Дано вершини трикутника онлайн. Як навчитися вирішувати завдання з аналітичної геометрії? Типове завдання із трикутником на площині. Використання вершини трикутника

Як навчитися вирішувати завдання з аналітичної геометрії?
Типове завдання із трикутником на площині

Цей урок створено на підході до екватора між геометрією площини та геометрією простору. На даний момент назріла необхідність систематизувати напрацьовану інформацію та відповісти на дуже важливе питання: як навчитися вирішувати завдання з аналітичної геометрії?Складність полягає в тому, що задач з геометрії можна придумати нескінченно багато, і ніякий підручник не вміщує в собі безліч і різноманітність прикладів. Це не похідна функціїз п'ятьма правилами диференціювання, таблицею та кількома технічними прийомами.

Рішення є! Не говоритиму гучних слів про те, що я розробив якусь грандіозну методику, проте, на мою думку, існує ефективний підхід до цієї проблеми, що дозволяє досягти хорошої і відмінної результативності навіть повному чайнику. Принаймні загальний алгоритм вирішення геометричних завдань дуже чітко оформився в моїй голові.

ЩО НЕОБХІДНО знати та вміти
для успішного вирішення задач з геометрії?

Від цього нікуди не подітися - щоб навмання не тикати носом кнопки, потрібно освоїти ази аналітичної геометрії. Тому якщо ви тільки-но приступили до вивчення геометрії або капітально забули її, будь ласка, почніть з уроку Вектори для чайників. Окрім векторів та дій з ними, потрібно знати базові поняття геометрії площини, зокрема, рівняння прямої на площиніта . Геометрія простору представлена ​​статтями Рівняння площини, Рівняння прямої у просторі, Основні завдання на пряму та площину та деякими іншими уроками. Криві лінії та просторові поверхні другого порядку стоять деяким особняком, і специфічних завдань з ними не так багато.

Припустимо, студент вже має елементарні знання та навички вирішення найпростіших завдань аналітичної геометрії. Але ось буває так: читаєш умову завдання, і… хочеться взагалі закрити всю цю справу, закинути в дальній кут і забути, як про страшний сон. Причому це не залежить від рівня вашої кваліфікації, сам іноді стикаюся із завданнями, у яких рішення не очевидно. Як чинити в таких випадках? Не треба боятися завдання, яке вам не зрозуміле!

По перше, слід встановити – це «плоска» чи просторове завдання?Наприклад, якщо умови фігурують вектори з двома координатами, то, зрозуміло, тут геометрія площини. А якщо викладач завантажив вдячного слухача пірамідою, то тут геометрія простору. Результати першого кроку вже непогані, адже вдалося відсікти величезну кількість непотрібної для цього завдання інформації!

Друге. Умова, як правило, стурбує вас деякою геометричною фігурою. Справді, пройдіться коридорами рідного ВНЗ, і ви побачите дуже багато стурбованих осіб.

У «плоських» завданнях, не кажучи про точки і прямі, найбільш популярна фігура – ​​трикутник. Його ми розберемо докладно. Далі йде паралелограм, і значно рідше зустрічаються прямокутник, квадрат, ромб, коло, ін. фігури.

У просторових завданнях можуть літати самі плоскі фігури + самі площини і поширені трикутні піраміди з паралелепіпедами.

Питання друге – чи все ви знаєте про цю фігуру?Припустимо, в умові йдеться про рівнобедрений трикутник, а ви дуже невиразно пам'ятаєте, що це такий за трикутник. Відкриваємо шкільний підручник та читаємо про рівнобедрений трикутник. Що робити... лікар сказав ромб, отже, ромб. Аналітична геометрія є аналітичною геометрією, але завдання допоможуть вирішити геометричні властивості самих фігур, відомі нам зі шкільної програми. Якщо не знати, чому дорівнює сума кутів трикутника, то страждати можна довго.

Третє. Завжди намагайтеся виконувати креслення(на чернетці/чистовику/подумки), навіть якщо цього не потрібно за умовою. У «плоських» завданнях сам Евклід наказав взяти в руки лінійку з олівцем – і не тільки для того, щоб зрозуміти умову, а й з метою самоперевірки. При цьому найбільш зручний масштаб 1 одиниця = 1 см (2 зошити). Вже не будемо міркувати про недбайливих студентів і математиків, що обертаються в трунах – у таких завданнях зробити помилку практично неможливо. Для просторових завдань виконуємо схематичний малюнок, який також допоможе проаналізувати умову.

