Berechnung des Bereichs der Figur, einer eingeschränkten parametrisch angegebenen Kurve. Berechnung des Volumens der Rotationsleiste unter Verwendung eines spezifischen Integrals Berechnen Sie den Bereich der Figur limitierte Linien von Parametro-Online Online

Grüße an Sie, liebe Studenten der Universität Argmon!

Ein bisschen mehr - und der Kurs wird abgeschlossen, und jetzt werden wir mit dem umgehen.

Zhowley winkte leicht mit der Hand - und die Figur manifestierte sich in der Luft. Genauer gesagt war es ein rechteckiges Trapez. Sie hing einfach in der Luft, die von der Zaubersenergie geschaffen wurde, die auf den Parteien floss, und floss auch in den Trapezoid selbst, weshalb der gesamte Funkeln und schimmert.
Dann machte der Lehrer leicht eine kreisförmige Bewegung mit seinen Fingern - und das Trapez begann sich um die unsichtbare Achse zu drehen. Erste langsam, dann ist alles schneller und schneller - so dass in der Luft eindeutig die volumetrische Figur erscheinen begann. Es schien, dass die magische Energie darüber verteilt wurde.

Im Folgenden geschah es: Die glitzernden Konturen der Figur und seines Innenraums füllten sich mit einer Substanz aus, der Glühen wurde weniger spürbar, aber die Figur selbst wurde zunehmend mit etwas Greifbarer ähnlich. Die Körner des Materials wurden gleichmäßig über die Figur verteilt. Und das ist alles vorbei: und Rotation und Glühen. In der Luft hing ein Objekt ähnlich einem Trichter. Zhowley bewegte es sanft auf den Tisch.

Bitte schön. Es ist möglich, viele Gegenstände zu materialisieren - indem sie einige flache Figuren um imaginäre gerade Linien drehen. Natürlich ist es notwendig, eine bestimmte Substanzmenge zu materialisieren, die den gesamten geformten und vorübergehenden Retention mit Hilfe magischer Energie füllt. Um jedoch genau zu berechnen, wie viel Angelegenheit notwendig ist - und Sie müssen das Volumen des erhaltenen Körpers kennen. Wenn nicht genug Substanzen reicht, füllt es nicht das gesamte Volumen und der Körper kann sich als fragil erstellen, mit Mängeln. Und um eine große Überschüsse zu verwirklichen und zu halten, ist die unnötige Kosten der magischen Energie.
Nun, wenn wir eine begrenzte Substanzmenge haben? In der Lage, die Körpermengen zu berechnen, können Sie abschätzen, welche Art von Körper wir ohne die besonderen Kosten von magischer Energie tun können.
Es gibt auch einen weiteren Gedanken über das übermäßig angezogene Material. Wo kommen die überschüssigen Substanzen heraus? Coperty, nicht beteiligt sein? Oder kleben Sie an dem Körper wie aufgehängt?
Im Allgemeinen ist noch etwas zu denken. Wenn Sie plötzlich einige Gedanken auftauchen, höre ich sie gerne. Inzwischen wenden wir uns an die Berechnung der auf diese Weise erhaltenen Körpermengen.
Hier werden mehrere Fälle berücksichtigt.

Fall 1.

Der Bereich, den wir drehen werden, ist das klassifischste kurvelinearste Trapez.

Natürlich können wir nur um die Achse drehen. Wenn dieses Trapez horizontal rechts nach rechts verschoben wird, so dass er die Oy-Achse nicht überquert, kann er gedreht und relativ zu dieser Achse. Die Zauberformeln für beide Fälle lauten wie folgt:

Wir haben die wichtigsten magischen Auswirkungen auf die Funktion bereits gemeistert, also denke ich, dass es nicht schwierig ist, wenn nötig, wenn nötig, um die Figur so in den Koordinatenachsen zu bewegen, so dass es für das Arbeiten damit bequem ist.

Fall 2.

