Wahlkurs in der Mathematik "Absolutwert". Bildungsportalabschnitt III. Pädagogischer und thematischer Plan

Gleichungen und ihre Systeme mit einem absoluten Wertschild
(Methodische Entwicklung)

Absatz 1. Grundlegende Informationen.

Klausel 1. Bestimmung des absoluten Wertes der Anzahl. Die Lösung der einfachsten Gleichungen.

Bekanntschaft mit dem Konzept des Absolutwerts der Zahl (Modul der Nummer) ist besser, um mit seiner geometrischen Interpretation zu beginnen: In der Geometrie ist das Modul der Abstand von dem Punkt von dem Punkt, der eine gegebene Zahl auf der numerischen Achse oder der Koordinatenebene vor dem Koordinaten. Somit befindet sich die Zahl 5 auf der numerischen Achse rechts von Null, und die Zahl -5 links von Null, aber die Entfernungen von den Punkten, die diese Nummern darstellen, bevor die Koordinaten gleich sind, sind gleich und gleich 5 der Wert des absoluten Werts der Zahl A wird durch Klammern angezeigt :.
Lassen Sie uns die geometrische Definition des Moduls grafisch erläutern:

Dementsprechend wird eine algebraische Bestimmung des Moduls eines bestimmten Werts festgelegt:

.
Wir betrachten nun das einfachste (aber wichtiges Material) der Gleichung, einschließlich eines absoluten Wertschildes. Unter wir verstehen einen algebraischen Ausdruck, der eine unbekannte Variable enthält.

A. Escape der Arten, wo A eine gegebene Zahl ist. (eins)
Wir klären das Problem, das vor uns steht: Wenn X einige Lösung der Gleichung (1) ist, ist der Punkt F auf der numerischen Gerade entsprechend der geometrischen Definition des Moduls in einem Abstand A vom Ursprung der Koordinaten angeordnet. Wenn also A0, haben wir zwei gewünschte Punkte: f1 \u003d -a, f2 \u003d a.

Gleichung (1): mit A0 hat seine Lösungen für Lösungen von Gleichungen und.
Kurz gesagt wird die letzte Anweisung so aufgezeichnet:

Es ist gelesen: Eine Vielzahl von Lösungen der Gleichung an einem\u003e 0 gibt es eine Kombination von Lösungen von Gleichungen von Gleichungen und.

Beispiel 1. Lösen Sie Gleichungen: a); b); beim) ; d).

Lösungen:
a) .
Antwort: x1 \u003d 1; x2 \u003d 6.

B) \u003d\u003e Keine Lösungen, weil Das Modul (absoluter Wert) eines beliebigen Werts kann nicht negativ sein.
Antwort: Keine Lösungen.

C) .
Antwort: x1 \u003d -3; x2 \u003d 0.

D) .
Antwort: x1 \u003d -3; x2 \u003d 3.

Beispiel 2. Lösen Sie Gleichungen: a); b).

Lösungen:
a) gemäß (1) in diesem Fall \u003d, d. H. f (x) ≥2. Daher hat die Gleichung keine Lösungen.
Antwort: Keine Lösungen.

Antwort: x1 \u003d -5; x2 \u003d 0; x3 \u003d 2; x4 \u003d 7.

B. Gleichungen des Formulars (2) und (3).
Da das Modul jeder Expression nicht negativ ist, wenn x die Lösung der Gleichung (2) ist, ist die rechte Seite dieser Gleichung nicht negativ, d. H. . Dann ist aber auf der linken Seite derselben Gleichung per Definition einfach gleich. Schlussfolgerung: Mit einem obligatorischen Zustand kamen wir zur Identität, sodass die Lösungen der Ungleichheit gleichzeitig Lösungen der Gleichung (2) liegen.
In ähnlicher Weise argumentieren wir, dass alle Lösungen der Ungleichheit Lösungen der Gleichung (3) sind.

Beispiel 3. Lösen Sie Gleichungen: a); b); beim) .
Lösungen:
a) .
Antworten:.

B) .
Antworten:.

C. Gleichungen des Formulars (4).
Wenn X die Lösung der Gleichung (4) ist, ist gemäß der geometrischen Definition des Moduls der Abstand auf der numerischen geraden Linie von den Punkten f und g gleich dem Beginn der Koordinaten, d. H. Oder Punkte F und G übereinstimmen (wir haben :) oder symmetrisch miteinander relativ zum Start von Koordinaten (wir haben :). deshalb

Als besonderes sollte die Gleichung erwähnt werden.
Die Lösungen dieser Gleichung sind alle x, unter denen der Ausdruck definiert ist.

Beispiel 4. Gleichungen lösen: a); b); beim) ; d).

Lösungen:

A) Diese Gleichung ist die Gleichung der Spezies wo. Diese Funktion wird mit einem beliebigen gültigen x, so x - beliebig ermittelt.
Antwort: x - ja.

B) .
Antworten:.

C) .
.
Antworten:.

Hinweis: Weil  Beide Teile der Gleichung (4) können in ein Quadrat errichtet werden, die von den Modulen freimachen, und unter den Wurzeln der resultierenden Gleichung wird es für uns nicht "extra" sein.
Zum Beispiel: wo wir bekommen.

