht bekannt waren. Galilei führte beispielsweise die Zykloide ein und Descartes und Fermat bauten eine Tangente daran. Im ersten Drittel des 17. Jahrhunderts. Sie begannen zu verstehen, dass eine Tangente eine gerade Linie ist, die einer Kurve in einer kleinen Umgebung eines bestimmten Punktes „am nächsten liegt“. Man kann sich leicht eine Situation vorstellen, in der es unmöglich ist, an einem bestimmten Punkt (Abbildung) eine Tangente an eine Kurve zu konstruieren.

Geometrische Definitionen

Kreis- der Ort der Punkte der Ebene, die von einem bestimmten Punkt gleich weit entfernt sind und als Mittelpunkt bezeichnet werden.

Kreis.

Verwandte Definitionen

• Das Segment, das den Mittelpunkt des Kreises mit einem beliebigen Punkt darauf verbindet (und auch die Länge dieses Segments), wird aufgerufen Radius Kreise.
• Der durch einen Kreis begrenzte Teil der Ebene heißt um.
• Ein Liniensegment, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, heißt Akkord. Der durch den Mittelpunkt des Kreises verlaufende Akkord wird aufgerufen Durchmesser.
• Zwei beliebige, nicht zusammenfallende Punkte auf dem Kreis teilen ihn in zwei Teile. Jeder dieser Teile heißt Bogen Kreise. Das Maß eines Bogens kann das Maß seines entsprechenden Mittelpunktswinkels sein. Ein Bogen wird Halbkreis genannt, wenn das seine Enden verbindende Segment einen Durchmesser hat.
• Eine Gerade, die mit einem Kreis genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Tangente zum Kreis, und ihr gemeinsamer Punkt wird Berührungspunkt der Geraden und des Kreises genannt.
• Eine Linie, die durch zwei Punkte auf einem Kreis verläuft, heißt Sekante.
• Ein Mittelpunktswinkel in einem Kreis ist ein flacher Winkel mit einem Scheitelpunkt in der Mitte.
• Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf einem Kreis liegt und dessen Seiten den Kreis schneiden, heißt beschrifteter Winkel.
• Man nennt zwei Kreise, die einen gemeinsamen Mittelpunkt haben konzentrisch.

Tangente- eine gerade Linie, die durch einen Punkt der Kurve verläuft und an diesem Punkt bis zur ersten Ordnung mit diesem zusammenfällt.

Tangente an einen Kreis Eine Gerade, die mit einem Kreis einen gemeinsamen Punkt hat, heißt.

Eine gerade Linie, die durch einen Punkt eines Kreises in derselben Ebene senkrecht zum zu diesem Punkt gezogenen Radius verläuft, wird Tangente genannt. In diesem Fall wird dieser Punkt des Kreises als Berührungspunkt bezeichnet.

Wo in unserem Fall „a“ eine gerade Linie ist, die den gegebenen Kreis tangiert, ist der Punkt „A“ der Berührungspunkt. In diesem Fall ist a ⊥ OA (die Linie a steht senkrecht auf dem Radius OA).

Sie sagen, dass zwei Kreise berühren sich wenn sie einen einzigen gemeinsamen Punkt haben. Dieser Punkt heißt Tangentenpunkt von Kreisen. Durch einen Tangentenpunkt kann man eine Tangente an einen der Kreise ziehen, die auch tangential an den anderen Kreis ist. Die Tangentialität von Kreisen ist innerlich und äußerlich.

Eine Tangente heißt intern, wenn die Mittelpunkte der Kreise auf derselben Seite der Tangente liegen.

Eine Tangente heißt äußerlich, wenn die Mittelpunkte der Kreise auf gegenüberliegenden Seiten der Tangente liegen

a ist eine gemeinsame Tangente an zwei Kreise, K ist ein Berührungspunkt.

Grundlegende Sätze

Satzüber Tangente und Sekante

Wenn eine Tangente und eine Sekante von einem außerhalb des Kreises liegenden Punkt gezogen werden, dann ist das Quadrat der Länge der Tangente gleich dem Produkt aus der Sekante und ihrem äußeren Teil: MC 2 = MA MB.

Satz. Der zum Tangentenpunkt des Kreises gezeichnete Radius steht senkrecht zur Tangente.

Satz. Wenn der Radius senkrecht zur Geraden im Schnittpunkt des Kreises steht, dann ist diese Gerade eine Tangente an diesen Kreis.

Nachweisen.

Um diese Theoreme zu beweisen, müssen wir uns daran erinnern, was eine Senkrechte von einem Punkt zu einer Geraden ist. Dies ist die kürzeste Entfernung von diesem Punkt zu dieser Linie. Nehmen wir an, dass OA nicht senkrecht zur Tangente steht, sondern dass es eine Gerade OC senkrecht zur Tangente gibt. Die Länge des OS umfasst die Länge des Radius und ein bestimmtes Segment BC, das sicherlich größer als der Radius ist. Man kann also für jede Gerade beweisen. Wir schließen daraus, dass der Radius, der zum Berührungspunkt gezogene Radius, der kürzeste Abstand zur Tangente vom Punkt O ist, d. h. OS steht senkrecht zur Tangente. Beim Beweis des Umkehrsatzes gehen wir davon aus, dass die Tangente mit dem Kreis nur einen gemeinsamen Punkt hat. Die gegebene Gerade habe mit dem Kreis noch einen gemeinsamen Punkt B. Das Dreieck AOB ist rechtwinklig und seine beiden Seiten sind als Radien gleich, was nicht sein kann. Somit erhalten wir, dass die gegebene Gerade außer dem Punkt A keine weiteren Punkte mit dem Kreis gemeinsam hat, d. h. ist Tangente.

Satz. Die Segmente der Tangenten, die von einem Punkt zum Kreis gezogen werden, sind gleich, und die gerade Linie, die diesen Punkt mit dem Mittelpunkt des Kreises verbindet, teilt den Winkel zwischen den Tangenten in Treffer auf.

Nachweisen.

