Funktionsdefinitionsområde med rot. Så här hittar du fältdefinitionsområdet

I varje funktion finns det två variabler - en oberoende variabel och en beroende variabel, vars värden beror på värdena för en oberoende variabel. Till exempel, i funktionen y. = f.(x.) = 2x. + y. En oberoende variabel är "x", och den beroende - "y" (med andra ord, "y" är en funktion från "x"). De tillåtna värdena för den oberoende variabeln "X" kallas fältdefinitionsområdet, och värdena för den beroende variabeln "Y" kallas funktionsvärdena.

Steg

Del 1

Bestäm vilken typ av funktioner som ges till dig. Funktionsvärdena är alla värden av "X" (deponeras längs den horisontella axeln), vilket motsvarar värdena "Y". Funktionen kan vara kvadratisk eller innehållande fraktioner eller rötter. För att hitta funktionen att definiera en funktion måste du först bestämma vilken typ av funktion.

1. Välj lämplig post för funktionsdefinitionsområdet. Definitionsområdet är skrivet i kvadrat och / eller parentes. Kvadratkonsol Den används i det fall då värdet kommer in i funktionen att bestämma funktionen. Om värdet inte ingår i definitionområdet används en rund fäste. Om funktionen har flera icke-negativa områden av definition, är "U" -symbolen inställd mellan dem.

   • Till exempel omfattar definitionområdet [-2.10) U (10.2] -2 och 2, men innehåller inte ett värde av 10.

2. Bygga graf kvadratisk funktion. Schemat för en sådan funktion är en parabola, vars grenar riktas eller uppåt, eller ner. Eftersom parabolen ökar eller minskar i hela axeln X, är området för bestämning av den kvadratiska funktionen alla giltiga nummer. Med andra ord är området för definition av en sådan funktion den uppsättning R (R betecknar alla giltiga nummer).

   • För att bättre klargöra konceptet med funktionen, välj något värde "X", ersätta det till funktionen och hitta värdet "Y". Ett par "x" och "y" -värden är en punkt med koordinater (x, y), som ligger på grafen av funktionen.
   • Applicera denna punkt på koordinatplanet och gör den beskrivna processen med ett annat värde av "X".
   • Applicera koordinatplanet flera punkter, du kommer att få allmän vy På form av ett diagram över funktionen.

3. Om funktionen innehåller en fraktion, likställer dess denominator till noll. Kom ihåg att det är omöjligt att dela till noll. Därför, vilket motsvarar denominatorn till noll, hittar du värdena "X" som inte ingår i fältdefinitionsområdet.

   • Hitta till exempel fältdefinitionsområdet f (x) \u003d (x + 1) / (x - 1).
   • Här är denominatorn: (x - 1).
   • Jämföra nämnaren till noll och hitta "x": x - 1 \u003d 0; x \u003d 1.
   • Skriv ner funktionsdefinitionsområdet. Definitionsområdet innehåller inte 1, det vill säga det innehåller alla giltiga nummer med undantag för 1. Således är funktionen att bestämma funktionen: (-∞, 1) U (1, ∞).
   • Inspelning (-∞, 1) U (1, ∞) läses så här: uppsättningen av alla giltiga nummer utom 1. Symbolen för Infinity ∞ betyder alla de faktiska siffrorna. I vårt exempel ingår alla giltiga nummer som är större än 1 och mindre än 1 i definitionområdet.

4. Om funktionen innehåller en kvadratisk rot, bör matningsuttrycket vara större än eller lika med noll. Kom ihåg att kvadratroten av negativa tal inte hämtas. Därför bör eventuellt värde av "X", där matningsuttrycket blir negativt, uteslutas från funktionen att bestämma funktionen.

   • Hitta till exempel funktionen att definiera funktionen f (x) \u003d √ (x + 3).
   • Guardian Expression: (x + 3).
   • Matningsuttrycket bör vara större än eller lika med noll: (x + 3) ≥ 0.
   • Hitta "x": x ≥ -3.
   • Definitionsområdet för denna funktion innehåller ett flertal valfria nummer som är större eller lika med -3. Således definitionområdet: [-3, ∞).

Del 2

1. Se till att du har en kvadratisk funktion. Den kvadratiska funktionen har formen: AX 2 + BX + C: F (x) \u003d 2x 2 + 3x + 4. Grafen för en sådan funktion är en parabola, vars grenar är riktade eller uppåt eller nedåt. Det finns olika metoder för att hitta området för värdena för den kvadratiska funktionen.

