Додавання та віднімання чисел з різними ступенями. Ступінь із натуральним показником

Розглянемо тему перетворення виразів зі ступенями, але спочатку зупинимося на ряді перетворень, які можна проводити з будь-якими виразами, у тому числі зі статечними. Ми навчимося розкривати дужки, наводити подібні доданки, працювати з основою та показником ступеня, використовувати властивості ступенів.

Що являють собою статечні вирази?

У шкільному курсі мало хто використовує словосполучення «статеві висловлювання», натомість цей термін постійно зустрічається у збірниках для підготовки до ЄДІ. Найчастіше словосполученням позначаються висловлювання, які у своїх записах ступеня. Це ми й відобразимо у нашому визначенні.

Визначення 1

Ступінь вираз- Це вираз, який містить ступеня.

Наведемо кілька прикладів статечних виразів, починаючи зі ступеня з натуральним показником і закінчуючи ступенем із дійсним показником.

Найпростішими статечними виразами можна вважати ступеня числа з натуральним показником: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 · a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . А також ступеня з нульовим показником: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . І ступеня з цілими негативними ступенями: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2 .

Трохи складніше працювати зі ступенем, який має раціональний та ірраціональний показники: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Як показник може виступати змінна 3 x - 54 - 7 · 3 x - 58 або логарифм x 2 · l g x − 5 · x l g x.

З питанням про те, що таке статечні вирази, ми розібралися. Тепер займемося їх перетворенням.

Основні види перетворень статечних виразів

Насамперед ми розглянемо основні тотожні перетворення виразів, які можна виконувати зі статечними виразами.

Приклад 1

Обчисліть значення статечного виразу 2 3 · (4 2 − 12).

Рішення

Всі перетворення ми проводитимемо з дотриманням порядку виконання дій. В даному випадку почнемо ми з виконання дій у дужках: замінимо ступінь на цифрове значення та обчислимо різницю двох чисел. Маємо 2 3 · (4 2 − 12) = 2 3 · (16 − 12) = 2 3 · 4.

Нам залишається замінити ступінь 2 3 її значенням 8 та обчислити твір 8 · 4 = 32. Ось наша відповідь.

Відповідь: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Приклад 2

Спростіть вираз зі ступенями 3 · a 4 · b - 7 - 1 + 2 · a 4 · b - 7.

Рішення

Дане нам в умові завдання вираз містить подібні доданки, які ми можемо навести: 3 · a 4 · b - 7 - 1 + 2 · a 4 · b - 7 = 5 · a 4 · b - 7 - 1.

Відповідь: 3 · a 4 · b - 7 - 1 + 2 · a 4 · b - 7 = 5 · a 4 · b - 7 - 1 .

Приклад 3

Подайте вираз зі ступенями 9 - b 3 · π - 1 2 у вигляді твору.

Рішення

Уявимо число 9 як ступінь 3 2 і застосуємо формулу скороченого множення:

9 - b 3 · π - 1 2 = 3 2 - b 3 · π - 1 2 = = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1

Відповідь: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

А тепер перейдемо до розбору тотожних перетворень, які можуть застосовуватися саме щодо статечних виразів.

Робота з основою та показником ступеня

Ступінь у підставі чи показнику може мати і числа, і змінні, і деякі вирази. Наприклад, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7і . Працювати із такими записами складно. Набагато простіше замінити вираз у підставі ступеня чи вираз у показнику тотожно рівним виразом.

Проводяться перетворення ступеня та показника за відомими нам правилами окремо один від одного. Найголовніше, щоб у результаті перетворень вийшло вираз, тотожний вихідному.

Мета перетворень – спростити вихідний вираз чи отримати розв'язання задачі. Наприклад, у прикладі, який ми навели вище, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 можна виконати дії для переходу до ступеня 4 , 1 1 , 3 . Розкривши дужки, ми можемо навести подібні доданки в основі ступеня (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)і отримати статечне вираз простішого виду a 2 · (x + 1).

Використання властивостей ступенів

Властивості ступенів, записані у вигляді рівностей, є одним із головних інструментів перетворення виразів зі ступенями. Наведемо тут основні їх, враховуючи, що aі b- це будь-які позитивні числа, а rі s- довільні дійсні числа:

Визначення 2

• a r · a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (a · b) r = a r · b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r · s.

У тих випадках, коли ми маємо справу з натуральними, цілими, позитивними показниками ступеня, обмеження числа a і b можуть бути набагато менш строгими. Так, наприклад, якщо розглянути рівність a m · a n = a m + n, де mі n– натуральні числа, воно буде вірним для будь-яких значень a , як позитивних, і негативних, і навіть для a = 0.

Застосовувати властивості ступенів без обмежень можна у випадках, коли підстави ступенів позитивні чи містять перемінні, область допустимих значень яких така, що у ній підстави набувають лише позитивні значення. Фактично, у межах шкільної програми з математики завданням учня є вибір відповідного властивості і його застосування.

При підготовці до вступу до ВНЗ можуть зустрічатися завдання, в яких неакуратне застосування властивостей призводитиме до звуження ОДЗ та інших складнощів з рішенням. У цьому розділі ми розберемо лише два такі випадки. Більше інформації з питання можна знайти у темі «Перетворення виразів із використанням властивостей ступенів».

Приклад 4

Уявіть вираз a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5у вигляді ступеня з основою a.

Рішення

Для початку використовуємо властивість зведення в ступінь і перетворюємо по ньому другий множник (a 2) − 3. Потім використовуємо властивості множення та поділу ступенів з однаковою основою:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a2.

Відповідь: a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Перетворення статечних виразів згідно з властивістю ступенів може здійснюватися як зліва направо, так і у зворотному напрямку.

Приклад 5

Знайти значення статечного виразу 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Рішення

Якщо ми застосуємо рівність (a · b) r = a r · b r, Праворуч наліво, то отримаємо твір виду 3 · 7 1 3 · 21 2 3 і далі 21 1 3 · 21 2 3 . Складемо показники при множенні ступенів з однаковими основами: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

Є ще один спосіб провести перетворення:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

Відповідь: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

Приклад 6

Дано статечний вираз a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, введіть нову змінну t = a 0,5.

Рішення

Уявимо ступінь a 1 , 5як a 0 , 5 · 3. Використовуємо властивість ступеня до ступеня (a r) s = a r · sправоруч наліво і отримаємо (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 . В отриманий вираз можна без проблем вводити нову змінну t = a 0,5: отримуємо t 3 − t − 6.

Відповідь: t 3 − t − 6 .

Перетворення дробів, що містять ступеня

Зазвичай ми маємо справу з двома варіантами статечних виразів з дробами: вираз є дріб зі ступенем або містить такий дріб. До таких виразів застосовуються всі основні перетворення дробів без обмежень. Їх можна скорочувати, приводити до нового знаменника, працювати окремо з чисельником та знаменником. Проілюструємо це прикладами.

Приклад 7

Спростити статечний вираз 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Рішення

Ми маємо справу з дробом, тому проведемо перетворення і в чисельнику, і у знаменнику:

3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 = 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 3 · 5 2 3 · 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 · 5 2 3 + 1 3 - 3 · 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 · 5 1 - 3 · 5 0 - 2 - x 2

Помістимо мінус перед дробом для того, щоб змінити знак знаменника: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Відповідь: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 = - 12 2 + x 2

Дроби, що містять ступеня, приводяться до нового знаменника так само, як і раціональні дроби. Для цього необхідно знайти додатковий множник та помножити на нього чисельник та знаменник дробу. Підбирати додатковий множник необхідно таким чином, щоб він не звертався в нуль за жодних значень змінних з ОДЗ змінних для вихідного виразу.

Приклад 8

Наведіть дроби до нового знаменника: а) a + 1 a 0 , 7 до знаменника aб) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 до знаменника x + 8 · y 1 2 .

Рішення

а) Підберемо множник, який дозволить нам привести до нового знаменника. a 0, 7 · a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,отже, як додатковий множник ми візьмемо a 0 , 3. Область допустимих значень змінної а включає множину всіх позитивних дійсних чисел. У цій галузі ступінь a 0 , 3не перетворюється на нуль.

Виконаємо множення чисельника та знаменника дробу на a 0 , 3:

a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a 0 , 7 · a 0 , 3 = a + 1 · a 0 , 3 a

б) Звернімо увагу на знаменник:

x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2

Помножимо цей вираз на x 1 3 + 2 · y 1 6 отримаємо суму кубів x 1 3 і 2 · y 1 6 , тобто. x + 8 · y 1 2 . Це наш новий знаменник, до якого нам треба привести вихідний дріб.

