Побудувати дотичну m до оточуючих. Що таке дотичні до кола? Властивості щодо кола. Загальна дотична до двох кіл. Сполучення за допомогою дуги кола

Цілі уроку

• Освітні – повторення, узагальнення та перевірка знань на тему: “Дотична до кола”; вироблення основних навичок.
• Розвиваючі – розвинути увагу учнів, посидючість, наполегливість, логічне мислення, математичну мову.
• Виховні – за допомогою уроку виховувати уважне ставлення один до одного, прищеплювати вміння слухати товаришів, взаємовиручку, самостійність.
• Ввести поняття дотичної точки дотику.
• Розглянути властивість дотичної та її ознаку та показати їх застосування при вирішенні завдань у природі та техніці.

Завдання уроку

• Формувати навички у побудові дотичних за допомогою масштабної лінійки, транспортира та креслярського трикутника.
• Перевірити вміння учнів вирішувати завдання.
• Забезпечити оволодіння основними алгоритмічними прийомами побудови дотичної до кола.
• Сформувати вміння застосовувати теоретичні знання вирішення завдань.
• Розвивати мислення та мовлення учнів.
• Працювати над формуванням умінь спостерігати, помічати закономірності, узагальнювати, проводити міркування за аналогією.
• Прищеплення інтересу до математики.

План уроку

1. Поява поняття щодо.
2. Історія появи дотичної.
3. Геометричні визначення.
4. Основні теореми.
5. Побудова дотичної до кола.
6. Закріплення.

Поява поняття щодо

Поняття дотичної – одне з найдавніших у математиці. У геометрії дотичну до кола визначають як пряму, що має рівно одну точку перетину з цим колом. Стародавні за допомогою циркуля та лінійки вміли проводити дотичні до кола, а згодом – до конічних перерізів: еліпсів, гіперболів та параболів.

Історія появи дотичної

Інтерес до дотичних відродився у Новий час. Тоді були відкриті криві, яких не знали вчені давнини. Наприклад, Галілей запровадив циклоїду, а Декарт і Ферма збудували до неї дотичну. У першій третині XVII ст. Почали розуміти, що дотична – пряма, «найтісніша» до кривої в малій околиці заданої точки. Легко уявити таку ситуацію, коли не можна побудувати дотичну до кривої у цій точці (малюнок).

Геометричні визначення

Окружність- геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки, яка називається її центром.

коло.

Пов'язані визначення

• Відрізок, що з'єднує центр кола з якоюсь її точкою (а також довжина цього відрізка), називається радіусомкола.
• Частина площини, обмежена коло, називається кругом.
• Відрізок, що з'єднує дві точки кола, називається її хордий. Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром.
• Будь-які дві точки, що не збігаються, кола ділять її на дві частини. Кожна з цих частин називається дугоюкола. Мірою дуги може бути міра відповідного їй центрального кута. Дуга називається півколом, якщо відрізок, що з'єднує її кінці, є діаметром.
• Пряма, що має з колом рівно одну загальну точку, називається дотичноїдо кола, а їх загальна точка називається точкою торкання прямої та кола.
• Пряма, що проходить через дві точки кола, називається січучої.
• Центральним кутом у колі називається плоский кут з вершиною у її центрі.
• Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним кутом.
• Два кола, що мають спільний центр, називаються концентричними.

Стосовна пряма- Пряма, що проходить через точку кривої і збігається з нею в цій точці з точністю до першого порядку.

Стосовно коланазивається пряма, що має з колом одну загальну точку.

Пряма, що проходить через точку кола в тій же площині перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичною. При цьому ця точка кола називається точкою торкання.

Де в нашому випадку "а" це пряма яка є дотичною до даного кола, точка "А" є точкою дотику. При цьому а⊥ОА (пряма а перпендикулярна до радіусу ОА).

Кажуть що два кола стосуютьсяякщо вони мають єдину загальну точку. Ця точка називається точкою торкання кіл. Через точку торкання можна провести дотичну до одного з кіл, яка є одночасно і дотичною до іншого кола. Торкання кіл буває внутрішнім і зовнішнім.

Торкання називається внутрішнім, якщо центри кіл лежать по одну сторону від дотичної.

Торкання називається зовнішнім, якщо центри кіл лежать по різні боки від дотичної

а - загальна дотична до двох кіл, К - точка дотику.

Основні теореми

Теоремапро дотичну та січну

Якщо з точки, що лежить поза коло, проведено дотичну та січні, то квадрат довжини дотичної дорівнює добутку січної на її зовнішню частину: MC 2 = MA MB.

Теорема.Радіус, проведений у точку торкання кола, перпендикулярний дотичній.

Теорема.Якщо радіус перпендикулярний прямий у точці перетину нею кола, то ця пряма - дотична до цього кола.

Доведення.

