Межа 1 x. Перша чудова межа. Безперервність функції Безперервність функції у точці
Перша чудова межа виглядає наступним чином: lim x → 0 sin x x = 1 .
У практичних прикладах часто зустрічаються модифікації першої чудової межі: lim x → 0 sin k · x k · x = 1 де k – деякий коефіцієнт.
Пояснимо: lim x → 0 sin (k · x) k · x = t = k · x і з x → 0 слід t → 0 = lim t → 0 sin (t) t = 1.
Наслідки першої чудової межі:
- lim x → 0 x sin x = lim x → 0 = 1 sin x x = 1 1 = 1
- lim x → 0 k · x sin k · x = lim x → 0 1 sin (k · x) k · x = 1 1 = 1
Зазначені слідства досить легко довести, застосувавши правило Лопіталя або заміну нескінченно малих функцій.
Розглянемо деякі завдання на знаходження межі за першою чудовою межею; дамо докладний опис рішення.
Приклад 1
Необхідно визначити межу, не використовуючи правило Лопіталя: lim x → 0 sin (3 x) 2 x .
Рішення
Підставимо значення:
lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0
Ми бачимо, що виникла невизначеність нуль ділити на нуль. Звернемося до таблиці невизначеностей, щоб задати спосіб розв'язання. Поєднання синуса та його аргументу дає нам підказку про використання першої чудової межі, проте для початку перетворимо вираз. Зробимо множення чисельника та знаменника дробу на 3 x і отримаємо:
lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0 = lim x → 0 3 x · sin (3 x) 3 x · (2 x) = lim x → 0 sin (3 x) 3 x · 3 x 2 x = = lim x → 0 3 2 · sin (3 x) 3 x
Спираючись на слідство з першої чудової межі, маємо: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 1 .
Тоді приходимо до результату:
lim x → 0 3 2 · sin (3 x) 3 x = 3 2 · 1 = 3 2
Відповідь: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 3 2 .
Приклад 2
Необхідно знайти межу lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 .
Рішення
Підставимо значення та отримаємо:
lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 1 - cos (2 · 0) 3 · 0 2 = 1 - 1 0 = 0 0
Ми бачимо невизначеність нуль ділити на нуль. Зробимо перетворення чисельника з використанням формул тригонометрії:
lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2
Бачимо, що тепер тут можливе застосування першої чудової межі:
lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2 = lim x → 0 2 3 · sin x x · sin x x = 2 3 · 1 · 1 = 2 3
Відповідь: lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 2 3 .
Приклад 3
Необхідно здійснити обчислення межі lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x .
Рішення
Підставимо значення:
lim x → 0 a rc sin (4 x) 3 x = rc sin (4 · 0) 3 · 0 = 0 0
Ми бачимо невизначеність ділити нуль на нуль. Зробимо заміну:
a r c sin (4 x) = t ⇒ sin (ar c sin (4 x)) = sin (t) 4 x = sin (t) ⇒ x = 1 4 sin (t) lim x → 0 (a r c sin (4 x) ) = a r c sin (4 · 0) = 0, отже t → 0 при x → 0 .
У такому разі, після заміни змінної, межа набуває вигляду:
lim x → 0 a r sin (4 x) 3 x = 0 0 = lim t → 0 t 3 · 1 4 sin (t) = = lim t → 0 4 3 · t sin t = 4 3 · 1 = 4 3
Відповідь: lim x → 0 a r sin (4 x) 3 x = 4 3 .
Для більш повного розуміння матеріалу статті слід повторити матеріал теми «Межі, основні визначення, приклади знаходження, завдання та рішення».
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Ця стаття: «Друга чудова межа» присвячена розкриттю в межах невизначеностей виду:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ і $^\infty $.
Так само такі невизначеності можна розкривати за допомогою логарифмування показово-ступеневої функції, але це вже інший метод рішення, про який буде висвітлено в іншій статті.
Формула та наслідки
Формуладругої чудової межі записується наступним чином: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( де ) e \approx 2.718 $$
З формули випливають слідства, які дуже зручно застосовувати для вирішення прикладів з межами: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( де ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Варто зауважити, що друга чудова межа можна застосовувати не завжди до показово-ступеневої функції, а лише у випадках коли основа прагне одиниці. Для цього спочатку в розумі обчислюють межу основи, а потім роблять висновки. Все це буде розглянуто у прикладах рішень.