Так ми знайшли додатковий множник x 1 3 + 2 · y 1 6 . На області допустимих значень змінних xі yвираз x 1 3 + 2 · y 1 6 не звертається в нуль, тому ми можемо помножити на нього чисельник і знаменник дробу:
1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2

Відповідь:а) a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a , б) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Приклад 9

Скоротіть дріб: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 .

Рішення

а) Використовуємо найбільший загальний знаменник (НОД), який можна скоротити чисельник і знаменник. Для чисел 30 та 45 це 15 . Також ми можемо зробити скорочення на x 0 , 5 + 1та на x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Отримуємо:

30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1)

б) Тут наявність однакових множників є очевидною. Доведеться виконати деякі перетворення для того, щоб отримати однакові множники у чисельнику та знаменнику. Для цього розкладемо знаменник, використовуючи формулу різниці квадратів:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 · a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Відповідь:а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0, 5 + 1), б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

До основних дій з дробами відноситься приведення до нового знаменника і скорочення дробів. Обидві дії виконують із дотриманням низки правил. При складанні та відніманні дробів спочатку дроби приводяться до спільного знаменника, після чого проводяться дії (складання або віднімання) з чисельниками. Знаменник залишається тим самим. Результатом наших дій є новий дріб, чисельник якого є твором чисельників, а знаменник є витвір знаменників.

Приклад 10

Виконайте дії x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Рішення

Почнемо з віднімання дробів, які розташовуються у дужках. Наведемо їх до спільного знаменника:

x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1

Віднімемо чисельники:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 · x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 - 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2

Тепер множимо дроби:

4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2

Зробимо скорочення на ступінь x 1 2отримаємо 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Додатково можна спростити статечне вираз у знаменнику, використовуючи формулу різниці квадратів: квадратів: 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Відповідь: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = 4 x - 1

Приклад 11

Спростіть статечний вираз x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 .
Рішення

Ми можемо зробити скорочення дробу на (x 2, 7 + 1) 2. Отримуємо дріб x 3 4 x - 5 8 · x 2, 7 + 1 .

Продовжимо перетворення ступенів іксу x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 . Тепер можна використовувати властивість поділу ступенів з однаковими основами: x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 1 1 8 · 1 x 2 7 + 1 .

Переходимо від останнього добутку до дробу x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Відповідь: x 3 4 · x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Множники з негативними показниками ступеня здебільшого зручніше переносити з чисельника у знаменник і назад, змінюючи знак показника. Ця дія дозволяє спростити подальше рішення. Наведемо приклад: статечний вираз (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 можна замінити на x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Перетворення виразів з корінням та ступенями

У завданнях зустрічаються статечні висловлювання, які містять як ступеня з дробовими показниками, а й коріння. Такі вирази бажано привести тільки до коріння або тільки до ступенів. Перехід до ступенів краще, оскільки з ними простіше працювати. Такий перехід є особливо доцільним, коли ОДЗ змінних для вихідного виразу дозволяє замінити коріння ступенями без необхідності звертатися до модуля або розбивати ОДЗ на кілька проміжків.

Приклад 12

Подайте вираз x 1 9 · x · x 3 6 у вигляді ступеня.

Рішення

Область допустимих значень змінної xвизначається двома нерівностями x ≥ 0і x · x 3 ≥ 0 які задають безліч [ 0 , + ∞) .

На цій множині ми маємо право перейти від коріння до ступенів:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Використовуючи властивості ступенів, спростимо отриманий статечний вираз.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Відповідь: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Перетворення ступенів зі змінними у показнику

Дані перетворення досить легко зробити, якщо грамотно використовувати властивості ступеня. Наприклад, 5 2 · x + 1 - 3 · 5 x · 7 x - 14 · 7 2 · x - 1 = 0.

Ми можемо замінити твором ступеня, у показниках яких перебуває сума певної змінної та числа. У лівій частині це можна зробити з першим і останнім складовими лівої частини виразу:

5 2 · x · 5 1 - 3 · 5 x · 7 x - 14 · 7 2 · x · 7 - 1 = 0,5 · 5 2 · x - 3 · 5 x · 7 x - 2 · 7 2 · x = 0.

Тепер поділимо обидві частини рівності на 7 2 · x. Цей вираз на ОДЗ змінної x набуває лише позитивних значень:

5 · 5 - 3 · 5 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 7 2 · x , 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0, 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0

Скоротимо дроби зі ступенями, отримаємо: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0 .

Нарешті, відношення ступенів з однаковими показниками замінюється ступенями відносин, що призводить до рівняння 5 · 5 7 2 · x - 3 · 5 7 x - 2 = 0, яке рівносильне 5 · 5 7 x 2 - 3 · 5 7 x - 2 = 0 .

Введемо нову змінну t = 5 7 x , що зводить рішення вихідного показового рівняння до розв'язання квадратного рівняння 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Перетворення виразів зі ступенями та логарифмами

Вирази, що містять із запису ступеня та логарифми, також зустрічаються в задачах. Прикладом таких виразів можуть бути: 1 4 1 - 5 · log 2 3 або log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3 . Перетворення подібних виразів проводиться з використанням розібраних вище підходів та властивостей логарифмів, які докладно розібрали у темі «Перетворення логарифмічних виразів».

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Поняття ступеня в математиці вводиться ще 7 класі під час уроку алгебри. І надалі протягом усього курсу вивчення математики це поняття активно використовується у різних своїх видах. Ступені – досить важка тема, що вимагає запам'ятовування значень та вміння правильно та швидко порахувати. Для більш швидкої та якісної роботи зі ступенями математики вигадали властивості ступеня. Вони допомагають скоротити великі обчислення, перетворити величезний приклад однією число певною мірою. Властивостей не так багато, і всі вони легко запам'ятовуються і застосовуються на практиці. Тому у статті розглянуто основні властивості ступеня, а також те, де вони застосовуються.

Властивості ступеня

Ми розглянемо 12 властивостей ступеня, у тому числі й властивості ступенів з однаковими основами, і до кожної властивості наведемо приклад. Кожна з цих властивостей допоможе вам швидше вирішувати завдання зі ступенями, а також врятує вас від численних помилок.

1-е властивість.

Про цю властивість багато хто дуже часто забуває, робить помилки, представляючи число в нульовому ступені як нуль.

2-ге властивість.

3-тє властивість.

Потрібно пам'ятати, що цю властивість можна застосовувати тільки при добутку чисел, при сумі воно не працює! І не можна забувати, що це і наступне властивості застосовуються тільки до ступенів з однаковими підставами.

4-та якість.

Якщо в знаменнику число зведено в негативний ступінь, то при відніманні ступінь знаменника береться до дужок для правильної заміни знака при подальших обчисленнях.

Властивість працює тільки при розподілі, при відніманні не застосовується!

5-та якість.

6-та якість.

Цю властивість можна застосувати і у зворотний бік. Одиниця поділена на число певною мірою є число в мінусовому ступені.

7-е якість.

Цю властивість не можна застосовувати до суми та різниці! При зведенні ступінь суми чи різниці використовуються формули скороченого множення, а чи не властивості ступеня.

8-е якість.

9-е якість.

Ця властивість працює для будь-якого дробового ступеня з чисельником, рівним одиниці, формула буде та ж, тільки ступінь кореня змінюватиметься в залежності від знаменника ступеня.

Також цю властивість часто використовують у зворотному порядку. Корінь будь-якого ступеня з числа можна уявити, як це число ступеня одиниця поділена на ступінь кореня. Ця властивість дуже корисна у випадках, якщо корінь із числа не вилучається.

10-ті властивості.

Ця властивість працює не лише з квадратним коренем та другим ступенем. Якщо ступінь кореня і ступінь, у якому зводять цей корінь, збігаються, то відповіддю буде підкорене вираз.

11-та якість.

Цю властивість потрібно вміти вчасно побачити при рішенні, щоб позбавити себе величезних обчислень.

12-те властивість.

Кожна з цих властивостей неодноразово зустрінеться вам у завданнях, вона може бути дано у чистому вигляді, а може вимагати деяких перетворень та застосування інших формул. Тому для правильного рішення мало знати лише характеристики, необхідно практикуватися і підключати інші математичні знання.

Застосування ступенів та їх властивостей

Вони активно застосовуються в алгебрі та геометрії. Ступені в математиці мають окреме, важливе місце. З їх допомогою вирішуються показові рівняння та нерівності, а так само ступенями часто ускладнюють рівняння та приклади, що належать до інших розділів математики. Ступені допомагають уникнути великих та довгих розрахунків, ступеня легше скорочувати та обчислювати. Але для роботи з великими ступенями або зі ступенями великих чисел потрібно знати не тільки властивості ступеня, а грамотно працювати і з підставами, вміти їх розкласти, щоб полегшити собі завдання. Для зручності слід знати ще й значення чисел, зведених у ступінь. Це скоротить ваш час під час вирішення, виключивши необхідність довгих обчислень.