Креслення або схематичне креслення часто відразу дозволяє побачити шлях вирішення завдання. Звичайно, для цього потрібно знати фундамент геометрії та рубати у властивостях геометричних фігур (див. попередній пункт).

Четверте. Розробка алгоритму розв'язання. Багато завдань геометрії багатоходові, тому рішення і його оформлення дуже зручно розбивати на пункти. Нерідко алгоритм відразу ж спадає на думку, після того як ви прочитали умову або виконали креслення. У разі виникнення труднощів починаємо з ПИТАННЯ задачі. Наприклад, за умовою "потрібно побудувати пряму ...". Тут найлогічне питання таке: «А що достатньо знати, щоб побудувати цю пряму?». Припустимо, «крапка нам відома, потрібно знати напрямний вектор». Запитуємо: «Як знайти цей напрямний вектор? Звідки? і т.д.

Іноді трапляється «затик» – не вирішується завдання і тут. Причини стопора можуть бути такими:

- Серйозний прогалину в елементарних знаннях. Іншими словами, ви не знаєте чи (і) не бачите якоїсь дуже простої речі.

- Незнання властивостей геометричних фігур.

- Завдання трапилося важке. Да так буває. Немає сенсу годинами паритися і збирати сльози в хустку. Зверніться за консультацією до викладача, однокурсників або запитайте на форумі. Причому його постановку краще зробити конкретною – про ту ділянку рішення, яка вам не зрозуміла. Зову у вигляді «Як вирішити завдання?» виглядає не дуже ... і, перш за все, для вашої власної репутації.

Етап п'ятий. Вирішуємо-перевіряємо, вирішуємо-перевіряємо, вирішуємо-перевіряємо-даємо відповідь. Кожен пункт завдання вигідно перевіряти відразу після його виконання. Це допоможе негайно виявити помилку. Звичайно, ніхто не забороняє швиденько вирішувати завдання цілком, але виникає ризик переписувати все заново (часто кілька сторінок).

Ось, мабуть, всі основні міркування, якими доцільно керуватися під час вирішення завдань.

Практична частина уроку представлена ​​геометрією на площині. Прикладів буде всього два, але мало не здається =)

Пройдемося ниткою алгоритму, який я щойно розглянув у своїй маленькій науковій праці:

Приклад 1

Дано три вершини паралелограма. Знайти вершину.

Починаємо розбиратися:

Крок перший: очевидно, що йдеться про «плоский» завдання

Крок другий: у завданні йдеться про паралелограму. Чи всі пам'ятають таку фігуру паралелограм? Не треба посміхатися, чимало людей здобуває освіту в 30-40-50 і більше років, тому навіть прості факти можуть стертися з пам'яті. Визначення паралелограма зустрічається у Прикладі № 3 уроку Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів.

Крок третій: Виконаємо креслення, на якому відзначимо три відомі вершини Цікаво, що нескладно відразу побудувати шукану точку:

Побудувати це, звичайно, добре, але рішення необхідно оформити аналітично.

Крок четвертий: Розробка алгоритму рішення. Перше, що спадає на думку – точку можна знайти як перетин прямих . Їхні рівняння нам невідомі, тому доведеться зайнятися цим питанням:

1) Протилежні сторони паралельні. За точками знайдемо напрямний вектор даних сторін. Це найпростіше завдання, яке розглядалося на уроці Вектори для чайників.

Примітка: коректніше говорити «рівняння прямої, що містить сторону», але тут і далі для стислості я використовуватиму словосполучення «рівняння сторони», «напрямний вектор сторони» і т.д.

3) Протилежні сторони паралельні. По точках знайдемо напрямний вектор цих сторін.

4) Складемо рівняння прямої по точці та напрямному вектору

У пунктах 1-2 і 3-4 ми фактично двічі вирішили одне й те саме завдання, воно, до речі, розібрано у прикладі № 3 уроку Найпростіші завдання з прямою на площині. Можна було піти довшим шляхом – спочатку знайти рівняння прямих і лише потім «витягнути» з них напрямні вектори.

5) Тепер рівняння прямих відомі. Залишилося скласти та вирішити відповідну систему лінійних рівнянь (див. приклади № 4, 5 того ж уроку Найпростіші завдання з прямою на площині).

Точку знайдено.

Завдання досить проста і її рішення очевидно, але існує більш короткий шлях!

Другий спосіб вирішення:

Діагоналі паралелограма своєю точкою перетину діляться навпіл. Точку я наголосив, але щоб не захаращувати креслення самі діагоналі не провів.

