Земний еліпсоїд. Поняття про геоїд, квазігеоїд, земний еліпсоїд. Дивитись що таке "Еліпсоїд Красовського" в інших словниках

Поверхня земного еліпсоїда утворюється обертанням еліпса навколо його малої осі і має ті ж параметри, що і еліпс, що її утворює. Еліпсом називають геометричне місце точок, сума відстаней яких від двох фіксованих точок, званих його фокусами, постійна і дорівнює великій осі еліпса.

Рівняння еліпса в системі плоских прямокутних координат має вигляд

полярний стиск 
; (2. 2)

ексцентриситет
; (2. 3)

другий ексцентриситет
. (2. 4)

Для однозначного визначення поверхні еліпсоїда обертання необхідно знати два параметри, один з яких обов'язково має бути лінійним. Використовуючи вирази (2. 3) – (2. 4), нескладно отримати формули зв'язку різних параметрів:

) =a
=
;

;
;

;
.

Для еліпсоїда Красовського, як відомо, велика піввісь а= 6 378 245 м і полярний стиск  = 1: 298. 3 , за якими можна обчислити наступні значення параметрів:

b = 6356 863.0188м;

= 0. 003 352 3299;

e 2 = 0. 006 693 4216;

e /2 = 0. 006 738 5254.

Для наближених розрахунків корисно запам'ятати заокруглені значення параметрів земного еліпсоїда: а6 400 км, а - b21км,1: 300 (310 -3), e 2 e /2 21: 150 (710 -3).

1. Системи координат вищої геодезії та зв'язок між ними

Рівняння поверхні еліпсоїда обертання у системі просторових прямокутних координат має вигляд

(3. 1)

Qn- Нормаль до поверхні еліпсоїда в точці Q.

Якщо в (3. 1) покласти x = 0або y = 0, отримаємо рівняння меридіанних еліпсів

;
.

Якщо в рівнянні (3. 1) покласти z = 0, отримаємо рівняння геодезичного екватора, який є коло радіуса a

Якщо поверхню еліпсоїда перетнути площиною z = const, отримаємо кола радіусу r, які називаються геодезичними паралелями Звідси випливає, що екватор – паралель найбільшого радіусу ( r = a).

На малюнку 3. 2 маємо системи координат, що визначають положення точки Q на меридіанному еліпсі: плоскі прямокутні x, y; геодезичну широту B; геоцентричну широту Ф – кут, утворений геоцентричним радіус-вектором OQ з площиною екватора; наведену широту u - кут, утворений відрізком прямої Q 1 Q 2 O з площиною екватора, де Q 1 і Q 2 - проекції точки Q на колі радіусів aі b, описані навколо точки як центру.

Земний еліпсоїд має три основні параметри, будь-які з яких однозначно визначають його фігуру:

• велика піввісь (екваторіальний радіус) еліпсоїда, a;
• мала піввісь (полярний радіус), b;
• геометричне (полярне) стиск, $f=\backslash frac(a-b)(a)$.

Існують також інші параметри еліпсоїда:

• перший ексцентриситет, $e=\backslash sqrt(\backslash frac(a^2-b^2)(a^2))=\backslash frac(\backslash sqrt(a^2-b^2))(a)$;
• другий ексцентриситет, $e"=\backslash sqrt(\backslash frac(a^2-b^2)(b^2))=\backslash frac(\backslash sqrt(a^2-b^2))(b)$.

Для практичної реалізації земної еліпсоїд необхідно орієнтувати у тілі Землі. При цьому висувається загальна умова: орієнтування має бути виконане таким чином, щоб різниці астрономічних та геодезичних координат були мінімальними.

Референц-еліпсоїд

Фігура референц-еліпсоїда найкраще підходить для території окремої країни або кількох країн. Як правило, референц-еліпсоїди приймаються для обробки геодезичних вимірів законодавчо. У Росії/СРСР з 1946 року використовується еліпсоїд Красовського.

Орієнтування референц-еліпсоїда в тілі Землі підпорядковується таким вимогам:

1. Мала піввісь еліпсоїда ( b) повинна бути паралельна осі обертання Землі.
2. Поверхня еліпсоїда повинна бути можливо ближче до поверхні геоїду в межах даного регіону.

