Limit 1 x. İlk diqqətəlayiq hədd. Funksiyanın davamlılığı Funksiyanın nöqtədə davamlılığı
İlk diqqətəlayiq hədd belə görünür: lim x → 0 sin x x = 1 .
Praktik nümunələrdə ilk diqqətəlayiq həddin modifikasiyalarına tez-tez rast gəlinir: lim x → 0 sin k · x k · x = 1, burada k müəyyən əmsaldır.
İzah edək: lim x → 0 sin (k x) k x = boş t = k x və x-dən → 0-dan t → 0 = lim t → 0 sin (t) t = 1 gəlir.
İlk diqqətəlayiq məhdudiyyətin nəticələri:
- lim x → 0 x sin x = lim x → 0 = 1 sin x x = 1 1 = 1
- lim x → 0 k x sin k x = lim x → 0 1 sin (k x) k x = 1 1 = 1
Bu nəticələri L'Hopital qaydasını tətbiq etməklə və ya sonsuz kiçik funksiyaları əvəz etməklə sübut etmək olduqca asandır.
Birinci əlamətdar hədddən istifadə edərək limitin tapılması ilə bağlı bəzi problemləri nəzərdən keçirək; Çözümün ətraflı təsvirini verəcəyik.
Misal 1
L'Hopital qaydasından istifadə etmədən həddi müəyyən etmək lazımdır: lim x → 0 sin (3 x) 2 x.
Həll
Dəyəri əvəz edək:
lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0
Sıfırın sıfıra bölünməsinin qeyri-müəyyənliyinin yarandığını görürük. Həll metodunu təyin etmək üçün qeyri-müəyyənlik cədvəlinə müraciət edək. Sinus və onun arqumentinin birləşməsi bizə ilk gözəl limitin istifadəsi haqqında ipucu verir, lakin əvvəlcə ifadəni dəyişdiririk. Kəsrin payını və məxrəcini 3 x-ə vurun və alın:
lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0 = lim x → 0 3 x sin (3 x) 3 x (2 x) = lim x → 0 sin (3 x) 3 x 3 x 2 x = = lim x → 0 3 2 sin (3 x) 3 x
İlk əlamətdar həddən əldə edilən nəticəyə əsasən, biz var: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 1.
Sonra nəticəyə gəlirik:
lim x → 0 3 2 sin (3 x) 3 x = 3 2 1 = 3 2
Cavab: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 3 2 .
Misal 2
lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 həddi tapmaq lazımdır.
Həll
Gəlin dəyərləri əvəz edək və əldə edək:
lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 1 - cos (2 0) 3 0 2 = 1 - 1 0 = 0 0
Sıfırın qeyri-müəyyənliyini sıfıra böldükdə görürük. Triqonometriya düsturlarından istifadə edərək payı çevirək:
lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2
İlk diqqətəlayiq məhdudiyyətin indi burada tətbiq oluna biləcəyini görürük:
lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2 = lim x → 0 2 3 sin x x sin x x = 2 3 1 1 = 2 3
Cavab: lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 2 3 .
Misal 3
lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x həddi hesablamaq lazımdır.
Həll
Dəyəri əvəz edək:
lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = a r c sin (4 0) 3 0 = 0 0
Sıfırın sıfıra bölünməsinin qeyri-müəyyənliyini görürük. Əvəz edək:
a r c sin (4 x) = t ⇒ sin (a r c sin (4 x)) = sin (t) 4 x = sin (t) ⇒ x = 1 4 sin (t) lim x → 0 (a r c sin (4 x) ) = a r c sin (4 · 0) = 0, yəni t → 0, x → 0 kimi.
Bu halda, dəyişəni əvəz etdikdən sonra limit aşağıdakı formanı alır:
lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 0 0 = lim t → 0 t 3 1 4 sin (t) = = lim t → 0 4 3 t sin t = 4 3 1 = 4 3
Cavab: lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 4 3 .
Məqalədəki materialı daha tam başa düşmək üçün "Limitlər, əsas təriflər, tapma nümunələri, problemlər və həllər" mövzusundakı materialı təkrarlamalısınız.
Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
Bu məqalə: “İkinci diqqətəlayiq həddi” formanın qeyri-müəyyənlikləri çərçivəsində açıqlamaya həsr edilmişdir:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ və $ ^\infty $.
Həmçinin, bu cür qeyri-müəyyənliklər eksponensial funksiyanın loqarifmindən istifadə etməklə aşkar edilə bilər, lakin bu, başqa bir məqalədə müzakirə ediləcək başqa bir həll üsuludur.