   • Det enklaste sättet att hitta utbudet av funktioner som innehåller roten eller fraktionen är att bygga ett diagram över en sådan funktion med en grafisk räknare.

2. Hitta koordinaten "X" -kännen i grafiken i funktionen. I fallet med en kvadratisk funktion, hitta koordinaten "X" av Peaabol-vertexet. Kom ihåg att den kvadratiska funktionen har formen: Ax 2 + BX + C. För att beräkna "X" -koordinaten, använd följande ekvation: X \u003d -B / 2A. Denna ekvation är ett derivat av den huvudsakliga kvadratfunktionen och beskriver tangenten, vars vinkellefficient är noll (tangent till toppen av parabolen parallellt med axeln X).

   • Hitta exempelvis utbudet av värden på 3x 2 + 6x -2-funktionen.
   • Beräkna koordinaten "X" av vertexparabolen: x \u003d -b / 2a \u003d -6 / (2 * 3) \u003d -1

3. Hitta koordinaten "U" The Vertices of the Function Graphics. För att göra detta, ersätt "X" -koordinatfunktionen. Den önskade koordinaten "Y" är gränsvärdet för funktionsvärdena.

   • Beräkna koordinaten "Y": Y \u003d 3x 2 + 6x - 2 \u003d 3 (-1) 2 + 6 (-1) -2 \u003d -5
   • Koordinaterna för vertexen i parabolen av denna funktion: (-1, -5).

4. Bestämma riktningen av parabolen, ersätta funktionen åtminstone ett värde "x". Välj något annat "X" -värde och ersätta det till funktionen för att beräkna motsvarande "Y" -värdet. Om det funna värdet "y" är mer koordinater för "U" parabol vertex, är parabolen riktad uppåt. Om det funna värdet "Y" är mindre än koordinatet "Y" av Peaabol-vertexet, är parabolen riktad.

   • Nämnda till funktionen x \u003d -2: y \u003d 3x 2 + 6x - 2 \u003d y \u003d 3 (-2) 2 + 6 (-2) - 2 \u003d 12 -12 -2 \u003d -2.
   • Koordinaterna för punkten som ligger på parabolen: (-2, -2).
   • De hittade koordinaterna indikerar att parabolgrenarna riktas uppåt. Således innefattar funktionsvärdena alla värden av "Y", som är större eller lika med -5.
   • Utbudet av värdena för denna funktion: [-5, ∞)

5. Funktionen hos funktionens värden är inspelad som fältdefinitionsområdet. Kvadratkonsolen används i fallet när värdet kommer in i funktionsvärdena. Om värdet inte ingår i värdena används en rund fäste. Om funktionen har flera icke-måttområden, är symbolen "U" inställd mellan dem.

   • Till exempel inkluderar värdet av [-2.10) u (10.2] -2 och 2 värden, men inkluderar inte 10.
   • Runda fästen används alltid med oändlighetssymbol ∞.

Mycket ofta, när uppgiften utförs, uppstår problemet, hur man hittar fältdefinitionsområdet? Utan det är det inte att göra utan konstruktion av grafer och med ytterligare studier av funktionens värden.

Begreppet funktionsdefinitionsområde

Funktionen att bestämma funktionen är uppsättningen av variabla värden för funktionen X, där funktionen f (x) är meningsfull. Och mer exakt kommer värdet av den variabla X-funktionen att sagas, där F (x) kan existera i verkligheten. Till exempel föreslås det att överväga fallet när funktionen inte kan existera alls. Det första fallet vi kommer att titta på när det är i uttryck. I utföringsformen, när fraktionet uppträder, måste nämnaren inte vara noll, av en enkel anledning att sådana fraktionella uttryck helt enkelt inte existerar, eftersom de så småningom leder till nollvärde och en av de gyllene aritmetiska reglerna - du kan inte dela upp noll.

Med noll räknat ut, låt oss hantera scrimonin. Vad hittar du fältdefinitionsområdet, exempel med samma fraktion och bestämmer värdet på variabeln X, vi behöver lära oss fraktion till noll, och, vilket löser denna ekvation, kommer vi att få värdet av variabeln X, vilket kommer att bli uteslutet från lösningsområdet. Det andra exemplet är när vår funktion innehåller en jämn grad rot. Här har vi fullständig handlingsfrihet, eftersom när det löser en sådan funktion får vi ett positivt svar med något underkortsnummer, vilket kommer att längre raderas från funktionen att bestämma funktionen. Vad kan inte sägas om roten i en udda examen när vi bara kan passa ett positivt guidat nummer.