D. Ansicht Gleichungen. (fünf)
Wir haben: Die Menge ist nicht negativ per Definition von Ausdrücken ist Null. Folglich sollte jede der Komponenten Null sein. weil Dann und nur dann, wenn und dann und nur, wenn die Gleichung (5) dem System entspricht :.
Das Lösen dieses Systems ist wie folgt rational: Wählen Sie aus Gleichungen eine einfachere, Fund-IT-Lösungen und prüfen Sie sie, um das gesamte Substitutionssystem auf die verbleibende Gleichung zu erfüllen.

Beispiel 5. Lösen Sie Gleichungen: a);
b).

Lösungen:

ABER)
Wir ersetzen abwechselnd x \u003d -1 und x \u003d 1 in der ersten Gleichung, wir erhalten, dass beide Gleichungen des Systems nur bei x \u003d -1 erfolgen.
Antwort: x \u003d -1.

B) Diese Gleichung ist ein gleichwertiges (gleichwertiges) System:

Antwort: x \u003d -2.
Absatz 2. Intervallverfahren. Die Lösung der einfachsten Systeme.

Lassen Sie es notwendig sein, die Gleichung zu lösen. Gemäß der algebraischen Definition des Moduls:

Somit teilt der Punkt x \u003d 2 die numerische Achse in zwei Intervalle auf, an denen jeweils die modularen Klammern oberhalb des Expressions X-2 auf unterschiedliche Weise offenbart sind:

Daher wird die Lösung der anfänglichen Gleichung auf eine konsistente Berücksichtigung von zwei möglichen Situationen reduziert:
a) Angenommen, x ist die Lösung der anfänglichen Gleichung und.
Dann haben wir:, was dem Zustand A) entspricht). Daher ist es eine Lösung für die ursprüngliche Gleichung.
b) Angenommen, x ist die Lösung der anfänglichen Gleichung und
Dann haben wir: das entspricht nicht der Bedingung b). Daher ist es keine Lösung für die ursprüngliche Gleichung.
Die betrachtete Gleichung hat die einzige Wurzel :.

Insbesondere das Intervallverfahren ist nützlich, wenn in der Gleichung mehrere modulare Klammern vorhanden sind. Die einzige Schwierigkeit besteht darin, eine klare Abfolge von Aktionen zu bestimmen, sodass der folgende Plan dringend empfohlen wird:

1) Bestimmen Sie alle Werte des Unbekannten, in dem Ausdrücke unter den Anzeichen des Moduls in Null werden oder unsicher werden, und die auf der numerischen Achse erhaltenen Punkte feststellen.
2) Lösen Sie die anfängliche Gleichung an jedem der identifizierten numerischen Intervalle.
3) Kombinieren Sie die gefundenen Lösungen in der Gesamtantwort.

Am Ende der ersten Etappe ist es nützlich, um zu leiten, wie genau in Abhängigkeit von der Position der unbekannten Achse auf der numerischen Achse, jeder modularen Klammern offenbart.

Übung: Offenbarung modulare Klammern im Ausdruck.
Erstens berücksichtigen wir die internen Klammern: mit, damit wir auf den numerischen Achspunkt beachten.
Dann berücksichtigen wir externe Klammern: Lösen Sie die Gleichung (die Lösung wird über dem Intervallverfahren durchgeführt:

Die erste Gleichung hat keine Wurzeln, und die Zügel der Sekunde sind die Zahlen 1 und -1, aber x \u003d 1 erfüllt den Zustand nicht.
Als Nächstes, der WIRBITRARY X, More -1, beispielsweise X \u003d 0, ausgewählt, stellen wir sicher, dass bei x\u003e -1; Wenn Sie ein beliebiges X, weniger -1, beispielsweise X \u003d -2 auswählen, stellen Sie sicher, dass wenn x

Infolgedessen ist die numerische Achse markierte Punkte x \u003d -1 und x \u003d 0. Bei jedem der resultierenden Lücken werden die Module im anfänglichen Ausdruck durch "Kette" (*) aufgedeckt:

Wann;
wann;
beim.

BEISPIEL 6.Recery-Gleichungen: a); b); beim) ; d).
Lösungen:

A) ich stufe.
. Deshalb:
.

Stufe II.
1) Dann wird daher die anfängliche Gleichung das Formular annehmen :.

2). Dann wird daher die anfängliche Gleichung das Formular annehmen: was nicht dem unter Berücksichtigung des Segments entspricht, daher hat diese Lücke nicht die Wurzelgleichung.
3) Dann wird dann die anfängliche Gleichung das Formular annehmen: das entspricht dem betrachteten Halbintervall, daher die anfängliche Gleichung.
Iii Bühne.
In der ersten und des zweiten numerischen Intervalle hat die Lösungsgleichung keine Lösung. Der dritte erhielt eine Entscheidung.
Antworten:.