Der Beweis ist sehr einfach. Unter Verwendung des vorherigen Satzes behaupten wir, dass OB senkrecht zu AB und OS senkrecht zu AC steht. Rechtwinklige Dreiecke ABO und ACO sind in Schenkel und Hypotenuse gleich (OB = OS – Radien, AO – Gesamt). Daher sind auch ihre Schenkel AB = AC und die Winkel OAC und OAB gleich.

Satz. Der Wert des Winkels, den eine Tangente und eine Sehne mit einem gemeinsamen Punkt auf einem Kreis bilden, ist gleich der Hälfte des Winkelwerts des zwischen ihren Seiten eingeschlossenen Bogens.

Nachweisen.

Betrachten Sie den Winkel NAB, den die Tangente und die Sehne bilden. Zeichnen Sie den Durchmesser AC ein. Die Tangente verläuft senkrecht zum Durchmesser, der zum Berührungspunkt gezogen wird, daher gilt ∠CAN=90 o. Wenn wir den Satz kennen, sehen wir, dass der Winkel Alpha (a) gleich der halben Winkelgröße des Bogens BC oder der Hälfte des Winkels BOC ist. ∠NAB=90 o -a, daher erhalten wir ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB oder = der halbe Winkelwert des Bogens BA. h.t.d.

Satz. Wenn eine Tangente und eine Sekante von einem Punkt zu einem Kreis gezogen werden, dann ist das Quadrat des Tangentensegments vom gegebenen Punkt zum Tangentialpunkt gleich dem Produkt der Längen der Segmente der Sekante vom gegebenen Punkt zeigen Sie auf die Schnittpunkte mit dem Kreis.

Nachweisen.

In der Abbildung sieht dieser Satz so aus: MA 2 = MV * MS. Lass es uns beweisen. Nach dem vorherigen Satz ist der Winkel MAC gleich der halben Winkelgröße des Bogens AC, aber auch der Winkel ABC ist gleich der halben Winkelgröße des Bogens AC, nach dem Satz sind diese Winkel also gleich gegenseitig. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Dreiecke AMC und VMA am Scheitelpunkt M einen gemeinsamen Winkel haben, geben wir die Ähnlichkeit dieser Dreiecke in zwei Winkeln an (das zweite Zeichen). Aus der Ähnlichkeit ergibt sich: MA / MB = MC / MA, woraus wir MA 2 = MB * MC erhalten

Konstruktion von Tangenten an einen Kreis

Versuchen wir nun, es herauszufinden und herauszufinden, was getan werden muss, um eine Tangente an einen Kreis zu bilden.

In diesem Fall sind in der Aufgabe in der Regel ein Kreis und ein Punkt vorgegeben. Und Sie und ich müssen eine Tangente an den Kreis bilden, damit diese Tangente durch einen bestimmten Punkt verläuft.

Für den Fall, dass wir die Lage des Punktes nicht kennen, betrachten wir die Fälle der möglichen Lage der Punkte.

Erstens kann der Punkt innerhalb eines Kreises liegen, der durch den gegebenen Kreis begrenzt wird. In diesem Fall ist es nicht möglich, durch diesen Kreis eine Tangente zu konstruieren.

Im zweiten Fall liegt der Punkt auf einem Kreis, und wir können eine Tangente bilden, indem wir eine senkrechte Linie zum Radius zeichnen, die zu dem uns bekannten Punkt gezogen wird.

Nehmen wir drittens an, dass der Punkt außerhalb des Kreises liegt, der durch einen Kreis begrenzt wird. In diesem Fall muss vor der Konstruktion der Tangente ein Punkt auf dem Kreis gefunden werden, durch den die Tangente verlaufen muss.

Beim ersten Fall hoffe ich, dass Sie alles verstehen, aber um die zweite Option zu lösen, müssen wir ein Segment auf der geraden Linie bauen, auf der der Radius liegt. Dieses Segment muss gleich dem Radius und dem Segment sein, das auf dem Kreis auf der gegenüberliegenden Seite liegt.

Hier sehen wir, dass ein Punkt auf einem Kreis der Mittelpunkt eines Segments ist, das dem Doppelten des Radius entspricht. Der nächste Schritt besteht darin, zwei Kreise zu zeichnen. Die Radien dieser Kreise entsprechen dem Doppelten des Radius des ursprünglichen Kreises, wobei die Mittelpunkte an den Enden des Segments liegen, was dem Doppelten des Radius entspricht. Jetzt können wir eine Gerade durch jeden Schnittpunkt dieser Kreise mit einem gegebenen Punkt ziehen. Eine solche Gerade ist der Median senkrecht zum Radius des Kreises, der zu Beginn gezeichnet wurde. Wir sehen also, dass diese Linie senkrecht zum Kreis steht, und daraus folgt, dass sie den Kreis tangiert.

Bei der dritten Möglichkeit haben wir einen außerhalb des Kreises liegenden Punkt, der von einem Kreis begrenzt wird. In diesem Fall konstruieren wir zunächst ein Segment, das den Mittelpunkt des angegebenen Kreises und den angegebenen Punkt verbindet. Und dann finden wir seine Mitte. Dafür müssen Sie jedoch eine Mittelsenkrechte aufbauen. Und Sie wissen bereits, wie man es baut. Dann müssen wir einen Kreis zeichnen, oder zumindest einen Teil davon. Jetzt sehen wir, dass der Schnittpunkt des gegebenen Kreises und des neu konstruierten Kreises der Punkt ist, durch den die Tangente verläuft. Es durchläuft auch den Punkt, der durch die Problembedingung festgelegt wurde. Und schließlich können Sie durch die beiden Punkte, die Sie bereits kennen, eine Tangente zeichnen.

Und schließlich, um zu beweisen, dass die gerade Linie, die wir konstruiert haben, eine Tangente ist, müssen Sie auf den Winkel achten, der durch den Radius des Kreises und das durch die Bedingung bekannte Segment gebildet wird und den Schnittpunkt der verbindet Kreise mit dem Punkt, der durch die Bedingung des Problems gegeben ist. Nun sehen wir, dass der resultierende Winkel auf einem Halbkreis ruht. Und daraus folgt, dass dieser Winkel richtig ist. Daher steht der Radius senkrecht zur neu konstruierten Linie, und diese Linie ist die Tangente.