Особливу роль поняття ступеня грає у логарифмах. Тому що логарифм, по суті, і є ступінь числа.

Формули скороченого множення – ще один приклад використання ступенів. Вони не можна застосовувати властивості ступенів, вони розкладаються за спеціальними правилами, але у кожній формулі скороченого множення незмінно присутні ступеня.

Так само ступеня активно використовуються у фізиці та інформатиці. Всі переклади в систему СІ виробляються за допомогою ступенів, а надалі при вирішенні завдань застосовуються властивості ступеня. В інформатиці активно використовуються ступені двійки, для зручності рахунку та спрощення сприйняття чисел. Подальші розрахунки з перекладів одиниць виміру чи розрахунки завдань, як і, як і фізиці, відбуваються з допомогою властивостей ступеня.

Ще ступеня дуже корисні в астрономії, там рідко можна зустріти застосування властивостей ступеня, але самі ступеня активно використовуються для скорочення різних величин і відстаней.

Ступені застосовують і у звичайному житті, при розрахунках площ, обсягів, відстаней.

За допомогою ступенів записують дуже великі та дуже маленькі величини у будь-яких сферах науки.

Показові рівняння та нерівності

Особливе місце властивості ступеня посідають саме у показових рівняннях та нерівностях. Ці завдання дуже часто зустрічаються як у шкільному курсі, так і на іспитах. Усі вони вирішуються з допомогою застосування властивостей ступеня. Невідоме завжди знаходиться в самій мірі, тому знаючи всі властивості, вирішити таке рівняння чи нерівність не складе труднощів.

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Посібник до підручника Ю.М. Макарічева Посібник до підручника А.Г. Мордковича

Мета уроку: навчиться робити дії зі ступенями числа.

Для початку згадаємо поняття "ступінь числа". Вираз виду $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ можна уявити, як $a^n$.

Справедливо також обернене: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Ця рівність називається "запис ступеня у вигляді твору". Воно допоможе нам визначити, як множити і ділити ступеня.
Запам'ятайте:
a- Підстава ступеня.
n- показник ступеня.
Якщо n = 1отже, число авзяли раз і відповідно: $a^n= 1$.
Якщо n = 0, то $ a ^ 0 = 1 $.

Чому так відбувається, ми зможемо з'ясувати, коли познайомимося з правилами множення та поділу ступенів.

Правила множення

приклад.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Ця властивість зручно використовувати, щоб спростити роботу при зведенні числа у велику міру.
приклад.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Якщо множаться ступеня з різною основою, але однаковим показником.
Щоб $a^n * b^n$, запишемо ступеня у вигляді твору: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_(m ) $.
Якщо поміняти місцями множники і порахувати пари, отримаємо: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Отже, $a^n*b^n=(a*b)^n$.

приклад.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Правила розподілу

Отже, треба $\frac(a^n)(a^m)$, де n > m.

Запишемо ступеня у вигляді дробу:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Тепер скоротимо дріб.

Виходить: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Значить, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Ця властивість допоможе пояснити ситуацію зі зведенням числа в нульовий ступінь. Припустимо, що n=mтоді $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

приклади.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

б) Підстави ступеня різні, показники однакові.
Допустимо, необхідно $\frac(a^n)( b^n)$. Запишемо ступеня чисел у вигляді дробу:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

приклад.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Однією з основних показників в алгебрі, та й у всій математиці є ступінь. Звичайно, в 21 столітті всі розрахунки можна проводити на онлайн-калькуляторі, але краще для розвитку мозку навчитися робити це самому.

У цій статті розглянемо найважливіші питання щодо цього визначення. А саме, зрозуміємо, що це взагалі таке і які основні його функції, які є властивості математики.

Розглянемо на прикладах те, як виглядає розрахунок, які є основні формули. Розберемо основні види величини та те, чим вони відрізняються від інших функцій.

Зрозуміємо, як вирішувати з допомогою цієї величини різні завдання. Покажемо на прикладах, як зводити в нульовий ступінь, ірраціональний, негативний та ін.

Онлайн-калькулятор зведення в ступінь

Що таке ступінь числа

Що ж мають на увазі під виразом «звести число до ступеня»?

Ступенем n числа а є добуток множників завбільшки а n-раз поспіль.

Математично це виглядає так:

a n = a * a * a * … a n.

Наприклад:

• 2 3 = 2 у третій степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 у степ. два = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 у степ. чотири = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 5 степ. = 10*10*10*10*10 = 100000;
• 10 4 = 10 4 степ. = 10*10*10*10 = 10000.

Нижче буде представлена ​​таблиця квадратів та кубів від 1 до 10.

Таблиця ступенів від 1 до 10

Нижче будуть наведені результати зведення натуральних чисел позитивно – «від 1 до 100».

Властивості ступенів

Що ж притаманно такої математичної функції? Розглянемо базові характеристики.

Вченими встановлено наступні ознаки, характерні для всіх ступенів:

• a n * a m = (a) (n + m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b * m).

Перевіримо на прикладах:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. З іншого боку 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Аналогічно: 23: 22 = 8 / 4 =2. Інакше 23-2 = 21 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. А якщо інакше? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Як бачимо, правила працюють.

А як же бути зі складанням та відніманням? Все просто. Виконується спочатку зведення у ступінь, а вже потім додавання та віднімання.

Подивимося на прикладах:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Зверніть увагу: правило не виконуватиметься, якщо спочатку зробити віднімання: (5 - 3) 2 = 2 2 = 4.

А ось у цьому випадку треба обчислювати спочатку додавання, оскільки є дії в дужках: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Як виготовляти обчислення у складніших випадках? Порядок той самий:

• за наявності дужок – починати треба з них;
• потім зведення у ступінь;
• потім виконувати дії множення, розподілу;
• після додавання, віднімання.

Є специфічні властивості, характерні не для всіх ступенів:

1. Корінь n-ого ступеня з числа a ступенем m запишеться у вигляді: a m / n .
2. При зведенні дробу в ступінь: цій процедурі схильні як чисельник, і його знаменник.
3. При зведенні добутку різних чисел у ступінь, вираз буде відповідати добутку цих чисел у заданому ступені. Тобто: (a * b) n = a n * b n.
4. При зведенні числа в негативну степ., Потрібно поділити 1 на число в тій же ст-ні, але зі знаком «+».
5. Якщо знаменник дробу перебуває у негативному ступені, це вираз дорівнюватиме твору чисельника на знаменник у позитивної степени.
6. Будь-яке число в ступені 0 = 1, а в степу. 1 = самому собі.

Ці правила важливі окремих випадках, їх розглянемо докладніше нижче.

Ступінь із негативним показником

Що робити за мінусового ступеня, тобто коли показник негативний?

Виходячи з властивостей 4 та 5(дивися вище), виходить:

A(-n) = 1/An, 5(-2) = 1/5 2 = 1/25.

І навпаки:

1 / A (- n) = A n , 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

А якщо дріб?

(A/B) (-n) = (B/A) n , (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Ступінь із натуральним показником

Під нею розуміють ступінь із показниками, рівними цілим числам.

Що потрібно запам'ятати:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1 ... і т. д.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ... і т. д.

Крім того, якщо (-a) 2 n +2 , n = 0, 1, 2 ... то результат буде зі знаком «+». Якщо негативне число зводиться в непарну міру, то навпаки.

Загальні властивості, та й усі специфічні ознаки, описані вище, також характерні їм.

Дробовий ступінь

Цей вид можна записати схемою: A m/n. Читається як: корінь n-ого ступеня з числа A до ступеня m.

З дрібним показником можна робити, що завгодно: скорочувати, розкладати на частини, зводити в інший ступінь і т.д.

Ступінь з ірраціональним показником

Нехай α – ірраціональне число, а А 0 .

Щоб зрозуміти суть ступеня з таким показником, розглянемо різні можливі випадки:

• А = 1. Результат дорівнюватиме 1. Оскільки існує аксіома – 1 у всіх ступенях дорівнює одиниці;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – раціональні числа;

• 0˂А˂1.

У цьому випадку навпаки: А r 2 ? А ?

Наприклад, показник ступеня число π.Воно раціональне.

r 1 - у цьому випадку дорівнює 3;

r 2 – дорівнюватиме 4.

Тоді, за А = 1, 1 π = 1.

А = 2, то 2 3 2 π 2 4 , 8 2 π 16.

А = 1/2, то (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Для таких ступенів характерні всі математичні операції та специфічні властивості, описані вище.

