Однією площині мають загальну. Три різні площини мають спільну точку. Вернр чи, що дані площини мають спільну пряму? Поясніть. Взаємне розташування площин

Аксіоми стереометрії.

А1.Через будь-які три точки, що не лежать на даній прямій, проходить площину, і притому тільки одна;

Сл.1. Через пряму і не лежить на ній крапку проходить площину і до того ж тільки одна;

Сл.2. Через дві пересічні прямі проходить площину, і притому тільки одна;

Сл.3. Через дві паралельні прямі проходить площину, і притому тільки одна.

А2.Еслі дві точки прямої лежать в площині, то і все точки прямої лежать в цій площині;

А3.Еслі дві площини мають спільну точку, то вони мають загальну пряму, на якій лежать всі загальні точки цих площин.

Основні фігури стереометрії - точки (А, В, С ...), прямі (А, b, c ...), площини ( …) , Багатогранники і тіла обертання.

під січною площиною об'ємної фігури будемо розуміти площину, по обидва боки якої є точки даної фігури.

за міру відстані між точкою, прямий і площиною будемо приймати довжину їх загального перпендикуляра.

2. Взаємне розміщення прямих у просторі.

У просторі дві прямі можуть бути паралельними, перетинатися або схрещуватися.

1. Взаємне розміщення прямих і площин у просторі.

У просторі пряма і площина можуть бути паралельними, перетинатисяабо пряма цілком може лежати в площині.

1. Взаємне розташування площин у просторі.

У просторі площини можуть бути паралельними або перетинатися.

У планіметрії площину є однією з основних фігур, тому, дуже важливо мати чітке уявлення про неї. Ця стаття створена з метою розкриття цієї теми. Спочатку дано поняття площині, її графічне представлення і показані позначення площин. Далі площину розглядається разом з точкою, прямий або іншої площиною, при цьому виникають варіанти з взаємного розташування в просторі. У другому і третьому і четвертому пункті статті якраз розібрані всі варіанти взаємного розташування двох площин, прямої та площини, а також точки і площини, наведені основні аксіоми і графічні ілюстрації. У висновку наведено основні способи встановлення площини в просторі.

Навігація по сторінці.

Площина - основні поняття, позначення і зображення.

Найпростішими і основними геометричними фігурами в тривимірному просторі є точка, пряма і площина. Ми вже маємо уявлення про точку і прямий на площині. Якщо помістити площину, на якій зображені точки і прямі, в тривимірний простір, то ми отримаємо точки і прямі в просторі. Подання про площині в просторі дозволяє отримати, наприклад, поверхня стола або стіни. Однак, стіл або стіна мають кінцеві розміри, а площину простягається за їх межі в нескінченність.

Точки і прямі в просторі позначаються також як і на площині - великими і маленькими латинськими буквами відповідно. Наприклад, точки А і Q, прямі а і d. Якщо задані дві точки, що лежать на прямій, то пряму можна позначити двома буквами, що відповідають цим точкам. Наприклад, пряма АВ або ВА проходить через точки А і В. Площині прийнято позначати маленькими грецькими буквами, наприклад, площини, або.

При вирішенні завдань виникає необхідність зображувати площині на кресленні. Площина зазвичай зображують у вигляді паралелограма або довільної простий замкнутої області.

Площина зазвичай розглядається разом з точками, прямими або іншими площинами, при цьому виникають різні варіанти їх взаємного розташування. Переходимо до їх опису.

Взаємне розташування площини і точки.

Почнемо з аксіоми: в кожній площині є точки. З неї випливає перший варіант взаємного розташування площини і точки - точка може належати площині. Іншими словами, площина може проходити через точку. Для позначення приналежності будь-якої точки будь-якої площини використовують символ «». Наприклад, якщо площина проходить через точку А, то можна коротко записати.

Слід розуміти, що на заданій площині в просторі є нескінченно багато точок.

Наступна аксіома показує, скільки точок в просторі необхідно відзначити, щоб вони визначали конкретну площину: через три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площину, причому тільки одна. Якщо відомі три точки, що лежать в площині, то площину можна позначити трьома буквами, що відповідають цим точкам. Наприклад, якщо площина проходить через точки А, В і С, то її можна позначити АВС.

