Birbaşa prizma (dördbucaqlı müntəzəm). Birbaşa prizma (dördbucaqlı müntəzəm) Kürənin dairəvi cisimlərlə birləşməsi

Təqdimat önizləmələrindən istifadə etmək üçün Google hesabı yaradın və ona daxil olun: https://accounts.google.com

Slayd başlıqları:

Çoxüzlülərin ətrafında təsvir olunan kürələr.

Tərif. Çoxüzlülərin bütün təpələri bu sferaya aid olarsa, çoxüzlü sferaya (və çoxüzlü haqqında təsvir edilən sferaya) yazılmış deyilir. Nəticə. Dahili sferanın mərkəzi çoxüzlülərin bütün təpələrindən bərabər məsafədə yerləşən nöqtədir. O O O. . .

Teorem 1. Verilmiş iki nöqtədən bərabər məsafədə olan nöqtələr çoxluğu ucları verilmiş nöqtələrdə olan seqmentə perpendikulyar, onun ortasından (bu seqmentə perpendikulyar bissektrisaların müstəvisi) keçən müstəvidir. AB ┴ α AO=OB α A B O

Teorem 2. Eyni çevrənin üzərində yerləşən n verilmiş nöqtədən bərabər məsafədə olan nöqtələr çoxluğu bu nöqtələrin müstəvisinə perpendikulyar, onların ətrafında çevrələnmiş dairənin mərkəzindən keçən düz xəttdir. C E A B D O a . . . . . . C E A B D . . . . .

Kürəyə yazılmış prizma. OA=OB=…=OX=R sf. O 1. O. O sf a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1 . X 1. .A .B .C .D E. X. a a 1 . O. O 1

Nəticələr. 1) Bir kürə düz üçbucaqlı prizmanın ətrafında təsvir edilə bilər, çünki Həmişə üçbucağın ətrafında bir dairəni təsvir edə bilərsiniz. 2) Sfera istənilən müntəzəm prizmanın ətrafında təsvir oluna bilər, çünki müntəzəm prizma düzdür və bir dairə həmişə müntəzəm çoxüzlü ətrafında təsvir edilə bilər. O. O. .

Tapşırıq №1. Top prizmanın ətrafında çevrələnib, onun əsasında ayaqları 6 və 8 olan düzbucaqlı üçbucaq yerləşir. Prizmanın yan kənarı 24-dür. Topun radiusunu tapın. Verilmişdir: ∆ ABC – düzbucaqlı; AC=6, BC=8, AA 1 =24. Tapın: Rw = ? Həlli: 1)OO 1 ┴AB 1 ; OO 1 =AA 1 =24. 2) ABC: AB=10. 3) O w OB: R w = O w B=√OO w 2 + OB 2 = = √144+25=13 Cavab: 13. O 1 O. . . R w O sh C 1 B 1 A 1 A C B

Tapşırıq №3. Kuboidin ölçüləri 2,3 və 5-dir. Sərhədlənmiş kürənin radiusunu tapın. Verilmiş:AB=a=2; BC=b=3; CC 1 =c=5. Tapın: Rw = ? Həlli: 1) AC 2 =a 2 +b 2 +c 2. 2) A 1 C 2 =25+9+4=38 (Düzbucaqlı paralelepipedin diaqonallarının xassəsi) 3) A 1 C=√38; R w = O w C = √38 /2 Cavab: √38 /2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3 . . . O sh

Tapşırıq №3. Düzgün üçbucaqlı prizmanın əsasının tərəfi a-ya, yan kənarı isə 2 a-ya bərabərdir. Daxil edilmiş sferanın radiusunu tapın. Verilmişdir: AB=BC=AC=a, AA 1 ┴ABC ; AA 1= 2a. Tapın: Rw = ? Həlli: 1)AB=AO √3; AO=a/√3. 2)R w =√ a 2 + a 2 /3=2a/ √ 3 Cavab: 2a/ √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O w R w. O O 1

Nəticələr. 1) Siz həmişə üçbucaqlı piramidanın ətrafındakı bir kürəni təsvir edə bilərsiniz, çünki hər zaman üçbucağın ətrafındakı bir dairəni təsvir edə bilərsiniz. 2) Siz həmişə müntəzəm piramidanın ətrafındakı kürəni təsvir edə bilərsiniz. 3) Əgər piramidanın yan kənarları bərabərdirsə (əsas tərəfə bərabər meyllidir), onda belə bir piramidanın ətrafında həmişə kürə təsvir edilə bilər. *Son iki halda kürənin mərkəzi piramidanın hündürlüyünü ehtiva edən düz xətt üzərində yerləşir. O. O.

Problemlər (piramidanın yaxınlığında təsvir olunan sfera). PABC piramidasının ətrafında top təsvir edilmişdir, onun əsası tərəfi 4√3 olan müntəzəm ABC üçbucağıdır. Yan kənar PA piramidanın əsasının müstəvisinə perpendikulyardır və 6-ya bərabərdir. Topun radiusunu tapın. Verilmişdir: AB=BC=AC=4 √3 ; PA ┴(ABC); PA=6. Tapın: Rw = ? Həlli: 1) OO SF ┴(ABC); O – ∆ABC ətrafında çevrilmiş çevrənin mərkəzi; K O SF ┴ PA; KP=AK (KO SF PA yan kənarına orta perpendikulyarlardan biri); O SF sərhədlənmiş sferanın mərkəzidir. 2) OO SF ┴(ABC); OO SF (AKO) məxsusdur; PA ┴(ABC); AK (AKO)-ya aiddir; KA|| deməkdir OO SF; . O SF. O K. P. A. B. C

Problemlər (piramidanın yaxınlığında təsvir olunan sfera). 3) KO c f ┴AP; KO c f (AOK) məxsusdur; AO┴AP; AO (AOK) məxsusdur; KO c f || deməkdir AO; 4) (2) və (3)-dən: AOO c f K- düzbucaqlı, AK=PA/2=3; 5) AO=AB/ √3 =4; 6) ∆ AO O c f: AO c f = R w =5 Cavab: 5

Problemlər (piramidanın yaxınlığında təsvir olunan sfera). Müntəzəm dördbucaqlı piramidada yan kənar 45˚ bucaq altında bazaya meyllidir. Piramidanın hündürlüyü h-dir. Daxil edilmiş sferanın radiusunu tapın. Verilmişdir: PABCD – müntəzəm piramida; (AP^(ABC))=45 ˚; PO=h. Tapın: Rw = ? Həlli: 1) AO=OP=h; AP=h √ 2; 2) ∆PAP ​​1 – düzbucaqlı; PP 1 - topun diametri; PP 1 = 2 R w; AP 2 = PP 1 *OP; (h √ 2) 2 =2 R w *h; R w = 2h 2 /2h=h. Cavab: h. C. B A. .D .P .P 1 . O

Tapşırıqlar (piramidanın yaxınlığında təsvir olunan kürə). Öz başına. Müntəzəm tetraedr ətrafında əhatə olunmuş sferanın radiusu R-ə bərabərdir. Tetraedrin ümumi səth sahəsini tapın.

