Was ist die Quadratwurzel des Produkts. Präsentation zum Thema "Quadratwurzel der Arbeit". Die Wurzel einer negativen Zahl ziehen

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Unterrichtsziele:

Wiederholen Sie die Definition der arithmetischen Quadratwurzel. Führen Sie den Wurzelsatz des Produkts ein und beweisen Sie ihn. Lernen Sie zu finden. Prüfen Sie Kenntnisse und Fähigkeiten mit Hilfe selbstständiger Arbeit.

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Quadratwurzel eines Werkes

Unterrichtsplan: Wissen aktualisieren. Neues Material lernen. Festigung der Formel mit Beispielen. Selbstständige Arbeit. Zusammenfassend. Hausaufgabe.

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Hallo Leute!

Wiederholen wir: 2. Wie nennt man die arithmetische Quadratwurzel der Zahl 3. Bei welchem ​​Wert macht der Ausdruck Sinn? 1. Wie heißt der Ausdruck

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Finden:

1) 2) 3) 7 oder oder 7

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Heute lernen wir eine der Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel kennen. Wir führen den Satz über die Quadratwurzel des Produkts ein und beweisen ihn, betrachten Beispiele für seine Anwendung. Anschließend werden Ihnen Aufgaben zum Selbsttest angeboten. Viel Erfolg!

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Versuchen wir zu lösen

Betrachten Sie die arithmetische Wurzel Bestimmen Sie den Wert des Ausdrucks: Also, also ist die Wurzel des Produkts zweier Zahlen gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Zahlen.

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Die Wurzel des Produkts nicht-negativer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren. Wenn dann Satz

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Quadratwurzel eines Werkes

Beweis: bedeutet - Sinn machen. 4. Schlussfolgerung: (da das Produkt zweier nicht-negativer Zahlen nicht-negativ ist) 5. Also,

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Wir haben den Beweis des Satzes über das Ziehen der Quadratwurzel des Produkts betrachtet. Kommen wir zur praktischen Arbeit. Jetzt zeige ich Ihnen, wie diese Formel beim Lösen von Beispielen angewendet wird. Entscheide mit mir.

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Berechnen Sie die Quadratwurzel mit dem Produktwurzelsatz: Lösungsbeispiele:

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Wir lösen Beispiele:

2. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

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Schnelle Rechnung

Und ich habe herausgefunden, wie Sie diese Formel für schnelle Berechnungen verwenden können. Sieh und lern.

14 . schieben

Option 1 Option 2 Ich biete Ihnen Beispiele für Ihre eigene Lösung.

Die Quadratwurzel der Zahl a ist eine Zahl, deren Quadrat gleich a ist. Zum Beispiel sind die Zahlen -5 und 5 die Quadratwurzeln der Zahl 25. Das heißt, die Wurzeln der Gleichung x ^ 2 = 25 sind die Quadratwurzeln der Zahl 25. Jetzt musst du lernen, wie man mit arbeitet Operation des Ziehens der Quadratwurzel: um seine grundlegenden Eigenschaften zu studieren.

Quadratwurzel eines Werkes

√ (a * b) = √a * √b

Die Quadratwurzel des Produkts zweier nicht negativer Zahlen ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln dieser Zahlen. Zum Beispiel (9 * 25) = √9 * √25 = 3 * 5 = 15;

Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Eigenschaft auch für den Fall gilt, dass der Wurzelausdruck ein Produkt von drei, vier usw. ist. nicht negative Faktoren.

Manchmal gibt es eine andere Formulierung dieser Eigenschaft. Wenn a und b nicht-negative Zahlen sind, dann gilt die folgende Gleichheit √ (a * b) = √a * √b. Es gibt absolut keinen Unterschied zwischen ihnen, Sie können entweder die eine oder die andere Formulierung verwenden (wer kann sich besser daran erinnern, welche).

Quadratwurzel des Bruchs

Wenn a> = 0 und b> 0 gilt, gilt folgende Gleichheit:

(a / b) = √a / √b.

Zum Beispiel (9/25) = √9 / √25 = 3/5;

Diese Eigenschaft hat meiner Meinung nach auch eine andere Formulierung, die zum Auswendiglernen bequemer ist.
Die Quadratwurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.

Es ist erwähnenswert, dass diese Formeln sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links funktionieren. Das heißt, wir können bei Bedarf das Produkt der Wurzeln als die Wurzel des Produkts darstellen. Das gleiche gilt für die zweite Eigenschaft.

Wie Sie vielleicht bemerkt haben, sind diese Eigenschaften sehr praktisch, und ich möchte die gleichen Eigenschaften für Addition und Subtraktion haben:

(a + b) = √a + √b;

(a-b) = √a-√b;

Aber leider sind solche Eigenschaften quadratisch keine Wurzeln haben und deshalb so kann nicht in Berechnungen durchgeführt werden.

Wurzelformeln. Eigenschaften von Quadratwurzeln.

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Materialien im Besonderen Abschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr "nicht sehr ..." sind
Und für diejenigen, die "sehr ausgeglichen sind ...")