Сформулюємо ще одну аксіому, яка дає другий варіант взаємного розташування площини і точки: є принаймні чотири точки, що не лежать в одній площині. Отже, точка простору може не належати площині. Дійсно, в силу попередньої аксіоми через три точки простору проходить площину, а четверта точка може як лежати на цій площині, так і не лежати. При короткої записи використовують символ «», який рівносильний фразі «не належить».

Наприклад, якщо точка А не лежить в площині, то використовують коротку запис.

Пряма і площина в просторі.

По-перше, пряма може лежати в площині. В цьому випадку, в площині лежать хоча б дві точки цієї прямої. Це встановлюється аксіомою: якщо дві точки прямої лежать в площині, то всі точки цієї прямої лежать в площині. Для короткої записи приналежності деякої прямої цій площині користуються символом «». Наприклад, запис означає, що пряма а лежить в площині.

По-друге, пряма може перетинати площину. При цьому пряма і площину мають одну єдину спільну точку, яку називають точкою перетину прямої і площини. При короткої записи перетин позначаю символом «». Наприклад, запис означає, що пряма а перетинає площину в точці М. При перетині площині деякої прямої виникає поняття кута між прямою і площиною.

Окремо варто зупинитися на прямий, яка перетинає площину і перпендикулярна будь-якої прямої, що лежить у цій площині. Таку пряму називають перпендикулярної до площини. Для короткої записи перпендикулярності використовують сімовл «». Для більш глибокого вивчення матеріалу можете звернутися до статті перпендикулярність прямої і площини.

Особливу значущість при вирішенні завдань, пов'язаних з площиною, має так званий нормальний вектор площини. Нормальним вектором площини є будь-який ненульовий вектор, що лежить на прямій, перпендикулярній цій площині.

По-третє, пряма може бути паралельна площині, тобто, не мати в ній спільних точок. При короткої записи паралельності використовують символ «». Наприклад, якщо пряма а паралельна площині, то можна записати. Рекомендуємо докладніше вивчити цей випадок, звернувшись до статті паралельність прямої і площини.

Слід сказати, що пряма, що лежить в площині, ділить цю площину на дві півплощини. Пряма в цьому випадку називається кордоном напівплощин. Будь-які дві точки одній півплощині лежать по одну сторону від прямої, а дві точки різних напівплощин лежать по різні боки від граничної прямої.

Взаємне розташування площин.

Дві площини в просторі можуть співпадати. У цьому випадку вони мають, принаймні, три спільні точки.

Дві площини в просторі можуть перетинатися. Перетином двох площин є пряма лінія, що встановлюється аксіомою: якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають загальну пряму, на якій лежать всі загальні точки цих площин.

В цьому випадку виникає поняття кута між пересічними площинами. Окремий інтерес представляє випадок, коли кут між площинами дорівнює дев'яноста градусів. Такі площині називають перпендикулярними. Про них ми поговорили в статті перпендикулярність площин.

Нарешті, дві площини в просторі можуть бути паралельними, тобто, не мати спільних точок. Пропонуємо Вам ознайомитися зі статтею паралельність площин, щоб отримати повне уявлення про цей варіант взаємного розташування площин.

Способи завдання площини.

Зараз ми перерахуємо основні способи завдання конкретній площині в просторі.

По-перше, площина можна задати, зафіксувавши три не лежать на одній прямій точки простору. Цей спосіб заснований на аксіомі: через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить єдина площина.

Якщо в тривимірному просторі зафіксована і задана площина за допомогою вказівки координат трьох її різних точок, які не лежать на одній прямій, то ми можемо написати рівняння площини, що проходить через три задані точки.

Два наступних способу встановлення площини є наслідком з попереднього. Вони засновані на наслідках з аксіоми про площині, що проходить через три точки:

• через пряму і не лежить на ній крапку проходить площину, до того ж лише одна (дивіться також статтю рівняння площини, що проходить через пряму і точку);
• через дві пересічні прямі проходить єдина площина (рекомендуємо ознайомитися з матеріалом статті рівняння площини, що проходить через дві пересічні прямі).