Nicht nur ein klassisches Curvilinear Trapez kann gedreht werden, sondern auch eine Figur dieses Typs:

Wenn wir drehen, erhalten wir eine Art Ring. Und indem wir die Figur in den positiven Bereich bewegen, können wir es drehen und relativ zur Oy-Achse. Wir bekommen auch einen Ring oder nicht. Es hängt alles davon ab, wie sich die Figur befindet: Wenn der linke Rand genau entlang der OY-Achse passiert, funktionieren die Ringe nicht. Berechnen Sie die Volumina solcher Rotationskörper mit den folgenden Zaubers:

Fall 3.

Erinnern Sie sich daran, dass wir wunderbare Kurven haben, aber diejenigen, die uns nicht vertraut sind, und in parametrischer Form. Solche Kurven sind oft geschlossen. Der Parameter T muss sich so ändern, dass die geschlossene Figur beim Gehen durch Kurve (Grenze) nach links geblieben ist.

Um das Volumen der Rotationskörper in Bezug auf die OH- oder OY-Achse zu berechnen, ist es erforderlich, diese Zauber zu verwenden:

Die gleichen Formeln können auch für den Fall von aufgerichteten Kurven verwendet werden: Wenn beide Enden auf der Achse OH oder auf der OY-Achse liegen. Die Figur erscheint in irgendeiner Weise geschlossen: Die Enden schließt das Segment der Achse.

Fall 4.

Ein Teil der wundervollen Kurven sind von polaren Koordinaten (R \u003d R (FI)) gegeben. Und dann kann die Figur relativ zur polaren Achse gedreht werden. In diesem Fall wird das kartesische Koordinatensystem mit dem Polar kombiniert und setzt sich an
X \u003d r (fi) * cos (fi)
Y \u003d r (fi) * sin (fi)
Somit kommen wir zur parametrischen Form der Kurve, in der sich der FI-Parameter ändern soll, so dass sich der FI-Parameter so ändern soll, dass beim Umgehen der Kurvenregion auf der linken Seite verbleibt.
Und wir verwenden die Zauberformeln aus dem Fall 3.

Für den Fall von polaren Koordinaten gibt es jedoch eine Zauber-Formel:

Selbstverständlich können flache Figuren gedreht und relativ zu anderen direkten direkten, nicht nur relativ zu Ochsen- und Oy-Achsen, sondern diese Manipulationen sind bereits komplexer, so dass wir uns den in den Vorträgen berücksichtigten Fällen beschränken.

Und jetzt hausaufgaben. Ich werde Ihnen keine spezifischen Figuren geben. Wir haben bereits viele Funktionen gelernt, und ich möchte, dass Sie so konstruieren, dass Sie in magischer Praxis benötigen. Ich denke, vier Beispiele für alle in der Vorlesung angegebenen Fälle werden ausreichen.

Vorträge 8. Anwendungen eines bestimmten Integrals.

Die Anwendung des Integrals auf physikalische Ziele basiert auf der Eigenschaft der Additivität des Integrals auf dem Set. Daher können mit Hilfe des Integrals solche Werte, die selbst additiv sind, für viele berechnet werden können. Zum Beispiel ist die Figur der Figur gleich der Summe des Bereichs seiner Teile der Länge des Bogens, wobei die Oberfläche, das Volumen des Körpers, die Masse des Körpers die gleiche Eigenschaft hat. Daher können alle diese Werte mit einem bestimmten Integral berechnet werden.

Sie können zwei Methoden verwenden, um Probleme zu lösen: das Verfahren der integralen Summen und Methode der Differentials.

Die integrierte Betragmethode wiederholt das Design eines bestimmten Integrals: Eine Partition ist gebaut, Punkte markiert, die Funktion wird berechnet, der integrale Betrag wird berechnet, der Grenzwert wird berechnet. Bei dieser Methode besteht der Hauptschwierigkeitsgrad darin, zu beweisen, dass das Limit genau das herausstellen wird, was in der Aufgabe benötigt wird.

Die Methode der Differentials verwendet ein unbestimmte Integral- und Newton-Formel - Leibitsa. Der Differenzwert wird berechnet, der bestimmt werden muss, und dann in der Integration dieses Differentials gemäß Newtons Formel - der Leiber den gewünschten Wert empfängt. Bei dieser Methode besteht die Hauptschwierigkeit darin, zu beweisen, dass er genau das Differential des gewünschten Werts berechnet wird, und nicht etwas anderes.