Для закріплення референц-еліпсоїда в тілі Землі необхідно задати геодезичні координати B 0, L 0, H 0початкового пункту геодезичної мережі та початковий азимут A 0на сусідній пункт. Сукупність цих величин називається вихідними геодезичними датами.

Основні референц-еліпсоїди та їх параметри

Загальноземний еліпсоїд

Загальноземний еліпсоїд повинен бути орієнтований у тілі Землі відповідно до таких вимог:

1. Мала піввісь має збігатися з віссю обертання Землі.
2. Центр еліпсоїда має збігатися із центром мас Землі.
3. Висоти геоїду над еліпсоїдом h i(так звані аномалії висот) повинні підкорятися умові найменших квадратів: $\backslash sum\_(n=0)^\backslash infty\; h\_i^2\; =\; \backslash min$.

При орієнтуванні загальноземного еліпсоїда в тілі Землі (на відміну референц-еліпсоїда) немає необхідності вводити вихідні геодезичні дати.

Оскільки вимоги до загальноземних еліпсоїдів на практиці задовольняються з деякими допусками, а виконання останнього (3) у повному обсязі неможливе, то в геодезії та суміжних науках можуть використовуватись різні реалізації еліпсоїда, параметри яких дуже близькі, але не збігаються (див. нижче).

Сучасні загальноземні еліпсоїди та їх параметри

Див. також

Напишіть відгук про статтю "Земний еліпсоїд"

Посилання

• Коротка біографія Вальбека (англ. Walbeck) на (англ.)
• Le procès des étoiles 1735-1771 ASIN: B0000DTZN6
• Le Procès des étoiles ASIN: B0014LXB6O
• Le procès des étoiles 1735-1771 ISBN 978-2-232-11862-3

Уривок, що характеризує Земний еліпсоїд

– Буває з тобою, – сказала Наташа братові, коли вони сіли у дивані, – буває з тобою, що тобі здається, що нічого не буде – нічого; що все, що хороше, було? І не те що нудно, а сумно?
- Ще й як! - сказав він. - У мене бувало, що все добре, всі веселі, а мені спадає на думку, що все це вже набридло і що вмирати всім треба. Я раз на полицю не пішов на гуляння, а там грала музика… і так мені раптом нудно стало…
– Ах, я це знаю. Знаю, знаю, – підхопила Наталка. - Я ще мала була, так зі мною це бувало. Пам'ятаєш, коли мене за сливи покарали і ви всі танцували, а я сиділа в класній і плакала, ніколи не забуду: мені й сумно було і шкода було всіх, і себе, і всіх шкода. І, головне, я не винна була, – сказала Наташа, – ти пам'ятаєш?
– Пам'ятаю, – сказав Микола. - Я пам'ятаю, що я до тебе прийшов потім і мені хотілося втішити тебе і, знаєш, соромно було. Жахливо ми були смішні. У мене тоді була іграшка бовдур і я його тобі віддати хотів. Ти пам'ятаєш?
– А пам'ятаєш ти, – сказала Наташа із задумливою усмішкою, як давно, давно, ми ще зовсім маленькі були, дядечко нас покликав до кабінету, ще в старому будинку, а темно було – ми це прийшли і раптом там стоїть…
- Арап, - закінчив Микола з радісною усмішкою, - як же не пам'ятати? Я й тепер не знаю, що це був арап, чи ми уві сні бачили, чи нам розповідали.
– Він сірий був, пам'ятаєш, і білі зуби – стоїть і дивиться на нас…
- Ви пам'ятаєте, Соня? - Запитав Микола ...
- Так, так я теж пам'ятаю щось, - несміливо відповідала Соня.
- Я ж питала про цього арапа в тата і в мама, - сказала Наталка. – Вони кажуть, що жодного арапа не було. А ось ти пам'ятаєш!
- Як же, як тепер пам'ятаю його зуби?
– Як це дивно, ніби уві сні було. Я це люблю.
- А пам'ятаєш, як ми катали яйця в залі і раптом дві бабусі, і стали по килиму крутитися. Це було чи ні? Пам'ятаєш, як добре було?
– Так. А пам'ятаєш, як татко у синій шубі на ганку вистрілив із рушниці. - Вони перебирали посміхаючись із насолодою спогаду, не сумного старечого, а поетичного юнацького спогаду, ті враження з найдальшого минулого, де сновидіння зливається з дійсністю, і тихо сміялися, радіючи чомусь.
Соня, як і завжди, відстала від них, хоча їх спогади були спільні.
Соня не пам'ятала багато чого з того, що вони згадували, а й те, що вона пам'ятала, не збуджувало в ній поетичного почуття, яке вони відчували. Вона тільки насолоджувалася їхньою радістю, намагаючись підробитись під неї.
Вона взяла участь лише у тому, коли вони згадували перший приїзд Соні. Соня розповіла, як вона боялася Миколи, бо в нього на курточці були снурки, і їй няня сказала, що й її в снурки зашиють.
- А я пам'ятаю: мені сказали, що ти під капустою народилася, - сказала Наталка, - і пам'ятаю, що я тоді не сміла не повірити, але знала, що це не так, і так мені ніяково було.
Під час цієї розмови із задніх дверей диванною висунулась голова покоївки. – Панночка, півня принесли, – пошепки сказала дівчина.
– Не треба, Полю, вели віднести, – сказала Наталка.
У середині розмов, що йшли в дивані, Діммлер увійшов до кімнати і підійшов до арфи, що стояла в кутку. Він зняв сукно і арфа видала фальшивий звук.