Для доказу цих теорем нам треба згадати, що таке перпендикуляр із точки на пряму. Це найкоротша відстань від цієї точки до цієї прямої. Припустимо, що ОА не перпендикулярний дотичній, а є пряма ОС перпендикулярна дотичній. Довжина ОС містить у собі довжину радіуса і ще певний відрізок ВС, що, безумовно, більше радіуса. Таким чином, можна доводити для будь-якої прямої. Укладаємо, що радіус, радіус проведений у точку торкання, є найкоротшим відстанню до дотичної з точки, тобто. ОС перпендикулярний дотичній. У доказі зворотної теореми виходитимемо з того, що дотична має з колом лише одну загальну точку. Нехай дана пряма має ще одну загальну точку з колом. Трикутник АОВ прямокутний і у ньому дві сторони рівні як радіуси, чого не може. Таким чином отримуємо, що ця пряма немає більше загальних точок з окружність крім точки А, тобто. є дотичною.

Теорема.Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні, а пряма, що з'єднує цю точку з центром кола, поділяє кут між дотиками.

Доведення.

Доказ дуже простий. Використовуючи попередню теорему, стверджуємо, що ОВ перпендикулярний АВ, а ОС – АС. Прямокутні трикутники АВО і АСО рівні по катету та гіпотенузі (ОВ = ОС - радіуси, АТ - загальна). Тому рівні та його катети АВ=АС і кути ОАС і ОАВ.

Теорема.Величина кута, утвореного дотичною і хордою, що мають загальну точку на колі, дорівнює половині кутової величини дуги, укладеної між його сторонами.

Доведення.

Розглянемо кут NАВ, утворений дотичною та хордою. Проведемо діаметр АС. Дотична перпендикулярна діаметру, проведеному в точку торкання, отже, ∠CAN=90 про. Знаючи теорему, бачимо, що кут альфа (a) дорівнює половині половині кутової величини дуги ВС або половині кута ВОС. ∠NAB=90 про -a, звідси отримуємо ∠NAB=1/2(180 про -∠BOC)=1/2∠АОВ або = половині кутової величини дуги ВА. ч.т.д.

Теорема.Якщо з точки до кола проведено дотичну та січну, то квадрат відрізка дотичної від цієї точки до точки торкання дорівнює добутку довжин відрізків сіючої від цієї точки до точок її перетину з колом.

Доведення.

На малюнку ця теорема має такий вигляд: МА 2 =МВ*МС. Доведемо це. По попередній теоремі кут МАС дорівнює половині кутової величини дуги АС, але також і кут АВС дорівнює половині кутової величини дуги АС теореми, отже, ці кути рівні між собою. Зважаючи на те, що у трикутників АМС та ВМА кут при вершині М загальний, констатуємо подібність цих трикутників по двох кутах (друга ознака). З подоби маємо: МА/MB=MC/MA, звідки отримуємо МА2=МВ*МС

Побудова дотичних до кола

А тепер давайте спробуємо розібратися і дізнатися, що потрібно зробити, щоб побудувати дотичний до кола.

У цьому випадку, як правило, у задачі дається коло та точка. А нам із вами необхідно побудувати дотичну до кола так, щоб ця дотична проходила через задану точку.

Якщо нам невідоме місце розташування точки, то давайте розглянемо випадки можливого розташування точок.

По-перше, точка може бути всередині кола, який обмежений даним колом. У цьому випадку дотичну через це коло побудувати немає можливості.

У другому випадку точка знаходиться на колі, і ми можемо будувати дотичну, провівши перпендикулярну пряму до радіусу, який проведений до відомої нам точки.

По-третє, припустимо, точка знаходиться за межами кола, який обмежений колом. У цьому випадку перед тим, як побудувати дотичну, необхідно знайти точку на колі, якою має пройти дотична.

З першим випадком, я сподіваюся вам все зрозуміло, а ось для вирішення другого варіанта нам необхідно на прямій, на якій лежить радіус, збудувати відрізок. Цей відрізок повинен дорівнювати радіусу і відрізку, що лежить на колі, на протилежному боці.

Тут ми з вами бачимо, що точка на колі є серединою відрізка, що дорівнює подвоєному радіусу. Наступним етапом буде побудова двох кіл. Радіуси цих кіл будуть дорівнювати подвоєному радіусу початкового кола, з центрами в кінцях відрізка, який дорівнює подвоєному радіусу. Тепер ми можемо через будь-яку точку перетину цих кіл і задану точку провести пряму. Така пряма є серединним перпендикуляром до радіусу кола, яке було накреслено спочатку. Таким чином, ми з вами бачимо, що ця пряма перпендикулярна до кола і з цього випливає, що вона є дотичною до кола.