Problemlər (piramidanın yaxınlığında təsvir olunan sfera). Öz başına. Verilmişdir: DABC – müntəzəm tetraedr; R kürənin radiusudur. Tapın: S tam tetra. =? Həlli: 1) Tetraedr nizamlı olduğundan, çevrilmiş sferanın mərkəzi piramidanın hündürlüyünü ehtiva edən düz xəttə aiddir; 2) S tam tetra. = a 2 √ 3/4*4= a 2 √ 3; 3) D, A, D 1 nöqtələri eyni dairəyə aiddir - kürənin DAD 1 müstəvisi ilə kəsişməsi, bu o deməkdir ki, DAD 1 bucağı DD 1 diametrinə əsaslanan yazılı bucaqdır; bucaq DAD 1 =90 ˚; 4) AO – hündürlük ∆ ADD 1 düz bucağın təpəsindən çəkilmiş. AD 2 = DO*DD 1 ; 5) AO=a/ √ 3; DO= √ a 2 -a 2 /3=a √ 2 / √ 3; a 2 = a √ 2 / √ 3*2R; a= √ 2 / √ 3*2R; a 2 = 8R 2/3; .D 1 .D .O .B .C A. a a

Problemlər (piramidanın yaxınlığında təsvir olunan sfera). Öz başına. 6) S tam tet. = 8R 2 √ 3/3 Cavab: 8R 2 √ 3/3

11-ci sinif həndəsə kursunda “Çoxüzlü, silindr, konus və top üzrə müxtəlif məsələlər” mövzusu ən çətin mövzulardan biridir. Həndəsi məsələləri həll etməzdən əvvəl onlar adətən nəzəriyyənin məsələlərin həlli zamanı istinad edilən müvafiq bölmələrini öyrənirlər. S.Atanasyanın və başqalarının bu mövzuya dair dərsliyində (səh. 138) yalnız kürə ətrafında təsvir edilmiş çoxüzlü, kürənin içinə həkk olunmuş çoxüzlü, çoxüzlü kürə və çoxüzlü kürənin ətrafında təsvir edilən sferanın təriflərinə rast gəlmək olar. çoxüzlü. Bu dərslik üzrə metodiki tövsiyələrdə (bax: S.M.Saakyan və V.F.Butuzovun “10-11-ci siniflərdə həndəsə öyrənilməsi” kitabına, səh. 159) 629–646 nömrəli məsələlərin həlli zamanı cisimlərin hansı birləşmələrinin nəzərə alındığı deyilir və diqqət çəkilir. "müəyyən bir problemi həll edərkən, ilk növbədə, tələbələrin vəziyyətdə göstərilən orqanların nisbi mövqelərini yaxşı başa düşmələrini təmin etmək lazımdır". 638(a) və 640 nömrəli məsələlərin həlli aşağıdakılardır.

Bütün qeyd olunanları və şagirdlərin ən çətin problemlərinin topun digər cisimlərlə birləşməsi olduğunu nəzərə alaraq, müvafiq nəzəri prinsipləri sistemləşdirmək və şagirdlərə çatdırmaq lazımdır.

Təriflər.

1. Top çoxüzlüyə yazılmışdır və topun səthi çoxüzlülərin bütün üzlərinə toxunarsa, topun ətrafında təsvir edilən çoxüzlü deyilir.

2. Topun səthi çoxbucaqlının bütün təpələrindən keçirsə, top çoxüzlü, topa daxil edilmiş çoxüzlü adlanır.

3. Topun silindrdə, kəsik konusda (konusda) yazılmış olduğu deyilir və topun səthi əsaslara (əsaslara) və hamısına toxunarsa, silindr, kəsilmiş konus (konus) topun ətrafına yazılmışdır. silindrin generatrisləri, kəsilmiş konus (konus).

(Bu tərifdən belə çıxır ki, topun böyük dairəsi bu cisimlərin istənilən ox hissəsinə yazıla bilər).

4. Bazaların dairələri (əsas dairəsi və zirvəsi) topun səthinə aid olarsa, topun silindr, kəsik konus (konus) ətrafında dairəvi olduğu deyilir.

(Bu tərifdən belə çıxır ki, bu cisimlərin hər hansı bir ox hissəsi ətrafında topun daha böyük bir dairəsinin dairəsi təsvir edilə bilər).

Topun mərkəzinin mövqeyinə dair ümumi qeydlər.

1. Çoxüzlüyə daxil edilmiş topun mərkəzi çoxüzlünün bütün dihedral bucaqlarının bisektor müstəvilərinin kəsişmə nöqtəsində yerləşir. Yalnız polihedronun içərisində yerləşir.

2. Çoxüzlü ətrafında çevrələnmiş topun mərkəzi çoxüzlünün bütün kənarlarına perpendikulyar olan və onların orta nöqtələrindən keçən müstəvilərin kəsişmə nöqtəsində yerləşir. Polihedronun içərisində, səthində və ya xaricində yerləşə bilər.

Kürə və prizmanın birləşməsi.

1. Düz prizmaya yazılmış top.

Teorem 1. Kürə düz prizmaya o zaman daxil edilə bilər ki, prizmanın təməlinə bir çevrə çəkilə bilsin və prizmanın hündürlüyü bu dairənin diametrinə bərabər olsun.

Nəticə 1. Sağ prizmaya daxil edilmiş sferanın mərkəzi, təmələ daxil edilmiş dairənin mərkəzindən keçən prizmanın hündürlüyünün orta nöqtəsində yerləşir.

Nəticə 2. Top, xüsusən də düz xətlərlə yazıla bilər: üçbucaqlı, nizamlı, dördbucaqlı (burada əsasın əks tərəflərinin cəmi bir-birinə bərabərdir) H = 2r şərti ilə, burada H - hündürlüyü prizma, r bazaya daxil edilmiş dairənin radiusudur.

