Wie man die Höhe eines Dreiecks findet, wenn man die beiden Seiten kennt. Die Höhe des Dreiecks. Visueller Leitfaden (2020). Erhebung und Verwendung personenbezogener Daten

Bei der Lösung verschiedener Arten von Problemen sowohl rein mathematischer als auch angewandter Natur (insbesondere im Bauwesen) ist es häufig erforderlich, den Wert der Höhe einer bestimmten geometrischen Figur zu bestimmen. Wie berechnet man einen bestimmten Wert (Höhe) in einem Dreieck?

Wenn wir 3 Punkte paarweise kombinieren, die sich nicht auf einer einzigen geraden Linie befinden, ist die resultierende Figur ein Dreieck. Eine Höhe ist ein Teil einer Linie von einem beliebigen Scheitelpunkt einer Figur, der, wenn er sich mit der gegenüberliegenden Seite schneidet, einen Winkel von 90 ° bildet.

Finden Sie die Höhe in einem ungleichmäßigen Dreieck

Bestimmen wir den Wert der Höhe des Dreiecks für den Fall, dass die Figur beliebige Winkel und Seiten hat.

Heron-Formel

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, wobei

p - Hälfte des Umfangs der Figur, h (a) - Segment zur Seite a, im rechten Winkel dazu gezeichnet,

p=(a+b+c)/2 – Berechnung des halben Umfangs.

Wenn es eine Fläche der Figur gibt, können Sie zur Bestimmung ihrer Höhe das Verhältnis h(a)=2S/a verwenden.

Trigonometrische Funktionen

Um die Länge einer Strecke zu bestimmen, die im Schnittpunkt mit der Seite a einen rechten Winkel bildet, können Sie folgende Beziehungen verwenden: Wenn Seite b und Winkel γ oder Seite c und Winkel β bekannt sind, dann ist h(a)=b*sinγ oder h(a)=c * sinβ.
Wo:
γ ist der Winkel zwischen Seite b und a,
β ist der Winkel zwischen Seite c und a.

Beziehung zum Radius

Wenn das ursprüngliche Dreieck in einen Kreis eingeschrieben ist, können Sie den Radius eines solchen Kreises verwenden, um die Höhe zu bestimmen. Sein Mittelpunkt befindet sich an dem Punkt, an dem sich alle 3 Höhen schneiden (von jedem Scheitelpunkt) - dem Orthozentrum, und der Abstand von ihm zum Scheitelpunkt (beliebig) ist der Radius.

Dann ist h(a)=bc/2R, wobei:
b, c - 2 andere Seiten des Dreiecks,
R ist der Radius des Kreises, der das Dreieck beschreibt.

Finden Sie die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck

In dieser Form einer geometrischen Figur bilden 2 Seiten am Schnittpunkt einen rechten Winkel - 90 °. Wenn also der Höhenwert darin bestimmt werden muss, muss entweder die Größe eines der Beine oder der Wert des Segments berechnet werden, das mit der Hypotenuse 90 ° bildet. Bei Benennung:
a, b - Beine,
c ist die Hypotenuse,
h(c) ist die Senkrechte zur Hypotenuse.
Sie können die erforderlichen Berechnungen mit den folgenden Verhältnissen durchführen:

Satz des Pythagoras:

a \u003d √ (c 2 -b 2),
b \u003d √ (c 2 -a 2),
h(c)=2S/c S=ab/2, dann h(c)=ab/c .

Trigonometrische Funktionen:

a=c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Berechne die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck

Diese geometrische Figur zeichnet sich durch das Vorhandensein von zwei gleich großen Seiten und der dritten - der Basis - aus. Um die zur dritten, anderen Seite gezeichnete Höhe zu bestimmen, hilft der Satz des Pythagoras. Mit den Bezeichnungen
a - Seite,
c - Basis,
h(c) ist eine Strecke zu c unter einem Winkel von 90°, dann ist h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

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Zunächst einmal ist ein Dreieck eine geometrische Figur, die aus drei Punkten besteht, die nicht auf einer geraden Linie liegen, die durch drei Segmente verbunden sind. Um herauszufinden, wie hoch ein Dreieck ist, muss zunächst sein Typ bestimmt werden. Dreiecke unterscheiden sich in der Größe der Winkel und der Anzahl gleiche Winkel. Je nach Größe der Winkel kann das Dreieck spitzwinklig, stumpfwinklig und rechtwinklig sein. Nach der Anzahl gleicher Seiten werden gleichschenklige, gleichseitige und ungleichseitige Dreiecke unterschieden. Die Höhe ist eine Senkrechte, die um abgesenkt wird gegenüberliegende Seite Dreieck von seiner Spitze. Wie findet man die Höhe eines Dreiecks?

So finden Sie die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks

Ein gleichschenkliges Dreieck ist durch die Gleichheit von Seiten und Winkeln an seiner Basis gekennzeichnet, daher sind die Höhen eines zu den Seiten des Dreiecks gezeichneten gleichschenkligen Dreiecks immer gleich. Außerdem ist die Höhe dieses Dreiecks sowohl ein Median als auch eine Winkelhalbierende. Dementsprechend teilt die Höhe die Basis in zwei Hälften. Wir betrachten das resultierende rechtwinklige Dreieck und ermitteln die Seite, also die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks, mit Hilfe des Satzes des Pythagoras. Mit der folgenden Formel berechnen wir die Höhe: H \u003d 1/2 * √4 * a 2 - b 2, wobei: a - die Seite dieses gleichschenkligen Dreiecks, b - die Basis dieses gleichschenkligen Dreiecks.

So finden Sie die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks

Ein Dreieck mit gleichen Seiten heißt gleichseitiges Dreieck. Die Höhe eines solchen Dreiecks ergibt sich aus der Formel für die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks. Es stellt sich heraus: H = √3/2*a, wobei a die Seite des gegebenen gleichseitigen Dreiecks ist.

So finden Sie die Höhe eines ungleichmäßigen Dreiecks

Ein ungleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, in dem keine zwei Seiten gleich sind. In einem solchen Dreieck sind alle drei Höhen unterschiedlich. Sie können die Höhenlängen mit der Formel berechnen: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, wobei a die Seite des Dreiecks ist, oder zuerst die Fläche eines bestimmten Dreiecks mit der Heron-Formel berechnen, die sieht so aus: S = (p*(pc)* (pb)*(pa))^1/2, wobei a, b, c die Seiten eines ungleichseitigen Dreiecks und p sein halber Umfang sind. Jede Höhe = 2*Fläche/Seite

So finden Sie die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen rechten Winkel. Die Höhe, die auf eines der Beine übergeht, ist gleichzeitig das zweite Bein. Um die auf den Beinen liegenden Höhen zu finden, müssen Sie daher die modifizierte pythagoreische Formel verwenden: a \u003d √ (c 2 - b 2), wobei a, b die Beine sind (a das zu findende Bein ist), c ist die Länge der Hypotenuse. Um die zweite Höhe zu finden, müssen Sie den resultierenden Wert a anstelle von b einsetzen. Um die dritte Höhe zu finden, die innerhalb des Dreiecks liegt, wird die folgende Formel verwendet: h \u003d 2s / a, wobei h die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist, s seine Fläche ist, a die Länge der Seite ist, zu der die Höhe wird senkrecht sein.

Ein Dreieck heißt spitz, wenn alle seine Winkel spitz sind. In diesem Fall befinden sich alle drei Höhen innerhalb eines spitzwinkligen Dreiecks. Ein Dreieck heißt stumpf, wenn es einen stumpfen Winkel hat. Zwei Höhen eines stumpfen Dreiecks liegen außerhalb des Dreiecks und fallen auf die Verlängerung der Seiten. Die dritte Seite liegt innerhalb des Dreiecks. Die Höhe wird mit dem gleichen Satz des Pythagoras bestimmt.

Allgemeine Formeln wie die Berechnung der Höhe eines Dreiecks

Die Formel zum Ermitteln der Höhe eines Dreiecks durch die Seiten: H= 2/a √p*(pc)*(pb)*(pb), wobei h die zu ermittelnde Höhe, a, b und c die Seiten sind dieses Dreiecks ist p sein halber Umfang, .
Die Formel zur Bestimmung der Höhe eines Dreiecks in Bezug auf Winkel und Seite: H=b sin y = c sin ß
Die Formel zum Ermitteln der Höhe eines Dreiecks in Bezug auf Fläche und Seite: h = 2S / a, wobei a die Seite des Dreiecks und h die Höhe ist, die an Seite a gebaut ist.
Die Formel zum Ermitteln der Höhe eines Dreiecks in Bezug auf Radius und Seiten: H = bc / 2R.