Berechnung von ebenen Mustern.

1. Die Abbildung ist durch ein Diagramm der im kartesischen Koordinatensystem angegebenen Funktion begrenzt.

Wir kamen zu dem Konzept eines bestimmten Integrals aus der Aufgabe des Cryvilinear Trapez-Gebiets (in der Tat mit der integrierten Menge Methode). Wenn die Funktion nur nicht negative Werte annimmt, kann der Bereich unter dem Graph der Funktion im Segment mit einem bestimmten Integral berechnet werden. beachte das daher ist hier das Verfahren der Differentials zu sehen.

Die Funktion kann jedoch auf einigen Segment- und negativen Werten übernommen werden, dann wird das Integral dieses Segments einen negativen Bereich ergeben, der der Definition des Bereichs widerspricht.

Sie können den Bereich entsprechend der Formel berechnenS.=. Es ist gleichwertig, die Funktion der Funktion in diesen Bereichen zu ändern, in denen er negative Werte ergreift.

Wenn Sie die Größe der Abbildung berechnen müssen, begrenzt von der Oberseite des Graphen der Funktion und unter dem Zeitplan der Funktion, dann sie können Formel verwendenS.= , als .

Beispiel. Berechnen Sie den Bereich der Figur, die mit geradem X \u003d 0, x \u003d 2 und den Diagrammen der Funktionen y \u003d x 2, y \u003d x 3 begrenzt ist.

Beachten Sie, dass bei dem Intervall (0,1) die Ungleichung X 2\u003e X 3 durchgeführt wurde, und bei X\u003e 1 wurde die Ungleichung X 3\u003e X 2 durchgeführt. deshalb

2. Abbildung ist durch ein Diagramm einer im Polar-Koordinatensystem angegebenen Funktion begrenzt.

Lassen Sie den Diagramm der im Polar-Koordinatensystem eingestellten Funktion, und wir möchten den Bereich des Curvilinear-Sektors berechnen, der auf zwei Strahlen begrenzt ist, und ein Diagramm der Funktion im polaren Koordinatensystem.

Hier können Sie das integrierte Betragsmethode verwenden, indem Sie den Bereich des CurvilIninear-Sektors berechnen, als die Grenze der Menge des Bereichs der Elementarsektoren, in der der Graph der Funktion durch einen Bogenkreis ersetzt ist .

Differenzweise kann auch verwendet werden: .

Sie können so streiten. Ersetzen des elementaren Curvilinear-Sektors, der der zentralen Ecke des Kreissektors entspricht, haben wir einen Anteil. Von hier . Integrieren und Verwenden von Newtons Formel - Leibnitsa, erhalten Sie .

Beispiel. Berechnen Sie den Bereich des Kreises (überprüfen Sie die Formel). Wir glauben. Kreisbereich ist gleich .

Beispiel. Berechnen Sie den Bereich Limited Cardioid .

3 Figur ist durch ein Diagramm einer parametrisch angegebenen Funktion begrenzt.

Die Funktion kann parametrisch in der Form eingestellt werden. Wir verwenden die Formel S.= Ersetzen in IT- und Integrationsgrenzen auf eine neue Variable. . In der Regel, wenn Sie das Integral berechnen, sind die Bereiche, in denen die Richtfunktion ein bestimmtes Zeichen aufweist und den entsprechenden Bereich mit der einfachen oder anderen Weise berücksichtigt.

Beispiel. Berechnen Sie den von der Ellipse begrenzten Bereich.

Wir verwenden die Symmetrie der Ellipse, wir berechnen den Bereich des Viertel der Ellipse im ersten Quadranten. In diesem Quadranten. Deshalb .

Berechnung der Körpervolumina.

1. Berechnung von Körper auf den Quadraten paralleler Abschnitte.

Lassen Sie es notwendig sein, das Volumen eines bestimmten Körpers V gemäß den bekannten Bereichen der Abschnitte dieses Körpers mit Ebenen senkrecht zu dem direkten Ochsen zu berechnen, durch einen beliebigen Punkt x einer geraden Linie Ochse ausgeführt.