In der vorherigen Lektion haben wir herausgefunden, was eine Quadratwurzel ist. Es ist Zeit herauszufinden, welche existieren Wurzelformeln Was sind Root-Eigenschaften, und was Sie damit alles machen können.

Wurzelformeln, Wurzeleigenschaften und Regeln für Aktionen mit Wurzeln sind im Wesentlichen dasselbe. Es gibt überraschend wenige Formeln für Quadratwurzeln. Was natürlich gefällt! Vielmehr kann man viele Formeln aller Art schreiben, aber für das praktische und souveräne Arbeiten mit Wurzeln reichen nur drei. Alle anderen dieser drei Ströme. Obwohl sich viele Menschen in den drei Grundformeln verlieren, ja ...

Beginnen wir mit dem einfachsten. Da ist sie:

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Sofortige Validierungstests. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Es ist Zeit auseinander zu nehmen Wurzelextraktionsmethoden... Sie beruhen auf den Eigenschaften der Wurzeln, insbesondere auf der Gleichheit, die für jede nicht negative Zahl b gilt.

Im Folgenden werden wir uns der Reihe nach die wichtigsten Methoden der Wurzelextraktion ansehen.

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall - dem Ziehen von Wurzeln aus natürlichen Zahlen mithilfe einer Quadrattabelle, einer Würfeltabelle usw.

Wenn Tabellen mit Quadraten, Würfeln usw. nicht zur Hand, dann ist es logisch, die Methode des Wurzelziehens zu verwenden, die die Zerlegung der Radikalzahl in Primfaktoren impliziert.

Unabhängig davon lohnt es sich, darüber nachzudenken, was für Wurzeln mit ungeraden Indikatoren möglich ist.

Schauen wir uns schließlich eine Möglichkeit an, die Ziffern des Wurzelwerts sequentiell zu finden.

Lass uns anfangen.

Verwenden Sie eine Tabelle mit Quadraten, eine Tabelle mit Würfeln usw.

In den einfachsten Fällen können Sie Quadrate, Würfel usw. verwenden, um Wurzeln zu ziehen. Was sind das für Tabellen?

Die Tabelle der Quadrate von ganzen Zahlen von 0 bis einschließlich 99 (siehe unten) besteht aus zwei Zonen. Der erste Bereich der Tabelle befindet sich auf einem grauen Hintergrund. Sie können eine Zahl von 0 bis 99 erstellen, indem Sie eine bestimmte Zeile und eine bestimmte Spalte auswählen. Lassen Sie uns zum Beispiel Zeile 8 Zehner und Spalte 3 Einsen auswählen, damit haben wir die Zahl 83 festgelegt. Die zweite Zone nimmt den Rest der Tabelle ein. Jede seiner Zellen befindet sich am Schnittpunkt einer bestimmten Zeile und einer bestimmten Spalte und enthält das Quadrat der entsprechenden Zahl von 0 bis 99. Am Schnittpunkt unserer gewählten Reihe von 8 Zehnern und Spalte von 3 Einheiten befindet sich eine Zelle mit der Zahl 6 889, die das Quadrat der Zahl 83 ist.

Würfeltabellen, Tabellen mit vierten Potenzen von Zahlen von 0 bis 99 usw. ähneln der Quadrattabelle, nur enthalten sie Würfel, vierte Potenzen usw. in der zweiten Zone. entsprechenden Zahlen.

Tabellen von Quadraten, Würfeln, vierten Graden usw. ermöglicht es Ihnen, Quadratwurzeln, Kubikwurzeln, vierte Wurzeln usw. zu extrahieren. jeweils aus den Zahlen in diesen Tabellen. Lassen Sie uns das Prinzip ihrer Anwendung beim Wurzelziehen erklären.

Angenommen, wir müssen die n-te Wurzel der Zahl a ziehen, während die Zahl a in der n-ten Potenztabelle enthalten ist. Aus dieser Tabelle finden wir eine Zahl b mit a = b n. Dann , daher ist die Zahl b die erforderliche n-te Wurzel.

Als Beispiel zeigen wir, wie die Kubikwurzel von 19.683 mithilfe einer Würfeltabelle abgeleitet wird. Wir finden die Zahl 19 683 in der Würfeltabelle, daraus finden wir, dass diese Zahl der Würfel der Zahl 27 ist, also .

Es ist klar, dass n-te Potenztabellen sehr praktisch zum Extrahieren von Wurzeln sind. Sie sind jedoch oft nicht griffbereit und ihre Zusammenstellung erfordert einen gewissen Zeitaufwand. Außerdem ist es oft notwendig, Wurzeln aus Zahlen zu ziehen, die in den entsprechenden Tabellen nicht enthalten sind. In diesen Fällen müssen Sie auf andere Methoden der Wurzelextraktion zurückgreifen.

Primfaktorzerlegung einer Radikalzahl

Ein recht bequemer Weg, die Wurzel aus einer natürlichen Zahl zu ziehen (wenn die Wurzel natürlich gezogen wird) ist die Erweiterung der radikalen Zahl in Primfaktoren. Seine das Wesentliche ist wie folgt: nachdem es einfach genug ist, in Form eines Grades mit dem gewünschten Exponenten darzustellen, wodurch Sie den Wert der Wurzel erhalten. Lassen Sie uns diesen Punkt klären.

