Potensial və solenoidal vektor sahələri. Vektor sahəsinin tərifi. Gradient sahəsi. Potensial sahələr, potensial şərtlər Sahənin potensialını müəyyənləşdirin və onun potensialını tapın

Sahə nəzəriyyəsi

Başqa adla vektor analizi. Bəziləri üçün sahə nəzəriyyəsi kimi tanınan vektor analizi =) Nəhayət, bu maraqlı mövzuya gəldik!Ali riyaziyyatın bu bölməsini sadə adlandırmaq olmaz, lakin gələcək məqalələrdə iki məqsədə çatmağa çalışacağam:

a) hər kəs söhbətin nədən getdiyini başa düşsün;

b) və beləliklə, "dummies" ən azı sadə şeyləri həll etməyi öyrənsin - heç olmasa qiyabi tələbələrə təklif olunan tapşırıqlar səviyyəsində.

Bütün materiallar populyar üslubda təqdim olunacaq və sizə daha ciddi və dolğun məlumat lazımdırsa, məsələn, Fichtenholtz-un 3-cü cildini götürə və ya Wiki-yə baxa bilərsiniz.

Və gəlin dərhal başlığı deşifrə edək. Nəzəriyyə ilə düşünürəm ki, hər şey aydındır - saytın ən yaxşı ənənələrində biz onun əsaslarını təhlil edəcəyik və praktikaya diqqət yetirəcəyik. Yaxşı, “sahə” sözünü nə ilə əlaqələndirirsiniz?

Ot sahəsi, futbol meydançası... Daha çox? Fəaliyyət sahəsi, təcrübə sahəsi. Salam humanistlər! ...Məktəb kursundan? Elektrik sahəsi, maqnit, elektromaqnit..., tamam. Özümüzü tapdığımız Yerin cazibə sahəsi. Əla! Yaxşı, kim bunu sahə haqqında dedi? etibarlıdır Və mürəkkəb ədədlər? ...bir neçə canavarlar bura toplaşıb! =) Təşəkkürlər cəbr artıq keçdi.

Növbəti dərslərdə konkret bir anlayışla tanış olacağıq sahələr, həyatdan konkret nümunələr, həmçinin vektor analizinin tematik problemlərinin həllini öyrənin. Sahə nəzəriyyəsi, düzgün təxmin etdiyiniz kimi, tarlada - meşənin, çayın, gölün, kənd evinin olduğu təbiətdə ən yaxşı şəkildə öyrənilir və mən hamını isti yay reallığında deyilsə, özlərini batırmağa dəvət edirəm, sonra xoş xatirələrlə:

Bu gün nəzərdə tutulan mənada sahələrdir skalyar Və vektor, və biz onların "tikinti blokları" ilə başlayacağıq.

İlk olaraq, skalyar. Çox vaxt bu termin səhvən eyniləşdirilir nömrə. Xeyr, işlər bir az fərqlidir: skalyar hər bir dəyəri ifadə oluna bilən kəmiyyətdir yalnız bir nömrə. Fizikada kütlənin çoxlu nümunələri var: uzunluq, en, sahə, həcm, sıxlıq, temperatur və s. Bütün bunlar skalyar kəmiyyətlərdir. Yeri gəlmişkən, kütlə də bir nümunədir.

İkincisi, vektor. Haqqında dərsdə vektorun cəbri tərifinə toxundum xətti çevrilmələr və onun şəxsi təcəssümlərindən biri bilməmək sadəcə mümkün deyil=) Tipik vektor ifadə edilir iki və ya daha çox nömrələri(koordinatlarınızla). Və hətta bir ölçülü vektor üçün yalnız bir nömrə kifayət deyil– vektorun da bir istiqaməti olduğu üçün. Və vektor əgər tətbiq nöqtəsi subay deyil. Vektorlar fiziki güc sahələrini, sürəti və bir çox başqa kəmiyyətləri xarakterizə edir.

Yaxşı, indi alüminium xiyar yığmağa başlaya bilərsiniz:

Skalyar sahə

Əgər hər biri bəzi məqam kosmos sahələri müəyyən bir nömrə təyin edilir (adətən real), sonra deyirlər ki, bu sahədə verilir skalyar sahə.

Məsələn, yerdən çıxan bir perpendikulyar düşünün Ray. Aydınlıq üçün bir kürək qoyun =) Nə skalyar sahələr bu şüada soruşa bilərəm? Ağla gələn ilk şey budur hündürlük sahəsi– şüanın hər bir nöqtəsinə yer səviyyəsindən hündürlüyü təyin edildikdə. Və ya, məsələn, atmosfer təzyiq sahəsi– burada şüanın hər bir nöqtəsi müəyyən bir nöqtədə atmosfer təzyiqinin ədədi dəyərinə uyğundur.