Відомо, що Земля куляста, тобто. не має форми ідеальної кулі. Фігура її неправильна, і, як всяке тіло, що обертається, вона трохи сплюснута біля полюсів. Крім того, через нерівномірний розподіл мас земної речовини і глобальних тектонічних деформацій Земля має великі, хоч і досить пологі, опуклості та увігнутості. Складну фігуру нашої планети, обмежену поверхнею океану, називають геоїдом. Точно визначити його форму практично неможливо, але сучасні високоточні виміри із супутників дозволяють мати про нього досить гарне уявлення і навіть описати рівнянням.

Найкраще геометричне наближення до реальної фігури Землі дає еліпсоїд обертання – геометричне тіло, що утворюється при обертанні еліпса навколо його малої осі. Стиснення еліпсоїда моделює стиск планети біля полюсів. На малюнку видно, наскільки не збігаються меридіональні перерізи геоїду та земного еліпсоїда.

Обчислення та уточнення розмірів земного еліпсоїда, розпочате ще у XVIII ст., продовжується до цього дня. Тепер для цього використовують супутникові спостереження та точні гравіметричні виміри. Це непросте завдання: потрібно розрахувати геометрично правильну фігуру - референц-еліпсоїд, який найкраще наближений до геоїда і щодо якого виконуватимуться всі геодезичні обчислення та розраховуватимуться картографічні проекції. Багато дослідників, користуючись різними вихідними даними та методиками розрахунку, отримують різні результати. Тому історично склалося так, що в різні часи та в різних країнах були прийняті та законодавчо закріплені різні еліпсоїди, та їх параметри не збігаються між собою.

У Росії її прийнято референц-еліпсоїд Ф. М. Красовського, обчислений в 1940 р. Його параметри такі:

велика піввісь (а) - 6378245 м;

мала піввісь (b) - 6356863 м;

стиск а = (а - b)/a-1: 298,3.

У і Канаді донедавна використовували еліпсоїд Кларка, розрахований ще 1866 р., його велика піввісь на 39 м коротше, ніж у російському еліпсоїді, а стиск визначено 1:295,0. У багатьох країнах Західної Європи та деяких державах Азії прийнято еліпсоїд Хейфорда, обчислений в 1909 р., а в колишніх англійських колоніях - в Індії та країнах Південної Азії, використовують розрахований англійцями в 1830 р. еліпсоїд Евересту. У 1984 р. на основі супутникових вимірювань обчислено міжнародний еліпсоїд WGS-84 (World Geodetic System). Загалом у світі налічується близько півтора десятка різних еліпсоїдів.

Карти, складені на основі різних еліпсоїдів, виходять у кілька координатних системах, що створює незручності. Однак для прийняття єдиного міжнародного еліпсоїда потрібно перерахувати координати та перескласти всі карти, а це довга, складна і, головне, дорога справа.