Es sei die n-te Wurzel aus einer natürlichen Zahl a gezogen, und ihr Wert ist gleich b. In diesem Fall gilt die Gleichheit a = b n. Die Zahl b lässt sich wie jede natürliche Zahl als Produkt all ihrer Primfaktoren p 1, p 2, ..., pm in der Form p 1 p 2 ... 2 ·… · pm) n darstellen. Da die Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren eindeutig ist, hat die Zerlegung der Radikalzahl a in Primfaktoren die Form (p 1 · p 2 ·… · pm) n, wodurch sich der Wert der Wurzel . berechnen lässt wie.

Beachten Sie, dass, wenn die Faktorisierung einer radikalen Zahl a nicht in der Form (p 1 · p 2 ·… · p m) n dargestellt werden kann, die n-te Wurzel einer solchen Zahl a nicht vollständig extrahiert wird.

Lassen Sie es uns beim Lösen von Beispielen herausfinden.

Beispiel.

Ziehe die Quadratwurzel von 144.

Lösung.

Wenn wir uns der Tabelle der Quadrate im vorherigen Absatz zuwenden, wird deutlich, dass 144 = 12 2 ist, woraus klar ist, dass die Quadratwurzel von 144 12 ist.

Aber im Lichte dieses Punktes interessiert uns, wie die Wurzel extrahiert wird, indem man die Wurzelzahl 144 in Primfaktoren zerlegt. Lassen Sie uns diese Lösung analysieren.

Lass uns erweitern 144 nach Primfaktoren:

Das heißt 144 = 2 2 2 2 3 3. Basierend auf der erhaltenen Zerlegung können die folgenden Transformationen durchgeführt werden: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2... Somit, .

Unter Verwendung der Eigenschaften des Grades und der Eigenschaften der Wurzeln könnte die Lösung etwas anders formuliert werden:.

Antworten:

Um das Material zu festigen, betrachten Sie die Lösungen von zwei weiteren Beispielen.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wurzelwert.

Lösung.

Die Primfaktorzerlegung der Radikalzahl 243 ist 243 = 3 5. Auf diese Weise, .

Antworten:

Beispiel.

Ist der Wurzelwert eine ganze Zahl?

Lösung.

Um diese Frage zu beantworten, zerlegen wir die Wurzelzahl in Primfaktoren und sehen, ob sie als Würfel einer ganzen Zahl dargestellt werden kann.

Wir haben 285 768 = 2 3 3 6 7 2. Die resultierende Zerlegung wird nicht als Würfel einer ganzen Zahl dargestellt, da die Potenz eines Primfaktors 7 kein Vielfaches von drei ist. Daher wird die Kubikwurzel der Zahl 285 768 nicht vollständig extrahiert.

Antworten:

Nein.

Wurzeln aus Bruchzahlen ziehen

Es ist an der Zeit, herauszufinden, wie die Wurzel aus einer Bruchzahl gezogen wird. Die gebrochene Radikalzahl sei als p / q geschrieben. Nach der Eigenschaft der Quotientenwurzel gilt folgende Gleichheit. Diese Gleichheit impliziert Bruchwurzel: Die Wurzel des Bruchs ist gleich dem Quotienten aus der Division der Wurzel des Zählers durch die Wurzel des Nenners.

Schauen wir uns ein Beispiel für das Extrahieren einer Wurzel aus einem Bruch an.

Beispiel.

Was ist die Quadratwurzel des gemeinsamen Bruches 25/169.

Lösung.

Aus der Quadrattabelle finden wir, dass die Quadratwurzel des Zählers des ursprünglichen Bruchs 5 ist und die Quadratwurzel des Nenners 13. Dann ... Damit ist die Extraktion der Wurzel aus der gemeinsamen Fraktion 25/169 abgeschlossen.

Antworten:

Die Wurzel einer dezimalen oder gemischten Zahl wird extrahiert, nachdem die radikalen Zahlen durch gewöhnliche Brüche ersetzt wurden.

Beispiel.

Extrahieren Sie die Kubikwurzel der Dezimalzahl 474,552.

Lösung.

Stellen wir den ursprünglichen Dezimalbruch als gewöhnlichen Bruch dar: 474,552 = 474552/1000. Dann ... Es müssen noch die Kubikwurzeln extrahiert werden, die im Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs stehen. Als 474 552 = 2 2 2 3 3 3 3 13 13 13 =(2 3 13) 3 = 78 3 und 1000 = 10 3, dann und ... Es bleibt nur noch die Berechnungen abzuschließen .

Antworten:

.