Konstruktion einer Tangente.

Die Konstruktion von Tangenten ist eines der Probleme, die zur Geburt der Differentialrechnung führten. Das erste veröffentlichte Werk zur Differentialrechnung von Leibniz trug den Titel „Eine neue Methode der Maxima und Minima sowie der Tangenten, für die weder gebrochene noch irrationale Größen ein Hindernis darstellen, und eine besondere Art der Analysis dafür.“

Geometrisches Wissen der alten Ägypter.

Wenn wir den sehr bescheidenen Beitrag der alten Bewohner des Tals zwischen Tigris und Euphrat sowie Kleinasiens nicht berücksichtigen, dann entstand die Geometrie im alten Ägypten vor 1700 v. Chr. Während der tropischen Regenzeit füllte der Nil seinen Wasservorrat wieder auf und überschwemmte ihn. Das Wasser bedeckte Teile des Kulturlandes, und aus steuerlichen Gründen musste festgestellt werden, wie viel Land verloren ging. Als Messwerkzeug verwendeten Vermesser ein gespanntes Seil. Ein weiterer Anreiz für die Anhäufung geometrischen Wissens durch die Ägypter waren ihre Aktivitäten wie der Bau von Pyramiden und bildende Künste.

Der Grad der geometrischen Kenntnisse lässt sich anhand antiker Manuskripte beurteilen, die sich speziell der Mathematik widmen und so etwas wie Lehrbücher bzw. Problembücher sind, in denen Lösungen für verschiedene praktische Probleme gegeben werden.

Das älteste mathematische Manuskript der Ägypter wurde zwischen 1800 und 1600 von einem bestimmten Studenten kopiert. Chr. aus einem älteren Text. Der Papyrus wurde vom russischen Ägyptologen Wladimir Semenowitsch Golenischtschow gefunden. Es wird in Moskau aufbewahrt - im nach A.S. benannten Museum der Schönen Künste. Puschkin und wird Moskauer Papyrus genannt.

Ein weiterer mathematischer Papyrus, der zwei- oder dreihundert Jahre später als Moskau geschrieben wurde, wird in London aufbewahrt. Es heißt: „Anleitung, wie man Wissen über alle dunklen Dinge erlangt, alle Geheimnisse, die die Dinge in sich verbergen ... Den alten Denkmälern zufolge hat der Schreiber Ahmes dies geschrieben.“ und kaufte diesen Papyrus in Ägypten. Der Papyrus von Ahmes bietet die Lösung von 84 Problemen für verschiedene Berechnungen, die in der Praxis benötigt werden können.

Transekte, Tangenten – all das war im Geometrieunterricht hunderte Male zu hören. Aber der Schulabschluss ist vorbei, Jahre vergehen und all dieses Wissen ist vergessen. Was ist zu beachten?

Wesen

Der Begriff „Tangente an einen Kreis“ ist wahrscheinlich jedem bekannt. Es ist jedoch unwahrscheinlich, dass jeder seine Definition schnell formulieren kann. Eine Tangente hingegen ist eine gerade Linie, die in derselben Ebene mit einem Kreis liegt, der sie nur in einem Punkt schneidet. Es mag zwar eine große Vielfalt davon geben, aber sie alle haben die gleichen Eigenschaften, auf die weiter unten eingegangen wird. Wie Sie vielleicht erraten haben, ist der Kontaktpunkt der Ort, an dem sich Kreis und Linie schneiden. In jedem Fall ist es eins, aber wenn es mehr davon gibt, dann wird es eine Sekante sein.

Entdeckungs- und Studiengeschichte

Das Konzept der Tangente tauchte bereits in der Antike auf. Die Konstruktion dieser Geraden, zunächst zu einem Kreis, dann zu Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln mit Hilfe von Lineal und Zirkel, erfolgte bereits in den Anfangsstadien der Entwicklung der Geometrie. Natürlich hat die Geschichte den Namen des Entdeckers nicht bewahrt, aber es ist offensichtlich, dass sich die Menschen schon damals der Eigenschaften einer Tangente an einen Kreis durchaus bewusst waren.

In der Neuzeit flammte das Interesse an diesem Phänomen wieder auf – eine neue Runde der Erforschung dieses Konzepts begann, verbunden mit der Entdeckung neuer Kurven. Galileo führte also das Konzept einer Zykloide ein und Fermat und Descartes bauten eine Tangente dazu. Was die Kreise betrifft, so scheint es, dass es für die Alten in diesem Bereich keine Geheimnisse mehr gibt.

Eigenschaften

Der zum Schnittpunkt gezeichnete Radius wird sein

die wichtigste, aber nicht die einzige Eigenschaft, die eine Tangente an einen Kreis hat. Ein weiteres wichtiges Merkmal sind bereits zwei gerade Linien. Durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkt können also zwei Tangenten gezogen werden, deren Segmente gleich sind. Es gibt einen weiteren Satz zu diesem Thema, der jedoch selten im Rahmen eines Standardschulkurses behandelt wird, obwohl er für die Lösung einiger Probleme äußerst praktisch ist. Es hört sich so an. Von einem Punkt außerhalb des Kreises werden eine Tangente und eine Sekante dorthin gezogen. Es werden die Segmente AB, AC und AD gebildet. A ist der Schnittpunkt der Linien, B ist der Berührungspunkt, C und D sind die Schnittpunkte. In diesem Fall gilt die folgende Gleichung: Die Länge der Tangente an den Kreis im Quadrat ist gleich dem Produkt der Segmente AC und AD.

Daraus ergibt sich eine wichtige Konsequenz. Für jeden Punkt des Kreises können Sie eine Tangente bilden, aber nur eine. Der Beweis dafür ist ganz einfach: Wenn wir theoretisch eine Senkrechte vom Radius darauf fallen lassen, stellen wir fest, dass das gebildete Dreieck nicht existieren kann. Und das bedeutet, dass die Tangente eindeutig ist.