У третьому варіанті у нас є точка, що лежить за межами кола, який обмежений колом. У цьому випадку ми спочатку будуємо відрізок, який з'єднає центр даного кола та задану точку. А далі ми бачимо його середину. Але для цього необхідно побудувати середній перпендикуляр. А як його збудувати вам уже відомо. Потім нам потрібно накреслити коло або хоча б його частину. Тепер ми бачимо, що точка перетину заданого кола та знову побудованої і є та точка, через яку проходить дотична. Також вона проходить через точку, яка була задана за умовою завдання. І нарешті, вже через відомі вам дві точки ви можете провести пряму дотичну.

Ну і нарешті, щоб довести, те, що побудована нами пряма є дотичною, потрібно звернути увагу на кут, який був утворений радіусом кола та відрізком, відомим за умовою та що з'єднує точку перетину кіл з точкою, даною за умовою завдання. Тепер ми бачимо, що кут, що утворився, спирається на півколо. А з цього випливає, що цей кут прямий. Отже, радіус буде перпендикулярний до новозбудованої прямої, а ця пряма і є дотична.

Побудова дотичної.

Побудова дотичних – одне з завдань, які призвели до народження диференціального обчислення. Перший опублікований працю, що відноситься до диференціального обчислення і належить перу Лейбніца, мав назву «Новий метод максимумів і мінімумів, а також дотичних, для якого не є перешкодою ні дробові, ні ірраціональні величини, і особливий для цього рід обчислення».

Геометричні знання стародавніх єгиптян.

Якщо не враховувати вельми скромний внесок древніх мешканців долини між Тігром і Євфратом та Малою Азією, то геометрія зародилася в Стародавньому Єгипті до 1700 р. до н.е. Під час сезону тропічних дощів Ніл поповнював свої запаси води та розливався. Вода покривала ділянки обробленої землі, й у цілях оподаткування треба було встановити, скільки землі втрачено. Землеміри використовували як вимірювальний інструмент туго натягнуту мотузку. Ще одним стимулом накопичення геометричних знань єгиптянами стали такі види їхньої діяльності, як зведення пірамід та образотворче мистецтво.

Про рівень геометричних знань можна будувати висновки з древніх рукописів, які спеціально присвячені математиці і є чимось на кшталт підручників, чи, вірніше, задачників, де дані рішення різних практичних завдань.

Найдавніший математичний рукопис єгиптян переписаний якимсь учнем між 1800 – 1600 р.р. до н.е. з давнішого тексту. Папірус розшукав російський єгиптолог Володимир Семенович Голенищев. Він зберігається у Москві – у Музеї образотворчих мистецтв імені О.С. Пушкіна, і називається Московським папірусом.

Інший математичний папірус, написаний років на двісті-триста пізніше за Московський, зберігається в Лондоні. Він називається: „Повчання, як досягти знання всіх темних речей, усіх таємниць, які приховують у собі речі… За старими пам'ятками переписувач Ахмес написав це". Рукопис так і називають „папірусом Ахмеса", або папірусом Райнда – на ім'я англійця, який розшукав і купив цей папірус у Єгипті. У папірусі Ахмеса дається рішення 84 завдань різні обчислення, які можуть знадобитися практично.

Сікаючі, дотичні – все це сотні разів можна було чути на уроках геометрії. Але випуск зі школи позаду, минають роки, і всі ці знання забуваються. Що слід згадати?

Сутність

Термін "дотик до кола" знайомий, напевно, всім. Але навряд чи всім вдасться швидко сформулювати його визначення. Тим часом дотичною називають таку пряму, що лежить в одній площині з колом, яке перетинає її лише в одній точці. Їх може існувати безліч, але всі вони мають однакові властивості, про які йтиметься нижче. Як неважко здогадатися, точкою торкання називають те місце, де коло і пряме перетинаються. У кожному конкретному випадку вона одна, якщо їх більше, то це буде вже січна.

Історія відкриття та вивчення

Поняття дотичної з'явилося ще в давнину. Побудова цих прямих спочатку до кола, та був до еліпсів, параболам і гиперболам з допомогою лінійки і циркуля проводилося ще початкових етапах розвитку геометрії. Зрозуміло, історія не зберегла ім'я першовідкривача, але очевидно, що ще на той час людям були цілком відомі властивості щодо кола.

У Новий час інтерес до цього явища спалахнув знову - почався новий виток вивчення цього поняття у поєднанні з відкриттям нових кривих. Так, Галілей ввів поняття циклоїди, а Ферма та Декарт побудували до неї дотичну. Що ж до кіл, здається, ще для стародавніх не залишилося секретів у цій галузі.

Властивості

Радіус, проведений в точку перетину,

основна, але не єдина властивість, яка має відносну до кола. Ще одна важлива особливість включає вже дві прямі. Так, через одну точку, що лежить поза колом, можна провести дві дотичні, при цьому їх відрізки будуть рівними. Є ще одна теорема з цієї теми, проте її рідко проходять у рамках стандартного шкільного курсу, хоча для вирішення деяких завдань вона вкрай зручна. Звучить вона в такий спосіб. З однієї точки, розташованої поза колом, проведено дотичну та січну до неї. Утворюються відрізки AB, AC та AD. А - перетин прямих, B точка дотику, C і D - перетину. У цьому випадку буде справедливою наступна рівність: довжина дотичної до кола, зведена в квадрат, дорівнюватиме добутку відрізків AC і AD.

Зі сказаного вище є важливе слідство. Для кожної точки кола можна побудувати дотичну, але тільки одну. Доказ цього досить просто: теоретично опустивши на неї перпендикуляр із радіусу, з'ясовуємо, що утворений трикутник існувати не може. І це означає, що дотична – єдина.

Побудова

Серед інших завдань із геометрії є особлива категорія, як правило, не

користується любов'ю учнів та студентів. Для вирішення завдань із цієї категорії потрібні лише циркуль та лінійка. Це завдання на побудову. Є вони і на побудову дотичної.

Отже, дано коло і точка, що лежить поза її межами. І необхідно провести через них дотичну. Як це зробити? Насамперед, потрібно провести відрізок між центром кола Про та заданою точкою. Потім за допомогою циркуля слід розділити його навпіл. Щоб це зробити, необхідно задати радіус - трохи більше половини відстані між центром початкового кола та даною точкою. Після цього потрібно побудувати дві дуги, що перетинаються. Причому радіус у циркуля міняти не треба, а центром кожної частини кола будуть початкова точка і відповідно. Місця перетинів дуг потрібно з'єднати, що розділить відрізок навпіл. Задати на циркулі радіус, рівний цій відстані. Далі з центром у точці перетину побудувати ще одне коло. На ній лежатиме як початкова точка, так і О. При цьому буде ще два перетину з даним завданням колом. Саме вони і будуть точками дотику для заданої точки.

Саме побудова дотичних до кола призвела до народження.

диференціального обчислення. Першу працю з цієї теми було опубліковано відомим німецьким математиком Лейбніцем. Він передбачав можливість знаходження максимумів, мінімумів та дотичних незалежно від дробових та ірраціональних величин. Що ж, тепер воно використовується і для багатьох інших обчислень.

Крім того, дотична до кола пов'язана з геометричним змістом тангенсу. Саме від цього і походить його назва. У перекладі з латині tangens - "дотик". Таким чином, це поняття пов'язане не тільки з геометрією та диференціальним обчисленням, але і з тригонометрією.

Два кола

Не завжди дотична торкається лише однієї фігури. Якщо до одного кола можна провести безліч прямих, то чому ж не можна навпаки? Можна, можливо. Ось тільки завдання в цьому випадку серйозно ускладнюється, адже дотична до двох кіл може проходити не через будь-які точки, а взаємне розташування всіх цих фігур може бути дуже

різним.

Типи та різновиди

Коли йдеться про два кола і одну або кілька прямих, то навіть якщо відомо, що це дотичні, не відразу стає ясно, як всі ці постаті розташовані по відношенню одна до одної. Виходячи з цього, розрізняють кілька різновидів. Так, кола можуть мати одну або дві спільні точки або не мати їх зовсім. У першому випадку вони перетинатимуться, а в другому - торкатимуться. І ось тут розрізняють два різновиди. Якщо одне коло хіба що вкладено у друге, то дотик називають внутрішнім, якщо ні - зовнішнім. Зрозуміти взаємне розташування фігур можна не тільки, виходячи з креслення, але й маючи інформацію про суму їх радіусів та відстань між їхніми центрами. Якщо ці дві величини рівні, то кола стосуються. Якщо перша більше – перетинаються, а якщо менше – то не мають спільних точок.

Так само і з прямими. Для будь-яких двох кіл, що не мають спільних точок, можна

побудувати чотири дотичні. Дві з них перетинатимуться між фігурами, вони називаються внутрішніми. Пара інших – зовнішні.

Якщо йдеться про кола, які мають одну спільну точку, то завдання серйозно спрощується. Справа в тому, що за будь-якого взаємного розташування в цьому випадку дотична у них буде тільки одна. І проходитиме вона буде через точку їхнього перетину. Тож побудова проблеми не викличе.

Якщо ж фігури мають дві точки перетину, то для них може бути побудована пряма, що стосується кола як однієї, так і другої, але тільки зовнішня. Вирішення цієї проблеми аналогічне тому, що буде розглянуто далі.

Вирішення задач

Як внутрішня, так і зовнішня до двох кіл, у побудові не такі вже й прості, хоч ця проблема і вирішувана. Справа в тому, що для цього використовується допоміжна фігура, тому додуматися до такого способу самостійно

досить проблематично. Отже, дано два кола з різним радіусом та центрами О1 та О2. Для них потрібно збудувати дві пари дотичних.