Die Wurzel einer negativen Zahl ziehen

Unabhängig davon lohnt es sich, über die Extraktion von Wurzeln aus negativen Zahlen nachzudenken. Beim Studium der Wurzeln haben wir gesagt, dass, wenn der Wurzelexponent eine ungerade Zahl ist, eine negative Zahl unter dem Wurzelzeichen stehen kann. Wir haben solchen Einträgen folgende Bedeutung gegeben: Für eine negative Zahl −a und einen ungeraden Exponenten der Wurzel 2n − 1 gilt ... Diese Gleichheit gibt Regel zum Ziehen von ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen: Um die Wurzel einer negativen Zahl zu ziehen, müssen Sie die Wurzel der entgegengesetzten positiven Zahl ziehen und ein Minuszeichen vor das Ergebnis setzen.

Betrachten wir die Lösung eines Beispiels.

Beispiel.

Finden Sie den Wurzelwert.

Lösung.

Lassen Sie uns den ursprünglichen Ausdruck so transformieren, dass unter dem Wurzelzeichen eine positive Zahl steht: ... Jetzt ersetzen wir die gemischte Zahl durch einen gewöhnlichen Bruch: ... Wir wenden die Regel an, eine Wurzel aus einem gewöhnlichen Bruch zu ziehen: ... Es müssen noch die Wurzeln im Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs berechnet werden: .

Hier ist eine kurze Aufzeichnung der Lösung: .

Antworten:

.

Inkrementelles Finden des Wurzelwerts

Im allgemeinen Fall befindet sich unter der Wurzel eine Zahl, die mit den oben diskutierten Techniken nicht in Form der n-ten Potenz einer Zahl dargestellt werden kann. In diesem Fall ist es jedoch erforderlich, den Wert einer gegebenen Wurzel zumindest mit einer Genauigkeit bis zu einem bestimmten Vorzeichen zu kennen. In diesem Fall können Sie zum Extrahieren der Wurzel einen Algorithmus verwenden, mit dem Sie nacheinander eine ausreichende Anzahl von Werten der Ziffern der gewünschten Zahl erhalten können.

Im ersten Schritt dieses Algorithmus müssen Sie herausfinden, was das höchstwertige Bit des Wurzelwerts ist. Dazu werden die Zahlen 0, 10, 100, ... sequentiell mit n potenziert, bis eine die Grundzahl übersteigende Zahl empfangen wird. Dann zeigt die Zahl, die wir im vorherigen Schritt zur Potenz n erhoben haben, das entsprechende höchstwertige Bit an.

Betrachten Sie als Beispiel diesen Schritt des Algorithmus beim Extrahieren der Quadratwurzel von fünf. Wir nehmen die Zahlen 0, 10, 100, ... und quadrieren sie, bis wir eine Zahl größer als 5 erhalten. Wir haben 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, was bedeutet, dass das höchstwertige Bit das Einer-Bit ist. Der Wert dieses Bits sowie die niedrigeren werden in den nächsten Schritten des Wurzelextraktionsalgorithmus gefunden.

Alle nächsten Schritte des Algorithmus zielen darauf ab, den Wert der Wurzel sequentiell zu verfeinern, da die Werte der nächsten Ziffern des gewünschten Wertes der Wurzel gefunden werden, beginnend mit dem höchstwertigen und hin zum niedrigsten bedeutende. Zum Beispiel ist der Wurzelwert im ersten Schritt 2, im zweiten - 2,2, im dritten - 2,23 usw. 2,236067977…. Lassen Sie uns beschreiben, wie das Finden der Werte der Ziffern erfolgt.

Das Finden der Ziffern erfolgt durch Aufzählung ihrer möglichen Werte 0, 1, 2, ..., 9. Dabei werden die n-ten Potenzen der entsprechenden Zahlen parallel berechnet und mit der Wurzelzahl verglichen. Wenn der Gradwert irgendwann die Wurzelzahl überschreitet, wird der Wert der Ziffer, die dem vorherigen Wert entspricht, als gefunden betrachtet und der Übergang zum nächsten Schritt des Algorithmus zum Ziehen der Wurzel erfolgt, wenn dies nicht der Fall ist passieren, dann ist der Wert dieser Ziffer 9.

Lassen Sie uns diese Punkte mit dem gleichen Beispiel erklären, die Quadratwurzel von fünf zu ziehen.

Zuerst ermitteln wir den Wert der Einerstelle. Wir werden über die Werte 0, 1, 2,…, 9 iterieren und jeweils 0 2, 1 2,…, 9 2 berechnen, bis wir einen Wert größer als die Wurzelzahl 5 erhalten. Alle diese Berechnungen werden bequem in Form einer Tabelle dargestellt:

Der Wert der Einerstelle ist also 2 (da 2 2<5 , а 2 3 >5). Wir wenden uns der Bestimmung des Wertes der Zehntelstelle zu. In diesem Fall quadrieren wir die Zahlen 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 und vergleichen die erhaltenen Werte mit der Radikalzahl 5:

Seit 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, dann ist der Dezimalstellenwert 2. Sie können den Wert der Hundertstelstelle ermitteln:

Der nächste Wert der Wurzel von fünf wurde also gefunden, er ist gleich 2,23. Und so können Sie weiter Werte finden: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Um das Material zu konsolidieren, analysieren wir die Extraktion der Wurzel mit einer Genauigkeit von Hundertstel mit dem betrachteten Algorithmus.