B) ich stufe.
Deshalb:

Wir haben folgende numerische Lücken:

Stufe II.
1) Dann wird dann die anfängliche Gleichung das Formular annehmen:
Erforderte die rechte numerische Gleichheit, so dass eines der eines aus dem Intervall die Lösung der ursprünglichen Gleichung ist!
2). Wir haben das Öffnen der Module nach den Ergebnissen der ersten Stufe:, die dem betrachteten Segment entspricht, daher gibt es eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.
3) zeigen Sie die Module:
Falsche numerische Gleichheit, daher hat die anfängliche Root-Gleichung in diesem Halbintervall nicht.

Iii Bühne.
Im ersten Intervall:
In der zweiten Lücke:
Im dritten Intervall: keine Lösungen.
Ergebnis:
Antworten:

C) ich stufe.
Zuerst betrachten wir das "interne" Modul, dann "extern":
1) x \u003d 0 bei x \u003d 0 \u003d\u003e
2)
Diese Gleichung sollte separat gelöst werden. Wir nennen wir gleichzeitig, dass die numerischen Lücken bereits bekannt sind (siehe (*)):
Wenn wir keine Lösungen haben
wenn wir haben
Aber X1 entspricht dem Zustand nicht.
Damit, .
Derselbe Ausdruck ist positiv (z. B. x \u003d 10 :) und negativ bei (zum Beispiel x \u003d 1 :). Deshalb:

Wir haben folgende numerische Lücken:

Stufe II.
In jedem Intervall zeigen wir zunächst die externen modularen Klammern, dann intern.
1) .
:, Was entspricht dem unter Berücksichtigung des Intervalls, daher gibt es eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.
2) .
: .
Überprüfen Sie die Korrespondenz der angegebenen Segmente, die von den Wurzeln gefunden wurden: - Nun, achten Sie offensichtlich, ob das Verhältnis durchgeführt wird

Offensichtlich d. H. Es ist eine Fremdwurzel.
3) .
:. Wir prüfen die resultierende Zuordnung in das angegebene Halbintervall: ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Iii Bühne.
;
;
.
Antworten:.

D) ein Merkmal dieser Gleichung ist das Vorhandensein eines unbekannten Werts im Denomotor-Nenner, so dass an jedem numerischen Lücke den Bereich der Bestimmung der Gleichung (Ou) ermittelt werden muss.

Wir haben zwei Halbintervalle:

Stufe II.
1) Aufschluss des Moduls und Vereinfachung, erhalten wir die Gleichung.
Oo: Mit aus dem oo, offensichtlich werden wir die treue gleichheit, so Entscheidungen der Quellgleichung sind alle.
2) Aufschluss des Moduls und Vereinfachung, erhalten wir die OO-Gleichung :. Dann, was dem in Betracht gezogenen Halbintervall entspricht, gibt es daher eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.

Antworten:.

B. die Lösung von einfachen Systemen von Gleichungen, die einen absoluten Wert enthalten, sollten keine Schwierigkeiten verursachen: In der Regel reicht es aus, die bekannten Studenten für die Substitutionsmethode zu verwenden.

Beispiel 7. Lösen Sie das System der Gleichungen:
A B C D)

Lösungen:
a) aus der ersten Gleichung des Systems erhalten wir:
Nach der Substitution (*) dauert dann die zweite Gleichung das Formular:
.
Nach (*): wann.
Antworten:

B) Aus der ersten Gleichung des Systems erhalten wir:
.
Mit aus der zweiten Gleichung des Systems, das wir bekommen
Dementsprechend x \u003d 2.
Mit aus der zweiten Gleichung des Systems erhalten wir y \u003d -5.
Antworten:.

C) Aus der zweiten Gleichung des Systems erhalten wir:
.
Mit aus der ersten Gleichung, die wir bekommen.
Mit aus der ersten Gleichung, die wir bekommen; Entsprechend,.
Antworten:.

D) In \u200b\u200bdiesem Fall ist es einfacher, das Additionsverfahren zu verwenden und die resultierende Gleichung, das Intervallverfahren zu lösen.
.

1) Wir bekommen Lösungen Nr.
2) Wir bekommen.
Fazit: Und jetzt bekommen wir von der ersten Gleichung.
Antworten:.

Ziffer 3. Rationale Lösungsmethoden: Die einfachsten geometrischen und algebraischen Überlegungen, Verallgemeinerung der Intervallmethode, ersetzt die Variable.

A. Einige einfache Gleichungen ermöglichen eine klare geometrische Interpretation, die Lösung wird stark vereinfacht - "ungeeigte" numerische Intervalle werden sofort von der Gegenleistung ausgeschlossen.
Wir zeigen zunächst, dass es geometrisch ein Abstand zwischen den Punkten der numerischen Achse ist, die die Zahlen darstellen, und. Dazu sind auf der numerischen Achse, wo die Koordinaten an der Stelle bereits markiert sind und sich bewegen. Die Koordinaten der Punkte ändern sich:

Abstand zwischen den Punkten und diesem, gemäß dem neuen Referenzsystem der Abstand zwischen den Punkten und, d. H.

Beispiel 8. Lösen Sie Gleichungen: a) b) c) c) d) d).