Розбіжності бувають помітні головним чином великомасштабних картах щодо ними точних координат об'єктів. Але на широко використовуваних географами середньо- та дрібномасштабних картах такі відмінності не дуже чутливі. Більше того, іноді замість еліпсоїда беруть кулю і тоді як середній радіус Землі приймають величину Я = 6367,6 км. Похибки при заміні еліпсоїда кулею виявляються настільки малі, що ніяк не виявляються на більшості географічних карток.

§ 1. Фігура та розміри Землі

Численні дослідження та вимірювання дозволили встановити, що Земля має форму неправильного в математичному відношенні тіла, званого геоїдом. Поверхня, що утворює геоїд, на відміну від фізичної поверхні Землі з її нерівностями (гори, западини і т. п.) у всіх своїх точках горизонтальна, тобто збігається з нормаллю до сили тяжкості і визначається як зрівняна поверхня. У природі така рівня поверхня збігається із середнім рівнем води океанів і відкритих морів у спокійному стані (за відсутності, хвилювання, течій, припливів та інших збурюючих факторів), подумки продовженим під всі материки. Неправильність геоїду обумовлюється нерівномірним розподілом мас у товщі Землі, від дії яких залежить напрям сили тяжіння.
Теоретичні дослідження та результати обробки астрономо-геодезичних та гравіметричних вимірювань, а також результати спостережень за штучними супутниками Землі показують, що геоїд близький до математично правильної фігури – еліпсоїда обертання, утвореного обертанням еліпса навколо його малої осі. Тому при виробництві геодезичних, картографічних та інших робіт, що вимагають високої точності, фігуру Землі приймають еліпсоїд обертання.
Величина відхилення по висоті поверхні геоїду від поверхні земного еліпсоїда, прийнятого в СРСР і належним чином підібраного за розмірами і орієнтованого в тілі Землі, не перевищує 100-150 м. Еліпсоїд обертання практично ототожнюється зі сфероїдом, що представляє фігуру рівноваги. Відхилення по висоті поверхонь еліпсоїда обертання та сфероїду не перевищує 2-3 м.

Визначення розмірів земного еліпсоїда, що має найбільшу близькість до фігури Землі в цілому, продовжує залишатися одним із основних завдань вищої геодезії. Тому в різних країнах обробку результатів геодезичних та топографічних робіт відносять до допоміжної математичної поверхні, що представляє земний еліпсоїд із розмірами, прийнятими для цієї країни. Еліпсоїд з певними розмірами, до поверхні якого відносять усі результати геодезичних та топографічних робіт у державі, називають референц - еліпсоїдом.
Основними елементами, що визначають розміри земного еліпсоїда, є його півосі: велика і мала Ь. Крім того, для характеристики земного еліпсоїда, а також для деяких розрахунків застосовуються поняття: полярне стиснення α земного еліпсоїда, що виражається формулою
α = а - b / a, (1 формула)
та ексцентрицитет його (е), який визначається виразом
e = √ a 2 - b 2 / a (2 формула)
Починаючи з 1946 р. для всіх геодезичних та картографічних робіт на території СРСР приймається референц-еліпсоїд Ф. М. Красовського з розмірами:
- велика піввісь а = 6378245 м;
- мала піввісь b = 6356863 м;
- полярний стиск α = 1:298,3;
- Квадрат ексцентрицитету е 2 = 1: 149,15.