Висновок

Підіб'ємо підсумки - для чого потрібні ці величини, в чому перевага таких функцій? Звичайно, насамперед вони спрощують життя математиків та програмістів при вирішенні прикладів, оскільки дозволяють мінімізувати розрахунки, скоротити алгоритми, систематизувати дані та багато іншого.

Де ще можуть знадобитися ці знання? У будь-якій робочій спеціальності: медицина, фармакологія, стоматологія, будівництво, техніка, інженерія, конструювання і т.д.

Вирази, перетворення виразів

Ступінні вирази (вирази зі ступенями) та їх перетворення

У цій статті ми поговоримо про перетворення виразів зі ступенями. Спочатку ми зупинимося на перетвореннях, які виконуються з виразами будь-яких видів, у тому числі зі статечними виразами, таких як розкриття дужок, приведення подібних доданків. А далі розберемо перетворення, властиві саме виразам зі ступенями: робота з основою та показником ступеня, використання властивостей ступенів тощо.

Навігація на сторінці.

Що таке статечні вирази?

Термін «статечні висловлювання» практично не зустрічається шкільних підручниках математики, але він часто фігурує у збірниках завдань, особливо призначених для підготовки до ЄДІ та ОДЕ, наприклад, . Після аналізу завдань, у яких потрібно виконати будь-які дії зі статечними виразами, стає зрозуміло, що під статечними виразами розуміють вирази, що містять у своїх записах ступеня. Тому для себе можна прийняти таке визначення:

Визначення.

Ступінні вирази- Це вирази, що містять ступеня.

Наведемо приклади статечних виразів. Причому будемо їх представляти відповідно до того, як відбувається розвиток поглядів на ступінь з натуральним показником до ступеня з дійсним показником.

Як відомо, спочатку відбувається знайомство зі ступенем числа з натуральним показником, на цьому етапі з'являються перші найпростіші статечні вирази типу 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1) 4 , 3·a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 тощо.

Трохи пізніше вивчається ступінь числа з цілим показником, що призводить до появи статечних виразів з негативними ступенями, на кшталт наступних: 3 −2 , , a −2 +2·b −3 +c 2 .

У старших класах знову повертаються до ступенів. Там вводиться ступінь з раціональним показником, що тягне за собою появу відповідних статечних виразів: , і т.п. Нарешті, розглядаються ступеня з ірраціональними показниками і їх висловлювання: , .

Перерахованими статечними виразами справа не обмежується: далі в показник ступеня проникає змінна, і виникають, наприклад, такі вирази 2 x 2 +1 або . А після знайомства з, починають зустрічатися вирази зі ступенями і логарифмами, наприклад, x 2 lgx −5 x lgx .

Отже, ми розібралися з питанням, що є статечними виразами. Далі вчитимемося перетворювати їх.

Основні види перетворень статечних виразів

Зі статечними виразами можна виконувати будь-які з основних тотожних перетворень виразів. Наприклад, можна розкривати дужки, замінювати числові вирази їх значеннями, наводити подібні доданки тощо. Природно, при цьому варто дотримуватися прийнятого порядку виконання дій. Наведемо приклади.

Обчисліть значення статечного виразу 23 · (42-12).

Відповідно до порядку виконання дій спочатку виконуємо дії у дужках. Там, по-перше, замінюємо ступінь 4 2 її значенням 16 (за потреби дивіться), і по-друге, обчислюємо різницю 16-12=4 . Маємо 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

В отриманому вираженні замінюємо ступінь 2 3 її значенням 8 після чого обчислюємо твір 8 · 4 = 32 . Це і є потрібне значення.

Отже, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

2 3 · (4 2 -12) = 32 .

Спростити вирази зі ступенями 3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7.

Вочевидь, що це вираз містить подібні доданки 3·a 4 ·b −7 і 2·a 4 ·b −7 , і ми можемо навести їх: .

3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1 .

Подайте вираз зі ступенями у вигляді твору.

Впоратися з поставленим завданням дозволяє подання числа 9 у вигляді ступеня 3 2 і подальше використання формули скороченого множення різниця квадратів:

Також існує ряд тотожних перетворень, властивих саме статечним виразам. Далі ми їх і розберемо.

Робота з основою та показником ступеня

Зустрічаються ступеня, в основі та/або показнику яких знаходяться не просто числа або змінні, а деякі вирази. Як приклад наведемо записи (2+0,3·7) 5−3,7 та (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Працюючи з подібними виразами можна як вираз у основі ступеня, і вираз у показнику замінити тотожно рівним виразом на ОДЗ його змінних. Іншими словами, ми можемо за відомими нам правилами окремо перетворювати основу ступеня, і окремо – показник. Зрозуміло, що в результаті цього перетворення вийде вираз, що тотожно дорівнює вихідному.

Такі перетворення дозволяють спрощувати вирази зі ступенями або досягати інших потрібних нам цілей. Наприклад, у згаданому вище статечному вираженні (2+0,3·7) 5-3,7 можна виконати дії з числами на підставі та показнику, що дозволить перейти до ступеня 4,1 1,3 . А після розкриття дужок і приведення подібних доданків в підставі ступеня (a · (a + 1) -a 2) 2 · (x + 1) ми отримаємо статечне вираз простішого виду a 2 · (x + 1) .

Використання властивостей ступенів

Один із головних інструментів перетворення виразів зі ступенями – це рівності, що відображають. Нагадаємо основні із них. Для будь-яких позитивних чисел a та b і довільних дійсних чисел r і s справедливі такі властивості ступенів:

• a r · a s = a r + s;
• a r: as = a r−s;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r = r:b r ;
• (a r) s = a r · s.

Зауважимо, що з натуральних, цілих, і навіть позитивних показниках ступеня обмеження числа a і b може бути менш строгими. Наприклад, для натуральних чисел m і n рівність a m · a n = a m+n вірно як для позитивних a , але й негативних, й у a=0 .

У школі основну увагу при перетворенні статечних виразів зосереджено саме на вмінні вибрати відповідну властивість і правильно її застосувати. При цьому основи ступенів зазвичай позитивні, що дозволяє використовувати властивості ступенів без обмежень. Це саме стосується і перетворення виразів, що містять в підставах ступенів змінні – область допустимих значень змінних зазвичай така, що на ній підстави набувають лише позитивних значень, що дозволяє вільно використовувати властивості ступенів. Взагалі, потрібно постійно ставити питання, а чи можна в даному випадку застосовувати будь-яку властивість ступенів, адже неакуратне використання властивостей може призводити до звуження ОДЗ та інших неприємностей. Детально і на прикладах ці моменти розібрано у статті перетворення виразів з використанням властивостей ступенів. Тут ми обмежимося розглядом кількох простих прикладів.

Подайте вираз a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 у вигляді ступеня з основою a .

Спочатку другий множник (a 2) −3 перетворимо за якістю зведення ступеня на ступінь: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Вихідний статечний вираз при цьому набуде вигляду a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Очевидно, залишається скористатися властивостями множення та поділу ступенів з однаковою основою, маємо
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2 .

Властивості ступенів при перетворенні статечних виразів використовуються як зліва направо, так і праворуч наліво.

Знайти значення статечного виразу.

Рівність (a b) r = a r b r , застосоване праворуч наліво, дозволяє від вихідного виразу перейти до твору виду і далі. А при множенні ступенів з однаковими основами показники складаються: .

Можна було виконувати перетворення вихідного виразу та інакше:

.

Дано статечний вираз a 1,5 −a 0,5 −6 , введіть нову змінну t=a 0,5 .

Ступінь a 1,5 можна як a 0,5·3 і далі з урахуванням якості ступеня ступеня (a r) s =a r·s , застосованого праворуч наліво, перетворити її до виду (a 0,5) 3 . Таким чином, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Тепер легко ввести нову змінну t=a 0,5 одержуємо t 3 −t−6 .

Перетворення дробів, що містять ступеня

Ступінні вирази можуть містити дроби зі ступенями або являти собою такі дроби. До таких дробів повною мірою застосовуються будь-які з основних перетворень дробів, які притаманні дробам будь-якого виду. Тобто, дроби, які містять ступеня, можна скорочувати, приводити до нового знаменника, працювати окремо з їх чисельником та окремо зі знаменником тощо. Для ілюстрації сказаних слів розглянемо розв'язання кількох прикладів.

Спростити статечний вираз .

Дане статечне вираз являє собою дріб. Попрацюємо з її чисельником та знаменником. У чисельнику розкриємо дужки і спростимо отриманий після цього вираз, використовуючи властивості ступенів, а в знаменнику наведемо такі складові:

І ще змінимо знак знаменника, помістивши мінус перед дробом: .

.