Zuerst bestimmen wir das höchstwertige Bit. Dazu würfeln wir die Zahlen 0, 10, 100 usw. bis wir eine Zahl größer als 2.151.186 erhalten. Wir haben 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, somit ist die höchstwertige Ziffer die Zehnerstelle.

Lassen Sie uns seine Bedeutung definieren.

Seit 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, dann ist der Wert der Zehnerstelle 1. Kommen wir zu den Einheiten.

Somit ist der Wert der Einerstelle 2. Weiter zu den Zehnteln.

Da sogar 12,9 3 kleiner ist als die radikale Zahl 2 151,186, ist der Wert der zehnten Stelle 9. Es bleibt der letzte Schritt des Algorithmus auszuführen, der uns den Wert der Wurzel mit der erforderlichen Genauigkeit liefert.

In diesem Stadium wird der Wert der Wurzel mit einer Genauigkeit von Hundertstel gefunden: .

Zum Abschluss dieses Artikels möchte ich sagen, dass es viele andere Möglichkeiten gibt, Wurzeln zu extrahieren. Aber für die meisten Aufgaben reichen die oben untersuchten aus.

Referenzliste.

• Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. Algebra: Lehrbuch für Klasse 8 Bildungsinstitutionen.
• Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu.P. ua Algebra und der Beginn der Analyse: Lehrbuch für 10 - 11 Klassen von Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Leitfaden für Bewerber an technischen Schulen).

Grüße, Katzen! Beim letzten Mal haben wir ausführlich untersucht, was Wurzeln sind (wenn Sie sich nicht erinnern, empfehle ich, zu lesen). Die wichtigste Erkenntnis aus dieser Lektion ist, dass es nur eine universelle Definition von Wurzeln gibt, die Sie kennen müssen. Der Rest ist Quatsch und Zeitverschwendung.

Heute gehen wir weiter. Wir werden lernen, Wurzeln zu multiplizieren, einige der mit der Multiplikation verbundenen Probleme studieren (wenn diese Probleme nicht gelöst werden, können sie in der Prüfung tödlich sein) und richtig üben. Also Popcorn eindecken, es sich bequem machen und wir legen los. :)

Sie haben es noch nicht probiert, oder?

Die Lektion erwies sich als ziemlich lang, daher habe ich sie in zwei Teile geteilt:

1. Zuerst werfen wir einen Blick auf die Regeln für die Multiplikation. Cap als Hinweis: Das ist, wenn es zwei Wurzeln gibt, zwischen denen ein Zeichen "multiplizieren" steht - und wir wollen etwas dagegen tun.
2. Dann analysieren wir die umgekehrte Situation: Es gibt eine große Wurzel, und wir waren beeindruckt, sie als Produkt zweier einfacherer Wurzeln darzustellen. Mit welchem ​​Schrecken ist dies notwendig - eine separate Frage. Wir werden nur den Algorithmus analysieren.

Für diejenigen, die ungeduldig sind, gleich zum zweiten Teil zu gehen - Sie sind herzlich willkommen. Beginnen wir mit dem Rest der Reihe nach.

Grundregel der Multiplikation

Beginnen wir mit dem Einfachsten - den klassischen Quadratwurzeln. Dieselben, die mit $ \ sqrt (a) $ und $ \ sqrt (b) $ bezeichnet werden. Für sie ist im Allgemeinen alles selbstverständlich:

Die Multiplikationsregel. Um eine Quadratwurzel mit einer anderen zu multiplizieren, müssen Sie nur ihre Wurzelausdrücke multiplizieren und das Ergebnis unter die gemeinsame Wurzel schreiben:

\ [\ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (b) = \ sqrt (a \ cdot b) \]

Den Zahlen rechts oder links werden keine zusätzlichen Beschränkungen auferlegt: Wenn die Wurzelfaktoren existieren, dann existiert auch das Produkt.

Beispiele. Schauen wir uns vier Beispiele mit Zahlen gleichzeitig an:

\ [\ begin (ausrichten) & \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (25 \ cdot 4) = \ sqrt (100) = 10; \\ & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8; \\ & \ sqrt (54) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (54 \ cdot 6) = \ sqrt (324) = 18; \\ & \ sqrt (\ frac (3) (17)) \ cdot \ sqrt (\ frac (17) (27)) = \ sqrt (\ frac (3) (17) \ cdot \ frac (17) (27 )) = \ sqrt (\ frac (1) (9)) = \ frac (1) (3). \\ \ Ende (ausrichten) \]

Wie Sie sehen, besteht der Hauptpunkt dieser Regel darin, irrationale Ausdrücke zu vereinfachen. Und wenn wir im ersten Beispiel selbst ohne neue Regeln die Wurzeln aus 25 und 4 gezogen hätten, dann beginnt die Dose weiter: $ \ sqrt (32) $ und $ \ sqrt (2) $ selbst werden nicht mitgezählt, aber ihr Produkt ist ein exaktes Quadrat, also ist die Wurzel gleich der rationalen Zahl.