Насамперед, біля центру більшого кола потрібно побудувати допоміжне. При цьому на циркулі має бути встановлена ​​різниця між радіусами двох початкових фігур. З центру меншого кола будуються дотичні до допоміжного. Після цього з О1 та О2 проводяться перепендикуляри до цих прямих до перетину з первісними фігурами. Як випливає з основної якості дотичної, шукані точки на обох колах знайдені. Завдання вирішено принаймні її перша частина.

Для того, щоб побудувати внутрішні дотичні, доведеться вирішити практично

аналогічне завдання. Знову знадобиться допоміжна фігура, проте цього разу її радіус дорівнюватиме сумі початкових. До неї будуються дотичні з центру однієї з цих кіл. Подальший хід рішення можна зрозуміти з попереднього прикладу.

Стосовно кола або навіть двох і більше - не така вже складна задача. Звичайно, математики давно перестали вирішувати подібні проблеми вручну та довіряють обчислення спеціальним програмам. Але не варто думати, що тепер необов'язково вміти робити це самостійно, адже для правильного формулювання завдання для комп'ютера потрібно багато зробити та зрозуміти. На жаль, є побоювання, що після остаточного переходу на тестову форму контролю знань завдання на побудову викликатимуть у учнів дедалі більше труднощів.

Що ж до знаходження спільних дотичних для більшої кількості кіл, це не завжди можливо, навіть якщо вони лежать в одній площині. Але в деяких випадках можна знайти таку пряму.

Приклади з життя

Загальна дотична до двох кіл часто зустрічається і на практиці, хоч це і не завжди помітно. Конвеєри, блокові системи, передавальні ремені шківів, натяг нитки в швейній машинці, та навіть просто велосипедний ланцюг - все це приклади з життя. Так що не варто думати, що геометричні завдання залишаються лише в теорії: в інженерній справі, фізиці, будівництві та багатьох інших галузях вони знаходять практичне застосування.

Геометричні побудови

Побудова дотичних до кіл

Розглянемо завдання, що лежить в основі розв'язання інших завдань на проведення дотичних до кіл.

Нехай із крапкиА(рис. 1) необхідно провести дотичні до кола з центром у точціПро.

Для точної побудови дотичних необхідно визначити точки дотику прямих до кола. Для цього точкуАслід з'єднати стіпкоюПрота розділити відрізокОАнавпіл. Із середини цього відрізка – точкиЗ, як з центру, описати коло, діаметр якого повинен дорівнювати відрізкуОА. КрапкиДо1 іДо2 перетину кіл з центром у точціЗта з центром у точціПроє точками торкання прямихАК1 іАК2 до заданого кола.

Правильність вирішення поставленого завдання підтверджується тим, що радіус кола, проведений у точку торкання, перпендикулярний до кола. КутиОК1 АіОК2 Ає прямими, оскільки спираються на діаметрАТкола з центром у точціЗ.

Мал. 1.

При побудові дотичних до двох кіл розрізняють дотичнівнутрішніізовнішні. Якщо центри заданих кіл розташовуються по одну сторону від дотичної, то її вважають зовнішньою, а якщо центри кіл знаходяться по різні боки від дотичної, - внутрішні.

Про1 іПро2 R1 іR2 . Потрібно провести зовнішні дотичні до заданих кіл.

Для точної побудови слід визначити точки торкання прямих та заданих кіл. Якщо радіуси кіл з центрамиПро1 іПро2 почати послідовно зменшувати на те саме значення, то можна отримати ряд концентричних кіл менших діаметрів. При цьому в кожному випадку зменшення радіусу до менших кіл будуть паралельні шуканим. Після зменшення обох радіусів на розмір меншого радіусуR2 коло з центромПро2 звернеться до точки, а коло з центромПро1 перетвориться на концентричну коло радіусомR3 , рівним різниці радіусівR1 іR2 .

Використовуючи описаний раніше спосіб, з точкиПро2 проведемо зовнішні дотичні до кола радіусомR3 , з'єднаємо точкиПро1 іПро2 , розділимо крапкоюЗвідрізокПро1 Про2 навпіл і проведемо радіусомСО1 дугу, перетин якої з заданим колом визначить точки торкання прямихПро2 До1 іПро2 До2 .

КрапкаА1 іА2 торкання шуканих прямих з більшим колом розташовується на продовженні прямихПро1 До1 іПро1 До2 . КрапкиУ1 іУ2 торкання прямих з меншим колом знаходяться на перпендикулярах з основоюПро2 відповідно до допоміжних дотичнихПро2 До1 іПро2 До2 . Розташовуючи точками торкання можна провести прямі шуканіА1 У1 іА2 У2 .

Мал. 2.