Gebäude

Unter anderen Aufgaben in der Geometrie gibt es in der Regel keine Sonderkategorie

beliebt bei Schülern und Studenten. Um Aufgaben aus dieser Kategorie zu lösen, benötigen Sie lediglich einen Zirkel und ein Lineal. Es handelt sich um Bauaufgaben. Es gibt auch Methoden zur Konstruktion einer Tangente.

Gegeben sei also ein Kreis und ein Punkt, der außerhalb seiner Grenzen liegt. Und es ist notwendig, eine Tangente durch sie zu ziehen. Wie es geht? Zunächst müssen Sie ein Segment zwischen dem Mittelpunkt des Kreises O und einem bestimmten Punkt zeichnen. Teilen Sie es dann mit einem Zirkel in zwei Hälften. Dazu müssen Sie den Radius einstellen – etwas mehr als die Hälfte des Abstands zwischen dem Mittelpunkt des ursprünglichen Kreises und dem angegebenen Punkt. Danach müssen Sie zwei sich kreuzende Bögen erstellen. Darüber hinaus muss der Radius des Kompasses nicht geändert werden und der Mittelpunkt jedes Teils des Kreises ist der Anfangspunkt bzw. O. Die Schnittpunkte der Bögen müssen verbunden werden, wodurch das Segment in zwei Hälften geteilt wird. Stellen Sie auf dem Kompass einen Radius ein, der dieser Entfernung entspricht. Zeichnen Sie als Nächstes einen weiteren Kreis mit der Mitte am Schnittpunkt. Sowohl der Anfangspunkt als auch O liegen darauf. In diesem Fall gibt es zwei weitere Schnittpunkte mit dem in der Aufgabe angegebenen Kreis. Sie sind die Berührungspunkte für den ursprünglich angegebenen Punkt.

Es war die Konstruktion von Tangenten an den Kreis, die zur Geburt führte

Differentialrechnung. Die erste Arbeit zu diesem Thema wurde vom berühmten deutschen Mathematiker Leibniz veröffentlicht. Er sah die Möglichkeit vor, Maxima, Minima und Tangenten unabhängig von gebrochenen und irrationalen Werten zu finden. Nun, mittlerweile wird es auch für viele andere Berechnungen verwendet.

Darüber hinaus hängt die Tangente an den Kreis mit der geometrischen Bedeutung der Tangente zusammen. Daher kommt auch sein Name. Tangens bedeutet aus dem Lateinischen übersetzt „Tangente“. Somit ist dieses Konzept nicht nur mit Geometrie und Differentialrechnung, sondern auch mit Trigonometrie verbunden.

Zwei Kreise

Eine Tangente betrifft nicht immer nur eine Figur. Wenn eine große Anzahl gerader Linien zu einem Kreis gezeichnet werden kann, warum dann nicht auch umgekehrt? Dürfen. In diesem Fall ist die Aufgabe jedoch sehr kompliziert, da die Tangente an zwei Kreise möglicherweise durch keinen Punkt verläuft und die relative Position aller dieser Figuren sehr unterschiedlich sein kann

anders.

Arten und Sorten

Wenn es um zwei Kreise und eine oder mehrere Geraden geht, ist, auch wenn bekannt ist, dass es sich um Tangenten handelt, nicht sofort klar, wie alle diese Figuren zueinander stehen. Darauf aufbauend gibt es mehrere Varianten. Kreise können also einen oder zwei gemeinsame Punkte haben oder auch gar nicht. Im ersten Fall überschneiden sie sich, im zweiten berühren sie sich. Und hier gibt es zwei Sorten. Ist ein Kreis sozusagen in den zweiten eingebettet, so nennt man die Berührung intern, wenn nicht, dann extern. Sie können die relative Position der Figuren nicht nur anhand der Zeichnung verstehen, sondern auch anhand der Informationen über die Summe ihrer Radien und den Abstand zwischen ihren Mittelpunkten. Sind diese beiden Größen gleich, dann berühren sich die Kreise. Wenn der erste größer ist, schneiden sie sich, und wenn kleiner, dann haben sie keine gemeinsamen Punkte.

Das Gleiche gilt für gerade Linien. Für zwei beliebige Kreise, die keine gemeinsamen Punkte haben, ist dies möglich

Bilden Sie vier Tangenten. Zwei davon kreuzen sich zwischen den Figuren, sie werden als intern bezeichnet. Ein paar andere sind extern.

Wenn es sich um Kreise handelt, die einen gemeinsamen Punkt haben, wird die Aufgabe erheblich vereinfacht. Tatsache ist, dass sie in diesem Fall bei jeder gegenseitigen Vereinbarung nur eine Tangente haben. Und es wird durch den Punkt ihrer Kreuzung gehen. Der Bau wird also keine Schwierigkeiten bereiten.

Wenn die Figuren zwei Schnittpunkte haben, kann für sie eine Gerade konstruiert werden, die den Kreis tangiert, sowohl den einen als auch den zweiten, aber nur den äußeren. Die Lösung für dieses Problem ähnelt der, die im Folgenden besprochen wird.

Probleme lösen

Sowohl innere als auch äußere Tangenten an zwei Kreise sind nicht so einfach zu konstruieren, obwohl dieses Problem gelöst werden kann. Tatsache ist, dass hierfür eine Hilfsfigur verwendet wird. Überlegen Sie sich diese Methode also selbst

ziemlich problematisch. Gegeben seien also zwei Kreise mit unterschiedlichen Radien und Mittelpunkten O1 und O2. Für sie müssen Sie zwei Tangentenpaare erstellen.