При виведенні розмірів референц-еліпсоїда групою вчених, геодезистів, топографів та обчислювачів під керівництвом професора Ф. М. Красовського були використані найширші матеріали астрономічних, геодезичних та гравіметричних вимірів, що проводилися в СРСР протягом багатьох років, а також результати аналогічних робіт, виконаних в інших країнах. Розміри референц-еліпсоїда Красовського підтверджуються також результатами обробки спостережень за штучними супутниками Землі, зроблених останніми роками.
Орієнтування у тілі Землі земного еліпсоїда з відповідними розмірами півосей та стиснення характеризується так званими вихідними геодезичними датами. Вихідними геодезичними датами називають координати початкового пункту тріангуляції, що визначають його Широту В 0 довготу L 0 азимут A 0 на будь-який суміжний пункт і висоту h 0 поверхні геоїду щодо поверхні референц-еліпсоїда.
Ці дати приймаються за початкові для розрахунку координат всіх інших пунктів земної поверхні.
Використання іноземними. картами слід пам'ятати, що у різних країнах прийнято різні вихідні геодезичні дати. Тому одні й самі пункти на картах, виданих у різних країнах, можуть мати різні координати. Хоча ця відмінність може бути і невеликою, але з нею в кораблеводженні потрібно рахуватися і перенесення місця корабля з однієї карти на іншу при плаванні поблизу берегів слід проводити не за географічними координатами, а за напрямом і відстанню до найближчого опорного пункту, розміщеного на обох картах.
Прийняття Землі за еліпсоїд обертання є, сутнісно, ​​другим наближенням щодо фігури Землі. При вирішенні деяких завдань практичної навігації, що не потребують високої точності, виявляється можливим обмежуватися першим наближенням у визначенні форми Землі – приймати Землю за кулю. До таких завдань належать обчислення дальності видимості орієнтирів у морі, розрахунки для плавання по найкоротшій відстані, аналітичні розрахунки щодо місця по радіопеленгам, розрахунки за формулами аналітичного числення та інших.
Для визначення величини радіуса Землі - кулі зазвичай виходять із деяких додаткових умов.
Одним з них є умова, щоб довжина однієї хвилини дуги меридіана (або будь-якого великого кола на кулі) дорівнювала 1852 м, тобто довжині стандартної морської милі. У цьому випадку радіус кулі, що відповідає поставленій умові, вийде рівним
R = 1852 * 60 * 360 / 2 π = 6366707 м.
При вирішенні ряду завдань картографії ставиться умова, щоб обсяг земної кулі дорівнював обсягу земного еліпсоїда або щоб поверхня кулі дорівнювала поверхні еліпсоїда. Довжина радіусу R кулі, однакового із земним еліпсоїдом обсягу, дорівнює
R = кубічний корінь √ (a 2 * b) = 6371109,7 м.
Якщо ставиться умова, щоб поверхня кулі дорівнювала поверхні еліпсоїда, то радіус такої кулі приймається рівним

де М-радіус кривизни меридіана; N - радіус кривизни першого вертикалу у цій точці.

§ 2. Географічна система координат

Положення точки будь-якої поверхні чи просторі визначається сукупністю конкретних величин, званих координатами. Координати можуть виражатися як у лінійній, так і у кутовій мірі; вони визначають положення координатних ліній щодо прийнятих початку осей координат. Для визначення положення точок на земній поверхні можуть застосовуватись різні системи координат: географічна, прямокутна, полярна та ін. Найбільш уживаною є система географічних координат.
Мала вісь еліпсоїда перетинає поверхню останнього у двох точках, які називаються північними та південними полюсами. Площини, що проходять через вісь обертання Землі, називаються площинами земних меридіанів, які у перерізі з поверхнею Землі утворюють великі кола, які називаються меридіанами. Площина, перпендикулярна до земної осі і проходить через центр еліпсоїда, називається площиною екватора. Велике коло, що утворюється від перетину цієї площини з еліпсоїдною поверхнею, називається земним екватором. Площини, паралельні площині земного екватора у перерізі з поверхнею Землі, утворюють малі кола, які називаються земними паралелями.