İndi gölə yaxınlaşaq və zehni olaraq onun səthinə bir təyyarə çəkək. Təyyarənin "su" parçasının hər bir nöqtəsi gölün dərinliyi ilə əlaqələndirilirsə, zəhmət olmasa, skalyar sahə verilir. Eyni nöqtələrdə, digər skalyar kəmiyyətləri, məsələn, su səthinin temperaturunu nəzərdən keçirə bilərsiniz.

Skayar sahənin ən vacib xüsusiyyəti onundur dəyişməzlik koordinat sisteminə nisbətən. Əgər onu insan dilinə tərcümə etsək, o zaman kürəkə/gölə hansı tərəfdən baxsaq da - skalyar sahə (hündürlük, dərinlik, temperatur və s.) bu dəyişməyəcək. Üstəlik, skalyar sahə, məsələn, dərinlik, başqa bir səthə, məsələn, uyğun bir səthə təyin edilə bilər yarımkürə, və ya birbaşa suyun səthində. Niyə də yox? Gölün üstündə yerləşən yarımkürənin hər bir nöqtəsinə nömrə təyin etmək mümkün deyilmi? Mən yalnız rahatlıq üçün düzlük təklif etdim.

Daha bir koordinat əlavə edək. Əlinizə bir daş götürün. Bu daşın hər bir nöqtəsi onun üçün təyin edilə bilər fiziki sıxlıq. Və yenə də - onu hansı koordinat sistemində hesab etməyimizdən, əlimizdə necə bükməyimizdən asılı olmayaraq - skalyar sıxlıq sahəsi dəyişməz qalacaq. Ancaq bəzi insanlar bu həqiqəti mübahisə edə bilər =) Bu, fəlsəfə daşıdır.

Sırf riyazi baxımdan (fiziki və ya digər şəxsi mənadan kənar) skalyar sahələr ənənəvi olaraq bizim “adi” funksiyalarımızla müəyyən edilir bir , iki , üç və daha çox dəyişənlər. Eyni zamanda sahə nəzəriyyəsində bu funksiyaların ənənəvi atributlarından geniş istifadə olunur, məsələn domen, səviyyəli xətlər və səthlər.

Üç ölçülü məkanda hər şey oxşardır:
– burada fəzada hər bir icazə verilən nöqtə verilmiş nöqtədə başlanğıcı olan vektorla əlaqələndirilir. “Qəbul edilənlik” funksiyaların təyini sahələri ilə müəyyən edilir və əgər onların hər biri bütün “X”, “E”, “Z” üçün müəyyən edilirsə, vektor sahəsi bütün məkanda göstəriləcəkdir.

! Təyinatlar : vektor sahələri də və ya hərfi ilə, onların komponentləri isə müvafiq olaraq və ya ilə işarələnir.

Yuxarıda deyilənlərdən çoxdan məlum oldu ki, ən azı riyazi olaraq, skalar və vektor sahələri bütün məkanda müəyyən edilə bilər. Bununla belə, mən hələ də müvafiq fiziki nümunələrlə ehtiyatlı idim, çünki belə anlayışlar temperatur, ağırlıq(və ya başqaları). haradasaümumiyyətlə mövcud olmaya bilər. Amma bu artıq qorxu deyil, elmi fantastika =) Və təkcə elmi fantastika deyil. Çünki külək, bir qayda olaraq, daşların içində əsmir.

Qeyd etmək lazımdır ki, bəzi vektor sahələri (eyni sürət sahələri) zamanla sürətlə dəyişir və buna görə də bir çox fiziki modellər əlavə müstəqil dəyişən hesab edirlər. Yeri gəlmişkən, eyni şey skalyar sahələrə də aiddir - temperatur, əslində, vaxtında "donmur".

Bununla belə, riyaziyyat çərçivəsində biz özümüzü üçlüklə məhdudlaşdıracağıq və bu cür sahələr “qovuşduqda” zamanın hansısa sabit anını və ya sahənin dəyişmədiyi bir dövrü nəzərdə tutacağıq.

Vektor xətləri

Skalar sahələr təsvir edilərsə xətlər və səviyyəli səthlər, onda vektor sahəsinin “formasını” xarakterizə etmək olar vektor xətləri. Yəqin ki, çoxları bu məktəb təcrübəsini xatırlayır: bir maqnit kağız vərəqinin altına və üstünə qoyulur (görək!) dəmir qırıntıları tökülür, hansı ki, yalnız sahə xətləri boyunca "bir sıraya düzülür".