Zunächst müssen Sie nahe der Mitte des größeren Kreises einen Hilfskreis bauen. In diesem Fall muss die Differenz der Radien der beiden Anfangsfiguren auf dem Kompass ermittelt werden. Tangenten an den Hilfskreis werden vom Mittelpunkt des kleineren Kreises aus gebildet. Danach werden von O1 und O2 Senkrechte zu diesen Linien gezogen, bis sie die ursprünglichen Figuren schneiden. Wie aus der Haupteigenschaft der Tangente hervorgeht, werden die gewünschten Punkte auf beiden Kreisen gefunden. Das Problem ist zumindest im ersten Teil gelöst.

Um die internen Tangenten zu konstruieren, muss man praktisch lösen

eine ähnliche Aufgabe. Auch hier wird eine Hilfsfigur benötigt, deren Radius dieses Mal jedoch der Summe der ursprünglichen entspricht. Vom Mittelpunkt eines der vorgegebenen Kreise werden Tangenten daran konstruiert. Der weitere Lösungsverlauf lässt sich anhand des vorherigen Beispiels nachvollziehen.

Eine Tangente an einen oder sogar zwei oder mehrere Kreise ist keine so schwierige Aufgabe. Natürlich lösen Mathematiker solche Probleme schon lange nicht mehr manuell und vertrauen die Berechnungen speziellen Programmen an. Aber denken Sie nicht, dass es jetzt nicht notwendig ist, es selbst zu tun, denn um eine Aufgabe für einen Computer richtig zu formulieren, muss man viel tun und verstehen. Leider besteht die Befürchtung, dass Konstruktionsaufgaben nach dem endgültigen Übergang zur Testform der Wissenskontrolle den Studierenden immer mehr Schwierigkeiten bereiten werden.

Das Finden gemeinsamer Tangenten für mehrere Kreise ist nicht immer möglich, selbst wenn sie in derselben Ebene liegen. In manchen Fällen ist es jedoch möglich, eine solche Linie zu finden.

Beispiele aus dem wirklichen Leben

Eine gemeinsame Tangente an zwei Kreise ist in der Praxis häufig anzutreffen, auch wenn dies nicht immer auffällt. Förderbänder, Blocksysteme, Riemenscheiben-Antriebsriemen, Fadenspannung in einer Nähmaschine und sogar nur eine Fahrradkette – all das sind Beispiele aus dem Leben. Denken Sie also nicht, dass geometrische Probleme nur in der Theorie bleiben: Im Ingenieurwesen, in der Physik, im Bauwesen und in vielen anderen Bereichen finden sie praktische Anwendung.

Geometrische Konstruktionen

Konstruktion von Tangenten an Kreise

Betrachten Sie das Problem, das der Lösung anderer Probleme beim Zeichnen von Tangenten an Kreisen zugrunde liegt.

Lassen Sie vom PunktA(Abb. 1) Es ist notwendig, Tangenten an einen Kreis mit Mittelpunkt in einem Punkt zu zeichnenUM.

Um Tangenten genau zu konstruieren, müssen die Tangentenpunkte der Linien an den Kreis bestimmt werden. Für diesen PunktAsollte mit einem Punkt verbunden werdenUMund teilen Sie das SegmentOAentzwei. Von der Mitte dieses Segments - PunkteMIT, wie man einen Kreis vom Mittelpunkt aus beschreibt, dessen Durchmesser gleich dem Segment sein sollteOA. PunkteZU1 UndZU2 Schnittpunkte von Kreisen mit Mittelpunkt in einem PunktMITund an einem Punkt zentriertUMsind die Berührungspunkte der LinienAK1 UndAK2 zu einem bestimmten Kreis.

Die Richtigkeit der Lösung des Problems wird dadurch bestätigt, dass der Radius des zum Berührungspunkt gezeichneten Kreises senkrecht zur Tangente an den Kreis steht. EckenOK1 AUndOK2 Asind gerade, weil sie vom Durchmesser abhängenJSCKreis mit Mittelpunkt in einem PunktMIT.

Reis. 1.

Bei der Konstruktion von Tangenten an zwei Kreise unterscheidet man TangenteninländischUndextern. Wenn die Mittelpunkte der gegebenen Kreise auf einer Seite der Tangente liegen, gilt sie als außen, und wenn die Mittelpunkte der Kreise auf gegenüberliegenden Seiten der Tangente liegen, gilt sie als innen.

UM1 UndUM2 R1 UndR2 . Es ist erforderlich, äußere Tangenten an gegebene Kreise zu zeichnen.

Für eine präzise Konstruktion ist es notwendig, die Berührungspunkte zwischen den Linien und vorgegebenen Kreisen zu bestimmen. Wenn die Radien von Kreisen mit MittelpunktenUM1 UndUM2 Beginnen Sie sukzessive um denselben Wert zu verringern, dann können Sie eine Reihe konzentrischer Kreise mit kleineren Durchmessern erhalten. Darüber hinaus verlaufen bei jeder Verringerung des Radius die Tangenten an die kleineren Kreise parallel zu den gewünschten. Nachdem Sie beide Radien um die Größe des kleineren Radius reduziert habenR2 Kreis mit MittelpunktUM2 wird zu einem Punkt und einem Kreis mit einem MittelpunktUM1 wird in einen konzentrischen Kreis mit einem Radius umgewandeltR3 , gleich der RadiendifferenzR1 UndR2 .

Verwenden Sie die zuvor beschriebene Methode ab diesem PunktUM2 Zeichnen Sie äußere Tangenten an einen Kreis mit RadiusR3 , verbinde die PunkteUM1 UndUM2 , geteilt durch einen PunktMITLiniensegmentUM1 UM2 halbieren und einen Radius zeichnenALSO1 ein Bogen, dessen Schnittpunkt mit einem gegebenen Kreis die Berührungspunkte der Linien bestimmtUM2 ZU1 UndUM2 ZU2 .

PunktA1 UndA2 der Kontakt der gewünschten Linien mit einem größeren Kreis liegt auf der Fortsetzung der LinienUM1 ZU1 UndUM1 ZU2 . PunkteIN1 UndIN2 Tangenten von Linien mit einem kleineren Kreis stehen senkrecht zur BasisUM2 bzw. zu den HilfstangentenUM2 ZU1 UndUM2 ZU2 . Mit Kontaktpunkten können Sie die gewünschten Linien ziehenA1 IN1 UndA2 IN2 .