Нехай задані два кола з центрами в точкахПро1 іПро2 (рис. 2), що мають радіуси відповідноR1 іR2 . Потрібно провести внутрішні дотичні до заданих кіл.

Для визначення точок торкання прямих з колами використовуємо міркування, аналогічні наведеним під час вирішення попередньої задачі. Якщо зменшити радіусR2 до нуля, то коло з центромПро2 звернутися до точки. Однак у цьому випадку для збереження паралельності допоміжних дотичних з радіус шуканимиR1 слід збільшити на розмірR2 і провести коло радіусомR3 , що дорівнює сумі радіусівR1 іR2 .

З точкиПро2 проведемо дотичні до кола радіусомR3 , для чого з'єднаємо точкиПро1 іПро2 , розділимо крапкоюЗвідрізокПро1 Про2 навпіл і проведемо дугу кола з центром у точціЗта радіусомСО1 . Перетин дуги з колом радіусомR3 визначить положення точокДо1 іДо2 торкання допоміжних прямихПро2 До1 іПро2 До2 .

КрапкаА1 іА2 R1 знаходиться на перетині цього кола з відрізкомПро1 До1 іПро1 До2 . Для визначення точокВ 1іВ 2торкання шуканих прямих з колом радіусомR2 слід з точкиО2поставити перпендикуляри до допоміжних прямихО2К1іО2К2до перетину із заданим колом. Розташовуючи точками торкання прямих і заданих кіл, що шукаються, проведемо пряміА1В1іА2В2.

Мал. 3.

Пряма, що стосується кола, складає з радіусом, проведеним у точку торкання, кут 90  . Таким чином, для побудови прямої, що стосується кола в заданій точці, необхідно провести пряму перпендикулярно до радіусу.

Розглянемо деякі приклади побудови дотичних та сполучення.

П р і м е р 1

Через точку А провести пряму, що стосується кола з центром О 1

Для вирішення поставленого завдання виконаємо такі побудови:

1) з'єднаємо прямою лінією точки 1 і А;

2) з точки О 2 – середини відрізка О 1 А − проведемо допоміжне коло радіусом О 2 А до перетину із заданим колом у точці В.

Остання є точкою торкання, тому що кут АВО 1 дорівнює 90  (він спирається

на діаметр АТ 1), отже, радіус О 1 є загальною нормаллю до прямої і дуги кола в точці В.

П р і м е р 2

Побудувати загальну дотику до двох кіл з радіусами R 1 і R 2 (рис. 3.4).

Для вирішення задачі виконаємо такі побудови:

1) із центру Про 1 великого кола проведемо допоміжне коло радіусом, рівним різниці R 1 і R 2 , тобто R 1 - R 2 ;

2) до цього кола з точки Про 2 проведемо дотичну Про 2 До так, як це виконували в прикладі 1;

3) продовжимо пряму О 1 До перетину із заданим великим колом, отримаємо точку В, яка і є точкою торкання. З точки О 2 проведемо пряму паралельно О 1 до перетину прямий з колом в точці А, яка є другою точкою дотику дотичною АВ.

Мал. 3.3. Побудова дотик-

ної прямої до кола

Мал. 3.4. Побудова дотичної

до двох кіл

3.3. Сполучення двох прямих

П р і м е р 3

Побудувати сполучення двох прямих m і n радіусом, що перетинаються.

сполучення R c (рис. 3.5).

Мал. 3.5. Побудова сполучення двох прямих, що перетинаються.

опустимо перпендикуляри на задані прямі та отримаємо точки сполучення А та В; з точки радіусом R з проведемо дугу сполучення між точками А і B.

3.4. Поєднання прямої з колом (внутрішнє і зовнішнє)

П р і м е р 4

Побудувати зовнішнє та внутрішнє сполучення кола радіусом R c

з центром 1 з прямою t дугою заданого радіусу сполучення.

Д

Мал. 3.6. Побудова зовнішнього

сполучення кола та прямої

Міністерство освіти та науки Російської Федерації

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа

міста Новосибірська «Гімназія №4»

Секція: математика

ДОСЛІДНИЦЬКА РОБОТА

по темі:

ВЛАСТИВОСТІ ДВОХ ЩОДО ОКРУЖЕНЬ

Учнів 10 класу:

Хазіахметова Радика Ільдаровича

Зубарєва Євгена Володимировича

Керівник:

Л.Л. Баринова

Вчитель математики

Вищої кваліфікаційної категорії

§ 1.Введение………..………………………….…………………………………………………3

§ 1.1 Взаємне розташування двох кіл………………………...…………...………3

§ 2 Властивості та їх докази………………………………………..…………….....….…4

§ 2.1 Властивість 1………………...……………………………………..…………………...….…4

§ 2.2 Властивість 2……………………………………………………..…………………...………5

§ 2.3 Властивість 3……………………………………………………..…………………...………6

§ 2.4 Властивість 4……………………………………………………..…………………...………6

§ 2.5 Властивість 5…………………………………..……………………………………...………8

§ 2.6 Властивість 6………………………………………………..………………………...………9

§ 3 Завдання…………………………………………………..…………………...…...………..…11

Список литературы………………………………………………………………….………….13

§ 1. Вступ

Багато завдань, що включають два стосуються кола, можна вирішити більш коротко і просто, знаючи деякі властивості, які будуть представлені далі.