Приведення дробів, що містять ступеня, до нового знаменника проводиться аналогічно до приведення до нового знаменника раціональних дробів. При цьому знаходиться додатковий множник і виконується множення на нього чисельника і знаменника дробу. Виконуючи цю дію, варто пам'ятати, що приведення до нового знаменника може спричинити звуження ОДЗ. Щоб цього не відбувалося, потрібно, щоб додатковий множник не звертався в нуль за жодних значень змінних з ОДЗ змінних для вихідного виразу.

Наведіть дроби до нового знаменника: а) до знаменника a, б) до знаменника.

а) У цьому випадку досить просто збагнути, який додатковий множник допомагає досягти потрібного результату. Це множник a 0,3, тому що a 0,7 · 0,3 = a 0,7 +0,3 = a. Зауважимо, що на області допустимих значень змінної a (це є безліч всіх позитивних дійсних чисел) ступінь a 0,3 не звертається в нуль, тому ми маємо право виконати множення чисельника та знаменника заданого дробу на цей додатковий множник:

б) Придивившись уважніше до знаменника, можна виявити, що

і множення цього виразу дасть суму кубів і, тобто, . А це і є новим знаменником, до якого нам потрібно привести вихідний дріб.

Так ми знайшли додатковий множник. На ділянці допустимих значень змінних x і y вираз не звертається в нуль, тому ми можемо помножити на нього чисельник і знаменник дробу:

а) , б) .

У скороченні дробів, що містять ступеня, також немає нічого нового: чисельник і знаменник представляються у вигляді деякої кількості множників, і скорочуються однакові множники чисельника та знаменника.

Скоротіть дріб: а) б) .

а) По-перше, чисельник і знаменник можна скоротити на чисел 30 і 45, який дорівнює 15 . Також, очевидно, можна виконати скорочення на x 0,5+1 та на . Ось що ми маємо:

б) У цьому випадку однакових множників у чисельнику та знаменнику відразу не видно. Щоб отримати їх, доведеться виконати попередні перетворення. У разі вони полягають у розкладанні знаменника на множники по формулі різниці квадратів:

а)

б) .

Приведення дробів до нового знаменника та скорочення дробів в основному використовується для виконання дій із дробами. Дії виконуються за відомими правилами. При складанні (відніманні) дробів, вони приводяться до спільного знаменника, після чого складаються (віднімаються) чисельники, а знаменник залишається тим самим. У результаті виходить дріб, чисельник якого є твір чисельників, а знаменник – твір знаменників. Розподіл на дріб є множення на дріб, зворотний їй.

Виконайте дії .

Спочатку виконуємо віднімання дробів, що знаходяться в дужках. Для цього наводимо їх до спільного знаменника, який є , після чого віднімаємо чисельники:

Тепер множимо дроби:

Очевидно, можливе скорочення на ступінь x 1/2 після якого маємо .

Ще можна спростити статечний вираз у знаменнику, скориставшись формулою різниця квадратів: .

Спростіть статечний вираз .

Очевидно, цей дріб можна скоротити на (x 2,7 +1) 2 , це дає дріб . Зрозуміло, що ще треба щось зробити зі ступенями ікса. Для цього перетворимо отриманий дріб у твір. Це дає можливість скористатися властивістю поділу ступенів з однаковими підставами: . І насамкінець процесу переходимо від останнього твору до дробу.

.

І ще додамо, що можна і в багатьох випадках бажано множники з негативними показниками ступеня переносити з чисельника в знаменник або з знаменника в чисельник, змінюючи знак показника. Такі перетворення часто спрощують подальші дії. Наприклад, статечний вираз можна замінити на.

Перетворення виразів з корінням та ступенями

Часто у виразах, в яких потрібно провести деякі перетворення, разом зі ступенями з дробовими показниками є і коріння. Щоб перетворити подібний вираз до потрібного вигляду, у більшості випадків достатньо перейти тільки до коріння або лише до ступенів. Але оскільки працювати зі ступенями зручніше, зазвичай переходять від коріння до ступенів. Однак, здійснювати такий перехід доцільно тоді, коли ОДЗ змінних для вихідного виразу дозволяє замінити коріння ступенями без необхідності звертатися до модуля або розбивати ОДЗ на кілька проміжків (це ми докладно розібрали у статті перехід від коренів до ступенів і назад). вводиться ступінь з ірраціональним показником, що дозволяє говорити і про ступінь з довільним дійсним показником.На цьому етапі в школі починає вивчатися показова функція, Яка аналітично задається ступенем, на основі якої знаходиться число, а в показнику - змінна. Так ми стикаємося зі статечними виразами, що містять числа на підставі ступеня, а в показнику - вирази зі змінними, і природно виникає необхідність виконання перетворень таких виразів.

Слід сказати, що перетворення виразів зазначеного виду зазвичай доводиться виконувати під час вирішення показових рівняньі показових нерівностей, і це перетворення досить прості. У переважній кількості випадків вони базуються на властивостях ступеня і націлені переважно на те, щоб надалі ввести нову змінну. Продемонструвати їх нам дозволить рівняння 5 2·x+1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x−1 =0.

По-перше, ступеня, у показниках яких перебуває сума деякої змінної (або вирази зі змінними) та числа, замінюються творами. Це відноситься до першого і останнього доданків вирази з лівої частини:
5 2·x ·5 1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x ·7 −1 =0,
5·5 2·x −3·5 x ·7 x −2·7 2·x =0.

Далі виконується розподіл обох частин рівності на вираз 7 2·x , яке на ОДЗ змінної x для вихідного рівняння приймає тільки позитивні значення (це стандартний прийом розв'язання рівнянь такого виду, зараз не про нього, так що зосередьте увагу на подальших перетвореннях виразів зі ступенями ):

Тепер скорочуються дроби зі ступенями, що дає .

Нарешті, ставлення ступенів з однаковими показниками замінюється ступенями відносин, що призводить до рівняння , яке рівносильне . Зроблені перетворення дозволяють ввести нову змінну, що зводить рішення вихідного показникового рівняння до розв'язання квадратного рівняння

Розділи:Математика

Тип уроку:урок узагальнення та систематизації знань

Цілі:

Обладнання:комп'ютер, мультимедійний проектор, інтерактивна дошка, презентація “Ступені” для усного рахунку, картки із завданнями, роздатковий матеріал.

План уроку:

Хід уроку

I. Організаційний момент

Повідомлення теми та цілей уроку.

На попередніх уроках ви відкрили для себе дивовижний світ ступенів, навчилися множити та ділити ступеня, зводити їх у ступінь. Сьогодні ми маємо закріпити отримані знання під час вирішення прикладів.

ІІ. Повторення правил(усно)

1. Дайте визначення ступеня із натуральним показником? (ступенем числа аз натуральним показником, більшим за 1, називається твір nмножників, кожен з яких дорівнює а.)
2. Як помножити два ступені? (Щоб помножити ступеня з однаковими основами, треба основу залишити тим самим, а показники скласти.)
3. Як поділити ступінь на ступінь? (Щоб розділити ступеня з однаковими підставами, треба підставу залишити тим самим, а показники відняти.)
4. Як звести твір у ступінь? (Щоб звести твір на ступінь, треба кожен множник звести на цей ступінь)
5. Як звести ступінь у ступінь? (Щоб звести ступінь у ступінь, треба підставу залишити тим самим, а показники перемножити)

ІІІ. Усний рахунок(за мультимедіа)

IV. Історична довідка

Усі завдання з папірусу Ахмеса, який записано близько 1650 року до н. е. пов'язані з практикою будівництва, розмежуванням земельних наділів тощо. Завдання згруповані за тематикою. Переважно це завдання знаходження площ трикутника, чотирикутників і кола, різноманітні дії з цілими числами і дробами, пропорційне розподіл, знаходження відносин, тут є і зведення різними ступенями, розв'язання рівнянь першого і другого ступеня з одним невідомим.

Повністю відсутні будь-які пояснення чи докази. Шуканий результат або дається прямо, або наводиться короткий алгоритм обчислення. Такий спосіб викладу, типовий для науки країн древнього Сходу, наводить на думку про те, що математика там розвивалася шляхом узагальнень і припущень, які не утворюють жодної загальної теорії. Тим не менш, у папірусі є ціла низка свідчень того, що єгипетські математики вміли добувати коріння і зводити в ступінь, вирішувати рівняння, і навіть володіли зачатками алгебри.

V. Робота біля дошки

Знайдіть значення вираження раціональним способом:

Обчисліть значення виразу:



VI. Фізкультхвилинка

6. для очей
7. для шиї
8. для рук
9. для тулуба
10. для ніг

VII. Вирішення задач(з показом на інтерактивній дошці)

Чи є корінь рівняння позитивним числом?

xn - i1abbnckbmcl9fb.xn - p1ai

Формули ступенів та коріння.