Складемо рівняння сторони за точками:

Для перевірки слід подумки або на чернетці підставити координати кожної точки в отримане рівняння. Тепер знайдемо кутовий коефіцієнт. Для цього перепишемо загальне рівняння у вигляді рівняння з кутовим коефіцієнтом:

Таким чином, кутовий коефіцієнт:

Аналогічно знаходимо рівняння сторін. Не бачу особливого сенсу розписувати те саме, тому одразу наведу готовий результат:

2) Знайдемо довжину сторони. Це найпростіше завдання, розглянуте на уроці Вектори для чайників. Для точок використовуємо формулу:

За цією ж формулою легко знайти довжини інших сторін. Перевірка дуже швидко виконується звичайною лінійкою.

Використовуємо формулу .

Знайдемо вектори:

Таким чином:

До речі, принагідно ми знайшли довжини сторін.

В результаті:

Що ж, схоже на правду, для переконливості до кута можна прикласти транспортир.

Увага! Не плутайте кут трикутника із кутом між прямими. Кут трикутника може бути тупим, а кут між прямими – ні (див. останній пункт статті Найпростіші завдання з прямою на площині). Однак для знаходження кута трикутника можна використовувати і формули вищезгаданого уроку, але шорсткість полягає в тому, що формули завжди дають гострий кут. З їх допомогою я вирішив на чернетці це завдання і отримав результат. А на чистовику довелося б записувати додаткові виправдання, що .

4) Скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямої.

Стандартне завдання, детально розглянуте у прикладі № 2 уроку Найпростіші завдання з прямою на площині. Із загального рівняння прямої витягнемо напрямний вектор . Складемо рівняння прямої по точці і напрямному вектору:

Як знайти висоту трикутника?

5) Складемо рівняння висоти та знайдемо її довжину.

Від суворих визначень нікуди не подітися, тому доведеться прикрадати зі шкільного підручника:

Висотою трикутника називається перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону.

Тобто необхідно скласти рівняння перпендикуляра, проведеного з вершини до сторони . Це завдання розглянуто в прикладах № 6, 7 уроку Найпростіші завдання з прямою на площині. З рівняння знімаємо вектор нормалі. Рівняння висоти складемо по точці і напрямному вектору:

Зауважте, що координати точки нам не відомі.

Іноді рівняння висоти знаходять із співвідношення кутових коефіцієнтів перпендикулярних до прямих: . У разі , тоді: . Рівняння висоти складемо за точкою та кутовим коефіцієнтом (див. початок уроку Рівняння прямої на площині):

Довжину висоти можна знайти двома способами.

Існує манівець:

а) знаходимо - точку перетину висоти та сторони;
б) знаходимо довжину відрізка по двох відомих точках.

Але на уроці Найпростіші завдання з прямою на площинірозглядалася зручна формула відстані від точки до прямої. Крапка відома: , Рівняння прямої теж відомо: , Таким чином:

6) Обчислимо площу трикутника. У просторі площа трикутника традиційно розраховується за допомогою векторного твору векторівале тут дано трикутник на площині. Використовуємо шкільну формулу:
- Площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту.

В даному випадку:

Як знайти медіану трикутника?

7) Складемо рівняння медіани.

Медіаною трикутника називається відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

а) Знайдемо точку – середину сторони. Використовуємо формули координат середини відрізка. Відомі координати кінців відрізка: , Тоді координати середини:

Таким чином:

Рівняння медіани складемо за точками :

Щоб перевірити рівняння, потрібно встановити координати точок .

8) Знайдемо точку перетину висоти та медіани. Думаю, цей елемент фігурного катання вже навчилися виконувати без падінь:

У геометрії часто розглядають таке поняття, як «вершина трикутника». Це точка перетину двох сторін цієї постаті. Практично у кожному завдання зустрічається це поняття, тому має сенс розглянути його докладніше.

Визначення вершини трикутника

У трикутнику є три точки перетину сторін, що утворюють три кути. Їх називають вершинами, а сторони, куди вони спираються – сторонами трикутника.

Мал. 1. Вершина у трикутнику.

Вершини у трикутниках позначають великими латинськими літерами. Тому найчастіше в математиці сторони позначають двома великими латинськими літерами, за назвою вершин, що входять у сторони. Наприклад, стороною АВ називають сторону трикутника, що з'єднує вершини А і В.

Мал. 2. Позначення вершин у трикутнику.

Характеристики поняття

Якщо взяти довільно орієнтований у площині трикутник, то практично дуже зручно висловити його геометричні характеристики через координати вершин цієї постаті. Так, вершину А трикутника можна виразити точкою з певними числовими параметрами А(х; y).

Знаючи координати вершин трикутника, можна знайти точки перетину медіан, довжину висоти, опущену на одну зі сторін фігури, і площу трикутника.