Lösungen:
a) Es ist erforderlich, auf der numerischen Achse wie x hinzuweisen, dass die Summe der Entfernungen von x zu 1 und von x bis 3 gleich 3 Einheiten ist. Der Abstand zwischen 1 und 3 beträgt 2 Einheiten., Daher (sonst). Es stellt sich heraus, dass x entweder nach links 1 oder rechts von 3 liegt - in einiger Entfernung von ihnen und auf jeden Fall. Deshalb von wo.

Jetzt gibt es einfach zwei Werte x.
Antworten:.
b) Es ist erforderlich, auf der numerischen Achse solcher Punkte 2x anzuzeigen, welchen Abstand von 2x bis -2 mehr als ein Abstand von 2x bis 7 bis 9,12 Einheiten beträgt.
Wenn der fragliche Unterschied immer gleich -9 ist;
Wenn der fragliche Unterschied immer gleich 9 ist;
Wenn der fragliche Unterschied weniger als oder gleich 9 ist.
Lass zum Beispiel:

Dann.
Antwort: Keine Lösungen.

C) Schreiben Sie die Gleichung in der Form neu. Daher liegt das gewünschte x dreimal näher an 3 als zu 2:

\u003d\u003e Keine Lösungen, da X immer näher an 2 als k 3 ist;
"Auf dem Auge",;
\u003d\u003e "Auf den Augen" ,.
Antworten:.

D) Dieses Beispiel zeigt, dass es sehr nützlich ist, die numerische Achse auf die Intervalle "streng" aufzuteilen (ohne "Überlappungen" der Spezies):

Keine Lösungen;
(entspricht dem betrachteten Halbintervall);
Keine Lösungen.
Antworten:.

E) Lassen Sie uns mit der Intervallmethode beginnen:

Ich merke jetzt, wenn und außerhalb dieses Segments. Es ist sinnvoll, die Gleichung nur in diesem Segment in Betracht zu ziehen, und wir erhalten :. Offensichtlich x \u003d 2.
Antworten:.

B. Die Werte der Werte der rechten und linken Teilen der Gleichung studieren, ist es oft möglich, die Entscheidung der Lösung zu vereinfachen, ohne die offensichtlich unangemessenen Werte des Unbekannten zu vereinfachen.

Beispiel 9. Lösen Sie Gleichungen: a) b) c) c) d).

Lösungen:

A) Der linke Teil der Gleichung ist bei keinem X und im rechten Teil nicht negativ - eine negative Zahl.
Antwort: Keine Lösungen.

B) Der linke Teil der Gleichung ist bei keinem X nicht negativ, wenn x eine Lösung ist, dann ist auch die rechte Seite nicht negativ. Es reicht also aus, nur die Bedeutung von x aus dem Bereich, das ist, nur die Bedeutung von X in Betracht zu ziehen. Dann erhielten sie jedoch falsche Gleichheit.
Antwort: Keine Lösungen.
c) Der Ausdruck ist für jedes X positiv, sodass externe modulare Klammern entfernt werden können. Wenn X eine Lösung ist, ist auch die rechte Seite auch positiv, daher reicht es aus, x aus der Region zu berücksichtigen. Dann bekommen wir (entspricht dem Bereich).
Antworten:.

D) Die Summe der beiden nicht negativen Begriffe ist gleich 1, wenn jede der Komponenten das Gerät nicht überschreitet: Wenn er den angegebenen Abschnitt eindringt, ist es offensichtlich, dass es nicht zu uns passt. Daher, wenn x eine Lösung ist, dann. Und in diesem halben Intervall bekommen wir
Es ist klar, dass - eine Fremdwurzel.
Antworten:.

C. Betrachten Sie die Gleichungen des Formulars (1)
Diese Gleichung durch Intervalle lösen, erhalten wir Gleichung für diese Lücken, bei denen die Gleichung für die Lücken woher ist. Es ist klar, dass es keinen Sinn macht, jeder Lücke separat zu berücksichtigen, es reicht aus, in zwei bestimmte Gruppen zu teilen: Für jeden ist es notwendig, die entsprechende Gleichung zu lösen und die erhaltenen Wurzeln zur Übereinstimmung mit dem zugewiesenen Zustand zu überprüfen. Auf diese Weise

Eine andere Option ist möglich: Es ist klar, dass zwischen den Lösungen der Gleichung die wahren Wurzeln der Gleichung (1) diejenigen sind, unter denen wir ähnliche Argumente für den Fall, den wir bekommen

Welche der zu wählenden Optionen hängt von der Art der Funktionen ab, beispielsweise wenn Lösungen von Gleichungen erleichtert, den Einchecken zu ersetzen, dann ist es sinnvoll, die erste Methode anzuwenden.

Beispiel 10. Lösen Sie Gleichungen: a)
b) c).