Formula və nəticələr
Düstur ikinci əlamətdar həddi aşağıdakı kimi yazılır: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( burada ) e \təxminən 2.718 $$
Formuladan belə çıxır nəticələri, limitli misalların həlli üçün istifadə etmək çox rahatdır: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( burada ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Qeyd etmək lazımdır ki, ikinci əlamətdar həddi həmişə eksponensial funksiyaya tətbiq etmək olmaz, ancaq baza birliyə meylli olduğu hallarda. Bunu etmək üçün əvvəlcə bazanın həddini zehni olaraq hesablayın və sonra nəticə çıxarın. Bütün bunlar nümunə həllərdə müzakirə olunacaq.
Həll nümunələri
Birbaşa düsturdan istifadə edərək həllər nümunələrinə və onun nəticələrinə baxaq. Düsturun lazım olmadığı halları da təhlil edəcəyik. Yalnız hazır cavabı yazmaq kifayətdir.
| Misal 1 |
| Limiti tapın $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Həll |
|
Sonsuzluğu həddi ilə əvəz edək və qeyri-müəyyənliyə baxaq: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Baza həddi tapaq: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Birə bərabər baza əldə etdik, bu o deməkdir ki, biz artıq ikinci əlamətdar həddi tətbiq edə bilərik. Bunu etmək üçün, birini çıxarıb əlavə etməklə funksiyanın əsasını düstura uyğunlaşdıraq: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Gəlin ikinci nəticəyə baxaq və cavabı yazaq: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Probleminizi həll edə bilmirsinizsə, bizə göndərin. Biz ətraflı həll təqdim edəcəyik. Siz hesablamanın gedişatına baxa və məlumat əldə edə biləcəksiniz. Bu, müəlliminizdən vaxtında qiymət almağınıza kömək edəcək! |
| Cavab verin |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Misal 4 |
| Limiti həll edin $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Həll |
|
Biz bazanın limitini tapırıq və görürük ki, $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, yəni ikinci əlamətdar limiti tətbiq edə bilərik. Standart plana görə dərəcənin əsasından birini əlavə edib çıxarırıq: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty) ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Kəsiri 2-ci qeydin düsturuna uyğunlaşdırırıq. limit: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ İndi dərəcəni tənzimləyək. Gücdə $ \frac(3x^2-2)(6) $ əsasının məxrəcinə bərabər kəsr olmalıdır. Bunu etmək üçün dərəcəsini ona vurun və bölün və həll etməyə davam edin: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Gücdə $ e $ səviyyəsində yerləşən hədd bərabərdir: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Beləliklə, həllimizə davam edirik: |
| Cavab verin |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Problemin ikinci əlamətdar həddə bənzədiyi, lakin onsuz həll edilə biləcəyi halları nəzərdən keçirək.
“İkinci diqqətəlayiq həddi: Həll nümunələri” adlı məqalədə düstur, onun nəticələri təhlil edilmiş və bu mövzuda ümumi problemlərin növləri verilmişdir.
İlk diqqətəlayiq hədd tez-tez sinus, arksinüs, tangens, arktangens və sıfıra bölünən sıfır qeyri-müəyyənliklərini ehtiva edən hədləri hesablamaq üçün istifadə olunur.
Düstur
İlk əlamətdar hədd üçün formula belədir: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
Qeyd edək ki, $ \alpha\to 0 $ üçün biz $ \sin\alpha \to 0 $ alırıq, beləliklə, say və məxrəcdə sıfırlarımız var. Beləliklə, $ \frac(0)(0) $ qeyri-müəyyənliklərini aşkar etmək üçün ilk əlamətdar həddin düsturu lazımdır.
Formulu tətbiq etmək üçün iki şərt yerinə yetirilməlidir:
- Sinusda olan ifadələr və kəsrin məxrəci eynidir
- Kəsrin sinusunda və məxrəcində ifadələr sıfıra meyllidir
Diqqət! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Sinusun altında və məxrəcdə ifadələr eyni olsa da, lakin $2x ^2+1 = 1 $, $ x\-dən 0 $-a qədər. İkinci şərt yerinə yetirilmir, ona görə də düsturu tətbiq edə bilməzsiniz!
Nəticələr
Çox nadir hallarda tapşırıqlarda dərhal cavabı yaza biləcəyiniz təmiz ilk gözəl həddi görə bilərsiniz. Praktikada hər şey bir az daha mürəkkəb görünür, lakin belə hallar üçün ilk diqqətəlayiq limitin nəticələrini bilmək faydalı olacaq. Onların sayəsində tələb olunan limitləri tez hesablaya bilərsiniz.
$$ \lim_(\alfa\dan 0-a) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alfa\dan 0) \frac(\sin(a\alfa))(\sin(b\alfa)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alpha\dan 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\dan 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$
Həll nümunələri
Gəlin birinci diqqətəlayiq həddi, triqonometrik funksiyaları və qeyri-müəyyənliyi ehtiva edən limitlərin hesablanması üçün onun həlli nümunələrinə nəzər salaq $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $
| Misal 1 |
| $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ hesablayın |
| Həll |
|
Limitə baxaq və onun sinus ehtiva etdiyinə diqqət yetirək. Sonra $ x = 0 $-ı pay və məxrəcdə əvəz edirik və qeyri-müəyyənliyi sıfıra bölürük: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0) ) $$ Artıq iki əlamət var ki, gözəl həddi tətbiq etmək lazımdır, amma kiçik bir nüans var: sinus işarəsinin altındakı ifadə məxrəcdəki ifadədən fərqləndiyi üçün düsturu dərhal tətbiq edə bilmirik. Və onların bərabər olması lazımdır. Buna görə də, paylayıcının elementar çevrilmələrinin köməyi ilə onu $2x$-a çevirəcəyik. Bunun üçün kəsrin məxrəcindən ikisini ayrıca amil kimi çıxaracağıq. Bu belə görünür: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ Zəhmət olmasa qeyd edin ki, sonunda $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ düsturla alındı. Probleminizi həll edə bilmirsinizsə, bizə göndərin. Biz ətraflı həll təqdim edəcəyik. Siz hesablamanın gedişatına baxa və məlumat əldə edə biləcəksiniz. Bu, müəlliminizdən vaxtında qiymət almağınıza kömək edəcək! |
| Cavab verin |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| Misal 2 |
| Tap $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ |
| Həll |
|
Həmişə olduğu kimi, ilk növbədə qeyri-müəyyənliyin növünü bilməlisiniz. Əgər sıfıra bölünürsə, onda sinusun varlığına diqqət yetiririk: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Bu qeyri-müəyyənlik bizə birinci əlamətdar həddin düsturundan istifadə etməyə imkan verir, lakin məxrəcdən gələn ifadə sinusun arqumentinə bərabər deyil? Buna görə də düstur “baş-üstə” tətbiq edilə bilməz. Kəsri sinusun arqumentinə vurub bölmək lazımdır: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x) -x^4)(x ^3+2x)) = $$ İndi limitlərin xassələrini yazırıq: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ İkinci hədd düstura tam uyğun gəlir və bərabərdir birinə: $$ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x) )(2x-x^4) = $$ Yenidən $ x = 0 $-nı kəsrlə əvəz edin və $ \frac(0)(0) $ qeyri-müəyyənliyini alırıq. Bunu aradan qaldırmaq üçün $ x $-ı mötərizədən çıxarmaq və onu azaltmaq kifayətdir: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^) 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$ |
| Cavab verin |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| Misal 4 |
| $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ hesablayın |
| Həll |
|
$ x=0 $ əvəzlənməsi ilə hesablamağa başlayaq. Nəticədə $ \frac(0)(0) $ qeyri-müəyyənliyini alırıq. Limit sinus və tangensdən ibarətdir ki, bu da ilk əlamətdar həddin düsturundan istifadə edərək vəziyyətin mümkün inkişafına işarə edir. Kəsirin payını və məxrəcini düstur və nəticəyə çevirək: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ İndi görürük ki, say və məxrəcdə düstur və nəticəyə uyğun ifadələr var. Sinus arqumenti və tangens arqumenti uyğun məxrəclər üçün eynidir $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| Cavab verin |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
Məqalədə: "İlk diqqətəlayiq hədd, həll nümunələri" bu düsturdan istifadə etməyin məqsədəuyğun olduğu hallardan və onun nəticələrindən bəhs etdi.
İndi, sakit bir ruhla, düşünməyə davam edək gözəl məhdudiyyətlər.
oxşayır .
X dəyişəninin əvəzinə müxtəlif funksiyalar mövcud ola bilər, əsas odur ki, onlar 0-a meyllidirlər.
Limiti hesablamaq lazımdır
Gördüyünüz kimi, bu məhdudiyyət ilk diqqətəlayiq olana çox bənzəyir, lakin bu tamamilə doğru deyil. Ümumiyyətlə, həddə günah görsəniz, dərhal ilk diqqətəlayiq həddi istifadə etməyin mümkün olub olmadığını düşünməlisiniz.
1 nömrəli qaydamıza görə, x əvəzinə sıfırı əvəz edirik:
Biz qeyri-müəyyənlik əldə edirik.
İndi ilk gözəl limiti özümüz təşkil etməyə çalışaq. Bunu etmək üçün sadə bir kombinasiya edək:
Beləliklə, biz 7x-i vurğulamaq üçün pay və məxrəci təşkil edirik. İndi tanış əlamətdar həddi artıq yaranıb. Qərar verərkən onu vurğulamaq məsləhətdir:
Həllini ilk əlamətdar nümunə ilə əvəz edək və əldə edək:
Kəsirin sadələşdirilməsi:
Cavab: 7/3.
Gördüyünüz kimi, hər şey çox sadədir.