Reis. 2.

Es seien zwei Kreise mit Mittelpunkten an den PunktenUM1 UndUM2 (Abb. 2), jeweils mit RadienR1 UndR2 . Es ist erforderlich, innere Tangenten an gegebene Kreise zu zeichnen.

Um die Berührungspunkte zwischen Linien und Kreisen zu bestimmen, verwenden wir ähnliche Argumente wie bei der Lösung des vorherigen Problems. Wenn wir den Radius verringernR2 auf Null, dann der Kreis mit dem MittelpunktUM2 auf den Punkt kommen. Um jedoch die Parallelität der Hilfstangenten mit den erforderlichen zu wahren, wird in diesem Fall der Radius verwendetR1 sollte vergrößert werdenR2 und zeichne einen Kreis mit einem RadiusR3 , gleich der Summe der RadienR1 UndR2 .

Von einem PunktUM2 Zeichne Tangenten an einen Kreis mit RadiusR3 , für die wir die Punkte verbindenUM1 UndUM2 , geteilt durch einen PunktMITLiniensegmentUM1 UM2 halbieren und einen Kreisbogen zeichnen, der an einem Punkt zentriert istMITund RadiusALSO1 . Schnittpunkt eines Bogens mit einem Kreis mit RadiusR3 bestimmt die Position der PunkteZU1 UndZU2 Tangentialität von HilfslinienUM2 ZU1 UndUM2 ZU2 .

PunktA1 UndA2 R1 liegt im Schnittpunkt dieses Kreises mit dem SegmentUM1 ZU1 UndUM1 ZU2 . Um Punkte zu definierenIN 1UndUM 2Tangente der gewünschten Linien mit einem Kreis mit RadiusR2 folgt aus dem PunktO2Senkrechte zu Hilfslinien aufstellenO2K1UndO2K2bis es einen gegebenen Kreis schneidet. Nachdem wir die Tangentenpunkte der gewünschten Linien und gegebene Kreise haben, zeichnen wir die LinienA1B1UndA2B2.

Reis. 3.

Eine gerade Linie, die einen Kreis tangiert, bildet mit dem Radius, der zum Berührungspunkt gezogen wird, einen Winkel von 90 . Um also an einem bestimmten Punkt eine gerade Linie zu konstruieren, die einen Kreis tangiert, ist es notwendig, die erforderliche Linie senkrecht zum Radius zu zeichnen.

Betrachten wir einige Beispiele für die Konstruktion von Tangenten und Konjugationen.

BEISPIEL 1

Zeichnen Sie durch Punkt A eine Tangente an einen Kreis mit Mittelpunkt O 1

Um das Problem zu lösen, führen wir die folgenden Konstruktionen durch:

1) verbinden Sie die Punkte O 1 und A mit einer Geraden;

2) Zeichnen Sie vom Punkt O 2 – der Mitte des Segments O 1 A – einen Hilfskreis mit dem Radius O 2 A, bis er einen gegebenen Kreis am Punkt B schneidet.

Letzterer ist der Berührungspunkt, da der Winkel ABO 1 gleich 90  ist (er basiert auf

auf dem Durchmesser von AO 1), daher ist der Radius O 1 B die gemeinsame Normale der Geraden und des Kreisbogens im Punkt B.

BEISPIEL 2

Konstruieren Sie eine gemeinsame Tangente an zwei Kreise mit den Radien R 1 und R 2 (Abb. 3.4).

Um das Problem zu lösen, führen wir die folgenden Konstruktionen durch:

1) Von der Mitte O 1 des großen Kreises zeichnen wir einen Hilfskreis mit einem Radius gleich der Differenz zwischen R 1 und R 2, d. h. R 1 - R 2;

2) Zu diesem Kreis zeichnen wir vom Punkt O 2 aus eine Tangente O 2 K, wie es in Beispiel 1 gemacht wurde;

3) Wir setzen die Gerade O 1 K fort, bis sie einen gegebenen großen Kreis schneidet, wir erhalten Punkt B, der den Kontaktpunkt darstellt. Von Punkt O 2 zeichnen wir eine gerade Linie parallel zu O 1 B, bis die Linie einen Kreis im Punkt A schneidet, dem zweiten Berührungspunkt der Tangente AB.

Reis. 3.3. Konstruktion einer Tangente

Linie zum Kreis

Reis. 3.4. Konstruktion einer Tangente

zu zwei Kreisen

3.3. Konjugation zweier Zeilen

BEISPIEL 3

Konjugieren Sie eine Konjugation zweier Schnittlinien m und n mit einem Radius

Konjugation R c (Abb. 3.5).

Reis. 3.5. Konstruktion einer Konjugation zweier sich schneidender Geraden

Lassen Sie die Senkrechten zu den angegebenen Geraden fallen und erhalten Sie die Konjugationspunkte A und B; Von Punkt O mit Radius R c zeichnen wir einen Konjugationsbogen zwischen den Punkten A und B.

3.4. Konjugation einer Linie mit einem Kreis (innen und außen)

BEISPIEL 4

Konstruieren Sie äußere und innere Konjugationen eines Kreises mit dem Radius R c

mit dem Mittelpunkt O 1 mit einer geraden Linie t Bogen eines gegebenen Konjugationsradius.