2. Prizma ətrafında çevrələnmiş kürə.

Teorem 2. Kürə prizmanın ətrafında o zaman təsvir edilə bilər ki, prizma düz olsun və onun təməli ətrafında çevrə təsvir olunsun.

Nəticə 1. Düz prizma ətrafında çevrələnmiş sferanın mərkəzi, təməl ətrafında çevrələnmiş dairənin mərkəzindən çəkilmiş prizmanın hündürlüyünün orta nöqtəsində yerləşir.

Nəticə 2. Xüsusilə bir top təsvir edilə bilər: düz üçbucaqlı prizmanın yaxınlığında, müntəzəm prizmanın yanında, düzbucaqlı paralelepipedin yaxınlığında, əsasın əks bucaqlarının cəmi 180 dərəcəyə bərabər olan düz dördbucaqlı prizmanın yaxınlığında.

L.S.Atanasyanın dərsliyindən kürə ilə prizmanın birləşməsinə 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) nömrəli məsələləri təklif etmək olar.

Topun piramida ilə birləşməsi.

1. Piramidanın yanında təsvir edilən top.

Teorem 3. Bir top piramidanın ətrafında təsvir edilə bilər, o zaman və yalnız onun təməli ətrafında bir dairə təsvir edilə bilər.

Nəticə 1. Piramidanın ətrafında çevrələnmiş kürənin mərkəzi, piramidanın əsasına perpendikulyar olan düz xəttin bu əsas ətrafında çevrələnmiş dairənin mərkəzindən və piramidanın ortasından çəkilmiş hər hansı yanal kənara perpendikulyar olan müstəvinin kəsişmə nöqtəsində yerləşir. bu kənar.

Nəticə 2.Əgər piramidanın yan kənarları bir-birinə bərabərdirsə (və ya əsas müstəvisinə bərabər meyllidirsə), onda belə bir piramidanın ətrafında bir top təsvir edilə bilər.Bu halda bu topun mərkəzi kəsişmə nöqtəsində yerləşir. piramidanın hündürlüyü (və ya onun uzantısı) müstəvidə yatan yan kənarın simmetriya oxu ilə yan kənarı və hündürlüyü.

Nəticə 3. Xüsusilə bir top təsvir edilə bilər: üçbucaqlı bir piramidanın yanında, müntəzəm piramidanın yanında, əks bucaqların cəmi 180 dərəcə olan dördbucaqlı piramidanın yaxınlığında.

2. Piramidaya yazılmış top.

Teorem 4. Piramidanın yan üzləri bazaya eyni dərəcədə meyllidirsə, belə bir piramidaya bir top yazıla bilər.

Nəticə 1. Yan üzləri əsasa bərabər meylli olan piramidaya yazılmış topun mərkəzi piramidanın hündürlüyünün piramidanın təməlindəki hər hansı dihedral bucağın xətti bucağının bisektoru ilə kəsişmə nöqtəsində, yan tərəfində yerləşir. bunlardan piramidanın yuxarısından çəkilmiş yan üzün hündürlüyüdür.

Nəticə 2. Bir topu adi bir piramidaya yerləşdirə bilərsiniz.

L.S.Atanasyanın dərsliyindən topun piramida ilə birləşməsinə 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 nömrəli məsələlər təklif oluna bilər.

Topun kəsilmiş piramida ilə birləşməsi.

1. Müntəzəm kəsilmiş piramidanın ətrafına çəkilmiş top.

Teorem 5. Hər hansı bir müntəzəm kəsilmiş piramidanın ətrafında bir kürə təsvir edilə bilər. (Bu şərt kifayətdir, lakin zəruri deyil)

2. Müntəzəm kəsilmiş piramidaya yazılmış top.

Teorem 6. Bir top müntəzəm kəsilmiş piramidaya o zaman yazıla bilər ki, piramidanın apotemi əsasların apotemlərinin cəminə bərabər olsun.

L.S.Atanasyanın dərsliyində (No 636) topun kəsilmiş piramida ilə birləşməsi üçün yalnız bir problem var.

Topun yuvarlaq gövdələrlə birləşməsi.

Teorem 7. Sfera silindr, kəsilmiş konus (düz dairəvi) və ya konus ətrafında təsvir edilə bilər.

Teorem 8. Top (düz dairəvi) silindrin içinə yalnız və yalnız silindr bərabərtərəfli olduqda yazıla bilər.

Teorem 9. Topu hər hansı bir konusa (düz dairəvi) yerləşdirə bilərsiniz.

Teorem 10. Topu kəsilmiş konusa (düz dairəvi) daxil etmək olar, o halda ki, onun generatoru əsasların radiuslarının cəminə bərabər olsun.

L.S.Atanasyanın dərsliyindən topun dairəvi gövdələrlə birləşməsinə 642, 643, 644, 645, 646 nömrəli məsələlər təklif oluna bilər.

Bu mövzuda materialı daha uğurla öyrənmək üçün dərslərə şifahi tapşırıqları daxil etmək lazımdır:

1. Kubun kənarı a-ya bərabərdir. Topların radiuslarını tapın: kubun içinə yazılmış və onun ətrafında məhdudlaşdırılmışdır. (r = a/2, R = a3).

2. Ətrafdakı kürəni (topu) təsvir etmək olarmı: a) kub; b) düzbucaqlı paralelepiped; c) bazasında düzbucaqlı olan maili paralelepiped; d) düz paralelepiped; e) maili paralelepiped? (a) bəli; b) bəli; c) yox; d) yox; d) yox)

3. Hər hansı üçbucaqlı piramidanın ətrafında kürə təsvir oluna biləcəyi doğrudurmu? (Bəli)

4. Hər hansı dördbucaqlı piramidanın ətrafında sferanı təsvir etmək olarmı? (Xeyr, heç bir dördbucaqlı piramidanın yanında deyil)

5. Piramidanın ətrafındakı kürəni təsvir etmək üçün onun hansı xassələri olmalıdır? (Onun bazasında bir dairənin təsvir oluna biləcəyi çoxbucaqlı olmalıdır)