Lösungen:

A) Angenommen,
Dann habe
Annehmen
Dann haben wir keine Lösungen.
Überprüfen Sie jetzt die erhaltenen Wurzeln. Ich schreibe die ursprüngliche Gleichung um:
. Da beide Wurzel wahr sind.
Antworten:

B) Angenommen,
Dann haben wir keine Lösungen.
Annehmen
Dann habe
Um die Wahrheit dieser Wurzeln zu bestimmen, werden wir die Erfüllung der Bedingung überprüfen: Offensichtlich die Wurzel des Außenseiters. Um zu überprüfen, sollten Sie herausfinden, ob es wahr ist. Seitdem ist die unter Berücksichtigung der Ungleichheit nicht erfüllt.
Antwort: Keine Lösungen.

C) Gleichung neu schreiben: Wir verwenden die folgende Grafikabbildung: (Hier werden Grafiken dargestellt).

Nun ist klar, dass die resultierenden numerischen Lücken in drei folgenden Gruppen kombiniert werden sollten:
eins) . Wir erhalten (entsprechend dem Zustandssatz).
2) Empfangen
Keine Lösungen.
3) Empfangen
Keine Lösungen.
Antworten:.

D. Die Methode zum Ersetzen eines bestimmten Ausdrucks einer neuen Buchstabenvariablen ist bekannt. Es ist nur ersichtlich, dass beim Lösen von Gleichungen, die das Modul enthalten, häufig möglich ist, den Änderungsbereich der Änderungen in der neuen Variablen sofort einzuschränken.
Beispiel 11. Lösen Sie Gleichungen oder Systemsysteme: a);
b);
beim)

Lösungen:
a) Ersetzen einer neuen Variablen Wir erhalten das System, das bedeutet, dass die Wurzeln der Gleichung erhalten werden.
Antworten:.

B) Ersetzen des Ausdrucks der neuen Variablen Wir erhalten die Gleichung. Wir bekommen:
. Es bleibt, diese Gleichungen zu lösen.
Antworten:.

C) Schreiben Sie die Gleichung in das Formular neu aus:
Natürlich sind zwei Optionen möglich:
1)
2) Ersetzen Sie eine neue Variable. Beachten Sie, dass im Sinne des Ersatzes und gemäß der Ost dieser Gleichung, d. H. (*) Und die Gleichung dauert das Formular. Wie wir bekommen
In Anbetracht dessen (*), bekommen wir endlich
Also ersetzen, wir bekommen
Da kommen wir im Sinne des Ersatzes

Steueraufgaben auf §1.
1) Entscheiden Sie mit der Definition des Moduls der Nummer:
a) b) c) d) d) d) e) g) h) und) zu).

2) Entscheiden Sie "Standard" -Ernisse:
a) b) c) d) d) e) g) h) und).

3) Entscheiden Sie die Intervallmethode:
a) b); c) d) e) g) h) und) k) l) m) n) o) p) p) c) c) t) y) f) x) h)

4) Entscheiden Sie rational:
a) b) c) d) d) d) e) g) h) und) k) l) m) n)

5) Entscheiden Sie das System der Gleichungen:
a) b) c) d) d) e) g) h) k) l) m) n) o) p) p)

Aufgaben für Baugruppen Die Funktion "Modul" und Aufgaben mit den Parametern sind traditionell eines der schwierigsten Themen der Mathematiker, daher ist es immer in den Aufgaben eines erhöhten und hohen GIA- und EGEs enthalten.

Das Konzept des "Moduls" wird in der Schule von Klasse 6 und auf Ebene, nur Definitionen und Berechnungen untersucht, trotz der Tatsache, dass es in vielen Abschnitten des Schulkurs der Mathematik weit verbreitet ist, zum Beispiel in der Studie der absolute und relative Fehler der ungefähren Zahl; In Geometrie und Physik wird das Konzept des Vektors und dessen Länge (Vektormodul) untersucht. Die Konzepte des Moduls gilt in Kursen höherer Mathematik, Physik und Technischewissenschaften, die in höheren Bildungseinrichtungen studiert haben.

Es gibt ein Problem vor Absolventen - um die GIA in der 9. Klasse und in der Zukunft und in der Zukunft und in der Prüfung erfolgreich zu passieren.

In diesem Jahr trafen wir in den Lehren der Mathematik mit dem Konzept einer linearen Funktion und lernten, wie sie ihren Zeitplan aufbauen können. Es wurde gezeigt, dass dieser Zeitplan als Grundlage für den Bau der Funktion "Modul" ergriffen wird. Darüber hinaus sagte der Lehrer, dass die Gleichungen mit einem und mehreren Modulen sind. Ich beschloss, dieses Thema tiefer zu studieren, zumal sie für mich nützlich sein wird, wenn Sie Prüfungen übergeben werden.

Thema "Die grafische Methode zur Lösung von Gleichungen, die einen absoluten Wert enthalten"

Zweck der Arbeit. : erforschen Sie die Möglichkeit einer rationalen Konstruktion von Diagrammen mit Modulen, um Gleichungen zu lösen, die das Modul und den Parameter enthalten

Untersuchen Sie die Theorie, indem Sie Methoden der Gleichungen mit einem Modul lösen.

Lernen Sie, Gleichungen zu lösen 1. Klasse mit einem absoluten Wertschild.

Klassifizieren Sie grafische Methoden, um Gleichungen zu lösen.