Ich möchte auch die letzte Zeile beachten. Dort sind beide radikalen Ausdrücke Brüche. Dank des Produkts werden viele Faktoren aufgehoben und der gesamte Ausdruck wird zu einer angemessenen Anzahl.

Natürlich wird nicht immer alles so schön sein. Manchmal gibt es unter den Wurzeln ein völliges Durcheinander - es ist nicht klar, was damit zu tun ist und wie man sich nach der Multiplikation transformiert. Etwas später, wenn Sie anfangen, irrationale Gleichungen und Ungleichungen zu studieren, gibt es im Allgemeinen alle möglichen Variablen und Funktionen. Und sehr oft erwarten Task-Compiler nur, dass Sie einige aufhebende Begriffe oder Faktoren finden, wonach die Aufgabe stark vereinfacht wird.

Außerdem ist es überhaupt nicht notwendig, genau zwei Wurzeln zu multiplizieren. Du kannst drei auf einmal multiplizieren, vier – aber mindestens zehn! Dies wird die Regel nicht ändern. Schau mal:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (2 \ cdot 3 \ cdot 6) = \ sqrt (36) = 6; \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (0,001) = \ sqrt (5 \ cdot 2 \ cdot 0,001) = \\ & = \ sqrt (10 \ cdot \ frac (1) (1000)) = \ sqrt (\ frac (1) (100)) = \ frac (1) (10). \\ \ Ende (ausrichten) \]

Und nochmal ein kleiner Kommentar zum zweiten Beispiel. Wie Sie sehen, befindet sich im dritten Faktor unter der Wurzel ein Dezimalbruch - bei der Berechnung ersetzen wir ihn durch den üblichen, wonach alles leicht abgebrochen wird. Also: Ich empfehle dringend, Dezimalbrüche in allen irrationalen Ausdrücken (d.h. die mindestens ein Wurzelzeichen enthalten) loszuwerden. Das spart Ihnen in Zukunft viel Zeit und Nerven.

Aber das war ein lyrischer Exkurs. Betrachten wir nun einen allgemeineren Fall - wenn der Exponent der Wurzel eine beliebige Zahl $ n $ enthält und nicht nur die "klassischen" zwei.

Beliebiger Exponentenfall

Also haben wir die Quadratwurzeln herausgefunden. Und was tun mit kubischen? Oder allgemein mit Wurzeln beliebigen Grades $ n $? Ja, alles ist gleich. Die Regel bleibt gleich:

Um zwei Wurzeln vom Grad $ n $ zu multiplizieren, genügt es, ihre Wurzelausdrücke zu multiplizieren und dann das Ergebnis unter eine Wurzel zu schreiben.

Im Allgemeinen nichts Kompliziertes. Außer dass der Rechenaufwand höher ausfallen kann. Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiele. Berechnen Sie die Produkte:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (20) \ cdot \ sqrt (\ frac (125) (4)) = \ sqrt (20 \ cdot \ frac (125) (4)) = \ sqrt (625) = 5; \\ & \ sqrt (\ frac (16) (625)) \ cdot \ sqrt (0.16) = \ sqrt (\ frac (16) (625) \ cdot \ frac (16) (100)) = \ sqrt (\ frac (64) (((25) ^ (2)) \ cdot 25)) = \\ & = \ sqrt (\ frac (((4) ^ (3))) (((25) ^ (3 )) )) = \ sqrt (((\ links (\ frac (4) (25) \ rechts)) ^ (3))) = \ frac (4) (25). \\ \ Ende (ausrichten) \]

Und wieder wird dem zweiten Ausdruck Beachtung geschenkt. Wir multiplizieren die Kubikwurzeln, entfernen den Dezimalbruch und als Ergebnis erhalten wir im Nenner das Produkt der Zahlen 625 und 25. Das ist eine ziemlich große Zahl - ich persönlich werde nicht berechnen, was sie gleich ist .

Daher haben wir einfach den exakten Würfel im Zähler und Nenner ausgewählt und dann eine der Schlüsseleigenschaften (oder, wenn Sie es vorziehen, die Definition) der $ n $ -ten Wurzel verwendet:

\ [\ begin (ausrichten) & \ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) = a; \\ & \ sqrt (((a) ^ (2n))) = \ links | ein \ rechts |. \\ \ Ende (ausrichten) \]

Solche "Machenschaften" können Ihnen bei einer Prüfung oder Prüfung viel Zeit sparen, denken Sie also daran:

Beeilen Sie sich nicht, die Zahlen im radikalen Ausdruck zu multiplizieren. Überprüfen Sie zunächst: Was ist, wenn der genaue Grad eines Ausdrucks dort "verschlüsselt" ist?

Bei aller Offensichtlichkeit dieser Bemerkung muss ich zugeben, dass die meisten ungeschulten Studenten die genauen Grade nicht aus nächster Nähe sehen. Stattdessen multiplizieren sie alles durch und fragen sich dann: Warum haben sie so brutale Zahlen bekommen? :)

All dies ist jedoch kindisch im Vergleich zu dem, was wir jetzt studieren werden.