Координатними осями системи географічних координат прийняті: екватор та один із меридіанів, що приймається за початковий; координатними лініями є земні паралелі та меридіани, а величинами, що визначають положення точок, тобто координатами, географічна широта та географічна довгота.
Географічною широтою точки на поверхні Землі називається кут між нормаллю до поверхні еліпсоїда в цій точці та площиною екватора. Географічна широта в кораблеводженні позначається грецькою літерою (фі). Рахунок широт ведеться від екватора до полюсів від 0 до 90 °. Широти північної півкулі вважаються позитивними і за аналітичних розрахунків вони приймаються зі знаком плюс. Північні широти позначаються літерою N. Широти точок південної півкулі, що позначаються літерою S, вважаються негативними та їм приписується знак мінус.
Географічна широта визначає положення паралелі, де перебуває визначена точка.
Географічною довготою точки називається двогранний кут, утворений площиною початкового меридіана та площиною меридіана, що проходить через цю точку. Двогранний кут вимірюється сферичним кутом при полюсі між початковим меридіаном і меридіаном крапки, що визначається, або чисельно рівною йому дугою екватора, укладеної між названими меридіанами.
За початковий меридіан у принципі може прийматися будь-який земний меридіан. За міжнародною угодою 1884 р. більшістю країн світу, у тому числі і Радянським Союзом, за початковий прийнято меридіан, що проходить через Грінвічську обсерваторію, що розташована біля Лондона.
Рахунок географічних довгот ведеться на схід та захід від Грінвічського меридіана від 0 до 180 °. Географічна довгота в кораблеводженні позначається грецькою літерою (ламбда). Довготи точок, що у східній півкулі, прийнято вважати позитивними (знак плюс), західні довготи вважаються негативними (знак мінус). При визначенні довготи тієї чи іншої точки земної поверхні обов'язково вказують на її найменування: східної – Оst або, як зараз прийнято, Е, західної – W. Залежно від методу обчислення – географічних координат розрізняють координати геодезичні та астрономічні.
У геометричному визначенні геодезичних координат, які у результаті геодезичних вимірів (тріангуляції, полігонометрії), жодної різниці із загальним формулюванням географічних координат немає. Місця точок, що фіксуються геодезичною широтою та геодезичною довготою, відносяться також до математично правильної фігури-еліпсоїда обертання.
При визначенні місця астрономічними способами спостерігач має справу з лінією схилу, що збігається з напрямом сили тяжіння, а не з нормаллю до еліпсоїдної поверхні. Тому в астрономічній системі координат широта визначиться як кут між площиною екватора та напрямом схилу в даній точці. Довгота місця, визначеного астрономічним способом, є двогранним кутом між площиною початкового меридіана (меридіана Грінвіча) і площиною астрономічного меридіана даної точки. Застосований термін-астрономічний меридіан - треба розуміти як слід від перерізу земної поверхні площиною, що проходить через вертикальну лінію в даній точці та паралельної осі світу. З визначення астрономічних координат видно, що вони на відміну геодезичних координат фіксують положення точок щодо поверхні дійсної фігури Землі-геоїда.

Нормаль до поверхні земного еліпсоїда не проходить через центр Землі. Разом з тим, при вирішенні астрономічних завдань, а також ряду спеціальних завдань математичної картографії виникає необхідність визначати положення точок земної поверхні щодо центру Землі. У цьому випадку довгота довільної точки До визначиться так само, як і в географічній системі координат, а широта вийде як кут між площиною екватора і прямою, що з'єднує цю точку з центром еліпсоїда. Така широта називається геоцентричною широтою і позначається φ". На малюнку видно, що геоцентрична широта в загальному випадку менше географічної широти на величину редукції r широти, яка може бути підрахована за формулою
r"" = φ - φ" = α sin 2 φ / arc 1"" (3 формула)
Для точок, розташованих на екваторі та на полюсі, редукція широти дорівнює нулю. Найбільшого значення (11,5") редукція досягає широти 45°.
У випадках, коли форма Землі приймається за кулю, положення точок на Землі-кулі визначається так само, як і на поверхні еліпсоїда, їх географічними координатами, тобто широтою та довготою. Але нормаль на Землі-кулі збігається з його радіусом.
Тому географічною широтою деякої точки М на земній кулі буде кут при центрі сфери між площиною екватора і радіусом, що проходить через визначену точку. Зі зіставлення визначень широти видно, що геоцентрична широта є лише окремим випадком широти сферичної.