Oxşayır 
, burada e = 2,718281828... irrasional ədəddir.
x dəyişəninin yerinə müxtəlif funksiyalar mövcud ola bilər, əsas odur ki, onlar .
Limiti hesablamaq lazımdır
Burada biz hədd işarəsi altında dərəcənin mövcudluğunu görürük, yəni ikinci əlamətdar həddi istifadə etmək mümkündür.
Həmişə olduğu kimi, biz №1 qaydadan istifadə edəcəyik - əvəzinə x əvəz edin:
Görünür ki, x-də dərəcənin əsası , göstəricisi isə 4x > , yəni. formanın qeyri-müəyyənliyini əldə edirik:
Qeyri-müəyyənliyimizi üzə çıxarmaq üçün ikinci gözəl hədddən istifadə edək, amma əvvəlcə onu təşkil etməliyik. Gördüyünüz kimi, ifadənin dəyişməməsi üçün bazanı 3x gücünə və eyni zamanda 1/3x gücünə qaldırdığımız göstəricidə mövcudluğa nail olmalıyıq:
Gözəl limitimizi vurğulamağı unutmayın:
Onlar həqiqətən də budur gözəl məhdudiyyətlər!
Haqqında hələ də hər hansı bir sualınız varsa birinci və ikinci gözəl həddlər, sonra şərhlərdə onlardan soruşmaqdan çekinmeyin.
Hər kəsə mümkün qədər cavab verəcəyik.
Bu mövzuda bir müəllimlə də işləyə bilərsiniz.
Biz sizə şəhərinizdə ixtisaslı repetitor seçmək xidmətlərini təklif etməkdən məmnunuq. Tərəfdaşlarımız sizin üçün sərfəli şərtlərlə tez bir zamanda yaxşı müəllim seçəcəklər.
Kifayət qədər məlumat yoxdur? - Bacararsan !
Riyazi hesablamaları bloknotlarda yaza bilərsiniz. Loqo olan dəftərlərdə fərdi yazmaq daha xoşdur (http://www.blocnot.ru).
İkinci əlamətdar hədd üçün düstur lim x → ∞ 1 + 1 x x = e-dir. Yazının başqa bir forması belə görünür: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
İkinci əlamətdar hədd haqqında danışarkən, 1 ∞ formasının qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul olmalıyıq, yəni. sonsuz dərəcədə birlik.
İkinci əlamətdar həddi hesablamaq qabiliyyətinin faydalı olacağı problemləri nəzərdən keçirək.
Misal 1
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 həddi tapın.
Həll
Lazım olan düsturu əvəz edək və hesablamaları aparaq.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Cavabımız sonsuzluğun gücünə bir oldu. Həll metodunu müəyyən etmək üçün qeyri-müəyyənlik cədvəlindən istifadə edirik. Gəlin ikinci əlamətdar həddi seçək və dəyişənlərdə dəyişiklik edək.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Əgər x → ∞ olarsa, onda t → - ∞ olar.
Dəyişmədən sonra nə əldə etdiyimizə baxaq:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Cavab: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Misal 2
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x limitini hesablayın.
Həll
Gəlin sonsuzluğu əvəz edək və aşağıdakıları əldə edək.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Cavabda yenə əvvəlki problemdə olduğu kimi eyni şeyi aldıq, buna görə də ikinci əlamətdar həddi yenidən istifadə edə bilərik. Sonra, güc funksiyasının əsasında bütün hissəni seçməliyik:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Bundan sonra limit aşağıdakı formanı alır:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Dəyişənləri dəyişdirin. Fərz edək ki, t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; əgər x → ∞ olarsa, onda t → ∞ olar.
Bundan sonra, orijinal limitdə nə əldə etdiyimizi yazırıq:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Bu transformasiyanı həyata keçirmək üçün biz limitlərin və səlahiyyətlərin əsas xüsusiyyətlərindən istifadə etdik.
Cavab: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Misal 3
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 limitini hesablayın.
Həll
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Bundan sonra, ikinci böyük limiti tətbiq etmək üçün funksiyanı çevirməliyik. Aşağıdakıları əldə etdik:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
İndi kəsrin pay və məxrəcində eyni eksponentlərə malik olduğumuz üçün (altıya bərabərdir), sonsuzluqdakı kəsrin həddi bu əmsalların daha yüksək dərəcələrdə nisbətinə bərabər olacaqdır.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 əvəz etməklə biz ikinci əlamətdar həddi əldə edirik. Nə deməkdir:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Cavab: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
nəticələr
Qeyri-müəyyənlik 1 ∞, yəni. sonsuz gücə birlik güc qanunu qeyri-müəyyənliyidir, buna görə də eksponensial güc funksiyalarının hədlərini tapmaq qaydalarından istifadə etməklə aşkar edilə bilər.
Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