Формули ступеніввикористовують у процесі скорочення та спрощення складних виразів, у вирішенні рівнянь та нерівностей.

Число cє n-ний ступенем числа aколи:



Операції зі ступенями.

1. Помножуючи ступеня з однаковою основою їх показники складаються:

2. У розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються:



3. Ступінь праці 2-х чи більшої кількості множників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:

(abc ...) n = a n · b n · c n ...

4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого та дільника:

5. Зводячи ступінь у ступінь, показники ступенів перемножують:

Кожна вищенаведена формула вірна у напрямах зліва направо та навпаки.

Операції з корінням.

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношенню ділимого та дільника коренів:



3. При зведенні кореня на рівень досить звести на цей рівень підкорене число:



4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-у ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:



5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:



Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині непозитивного показника:



Формулу a m :a n =a m - nможна використовувати не тільки при m > n, але і при m 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Щоб формула a m :a n =a m - nстала справедливою за m=n, потрібна присутність нульового ступеня.

Ступінь будь-якого числа, що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.

Щоб звести дійсне число ау ступінь m/nнеобхідно вийняти корінь nступеня з m-ой ступеня цього числа а:



Формули ступенів.

6. a - n = - Розподіл ступенів;

7. - Розподіл ступенів;

8. a 1/n = ;

Ступені правила дії зі ступенями

1. Ступінь добутку двох або кількох співмножників дорівнює добутку ступенів цих співмножників (з тим самим показником):

(abc…) n = a n b n c n …

Приклад 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Приклад 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x - a)] 3 =( x +a) 3 (x - a) 3

Практично важливіше зворотне перетворення:

a n b n c n … = (abc …) n

тобто. добуток однакових ступенів кількох величин дорівнює тому ж ступеню добутку цих величин.

приклад 3. Приклад 4. (a + b) 2 (a 2 - ab + b 2) 2 = [(a + b) (a 2 - ab + b 2)] 2 = (a 3 + b 3) 2

2. Ступінь приватного (дробі) дорівнює приватному від поділу того ж ступеня поділеного на той же ступінь дільника:

Приклад 5. Приклад 6.

Зворотне перетворення. Приклад 7. . Приклад 8. .

3. При множенні ступенів з однаковими основами показники ступенів складаються:

Приклад 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Приклад 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 = (a - 4c + x) 5 .

4. При розподілі ступенів з однаковими основами показник ступеня дільника віднімається з показника ступеня поділеного

Приклад 11. 12 5:12 3 = 12 5-3 = 12 2 = 144. Приклад 12. (x-y) 3: (x-y) 2 = x-y.

5. При зведенні ступеня до ступеня показники ступенів перемножуються:

Приклад 13. (23) 2 = 26 =64. приклад 14.

www.maths.yfa1.ru

Ступені та коріння

Операції зі ступенями та корінням. Ступінь із негативним ,

нульовим та дробовим показником. Про висловлювання, які не мають сенсу.

Операції зі ступенями.

1. При множенні ступенів з однаковою основою їх показники складаються:

a m · a n = a m + n.

2. При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються .



3. Ступінь добутку двох або кількох співмножників дорівнює добутку ступенів цих співмножників.

4. Ступінь відношення (дробі) дорівнює відношенню ступенів ділимого (числителя) та дільника (знаменника):

(a/b) n = a n / b n.

5. При зведенні ступеня до ступеня їх показники перемножуються:

Всі наведені вище формули читаються і виконуються в обох напрямках зліва направо і навпаки.

П р і м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Операції з корінням. У всіх наведених нижче формулах символ означає арифметичний корінь(підкорене вираз позитивно).

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношенню коренів ділимого та дільника:



3. При зведенні кореня до ступеня достатньо звести в цей ступінь підкорене число:



4. Якщо збільшити ступінь кореня в m разів і одночасно звести в m - ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:



5. Якщо зменшити ступінь кореня в m разів і одночасно отримати корінь m -ого ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:





Розширення поняття ступеня. Досі ми розглядали ступені лише з натуральним показником; але дії зі ступенями та корінням можуть призводити також до негативним, нульовимі дробовимпоказниками. Всі ці показники ступенів потребують додаткового визначення.

Ступінь із негативним показником. Ступінь деякого числа з негативним (цілим) показником визначається як одиниця, поділена на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині негативного показника:



Тепер формула a m : a n = a m - nможе бути використана не тільки при mбільше, ніж n, але і при mменшим, ніж n .

П р і м е р. a 4: a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .

Якщо ми хочемо, щоб формула a m : a n = a m - nбула справедлива за m = n, нам потрібне визначення нульового ступеня.

Ступінь із нульовим показником. Ступінь будь-якого ненульового числа з нульовим показником дорівнює 1.

Приміри. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Ступінь із дробовим показником. Для того, щоб звести дійсне число а в ступінь m / n, потрібно витягти корінь n-го ступеня з m-го ступеня цього числа а:



Про висловлювання, які не мають сенсу. Є кілька таких виразів.

де a ≠ 0 , не існує.

Справді, якщо припустити, що x- деяке число, то відповідно до визначення операції поділу маємо: a = 0· x, Тобто. a= 0, що суперечить умові: a ≠ 0

- будь-яке число.

Справді, якщо припустити, що це вираз дорівнює деякому числу x, то згідно з визначенням операції поділу маємо: 0 = 0 · x. Але ця рівність має місце при будь-якому числі x, що й потрібно було довести.

0 0 - будь-яке число.



Розв'язання. Розглянемо три основні випадки:

1) x = 0 – це значення не задовольняє даному рівнянню

2) при x> 0 отримуємо: x/x= 1, тобто. 1 = 1, звідки слід,

що x- Будь-яке число; але беручи до уваги, що в

нашому випадку x> 0 , відповіддю є x > 0 ;

Властивості ступеня

Нагадуємо, що в даному уроці розуміються властивості ступенівз натуральними показниками та нулем. Ступені з раціональними показниками та їх властивості будуть розглянуті в уроках для 8 класів.

Ступінь з натуральним показником має кілька важливих властивостей, які дозволяють спрощувати обчислення в прикладах зі ступенями.

Властивість №1
Добуток ступенів

При множенні ступенів з однаковими основами основа залишається без змін, а показники ступенів складаються.

a m · a n = a m + n , де "a" - будь-яке число, а "m", "n" - будь-які натуральні числа.

Ця властивість ступенів також діє на твір трьох і більше ступенів.

• Спростити вираз.
  b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Подати у вигляді ступеня.
  6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
• Подати у вигляді ступеня.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Зверніть увагу, що у зазначеній властивості йшлося лише про множення ступенів з однаковими підставами. Воно не відноситься до їх складання.

Не можна замінювати суму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Це зрозуміло, якщо
порахувати (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, а 3 5 = 243

Властивість №2
Приватне ступенів

При розподілі ступенів з однаковими основами основа залишається без змін, а з показника діленого ступеня віднімають показник ступеня дільника.

• Записати приватне у вигляді ступеня
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Обчислити.

11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
приклад. Вирішити рівняння. Використовуємо властивість приватного ступеня.
3 8: t = 3 4

Відповідь: t = 3 4 = 81

Користуючись властивостями № 1 і № 2, можна легко спрощувати вирази та проводити обчислення.

приклад. Спростити вираз.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

приклад. Знайти значення виразу, використовуючи властивості ступеня.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Зверніть увагу, що у властивості 2 йшлося лише про поділ ступенів з однаковими основами.

Не можна замінювати різницю (4 3 −4 2) на 4 1 . Це зрозуміло, якщо порахувати (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

Властивість №3
Зведення ступеня до ступеня

При зведенні ступеня ступінь ступеня залишається без зміни, а показники ступенів перемножуються.

(a n) m = a n · m, де "a" - будь-яке число, а "m", "n" - будь-які натуральні числа.

За якістю зведення ступеня в ступіньвідомо, що при зведенні в ступінь показники перемножуються, отже:

Властивості 4
Ступінь твору

При зведенні ступеня до ступеня твору у цю міру зводиться кожен множник і результати перемножуються.

(a · b) n = a n · b n , де "a", "b" - будь-які раціональні числа; "n" - будь-яке натуральне число.

• приклад 1.
  (6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
• приклад 2.
  (−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6

Зверніть увагу, що властивість № 4, як і інші властивості ступенів, застосовують у зворотному порядку.

(a n · b n) = (a · b) n

Тобто, щоб перемножити ступені з однаковими показниками, можна перемножити підстави, а показник ступеня залишити незмінним.

• приклад. Обчислити.
  2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
• приклад. Обчислити.
  0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

У більш складних прикладах можуть зустрітися випадки, коли множення та розподіл треба виконати над ступенями з різними основами та різними показниками. У цьому випадку радимо чинити так.