Wenden Sie die Methode der Differentials an. In Anbetracht des elementaren Volumens, über dem Segment des direkten Kreiszylinders mit einem Grundbereich und einer Höhe, erhalten wir . Integrieren und Anwenden der Newtons Formel - Leibnitsa erhalten wir

2. Berechnung von Rotationskörpern.

Lass uns berechnen OCHSE..

Dann .

Ähnlich, körpervolumen der Rotation um die AchseOy.Wenn die Funktion in der Form angegeben ist, können Sie entsprechend der Formel berechnen.

Wenn die Funktion in der Form angegeben ist und es erforderlich ist, das Volumen des Rotationskörpers um die Achse zu bestimmenOy.Die Formel zur Berechnung des Volumens kann wie folgt erhalten werden.

Wenden Sie sich auf Differential und vernachlässigt quadratische Mitglieder, haben wir . Integrieren und Anwenden von Newtons Formel - Leibnitsa haben wir.

Beispiel. Berechnen Sie das Volumen des Balls.

Beispiel. Berechnen Sie das Volumen des direkten Kreiskegels, der auf die Oberfläche und die Ebene begrenzt ist.

Wir berechnen das Volumen als das Volumen des Rotationskörpers, das durch die Drehung um die Oz-Achse des rechteckigen Dreiecks in der Oxz-Ebene gebildet wird, deren Karts auf der Oz-Achse und der direkten Z \u003d H liegen, und die Hypotenuse liegt auf die Linie.

X bis Z exprimieren, erhalten .

Berechnung der Länge des Bogens.

Um Formeln zum Berechnen der Länge des Bogens zu erhalten, erinnern Sie sich an die in 1 Semester abgeleiteten Formel-abgeleiteten Formeln für das Lichtbogenlängendifferenz.

Wenn der ARC ein Diagramm einer kontinuierlich differenzierbaren Funktion ist, Differentielle Lichtbogenlänge kann von der Formel berechnet werden

. deshalb

Wenn der glatte ARC parametrisch eingestellt ist T.

. deshalb .

Wenn der ARC im Polar-Koordinatensystem eingestellt istT.

. deshalb .

Beispiel. Berechnen Sie die Länge der ARC-Funktion der Funktion ,. .

Abschnitte: Mathematik

Art der Lektion: kombiniert.

Der Zweck der Lektion: Lernen Sie, das Rotationsleiste mit den Integralen zu berechnen.

Aufgaben:

• die Fähigkeit konsolidieren, krummlinige Fälzereien aus einer Reihe von geometrischen Formen zu identifizieren und die Fähigkeit der Berechnung des Bereichs des krümmenden Trapezes zu erarbeiten;
• lernen Sie mit dem Konzept einer Massenfigur kennen;
• lernen Sie, das Volumen der Rotationskörper zu berechnen;
• förderung der Entwicklung des logischen Denkens, der kompetenten mathematischen Sprache, der Genauigkeit bei der Konstruktion von Zeichnungen;
• kURZES Zinsen an diesem Thema, dem Betrieb mathematischer Konzepte und Bilder, um den Willen, Unabhängigkeit, Ausdauer zu erhöhen, wenn das Endergebnis erreicht ist.

Während der Klassen

I. Organisationsmoment.

Grußgruppe. Nachricht an die Ziele der Schüler.

Reflexion. Ruhige Melodie.

- Die heutige Lektion möchte ich mit den Gleichnissen beginnen. "Sage lebte, der alles wusste. Eine Person wollte beweisen, dass der Sage nicht alles weiß. In den Palmen des Schmetterlings fragte er: "Sag mir, ein Salbei, was ein Schmetterling in meinen Händen ist: tot oder live?" Und er denkt: "Sagt Live - ich werde es töten, tot sagen - ich werde loslassen." Sage, Denken, antwortete: "Alles liegt in deinen Händen". (Präsentation.Rutschen)

- Lassen Sie uns also heute fruchtbar arbeiten, wir werden ein neues Gepäck von Wissen erwerben, und die daraus resultierenden Fähigkeiten und Fähigkeiten werden in zukünftigen Lebens- und praktischen Aktivitäten angewendet. "Alles in deinen Händen".