Multiplikation von Wurzeln mit verschiedenen Indikatoren

Okay, jetzt können wir Wurzeln mit den gleichen Indikatoren multiplizieren. Was ist, wenn die Indikatoren unterschiedlich sind? Sagen Sie, wie man das übliche $ \ sqrt (2) $ mit einem Mist wie $ \ sqrt (23) $ multipliziert? Ist das überhaupt möglich?

Natürlich kannst du. Alles geschieht nach dieser Formel:

Wurzelmultiplikationsregel. Um $ \ sqrt [n] (a) $ mit $ \ sqrt [p] (b) $ zu multiplizieren, müssen Sie nur die folgende Transformation durchführen:

\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]

Diese Formel funktioniert jedoch nur, wenn radikale Ausdrücke sind nicht negativ... Dies ist ein sehr wichtiger Punkt, auf den wir später zurückkommen werden.

Schauen wir uns zunächst ein paar Beispiele an:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (((3) ^ (4)) \ cdot ((2) ^ (3))) = \ sqrt (81 \ cdot 8) = \ sqrt (648); \\ & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (7) = \ sqrt (((2) ^ (5)) \ cdot ((7) ^ (2))) = \ sqrt (32 \ cdot 49) = \ sqrt (1568); \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (625 \ cdot 9) = \ sqrt (5625). \\ \ Ende (ausrichten) \]

Wie Sie sehen, nichts Kompliziertes. Lassen Sie uns nun herausfinden, woher die Nichtnegativitätsanforderung stammt und was passiert, wenn wir sie verletzen. :) :)

Warum sollten radikale Ausdrücke nicht-negativ sein?

Natürlich können Sie wie Schullehrer sein und das Lehrbuch mit einem klugen Blick zitieren:

Das Erfordernis der Nicht-Negativität ist mit unterschiedlichen Definitionen von Wurzeln geraden und ungeraden Grades verbunden (jeweils auch ihre Definitionsbereiche sind unterschiedlich).

Na, ist es klarer geworden? Als ich diesen Unsinn in der 8. Klasse las, wurde mir persönlich so etwas in der Art klar: „Das Erfordernis der Nicht-Negativität ist verbunden mit * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~%“ – kurz gesagt, ich habe es getan Verstehe die Scheiße damals nicht. :)

Also erkläre ich jetzt alles ganz normal.

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, woher die oben angegebene Multiplikationsformel stammt. Lassen Sie mich dazu an eine wichtige Eigenschaft der Wurzel erinnern:

\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

Mit anderen Worten, wir können den radikalen Ausdruck sicher auf jede natürliche Potenz von $ k $ erhöhen - in diesem Fall muss der Exponent der Wurzel mit derselben Potenz multipliziert werden. Daher können wir alle Wurzeln leicht auf einen gemeinsamen Indikator reduzieren und dann multiplizieren. Daher wird die Formel für die Multiplikation verwendet:

\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p))) \ cdot \ sqrt (((b) ^ (n))) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]

Es gibt jedoch ein Problem, das die Anwendung all dieser Formeln stark einschränkt. Betrachten Sie diese Zahl:

Nach der eben angegebenen Formel können wir jeden Grad hinzufügen. Versuchen wir, $ k = 2 $ hinzuzufügen:

\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (((\ links (-5 \ rechts)) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ (2))) \]

Wir haben das Minus gerade deshalb entfernt, weil das Quadrat das Minus verbrennt (wie jede andere gerade Macht). Und jetzt führen wir die Rücktransformation durch: Wir "reduzieren" die beiden im Exponenten und im Grad. Schließlich kann jede Gleichheit sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links gelesen werden:

\ [\ begin (align) & \ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \ Rightarrow \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n ] (ein); \\ & \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n] (a) \ Pfeil rechts \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ ( 2))) = \ sqrt (5). \\ \ Ende (ausrichten) \]

Aber dann stellt sich heraus, dass es ein Mist ist:

\ [\ Quadrat (-5) = \ Quadrat (5) \]

Das kann nicht sein, denn $ \ sqrt (-5) \ lt 0 $ und $ \ sqrt (5) \ gt 0 $. Das bedeutet, dass unsere Formel für gerade Grade und negative Zahlen nicht mehr funktioniert. Dann haben wir zwei Möglichkeiten:

1. Treten Sie gegen die Wand, um zu behaupten, dass die Mathematik eine dumme Wissenschaft ist, in der es „einige Regeln gibt, aber das ist ungenau“;
2. Führen Sie zusätzliche Einschränkungen ein, unter denen die Formel zu 100 % funktioniert.

Bei der ersten Option müssen wir ständig "nicht funktionierende" Fälle fangen - es ist schwierig, langwierig und im Allgemeinen fu. Daher bevorzugten Mathematiker die zweite Option. :)

Aber keine Sorge! In der Praxis wirkt sich diese Einschränkung in keiner Weise auf die Berechnungen aus, da alle beschriebenen Probleme nur Wurzeln ungeraden Grades betreffen, aus denen Sie die Minuspunkte herausnehmen können.

Daher formulieren wir eine weitere Regel, die allgemein für alle Aktionen mit Wurzeln gilt:

Machen Sie die radikalen Ausdrücke nicht negativ, bevor Sie die Wurzeln multiplizieren.