Четвертий спосіб встановлення площини в просторі заснований на визначенні паралельних прямих. Нагадаємо, що дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються. Таким чином, вказавши дві паралельні прямі в просторі, ми визначимо єдину площину, в якій ці прямі лежать.

Якщо в тривимірному просторі щодо прямокутної системи координат задана площина зазначеним способом, то ми можемо скласти рівняння площини, що проходить через дві паралельні прямі.

В курсі середньої школи на уроках геометрії доводиться наступна теорема: через фіксовану точку простору проходить єдина площина, перпендикулярна до даної прямої. Таким чином, ми можемо поставити площину, якщо зазначимо точку, через яку вона проходить, і пряму, перпендикулярну до неї.

Якщо в тривимірному просторі зафіксована прямокутна система координат і задана площина зазначеним способом, то можна скласти рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої.

Замість прямої, перпендикулярної до площини, можна вказати один з нормальних векторів цієї площини. В цьому випадку є можливість написати

точки, що не лежать на одній прямій? а) Чи перетинаються; б) нічого сказати не можна; в) не перетинаються; г) збігаються; д) мають три спільні точки.

2. Яке з наступних тверджень вірно? а) Якщо дві точки кола лежать в площині, то вся окружність лежить в цій площині; б) пряма, що лежить в площині трикутника, перетинає дві його сторони; в) будь-які дві площини мають тільки одну спільну точку; г) через дві точки проходить площину і до того ж тільки одна; д) пряма лежить в площині даного трикутника, якщо вона перетинає дві прямі, що містять сторони трикутника.

3. Чи можуть дві різні площини мати тільки дві спільні точки? а) Ніколи; б) можу, але при додаткових умовах; в) завжди мають; г) не можна відповісти на питання; д) інша відповідь.

4. Точки K, L, M лежать на одній прямій, точка N не лежить на ній. Через кожні три точки проведена одна площина. Скільки різних площин при цьому вийшло? а) 1; б) 2; у 3; г) 4; д) нескінченно багато.

5. Виберіть вірне твердження. а) Через будь-які три точки проходить площину, і притому тільки одна; б) якщо дві точки прямої лежать в площині, то всі точки прямої лежать в цій площині; в) якщо дві площини мають спільну точку, то вони не перетинаються; г) через пряму і точку, що лежить на ній, проходить площину, і притому тільки одна; д) через дві пересічні прямі площину провести не можна.

6. Назвіть загальну пряму площин PBM і MAB. а) PM; б) AB; в) PB; г) BM; д) визначити не можна.

7. Прямі а і b перетинаються в точці М. Пряма с, що не проходить через точку М, перетинає прямі а і b. Що можна сказати про взаємне положення прямих а, b і c? а) Всі прямі лежать в різних площинах; б) прямі а і b лежать в одній площині; в) всі прямі лежать в одній площині; г) нічого сказати не можна; д) пряма з збігається з однією з прямих: або з а, або з b.

8. Прямі а і b перетинаються в точці О. A € a, B € b, Y € AB. Виберіть вірне твердження. а) Точки O і Y чи не лежать в одній площині; б) прямі OY і a паралельні; в) прямі a, b і точка Y лежать в одній площині; г) точки O і Y збігаються; д) точки Y і A збігаються.

1. Що можна сказати про взаємне розташування двох площин, які мають три спільні точки, що не лежать на одній прямій?
а) Чи перетинаються; б) нічого сказати не можна; в) не перетинаються; г) збігаються; д) мають три спільні точки.

2. Яке з наступних тверджень вірно?
а) Якщо дві точки кола лежать в площині, то вся окружність лежить в цій площині; б) пряма, що лежить в площині трикутника, перетинає дві його сторони; в) будь-які дві площини мають тільки одну спільну точку; г) через дві точки проходить площину і до того ж тільки одна; д) пряма лежить в площині даного трикутника, якщо вона перетинає дві прямі, що містять сторони трикутника.

3. Чи можуть дві різні площини мати тільки дві спільні точки?
а) Ніколи; б) можу, але при додаткових умовах; в) завжди мають; г) не можна відповісти на питання; д) інша відповідь.