Взаємне розташування двох кіл

Для початку обмовимо можливе взаємне розташування двох кіл. Може бути 4 різні випадки.

1.Кільця можуть не перетинатися.

2.Пересікатися.

3. Стосуватися в одній точці зовні.

4.Торкатися в одній точці всередині.

§ 2. Властивості та їх докази

Перейдемо безпосередньо до підтвердження властивостей.

§ 2.1 Властивість 1

Відрізки між точками перетину дотичних з колами рівні між собою і дорівнюють двом середнім геометричним радіусам даних кіл.

Доведення 1. О 1 А 1 та О 2 В 1 – радіуси, проведені в точки торкання.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1 , О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1.(за пунктом 1)

1. ▲Про 1 Про 2 D – прямокутний, тому що. Про 2 D ┴ Про 2 В 1
2. О 1 О 2 = R + r, О 2 D = R - r

1. За теоремою Піфагора А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

А 2 В 2 = 2√Rr (доводиться аналогічно)

1) Проведемо радіуси в точки перетину дотичних з колами.

2) Ці радіуси будуть перпендикулярні дотичним і паралельні один до одного.

3)Опустимо перпендикуляр із центру меншого кола до радіуса більшого кола.

4) Гіпотенуза отриманого прямокутного трикутника дорівнює сумі радіусів кіл. Катет дорівнює їх різниці.

5) По теоремі Піфагора отримуємо шукане співвідношення.

§ 2.2 Властивість 2

Точки перетину прямий, що перетинає точку торкання кіл і не лежить в жодній з них, з дотичними ділять навпіл відрізки зовнішніх дотичних, обмежені точками торкання, на частини, кожна з яких дорівнює середньому геометричному радіусу даних кіл.

Доведення 1.МС= МА 1 (як відрізки дотичних)

2.МС = МВ 1 (як відрізки дотичних)

3.А 1 М = МВ 1 = √Rr , А 2 N = NB 2 = √Rr (за пунктом 1 та 2 )

Твердження, що використовуються в доказі Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до деякого кола, рівні. Використовуємо цю властивість для обох даних кіл.

§ 2.3 Властивість 3

Довжина відрізка внутрішньої дотичної, укладеного між зовнішніми дотичними, дорівнює довжині відрізка зовнішньої дотичної між точками дотику і дорівнює двом середнім геометричним радіусів даних кіл.

Доведення Цей висновок випливає з попередньої якості.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Властивість 4

Трикутник, утворений центрами, що стосуються кіл і серединою відрізка дотичної між радіусами, проведеними в точки торкання, прямокутний. Ставлення його катетів дорівнює приватному коріння радіусів цих кіл.

Доведення 1.МО 1 - бісектриса кута А 1 МС, МО 2 - бісектриса кута В ​​1 МС, т.к. центр кола, вписаного в кут лежить на бісектрисі цього кута.

2.По пункту 1 ÐО 1 МС + ÐСМО 2 = 0,5(ÐА1МС + ÐСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.О 1 МО 2 - прямий. МС - висота трикутника O 1 МО 2, т.к. дотична МN перпендикулярна до радіусів, проведених у точки дотику → трикутники О 1 МС і МО 2 С – подібні.

4.О 1 М / МО 2 = О 1 С / МС = r / √Rr = √r / R (подібно)

Твердження, що використовуються в доказі 1) Центр кола, вписаного в кут, лежить на бісектрисі цього кута. Катети трикутника є бісектрисами кутів.

2) Користуючись тим, що утворені таким чином кути рівні, отримуємо, що шуканий кут прямий, що розглядається нами. Робимо висновок про те, що цей трикутник дійсно прямокутний.

3)Доводимо подобу трикутників, на які висота (оскільки дотична перпендикулярна радіусам, проведеним у точки торкання) ділить прямокутний трикутник, і за подобою отримуємо відношення.

§ 2.5 Властивість 5

Трикутник, утворений точкою торкання кіл один з одним і точками перетину кіл з дотичною, прямокутний. Ставлення його катетів дорівнює приватному коріння радіусів цих кіл.

Доведення

1. ▲А 1 МС та ▲СМВ 1 – рівнобедрені → ?МА 1 С = ?МСА 1 = ?, ?МВ 1 С = ?МСВ 1 = ?.