6. Yan kənarı əsasa perpendikulyar olan kürənin içinə piramida yazılmışdır. Sferanın mərkəzini necə tapmaq olar? (Sferanın mərkəzi fəzada nöqtələrin iki həndəsi lokusunun kəsişmə nöqtəsidir. Birincisi, piramidanın bünövrəsinin müstəvisinə onun ətrafında dövrələnmiş dairənin mərkəzindən keçən perpendikulyardır. İkincisi isə müstəvidir. verilmiş yan kənara perpendikulyar və onun ortasından çəkilmiş)

7. Əsasında trapesiya olan prizmanın ətrafındakı kürəni hansı şəraitdə təsvir edə bilərsiniz? (Birincisi, prizma düz olmalıdır, ikincisi, trapesiya ikitərəfli olmalıdır ki, onun ətrafında dairə təsvir olunsun)

8. Prizmanın ətrafında sferanın təsvir edilməsi üçün hansı şərtləri təmin etməlidir? (Prizma düz olmalıdır və onun əsası ətrafında dairə təsvir edilə bilən çoxbucaqlı olmalıdır)

9. Mərkəzi prizmadan kənarda yerləşən üçbucaqlı prizmanın ətrafında sfera təsvir edilmişdir. Prizmanın əsası hansı üçbucaqdır? (Kəpənək üçbucaq)

10. Maili prizmanın ətrafında sferanı təsvir etmək olarmı? (Xeyr edə bilməzsiniz)

11. Düzbucaqlı üçbucaqlı prizma ətrafında çevrilmiş sferanın mərkəzi hansı şəraitdə prizmanın yan üzlərindən birində yerləşəcək? (Əsas düzbucaqlı üçbucaqdır)

12. Piramidanın əsası ikitərəfli trapesiyadır Piramidanın yuxarı hissəsinin təməl müstəvisinə ortoqonal proyeksiyası trapesiyadan kənarda yerləşən nöqtədir. Belə bir trapesiya ətrafında kürə təsvir etmək mümkündürmü? (Bəli, edə bilərsiniz. Piramidanın yuxarı hissəsinin ortoqonal proyeksiyasının onun bünövrəsindən kənarda yerləşməsinin əhəmiyyəti yoxdur. Piramidanın təməlində ikitərəfli trapesiya - ətrafında dairənin ola biləcəyi çoxbucaqlı olması vacibdir. təsvir)

13. Normal piramidanın yanında kürə təsvir edilmişdir. Onun mərkəzi piramidanın elementlərinə nisbətən necə yerləşir? (Sferanın mərkəzi onun mərkəzindən keçərək baza müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyar üzərindədir)

14. Düzbucaqlı üçbucaqlı prizmanın ətrafında təsvir olunan sferanın mərkəzi hansı şəraitdə yerləşir: a) prizmanın daxilində; b) prizmadan kənarda? (Prizmanın təməlində: a) iti üçbucaq; b) ensiz üçbucaq)

15. Kənarları 1 dm, 2 dm və 2 dm olan düzbucaqlı paralelepiped ətrafında kürə təsvir edilmişdir. Sferanın radiusunu hesablayın. (1,5 dm)

16. Kürə hansı kəsik konusuna yerləşə bilər? (Kəsilmiş konusda, ox hissəsinə dairənin yazıla biləcəyi. Konusun ox hissəsi ikitərəfli trapesiyadır, onun əsaslarının cəmi yan tərəflərinin cəminə bərabər olmalıdır. Başqa sözlə, Konusun əsaslarının radiuslarının cəmi generatora bərabər olmalıdır)

17. Kəsik konusda kürə təsvir edilmişdir. Koninin generatrisi kürənin mərkəzindən hansı bucaq altında görünür? (90 dərəcə)

18. Düz prizmanın içərisinə kürənin daxil edilməsi üçün onun hansı xassələri olmalıdır? (Birincisi, düz prizmanın təməlində çevrənin yazıla biləcəyi çoxbucaqlı olmalıdır, ikincisi, prizmanın hündürlüyü bazaya daxil edilmiş dairənin diametrinə bərabər olmalıdır)

19. Kürə sığmayan piramidaya misal göstərin? (Məsələn, bazasında düzbucaqlı və ya paraleloqram olan dördbucaqlı piramida)

20. Düz prizmanın təməlində romb yerləşir. Bu prizmaya kürə sığdırmaq mümkündürmü? (Xeyr, qeyri-mümkündür, çünki ümumiyyətlə romb ətrafında bir dairəni təsvir etmək mümkün deyil)

21. Hansı şəraitdə kürə düz üçbucaqlı prizmaya daxil edilə bilər? (Əgər prizmanın hündürlüyü bazaya yazılmış dairənin radiusundan iki dəfə böyükdürsə)

22. Hansı şəraitdə kürə düzgün dördbucaqlı kəsilmiş piramidaya daxil edilə bilər? (Verilmiş piramidanın en kəsiyi təməlin ona perpendikulyar olan tərəfinin ortasından keçən bir müstəvidirsə, o, bir dairənin daxil oluna biləcəyi ikitərəfli trapesiyadır)

23. Kürə üçbucaqlı kəsilmiş piramidaya daxil edilmişdir. Piramidanın hansı nöqtəsi kürənin mərkəzidir? (Bu piramidaya həkk olunmuş kürənin mərkəzi piramidanın yan üzlərinin əsasla yaratdığı üç bisektral bucaq müstəvisinin kəsişməsindədir)

24. Silindr ətrafında (sağ dairəvi) kürəni təsvir etmək mümkündürmü? (Bəli sən bacararsan)

25. Konus ətrafında kürə, kəsilmiş konus (düz dairəvi) təsvir etmək olarmı? (Bəli, hər iki halda edə bilərsiniz)

26. Hər hansı bir silindrin içinə kürə həkk oluna bilərmi? Bir kürəni ona yerləşdirmək üçün silindr hansı xüsusiyyətlərə malik olmalıdır? (Xeyr, hər dəfə deyil: silindrin eksenel hissəsi kvadrat olmalıdır)

27. Hər hansı bir konus içinə kürə həkk oluna bilərmi? Konusda yazılmış kürənin mərkəzinin mövqeyini necə təyin etmək olar? (Bəli, mütləq. Yazılı kürənin mərkəzi konusun hündürlüyü ilə generatrixin bünövrənin müstəvisinə meyl bucağının bissektrisasının kəsişməsindədir)

Müəllif hesab edir ki, “Çoxüzlülər, silindrlər, konuslar və toplar haqqında müxtəlif məsələlər” mövzusundakı üç planlaşdırma dərsindən iki dərsi topun digər cisimlərlə birləşməsi məsələlərinin həllinə həsr etmək məqsədəuyğundur. Dərsdə kifayət qədər vaxt olmadığı üçün yuxarıda verilmiş teoremləri sübut etmək tövsiyə edilmir. Bunun üçün kifayət qədər bacarıqları olan tələbələri sübutun kursunu və ya planını göstərməklə (müəllimin istəyi ilə) onları sübut etməyə dəvət edə bilərsiniz.