4. Точки K, L, M лежать на одній прямій, точка N не лежить на ній. Через кожні три точки проведена одна площина. Скільки різних площин при цьому вийшло?
а) 1; б) 2; у 3; г) 4; д) нескінченно багато.

5. Виберіть вірне твердження.
а) Через будь-які три точки проходить площину, і притому тільки одна; б) якщо дві точки прямої лежать в площині, то всі точки прямої лежать в цій площині; в) якщо дві площини мають спільну точку, то вони не перетинаються; г) через пряму і точку, що лежить на ній, проходить площину, і притому тільки одна; д) через дві пересічні прямі площину провести не можна.

6. Назвіть загальну пряму площин PBM і MAB.
а) PM; б) AB; в) PB; г) BM; д) визначити не можна.

7. Яку з перерахованих площин перетинає пряма РМ (рис.1)?
а) DD1C; б) D1PM; в) B1PM; г) ABC; д) CDA.
В1 С1

8.Две площині перетинаються по прямій с. Точка М лежить тільки в одній з площин. Що можна сказати про взаємне положення точки М і прямий з?
а) Ніякого висновку зробити не можна; б) пряма з проходить через точку М; в) точка М лежить на прямій с; г) пряма з не проходить через точку М; д) інша відповідь.

9. Прямі а і b перетинаються в точці М. Пряма с, що не проходить через точку М, перетинає прямі а і b. Що можна сказати про взаємне положення прямих а, b і c?
а) Всі прямі лежать в різних площинах; б) прямі а і b лежать в одній площині; в) всі прямі лежать в одній площині; г) нічого сказати не можна; д) пряма з збігається з однією з прямих: або з а, або з b.

10. Прямі а і b перетинаються в точці О. A € a, B € b, Y € AB. Виберіть вірне твердження.
а) Точки O і Y чи не лежать в одній площині; б) прямі OY і a паралельні; в) прямі a, b і точка Y лежать в одній площині; г) точки O і Y збігаються; д) точки Y і A збігаються.

промені АВ і АС перпендикулярні його ребру? 2.Верно чи, що лінійний кут ВАС двогранного кута, якщо промені АВ і АС лежать в гранях двогранного кута? 3. Чи правда, що кут ВАС - лінійний кут двогранного кута, якщо промені АВ і АС перпендекулярни його ребру, а точки Е і С лежать на гранях кута? 4. Лінійний кут двогранного кута дорівнює 80 градусів. Чи знайдеться в одній з граней кута пряма, перпендикулярна іншу грань? 5. Кут АВС - лінійний кут двогранного кута з ребром альфа. Перпендекулярна чи пряма альфа площині АВС? Чи вірно, що всі прямі, перпендекулярние цій площині і перетинають дану пряму, лежать в одній площині.

Три площини можуть не мати жодної спільної точки (якщо принаймні дві з них паралельні, а також якщо прямі їх перетину паралельні), можуть мати безліч спільних точок (якщо всі вони проходять через одну пряму) або мати тільки

одну спільну точку. У першому випадку система рівнянь

не має рішень, у другому має незліченну кількість рішень, в третьому - тільки одне рішення. Для дослідження найзручніше застосувати визначники (§ 183, 190), але можна обійтися і засобами елементарної алгебри.

Приклад 1. Площини

не мають спільних точок, так як площині (1) і (2) паралельні (§ 125). Система рівнянь несумісна (рівняння (1) і (2) суперечать один одному).

Приклад 2. Дослідити, чи є спільні точки у трьох площин

Шукаємо рішення системи (4) - (6). Виключивши 2 з (4) і (5), отримуємо виключивши 2 з (4) і (6), отримуємо Ці два рівняння несумісні. Значить, три площині не мають спільних точок. Так як серед них немає паралельних площин, то три прямі, за якими площині попарно перетинаються, паралельні.

Приклад 3. Дослідити, чи є спільні точки у площин

Поступаючи, як в прикладі 2, отримаємо обидва рази т. Е. Фактично не два, а одне рівняння. Воно має безліч рішень. Значить, три