D

Reis. 3.6. Aufbau einer externen

Konjugation eines Kreises und einer Geraden

Ministerium für Bildung und Wissenschaft der Russischen Föderation

Städtische Haushaltsbildungseinrichtung

Stadt Nowosibirsk „Gymnasium Nr. 4“

Abschnitt: Mathematik

FORSCHUNG

Zu diesem Thema:

EIGENSCHAFTEN ZWEI BERÜHRENDER KREISE

Schüler der 10. Klasse:

Khaziakhmetov Radik Ildarovich

Zubarev Evgeny Vladimirovich

Aufsicht:

LL. Barinova

Mathematiklehrer

Höchste Qualifikationskategorie

§ 1.Einleitung………..………………………….……………………………………………………3

§ 1.1 Gegenseitige Anordnung zweier Kreise………………………………………...………3

§ 2 Eigenschaften und deren Nachweise………………………………………..…………….....….…4

§ 2.1 Eigentum 1………………...……………………………………..…………………...….…4

§ 2.2 Eigentum 2………………………………………………………………………...…………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

§ 2.3 Eigentum 3…………………………………………………..…………………...…………6

§ 2.4 Eigentum 4…………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.5 Eigentum 5…………………………………..……………………………………...………8

§ 2.6 Eigentum 6…………………………………………………………………………………………9

§ 3 Aufgaben…………………………………………………..…………………...……………..…11

Referenzen……………………………………………………………….………….13

§ 1. Einführung

Viele Probleme mit zwei Tangentenkreisen können prägnanter und einfacher gelöst werden, wenn man einige der Eigenschaften kennt, die später vorgestellt werden.

Gegenseitige Anordnung zweier Kreise

Zunächst diskutieren wir die mögliche gegenseitige Anordnung der beiden Kreise. Es kann 4 verschiedene Fälle geben.

1. Kreise dürfen sich nicht schneiden.

2. Kreuz.

3. Berühren Sie an einer Stelle außen.

4. Berühren Sie eine Stelle im Inneren.

§ 2. Eigenschaften und ihre Beweise

Gehen wir direkt zum Beweis der Eigenschaften über.

§ 2.1 Eigentum 1

Die Strecken zwischen den Schnittpunkten der Tangenten mit den Kreisen sind einander gleich und entsprechen zwei geometrischen Mittelradien dieser Kreise.

Nachweisen 1. O 1 A 1 und O 2 V 1 - Radien, die zu den Kontaktpunkten gezogen werden.

2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1, O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (gemäß Absatz 1)

1. ▲O 1 O 2 D - rechteckig, weil O 2 D ┴ O 2 V 1
2. O 1 O 2 \u003d R + r, O 2 D \u003d R - r

1. Nach dem Satz des Pythagoras А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (ähnlich bewiesen)

1) Zeichnen Sie die Radien zu den Schnittpunkten der Tangenten mit den Kreisen.

2) Diese Radien stehen senkrecht zu den Tangenten und parallel zueinander.

3) Lassen Sie die Senkrechte vom Mittelpunkt des kleineren Kreises zum Radius des größeren Kreises fallen.

4) Die Hypotenuse des resultierenden rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Radien der Kreise. Das Bein entspricht ihrer Differenz.

5) Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir die gewünschte Beziehung.

§ 2.2 Eigentum 2

Die Schnittpunkte der Linie, die den Tangentenpunkt der Kreise schneidet und in keinem von ihnen liegt, mit Tangenten halbieren die Segmente der äußeren Tangenten, die durch die Tangentenpunkte begrenzt werden, in Teile, von denen jeder gleich ist geometrisches Mittel der Radien dieser Kreise.

Nachweisen 1.MS= MA 1 (als Tangentensegmente)

2.MS = MV 1 (als Tangentensegmente)

3.A 1 M \u003d MV 1 \u003d √Rr, A 2 N \u003d NB 2 \u003d √Rr (gemäß Absatz 1 und 2 )

Im Beweis verwendete Aussagen Die Tangentensegmente, die von einem Punkt zu einem Kreis gezogen werden, sind gleich. Wir verwenden diese Eigenschaft für beide gegebenen Kreise.

§ 2.3 Eigentum 3

Die Länge des Abschnitts der inneren Tangente, der zwischen den äußeren Tangenten eingeschlossen ist, ist gleich der Länge des Abschnitts der äußeren Tangente zwischen den Berührungspunkten und entspricht zwei geometrischen Mittelradien dieser Kreise.

Nachweisen Diese Schlussfolgerung ergibt sich aus der vorherigen Eigenschaft.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Eigentum 4

Das Dreieck, das durch die Mittelpunkte der Tangentialkreise und den Mittelpunkt des Tangentensegments zwischen den an die Tangentenpunkte gezogenen Radien gebildet wird, ist rechteckig. Das Verhältnis seiner Schenkel ist gleich dem Quotienten der Wurzeln der Radien dieser Kreise.

Nachweisen 1.MO 1 ist die Winkelhalbierende des Winkels A 1 MC, MO 2 ist die Winkelhalbierende des Winkels B 1 MC, weil Der Mittelpunkt eines in einen Winkel eingeschriebenen Kreises liegt auf der Winkelhalbierenden dieses Winkels.

2. Gemäß Absatz 1 РО 1 МS + РСМО 2 = 0,5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.РО 1 MO 2 - gerade. MS - die Höhe des Dreiecks O 1 MO 2, weil die Tangente MN steht senkrecht auf den an den Berührungspunkten gezogenen Radien → die Dreiecke О 1 МС und MO 2 С sind ähnlich.

4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr \u003d √r / R (durch Ähnlichkeit)

Im Beweis verwendete Aussagen 1) Der Mittelpunkt eines in einen Winkel eingeschriebenen Kreises liegt auf der Winkelhalbierenden dieses Winkels. Die Schenkel eines Dreiecks sind die Winkelhalbierenden.

2) Aus der Tatsache, dass die auf diese Weise gebildeten Winkel gleich sind, erhalten wir, dass der gesuchte Winkel ein rechter Winkel ist. Wir kommen zu dem Schluss, dass dieses Dreieck tatsächlich ein rechtwinkliges Dreieck ist.

3) Wir beweisen die Ähnlichkeit der Dreiecke, in die die Höhe (da die Tangente senkrecht zu den an den Berührungspunkten gezeichneten Radien steht) das rechtwinklige Dreieck teilt, und durch Ähnlichkeit erhalten wir das gewünschte Verhältnis.

§ 2.5 Eigentum 5

Das Dreieck, das durch den Berührungspunkt der Kreise untereinander und die Schnittpunkte der Kreise mit der Tangente gebildet wird, ist ein rechtwinkliges Dreieck. Das Verhältnis seiner Schenkel ist gleich dem Quotienten der Wurzeln der Radien dieser Kreise.