Analysieren Sie die Vor- und Nachteile verschiedener Methoden zum Bau von Graphenfunktionen "Modul".

Finden Sie heraus, was der Parameter ist

Wenden Sie rationale Methoden an, um Gleichungen mit Parameter zu lösen

Objekt - Methoden zum Lösen von Gleichungen mit einem Modul

Gegenstand der grafischen Methode zur Lösung von Gleichungen

Forschungsmethoden: theoretisch und praktisch:

theoretisch ist ein Studium der Literatur zum Thema Forschung; Internetinformation;

die praktische Analyse der Informationen, die in der Literaturuntersuchung erhalten wurden, die Ergebnisse, die bei der Lösung von Gleichungen mit dem Modul auf verschiedene Weise erhalten wurden;

vergleich von Möglichkeiten, um Gleichungen zu lösen, das Thema der Rationalität ihrer Verwendung bei der Lösung verschiedener Gleichungen mit einem Modul.

Kapitel I.

Konzepte und Definitionen.

1.1. Das Modul wird in vielen Abschnitten des mathematischen Schulkurs weit verbreitet, beispielsweise in der Untersuchung der absoluten und relativen Fehler der ungefähren Zahl; In Geometrie und Physik werden die Konzepte des Vektors und seiner Länge (Vektormodul) untersucht. Die Konzepte des Moduls gilt in Kursen höherer Mathematik, Physik und Technischewissenschaften, die in höheren Bildungseinrichtungen studiert haben.

Das Wort "Modul" trat aus dem lateinischen Wort "Modulus" auf, was "Maßnahme" bedeutet. Dieses Wort hat viele Werte und wird nicht nur in Mathematik, Physik und Technologie, sondern auch in Architektur, Programmierung und andere genaue Wissenschaften angewendet. Es ist, dass der Begriff mit Cotto, Newton's Student, vorgeschlagen wird. Das Modulschild wurde im XIX-Jahrhundert Weiertrass eingeführt.

In der Architektur, eine Modulquelleneinheit, die für diese architektonische Struktur installiert ist. Es ist ein Begriff, der in verschiedenen Technikfeldern angewendet wird, die dazu dient, verschiedene Koeffizienten und Werte zu bezeichnen, beispielsweise ein elastisches Modul, ein Eingriffsmodul. In Mathematik, das Modul hat mehrere Werte, aber ich werde es als einen absoluten Wert der Nummer betrachten.

Definition : Modul (absoluter Wert) einer gültigen Zahl aberals diese Nummer angerufen, wenn aber≥0 oder die entgegengesetzte Zahl - aber, wenn ein aber<0; das Nullmodul ist Null.

Das Modul ist der Abstand der Abstimmung der Koordinate direkt von Null bis zum Punkt.

1.2. Die Gleichung mit dem Modul ist eine Gleichung, die eine Variable unter einem absoluten Wertschild (unter dem Vorzeichen des Moduls) enthält. Löse die Gleichung ist, dass es bedeutet, all seine Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass es keine Wurzeln gibt. Methoden zur Lösung von Gleichungen mit einem Modul:

1. Durch Definieren des Moduls - "Entfernen des Moduls". Die Lösung basiert auf der Definition.

2. Analytische Methodenlösung für Gleichungen mit Transformationen von Ausdrücke, die in der Gleichung und Eigenschaften des Moduls enthalten sind.

3. Treffpunkte von Intervallen: Offenbarung des Moduls in Intervallen und Halbintervallen, die von "Zeros" -Modulen gebildet werden.

4. Grafikmethode. Die Essenz dieser Methode besteht darin, Diagramme dieser Funktionen aufzubauen, die das Links und Recht der Gleichung darstellen. Wenn die Diagramme kreuzen, sind die Ablesungen der Zählpunkte der Grafiken Wurzeln dieser Gleichung.

1.3. Methoden zum Erstellen von Diagrammenfunktionen mit einem Modul

1.3.1. Per Definition. Zwei gerade Linien sind gebaut \u003d kx + in, wobei x\u003e 0, y \u003d -kx + in, wobei x<0

1.3.2 Symmetrie-Methode. Die Grafik ist y \u003d kx + in, bei x\u003e 0,Ad der Zeile bei x<0 отображается относительно оси абцисс.

1.3.3. Formierungsfunktionen:

a) y \u003d | x | + n Diagramm verschiebt die Ordinatenachse auf In-Einheiten

b) y \u003d | x | -n Graph verschiebt die Ordinatenachse

c) y \u003d | x + n | Die Grafik verschiebt sich nach links entlang der Absissachse

d) y \u003d | x -n | Der Zeitplan verschiebt sich nach rechts entlang der Assex-Achse

1.3.4. Intervallverfahren. Die koordinatische geradlinige Linie wird in den Intervallen und Semi-Intervallen mit Nullen von Modulen abgebaut. Als Nächstes, mit der Definition des Moduls, für jeden der gefundenen Bereiche, erhalten wir die Gleichung, die in diesem Intervall gelöst werden muss, und erhalten Sie eine Funktion.