Mən bunu daha sadə şəkildə formalaşdırmağa çalışacağam: vektor xəttinin hər bir nöqtəsi başlanğıcdır sahə vektoru, verilmiş nöqtədə tangens üzərində yerləşir:

Əlbəttə ki, ümumi vəziyyətdə xətt vektorları müxtəlif uzunluqlara malikdir, buna görə də yuxarıdakı şəkildə, soldan sağa hərəkət edərkən, onların uzunluğu artır - burada, məsələn, bir maqnitə yaxınlaşdığımızı düşünə bilərik. Güclü fiziki sahələrdə vektor xətləri deyilir - elektrik xətləri. Başqa, daha sadə nümunə Yerin cazibə sahəsidir: onun sahə xətləri şüalar başlanğıcı planetin mərkəzində və vektorlarla ağırlıq birbaşa şüaların özlərində yerləşir.

Sürət sahələrinin vektor xətləri deyilir cari xətlər. Yenidən toz fırtınasını təsəvvür edin - toz hissəcikləri hava molekulları ilə birlikdə bu xətlər boyunca hərəkət edir. Eynilə çayla: maye molekullarının (yalnız deyil) hərəkət etdiyi trayektoriyalar, hərfi mənada, axınlardır. Ümumiyyətlə, sahə nəzəriyyəsinin bir çox anlayışı bir dəfədən çox qarşılaşacağımız hidrodinamikadan gəlir.

Əgər “düz” vektor sahəsi sıfırdan fərqli funksiya ilə verilirsə, onun sahə xətlərini buradan tapmaq olar diferensial tənlik. Bu tənliyin həlli verir ailə müstəvidə vektor xətləri. Bəzən tapşırıqlarda adətən çətinlik yaratmayan bir neçə belə xətt çəkmək lazımdır - biz "tse"nin bir neçə əlverişli dəyərini seçdik, bəzilərini çəkdik. hiperbolalar, və sifariş.

Məkan vektor sahəsi ilə bağlı vəziyyət daha maraqlıdır. Onun sahə xətləri əlaqələrlə müəyyən edilir. Burada biz qərar verməliyik iki diferensial tənlik sistemi və iki ailə al məkan səthləri. Bu ailələrin kəsişmə xətləri məkan vektor xətləri olacaqdır. Bütün komponentlər ("pe", "ku", "er") sıfırdan fərqlidirsə, bir neçə texniki həll yolu var. Bütün bu üsulları nəzərdən keçirməyəcəyəm. (çünki məqalə nalayiq ölçülərə çatacaq), lakin vektor sahəsinin komponentlərindən biri sıfıra bərabər olan ümumi xüsusi hal üzərində dayanacağam. Bütün variantları bir anda sadalayaq:

əgər , onda sistemi həll etmək lazımdır;
varsa, sistem;
və əgər , onda.

Və nədənsə çoxdan məşq etmirik:

Misal 1

Vektor sahəsinin sahə xətlərini tapın

Həll: bu problemdə biz həll edirik sistemi:

Mənası çox sadədir. Beləliklə, əgər funksiya gölün dərinliyinin skalyar sahəsini təyin edirsə, müvafiq vektor funksiyası çoxluğu müəyyən edir. azad olmayan vektorlar, hər biri bir istiqamət göstərir sürətli yüksəliş bu və ya digər nöqtədə alt və bu yüksəliş sürəti.

Əgər funksiya fəzanın müəyyən bölgəsinin skalyar temperatur sahəsini təyin edirsə, müvafiq vektor sahəsi istiqaməti və sürəti xarakterizə edir. ən sürətli istiləşmə bu sahənin hər nöqtəsində boşluq.

Ümumi riyazi məsələyə baxaq:

Misal 3

Skayar sahə və nöqtə verilmişdir. Tələb olunur:

1) skalyar sahənin qradiyent funksiyasını tərtib edin;

Hansı bərabərdir potensial fərq .

Başqa sözlə, potensial sahədə yalnız marşrutun başlanğıc və son nöqtələri əhəmiyyət kəsb edir. Və bu nöqtələr üst-üstə düşürsə, qapalı kontur boyunca qüvvələrin ümumi işi sıfıra bərabər olacaqdır:

Yerdən bir lələk götürək və başlanğıc nöqtəsinə çatdıraq. Bu halda bizim hərəkatımızın trayektoriyası yenə özbaşına olur; hətta qələmi yerə qoya, yenidən götürə və s.

Niyə son nəticə sıfırdır?

Lələk "a" nöqtəsindən "b" nöqtəsinə düşdü? Düşdü. Cazibə qüvvəsi işi gördü.

Qələm "a" nöqtəsinə arxaya dəydi? Anladım. Bu o deməkdir ki, eyni iş görülüb cazibə qüvvəsinə qarşı, və hansı "macəralarla" və hansı qüvvələrlə fərq etməz - külək onu geri qaytarsa ​​belə.

Qeyd : Fizikada mənfi işarə əks istiqaməti simvollaşdırır.