II. Wiederholung des zuvor untersuchten Materials.

- Lassen Sie uns an die Hauptpunkte des zuvor untersuchten Materials erinnern. Führen Sie dazu die Aufgabe aus "Das unnötige Wort ausschließen."(Rutschen.)

(Der Student geht an I.d. Mit dem Arzt entfernt das unnötige Wort.)

- Recht "Differential". Versuchen Sie die restlichen Wörter, um ein gemeinsames Wort anzurufen. (Integralrechnung.)

- Lassen Sie uns an die Hauptstufen und Konzepte erinnern, die mit integrierten Kalkulus verbunden sind.

"Mathematischer Cluster".

Die Aufgabe. Wiederherstellen Überspringen. (Ein Student kommt heraus und betritt den erforderlichen Wörtern in den Griff.)

- Zusammenfassung über die Verwendung von Integralen, wir haben später gehört.

Arbeit in Notizbüchern.

- Newtons Englischer Physiker Newton (1643-1727) und deutscher Philosoph Gottfried Leibnitsa (1646-1716) erhoben die Formel Newton Labitsa (1643-1727). Und das ist nicht überraschend, weil Mathematik eine Sprache ist, die die Natur spricht.

- Überlegen Sie, wie diese Formel beim Lösen praktischer Aufgaben verwendet wird.

Beispiel 1: Berechnen Sie den Bereich der Form, begrenzte Linien

Lösung: Bauen Sie auf der Koordinatenflugzeuggrafik der Funktionen auf . Wir markieren den Bereich der Figur, den Sie finden müssen.

III. Ein neues Material untersuchen.

- Achten Sie auf den Bildschirm. Was ist in der ersten Zeichnung gezeigt? (Rutschen) (Die flache Figur ist in der Figur dargestellt.)

- Was ist in der zweiten Zeichnung gezeigt? Ist diese Zahl flach? (Rutschen) (Die Figur zeigt eine Massenfigur.)

- Im Weltraum, auf der Erde und im Alltag werden wir nicht nur mit flachen Figuren, sondern auch in der Masse gefunden, sondern auch, wie das Volumen solcher Tel berechnet wird? Zum Beispiel das Volumen von Planeten, Bränden, Meteoriten usw.

- Das Häuservolumen ist über das Volumen konzipiert, und Überlaufwasser von einem Gefäß zum anderen. Die Regeln und Techniken für die Berechnung der Volumina bestanden darin, ein weiteres Ding zu ergeben, wie glänzten sie und vernünftig.

Nachrichtenstudent. (Tyurina Vera.)

1612 war für Einwohner der österreichischen Stadt Linz, wo er damals von Astronomer Johann Kepler lebte, vor allem auf Trauben. Die Menschen zubereitet Weinfässer und wollten wissen, wie man ihre Bände praktisch ermittelt. (Slide 2)

"Die betrachteten Werke von Kepler markierten somit den Beginn eines gesamten Studiums, der im letzten Viertel des 16. Jahrhunderts gekrönt wurde. Registrierung in den Werken von I. Newton und G.V. Differential und integraler Leibher. Mathematik der Größenvariablen, die von dieser Zeit den führenden Ort im System des mathematischen Wissens besetzt haben.

- Heute sind wir bei Ihnen und werden also mit solchen praktischen Aktivitäten umgehen, daher

Das Thema unserer Lektion: "Berechnung von Rotationskörper mit einem bestimmten Integral". (Rutschen)

- Sie erfahren die Definition des Rotationskörpers, indem Sie die folgende Aufgabe ausführen.

"Labyrinth".

Labyrinth (griechisches Wort) bedeutet einen Umzug im Dungeon. Ein labyrinth-verworrenes Netz von Spuren, bewegt sich, die miteinander kommunizieren.

Aber die Definition "Broke", es gab Tipps in Form von Pfeilen.