Nachweisen

1. ▲А 1 МС und ▲СМВ 1 sind gleichschenklig → РМА 1 С = РМСА 1 = α, РМВ 1 С = РМСВ 1 = β.

1. 2α + 2β + РА 1 MS + РСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (РА 1 МS + РСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Aber RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - direkt → РВ 1 CO 2 = РSV 1 О 2 = p/2 - β = α

1. ▲A 1 MS und ▲CO 2 B 1 sind ähnlich → A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Im Beweis verwendete Aussagen 1) Wir malen die Summe der Winkel von Dreiecken und nutzen dabei die Tatsache, dass sie gleichschenklig sind. Die gleichschenkligen Dreiecke werden mit der Eigenschaft der Tangentengleichheit bewiesen.

2) Nachdem wir die Winkelsumme auf diese Weise gezeichnet haben, erhalten wir, dass es im betrachteten Dreieck einen rechten Winkel gibt, es also rechteckig ist. Der erste Teil der Aussage ist bewiesen.

3) Durch die Ähnlichkeit von Dreiecken (bei der Begründung verwenden wir das Ähnlichkeitszeichen in zwei Winkeln) ermitteln wir das Verhältnis der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks.

§ 2.6 Eigentum 6

Das aus den Schnittpunkten der Kreise mit der Tangente gebildete Viereck ist ein Trapez, in das der Kreis eingeschrieben werden kann.

Nachweisen 1.▲A 1 RA 2 und ▲B 1 RV 2 sind gleichschenklig, weil A 1 P \u003d RA 2 und B 1 P \u003d PB 2 als Tangentensegmente → ▲A 1 RA 2 und ▲B 1 PB 2 sind ähnlich.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, weil die entsprechenden Winkel, die am Schnittpunkt der Sekante A 1 B 1 gebildet werden, sind gleich.

1. MN - Mittellinie nach Eigenschaft 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2 √ Rr + 2 √ Rr = 4 √ Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → in einem Trapez A 2 A 1 B 1 B 2 die Summe der Die Grundflächen sind gleich der Summe der Seiten, und dies ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz eines eingeschriebenen Kreises.

Im Beweis verwendete Aussagen 1) Lassen Sie uns noch einmal die Eigenschaft von Tangentensegmenten verwenden. Mit seiner Hilfe werden wir die gleichschenkligen Dreiecke beweisen, die durch den Schnittpunkt der Tangenten und der Tangentenpunkte gebildet werden.

2) Daraus ergibt sich die Ähnlichkeit dieser Dreiecke und die Parallelität ihrer Grundflächen. Auf dieser Grundlage schließen wir, dass dieses Viereck ein Trapez ist.

3) Gemäß der Eigenschaft (2), die wir zuvor bewiesen haben, finden wir die Mittellinie des Trapezes. Er entspricht zwei geometrischen Mittelradien von Kreisen. Im resultierenden Trapez ist die Summe der Grundflächen gleich der Summe der Seiten, und dies ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz eines eingeschriebenen Kreises.

§ 3. Aufgaben

Betrachten wir anhand eines praktischen Beispiels, wie es möglich ist, die Lösung des Problems mithilfe der oben genannten Eigenschaften zu vereinfachen.

Aufgabe 1

Im Dreieck ABC ist die Seite AC = 15 cm. In das Dreieck ist ein Kreis eingeschrieben. Der zweite Kreis berührt den ersten und die Seiten AB und BC. Punkt F wird auf der Seite AB und Punkt M auf der Seite BC gewählt, sodass das Segment FM eine gemeinsame Tangente an die Kreise ist. Ermitteln Sie das Verhältnis der Flächen des Dreiecks BFM und des Vierecks AFMC, wenn FM 4 cm beträgt und Punkt M doppelt so weit vom Mittelpunkt eines Kreises entfernt ist wie vom Mittelpunkt des anderen.

Gegeben: Gemeinsamer FM-Tangens AC=15cm FM=4cm O 2 M=2O 1 M

Finden Sie S BFM /S AFMC

Lösung:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P und ▲BO 2 Q sind ähnlich → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM=r*P FBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5) S ABC = R * R ABC = 4 * (61/3) = 244/3 → S BFM / S AFMC = (16/3): (244/3) = 4/61

Aufgabe 2

Zwei Tangentenkreise mit ihrem gemeinsamen Punkt D und einer durch diesen Punkt verlaufenden gemeinsamen Tangente FK sind in ein gleichschenkliges Dreieck ABC eingeschrieben. Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Mittelpunkten dieser Kreise, wenn die Basis des Dreiecks AC = 9 cm ist und das zwischen den Berührungspunkten der Kreise eingeschlossene Segment der Seitenseite des Dreiecks 4 cm beträgt.

Gegeben: ABC ist ein gleichschenkliges Dreieck; FK ist der gemeinsame Tangens der eingeschriebenen Kreise. AC = 9 cm; NE = 4 cm

Lösung:

Lassen Sie die Linien AB und CD sich im Punkt O schneiden. Dann ist OA = OD, OB = OC, also CD = AB = 2√Rr

Die Punkte O 1 und O 2 liegen auf der Winkelhalbierenden AOD. Die Winkelhalbierende eines gleichschenkligen Dreiecks AOD ist seine Höhe, also AD ┴ O 1 O 2 und BC ┴ O 1 O 2, also

AD ║ BC und ABCD ist ein gleichschenkliges Trapez.

Das Segment MN ist seine Mittellinie, also AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Daher kann in dieses Trapez ein Kreis eingeschrieben werden.

Sei AP die Höhe des Trapezes, rechtwinklige Dreiecke АРВ und О 1 FO 2 sind ähnlich, also АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .

Von hier aus finden wir das

Referenzliste

• Beilage zur Zeitung „Erster September“ „Mathematik“ Nr. 43, 2003
• USE 2010. Mathematik. Aufgabe C4. Gordin R.K.