Наприклад, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

Приклад зведення у ступінь десяткового дробу.

4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

Властивості 5
Ступінь приватного (дробі)

Щоб звести в ступінь приватне, можна звести в цей ступінь окремо поділений і дільник, і перший результат розділити на другий.

(a: b) n = a n: b n , де "a", "b" - будь-які раціональні числа, b ≠ 0, n - будь-яке натуральне число.

• приклад. Подати вираз у вигляді приватного ступенів.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Нагадуємо, що приватне можна подати у вигляді дробу. Тому на темі зведення дробу до ступеня ми зупинимося докладніше на наступній сторінці.

На канал на youtube нашого сайту сайт, щоб бути в курсі всіх нових уроків відео.

Для початку згадаємо основні формули ступенів та їх властивості.

Добуток числа aсаме на себе відбувається n разів, цей вираз ми можемо записати як a a … a = a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n - m

Ступінні чи показові рівняння– це рівняння у яких змінні перебувають у ступенях (чи показниках), а основою є число.

Приклади показових рівнянь:

У цьому прикладі число 6 є підставою воно завжди стоїть внизу, а змінна xступенем чи показником.

Наведемо приклади показових рівнянь.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Тепер розберемо, як вирішуються показові рівняння?

Візьмемо просте рівняння:

2 х = 2 3

Такий приклад можна вирішити навіть у думці. Видно, що x = 3. Адже щоб ліва і права частина дорівнювали потрібно замість x поставити число 3.
А тепер подивимося як потрібно це рішення оформити:

2 х = 2 3
х = 3

Для того щоб вирішити таке рівняння, ми прибрали однакові підстави(тобто двійки) і записали те, що залишилося, це ступеня. Отримали відповідь.

Тепер підіб'ємо підсумки нашого рішення.

Алгоритм розв'язання показового рівняння:
1. Потрібно перевірити однаковічи підстави у рівняння праворуч і ліворуч. Якщо підстави не однакові, шукаємо варіанти для вирішення даного прикладу.
2. Після того, як підстави стануть однаковими, прирівнюємоступеня і вирішуємо отримане нове рівняння.

Тепер вирішуємо кілька прикладів:

Почнемо із простого.

Підстави в лівій і правій частині дорівнюють числу 2, отже ми можемо підставу відкинути і прирівняти їх ступеня.

x+2=4 Вийшло найпростіше рівняння.
x=4 - 2
x=2
Відповідь: x=2

У прикладі видно, що підстави різні це 3 і 9.

3 3х - 9 х +8 = 0

Для початку переносимо дев'ятку праворуч, отримуємо:

Тепер потрібно зробити однакові підстави. Ми знаємо що 9 = 3 2 . Скористаємося формулою ступенів (a n) m = a nm.

3 3х = (3 2) х+8

Отримаємо 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 тепер видно що у лівій і правій стороні основи однакові та рівні трійці, отже ми їх можемо відкинути та прирівняти ступеня.

3x=2x+16 отримали найпростіше рівняння
3x - 2x = 16
x=16
Відповідь: x = 16.

Дивимося такий приклад:

2 2х+4 - 10 4 х = 2 4

Насамперед дивимося на підстави, підстави різні два та чотири. А нам потрібно, щоби були – однакові. Перетворюємо четвірку за формулою (a n) m = a nm.

4 х = (2 2) х = 2 2х

І ще використовуємо одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Додаємо до рівняння:

2 2х 2 4 - 10 2 2х = 24

Ми навели приклад до однакових підстав. Але нам заважають інші числа 10 та 24. Що з ними робити? Якщо придивитися видно, що в лівій частині у нас повторюється 2 2х, ось і відповідь - 2 2х ми можемо винести за дужки:

2 2х (2 4 - 10) = 24

Порахуємо вираз у дужках:

2 4 - 10 = 16 - 10 = 6

Усі рівняння ділимо на 6:

Представимо 4 = 2 2:

2 2х = 2 2 основи однакові, відкидаємо їх і прирівнюємо ступеня.
2х = 2 вийшло найпростіше рівняння. Ділимо його на 2 отримуємо
х = 1
Відповідь: х = 1.

Розв'яжемо рівняння:

9 х - 12 * 3 х +27 = 0

Перетворюємо:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Отримуємо рівняння:
3 2х - 12 3 х +27 = 0

Підстави у нас однакові рівні трьом. У даному прикладі видно, що у першої трійки ступінь у два рази (2x) більший, ніж у другої (просто x). У такому випадку можна вирішити методом заміни. Число з найменшим ступенем замінюємо:

Тоді 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Замінюємо в рівнянні всі ступені з іксами на t:

t 2 - 12t+27 = 0
Отримуємо квадратне рівняння. Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Повертаємось до змінної x.

Беремо t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало бути,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Відповідь: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайті Ви можете в розділі ДОПОМОЖІТЬ ВИРІШИТИ ставити запитання, що цікавлять, ми Вам обов'язково відповімо.

Вступайте до групи

У попередній статті ми розповіли, що собою представляють одночлени. У цьому матеріалі розберемо, як вирішувати приклади та завдання, у яких вони застосовуються. Тут будуть розглянуті такі дії, як віднімання, додавання, множення, поділ одночленів та зведення їх у ступінь з натуральним показником. Ми покажемо, як визначаються такі операції, позначимо основні правила їх виконання та те, що має вийде в результаті. Усі теоретичні положення, як завжди, будуть проілюстровані прикладами завдань з описами рішень.

Найзручніше працювати зі стандартним записом одночленів, тому всі вирази, які будуть використані у статті, ми наводимо у стандартному вигляді. Якщо вони спочатку задані інакше, рекомендується спочатку привести їх до загальноприйнятої форми.

Правила складання та віднімання одночленів

Найбільш прості дії, які можна проводити з одночленами – це віднімання та додавання. У випадку результатом цих дій буде многочлен (одночлен можливий у окремих випадках).

Коли ми складаємо або віднімаємо одночлени, спочатку записуємо в загальноприйнятій формі відповідну суму і різницю, після чого спрощуємо вираз, що вийшов. Якщо є подібні доданки, їх треба навести, дужки – розкрити. Пояснимо на прикладі.

Приклад 1

Умова:виконайте складання одночленів − 3 · x та 2, 72 · x 3 · y 5 · z .

Рішення

Запишемо суму вихідних виразів. Додамо дужки та поставимо між ними плюс. У нас вийде таке:

(− 3 · x) + (2 , 72 · x 3 · y 5 · z)

Коли ми виконаємо розкриття дужок, вийде - 3 · x + 2, 72 · x 3 · y 5 · z. Це багаточлен, записаний у стандартній формі, який буде результатом складання даних одночленів.

Відповідь:(− 3 · x) + (2, 72 · x 3 · y 5 · z) = − 3 · x + 2, 72 · x 3 · y 5 · z .

Якщо в нас задано три, чотири і більше доданків, ми здійснюємо цю дію так само.

Приклад 2

Умова:проведіть у правильному порядку зазначені дії з багаточленами

3 · a 2 - (- 4 · a · c) + a 2 - 7 · a 2 + 4 9 - 2 2 3 · a · c

Рішення

Почнемо з розкриття дужок.

3 · a 2 + 4 · a · c + a 2 - 7 · a 2 + 4 9 - 2 2 3 · a · c

Ми бачимо, що отриманий вираз можна спростити шляхом приведення таких доданків:

3 · a 2 + 4 · a · c + a 2 - 7 · a 2 + 4 9 - 2 2 3 · a · c = = (3 · a 2 + a 2 - 7 · a 2) + 4 · a · c - 2 2 3 · a · c + 4 9 = = - 3 · a 2 + 1 1 3 · a · c + 4 9

У нас вийшов багаточлен, який і буде результатом цієї дії.

Відповідь: 3 · a 2 - (- 4 · a · c) + a 2 - 7 · a 2 + 4 9 - 2 2 3 · a · c = - 3 · a 2 + 1 1 3 · a · c + 4 9

У принципі, ми можемо виконати додавання та віднімання двох одночленів з деякими обмеженнями так, щоб отримати в результаті одночлен. Для цього потрібно дотриматись деяких умов, що стосуються доданків і віднімаються одночленів. Про те, як це робиться, ми розповімо в окремій статті.

Правила множення одночленів

Дія множення не накладає жодних обмежень на множники. Одночлени, що множаться, не повинні відповідати жодним додатковим умовам, щоб в результаті вийде одночлен.

Щоб виконати множення одночленів, потрібно виконати такі кроки:

1. Правильно записати твір.
2. Розкрити дужки в отриманому виразі.
3. Згрупувати по можливості множники з однаковими змінними та числові множники окремо.
4. Виконати необхідні дії з числами і застосувати до множників, що залишилися, властивість множення ступенів з однаковими основами.