Die Aufgabe. Finden Sie die Ausgabe von der verwirrten Position und schreiben Sie die Definition auf.

Rutschen. "Kartenanweisung" Berechnung der Volumina.

Unter Verwendung eines bestimmten Integrals ist es möglich, das Volumen eines Körpers, insbesondere der Rotationskörper, berechnen.

Der Rotationskörper wird als Körper bezeichnet, der durch die Drehung des krümmungslosen Trapeziums um seine Basis erhalten wird (Abb. 1, 2)

Das Volumen des Rotationskörpers wird von einem der Formeln berechnet:

1. um die Achse oh.

2. Wenn die Drehung des krümmungslosen Trapezs um die Ou-Achse.

Kartenauftrag bekommt jeden Schüler. Der Lehrer betont die Highlights.

- Der Lehrer erklärt die Lösung von Beispielen auf der Tafel.

Betrachten Sie den Auszug aus dem berühmten Märchen A. S. Pushkin "Geschichte von Tsar Saltan, über den netten und mächtigen Bogatyrer seines Sohnes, der schöne und mächtige Bogatyr-Prinz Gwidon Saltanovich und über den schönen Prinzessin Swan" (Slide 4):

…..
Und brachte den Messenger Messenger
Am selben Tag ist die Bestellung:
"Der König macht seine Boys,
Zeit nicht freigeben
Und Königin und Spodes
In den Abgrund von Wasser heimlich aufzuhören. "
Es gibt nichts zu tun: Boys,
Über den Souverän erschöpft
Und die Königin ist jung
Im Schlafzimmer kam zu ihrer Menge.
Angekündigt Tsarisk Volodya -
Sie und sein Sohn sind ein Pfahl
Lautes Dekret auslesen
Und die Königin in derselben Stunde
In einem Barrel mit seinem Sohn, gepflanzt,
Verschlüsselt, gezeigt
Und lassen Sie sie nach Okian gehen -
Also Tellra de Tsar Saltan.

Was sollte das Volumen der Fässer sein, damit die Königin und ihr Sohn darin passen?

- Betrachten Sie die folgenden Aufgaben

1. Finden Sie das Volumen des Körpers, das durch Drehen um die Achse der Ordinate eines curvilinearen Trapez-Zylinders erhalten wird, begrenzte Linien: x 2 + y 2 \u003d 64, y \u003d -5, y \u003d 5, x \u003d 0.

Antwort: 1163. cm. 3 .

Finden Sie das Volumen des Körpers, das durch die Drehung eines parabolischen Trapeziums um die Abszisse-Achse erhalten wird y \u003d, x \u003d 4, y \u003d 0.

IV. Ein neues Material befestigen

BEISPIEL 2. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch die Rotation des Blütenblatts um die Abszisse-Achse gebildet wird y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Wir erstellen Diagramme der Funktion. y \u003d x 2, y 2 \u003d x. Zeitplan y 2 \u003d x Wir konvertieren in das Formular y.= .

Haben V \u003d v 1 - v 2 Berechnen Sie das Volumen jeder Funktion

"Nun, lass uns den Turm für einen Radiosender in Moskau auf Shabolovka in Betracht ziehen, der auf dem Projekt eines wundervollen russischen Ingenieurs errichtet wurde, Ehrenakademiker V. G. Shukhov. Es besteht aus Teilen - Rotation Hyperboloide. Darüber hinaus besteht jeder von ihnen aus geraden Metallstäben, die den benachbarten Kreis verbinden (Fig. 8, 9).

- Betrachten Sie die Aufgabe.

Finden Sie das Volumen des Körpers, das durch die Drehung der Arc-Hyperbole erhalten wird Um ihre imaginäre Achse, wie in FIG. 8, wo

würfel Einheiten.

Aufgaben für Gruppen. Die Schüler ziehen viel mit Aufgaben aus, Zeichnungen werden an Watman durchgeführt, einer der Vertreter der Gruppe schützt die Arbeit.