Глава 1

§ 3. Різниця широт та різниця довгот

Географічні координати – широта та довгота – однозначно визначають положення конкретної точки земної поверхні. Перехід від однієї точки земної поверхні до іншої супроводжується зміною їх географічних координат. Крапки, що лежать на одній паралелі, мають однакову широту та різні довготи. Крапки, розташовані на одному меридіані, мають ту саму довготу і різні широти. У загальному випадку дві точки, що не знаходяться на одному меридіані або на одній паралелі, мають різні широти та різні довготи. У практиці кораблеводіння часто необхідно знати, як змінилися чи зміняться географічні координати під час переходу з однієї точки земної поверхні до іншої, і вміти обчислювати ці зміни. Величини, що характеризують зміну географічних координат при переході від однієї точки земної поверхні до іншої, є різниця широт і різниця довгот.
Різницею широт (РШ) двох точок на Землі називається дуга меридіана, укладена між паралелями цих точок.
Для обчислення різниці широт користуються формулою
РШ = φ 2 - φ 1
беручи до уваги при цьому знаки + і - відповідно до їх найменування. Дійсно, на малюнку видно, що зміна широти (РШ) при переході корабля з точки А в точку Б характеризується дугою А"Б, чисельно рівної різниці дуг меридіанів точок приходу Б і відходу А, які визначаються відповідно широтами φ Б і А φ.
Розрахованою за формулою (4) різниці широт приписується знак плюс, якщо вона виконана до N, і знак мінус, якщо різницю широт виконана до S. Різниця широт може змінюватися від 0 до ±180°.
Різниця довгот (РД), що характеризує зміну довготи, як видно з малюнка, є центральним кутом між меридіанами двох точок. Цей кут вимірюється дугою екватора між вказаними меридіанами. На цій підставі різницею довгот двох точок на поверхні Землі називається менша з дуг екватора, укладена між меридіанами цих точок. З цього визначення слідує, що різниця довгот може мати значення від 0 до ±180°. З урахуванням раніше прийнятих позначень (для східної довготи знак плюс і західної - мінус) можна написати формулу для обчислення РД двох точок:
РД = λ 2 - λ 1
Різниця довгот буде мати знак плюс, якщо вона скоєна до Ost, і знак мінус, якщо вона скоєна до W. Вказане правило має наступний геометричний зміст: якщо меридіан пункту приходу λ 2 розташовується на схід від меридіана пункту відходу λ 1, значить, різниця довгот зроблена до Оst та їй приписується знак плюс. І навпаки, коли меридіан пункту приходу розташований на захід від меридіана пункту відходу, різниця довгот зроблена до W і їй приписується знак мінус.

При розв'язанні задачі на розрахунок РД за формулою може вийти результат, що перевищує 180°. У цих випадках для знаходження меншої з дуг екватора отриманий результат слід відняти з 360 ° і змінити знак (найменування) його на зворотний.

Параметри земного еліпсоїда

Земний еліпсоїд має три основні параметри, будь-які з яких однозначно визначають його фігуру:

Існують також інші параметри еліпсоїда:

Для практичної реалізації земної еліпсоїд необхідно орієнтувати у тілі Землі. При цьому висувається загальна умова: орієнтування має бути виконане таким чином, щоб різниці астрономічних та геодезичних координат були мінімальними.

Референц-еліпсоїд

Фігура референц-еліпсоїда найкраще підходить для території окремої країни або кількох країн. Як правило, референц-еліпсоїди приймаються для обробки геодезичних вимірів законодавчо. У Росії / CCCР з року використовується еліпсоїд Красовського.

Орієнтування референц-еліпсоїда в тілі Землі підпорядковується таким вимогам:

1. Мала піввісь еліпсоїда ( b) повинна бути паралельна осі обертання Землі.
2. Поверхня еліпсоїда повинна бути можливо ближче до поверхні геоїду в межах даного регіону.

Для закріплення референц-еліпсоїда в тілі Землі необхідно задати геодезичні координати B 0, L 0, H 0початкового пункту геодезичної мережі та початковий азимут A 0на сусідній пункт. Сукупність цих величин називається вихідними геодезичними датами.

Основні референц-еліпсоїди та їх параметри

Загальноземний еліпсоїд

Загальноземний еліпсоїд повинен бути орієнтований у тілі Землі відповідно до таких вимог:

При орієнтуванні загальноземного еліпсоїда в тілі Землі (на відміну референц-еліпсоїда) немає необхідності вводити вихідні геодезичні дати.

Оскільки вимоги до загальноземних еліпсоїдів на практиці задовольняються з деякими допусками, а виконання останнього (3) у повному обсязі неможливе, то в геодезії та суміжних науках можуть використовуватись різні реалізації еліпсоїда, параметри яких дуже близькі, але не збігаються (див. нижче).

Сучасні загальноземні еліпсоїди та їх параметри