2. Əsas tərəf

Tapşırıqlar

1. Bazasında diaqonalları 3 və 4-ə, yan kənarı isə 5-ə bərabər olan romb olan düz prizmanın səth sahəsini tapın.

Cavab: 62.

2. Düz prizmanın təməlində diaqonalları 6 və 8-ə bərabər olan romb yerləşir. Onun səthinin sahəsi 248-dir. Bu prizmanın yan kənarını tapın.

Cavab: 10.

3. Düzgün dördbucaqlı prizmanın yan kənarını tapın, əgər onun əsasının tərəfləri 3, səthi isə 66-dır.

Cavab: 4.

4. Baza radiusu və hündürlüyü 2-yə bərabər olan silindr ətrafında nizamlı dördbucaqlı prizma çəkilmişdir. Prizmanın yan səthinin sahəsini tapın.

Cavab: 32.

5. Baza radiusu 2 olan silindr ətrafında müntəzəm dördbucaqlı prizma çəkilmişdir. Prizmanın yan səthinin sahəsi 48-dir. Silindr hündürlüyünü tapın.

Sağ prizma (altıbucaqlı nizamlı)

Yan kənarları əsaslara perpendikulyar, əsasları isə bərabər kvadratlar olan prizma.

1. Yan üzlər - bərabər düzbucaqlılar

2. Əsas tərəf

Tapşırıqlar

1. Əsas tərəfləri 1-ə, yan kənarları isə -ə bərabər olan müntəzəm altıbucaqlı prizmanın həcmini tapın.

Cavab: 4.5.

2. Əsas tərəfləri 3, hündürlüyü 6 olan müntəzəm altıbucaqlı prizmanın yan səthinin sahəsini tapın.

Cavab: 108.

3. Bütün kənarları √3-ə bərabər olan müntəzəm altıbucaqlı prizmanın həcmini tapın.

Cavab: 13.5

4. Əsas sahəsi 6, yan kənarı 2 olan müntəzəm altıbucaqlı ABCDEFA1B1C1D1E1F1 prizmasının təpələri A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 nöqtələri olan çoxüzlünün həcmini tapın. .

Düz prizma (ixtiyari n-kömür)

Yan kənarları əsaslara perpendikulyar olan və əsasları bərabər n-qonşulu olan prizma.

1. Baza düzgün çoxbucaqlıdırsa, yan üzlər bərabər düzbucaqlıdır.

2. Əsas tərəf .

piramida

Piramida n-qonaqlı A1A2...AnA1 və n üçbucaqdan (A1A2P, A1A3P və s.) ibarət çoxüzlüdür.

1. Piramidanın bünövrəsinə paralel kəsişmə əsasına bənzər çoxbucaqlıdır. Kesiti sahələri və əsas sahələri piramidanın yuxarı hissəsinə olan məsafələrinin kvadratları kimi əlaqələndirilir.

2. Piramidanın əsası düzgün çoxbucaqlıdırsa və zirvəsi bünövrənin mərkəzinə proyeksiya edilibsə, ona düzgün deyilir.

3. Müntəzəm piramidanın bütün yan kənarları bərabərdir, yan üzləri isə bərabər ikitərəfli üçbucaqlardır.

4. Müntəzəm piramidanın yan üzünün hündürlüyünə apotem deyilir.

5. Müntəzəm piramidanın yan səthinin sahəsi bünövrənin perimetri ilə apoteminin hasilinin yarısına bərabərdir.

Tapşırıqlar

1. Düzgün tetraedrin bütün kənarları iki dəfə artırılsa onun həcmi neçə dəfə artacaq?

Cavab: 8.

2. Düzgün altıbucaqlı piramidanın əsasının tərəfləri 10-a, yan kənarları 13-ə bərabərdir. Piramidanın yan səthinin sahəsini tapın.

Cavab: 360.

5. Şəkildə göstərilən piramidanın həcmini tapın. Onun əsası çoxbucaqlıdır, bitişik tərəfləri perpendikulyar, yan kənarlarından biri isə təməl müstəvisinə perpendikulyar və 3-ə bərabərdir.

Cavab: 27.

6. Əsas tərəfləri 1-ə, hündürlüyü isə -ə bərabər olan müntəzəm üçbucaqlı piramidanın həcmini tapın.

Cavab: 0,25.

7. Üçbucaqlı piramidanın yan kənarları qarşılıqlı perpendikulyardır, hər biri 3-ə bərabərdir. Piramidanın həcmini tapın.

Cavab: 4.5.

8. Düzgün dördbucaqlı piramidanın əsasının diaqonalı 8. Yan kənarı 5. Piramidanın həcmini tapın.

Cavab: 32.

9. Düzgün dördbucaqlı piramidada hündürlüyü 12, həcmi isə 200-dür. Piramidanın yan kənarını tapın.

Cavab: 13.

10. Düzgün dördbucaqlı piramidanın əsasının tərəfləri 6-ya, yan kənarları 5-ə bərabərdir. Piramidanın səth sahəsini tapın.

Cavab: 84.

11. Düzgün altıbucaqlı piramidanın həcmi 6. Əsasının tərəfi 1. Yan kənarını tapın.

12. Düzgün tetraedrin bütün kənarları ikiqat artarsa, onun səthi neçə dəfə artacaq?

Cavab: 4.

13. Düzgün dördbucaqlı piramidanın həcmi 12-dir. Əsasının diaqonalından və əks yan kənarın ortasından keçən müstəvi ilə ondan kəsilən piramidanın həcmini tapın.

Cavab: 3.

14. Oktaedrin bütün kənarları yarıya enərsə, onun həcmi neçə dəfə azalacaq?

Cavab: 8.

15. Üçbucaqlı piramidanın həcmi 15-dir. Təyyarə bu piramidanın bünövrəsinin kənarından keçir və piramidanın yuxarısından hesablanaraq onu 1:2 nisbətində bölən nöqtədə əks yan kənarı kəsir. Təyyarənin orijinal piramidanı böldüyü piramidaların ən böyük həcmini tapın.