Beləliklə, qüvvələrin gördüyü ümumi iş sıfırdır:

Artıq qeyd etdiyim kimi, işin fiziki və lay anlayışı fərqlidir. Və bu fərq, bir lələyi və ya hətta bir kərpici deyil, məsələn, bir pianonu yaxşı başa düşməyə kömək edəcək :)

Birlikdə pianonu qaldırın və pilləkənlərdən aşağı endirin. Küçədə sürün. İstədiyiniz qədər və istədiyiniz yerdə. Heç kim axmağı çağırmasa, aləti geri gətir. İşləmisən? Əlbəttə. Yeddinci tərə qədər. Amma fizika baxımından heç bir iş görülməyib.

“Potensial fərq” ifadəsi potensial elektrostatik sahə haqqında daha çox danışmağa cəlbedicidir, lakin oxucularınızı şoka salmaq nədənsə heç də humanist deyil =) Üstəlik, saysız-hesabsız nümunələr var, çünki istənilən gradient sahəsi potensialdır, onlardan bir qəpik var.

Ancaq "bir qəpik" demək asandır: burada bizə vektor sahəsi verilir - potensial olub-olmadığını necə müəyyən etmək olar?

Vektor sahə rotoru

Ya da onu burulğan vektorlarla da ifadə olunan komponent.

Yenə də lələyi əlimizə götürək və ehtiyatla çaya üzərək göndərək. Təcrübənin saflığı üçün onun mərkəzinə nisbətən homojen və simmetrik olduğunu fərz edəcəyik. Ox yuxarı qalxır.

Gəlin nəzərdən keçirək vektor sahəsi cari sürət və lələk mərkəzinin yerləşdiyi suyun səthində müəyyən bir nöqtə.

Əgər daxil Bu nöqtədə qələm saat yönünün əksinə fırlanır, sonra onu gedən ilə uyğunlaşdıracağıq azad olmayan yuxarı vektor. Eyni zamanda, qələm nə qədər tez fırlanırsa, bu vektor bir o qədər uzun olur,... günəşin parlaq şüalarında mənə nədənsə o qədər qara görünür... Əgər fırlanma saat əqrəbi istiqamətində baş verirsə, vektor aşağıya "baxır". Qələm ümumiyyətlə fırlanmırsa, vektor sıfırdır.

Tanış - budur rotor vektoru vektor sürət sahəsi, bu, mayenin içindəki "fırlanma" istiqamətini xarakterizə edir Bu nöqtədə və qələmin fırlanma bucaq sürəti (lakin cərəyanın istiqaməti və ya sürəti deyil!).

Tamamilə aydındır ki, çayın bütün nöqtələrində fırlanma vektoru ("su altında olanlar" da daxil olmaqla) var. cərəyan sürətinin vektor sahəsi biz yeni vektor sahəsi müəyyən etdik!

Əgər vektor sahəsi funksiya ilə verilirsə, onun rotor sahəsi aşağıdakı ilə verilir vektor funksiyası:

Üstəlik, vektorlar rotor sahəsiçaylar böyükdür və istiqamətini dəyişməyə meyllidir, bu heç də o demək deyil ki, biz dolama və narahat çaydan danışırıq (nümunəyə qayıt). Bu vəziyyət düz bir kanalda da müşahidə edilə bilər - məsələn, ortada sürət daha yüksək, bankların yaxınlığında isə aşağı olduqda. Yəni qələmin fırlanması yaranır müxtəlif axın sürətləri V qonşu cari xətlər.

Digər tərəfdən, rotor vektorları qısadırsa, bu, "dolama" dağ çayı ola bilər! içərisində olması vacibdir bitişik cərəyan xətləri cərəyanın özünün sürəti (sürətli və ya yavaş) bir qədər fərqlənirdi.

Və nəhayət, yuxarıda verilən suala cavab veririk: potensial sahənin istənilən nöqtəsində onun rotoru sıfırdır:

Daha doğrusu, sıfır vektoru.

Potensial sahə də adlanır qıcıqlandırıcı sahə.

“İdeal” axın, əlbəttə ki, mövcud deyil, lakin çox vaxt bunu müşahidə etmək olar sürət sahəsiçaylar potensiala yaxındır - müxtəlif obyektlər sakitcə üzür və fırlanmır, ...bu mənzərəni siz də təsəvvür edirsiniz? Bununla belə, onlar çox tez və döngədə üzə bilirlər, sonra yavaşlayırlar, sonra sürətlənirlər - cərəyanın sürətinin içərisində olması vacibdir. bitişik cərəyan xətləri qorunurdu Sabit.

