Як вирішувати дроби усі види дробів. Множення та розподіл дробів. можна познайомитися з функціями та похідними

Виходимо на битву із домашнім завданням з математики! Ворог – непокірні дроби. Програма 5 класу. Стратегічно важливе завдання пояснити дитині дробу. Поміняємося ролями з учителем і спробуємо зробити це «малою кров'ю», без нервів та у доступній формі. Навчити одного солдата набагато легше, ніж роту.

ria.ru

Як пояснити дитині дробу

Не чекайте, поки дитина піде до 5 класу і зустрінеться з дробами на сторінках підручника з математики. Відповідь на запитання "Як пояснити дитині дробу" рекомендуємо пошукати на кухні! І зробити це просто зараз! Навіть якщо вашому малюку лише 4-5 років, сенс поняття «дробі» він може усвідомити і навіть може навчитися найпростіших дій з дробами.

Ми ділили апельсин.
Багато нас, а він один
Ця часточка для їжака, ця часточка для чижа.
А для вовка – шкірка.

Пам'ятаєте вірш? Ось найочевидніший приклад і найефективніший посібник до дії! Пояснити дитині дроби найпростіше на прикладі їжі: ріжемо яблуко на половинки та четвертинки, ділимо піцу між членами сім'ї, розрізаємо буханець хліба перед обідом тощо. Головне, перед тим, як з'їсти «наочний посібник», не забудьте озвучити, яку частину від цілого ви «знищуєте».

• Введіть поняття «частки».

Зробіть акцент на тому, що ЦІЛИЙ апельсин (яблуко, шоколадка, кавун та ін.) – це 1 (позначаємо цифрою 1).

• Введіть поняття «дроб».

Апельсин чи шоколадку ми ділимо, можна ще сказати «дробимо» на кілька частин.

Покажіть дитині знайомий предмет — лінійку. Поясніть, що між числами є проміжні значення частини.

i.ytimg.com

• Поясніть, як записувати дроби: що означає чисельник, і що вказує знаменник.

Сенс поняття «дроби» та правильний запис легко показати на прикладі конструктора. У чисельнику НАД рисою пишемо якась частина, а в знаменнику ПІД рисою — на скільки таких частин було розділене ціле.

gladtolearn.ru

spacemath.xyz

Обов'язково на наочному прикладі покажіть різницю між дробами з однаковим чисельником, але різними знаменниками.

gladtolearn.ru

На прикладі 4 квадратів однакового розміру покажіть, як можна розділити їх на однакову/різну кількість частин. Нехай дитина сама розріже ножицями паперові заготовки, а потім запише за допомогою дробів результати.

gladtolearn.ru

• Поясніть, як записати ціле через дріб.

Згадайте квадрат і те, як ми ділили його на 4 частини. Квадрат це ціле, ми можемо записати його як 1. Але як записати у вигляді дробу: що в чисельнику, що в знаменнику? Якщо ми ділили квадрат на чотири частини, то цілий квадрат, це 4/4. Якщо ми ділили квадрат на 8 частин, цілий квадрат це 8/8. Але це однаково квадрат, тобто. 1. І 4/4, і 8/8 – це одиниця, ціле!

Як пояснити дитині дроби: ставимо ПРАВИЛЬНІ питання

Щоб учень 5 класу зрозумів тему «Дроби» та навчився виконувати обчислення з дробами, заглянемо у методику. Нам, батькам, важливо розуміти, як пояснює дітям дробу вчитель у школі, інакше ми можемо остаточно заплутати свого «солдата».

Дроб - це число, яке є частиною цілого предмета. Воно завжди менше одиниці.

приклад 1.Яблуко це ціле, а половинка одна друга. Вона ж менша, ніж ціле яблуко? Половинки ділимо ще раз навпіл. Кожна часточка — одна четверта від цілого яблука, і вона менша, ніж одна друга.

Дроб - це кількість частин від цілого.

приклад 2.Наприклад, до магазину одягу завезли новий товар: 30 сорочок. Продавці встигли розкласти та розвісити лише одну третину всіх сорочок із нової колекції. Скільки сорочок вони розвісили?
Дитина легко усно вважає, що третина (одна третя) - це 10 сорочок, тобто. 10 розвісили та винесли до торговельного залу, а ще 20 залишилося на складі.

ВИСНОВОК:Дробами можна вимірювати все, що завгодно, не лише шматки піци, а й літри в бочках, поголів'я диких тварин у лісі, площу тощо.

Наводьте різні приклади з життя, щоб дитина 5 класу зрозуміла СУТЬ дробів: це допоможе надалі у вирішенні завдань і виконанні обчислень з правильними і неправильними дробами, і навчання в 5 класі буде не в тягар, а в радість.

Як переконатися, що дитина засвоїла, що в записі дробів позначають числа в чисельнику і в знаменнику?

приклад 3.Запитайте, що означає 5 у дробі 4/5?

— Це скільки частин поділили.
- А що означає 4?
- Це скільки взяли.

Порівняння дробів — найскладніша тема.

приклад 4.Запропонуйте дитині сказати, який дріб більший: 3/10 чи 3/20? Здається, що разів 10 менше 20, то й відповідь очевидна, але це не так! Згадайте про квадрати, що ми розрізали на частини. Якщо два однакових за розміром квадрата розрізати — один на десять, другий на двадцять частин — відповідь очевидна? То який дріб більший?

Дії з дробами

Якщо ви бачите, що дитина добре засвоїв зміст запису у вигляді дробу, можна переходити до простих арифметичних дій із дробами. На прикладі конструктора можна зробити це дуже наочно.

Приклад 5.

edinstvennaya.ua

Приклад 6.Математичне лото на тему "Дроби".

www.kakprosto.ru

Шановні читачі, якщо ви знаєте інші ефективні методики, як пояснити дитині дробу, поділіться у коментарях. З радістю поповнимо нашу скарбничку слушних шкільних порад.

З дробами учні знайомляться ще у 5 класі. Раніше людей, які вміли чинити дії з дробами, вважали дуже розумними. Першим дробом була 1/2, тобто половина, далі з'явилися 1/3 тощо. Кілька століть приклади вважалися надто складними. Зараз же розроблені докладні правила щодо перетворення дробів, додавання, множення та інших дій. Достатньо трохи розібратися в матеріалі, і рішення даватиметься легко.

Звичайний дріб, який називають простим дробом, записується як розподіл двох чисел: m і n.

M - це ділимо, тобто чисельник дробу, а дільник n називають знаменником.

Виділяють правильні дроби (m< n) а также неправильные (m >n).

Правильна дріб менше одиниці (наприклад 5/6 — це означає, що з одиниці взято 5 елементів; 2/8 — від одиниці взято 2 частини). Неправильний дріб дорівнює або більше 1 (8/7 - одиницею буде 7/7 і плюсом взято ще одну частину).

Так, одиниця, це коли чисельник та знаменник збіглися (3/3, 12/12, 100/100 та інші).

Дії зі звичайними дробами 6 клас

З простими дробами можна робити такі дії:

• Розширювати дріб. Якщо помножити верхню та нижню частину дробу на якесь однакове число (тільки не на нуль), то значення дробу не зміниться (3/5 = 6/10 (просто помножили на 2).
• Скорочення дробів — схоже на розширення, але тут ділять на якесь число.
• Порівнювати. Якщо у двох дробів чисельники однаковими, то більшим виявиться дріб із меншим знаменником. Якщо однакові знаменники, то більше буде дріб із найбільшим чисельником.
• Виконувати додавання та віднімання. При однакових знаменниках це зробити просто (підсумовуємо верхні частини, а нижня не змінюється). При різних доведеться знайти спільний знаменник та додаткові множники.
• Помножити та розділити дроби.

Приклади дій із дробами розглянемо нижче.

Скорочені дроби 6 клас

Скоротити — означає поділити верхню і нижню частину дробу якесь однакове число.

На малюнку представлені найпростіші приклади скорочення. У першому варіанті можна відразу здогадатися, що чисельник та знаменник діляться на 2.

На замітку! Якщо число парне, воно по-любому ділиться на 2. Парні числа — це 2, 4, 6…32 8 (закінчується на парне) тощо.

У другий випадок при розподілі 6 на 18 відразу видно, що числа діляться на 2. Розділивши, отримуємо 3/9. Цей дріб ділиться ще на 3. Тоді у відповіді виходить 1/3. Якщо перемножити обидва дільники: 2 на 3, то вийде 6. Виходить, що дріб був поділений на шістку. Такий поступовий поділ називається послідовним скороченням дробу на спільні дільники.

Хтось одразу поділить на 6, комусь знадобиться поділ частинами. Головне, щоб наприкінці залишився дріб, який вже не скоротити.

Зазначимо, що якщо число складається з цифр, при додаванні яких вийде число, що ділиться на 3, то і первісне також можна скоротити на 3. Приклад: число 341. Складаємо цифри: 3 + 4 + 1 = 8 (8 на 3 не ділиться, значить, число 341 не можна скоротити на 3 без залишку). Інший приклад: 264. Складаємо: 2+6+4=12 (ділиться на 3). Отримуємо: 264: 3 = 88. Це спростить скорочення великих чисел.

Крім методу послідовного скорочення дробу загальні дільники є й інші способи.

НОД - це найбільший дільник для числа. Знайшовши НОД для знаменника та чисельника, можна відразу скоротити дріб на потрібне число. Пошук здійснюється шляхом поступового розподілу кожного числа. Далі дивляться, які дільники збігаються, якщо їх кілька (як на зображенні нижче), то потрібно перемножити.

Змішані дроби 6 клас

Усі неправильні дроби можна перетворити на змішані, виділивши в них цілу частину. Ціла кількість пишеться зліва.

Часто доводиться із неправильного дробу робити змішане число. Процес перетворення з прикладу нижче: 22/4 = 22 ділимо на 4, отримуємо 5 цілих (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Отримуємо 5 цілих і 2/4 (знаменник не змінюється). Оскільки дріб можна скоротити, то ділимо верхню та нижню частину на 2.

Змішане число легко перетворити на неправильний дріб (це необхідно при розподілі та множенні дробів). Для цього: ціле число помножимо на нижню частину дробу та додамо до цього чисельник. Готово. Знаменник не змінюється.

Обчислення з дробами 6 клас

Змішані числа можна складати. Якщо знаменники однакові, зробити це просто: складаємо цілі частини і чисельники, знаменник залишається дома.

При додаванні чисел з різними знаменниками процес складніший. Спочатку наводимо числа до одного найменшого знаменника (НОЗ).

У прикладі нижче для чисел 9 та 6 знаменником буде 18. Після цього потрібні додаткові множники. Щоб їх знайти, слід розділити 18 на 9, так знаходиться додаткове число — 2. Його множимо на чисельник 4 вийшов дріб 8/18). Те саме роблять і з другим дробом. Перетворені дроби вже складаємо (цілі числа та чисельники окремо, знаменник не змінюємо). У прикладі відповідь довелося перетворити на правильний дріб (спочатку чисельник виявився більшим за знаменник).

Зверніть увагу, що при різниці дробів алгоритм дій такий самий.

При множенні дробів важливо помістити обидві під одну межу. Якщо число змішане, то перетворюємо його на простий дріб. Далі множимо верхню та нижню частини та записуємо відповідь. Якщо видно, що дроби можна скоротити, скорочуємо відразу.

У цьому прикладі скорочувати нічого не довелося, просто записали відповідь і виділили цілу частину.

У цьому прикладі довелося скоротити числа під однією межею. Хоча скорочувати можна і готову відповідь.

При розподілі алгоритм майже такий самий. Спочатку перетворюємо змішаний дріб на неправильний, потім записуємо числа під однією рисою, замінивши поділ множенням. Не забуваємо верхню і нижню частину другого дробу поміняти місцями (це правило поділу дробів).

При необхідності скорочуємо числа (у прикладі нижче скоротили на п'ятірку та двійку). Неправильний дріб перетворимо, виділивши цілу частину.

Основні завдання на дроби 6 клас

На відео показано ще кілька завдань. Для наочності використано графічні зображення рішень, які допоможуть наочно подати дроби.

Приклади множення дробу 6 клас із поясненнями

дроби, Що Перемножуються, записуються під однією лінією. Після цього їх скорочують шляхом розподілу на ті самі числа (наприклад, 15 в знаменнику і 5 в чисельнику можна розділити на п'ятірку).

Порівняння дробів 6 клас

Щоб порівняти дроби, потрібно запам'ятати два прості правила.

Правило 1. Якщо знаменники різні

Правило 2. Коли знаменники однакові

Наприклад, порівняємо дроби 7/12 та 2/3.

1. Дивимося на знаменники, вони не збігаються. Значить, потрібно знайти загальний.
2. Для дробів загальним знаменником буде 12.
3. Ділимо 12 спочатку на нижню частину першого дробу: 12: 12 = 1 (це дод. множник для 1-го дробу).
4. Тепер 12 ділимо на 3, отримуємо 4 - дод. множник 2-го дробу.
5. Помножуємо отримані цифри на чисельники, щоб перетворити дроби: 1 х 7 = 7 (перший дріб: 7/12); 4 х 2 = 8 (другий дріб: 8/12).
6. Тепер можемо порівнювати: 7/12 та 8/12. Вийшло: 7/12< 8/12.

Щоб репрезентувати дроби краще, можна для наочності використовувати малюнки, де предмет ділиться на частини (наприклад, торт). Якщо потрібно порівняти 4/7 і 2/3, то першому випадку торт ділять на 7 частин і вибирають 4 їх. У другому ділять на 3 частини і беруть 2. Неозброєним поглядом буде зрозуміло, що 2/3 буде більше 4/7.

Приклади з дробами 6 клас для тренування

Як тренування можна виконати такі завдання.

• Порівняти дроби

• виконати множення

Порада: якщо складно знайти найменший загальний знаменник у дробів (особливо якщо значення їх невеликі), то можна перемножити знаменник першого і другого дробу. Приклад: 2/8 та 5/9. Знайти їх знаменник просто: 8 множимо на 9, вийде 72.

Розв'язання рівнянь із дробами 6 клас

У вирішенні рівнянь потрібно згадати дії з дробами: множення, розподіл, віднімання та додавання. Якщо невідомий один із множників, то добуток (підсумок) ділиться на відомий множник, тобто дроби перемножуються (другий перевертається).

Якщо невідомо ділене, то знаменник множиться на дільник, а пошуку дільника потрібно ділене розділити на приватне.

Наведемо прості приклади розв'язання рівнянь:

Тут потрібно лише зробити різницю дробів, не призводячи до спільного знаменника.

Відповідь вийшла у вигляді неправильного дробу. Її можна перетворити на 1 цілу і 3/5.

У другому способі чисельник та знаменник помножили на 4, щоб скоротити нижню частину, а не перевертати знаменник.

Простим дробом(або просто, дробом) називається частина одиниці або кілька рівних частин (часткою) одиниці.

прості дроби, чисельник, знаменник. Кільце поділено на 5 секторів. 3 із них червоні.

Знаменник дробу— Число, що показує на скільки частин розділена одиниця.

Чисельник дробу- Число, що показує кількість взятих часток.

Запис:

\[ \frac(3)(5) \]

або 3/5 (три п'яті), тут 3 - чисельник, 5 - знаменник.

Якщо чисельник менший за знаменник, то дріб менше одиниці і називається правильним:

frac(3)(5) - правильний дріб. \]

Якщо чисельник дорівнює знаменнику, дріб дорівнює одиниці.

Якщо чисельник більший за знаменник, дріб більше одиниці. В обох останніх випадках дріб називається неправильним.

Наприклад:

\[ \frac(5)(5) , \frac(17)(5) - неправильні дроби. \]

Щоб виділити найбільше ціле число, що міститься в неправильному дробі, потрібно розділити чисельник на знаменник. Якщо поділ виконується без залишку, то взятий неправильний дріб дорівнює приватному.

Наприклад:

\[ \frac(45)(5) = 45: 5 = 9 \]

Змішані числа

Якщо поділ виконується із залишком, то (неповне) приватне дає ціле число, що шукається, залишок же стає чисельником дробової частини; знаменник дробової частини залишається тим самим.

Приклад:

Даний дріб

\[ \frac(48)(5) \]

Ділимо 48 на 5. Отримуємо приватне 9 та залишок 3.

\[ \frac(48)(5) = 9 \frac(3)(5) \]

\[ 9 \frac(3)(5) \]

називається змішаним. Дробова частина змішаного числа може бути неправильним дробом.

Наприклад:

\[ 7 \frac(13)(5) \]

тоді можна з дрібної частини виділити найбільше ціле число і уявити змішане число в такому вигляді, щоб дрібна частина стала правильним дробом (або зовсім зникла).

Наприклад:

\[ 7 \frac(13)(5) = 7 + \frac(13)(5) = 7 + 2\frac(3)(5) = 9\frac(3)(5) \]

До подібного вигляду зазвичай і наводять змішані числа.

Часто доводиться (наприклад при множенні дробів) вирішувати питання зворотного характеру.

Множення та розподіл дробів.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Ця операція набагато приємніша за складання-віднімання! Бо простіше. Нагадую: щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити чисельники (це буде чисельник результату) та знаменники (це буде знаменник). Тобто:

Наприклад:

Все дуже просто. І, будь ласка, не шукайте спільного знаменника! Не треба його тут…

Щоб розділити дріб на дріб, потрібно перевернути другу(це важливо!) дріб і їх перемножити, тобто:

Наприклад:

Якщо трапилося множення чи поділ із цілими числами та дробами – нічого страшного. Як і при додаванні, робимо з цілого числа дріб з одиницею в знаменнику – і вперед! Наприклад:

У старших класах часто доводиться мати справу з триповерховими (або навіть чотириповерховими!) дробами. Наприклад:

Як цей дріб привести до пристойного вигляду? Так, дуже просто! Використовувати поділ через дві точки:

Але не забувайте про порядок розподілу! На відміну від множення, це дуже важливо! Звичайно, 4:2, або 2:4, ми не сплутаємо. А ось у триповерховому дробі легко помилитись. Зверніть увагу, наприклад:

У першому випадку (вираз зліва):

У другому (вираз праворуч):

Відчуваєте різницю? 4 та 1/9!

А чим визначається порядок розподілу? Або дужками, або (як тут) довжиною горизонтальних рис. Розвивайте окомір. А якщо немає ні дужок, ні рисок, типу:

то ділимо-множимо по порядку, зліва направо!

І ще дуже простий та важливий прийом. У діях зі ступенями він вам ох як знадобиться! Поділимо одиницю на будь-який дріб, наприклад, на 13/15:

Дріб перекинувся! І так завжди буває. При розподілі 1 на будь-який дріб, в результаті отримуємо той же дріб, тільки перевернутий.

Ось і всі події з дробами. Річ досить проста, але помилок дає більш ніж достатньо. Візьміть до уваги практичні поради, і їх (помилок) буде менше!

Практичні поради:

1. Найголовніше при роботі з дробовими виразами – акуратність та уважність! Це не загальні слова, не добрі побажання! Це сувора потреба! Усі обчислення на ЄДІ робіть як повноцінне завдання, зосереджено та чітко. Краще написати два зайві рядки в чернетці, ніж накосячіть при розрахунку в умі.

2. У прикладах з різними видами дробів – переходимо до звичайних дробів.

3. Усі дроби скорочуємо до упору.

4. Багатоповерхові дробові вирази зводимо до звичайних, використовуючи розподіл через дві точки (стежимо за порядком розподілу!).

5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.

Ось вам завдання, які потрібно обов'язково вирішувати. Відповіді наведено після всіх завдань. Використовуйте матеріали цієї теми та практичні поради. Накиньте, скільки прикладів ви змогли вирішити правильно. З першого разу! Без калькулятора! І зробіть правильні висновки...

Пам'ятайте - правильна відповідь, отриманий з другого (тим більше – третього) разу – не рахується!Таке суворе життя.

Отже, вирішуємо в режимі іспиту ! Це вже підготовка до ЄДІ, між іншим. Вирішуємо приклад, перевіряємо, вирішуємо наступний. Вирішили все – перевірили знову з першого до останнього. І тільки потімдивимося відповіді.

Обчислити:

Вирішили?

Шукаємо відповіді, які збігаються із вашими. Я спеціально їх безладно записав, подалі від спокуси, так би мовити... Ось вони, відповіді, через крапку з комою записані.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А тепер робимо висновки. Якщо все вийшло – радий за вас! Елементарні обчислення з дробами – не ваша проблема! Можна зайнятися серйознішими речами. Якщо ні...

Значить у вас одна з двох проблем. Або обидві відразу.) Нестача знань та (або) неуважність. Але це розв'язувані проблеми.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Інструкція

Спочатку згадайте що дріб – це лише умовний запис поділу одного числа на інше. У від складання і множення, при розподілі двох цілих чисел який завжди виходить ціле число. Ось і називати ці два «діляться» числа. Число, яке ділять, чисельником, а те, на яке ділять - знаменником.

Щоб записати дріб, напишіть спочатку його чисельник, потім проведіть під цим числом горизонтальну межу, а під лінією напишіть знаменник. Горизонтальна , що розділяє чисельник і знаменник, називається дробовою рисою. Іноді її зображують як похилої риси «/» чи «∕». При цьому чисельник записується зліва від риси, а знаменник праворуч. Так, наприклад, дріб «дві треті» запишеться як 2/3. Для наочності чисельник зазвичай пишуть у верхній частині рядка, а знаменник – у нижній, тобто замість 2/3 можна зустріти: ⅔.

Якщо чисельник дробу більший за його знаменник, то такий «неправильний» дріб зазвичай записують у вигляді «змішаного» дробу. Щоб отримати з неправильного дробу змішану, просто розділіть чисельник на знаменник та запишіть отримане приватне. Після чого помістіть залишок від ділення в чисельник дробу і запишіть цей дріб праворуч від приватного (знаменник не чіпайте). Наприклад, 7/3 = 2⅓.

Щоб скласти два дроби з однаковим знаменником, просто складіть їх чисельники (знаменники не чіпайте). Наприклад, 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Аналогічно робіть і віднімання двох дробів (лічильники при цьому віднімаються). Наприклад, 6/7 – 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

Щоб скласти два дроби з різними знаменниками, помножте чисельник та знаменник першого дробу на знаменник другого, а чисельник та знаменник другого дробу – на знаменник першого. У результаті ви отримаєте суму двох дробів з однаковими знаменниками, додавання яких описано в попередньому пункті.

Наприклад, 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 17/12 = 1 5/12.

Якщо знаменники дробів мають спільні дільники, тобто діляться на одне й те число, виберіть в якості загального знаменника найменше число, що ділиться на перший і другий знаменник одночасно. Так, наприклад, якщо перший знаменник дорівнює 6, а другий 8, то як спільний знаменник візьміть не їх твір (48), а число 24, яке ділиться як на 6, так і на 8. Чисельники дробів при цьому множаться на приватне від поділу спільного знаменника на знаменник кожного дробу. Наприклад, для знаменника 6 таким числом буде 4 – (24/6), а знаменника 8 – 3 (24/8). Найбільш наочно цей процес видно на конкретному прикладі:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

Віднімання дробів з різними знаменниками проводиться абсолютно аналогічно.