Exempel på lösningar

Ett annat exempel när du behöver hitta området för datafinition av den funktion som anges av logaritmen. Det är helt enkelt här, regionen att bestämma logaritmen är alla positiva siffror. Och för att hitta värdena för variabeln är det nödvändigt att lösa ojämlikhet för denna logaritm. Där det porfmiska uttrycket kommer att vara negativt. Måste ta hänsyn till trigonometriska funktioner, nämligen Arcxinus och Arckosinus, som bestäms vid intervallet [-1: 1]. För att göra detta måste du spåra, så att det uttrycksvärde som indikeras av dessa funktioner föll i ett förutbestämt gap till oss, och allt annat djärvt utesluter från variabelns värden.

Ett exempel, hur man hittar en funktion av funktionsdefinitionen, om funktionen innehåller, till exempel en svår fraktion. Där exempelvis kommer nämnaren att se ut som en rot av Arksinus. I det här fallet är det nödvändigt att bara belysa de värden på variabeln där arxinusen kan existera, och avlägsna redan värdet av arxinus som är noll (som det kommer till detta exempel Annonsör), nästa steg är att utesluta alla negativa värden, av den enkla anledningen att de inte passar villkoret för matningsvärdet. Alla återstående värden är önskade.

Antag att vår funktion har formen Y \u003d A / B, dess definitionområde är alla värden utom noll. Värdet av numret A kan vara helt något. Till exempel, hitta området för definitionsdata y \u003d 3 / 2x-1, vi måste hitta dessa värden på x, där fraktionernas nämnaren inte kommer att nitas till oss. För att göra detta, vilket motsvarar denominatorn till noll och hitta en lösning, varefter svaret erhålls lika med 0,5 (x: 2x - 1 \u003d 0; 2x \u003d 1; x \u003d ½; x \u003d 0,5) efter detta, från regionen Funktionsdefinitioner bör uteslutas till 0,5. För att hitta fältet för definitionen av funktionen måste lösningen ta hänsyn till att detta uttryck bör vara antingen positivt eller lika med noll.

Det är nödvändigt att hitta fältdefinitionsområdet i exempel Y \u003d √3x-9, baserat på ovanstående villkor, vi omvandlar vårt uttryck i form av ojämlikhet 3x ≥ 9; x ≥ 3; 0, efter lösningen kommer vi till det värde som X är större än eller lika med 3, och vi utesluter alla dessa värden från funktionen av funktionen vid bestämning av området för bestämning av funktionen av matningsuttrycket med en Odd indikator, det är nödvändigt att ta hänsyn till att i detta fall kan värdet av x vara om matningsuttrycket inte är fraktionellt och x inte i nämnaren. Exempel: Y \u003d ³√2x-5, du kan helt enkelt ange att variabeln X kan vara ett absolut vilketEtal som helst. I hur man hittar fältdefinitionsområdet bör det inte glömma att detta nummer under logaritm måste vara positivt.

Exempel: Det är nödvändigt att hitta fältet att bestämma data för funktionen Y \u003d log2 (4x - 1). Med tanke på ovanstående tillstånd bör det beräknas att hitta värdet av denna funktion så, 4x - 1\u003e 0; Av detta följer 4x\u003e 1; x\u003e 0,25. Och fältet att bestämma denna funktion kommer att vara lika med alla värden större än 0,25.

Vissa webbplatser erbjuder att hitta fältet att definiera funktionen online och spara tid på att hitta lösningar. Mycket bekväm service, speciellt för studenter och studenter.

Funktionen med en fyrkantig rot definieras endast vid värdena "X" när det gokade uttrycket är nonnegative:. Om roten är belägen i denominatorn är tillståndet uppenbarligen härdat :. Liknande beräkningar gäller för eventuella rotor av en positiv grad: Sant, roten är redan 4: e graden i forskningsfunktioner Jag kommer inte ihåg.

Exempel 5.

Beslut: Det förflutna uttrycket bör vara nonnegative:

Innan beslutet fortsätter, påminner jag om de grundläggande arbetsreglerna med ojämlikhet, kända från skolan.

Jag är speciell uppmärksamhet! Ojämlikhet övervägs nu med en variabel - Det är bara för oss en axeldimension. Snälla förvirra inte med ojämlikheter i två variablerdär hela koordinatplanet är geometriskt inblandat. Det finns dock trevliga sammanfaller! Så, följande omvandlingar är likvärdiga för ojämlikhet:

1) Komponenterna kan överföras från en del till en del med en teckenförändring.