1. 2α + 2β + ÐА 1 МС + ÐСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (? 1 МС + ÐСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Але ÐА 1 СВ 1 = α + β → ÐА 1 СВ 1 – прямий → ÐВ 1 СО 2 = ?

1. ▲А 1 МС та ▲СО 2 В 1 – подібні → А 1 С / СВ 1 = МС / О 2 В 1 = √Rr / R = √r / R

Твердження, що використовуються в доказі 1) Розписуємо суму кутів трикутників, користуючись тим, що вони рівнобедрені. Рівнобедренность трикутників доводиться з допомогою якості рівність відрізків дотичних.

2) Розписавши суму кутів таким чином, отримуємо, що в розглянутому трикутнику є прямий кут, отже він прямокутний. Першу частину затвердження доведено.

3) За подобою трикутників (при його обґрунтуванні користуємося ознакою подібності по двох кутах) знаходимо відношення катетів прямокутного трикутника.

§ 2.6 Властивість 6

Чотирьохкутник, утворений точками перетину кіл з дотичною, є трапецією, в яку можна вписати коло.

Доведення 1.▲А 1 РА 2 і ▲В 1 РВ 2 - рівнобедрені т.к. А 1 Р = РА 2 та В 1 Р = РВ 2 як відрізки дотичних → ▲А 1 РА 2 та ▲В 1 РВ 2 – подібні.

2.А 1 А 2 ║ В 1 В 2 т.к. рівні відповідні кути, утворені при перетині січної А 1 1.

1. MN – середня лінія за якістю 2 → А 1 А 2 + В 1 В 2 = 2MN = 4√Rr

1. А 1 В 1 + А 2 В 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = А 1 А 2 + В 1 В 2 → у трапеції А 2 А 1 В 1 В 2 сума підстав дорівнює сумі бічних сторін, а це є необхідною і достатньою умовою існування вписаного кола.

Твердження, що використовуються в доказі 1)Знову скористаємось властивістю відрізків дотичних. З його допомогою доведемо рівнобедреність трикутників, утворених точкою перетину дотичних та точками дотику.

2) З цього слідуватиме подібність даних трикутників і паралельність їх основ. На цій підставі робимо висновок, що цей чотирикутник є трапецією.

3)По доведеному нами раніше властивості(2) знаходимо середню лінію трапеції. Вона дорівнює двом середнім геометричним радіусам кіл. В отриманій трапеції сума підстав дорівнює сумі бічних сторін, а це є необхідною та достатньою умовою для існування вписаного кола.

§ 3.Завдання

Розглянемо практичному прикладі, як можна спростити вирішення завдання, використовуючи викладені вище властивості.

Завдання 1

У трикутнику АВС сторона АС=15 см. У трикутнику вписано коло. Друге коло стосується першої та сторін АВ та ВС. На стороні АВ вибрано точку F, а на боці ВС - точку М так, що відрізок FM є загальною дотичною до кіл. Знайдіть відношення площ трикутника BFM та чотирикутника АFМС, якщо FM - 4 см, а точка М віддалена від центру одного кола на відстань у два рази більша, ніж від центру іншої.

Дано: FM-загальна дотична AC=15см FM=4см O 2 M=2О 1 M

Знайти S BFM /S AFMC

Рішення:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2) 2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P і ▲BO 2 Q подібні → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP =4/3

4) FM + ВР = 16/3, S FBM = r * Р FBM = 1 * (16/3) = 16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5) S ABC = R * Р ABC = 4 * (61/3) = 244/3 → S BFM / S AFMC = (16/3): (244/3) = 4/61

Завдання 2

У рівнобедрений трикутник АВС вписані два кола з їх загальною точкою Д і проходить через цю точку загальної дотичної FK. Знайти відстань між центрами цих кіл, якщо основа трикутника АС = 9 см, а відрізок збоку трикутника укладений між точками торкання кіл дорівнює 4 см.

Дано: ABC – рівнобедрений трикутник; FK – загальна дотична вписаних кіл. АС = 9 см; NE = 4 см

Рішення:

Нехай прямі AB та CD перетинаються в точці О. Тоді ОА = ОD, ОВ = ОС, тому CD = = AB = 2√Rr

Точки О1 і О2 лежать на бісектрисі кута AOD. Бісектриса рівнобедреного трикутника AOD є його висотою, тому AD ┴ O 1 O 2 і BC ┴ O 1 O 2 , отже,

AD ║ BC та ABCD – рівнобедрена трапеція.

Відрізок MN – її середня лінія, тому AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Отже, у цю трапецію можна вписати коло.

Нехай AP – висота трапеції, прямокутні трикутники АРВ та О 1 FO 2 подібні, тому АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .

Звідси знаходимо, що

Список літератури

• Додаток до газети «Перше вересня» «Математика» №43, 2003 рік
• ЄДІ 2010. Математика. Завдання С4. Гордін Р.К.