Və təbii ki, bizim fani cazibə sahəmiz. Növbəti təcrübə üçün hər hansı kifayət qədər ağır və homojen bir obyekt yaxşı uyğun gəlir, məsələn, qapalı kitab, açılmamış pivə qutusu və ya yeri gəlmişkən, qanadlarda gözləyən bir kərpic =) uclarını əllərinizlə tutun. , yuxarı qaldırın və ehtiyatla sərbəst yerə buraxın. Fırlanmayacaq. Əgər belədirsə, bu sizin "şəxsi səyiniz"dir və ya əldə etdiyiniz kərpic yanlışdır. Tənbəl olmayın və bu faktı yoxlayın! Sadəcə pəncərədən heç nə atmayın, bu artıq tük deyil

Bundan sonra, təmiz bir vicdan və artan tonla, praktik tapşırıqlara qayıda bilərsiniz:

Misal 5

Vektor sahəsinin potensial olduğunu göstərin və onun potensialını tapın

Həll: şərt birbaşa sahənin potensialını bildirir və bizim vəzifəmiz bu faktı sübut etməkdir. Rotor funksiyasını və ya daha tez-tez dedikləri kimi, müəyyən bir sahənin rotorunu tapaq:

Rahatlıq üçün sahə komponentlərini yazırıq:

və gəlin onları tapmağa başlayaq qismən törəmələr– onları soldan sağa “fırlanan” qaydada “çeşidləmək” rahatdır:
- Və dərhal bunu yoxlayın (sıfır olmayan nəticə halında əlavə iş görməmək üçün). Davam edək:

Beləliklə:
, buna görə də sahə potensialdır və buna görə də gradient funksiyasını təmsil edir potensial tərəfindən müəyyən edilmiş bəzi skalyar sahə.

Teorem 1. T bölgəsində göstərilən vektor sahəsinin solenoidal olması üçün bu sahənin müəyyən vektorun rotor sahəsi olması zəruri və kifayətdir, yəni. belə ki, T bölgəsinin bütün nöqtələrində şərti ödəyən vektor mövcud olsun

Sübut.

Adekvatlıq. bizdə var

Zərurət. Qoy

Belə bir funksiya tapaq

Aşağıda funksiyanın unikal şəkildə müəyyən edilmədiyini göstərəcəyik, ona görə də bu funksiyaya əlavə şərtlər qoyula bilər. Qoy

Gəlin funksiyaları seçək

Göstərək ki, bu funksiyalar (1) tənliklər sistemini təmin edir. Həqiqətən də var

Həqiqətən, qurulmuş funksiya şərti təmin edir

Funksiya vektor potensialı adlanır.

Teoremi sübut edərkən sahənin vektor potensialını təyin etməyə imkan verən üsul təklif etdik.

Qeyd 1. Əgər funksiya sahənin vektor potensialıdırsa, onda funksiya

burada ixtiyari skalyar funksiyadır və eyni zamanda sahənin vektor potensialıdır.

Sübut.

Nəticə etibarı ilə vektor potensialı birmənalı şəkildə müəyyən edilir.

Nümunə 1: Sahəni göstərin

Həll. bizdə var.

Gəlin hesablayaq

Tapılan funksiya arzu olunan vektor potensialıdır. Gəlin bu ifadəni yoxlayaq, yəni. rotoru tapaq:

Şərt yerinə yetirilir. Bu sahənin vektor potensialının daha simmetrik funksiya ola biləcəyini yoxlamaq asandır

Nümunə 2: Sahəni göstərin

solenoidal və bu sahənin vektor potensialını tapın.

Həll. bizdə var.

Gəlin hesablayaq

yoxlayaq:

Şərt yerinə yetirilir. Bu sahənin vektor potensialının daha simmetrik funksiyalar ola biləcəyini yoxlamaq asandır

Yuxarıdakı nümunələrdən aydın olur ki, eyni sahə üçün vektor potensialı üçün ifadələr kəskin şəkildə fərqlənə bilər. Bu onunla bağlıdır ki, tapılmış vektor potensialına istənilən skalyar funksiyanın qradiyenti əlavə edilə bilər.

Bu mövzuda nəzəri material səh. Bu nəşrin 228-236.

Misal 30. Vektor sahəsinin olub olmadığını yoxlayın

a) potensial; b) solenoidal. Sahə potensialdırsa, onun potensialını tapın.

Həll. A) Sahə rotorunu tapın

Ona görə də sahə potensialdır.

B) Sahənin divergensiyasını tapın

Buna görə də sahə solenoidal deyil.

B) olduğundan sahə potensialını düsturdan istifadə etməklə hesablamaq olar

Tam diferensialın xətt inteqralı inteqrasiya yolundan asılı deyil. Burada başlanğıc nöqtəsi kimi koordinatların mənşəyini götürmək rahatdır. İnteqrasiya yolu kimi biz qırıq xətti götürürük OAVM(şək. 17).

1. Buna görə də seqmentdə

2. Buradan seqmentdə

3. Buradan seqmentdə

Beləliklə, ixtiyari sabit haradadır.