Приклади рішень
Розглянемо приклади рішень із використанням прямої формули та її наслідків. Також розберемо випадки, у яких формула не потрібна. Достатньо записати лише готову відповідь.
| Приклад 1 |
| Знайти межу $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Рішення |
|
Підставимо нескінченність у межу і подивимося на невизначеність: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg(\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Знайдемо межу основи: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac(4)( x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Отримали підставу рівну одиниці, а це вже можна застосувати другий чудовий кордон. Для цього підганим основу функції під формулу шляхом віднімання та додавання одиниці: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Дивимося на друге слідство та записуємо відповідь: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача! |
| Відповідь |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Приклад 4 |
| Вирішити межу $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Рішення |
|
Знаходимо межу основи і бачимо, що $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, отже можна застосувати другу чудову межу. Стандартно за планом додаємо та віднімаємо одиницю з основи ступеня: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Підганяємо дріб під формулу 2-го зауваж. межі: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Тепер підганяємо ступінь. У ступеня має бути дріб рівний знаменнику основи $ \frac(3x^2-2)(6) $. Для цього помножимо та розділимо ступінь на неї, і продовжимо вирішувати: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Межа, розташована в ступені при $ e $ дорівнює: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0$. Тому продовжуючи рішення маємо: |
| Відповідь |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Розберемо випадки, коли завдання схоже на другу чудову межу, але вирішується без неї.
У статті: «Друга чудова межа: приклади рішень» було розібрано формулу, її наслідки та наведено часті типи завдань на цю тему.
Перша чудова межа часто застосовується для обчислення меж містять синус, арксинус, тангенс, арктангенс і невизначеностей, що виходять при них, нуль ділити на нуль.
Формула
Формула першої чудової межі має вигляд: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
Зауважуємо, що за $ \ alpha \ to 0 $ виходить $ \ sin \ alpha \ to 0 $, тим самим в числі і в знаменнику маємо нулі. Таким чином, формула першої чудової межі потрібна для розкриття невизначеностей $ \frac(0)(0) $.
Для застосування формули необхідно, щоб було дотримано двох умов:
- Вирази, що містяться в синусі та знаменнику дробу збігаються
- Вирази, що стоять у синусі та знаменнику дробу прагнуть до нуля
Увага! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Хоча вирази під синусом і в знаменнику однакові, проте $ 2x^2+1 = 1$, при $x\to 0$. Не виконана друга умова, тому застосовувати формулу НЕ МОЖНА!
Наслідки
Досить рідко у завдання можна побачити чисту першу чудову межу, в якій можна відразу було б записати відповідь. На практиці все трохи складніше виглядає, але для таких випадків буде корисно знати наслідки першої чудової межі. Завдяки їм можна швидко визначити потрібні межі.
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$
Приклади рішень
Розглянемо першу чудову межу, приклади рішення якої на обчислення меж, що містять тригонометричні функції і невизначеність $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $
| Приклад 1 |
| Обчислити $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ |
| Рішення |
|
Розглянемо межу і зауважимо, що в ньому є синус. Далі підставимо $ x = 0 $ у чисельник і знаменник і отримаємо невизначеність нуль ділити на нуль: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0) $$ Вже дві ознаки того, що потрібно застосовувати чудову межу, але є невеликий нюанс: відразу застосувати формулу ми не зможемо, тому що вираз під знаком синуса відрізняється від виразу, що стоїть у знаменнику. А нам потрібно, щоб вони були рівними. Тому за допомогою елементарних перетворень чисельника ми перетворимо його на $2x$. Для цього ми винесемо двійку із знаменника дробу окремим множником. Виглядає це так: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ Зверніть увагу , що наприкінці $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ вийшло за формулою. Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача! |
| Відповідь |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| Приклад 2 |
| Знайти $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ |
| Рішення |
|
Як завжди спочатку потрібно дізнатися про тип невизначеності. Якщо вона нуль ділити на нуль, то звертаємо увагу на наявність синуса: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Дана невизначеність дозволяє скористатися формулою першої чудової межі, але вираз із знаменника не дорівнює аргументу синуса? Тому "в лоб" застосувати формулу не можна. Необхідно помножити і розділити дріб на аргумент синуса: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^4)(x ^3+2x)) = $$ Тепер за властивостями меж розписуємо: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ Друга межа якраз підходить під формулу і дорівнює одиниці: $$ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x-x^4) = $$ Знову підставляємо $ x = 0 $ на дріб і отримуємо невизначеність $ \frac(0)(0) $. Для її усунення достатньо винести за дужки $x$ і скоротити на нього: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$ |
| Відповідь |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| Приклад 4 |
| Обчислити $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ |
| Рішення |
|
Обчислення почнемо з підстановки $x=0$. В результаті отримуємо невизначеність $\frac(0)(0)$. Межа містить синус та тангенс, що натякає на можливий розвиток ситуації з використанням формули першої чудової межі. Перетворимо чисельник і знаменник дробу під формулу та наслідок: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Тепер бачимо в чисельнику і знаменнику з'явилися вирази, що підходять під формулу і слідства. Аргумент синуса та аргумент тангенсу збігаються для відповідних знаменників $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| Відповідь |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
У статті: "Перша чудова межа, приклади рішення" було розказано про випадки, в яких доцільно використати цю формулу та її наслідки.