1.3.5. Methode zur Erweiterung von Zerule-Regionen. Wenn mehrere Module komfortabler sind, um Module nicht offenzulegen, jedoch die folgende Anweisung zu verwenden: algebraische Module n. Lineare Ausdrücke sind eine stückweise lineare Funktion, die aus einem Graphen besteht N. +1 geradlinige Segmente.

Dann kann der Zeitplan von erbaut werden n.+2 Punkte n. Davon sind Wurzeln von Intra-Modul-Ausdrücken, einem anderen - ein beliebiger Punkt mit einer Abszisse, weniger kleiner von diesen Wurzeln und letzteren - mit einer Abszisse, größer, größerer von den Wurzeln.

1.4. Wir haben eine Gleichung aX + B \u003d C.In dieser Gleichung. h. - Unbekannt, a, b, c - Koeffizienten, die verschiedene numerische Werte annehmen können. Die auf diese Weise angegebenen Koeffizienten werden als Parameter bezeichnet. Eine Gleichung mit den Parametern setzt eine Vielzahl von Gleichungen (für alle möglichen Parameterwerte).

dies sind alle Gleichungen, die die Gleichung mit den Parametern einstellen aX + B \u003d C.

Gleichung mit Parametern lösen - was bedeutet:

Um anzugeben, welche Werte der Parameter die Gleichung eine Wurzel hat und wie viele von ihnen mit unterschiedlichen Werten der Parameter sind.

Finden Sie alle Ausdrücke für die Wurzeln und geben Sie für jeden von ihnen die Werte der Parameter an, in denen dieser Ausdruck den Wurzel der Gleichung bestimmt.

1.5.Ergebnisse:

Somit gibt es unterschiedliche Verfahren zum Aufbau von Diagrammen mit einem Modul, das auf die Möglichkeit ihrer rationalen Verwendung untersucht werden muss.

Kapitel II.

Analyse der Methoden zum Bau von Funktionen, die das Modul und die Anwendung enthalten

« Die Grafik ist die Sprechungslinie,

was über viele Dinge erzählen kann "

M.B. BALKK.

2.1. Untersuchen der Arten von Gleichungen mit einem Modul sahen wir, dass sie in Arten und Methoden der Lösung unterteilt werden können.

Tabelle. Klassifizierung von Gleichungen von Gleichungen und deren Lösungsmethoden.

Art der Gleichung.

Entscheidungsmethode

1. Flucht mit einem Modul

| X. n | \u003d a

| X | n \u003d A.

1. Bei der Definition des Moduls

2. Grafik.

3. Analytik.

2. Eurabilität mit 2 Modulen

| X. n | | X. m | \u003d a

1. Bei der Definition des Moduls

2. Grafik.

3. Methodenintervalle

4. Analytik.

3. Angestellte Module

||| X. n | m || \u003d.aber

1. Bei der Definition des Moduls

2. Grafik.

Schlussfolgerung: Somit gibt die Klassifizierung von Gleichungen allgemeine Methoden zur Lösung aller Arten von Gleichungen - sie ist definitionsgemäß des Moduls und der grafischen Methode.

2.2.Analyse der Konstruktion von Graphen.

2.2.1. Typ 1. Gebäude y \u003d x |

2.2.1.1.Per Definition.

1. True gerade y \u003d x

2. Mittlerer Teil des Direkts bei x 0

3. Interesse gerade y \u003d -x

4.Die Teil der geraden Linie bei x<0

2.2.1.2. Symmetrie-Methode

1. True gerade y \u003d x

2. Erhöhen Sie die Symmetrie in Bezug auf die Achse von ABCISSI bei X<0

2.2.1.3. Gebäude y \u003d | x -2 |

1. Richtig gerade y \u003d x-2

2. Mittlerer Teil der geraden Linie bei X-2 0

3. Instrument direkt y \u003d -x + 2

4.Die Teil der geraden Linie bei X-2<0

Fazit: Symmetrie Rationale Methode

2.2.2. Typ 2.

Aufgabe: Erstellen Sie ein Graph y \u003d

2.2.2.1.Intervallmethode

1. auf der
Wir bekommen y \u003d -x + 3 + 1-x-4; y \u003d -2x.

2. Ein
erhalten \u003d -x + 3-1 + x-4; y \u003d -2.

3. ON.
Wir erhalten y \u003d x-3-1 + x-4; y \u003d 2x-8

4. Trakte ganz gerade.

5.Die Teilteile direkt in Intervallen

2.2.2.2.Methode der Erweiterung der Zerule-Regionen

1. für: 3 und 1; Erweiterter Bereich: 2.4.0

2. Werte extrahieren in: 3,1,2,4,0 Dies: -2, -2, -2, 0, 0

3. Industionspunkte mit ihren Koordinaten und Verbinden

Schlussfolgerung: Die Methode der Erweiterung des Zerulebereichs ist rational

2.2.3. Typ 3. Verschachtelte Module- "Matryoshka"

UND lassen Sie uns bei \u003d ||| x | -1 |

2.2.3.1. Per Definition des Moduls

Per Definition des Hauptmoduls haben wir:

1) x\u003e 0 y \u003d | x | -1

2) H.<0 у=-|х|+1

2. "Entfernen" das folgende Modul:

Modul: y \u003d x-1, x\u003e 0 und y \u003d -x + 1 x<0

y \u003d -x + 1 x\u003e 0 y \u003d x-1 x<0

3. Erstellen Sie Diagramme

2.2.3.2. Symmetriemethode

1. y \u003d | x | -1
y \u003d x-1, Symmetrie

2. Symmetrie in Bezug auf die Abwesenheitsachse des Diagramms, wobei x-1<0

Schlussfolgerung: Die Symmetriemethode ist rational.