Для цього використовуються властивості векторів, що зображуються в системі декартової системи координат, адже довжина сторони трикутника визначатиметься через довжину вектора з точками, де знаходяться відповідні вершини цієї фігури.

Використання вершини трикутника

При будь-якій вершині трикутника можна знайти кут, який буде суміжним внутрішньому куту розглянутої фігури. Для цього доведеться продовжити одну із сторін трикутника. Оскільки сторін при кожній вершині дві, то і зовнішніх кутів при кожній вершині два. Зовнішній кут дорівнює сумі двох внутрішніх кутів трикутника, несумежних із ним.

Мал. 3. Властивість зовнішнього кута трикутника.

Якщо побудувати при одній вершині два зовнішні кути, вони будуть рівні, як вертикальні.

Що ми дізналися?

Однією з важливих понять геометрії під час розгляду різних типів трикутників є вершина. Це точка, де перетинаються дві сторони кута цієї геометричної фігури. Її позначають однією з великих букв латинського алфавіту. Вершину трикутника можна виразити через координати x та y, це допомагає визначати довжину сторони трикутника як довжину вектора.

Тест на тему

Оцінка статті

Середня оцінка: 4.2. Усього отримано оцінок: 153.

РозділV. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ

І В ПРОСТОРІ

У розділ включені завдання, які розглядаються у темі «Аналітична геометрія на площині та у просторі»: складання різних рівнянь прямих на площині та у просторі; визначення взаємного розташування прямих на площині, прямих, прямих і площин, площин у просторі; зображення кривих другого порядку. Слід зазначити, що у розділі представлені завдання економічного змісту, під час вирішення яких застосовуються відомості з аналітичної геометрії на площині.

При вирішенні завдань аналітичної геометрії доцільно користуватися навчальними посібниками наступних авторів: Д.В. Клетеніка, Н. Ш. Кремера, Д.Т. Письмового В.І. Малихіна, т.к. у цій літературі розглядається ширше коло завдань, які можна використовувати для самостійної підготовки з цієї теми. Застосування аналітичної геометрії до вирішення економічних завдань викладено у виданнях М.С. Красса та В.І. Єрмакова.

Завдання 5.1. Дано координати вершин трикутникаАВС . Необхідно

а) написати рівняння сторін трикутника;

б) написати рівняння висоти трикутника, проведеної з вершиниЗ до сторониАВ і знайти її довжину;

в) написати рівняння медіани трикутника, проведеної з вершиниУ до сторониАС ;

г) знайти кути трикутника та встановити його вигляд (прямокутний, гострокутний, тупокутний);

д) знайти довжини сторін трикутника та визначити його тип (різносторонній, рівнобедрений, рівносторонній);

е) знайти координати центру тяжіння (точка перетину медіан) трикутникаАВС ;

ж) знайти координати ортоцентра (точка перетину висот) трикутникаАВС .

До кожного з пунктів а) – в) рішення зробити малюнки у системі координат. На малюнках позначити відповідні пункти завдання лінії та точки.

Приклад 5.1

Дано координати вершин трикутникаАВС : . Необхідно: а) написати рівняння сторін трикутника; б) написати рівняння висоти трикутника, проведеної з вершини З до сторониАВ і знайти її довжину; в) написати рівняння медіани трикутника, проведеної з вершиниУ до сторониАС ; г) знайти довжини сторін трикутника та визначити його тип (різносторонній, рівнобедрений, рівносторонній); д) знайти кути трикутника та встановити його вид (прямокутний, гострокутний, тупокутний); е) знайти координати центру тяжіння (точка перетину медіан) трикутника АВС ; ж) знайти координати ортоцентра (точка перетину висот) трикутникаАВС .

Рішення

а)Для кожної сторони трикутника відомі координати двох точок, які лежать на лініях, що шукаються, значить рівняння сторін трикутника – рівняння прямих, що проходять через дві задані точки

де
і
відповідні координати точок.

Таким чином, підставляючи у формулу (5.1) координати відповідних прямим точок отримуємо

,
,
,

звідки після перетворень записуємо рівняння сторін

На рис. 7 зобразимо відповідні сторони трикутника
прямі.

Відповідь:

б)Нехай
- Висота, проведена з вершини до сторони
. Оскільки
проходить через точку перпендикулярно вектору
, то складемо рівняння прямої за такою формулою

де
– координати вектора перпендикулярного шуканої прямої,
– координати точки, що належить цій прямій. Знайдемо координати вектора, перпендикулярного до прямої
, і підставимо у формулу (5.2)

,
,

.