Nəhayət,

5-8 nömrəli test tapşırıqları

Tapşırıq nömrələri kodun son iki rəqəminə və soyadın ilk hərfinə uyğun olaraq cədvəldən seçilir. Məsələn, tələbə İvanov, kodu 1-45-5815, 5-ci testdə 5, 15, 21,31, 6-cı testdə 45, 51, 61, 71, 7, 101, 111-də 85, 91, test 8-də - məsələlər 125,135,141,151.

Test № 5

1-10-cu məsələlərdə birinci dərəcəli diferensial tənliyin ümumi həllini tapın

11-20-ci məsələlərdə ikinci dərəcəli diferensial tənliyin ümumi həllini və ya ümumi inteqralını tapın.

21-30-cu məsələlərdə xətti ikinci dərəcəli tənliklərin ümumi həllini tapın

31-40-cı məsələlərdə dərəcə sıralarının yaxınlaşma bölgəsini tapın

Test № 6

41-50-ci məsələlərdə funksiyanı Maklaurin seriyasına genişləndirin, sıraların yaxınlaşma diapazonunu təyin edin.

51-60-cı məsələlərdə inteqrasiya sahəsini qurun və inteqrasiya sırasını dəyişin

61. Sferanın bir hissəsinin səthinin sahəsini hesablayın , silindrlə kəsilir və təyyarə .

62. Xətlərlə məhdudlaşan düz plitənin sahəsini hesablayın: və (parabolanın xaricində).

63. Təyyarələrlə kəsilmiş silindrin səthinin sahəsini hesablayın.

64. Səthlərlə məhdudlaşan cismin həcmini tapın , , , , .

65. Səthlərlə məhdudlaşan cismin həcmini tapın: və , birinci oktantda yatır.

66. Xətlərlə məhdudlaşan düz lövhənin sahəsini tapın, .

67. Dairənin dairədən kənarda yerləşən hissəsinin sahəsini təyin edin (qütb koordinatlarından istifadə edin).

68. Bircins düz boşqabın kütləsini hesablayın (),

dairə və düz xətlərlə məhdudlaşır və .

69. Sıxlığı olan boşqabın kütləsini tapın , xətlərlə məhdudlaşır , , .

70. Sıxlığı olan boşqabın kütləsini tapın , bərabərsizliklərlə verilir: .

71-80 məsələlərində əyri boyunca əyrixətti inteqralları hesablayın:

Test № 7

81-86-cı məsələlərdə funksiyaları Furye seriyasına genişləndirin; verilmiş funksiyanın qrafikini tərtib edin

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87, 88-ci məsələlərdə funksiyanı sinuslar baxımından Furye sırasına genişləndirin; verilmiş funksiyanın qrafikini çəkin.

87.

88.

89.90 məsələlərində funksiyanı kosinuslarda Furye sırasına genişləndirin; verilmiş funksiyanın qrafikini çəkin.

89.

90.

91-95-ci məsələlərdə Furye metodundan istifadə edərək sərhəd şərtləri ilə verilmiş seqmentdə dalğa tənliyini həll edin. və ilkin şərtlər verilir.

91.

93.

95.

96-100-cü məsələlərdə verilmiş ilkin vəziyyət və sərhəd şərtləri üçün Furye metodundan istifadə etməklə verilmiş seqmentdə istilik keçirmə tənliyini həll edin. .

96.

97.

98.

99.

100.

101-106-cı məsələlərdə sahə üzrə üçqat inteqralı hesablayın T, bərabərsizliklərlə verilir. Rəsm çəkin.

103.
(inteqralları hesablayarkən silindrik koordinatlara keçin).

105. (inteqralları hesablayarkən silindrik koordinatlara keçin).

107-110-cu məsələlərdə bərabərsizliklərlə verilmiş və verilmiş sıxlığa malik olan cismin kütləsini tapın. Rəsm çəkin.

108. (üçlü inteqralı hesablayarkən, silindrik koordinatlara keçin).

110. (üçqat inteqralı hesablayarkən silindrik koordinatlara keçin).

111-120-ci məsələlərdə səth inteqralını hesablayın. Səthin rəsmini çəkin.

111. təyyarənin bir hissəsi haradadır koordinat müstəviləri ilə məhdudlaşır.

112. - parabolik silindrin bir hissəsinin yuxarı tərəfi, dairəvi silindrlə məhdudlaşır və təyyarə. İnteqralı hesablayarkən, qütb koordinatlarına keçin.

113. - silindr səthinin təyyarələrlə məhdudlaşdırılan hissəsi

114. , konus səthinin bir hissəsi olduğu yerdir , təyyarələrlə məhdudlaşır və (ikiqat inteqralı hesablayarkən, qütb koordinatlarına keçin).

115. , - təyyarələrlə məhdudlaşan dairəvi silindrin bir hissəsi

116. - konus hissəsinin yuxarı tərəfi , təyyarələrlə məhdudlaşır . İnteqralı hesablayarkən, qütb koordinatlarına keçin.