Um viele geometrische Probleme zu lösen, müssen Sie die Höhe finden angegebene Figur. Diese Aufgaben sind von praktischer Bedeutung. Bei der Durchführung von Bauarbeiten hilft die Höhenbestimmung, die erforderliche Materialmenge zu berechnen und zu bestimmen, wie genau Neigungen und Öffnungen hergestellt werden. Um Muster zu erstellen, müssen Sie häufig eine Vorstellung von den Eigenschaften haben

Viele Menschen trotz guter Schulnoten beim Bauen ordentlich geometrische Formen Es stellt sich die Frage, wie man die Höhe eines Dreiecks oder Parallelogramms findet. Und es ist das Schwierigste. Dies liegt daran, dass ein Dreieck spitz, stumpf, gleichschenklig oder rechts sein kann. Jeder von ihnen hat seine eigenen Konstruktions- und Berechnungsregeln.

So finden Sie grafisch die Höhe eines Dreiecks, in dem alle Winkel spitz sind

Wenn alle Winkel des Dreiecks spitz sind (jeder Winkel im Dreieck hat weniger als 90 Grad), gehen Sie wie folgt vor, um die Höhe zu ermitteln.

Gemäß den gegebenen Parametern konstruieren wir ein Dreieck.
Wir führen die Notation ein. A, B und C sind die Eckpunkte der Figur. Die jedem Scheitelpunkt entsprechenden Winkel sind α, β, γ. Die diesen Ecken gegenüberliegenden Seiten sind a, b, c.
Die Höhe ist die Senkrechte vom Scheitelpunkt des Winkels zur gegenüberliegenden Seite des Dreiecks. Um die Höhen eines Dreiecks zu bestimmen, konstruieren wir Senkrechte: vom Scheitelpunkt des Winkels α zur Seite a, vom Scheitelpunkt des Winkels β zur Seite b und so weiter.
Der Schnittpunkt der Höhe und der Seite a wird mit H1 bezeichnet, und die Höhe selbst wird mit h1 bezeichnet. Der Schnittpunkt von Höhe und Seite b ist H2, die Höhe bzw. Höhe h2. Für Seite c ist die Höhe h3 und der Schnittpunkt H3.

Höhe in einem Dreieck mit stumpfem Winkel

Überlegen Sie nun, wie Sie die Höhe eines Dreiecks ermitteln können, falls eines vorhanden ist (größer als 90 Grad). In diesem Fall liegt die in einem stumpfen Winkel gezeichnete Höhe innerhalb des Dreiecks. Die verbleibenden zwei Höhen befinden sich außerhalb des Dreiecks.

Die Winkel α und β in unserem Dreieck seien spitz und der Winkel γ stumpf. Um dann die Höhen zu konstruieren, die aus den Winkeln α und β hervorgehen, ist es notwendig, die ihnen gegenüberliegenden Seiten des Dreiecks fortzusetzen, um Senkrechte zu zeichnen.

So finden Sie die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks

Eine solche Figur hat zwei gleiche Seiten und eine Basis, während die Winkel an der Basis ebenfalls gleich groß sind. Diese Gleichheit von Seiten und Winkeln erleichtert die Konstruktion von Höhen und deren Berechnung.

Lassen Sie uns zuerst das Dreieck selbst zeichnen. Die Seiten b und c sowie die Winkel β, γ seien jeweils gleich groß.

Zeichnen wir nun eine Höhe vom Scheitelpunkt des Winkels α, bezeichnen wir sie mit h1. Für diese Höhe werden sowohl die Winkelhalbierende als auch der Median sein.

Für das Fundament kann nur eine Konstruktion erstellt werden. Zeichnen Sie zum Beispiel einen Median – ein Segment, das den Scheitelpunkt eines gleichschenkligen Dreiecks und die gegenüberliegende Seite, die Basis, verbindet, um die Höhe und Winkelhalbierende zu ermitteln. Und um die Länge der Höhe für die anderen beiden Seiten zu berechnen, können Sie nur eine Höhe bauen. Um also grafisch zu bestimmen, wie die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen ist, reicht es aus, zwei von drei Höhen zu finden.

So finden Sie die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks

Es ist viel einfacher, die Höhen eines rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen als andere. Dies liegt daran, dass die Beine selbst einen rechten Winkel bilden, was bedeutet, dass sie Höhen sind.

Um die dritte Höhe zu bauen, wird wie üblich eine Senkrechte gezogen, die die Scheitelpunkte verbindet rechter Winkel und die gegenüberliegende Seite. Infolgedessen ist zur Herstellung eines Dreiecks in diesem Fall nur eine Konstruktion erforderlich.