1. Gruppe.

Schlagen! Schlagen! Immer noch ein Schlag!
Fliegt im Tor den Ball - den Ball!
Und das ist die Kugelwassermelone
Grün, rund, lecker.
Besuchen Sie besser - Ball!
Es besteht aus einigen Kreisen.
Schneiden Sie die Kreise der Wassermelone
Und versuchen, sie zu probieren.

Finden Sie das Volumen des Körpers, das durch Drehen um die Achse oh Funktion begrenzt ist

Error! Das Lesezeichen ist nicht definiert.

- Sag mir bitte, wo treffen wir uns mit dieser Figur?

Haus. Aufgabe für 1 Gruppe. ZYLINDER (rutschen) .

"Zylinder - was ist?" Ich habe meinen Vater gefragt.
Vater lachte: Der Zylinder ist ein Hut.
Eine wahre Präsentation haben
Zylinder, lass uns sagen, dass es sich um ein Canning Bank handelt.
Parot-Rohr - Zylinder,
Rohr auf unserem Dach - auch,

Alle Rohre am Zylinder sind ähnlich.
Und ich habe ein Beispiel dafür gebracht -
Kaleidoskop ist mein Geliebter,
Auge von ihm, du wirst nicht umdrehen,
Und auch der Zylinder ist wie.

- Die Aufgabe. Home-Maschine Erstellen Sie ein Diagramm der Funktion und berechnen Sie das Volume.

2. Gruppe. KEGEL (rutschen).

Mom sagte: Und jetzt
Über den Kegel wird es meine Geschichte geben.
In einem hohen Hut, Starvature
Er glaubt die Sterne das ganze Jahr über.
Kegelsternhut.
Das ist er. Verstanden? Das ist etwas.
Moma hat einen Tisch,
Flaschen verschüttetes Öl.
- Wo ist der Trichter? Es gibt keine Trichter.
Suchen. Stehen Sie nicht auf dem Rande.
- Mama, ich werde nicht von der Stelle berührt,
Erzähl mir von dem Kegel.
- Der Trichter ist in Form eines Kegellecks.
Nun, finde mich Streit.
Ich konnte keinen Trichter finden,
Aber Mama machte einen Kulok,
Karton hat umhüllt
Und geschickt befestigt.
Ölguss, Mama ist froh,
Kegel kam heraus, was es notwendig ist.

Die Aufgabe. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das durch Rotation um die Abszisse-Achse erhalten wird

Haus. Aufgabe für die 2. Gruppe. PYRAMIDE (rutschen).

Ich habe ein Bild gesehen. In diesem Bild
In der sandigen Wüste gibt es eine Pyramide.
Alles in der Pyramide ist ungewöhnlich
Irgendeine Art von Rätsel und Rätsel darin.
Und der Spasskaya-Turm auf dem Quadrat des Rotes
Beide Kinder und Erwachsene sind perfekt bekannt.
Sie schauen auf den Turm - der übliche Look,
Und was darauf? Pyramide!

Die Aufgabe. Home Work Erstellen Sie ein Diagramm der Funktion und berechnen Sie das Volumen der Pyramide

- Volumina unterschiedlicher Körper, wir wurden basierend auf der Grundformel der Körpervolumina mit dem Integral berechnet.

Dies ist eine weitere Bestätigung, dass ein bestimmtes Integral einige Fundament für die Lerne der Mathematik ist.

- Nun, jetzt nehmen wir uns etwas aus.

Finden Sie ein Paar.

Mathematische Domino-Tune spielt.

"Die Art und Weise, wie er sich selbst suchte, wird nicht überwältigend sein ..."

Forschung. Anwendung integriert in Wirtschaft und Technologie.

Tests für starke Studenten und mathematische Fußball.

Mathematischer Simulator.

2. Die Kombination aller Primär von dieser Funktion wird aufgerufen

A) unsicher integral

B) Funktion,

C) Differenzierung.

7. Finden Sie das Volumen des Körpers, das durch Drehen um die Abszissenachse des Curvilinear Trapeziums auf die Linien begrenzt ist:

D / s. Berechnen Sie das Volumen der Rotationskörper.

Reflexion.

Empfang der Reflexion in der Form sincweune. (fivesty).

Die erste Zeile ist der Name des Themas (eins Substantiv).