117. , kürənin yuxarı tərəfi haradadır . İkiqat inteqralı hesablayarkən qütb koordinatlarına keçin.

118. , təyyarə hissəsinin yuxarı tərəfi haradadır , koordinat müstəviləri ilə məhdudlaşır.

119. , - koordinat müstəviləri və müstəvi ilə məhdudlaşan parabolik silindrin bir hissəsi.

120. ; - dairəvi silindrlə sərhədlənmiş dairəvi silindrin bir hissəsinin yuxarı tərəfi və təyyarə Qütb koordinatlarına keçin.

Test № 8

121-130-cu məsələlərdə skalyar sahənin qradiyentini tapın və skalyar sahənin harmonik olub olmadığını yoxlayın.

131-135-ci məsələlərdə səthin birinci oktanda yerləşən hissəsindən vektor sahəsinin axınını tapın. ox ilə kəskin bucaq əmələ gətirən normal istiqamətində. Rəsm çəkin.

136-140-cı məsələlərdə Ostroqradski teoremindən istifadə edərək vektor sahəsinin birinci oktanda yerləşən cismin səthindən xarici normala doğru axını hesablayın. və verilmiş səth və koordinat müstəviləri ilə məhdudlaşır. Rəsm çəkin.

141-150-ci məsələlərdə səthin birinci oktanda yerləşən hissəsinin koordinat müstəviləri ilə kəsişmə yolu boyunca vektor sahəsinin sirkulyasiyasını hesablayın. . - müvafiq olaraq səthin oxlarla kəsişmə nöqtələri. Rəsm çəkin.

141-145-ci məsələlərdə Stoks teoremindən istifadə edərək dövriyyələri hesablayın.

146-150-ci məsələlərdə onun tərifindən istifadə edərək tirajı hesablayın.

151-160-cı məsələlərdə vektor sahəsinin: a) potensial, b) solenoidal olub olmadığını yoxlayın. Sahə potensialdırsa, onun potensialını tapın.

152.

155.

Cari nəzarət

Test tapşırıqları

1. Aşağıdakı hansı tənliyin həlli olduğunu müəyyən edin .

A) b) V)

2. Diferensial tənlik üçün xarakterik tənliyi təyin edin

a) b) V)

3. D'Alembert testindən istifadə edərək güc seriyalarının hansı dəyərdə yaxınlaşacağını müəyyənləşdirin .

4. Qoşa inteqralın həndəsi şərhini tərtib edin.

5. Üçqat inteqralın həndəsi şərhini tərtib edin.

6. Vektor sahəsinin potensialının işarəsini təyin edin:

a B C)

Yekun nəzarət

Riyaziyyat imtahanına hazırlaşmaq üçün suallar

(III semestr)

Diferensial tənliklər

1. Adi diferensial tənliyin tərifi, onun qaydası və həlli. Birinci dərəcəli diferensial tənlik, istiqamət sahəsi, izoklinlər.

2. Birinci dərəcəli diferensial tənlik üçün Koşi məsələsi. Koşi məsələsinin həllinin mövcudluğu və unikallığı teoremi.

3. Birinci dərəcəli diferensial tənliyin ümumi və xüsusi həllinin (inteqralının) təyini.

4. Ayrılan dəyişənli tənlik, onun inteqrasiyası.

5. Birinci dərəcəli xətti tənlik, onun inteqrasiyası.

6. Birinci dərəcəli bircinsli diferensial tənlik, onun inteqrasiyası.

7. Diferensial tənlik n-ci sifariş. Diferensial tənlik üçün Koşi məsələsi n-ci sifariş. Tənlik üçün Koşi məsələsinin həlli üçün mövcudluq və təklik teoremi n-ci sifariş.

8. Diferensial tənliyin ümumi və xüsusi həllərinin təyini n-ci sifariş. Formanın tənliyinin inteqrasiyası.

9. Sıra ilə azalmağa imkan verən tənliklər. Formanın tənliyinin inteqrasiyası üsulu, burada k< n.

10. Formanın tənliklərinin inteqrasiyası üsulu .

11. Xətti diferensial tənliyin tərifi n-ci sifariş. Homojen xətti tənlik. Homojen xətti tənliyin həllərinin xassələri.

12. Xətti asılı və xətti müstəqil funksiyaların tərifi. Nümunələr.

13. Xətti bircinsli tənliyin əsas həllər sisteminin təyini. Xətti bircinsli tənliyin ümumi həllinin strukturu haqqında teorem n-ci sifariş.