2.2.4. Wir werden die Analyse der Ergebnisse in der Tabelle reduzieren:

Wissen und Fertigkeit.

Nachteile

Per Definition

Definition des Moduls

Wissen: Wie die Koordinaten von Direktpunkten ermittelt werden

In der Lage sein, einen Teil der direkten Ungleichheit zuzuteilen

Sperrige Lösungen.

Anwendung eines großen Wissens

Beim "Entfernen des Moduls können Sie Fehler zulassen

Symmetrie-Methode

Wissen und können Sie die Funktionsumsetzung anwenden können

Baugruppen in Bezug auf die Abwesenheitsachse

Kenntnis von Graphenumwandlungsalgorithmen

Intervallmethode

Nullenmodul finden.

Intervalle und Halbintervalle definieren

Module offenbaren

Module berechnen

Ähnliche Komponenten durchführen

In der Lage sein, Punkte durch ihre Koordinaten aufzubauen

Gerade bauen

Sperrige Lösungen.

Viele Berechnungen und Transformationen beim Entfernen von Nullen

Nimmt eine Menge Zeit in Anspruch

Korrektheit der Bestimmungsintervalle und Halbintervalle

Methode zur Erweiterung der Zerule-Region

Nullenmodul finden.

Zerule ausdehnen können

In der Lage sein, die Module an diesen Punkten zu berechnen

In der Lage sein, Punkte durch ihre Koordinaten aufzubauen

Messtoleranz in Berechnungen

Funktionsumwandlungsmethode.

Kenne den Konvertierungsalgorithmus

In der Lage sein, Punkte durch ihre Koordinaten aufzubauen

In der Lage sein, die Koordinaten der Punkte zu berechnen

Konvertierungsalgorithmus anwenden können

Kenntnis von Graphenumwandlungsalgorithmen

Schlussfolgerung: Analysieren des Tisches, wir schließen daraus, dass die Symmetrie-Methode und der Erweiterung der Null-Region die rationellste, da Es enthält die geringste Aktion zum Bau, was bedeutet, Zeit zu sparen.

2.3. Ersetzen von rationalen Methoden zum Erstellen von Diagrammen, um Gleichungen mit einem Modul und einem Parameter zu lösen

2.3.1. Gleichung lösen:

Wir bauen y \u003d
und y \u003d 0,5s

2.Recent: -1.2.

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4. Geben Sie Segmente und Strahlen an

2.3.2. EGE 2009. Finden Sie alle Werte A, mit denen jeweils die Gleichung
Es hat genau 1 Wurzel. Und \u003d 7. Im Zuge der Arbeit gelang es uns, verschiedene Methoden zum Bau von Diagrammen zu erkunden und zu analysieren. Infolge der Analyse und dem Vergleich der Methoden zum Bau von Diagrammen wurden folgende Schlussfolgerungen erhalten:

Übersetzung von algebraic Task in Sprache g.rafikov vermeidet sperrige Lösungen;

Bei der Lösung von Gleichungen, die das Modul und den Parameter enthalten, ist das Grafikverfahren visuell und relativ einfacher;

Beim Aufbau von Graphen mit 2 Modulen und "Matryoshka" praktischer Symmetriemethode;

Obwohl das grafische Verfahren der Lösung der Gleichungen ungefähr ist, weil Die Genauigkeit hängt von dem ausgewählten einzelnen Segment, der Dicke des Bleistifts, der Winkel, unter welchen Linien schneiden, usw., aber dieses Verfahren kann es uns ermöglichen, die Anzahl der Wurzeln von Gleichungen zu bewerten, um Gleichungen mit dem Parameter zu lösen.

In Anbetracht dessen, dass eine der beliebtesten Aufgaben für die Prüfung und die GIA-Gleichungen mit dem Modul, die Tatsache, dass das Hauptergebnis ist, dass ich Gleichungen mit dem Modul und den Parameter grafisch lösen kann.

Referenzliste

1. Dankova I. "Persönliches Training in Mathematik", Moskau, 2006.

2. Außerschulische Arbeiten an der Mathematik. Alhova z.n., Makeeva A.V., Saratov: Lyceum, 2003.

3. Mathematik. Tutorial, das von Muraury L.Ya., Moskau Bridge, 1994, bearbeitet wurde.

4. Mathematik. 8-9 Klassen: Sammlung von Wahlkursen. Ausgabe-2. Der Auto-Compiler: M.E. Kozina, Wolgograd: Lehrer, 2007

5. yarstrecky g.a. Aufgaben mit Parametern. M, 2006.