Подивимося, як це робиться на практиці.

Приклад 3

Умова:виконайте множення одночленів 2 · x 4 · y · z і - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Рішення

Почнемо зі складання твору.

Розкриваємо в ньому дужки та отримуємо наступне:

2 · x 4 · y · z · - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11

2 · - 7 16 · t 2 · x 4 · x 2 · y · z 3 · z 11

Все, що нам залишилося зробити, - це помножити числа в перших дужках і застосувати властивість ступенів для других. У результаті отримаємо таке:

2 · - 7 16 · t 2 · x 4 · x 2 · y · z 3 · z 11 = - 7 8 · t 2 · x 4 + 2 · y · z 3 + 11 = = - 7 8 · t 2 · x 6 · y · z 14

Відповідь: 2 · x 4 · y · z · - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 = - 7 8 · t 2 · x 6 · y · z 14 .

Якщо у нас в умові стоять три багаточлени і більше, ми множимо їх за таким самим алгоритмом. Докладніше питання множення одночленів ми розглянемо у межах окремого матеріалу.

Правила зведення одночлена до ступеня

Ми знаємо, що ступенем із натуральним показником називають добуток деякого числа однакових множників. На їх кількість вказує число у показнику. Відповідно до цього визначення, зведення одночлена в ступінь рівнозначне множенню вказаної кількості однакових одночленів. Подивимося, як це робиться.

Приклад 4

Умова:виконайте зведення одночлена − 2 · a · b 4 у ступінь 3 .

Рішення

Ми можемо замінити зведення в ступінь на множення 3 одночленів − 2 · a · b 4 . Запишемо і отримаємо відповідь:

(−2 · a · b 4) 3 = (−2 · a · b 4) · (−2 · a · b 4) · (−2 · a · b 4) = = ((−2) · (− 2) · (−2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = − 8 · a 3 · b 12

Відповідь:(− 2 · a · b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

А як бути в тому випадку, коли рівень має великий показник? Записувати велику кількість множників незручно. Тоді для вирішення такого завдання нам треба застосувати властивості ступеня, а саме властивість ступеня добутку та властивість ступеня у ступеня.

Вирішимо завдання, яке ми навели вище, вказаним способом.

Приклад 5

Умова:виконайте зведення − 2 · a · b 4 у третій ступінь.

Рішення

Знаючи властивість ступеня, ми можемо перейти до виразу наступного виду:

(−2 · a · b 4) 3 = (−2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .

Після цього ми зводимо в ступінь - 2 і застосовуємо властивість ступеня:

(−2) 3 · (a) 3 · (b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

Відповідь:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Зведенню одночлена в міру ми також присвятили окрему статтю.

Правила поділу одночленів

Остання дія з одночленами, яку ми розберемо в даному матеріалі, – розподіл одночлена на одночлен. В результаті ми повинні отримати раціональний (алгебраїчний) дріб (у деяких випадках можливе одержання одночлена). Відразу уточнимо, що поділ на нульовий одночлен не визначається, оскільки не визначається поділ на 0.

Для виконання поділу нам потрібно записати зазначені одночлени у формі дробу та скоротити його, якщо є така можливість.

Приклад 6

Умова:виконайте поділ одночлена − 9 · x 4 · y 3 · z 7 на − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 .

Рішення

Почнемо із запису одночленів у формі дробу.

9 · x 4 · y 3 · z 7 - 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2

Цей дріб можна скоротити. Після виконання цієї дії отримаємо:

3 · x 2 · y · z 7 2 · p 3 · t 5

Відповідь:- 9 · x 4 · y 3 · z 7 - 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 = 3 · x 2 · y · z 7 2 · p 3 · t 5 .

Умови, за яких в результаті розподілу одночленів ми отримаємо одночлен, наводяться в окремій статті.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Очевидно, що числа зі ступенями можуть складатися, як інші величини шляхом їхнього складання одне за одним зі своїми знаками.

Так, сума a 3 та b 2 є a 3 + b 2 .
Сума a3-bn і h5-d4 є a3-bn+h5-d4.

Коефіцієнти однакових ступенів однакових зміннихможуть складатися або відніматися.

Так, сума 2a 2 та 3a 2 дорівнює 5a 2 .

Це також очевидно, що якщо взяти два квадрати а, або три квадрати а, або п'ять квадратів а.

Але ступеня різних зміннихі різні ступені однакових змінних, повинні складатися їх складанням зі своїми знаками.

Так, сума a 2 та a 3 є сума a 2 + a 3 .

Це очевидно, що квадрат числа a, і куб числа a, не дорівнює подвійному квадрату a, але подвоєному кубу a.

Сума a 3 b n і 3a 5 b 6 є a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Відніманняступенів проводиться таким же чином, що і додавання, за винятком того, що знаки віднімаються повинні відповідно бути змінені.

Або:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Збільшення ступенів

Числа зі ступенями можуть бути помножені, як і інші величини шляхом написання їх одне за одним, зі знаком множення або без нього між ними.

Так, результат множення a3 на b2 дорівнює a3b2 або aaabb.

Або:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в останньому прикладі може бути упорядкований шляхом складання однакових змінних.
Вираз набуде вигляду: a 5 b 5 y 3 .

Порівнюючи кілька чисел(змінних) зі ступенями, ми можемо побачити, що якщо будь-які два з них множаться, то результат - це число (змінна) зі ступенем, що дорівнює суміступенів доданків.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тут 5 - це ступінь результату множення, що дорівнює 2 + 3, сумі ступенів доданків.

Так, a n a m = a m + n .

Для a n a береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь n;

І a m береться як множник стільки разів, скільки дорівнює ступінь m;

Тому, ступеня з однаковими основами можуть бути помножені шляхом складання показників ступенів.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Або:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Помножте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Відповідь: x 4 – y 4 .
Помножте (x3+x-5) ⋅ (2x3+x+1).

Це правило справедливе і для чисел, показники ступеня яких негативні.

1. Так, a-2.a-3 = a-5. Це можна записати у вигляді (1/aa). (1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n. y-m = y-n-m.

3. a -n. am = am-n.

Якщо a + b множаться на a - b, результат дорівнюватиме a 2 - b 2: тобто

Результат множення суми чи різниці двох чисел дорівнює сумі чи різниці їх квадратів.

Якщо множиться сума та різниця двох чисел, зведених у квадрат, результат дорівнюватиме сумі або різниці цих чисел в четвертоїступеня.

Так, (a - y). (a + y) = a2 - y2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Розподіл ступенів

Числа зі ступенями можуть бути поділені, як і інші числа, відбираючи від дільника дільника, або розміщенням їх у формі дробу.

Таким чином a 3 b 2 поділений на b 2 , дорівнює a 3 .

Або:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Запис a 5 поділеного на a 3 виглядає як $\frac(a^5)(a^3)$. Але це одно a 2 . У ряді чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
будь-яке число може бути поділено на інше, а показник ступеня дорівнюватиме різниціпоказників ділених чисел.

При розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються..

Так, y3: y2 = y3-2 = y1. Тобто $\frac(yyy)(yy) = y$.

І a n+1:a = n+1-1 = a n . Тобто $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Або:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правило також справедливе і для чисел з негативнимизначеннями ступенів.
Результат поділу a-5 на a-3, дорівнює a-2.
Також, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (aa) $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 або $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Необхідно дуже добре засвоїти множення та поділ ступенів, оскільки такі операції дуже широко застосовуються в алгебрі.

Приклади розв'язання прикладів з дробами, що містять числа зі ступенями

1. Зменшіть показники ступенів $\frac(5a^4)(3a^2)$ Відповідь: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Зменшіть показники ступенів $\frac(6x^6)(3x^5)$. Відповідь: $\frac(2x)(1)$ або 2x.

3. Зменшіть показники ступенів a 2 /a 3 та a -3 /a -4 та приведіть до спільного знаменника.
a 2 .a -4 є a -2 перший чисельник.
a 3 .a -3 є a 0 = 1, другий чисельник.
a 3 .a -4 є a -1 загальний чисельник.
Після спрощення: a -2 /a -1 та 1/a -1 .

4. Зменшіть показники ступенів 2a 4 /5a 3 та 2 /a 4 та приведіть до спільного знаменника.
Відповідь: 2a 3 /5a 7 та 5a 5 /5a 7 або 2a 3 /5a 2 та 5/5a 2 .

5. Помножте (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Помножте (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. Помножте b4/a-2 на h-3/x та an/y-3.

8. Розділіть a4/y3 на a3/y2. Відповідь: a/y.

9. Розділіть (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.