Знайдемо довжину висоти CHяк відстань від точки до прямої

де
- Рівняння прямої
,
– координати точки .

У попередньому пункті було знайдено

Підставивши дані у формулу (5.3), отримаємо

,

На рис. 8 зобразимо трикутник і знайдену висоту СН.

Відповідь: .

в)медіана
трикутника
ділить бік
на рівні частини, тобто. крапка є серединою відрізка
. Виходячи з цього, можна знайти координати
крапки

де
і
і , підставивши які формули (5.4), отримаємо

;
.

Рівняння медіани
трикутника
складемо як рівняння прямої, що проходить через точки
і
за формулою (5.1)

,

.

Відповідь:(Рис. 9).

г)Довжини сторін трикутника знайдемо як довжини векторів, тобто.

,
,
.

Сторони
і
трикутника
рівні, отже, трикутник є рівнобедреним з основою
.

Відповідь:трикутник
рівнобедрений з основою
;

,
.

д)Кути трикутника
знайдемо як кути між векторами, які з відповідних вершин даного трикутника, тобто.

,
,
.

Оскільки трикутник рівнобедрений з основою
, то

,

Кути між векторами обчислимо за формулою (4.4), для якої будуть потрібні скалярні твори векторів
,
.

Знайдемо координати та модулі векторів, необхідних для обчислення кутів

,
;

,
,
.

Підставляючи знайдені дані у формулу (4.4), отримаємо

,

Оскільки значення косінусів усіх знайдених кутів позитивні, то трикутник
є гострокутним.

Відповідь:трикутник
гострокутний;

,
,
.

е)Нехай

тоді координати
крапки
можна знайти, за формулами (5.5)

де
,
і
– координати відповідно до точок , і , отже,

,
.

Відповідь:
– центр тяжкості трикутника
.

ж)Нехай – ортоцентр трикутника
. Знайдемо координати точки як координати точки перетину висот трикутника. Рівняння висоти
було знайдено у пункті б). Знайдемо рівняння висоти
:

,
,

.

Оскільки
, то рішення системи

є координатами точки звідки знаходимо
.

Відповідь:
– ортоцентр трикутника
.

Завдання 5.2. Фіксовані витрати для підприємства під час випуску деякої продукції становлятьF V 0 руб. за одиницю продукції, при цьому виручка складаєR 0 руб. за одиницю виготовленої продукції. Скласти функцію прибуткуP (q ) (q

Дані до умови завдання, що відповідають варіантам:

Приклад 5.2

Фіксовані витрати для підприємства під час випуску деякої продукції становлять
руб. на місяць, змінні витрати –
руб. за одиницю продукції, при цьому виручка складає
руб. за одиницю виготовленої продукції. Скласти функцію прибуткуP (q ) (q - Кількість виробленої продукції); побудувати її графік та визначити точку беззбитковості.

Рішення

Обчислимо сукупні витрати з виробництва під час випуску qодиниць певної продукції

Якщо буде продано qодиниць продукції, то сукупний дохід становитиме

Виходячи з отриманих функцій сукупного доходу та сукупних витрат, знайдемо функцію прибутку

,

.

Точка беззбитковості - точка, в якій прибуток дорівнює нулю, або точка, в якій сукупні витрати дорівнюють сукупному доходу

,

,

звідки знаходимо

- точка беззбитковості.

Для побудови графіка (рис. 10) функції прибутку знайдемо ще одну точку

Відповідь:функція прибутку
, точка беззбитковості
.

Завдання 5.3. Закони попиту та пропозиції на певний товар відповідно визначаються рівняннямиp = p D (q ), p = p S (q ), деp - ціна на товар,q - кількість товару. Передбачається, що попит визначається лише ціною товару над ринкомp З , а пропозиція – лише ціноюp S , одержуваної постачальниками. Необхідно

а) визначити точку ринкової рівноваги;

б) точку рівноваги після запровадження податку, рівногоt . Визначити збільшення ціни та зменшення рівноважного обсягу продажів;

в) знайти субсидіюs , яка призведе до збільшення обсягу продажу наq 0 од. щодо початкового (визначеного у пункті а));

г) знайти нову точку рівноваги та дохід уряду при введенні податку, пропорційного ціні та рівногоN %;

д) визначити, скільки грошей буде витрачено урядом на скупку надлишку при встановленні мінімальної ціни, що дорівнює p 0 .

До кожного пункту рішення зробити малюнок у системі координат. На малюнку позначити відповідні пункту завдання лінії та точки.

Дані до умови завдання, що відповідають варіантам: