Потенційне та соленоїдальне векторні поля. Визначення векторного поля. Поле градієнта. Потенційні поля, умови потенційності Встановити потенційність поля та знайти його потенціал

Теорія поля

Відома також, як векторний аналіз. А комусь векторний аналіз, відомий як теорія поля =) Нарешті ми дісталися цієї цікавої теми!

а) щоб усі розуміли, про що взагалі йдеться;

б) і щоб «чайники» навчилися вирішувати як мінімум прості речі – хоча б на рівні завдань, які пропонуються студентам-заочникам.

Весь матеріал буде викладений у популярному стилі, і якщо вам потрібна більш строга та повна інформація, то можна взяти, наприклад, 3-й том Фіхтенгольця або заглянути у Вікі.

І одразу розшифруємо заголовок. З теорією, гадаю, все зрозуміло – у найкращих традиціях сайту ми розберемо її основи та зробимо основний упор на практику. А з чим у вас асоціюється слово «поле»?

Поле з травою, футбольне поле…. Ще? Поле діяльності, полі експериментів. Вітаю гуманітаріїв! …Зі шкільного курсу? Електричне поле, магнітне, електромагнітне… так добре. Гравітаційне поле Землі, у якому ми. Чудово! Так, хто це там сказав про поле дійснихі комплексних чисел? …зовсім якісь монстри тут зібралися! =) Благо, алгебравже пройдено.

На найближчих уроках ми познайомимося зі специфічним поняттям поля, конкретними прикладами життя, а також навчимося вирішувати тематичні завдання векторного аналізу. Теорію поля найкраще вивчати, як ви правильно здогадуєтеся, на полі – природі, де є ліс, річка, озеро, сільський будиночок, і я запрошую всіх поринути якщо і не в теплу літню реальність, то в приємні спогади:

Поля у цьому сенсі бувають скалярніі векторні, і почнемо ми з їх «цеглинок».

По перше, скаляр. Часто цей термін помилково ототожнюють з числом. Ні, все трохи не так: скаляр- Це величина, кожне значення якої може бути виражене лише одним числом. У фізиці прикладів маса: довжина, ширина, площа, об'єм, щільність, температура та ін. Усе це скалярні величини. І, до речі, маса – також приклад.

По-друге, вектор. Алгебраїчне визначення вектора я торкнувся на уроці про лінійних перетворенняхта одну з його приватних іпостасей не знати просто неможливо=) Типовий векторвиражається двома або більшою кількістю чисел(своїми координатами). І навіть для одномірного вектора лише одного числа мало– з тієї причини, що вектор має ще напрямок. І точка програми, якщо вектор не вільний. Векторами характеризують силові фізичні поля, швидкість та багато інших величин.

Ну що ж, тепер можна приступити до збирання алюмінієвих огірків урожаю:

Скалярне поле

Якщо кожноюточці деякої області просторупоставлено у відповідність певне число (частіше дійсне), то кажуть, що в цій галузі поставлено скалярне поле.

Розглянемо, наприклад, що виходить із землі перпендикулярний промінь. Вставте для наочності лопату =) Які скалярні поляможна поставити на цьому промені? Перше, що напрошується – це поле висоти– коли кожній точці променя поставлено у відповідність її висота над рівнем землі. Або, наприклад, поле атмосферного тиску– тут кожній точці променя відповідає числове значення атмосферного тиску у цій точці.

Тепер підійдемо до озера і подумки проведемо над його поверхнею площину. Якщо кожній точці «водного» фрагмента площини поставити у відповідність глибину озера, будь ласка – скалярне поле задано. У цих точках можна розглянути й інші скалярні величини, наприклад, температуру поверхні води.

Найважливішою властивістю скалярного поляє його інваріантністьщодо системи координат. Якщо перекласти на людську мову, то з якого боку ми на лопату/озеро не подивилися – скалярне поле (висота, глибина, температура і т.д.)від цього не зміняться. Більше того, скалярне поле, скажімо, глибини можна задати і на іншій поверхні, наприклад, на підходящій півсфері, або безпосередньо на самій водній поверхні. А чому ні? Хіба не можна кожній точці півсфери, розташованої над озером, поставити у відповідність число? Площину я запропонував виключно заради зручності.

Додамо ще одну координату. Візьміть у руку камінь. Кожній точці цього каменю можна поставити у відповідність його фізичну щільність. І знову – в якій системі координат ми його не розглянули, як би не крутили в руці – скалярне поле щільності залишиться незмінним. Втім, деякі люди можуть оскаржити цей факт =) Такий філософський камінь.

З суто математичної точки зору (поза фізичним чи іншим приватним змістом)скалярні поля традиційно задають нашими «звичайними» функціями однієї , двох , трьохта великої кількості змінних. При цьому теорії поля в широкому ході традиційні атрибути цих функцій, такі як, область визначення, лінії та поверхні рівня.

З тривимірним простором все аналогічно:
– тут кожній допустимій точці простору ставиться у відповідність вектор із початком у цій точці. «Допустимість» визначається областями визначення функцій , і якщо кожна з них визначена при всіх «ікс», «гравець», «зет», то векторне поле буде задано у всьому просторі.

! Позначення : векторні поля також позначають буквою або , які компоненти через або відповідно.

Зі сказаного вище давно і очевидно випливає, що, щонайменше математично, скалярні і векторні поля можна визначити і в усьому просторі. Проте з відповідними фізичними прикладами я все ж таки застерігся, оскільки таких понять, як температура, гравітація(або інших) адже десьможе взагалі не існувати. Але це вже не страх, а наукова фантастика =) І не тільки фантастика. Бо всередині каміння вітер, як правило, не дме.

Слід зазначити, що деякі векторні поля (Ті ж поля швидкостей)з часом швидко змінюються, і у багатьох фізичних моделях розглядають додаткову незалежну змінну . До речі, те саме стосується й скалярних полів – температура ж справді теж не «застигла» в часі.

Однак у рамках математики ми обмежимося трійцею , і за «зустрічі» таких полів матимемо на увазі деякий фіксований час чи час, протягом якого полі не встигло змінитися.

Векторні лінії

Якщо скалярні поля описуються лініями та поверхнями рівня, то «форму» векторного поля можна охарактеризувати векторними лініями. Напевно, багато хто пам'ятає цей шкільний досвід: під аркуш паперу поміщаються магніт, а нагору (Дивимося!) висипається залізна тирса, які якраз і «вишиковуються» лініями поля.

Намагаюся сформулювати простіше: кожна точка векторної лінії є початком вектор поля, що лежить на дотичній у цій точці:

Зрозуміло, вектори лінії у загальному випадку мають різну довжину, так на наведеному малюнку, при переміщенні зліва направо їхня довжина зростає – тут можна припустити, що ми наближаємося, наприклад, до магніту. У силових фізичних полях векторні лінії так і називають силовими лініями. Інший, простіший приклад – це гравітаційне поле Землі: його силові лінії є променіз початком у центрі планети, причому вектори сили тяжіннярозташовані прямо на самих променях.

Векторні лінії швидкісних полів називаються лінями струму. Ще раз уявіть запорошену бурю – частинки пилу разом з молекулами повітря рухаються цими лініями. Аналогічно з річкою: траєкторії, якими рухаються молекули рідини (і тільки) – у сенсі і є лінії струму. Взагалі багато понять теорії поля прийшли з гідродинаміки, з чим ми ще не раз зіткнемося.

Якщо «плоське» векторне поле задано ненульовою функцією, то його силові лінії можна знайти з диференціального рівняння. Рішення цього рівняння задає сімействовекторних ліній на площині. Іноді в завданнях потрібно зобразити кілька таких ліній, що зазвичай не викликає труднощів - вибрали кілька зручних значень "це", накреслили якісь там гіперболи, та порядок.

З просторовим векторним полем ситуація цікавіша. Його силові лінії визначаються співвідношеннями. Тут потрібно вирішити систему двох диференціальних рівняньі отримати дві родини просторових поверхонь. Лінії перетину цих сімейств будуть просторовими векторними лініями. Якщо всі компоненти («пэ», «ку», «ер») відмінні від нуля, існує кілька технічних способів рішення. Я не розглядатиму всі ці способи (т.к. стаття розростеться до непристойних розмірів), а зупинюся на поширеному окремому випадку, коли одна з компонент векторного поля дорівнює нулю. Давайте відразу розпишемо всі варіанти:

якщо, то потрібно вирішити систему;
якщо, то систему;
і якщо, то.

І щось недозволено давно в нас не було практики:

Приклад 1

Знайти силові лінії векторного поля

Рішення: у цій задачі , тому вирішуємо систему:

Сенс дуже простий. Так, якщо функція задає скалярне поле глибини озера, відповідна векторна функція визначає безліч невільнихвекторів, кожен з яких вказує напрямок якнайшвидшого підйомудна в тій чи іншій точці та швидкість цього підйому.

Якщо функція задає скалярне поле температури певної області простору, відповідне векторне поле характеризує напрям і швидкість найшвидшого прогріванняпростору у кожній точці цієї області.

Розберемо загальне математичне завдання:

Приклад 3

Дано скалярне поле та крапка. Потрібно:

1) скласти градієнтну функцію скалярного поля;

Який дорівнює різниці потенціалів .

Іншими словами, у потенційному полі має значення лише початкова та кінцева точка маршруту. І якщо ці точки збігаються, то сумарна робота сил по замкнутому контуру дорівнюватиме нулю:

Давайте піднімемо пір'ячко з землі і доставимо його у вихідну точку. При цьому траєкторія нашого руху знову ж таки довільна; можна навіть кинути перо, знову підняти його і т.д.

Чому підсумковий результат нульовий?

Перо впало з точки "а" в точку "бе"? Впало. Сила тяжкості зробила роботу.

Перо потрапило назад до точки «а»? Потрапило. А це означає, що була здійснена така сама робота проти сил тяжіння, причому байдуже з якими «пригодами» і якими силами – та хоч вітер задув його назад.

Примітка : у фізиці знак «мінус» символізує протилежний напрямок

Таким чином, сумарна робота сил дорівнює нулю:

Як я вже зазначав, фізичне та обивательське поняття роботи відрізняються. І ця відмінність вам добре допоможе зрозуміти не пір'їнку і навіть не цеглу, а, наприклад, піаніно:)

Дружно підніміть піаніно і спустіть його сходами вниз. Потягайте вулицею. Скільки захочеться та де захочеться. І якщо ніхто не викликав дурню, занесіть інструмент назад. Ви попрацювали? Звичайно. До сьомого поту. Але з погляду фізики жодної роботи не здійснено.

Словосполучення «різниця потенціалів» підмиває розповісти ще про потенційне електростатичне поле, але бити струмом своїх читачів якось зовсім не гуманно =) Тим більше, прикладів – непочатий край, бо потенційним є будь-яке градієнтне поле, яких ставок ставки.

Але легко сказати «ставка»: ось дано нам векторне поле – як визначити, чи потенційно воно чи ні?

Ротор векторного поля

Або його вихроваскладова, яка також виражається векторами.

Знову візьмемо в руки перо і акуратно відправимо його в плавання річкою. Для чистоти експерименту вважатимемо, що воно однорідне та симетричне щодо свого центру. Ось стирчить нагору.

Розглянемо векторне полешвидкості течії і деяку точку водної поверхні, над якою знаходиться центр пера.

Якщо в даної точкиперо обертається проти годинникової стрілки, то поставимо їй у відповідність вихідний невільнийвектор спрямований вгору. При цьому, чим швидше обертається перо, тим довше цей вектор, … мені чомусь він уявляється таким чорним-чорним у яскравих променях сонця…. Якщо обертання відбувається за годинниковою стрілкою, то вектор «дивиться» вниз. Якщо ж перо зовсім не обертається, то вектор нульовий.

Знайомтесь - це і є вектор ротора векторного поля швидкості, він характеризує напрямок «завихрення» рідини в даної точкита кутову швидкість обертання пера (але не напрямок і не швидкість самої течії!).

Цілком зрозуміло, що роторний вектор є у всіх точок річки (у тому числі тих, які «під водою»), таким чином, векторного поля швидкості течіїми визначили нове векторне поле!

Якщо векторне поле задано функцією, то його роторне поле задається наступною векторною функцією:

При цьому, якщо вектори роторного полярічки великі за модулем і мають тенденцію змінювати напрям, то це зовсім не означає, що йдеться про звивисту і неспокійну річку (Повертаємось до прикладу). Така ситуація може спостерігатися і в прямолінійному руслі – коли, наприклад, у середині швидкість вища, а біля берегів нижча. Тобто, обертання пера породжується різними швидкостями течіїв сусідніхлініях струму.

З іншого боку, якщо роторні вектори короткі, то це може бути і гірська річка, що «петляє»! Важливо, щоб у сусідніх лініях струмушвидкість самої течії (швидкого чи повільного)відрізнялася трохи.

І, нарешті, відповідаємо на поставлене вище питання: у будь-якій точці потенційного поля його ротор дорівнює нулю.:

А точніше, нульовий вектор.

Потенційне поле також називають безвихровимполем.

"Ідеальної" течії, звичайно, не існує, але досить часто можна спостерігати, що поле швидкостірічки близькі до потенційного - пливуть собі спокійно різні предмети і не крутяться, ...ви теж уявили цю картинку? Однак, плисти вони можуть і дуже швидко, і по кривій, і то сповільнюватися, то прискорюватися – важливо, щоб швидкість течії в сусідніх лініях струму зберігалася постійною.

Ну і, звичайно, наше тлінне гравітаційне поле. Для наступного досвіду добре підійде будь-який досить важкий і однорідний предмет, наприклад, закрита книга, непочата банка пива або, до речі, цегла, яка таки дочекалася своєї години. Крутитися він не буде. А якщо й буде, то це вже ваші «особисті зусилля» або цегла попалася неправильна. Не полінуйтеся та перевірте цей факт! Тільки не кидайте нічого з вікна, це вже не перо

Після чого із чистою совістю та підвищеним тонусом можна повернутися до практичних завдань:

Приклад 5

Показати, що векторне поле є потенційним і знайти його потенціал

Рішення: умова прямо стверджує потенційність поля, і наше завдання полягає у доказі цього факту. Знайдемо роторну функцію або, як найчастіше кажуть – ротор даного поля:

Для зручності випишемо компоненти поля:

і почнемо знаходити їх приватні похідні– їх зручно «перебирати» у «роторному» порядку, зліва направо:
- І відразуперевіряємо, що (щоб не виконувати зайвої роботи у разі ненульового результату). Їдемо далі:

Таким чином:
, отже, поле потенційно, а значить, є градієнтною функцією деякого скалярного поля, заданого потенціалом.

Теорема 1. Для того, щоб векторне поле, задане в області Т, було соленоїдальним, необхідно і достатньо, щоб поле було полем ротора деякого вектора, тобто. щоб існував вектор, який у всіх точках області Т задовольняє умові

Доведення.

Достатність.Маємо

Необхідність.Нехай

Знайдемо функцію, таку, що

Нижче ми покажемо, що функція визначається неоднозначно, тому можна накласти додаткові умови на цю функцію. Нехай

Виберемо функції

Покажемо, що це функції задовольняють системі рівнянь (1). Дійсно маємо

Справді, побудована функція задовольняє умову

Функцію називають векторним потенціалом.

За доказом теореми ми запропонували метод, що дозволяє визначати векторний потенціал поля.

Якщо функція є векторним потенціалом поля, то функція

де - довільна скалярна функція, також векторний потенціал поля.

Доведення.

Отже векторний потенціал визначається неоднозначно.

Приклад 1. Показати, що поле

Рішення. Маємо.

Обчислимо

Знайдена функція є векторним потенціалом. Перевіримо це твердження, тобто. знайдемо ротор:

Умова виконана. Неважко перевірити, що векторним потенціалом цього поля може бути симетричніша функція

Приклад 2. Показати, що поле

соленоїдно і знайти векторний потенціал цього поля.

Рішення. Маємо.

Обчислимо

Перевіримо:

Умова виконана. Неважко перевірити, що векторним потенціалом цього поля можуть бути більш симетричні функції

З наведених прикладів видно, що вирази для векторного потенціалу одного й того поля можуть помітно відрізнятися. Це з тим, що до знайденого векторного потенціалу можна додати градієнт будь-якої скалярної функції.

Теоретичний матеріал з цієї теми викладено на с. 228-236 цього видання.

Приклад 30. Перевірити, чи є векторне поле

а) потенційним; б) соленоїдальним. Якщо поле є потенційним, знайти його потенціал.

Рішення.А) Знаходимо ротор поля

Отже, поле – потенційно.

Б) Знайдемо дивергенцію поля

Отже, поле не соленоїдальне.

В) Так як , то потенціал поля може бути обчислений за формулою

Криволінійний інтеграл від повного диференціалу залежить від шляху інтегрування. Тут за початкову точку зручно взяти початок координат. Як шлях інтегрування візьмемо ламану ОАВМ(Рис. 17).

1. На відрізку отже

2. На відрізку звідси

3. На відрізку звідси

Отже, де – довільна стала.

Звісно,

Завдання на контрольні роботи №5-8

Номери завдань вибираються за таблицею відповідно до останніх двох цифр шифру та першої літери прізвища. Наприклад, студент Іванов, шифр 1-45-5815, вирішує у контрольній роботі 5 задачі 5, 15, 21,31, у контрольній роботі 6 - завдання 45, 51, 61, 71, у контрольній роботі 7 - завдання 85, 91, 101, 111, у контрольній роботі 8 – завдання 125,135,141,151.

Контрольна робота №5

У задачах 1-10 знайти загальне рішення диференціального рівняння першого порядку

У задачах 11-20 знайти загальне рішення чи загальний інтеграл диференціального рівняння другого порядку

У задачах 21-30 знайти загальне рішення лінійних рівнянь другого порядку

У задачах 31-40 знайти область збіжності статечних рядів

Контрольна робота №6

У задачах 41-50 розкласти функцію до ряду Маклорена, визначити область збіжності ряду

У задачах 51-60 побудувати область інтегрування та змінити порядок інтегрування

61. Обчислити площу поверхні частини сфери , вирізаною циліндром та площиною .

62. Обчислити площу плоскої пластини, обмеженої лініями: і (поза параболами).

63. Обчислити площу поверхні циліндра, відсіченої площинами .

64. Знайти об'єм тіла, обмеженого поверхнями , , , , .

65. Знайти об'єм тіла, обмеженого поверхнями: і , що лежить у I октанті при .

66. Знайти площу плоскої пластини, обмеженою лініями , .

67. Визначити площу частини кола, що знаходиться поза коло (Використовувати полярні координати).

68. Обчислити масу однорідної плоскої пластини (),

обмеженим колом і прямими та .

69. Знайти масу пластини із щільністю , обмежену лініями , , .

70. Знайти масу пластини із щільністю , заданої нерівностями: .

У задачах 71-80 обчислити криволінійні інтеграли по кривій:

Контрольна робота №7

У задачах 81-86 розкласти функції до ряду Фур'є; побудувати графік заданої функції

81.

82.

83.

84.

85.

86.

У задачах 87, 88 розкладіть функцію в ряд Фур'є за синусами; побудуйте графік заданої функції.

87.

88.

У задачах 89,90 розкладіть функцію в ряд Фур'є по косинусах; побудуйте графік заданої функції.

89.

90.

У задачах 91-95 вирішити методом Фур'є хвильове рівняння на заданому відрізку з граничними умовами та заданими початковими умовами.

91.

93.

95.

У задачах 96-100 вирішити методом Фур'є рівняння теплопровідності на даному відрізку за заданої початкової умови та граничних умов .

96.

97.

98.

99.

100.

У задачах 101-106 обчислити потрійний інтеграл по області T, заданої нерівностями. Зробити креслення.

103.
(при обчисленні інтегралів перейдіть до циліндричних координат).

105. (при обчисленні інтегралів перейдіть до циліндричних координат).

У задачах 107-110 знайти масу тіла, заданого нерівностями та має задану щільність . Зробити креслення.

108. (При обчисленні потрійного інтеграла перейти до циліндричних координат).

110. (при обчисленні потрійного інтеграла перейти до циліндричних координат).

У задачах 111-120 обчисліть поверхневий інтеграл. Зробіть креслення поверхні.

111. де – частина площини обмежена координатними площинами.

112. - верхня сторона частини параболічного циліндра, обмежена круговим циліндром і площиною. При обчисленні інтеграла перейдіть до полярних координат.

113. - частина поверхні циліндра, обмежена площинами

114. де - частина поверхні конуса , обмежена площинами та (при обчисленні подвійного інтеграла перейдіть до полярних координат).

115. , - частина кругового циліндра, обмежена площинами.

116. - Верхня сторона частини конуса , обмеженою площинами . При обчисленні інтеграла перейти до полярних координат.

117. де - верхня сторона частини сфери . Під час обчислення подвійного інтеграла перейдіть до полярних координат.

118. де - верхня сторона частини площини обмеженою координатними площинами.

119. , - частина параболічного циліндра обмежена координатними площинами та площиною.

120. ; - верхня сторона частини кругового циліндра, обмежена круговим циліндром та площиною Перейдіть до полярних координат.

Контрольна робота № 8

У задачах 121-130 знайдіть градієнт скалярного поля та перевірте, чи скалярне поле є гармонічним.

У задачах 131-135 знайдіть потік векторного поля через частину поверхні , що лежить у першому октанті у напрямку нормалі, що утворює гострий кут з віссю. Зробіть креслення.

У задачах 136-140 обчисліть за допомогою теореми Остроградського потік векторного поля у бік зовнішньої нормалі через поверхню тіла, що лежить у першому октанті та обмеженого заданою поверхнею та координатними площинами. Зробіть креслення.

У задачах 141-150 обчисліть циркуляцію векторного поля шляхом перетину з координатними площинами тієї частини поверхні , яка лежить у першому октанті . - Точки перетину поверхні з осями відповідно. Зробіть креслення.

У задачах 141-145 обчисліть циркуляції за допомогою теореми Стокса.

У задачах 146-150 обчисліть циркуляцію за допомогою її визначення.

У задачах 151-160 перевірте, чи є векторне поле: а) потенційним, б) соленоїдальним. Якщо поле є потенційним, знайдіть його потенціал.

152.

155.

Поточний контроль

Тестові завдання

1. Визначити яке рівняння має таке рішення .

а) б) в)

2. Визначте характеристичне рівняння для диференціального рівняння

а) б) в)

3. Визначити при якому значенні буде сходитися статечний ряд за ознакою Даламбера .

4. Сформулюйте геометричну інтерпретацію подвійного інтегралу.

5. Сформулюйте геометричну інтерпретацію потрійного інтегралу.

6. Визначте ознаку потенційності векторного поля:

а Б В)

Підсумковий контроль

Питання для підготовки до іспиту з математики

(III семестр)

Диференційне рівняння

1. Визначення звичайного диференціального рівняння, його порядку та рішення. Диференціальне рівняння першого порядку, поле напрямків, ізокліни.

2. Завдання Коші для диференціального рівняння першого порядку. Теорема існування та єдиності розв'язання задачі Коші.

3. Визначення загального та приватного рішення (інтеграла) диференціального рівняння першого порядку.

4. Рівняння з змінними, що розділяються, його інтегрування.

5. Лінійне рівняння першого ладу, його інтегрування.

6. Однорідне диференціальне рівняння першого ладу, його інтегрування.

7. Диференціальне рівняння n-го порядку. Завдання Коші для диференціального рівняння n-го порядку. Теорема існування та єдиності розв'язання задачі Коші для рівняння n-го порядку.

8. Визначення загального та приватного вирішення диференціального рівняння n-го порядку. Інтегрування рівняння виду.

9. Рівняння, що допускають зниження порядку. Метод інтегрування рівняння виду , де k< n.

10. Метод інтегрування рівняння виду .

11. Визначення лінійного диференціального рівняння n-го порядку. Однорідне лінійне рівняння. Властивості розв'язків однорідного лінійного рівняння.

12. Визначення лінійно-залежних та лінійно-незалежних функцій. приклади.

13. Визначення фундаментальної системи розв'язків лінійного однорідного рівняння. Теорема про структуру загального рішення лінійного однорідного рівняння n-го порядку.

14. Теорема про структуру загального рішення лінійного неоднорідного рівняння n-го порядку.

15. Лінійне однорідне рівняння із постійними коефіцієнтами. Метод Ейлера, характеристичне рівняння.

16. Побудова фундаментальної системи рішень та загального рішення лінійного однорідного рівняння n-го порядку у разі речових різних коренів характеристичного рівняння приклад.

17. Побудова фундаментальної системи рішень та загального рішення лінійного однорідного рівняння n-го порядку у разі комплексно-сполучених коренів характеристичного рівняння приклад.

18. Побудова фундаментальної системи рішень та загального рішення лінійного однорідного рівняння n-го порядку у разі речових рівних коренів характеристичного рівняння приклад.

19. Правило знаходження приватного рішення лінійного неоднорідного рівняння з постійними коефіцієнтами, якщо права частина має вигляд , де - багаточлен ступеня.

20. Правило знаходження приватного рішення лінійного неоднорідного рівняння з постійними коефіцієнтами, якщо права частина має вигляд , де .

21. Метод розв'язання лінійного неоднорідного диференціального рівняння виду (принцип накладання).

22. Система лінійних диференціальних рівнянь у нормальній формі. Завдання Коші. Теорема існування та єдиності розв'язання задачі Коші. Визначення загального та приватного рішення системи. Метод виключення для нормальних систем диференціальних рівнянь.

23. Системи лінійних диференціальних рівнянь. Властивості рішень. Вирішення систем лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами.

Ряди

24. Числові ряди. Визначення n-ой часткової суми ряду. Поняття збіжності та розбіжності числового ряду. Сума ряду, що сходить. Геометричний ряд.

25. Властивості рядів, що сходяться: множення ряду на число, почленное складання рядів.

26. Залишок низки. Теорема про одночасної збіжності ряду та його залишку.

27. Необхідна ознака збіжності низки. Ілюстрація його недостатності з прикладу.

28. Позитивні ряди. Необхідна та достатня умова збіжності позитивного ряду.

29. Перший та другий ознаки порівняння позитивних рядів.

30. Ознака Даламбер.

31. Інтегральна ознака Коші.

32. Узагальнений гармонійний ряд , де p- Будь-яке дійсне число. Поведінка ряду при p<1, p=1, p>1.

33. Знакозмінні ряди. Абсолютна та неабсолютна збіжність. Теорема про збіжність ряду, що абсолютно сходить.

34. Ознака Лейбніца збіжності ряду, що чергується. Оцінка абсолютної похибки при заміні суми ряду, що сходить, сумою перших n

42. Біноміальний ряд для функції.

Визначення 1. Нехай А - векторне поле в області Функція називається потенціалом поля А в області, якщо в цій області

Визначення 2. Поле, що має потенціал, називається потенційним полем.

Оскільки в зв'язковій ділянці приватні похідні визначають функцію з точністю до константи, то в такій області потенціал поля визначений з точністю до адитивної постійної.

У першій частині курсу ми вже побіжно говорили про потенціал. Тут ми обговоримо це важливе поняття дещо докладніше. Зазначимо у зв'язку з даними визначеннями, що у фізиці при розгляді різного роду силових полів потенціалом поля зазвичай називають таку функцію, що такий потенціал відрізняється від введеного визначенням 1 тільки знаком.

Приклад 1. Напруженість гравітаційного поля, створюваного поміщеною на початок координат точковою масою М, у точці простору, що має радіус-вектор, обчислюється за законом Ньютона у вигляді

Це сила, з якою поле діє на одиничну масу у відповідній точці простору. Гравітаційне поле (1)

потенційно. Його потенціалом у сенсі визначення 1 є функція

Приклад 2. Напруженість Е електричного поля точкового заряду вміщеного на початку координат, у точці простору, що має радіус-вектор, обчислюється за законом Кулона