Beispiel. In der Zahl $ \ sqrt (-5) $ können Sie das Minus unter dem Wurzelzeichen herausnehmen - dann wird alles gut:

\ [\ begin (ausrichten) & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \ Pfeil nach rechts \\ & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (25) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \\ \ end (ausrichten) \]

Spürst du den Unterschied? Wenn Sie das Minus unter der Wurzel lassen, verschwindet der radikale Ausdruck, wenn er quadriert wird, und der Mist beginnt. Und wenn Sie zuerst das Minus herausnehmen, können Sie das Quadrat aufrichten / entfernen, noch bevor es blau wird - die Zahl bleibt negativ. :)

Daher ist die korrekteste und zuverlässigste Methode zum Multiplizieren von Wurzeln wie folgt:

1. Entfernen Sie alle Minuszeichen unter den Radikalen. Nachteile haben nur Wurzeln ungerader Multiplizität - sie können vor die Wurzel gelegt und ggf. gekürzt werden (z. B. wenn es zwei dieser Nachteile gibt).
2. Führen Sie die Multiplikation gemäß den oben in der heutigen Lektion besprochenen Regeln durch. Wenn die Indizes der Wurzeln gleich sind, multiplizieren wir einfach die Wurzelausdrücke. Und wenn sie unterschiedlich sind, verwenden wir die böse Formel \ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n) )) \].
3. 3. Wir freuen uns über das Ergebnis und gute Noten. :)

Und was? Lass uns üben?

Beispiel 1. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (- \ frac (4) (3)) = \ sqrt (48) \ cdot \ left (- \ sqrt (\ frac (4) (3 )) \ rechts) = - \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (\ frac (4) (3)) = \\ & = - \ sqrt (48 \ cdot \ frac (4) (3)) = - \ Quadrat (64) = - 4; \ Ende (ausrichten) \]

Dies ist die einfachste Möglichkeit: Die Indizes der Wurzeln sind gleich und ungerade, das Problem liegt nur im Minus des zweiten Faktors. Wir nehmen dieses Minus-Nafig heraus, wonach alles leicht in Betracht gezogen wird.

Beispiel 2. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (((2) ^ (5))) \ cdot \ sqrt (((2) ^ (2))) = \ sqrt (((\ links (((2) ^ (5)) \ rechts)) ^ (3)) \ cdot ((\ links (((2) ^ (2)) \ rechts)) ^ (4) )) = \\ & = \ sqrt (((2) ^ (15)) \ cdot ((2) ^ (8))) = \ sqrt (((2) ^ (23))) \\ \ end ( ausrichten) \]

Hier wären viele durch die Tatsache verwirrt, dass die Ausgabe eine irrationale Zahl war. Ja, es kommt vor: Wir konnten die Wurzel nicht vollständig entfernen, aber zumindest haben wir den Ausdruck deutlich vereinfacht.

Beispiel 3. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((\ left ((( a) ^ (4)) \ rechts)) ^ (6))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((a) ^ (24))) = \\ & = \ sqrt ( ((a) ^ (27))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 9))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ end (align) \]

Auf diese Aufgabe möchte ich Sie aufmerksam machen. Es gibt zwei Punkte gleichzeitig:

1. Die Wurzel ist keine bestimmte Zahl oder ein bestimmter Grad, sondern die Variable $ a $. Auf den ersten Blick ist dies etwas ungewöhnlich, aber in der Realität muss man sich beim Lösen mathematischer Probleme meistens mit Variablen auseinandersetzen.
2. Am Ende haben wir es geschafft, den Wurzelexponenten und den Grad im radikalen Ausdruck zu "reduzieren". Dies passiert ziemlich oft. Und so konnten die Berechnungen deutlich vereinfacht werden, wenn man nicht auf die Grundformel zurückgriff.

Zum Beispiel könnten Sie dies tun:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((\ left (((a) ^ ( 4)) \ rechts)) ^ (2))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (8))) \\ & = \ sqrt (a \ cdot ((a) ^ ( 8))) = \ sqrt (((a) ^ (9))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 3))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ \ \ Ende (ausrichten) \]

Tatsächlich wurden alle Transformationen nur mit dem zweiten Radikal durchgeführt. Und wenn Sie nicht alle Zwischenschritte detailliert beschreiben, wird die Anzahl der Berechnungen am Ende erheblich abnehmen.

Tatsächlich sind wir oben bereits auf eine ähnliche Aufgabe gestoßen, als wir das Beispiel $ \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) $ gelöst haben. Jetzt lässt es sich viel einfacher beschreiben:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (( (\ links (((5) ^ (2)) \ cdot 3 \ rechts)) ^ (2))) = \\ & = \ sqrt (((\ links (75 \ rechts)) ^ (2))) = \ sqrt (75). \ Ende (ausrichten) \]

Nun, wir haben die Multiplikation von Wurzeln herausgefunden. Betrachten wir nun die umgekehrte Operation: Was ist zu tun, wenn sich das Produkt unter der Wurzel befindet?