2) Båda delar av ojämlikhet kan multipliceras med ett positivt tal.

3) Om båda delar av ojämlikhet multipliceras med negativ nummer, då måste du ändra tecken på ojämlikheten i sig. Till exempel, om det var "mer", blir det "mindre"; Om det var "mindre eller lika" blir det "mer antingen lika."

I ojämlikheten överför vi "trojka" till höger sida av tecknet på tecknet (regel nr 1):

Multiplicera båda delarna av ojämlikhet på -1 (regel nummer 3):

Multiplicera båda delarna av ojämlikhet på (regel nummer 2):

Svar: Domän:

Svaret kan också registreras med en likvärdig fras: "Funktionen definieras när".
Geometriskt är definitionområdet avbildat genom att kläcka motsvarande intervaller på abscissa-axeln. I detta fall:

Återigen påminner jag om den geometriska betydelsen av definitionen - grafen av funktionen Det finns bara på den skuggade tomten och saknas på.

I de flesta fall är ett rent analytiskt konstaterande av definitionområdet lämpligt, men när funktionen är mycket orolig, ska axeln dras och anteckningar.

Exempel 6.

Hitta fältdefinitionsområdet

Detta är ett exempel på en oberoende lösning.

När under kvadratrot är en fyrkantig twist eller trefaldig, är situationen lite komplicerad, och nu kommer vi att analysera lösningarna i detalj:

Exempel 7.

Hitta fältdefinitionsområdet

Beslut: Matningsuttrycket bör vara strängt positivt, det vill säga vi måste lösa ojämlikhet. I det första steget försöker vi sönderdela torget till multiplikatorer:

Diskriminering är positiv och letar efter rötter:

Således parabola Abscissa-axeln är korsad vid två punkter, vilket innebär att en del av parabolen är belägen under axeln (ojämlikhet) och en del av parabolen ligger ovanför axeln (ojämlikhet vi behöver).

Eftersom koefficienten tittar grenarna av parabolen upp. Av det ovan anförda följer det att ojämlikhet utförs med intervallet (parabolgrenarna går upp till oändligheten), och Peapeabol-vertexet är beläget i intervallet under abscissaxeln, vilket motsvarar ojämlikhet:

! Notera: om du inte är helt förstådd av förklaringen, vänligen dra den andra axeln och hela parabolen! Det är lämpligt att återvända till artikeln. Diagram och egenskaper hos elementära funktioner och metoder Hot Mathematics School Course Formulas.

Observera att punkterna själva uppskattar (ingår inte i lösningen), eftersom den ojämlikhet vi har strikta.

Svar: Domän:

I allmänhet löses många ojämlikheter (inklusive de som anses) av universella intervallmetodkänd igen från skolprogram. Men i fall av kvadrat två och tre-tier, enligt min mening, är det mycket bekvämare och snabbare att analysera placeringen av parabolen i förhållande till axeln. Och huvudmetoden - intervallmetoden vi kommer att analysera i detalj i artikeln Nollfunktion. Teckenintervaller.

Exempel 8.

Hitta fältdefinitionsområdet

Detta är ett exempel på en oberoende lösning. I provet kommenteras logiken i argumentet + det andra sättet att lösa och en viktigare omvandling av ojämlikhet i detalj, utan att veta att studenten kommer att kroma ett ben ..., ... hmm ... på Kostnaden av benet, kanske, blev upphetsad, snarare - ett finger. Tumme.

Kan en funktion med kvadratrot bestämmas på hela numeriska linjen? Säker. Bekant alla personer :. Eller liknande belopp med exponentiell :. Faktum är att för någon mening "X" och "KA": Därför är det också undertryckt. Till exempel definieras funktionen på hela numeriska linjen. Funktionen har dock en enda punkt fortfarande inte i definitionområdet, eftersom de drar en nämnare till noll. Av samma anledning till funktionen Poäng är uteslutna.

Några besökare på platsen, de exempel som behandlas kommer att verka elementära och primitiva, men det finns ingen chans - först, jag försöker "skärpa" materialet för noobs, och för det andra väljer jag realistiska saker under de kommande uppgifterna: full forskning Funktioner, hitta områden med att definiera funktionen av två variableroch några andra. Allt i matematik klamrar sig till varandra. Även om älskarna av svårigheter också kommer att lämnas berövas, kommer fler solida uppgifter att träffas här, och i lektionen
om intervallmetod.