Die 2. Linie ist eine Beschreibung des Themas in zwei Wörtern, zwei Adjektiven.

3. Linie - Beschreibung der Aktion im Rahmen dieses Themas in drei Wörtern.

Die 4. Linie ist der Phrase ihrer vier Wörter, zeigt die Beziehung zum Thema (einen ganzen Satz).

Die 5. Linie ist Synonym, das die Essenz des Themas wiederholt.

1. Volumen.
2. Bestimmte integrale, integrierbare Funktion.
3. Wir bauen, drehen, berechnen.
4. Der Körper, der durch die Drehung des CurvilIlinear Trapeziums (um seine Basis) erhalten wird.
5. Der Rotationskörper (volumetrischer geometrischer Körper).

Ausgabe (rutschen).

• Ein bestimmtes Integral ist einige Fundament für das Lernen von Mathematik, was einen unverzichtbaren Beitrag zur Lösung der Aufgaben von praktischen Inhalten leistet.
• Das Thema "Integral" zeigt hell den Anschluss der Mathematik mit Physik, Biologie, Wirtschaft und Technologie.
• Die Entwicklung der modernen Wissenschaft ist ohne Verwendung des Integrals unbedenkbar. In diesem Zusammenhang ist es notwendig, im Rahmen der sekundären Sonderausbildung zu studieren!

Einschätzung. (Kommentieren)

Toller Omar Khayam - Mathematiker, Dichter, Philosoph. Er ruft an, Meister seines Schicksals zu sein. Wir hören dem Auszug aus seiner Arbeit:

Sie werden sagen, dieses Leben ist ein Moment.
Ihre Wertschätzung, in ihrer Inspiration.
So verbringen Sie es und passieren Sie es.
Vergiss nicht: Sie ist deine Schöpfung.

Finden Sie das Körpervolumen, das durch die Rotation der Bogencycloide um seine Basis erzeugt wird. Roberval fand ihn und brach den resultierenden eiförmigen Körper (Abb. 5.1) auf unendlich dünne Schichten und schrieb Zylinder in diese Schichten und löste sie auf. Der Beweis stellte lange, langweilig und nicht ganz streng aus. Um es zu berechnen, wenden Sie sich an die höchste Mathematik. Lassen Sie uns die Gleichung der parametrischen Zykloide einstellen.

In der integralen Berechnung wird beim Studieren von Volumes die folgende Bemerkung verwendet:

Wenn die Kurve, die das Curvilinear-Trapez begrenzen, durch parametrische Gleichungen und Funktionen in diesen Gleichungen eingestellt ist, erfüllen die Bedingungen des Satzes an dem Austausch einer Variablen in einem spezifischen Integral, wobei das Volumen des Rotationskörpers des Trapezs um die Achse oh ist berechnet werden von der Formel:

Wir verwenden diese Formel, um das von uns benötigte Volumen zu finden.

In gleicher Weise wird die Oberfläche dieses Körpers berechnet.

L \u003d ((x, y): x \u003d a (t - sin t), y \u003d a (1 - Kosten), 0? T? 2p)

In der integralen Berechnung gibt es die folgende Formel, um die Oberfläche des Körperkörpers um die Achse der Kurve zu finden, die auf dem im Segment von parametrischem Segment angegeben ist (T 0? T? T 1):

Anwenden dieser Formel für unsere Cycloid-Gleichung erhalten wir:

Betrachten Sie auch eine andere Oberfläche, die durch die Drehung des Bogenzykloids erzeugt wird. Dazu konstruieren wir eine Spiegelreflexion der Bögen von Zykloids relativ zu seiner Basis, und eine ovale Figur, die durch das Zykloid gebildet wird, und ihre Reflexion dreht sich um die Achse KT (Abb. 5.2)

Erstens finden wir das Volumen des Körpers, das durch die Drehung der Bogenzykloide um die Achse KT gebildet wird. Es wird von seinem Volumen von der Formel (*) berechnet:

So haben wir das Hälften der Hälfte dieses repo-ähnlichen Körpers gezählt. Dann ist das ganze Volume gleich