14. Xətti qeyri-bircins tənliyin ümumi həllinin strukturu haqqında teorem n-ci sifariş.

15. Sabit əmsallı xətti homogen tənlik. Eyler üsulu, xarakterik tənliyi.

16. Xətti homojen tənliyin əsas həllər sisteminin və ümumi həllinin qurulması n-xarakterik tənliyin həqiqi fərqli kökləri halında -ci sıra. Misal.

17. Xətti homojen tənliyin əsas həllər sisteminin və ümumi həllinin qurulması n-xarakterik tənliyin mürəkkəb qoşa kökləri halında -ci sıra. Misal.

18. Xətti homojen tənliyin əsas həllər sisteminin və ümumi həllinin qurulması. n-xarakteristik tənliyin həqiqi bərabər kökləri halında -ci sıra. Misal.

19. Sabit əmsallı xətti qeyri-bərabər tənliyin müəyyən həllinin tapılması qaydası, əgər sağ tərəf formaya malikdirsə. , burada dərəcə çoxhədlidir.

20. Sabit əmsallı xətti qeyri-bərabər tənliyin xüsusi həllinin tapılması qaydası, əgər sağ tərəfi formaya malikdirsə, burada .

21. Formanın xətti qeyri-bərabər diferensial tənliyinin həlli üsulu (superpozisiya prinsipi).

22. Normal formada xətti diferensial tənliklər sistemi. Cauchy problemi. Koşi məsələsinin həllinin mövcudluğu və unikallığı teoremi. Sistemin ümumi və xüsusi həllərinin təyini. Diferensial tənliklərin normal sistemləri üçün aradan qaldırılması üsulu.

23. Xətti diferensial tənliklər sistemləri. Həlllərin xassələri. Sabit əmsallı xətti diferensial tənliklər sistemlərinin həlli.

Sıralar

24. Nömrələr seriyası. Tərif n- seriyanın qismən cəmi. Ədədlər silsiləsində yaxınlaşma və divergensiya anlayışları. Konvergent seriyanın cəmi. Həndəsi sıra.

25. Konvergent sıraların xassələri: sıranın ədədə vurulması, sıraların həd-həd əlavə edilməsi.

26. Sıranın qalan hissəsi. Silsilənin və onun qalığının eyni vaxtda yaxınlaşması haqqında teorem.

27. Sıranın yaxınlaşmasının zəruri əlaməti. Onun qeyri-kafiliyinin nümunə ilə təsviri.

28. Müsbət seriyalar. Müsbət silsilənin yaxınlaşması üçün zəruri və kafi şərt.

29. Müsbət sıraların müqayisəsinin birinci və ikinci əlamətləri.

30. D'Alember əlaməti.

31. İnteqral Koşi testi.

32. Ümumiləşdirilmiş harmonik sıra, burada səh- istənilən real rəqəm. Serialın davranışı səh<1, səh=1, səh>1.

33. Alternativ seriyalar. Mütləq və qeyri-mütləq yaxınlaşma. Mütləq yaxınlaşan sıranın yaxınlaşması haqqında teorem.

34. Alternativ sıraların yaxınlaşması üçün Leybnits testi. Konvergent seriyanın cəmini birincinin cəmi ilə əvəz edərkən mütləq xətanın qiymətləndirilməsi n

42. Funksiya üçün binom sıraları.

Tərif 1. Qoy A domenində vektor sahəsi olsun.Funksiya bu sahədədirsə, domendəki A sahəsinin potensialı adlanır.

Tərif 2. Potensial olan sahə potensial sahə adlanır.

Bağlı bölgədə qismən törəmələr funksiyanı sabitə qədər təyin etdiyinə görə, belə bir bölgədə sahə potensialı əlavə sabitə qədər təyin olunur.

Kursun birinci hissəsində biz artıq potensial haqqında qısaca danışdıq. Burada bu mühüm konsepsiyanı bir az daha ətraflı müzakirə edəcəyik. Bu təriflərlə əlaqədar qeyd edək ki, fizikada müxtəlif növ güc sahələrini nəzərdən keçirərkən sahə potensialı adətən elə funksiya adlanır ki, belə bir potensial 1-ci tərifin təqdim etdiyindən yalnız işarəsi ilə fərqlənir.

Nümunə 1. Kosmosda radius vektoru olan bir nöqtədə koordinatların başlanğıcında yerləşdirilmiş M nöqtə kütləsinin yaratdığı qravitasiya sahəsinin gücü formada Nyuton qanununa əsasən hesablanır.

Bu, sahənin fəzada müvafiq nöqtədə vahid kütləyə təsir etdiyi qüvvədir. Cazibə sahəsi (1)

potensial olaraq. Onun 1-ci tərif mənasında potensialı funksiyadır

Nümunə 2. Koordinatların başlanğıcında, fəzada radius vektoru olan bir nöqtədə yerləşdirilmiş nöqtə yükünün elektrik sahəsinin gücü E, Kulon qanununa əsasən hesablanır.