Тепер зі спокійною душею переходимо до розгляду чудових меж.
має вигляд .
Замість змінної х можуть бути різні функції, головне, щоб вони прагнули до 0.
Необхідно обчислити межу
Як видно, ця межа дуже схожа на першу чудову, але це не зовсім так. Взагалі, якщо Ви помічаєте в межі sin, то треба відразу подумати про те, чи можливе застосування першої чудової межі.
Згідно з нашим правилом №1 підставимо замість хнуль:
Отримуємо невизначеність.
Тепер спробуємо самостійно організувати першу чудову межу. Для цього проведемо нехитру комбінацію:
Таким чином ми організовуємо чисельник та знаменник так, щоб виділити 7х. Ось уже і виявилася знайома чудова межа. Бажано при рішенні виділяти його:
Підставимо рішення першого чудового прикладу та отримуємо:
Спрощуємо дріб:
Відповідь: 7/3.
Як бачите, все дуже просто.
Має вигляд 
, де e = 2,718281828 ... - Це ірраціональне число.
Замість змінної х можуть бути різні функції, головне, щоб вони прагнули до .
Необхідно обчислити межу
Тут ми бачимо наявність ступеня під знаком межі, отже можливе застосування другої чудової межі.
Як завжди скористаємося правилом №1 – підставимо замість х:
Видно, що з х основу ступеня , а показник – 4x > , тобто. отримуємо невизначеність виду:
Скористаємося другою чудовою межею для розкриття нашої невизначеності, але спочатку треба її організувати. Як видно - треба домогтися присутності в показнику, для чого зведемо основу в ступінь 3х, і одночасно в ступінь 1/3x, щоб вираз не змінювався:
Не забуваємо виділяти нашу чудову межу:
Ось такі справді чудові межі!
Якщо у вас залишилися якісь питання щодо першому та другому чудовим межам, то сміливо задавайте їх у коментарях.
Всім наскільки можна відповімо.
Також ви можете порозумітися з педагогом з цієї теми.
Ми раді запропонувати Вам послуги підбору кваліфікованого репетитора у Вашому місті. Наші партнери оперативно підберуть для вас хорошого викладача на вигідних для вас умовах.
Мало інформації? - Ви можете !
Можна писати математичні обчислення у блокнотах. У блокноти з логотипом (http://www.blocnot.ru) індивідуальним писати набагато приємніше.
Формула другої чудової межі має вигляд lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Інша форма запису має такий вигляд: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .
Коли говоримо про другий чудовому межі, нам доводиться мати справу з невизначеністю виду 1 ∞ , тобто. одиницею нескінченною мірою.
Розглянемо завдання, у яких нам знадобиться вміння обчислювати другу чудову межу.
Приклад 1
Знайдіть межу lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Рішення
Підставимо потрібну формулу і виконаємо обчислення.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
У нас у відповіді вийшла одиниця в міру нескінченність. Щоб визначитися з методом розв'язання, використовуємо таблицю невизначеностей. Виберемо другу чудову межу і зробимо заміну змінних.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Якщо x → ∞ , то t → - ∞ .
Подивимося, що в нас вийшло після заміни:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Відповідь: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Приклад 2
Обчисліть межу lim x → ∞ x - 1 x + 1 x.
Рішення
Підставимо нескінченність і отримаємо таке.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
У відповіді у нас знову вийшло те саме, що й у попередньому завданні, отже, ми можемо знову скористатися другою чудовою межею. Далі нам потрібно виділити в основі статечної функції цілу частину:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Після цього межа набуває наступного вигляду:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Замінюємо змінні. Припустимо, що t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1; якщо x → ∞, то t → ∞.
Після цього записуємо, що в нас вийшло у вихідній межі:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t · 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t · lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 · 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Щоб виконати це перетворення, ми використовували основні властивості меж і ступенів.
Відповідь: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e-2.
Приклад 3
Обчисліть межу lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Рішення
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Після цього нам потрібно виконати перетворення функції для застосування другої чудової межі. У нас вийшло таке:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Оскільки зараз у нас є однакові показники ступеня в чисельнику і знаменнику дробу (рівні шести), то межа дробу на нескінченності дорівнюватиме відношенню даних коефіцієнтів при старших ступенях.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
При заміні t = x 2 + 2 x 2 – 1 – 2 x 2 + 2 у нас вийде друга чудова межа. Значить, що:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Відповідь: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e-3.
Висновки
Невизначеність 1 ∞, тобто. одиниця в нескінченній мірі, є статечною невизначеністю, отже, її можна розкрити, використовуючи правила знаходження меж показово статечних функцій.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