Cavab: 10.

16. Əsas tərəfləri 2-yə, həcmi isə -ə bərabər olan müntəzəm üçbucaqlı piramidanın hündürlüyünü tapın.

Cavab: 3.

17. Düzgün dördbucaqlı piramidada hündürlüyü 6, yan kənarı 10. Onun həcmini tapın.

Cavab: 256.

18. Həcmi 12 olan üçbucaqlı piramidadan üçbucaqlı piramida piramidanın yuxarısından və əsasının orta xəttindən keçən müstəvi ilə kəsilir. Kəsilmiş üçbucaqlı piramidanın həcmini tapın.

Cavab: 3.

Silindr

Silindr silindrik bir səth və sərhədləri olan iki dairə ilə məhdudlaşan bir cisimdir.

Bədən həcmi	Yan səth sahəsi	Baza sahəsi	Ümumi səth sahəsi

1. Silindr generatorları - bazalar arasında bağlanmış generatrixlərin seqmentləri.

2. Silindr hündürlüyü generatrixin uzunluğudur.

3. Eksenel bölmə düzbucaqlıdır, iki tərəfi generatrislər, digər ikisi isə silindrin əsaslarının diametrləridir.

4. Dairəvi kəsik - kəsici müstəvisi silindrin oxuna perpendikulyar olan kəsik.

5. Silindr yan səthinin inkişafı - generatrix boyunca silindrin yan səthinin kəsilməsinin iki kənarını təmsil edən düzbucaqlı.

6. Silindrlərin yan səthinin sahəsi onun inkişaf sahəsidir.

7. Silindrlərin ümumi səth sahəsi yanal səthin və iki əsasın sahələrinin cəmi adlanır.

8. Siz həmişə silindr ətrafında kürə təsvir edə bilərsiniz. Onun mərkəzi hündürlüyün ortasında yerləşir. , burada R topun radiusu, r silindrin əsasının radiusu, H silindrin hündürlüyüdür.

9. Silindr təməlinin diametri onun hündürlüyünə bərabər olarsa, topu silindrə yerləşdirə bilərsiniz, .

Tapşırıqlar

1. Bir hissəsi 6 litr su olan silindrik bir qaba endirilir. Eyni zamanda, qabda mayenin səviyyəsi 1,5 dəfə artıb. Hissənin həcmi nə qədərdir?

Cavab: 3.

2. Baza sahəsi 1, generatrix 6 olan və 30° bucaq altında əsas müstəvisinə maili olan silindrin həcmini tapın.

Cavab: 3.

3. Silindr və konus ümumi əsas və hündürlüyə malikdir. Konusun həcmi 50 olarsa, silindrin həcmini tapın.

Cavab: 150.

4. 12 sm səviyyəsində silindrik bir qabda yerləşən su, diametri iki dəfə böyük olan silindrik bir qaba töküldü. İkinci qabda suyun səviyyəsi hansı hündürlükdə olacaq?

5. Silindrinin eksenel en kəsiyi sahəsi bərabərdir. Silindrin yan səthinin sahəsini tapın.

Cavab: 2.

6. Baza radiusu və hündürlüyü 2-yə bərabər olan silindr ətrafında müntəzəm dördbucaqlı prizma çəkilmişdir. Prizmanın yan səthinin sahəsini tapın.

Cavab: 32.

7. Silindr əsasının çevrəsi 3. Yan səthinin sahəsi 6. Silindr hündürlüyünü tapın.

8. Bir silindrik kubok ikincidən iki dəfə hündürdür, lakin ikincisi bir yarım dəfə daha genişdir. İkinci kubokun həcminin birincinin həcminə nisbətini tapın.

Cavab: 1.125.

9. Silindirik qabda mayenin səviyyəsi 18 sm-ə çatır.Diametri birincidən 3 dəfə böyük olan ikinci qaba tökülsə, mayenin səviyyəsi hansı hündürlükdə olacaq?

Cavab: 2.

Konus

Konus konusvari səth və dairə ilə məhdudlaşan cisimdir.

Bədən həcmi	Yan səth sahəsi	Baza sahəsi	Ümumi səth sahəsi

1. Konusun yan səthinin sahəsi onun inkişaf sahəsidir.

2. Süpürmə bucağı ilə eksenel bölmənin zirvə bucağı arasında əlaqə .

1. Silindr və konusun ümumi əsası və hündürlüyü var. Konusun həcmi 50 olarsa, silindrin həcmini tapın.

Cavab: 150.

2. Baza sahəsi 2, generatriksi 6 və əsas müstəvisinə 30° bucaq altında meyl edən konusun həcmini tapın.

Cavab: 2.

3. Konusun həcmi 12. Konusun əsasına paralel olaraq hündürlüyü yarıya bölən bir kəsik çəkilir. Kəsilmiş konusun həcmini tapın.

Cavab: 1.5.

4. Müntəzəm dördbucaqlı piramidanın ətrafında çevrilmiş konusun həcmi bu piramidaya daxil edilmiş konusun həcmindən neçə dəfə böyükdür?

Cavab: 2.

5. Konusun hündürlüyü 6, generatrix 10. Onun həcmini -ə bölərək tapın.

Cavab: 128.

6. Silindr və konus ümumi əsas və hündürlüyə malikdir. Silindrinin həcmi 48 olarsa, konusun həcmini tapın.

Cavab: 16.

7. Konusun əsasının diametri 6, ox hissəsinin zirvəsindəki bucaq isə 90°-dir. Konusun həcminin bölünməsi ilə hesablayın.

8. Əsas tərəfi 4 və hündürlüyü 6 olan müntəzəm dördbucaqlı piramidanın ətrafında konus təsvir edilmişdir. Onun həcmini -ə bölərək tapın.

9. Konus ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın 6-a bərabər olan ayaq ətrafında fırlanmasından əldə edilir. Onun həcmini -ə bölərək tapın.

Kürə və top

Kürə, müəyyən bir nöqtədən müəyyən bir məsafədə yerləşən fəzadakı bütün nöqtələrdən ibarət səthdir. Top kürə ilə sərhədlənmiş bir bədəndir.

1. Kürənin müstəvi ilə kəsişməsi, kürənin mərkəzindən müstəviyə qədər olan məsafə kürənin radiusundan kiçik olarsa, çevrədir.

2. Topun təyyarə ilə kəsişməsi dairədir.

3. Sferaya toxunan müstəvi kürə ilə yalnız bir ümumi nöqtəsi olan müstəvidir.

4. Kürə ilə müstəvinin təmas nöqtəsinə çəkilmiş kürənin radiusu tangens müstəvisinə perpendikulyardır.

5. Əgər kürənin radiusu onun kürə üzərində uzanan ucundan keçən müstəviyə perpendikulyardırsa, bu müstəvi kürəyə tangensdir.

6. Əgər kürə onun bütün üzlərinə toxunarsa, çoxüzlü kürə ətrafında dövrələnmiş deyilir.

7. Bir nöqtədən çəkilmiş kürəyə toxunan seqmentlər bərabərdir və bu nöqtədən və kürənin mərkəzindən keçən düz xətt ilə bərabər bucaqlar yaradır.

8. Kürə bütün generatorlarına toxunarsa, silindrik səthə yazılmışdır.

9. Kürə bütün generatorlarına toxunarsa, konusvari səthə daxil edilmişdir.

Tapşırıqlar

1. İki topun radiusları 6 və 8-dir. Səth sahəsi onların səth sahələrinin cəminə bərabər olan topun radiusunu tapın.

Cavab: 10.

2. Topun böyük dairəsinin sahəsi 1. Topun səthinin sahəsini tapın.

3. Topun radiusu iki dəfə artarsa, onun səthi neçə dəfə artacaq?

4. Üç topun radiusları 3, 4 və 5-dir. Həcmi onların həcmlərinin cəminə bərabər olan topun radiusunu tapın.

Cavab: 6.

5. Düzbucaqlı paralelepiped radiusu 2 olan sferanın ətrafında təsvir edilmişdir. Onun səthinin sahəsini tapın.

Cavab: 96.

6. Bir kub radiuslu topun içinə yazılmışdır. Kubun səthinin sahəsini tapın.

Cavab: 24.

7. Radiusu 2 olan sferanın ətrafında düzbucaqlı paralelepiped təsvir edilmişdir. Onun həcmini tapın.

8. Kürə ətrafında çevrələnmiş düzbucaqlı paralelepipedin həcmi 216-dır. Kürənin radiusunu tapın.

Cavab: 3.

9. Sferanın ətrafına çəkilmiş düzbucaqlı paralelepipedin səthinin sahəsi 96-dır. Sferanın radiusunu tapın.

Cavab: 2.

10. Yan səth sahəsi 9 olan topun ətrafında silindr təsvir edilmişdir. Topun səthinin sahəsini tapın.

Cavab: 9.

11. Bir kub ətrafında məhdudlaşdırılmış kürənin səthi eyni kubun içinə yazılmış kürənin səthindən neçə dəfə böyükdür?

Cavab: 3.

12. Bir kub radiuslu bir topun içinə yazılmışdır. Kubun həcmini tapın.

Cavab: 8.

Kompozit çoxüzlülər

Tapşırıqlar

1. Şəkil çoxüzlüdür, çoxüzlülərin bütün ikiüzlü bucaqları düz bucaqlıdır. A və C2 təpələri arasındakı məsafəni tapın.

Cavab: 3.

2. Şəkildə göstərilən çoxbucaqlının CAD2 bucağını tapın. Çoxüzlülərin bütün dihedral bucaqları düz bucaqlardır. Cavabınızı dərəcələrlə verin.

Cavab: 60.

3. Şəkildə göstərilən çoxbucaqlının səth sahəsini tapın (bütün dihedral bucaqlar düz bucaqlardır).

Cavab: 18.

4. Şəkildə göstərilən çoxüzlü səthin sahəsini tapın (bütün dihedral bucaqlar düz bucaqlardır).

Cavab: 132

5. Şəkildə göstərilən və vahid kublardan ibarət fəza xaçının səth sahəsini tapın.

Cavab: 30

6. Şəkildə göstərilən çoxbucaqlının həcmini tapın (bütün dihedral bucaqlar düzdür).

Cavab: 8

7.Şəkildə göstərilən çoxbucaqlının həcmini tapın (bütün dihedral bucaqlar düzdür).

Cavab: 78

8. Şəkil çoxüzlüdür, çoxüzlülərin bütün ikiüzlü bucaqları düz bucaqlıdır. ABB3 bucağının tangensini tapın.

Cavab: 2

10. Şəkil çoxüzlüdür, çoxüzlülərin bütün ikiüzlü bucaqları düz bucaqlıdır. C3D3B3 bucağının tangensini tapın.

Cavab: 3

11. Üçbucaqlı prizmanın əsasının orta xətti ilə yan kənarına paralel müstəvi çəkilir. Kəsilmiş üçbucaqlı prizmanın yan səthinin sahəsi 37 olarsa, prizmanın yan səthinin sahəsini tapın.

Cavab: 74.

12. Şəkil çoxüzlüdür, çoxüzlülərin bütün ikiüzlü bucaqları düz bucaqlıdır. B2 və D3 təpələri arasındakı məsafənin kvadratını tapın.

Cavab: 11.

Sferanın ətrafında həcmi 65 dm 3 olan müntəzəm dördbucaqlı prizma təsvir edilmişdir. Prizmanın ümumi səthinin sahəsi ilə kürənin həcminin nisbətini hesablayın
Prizmanın əsasları düzgün çoxbucaqlılar və yan kənarları əsasa perpendikulyardırsa, ona müntəzəm deyilir. Düzgün dördbucaqlı kvadratdır. Kvadratın diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi onun mərkəzi, eləcə də içinə yazılmış dairənin mərkəzidir. Gəlin bu faktı sübut edək. baxmayaraq ki, bu sübutun istənilməsi ehtimalı azdır və buraxıla bilər
Paraleloqramın, düzbucaqlının və rombun xüsusi bir növü kimi kvadrat öz xüsusiyyətlərinə malikdir: diaqonallar bərabərdir və kəsişmə nöqtəsi ilə ikiyə bölünür və kvadratın künclərinin bissektrisalarıdır. E nöqtəsi vasitəsilə AB-yə paralel TK düz xətti çəkirik. AB BC-yə perpendikulyardır, yəni TC də BC-yə perpendikulyardır (əgər iki paralel xəttdən biri hər hansı üçüncü xəttə perpendikulyardırsa, ikinci paralel xətt bu (üçüncü) xəttə perpendikulyardır). Eyni şəkildə biz birbaşa MR aparacağıq. BET və AEK düzbucaqlı üçbucaqları hipotenuza və iti bucaq baxımından bərabərdir (BE=AE - diaqonalların yarısı, ∠ EBT=∠ EAK - düz bucağın yarısı), bu da ET=EK deməkdir. Eyni şəkildə EM=EP olduğunu sübut edirik. Və CEP və CET üçbucaqlarının bərabərliyindən (eyni işarə) görürük ki, ET = EP, yəni. ET=EP=EK=EM və ya sadəcə olaraq M nöqtəsinin kvadratın kənarlarından bərabər məsafədə olduğunu söyləyin və bu, onu bu kvadrata daxil edilmiş dairənin mərkəzi kimi tanımaq üçün zəruri şərtdir.
AVTC düzbucağını nəzərdən keçirək (bu dördbucaq düzbucaqlıdır, çünki içindəki bütün bucaqlar konstruksiyaya görə düz bucaqlıdır). Bir düzbucaqlıda əks tərəflər bərabərdir - AB = CT (qeyd etmək lazımdır ki, CT bazanın diametridir) - bu o deməkdir ki, təməlin tərəfi yazılmış dairənin diametrinə bərabərdir.
Gəlin paralel (eyni müstəviyə perpendikulyar iki düz xətt paraleldir) müvafiq olaraq AA 1, CC 1 və BB 1 və DD 1 (paralel düz xətlər yalnız bir müstəvi müəyyən edir) müstəviləri çəkək. AA 1 C 1 C və BB 1 D 1 D müstəviləri ABCD əsasına perpendikulyardır, çünki ona perpendikulyar düz xətlərdən (yan qabırğalar) keçin.
H nöqtəsindən (diaqonalların kəsişməsi) AA müstəvisində ABCD əsasına perpendikulyar 1 C 1 C. Sonra BB 1 D 1 D müstəvisində də eyni şeyi edəcəyik. Teoremdən: əgər iki perpendikulyar müstəvidən birinə aid olan nöqtədən digər müstəviyə perpendikulyar çəksək, bu perpendikulyar tamamilə birinci müstəvidə yerləşir, biz tapın ki, bu perpendikulyar AA 1 C 1 C müstəvisində və BB 1 D 1 D müstəvisində yatmalıdır. Bu, yalnız bu perpendikulyar bu müstəvilərin kəsişmə xətti ilə üst-üstə düşərsə mümkündür - DEYİL. Bunlar. seqment, üzərində yazılmış dairənin mərkəzinin yerləşdiyi düz xətt DEYİL (çünki o, yanal üzlərin müstəvilərindən BƏRABİR MƏSAFƏDDİR və bu da öz növbəsində müvafiq əsasların təpələrindən E və H nöqtələrinin bərabər məsafəsindən irəli gəlir. (sübut edilənlərə görə: diaqonalların kəsişmə nöqtəsi kvadratın tərəflərindən bərabər məsafədədir ) və DEYİL əsaslara perpendikulyar olmasından belə nəticəyə gəlmək olar ki, NOT topun diametridir. Bir top müntəzəm prizmaya o zaman yazıla bilər ki, onun hündürlüyü bazaya yazılmış dairənin diametrinə bərabər olsun.Yaxşı, o, artıq bizim prizma kürəmizə həkk olunub, yəni onun hündürlüyü onun diametrinə bərabərdir. bünövrəyə yazılmış dairə.Əgər əsasın tərəfini kimi təyin etsək A, və prizmanın hündürlüyü h-dir, onda bu teoremdən istifadə edərək nəticə çıxarırıq A=h və sonra prizmanın həcmi belə tapılır:

Sonra, hündürlüyün yazılmış topun diametrinə və prizmanın əsasının tərəfinə bərabər olduğundan istifadə edərək, topun radiusunu və sonra həcmini tapırıq:

Yan kənarların hündürlüyə bərabər olduğunu söyləmək lazımdır (paralel müstəvilər arasında bağlanmış paralel xətlərin seqmentləri bərabərdir) və hündürlük təməlin tərəfinə bərabər olduğundan, ümumiyyətlə prizmanın bütün kənarları bərabərdir. bir-birinə və bütün üzlər əsasən sahəsi olan kvadratlardır A 2. Əslində, belə bir rəqəm kub adlanır - paralelepipedin xüsusi bir vəziyyəti. Kubun ümumi səthini tapmaq və onu topun həcmi ilə əlaqələndirmək qalır:

Bir top piramidanın ətrafında təsvir edilə bilər, o zaman və yalnız onun təməli ətrafında bir dairə təsvir edilə bilər.

Bu topun mərkəzi O qurmaq üçün sizə lazımdır:

1. Baza ətrafında çevrələnmiş çevrənin O mərkəzini tapın.

2. O nöqtəsi vasitəsilə əsas müstəvisinə perpendikulyar düz xətt çəkin.

3. Piramidanın hər hansı yanal kənarının ortasından bu kənara perpendikulyar olan müstəvi çəkin.

4. Qurulmuş düz xəttin müstəvi ilə kəsişməsinin O nöqtəsini tapın.

Xüsusi hal: piramidanın yan kənarları bərabərdir. Sonra:

top təsvir edilə bilər;

topun mərkəzi O piramidanın hündürlüyündə yerləşir;

Sərhədlənmiş sferanın radiusu haradadır; - yan qabırğa; H piramidanın hündürlüyüdür.

5.2. Top və prizma

Kürə prizmanın ətrafında o zaman təsvir edilə bilər ki, prizma düz olsun və onun təməli ətrafında çevrə təsvir olunsun.

Topun mərkəzi əsasların yaxınlığında təsvir edilən dairələrin mərkəzlərini birləşdirən seqmentin ortasıdır.

əhatə olunmuş sferanın radiusu haradadır; - baza yaxınlığında təsvir edilən dairənin radiusu; H prizmanın hündürlüyüdür.

5.3. Top və silindr

Bir top həmişə bir silindr ətrafında təsvir edilə bilər. Topun mərkəzi silindrin eksenel hissəsinin simmetriya mərkəzidir.

5.4. Top və konus

Bir top həmişə konus ətrafında təsvir edilə bilər. Topun mərkəzi; konusun eksenel bölməsi ətrafında əhatə olunmuş dairənin mərkəzi kimi xidmət edir.