Fullständig studie av grafens funktion och konstruktion. Hur undersöker funktionen och bygger sitt schema? Utforska funktionen 1 5x

Om uppgiften är att slutföra en fullständig studie av funktionen f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 med konstruktionen av sitt schema, kontakta då denna princip i detalj.

För att lösa uppgiften för denna typ, använd egenskaperna och graferna för de viktigaste elementära funktionerna. Studiealgoritmen innehåller steg:

Hitta ett definitionfält

Eftersom forskning utförs på fältdefinitionsområdet är det nödvändigt att börja från detta steg.

Exempel 1.

Det angivna exemplet innebär grunden för denominatorns nollor för att utesluta dem från OTZ.

4 x 2 - 1 \u003d 0 x \u003d ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞.

Som ett resultat kan du få rötter, logaritmer, och så vidare. Då kan OTZ sökas efter en jämn grad av typ G (x) 4 med ojämlikhet g (x) ≥ 0, för logaritm logg A G (x) med ojämlikhet g (x)\u003e 0.

Studie av gränsgränser och hitta vertikal asymptot

Vid funktionens gränser finns det vertikala asymptoter när ensidiga gränser vid sådana punkter är oändliga.

Exempel 2.

Tänk till exempel gränspunkter som är lika med x \u003d ± 1 2.

Då är det nödvändigt att studera funktionen för att hitta en ensidig gräns. Då får vi det: LIM X → - 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · 0 \u003d + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · (+ 0) \u003d - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 0) · 2 \u003d - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (+ 0 ) · 2 \u003d + ∞

Det kan ses att ensidiga gränser är oändliga, vilket betyder rakt x \u003d ± 1 2 - vertikala asymptoter i grafen.

Forskningsfunktion och paritet eller oddhet

När tillståndet Y (- x) \u003d y (x) är nöjd, anses funktionen även. Detta tyder på att schemat är beläget symmetriskt i förhållande till O. När tillståndet Y (- x) \u003d - y (x) är uppfyllt anses funktionen udda. Det betyder att symmetri kommer i förhållande till koordinatens början. Med standard, åtminstone en ojämlikhet, får vi en gemensam funktion.

Genomförandet av jämlikheten y (- x) \u003d y (x) föreslår att funktionen är jämn. Vid konstruktion är det nödvändigt att ta hänsyn till att det kommer att finnas symmetri i förhållande till O.

För lösning av ökande och nedåtgående luckor med förhållanden f "(x) ≥ 0 och f" (x) ≤ 0.

Definition 1.

Stationära punkter- Det här är de punkter som vänder derivatet i noll.

Kritiska poäng - Det här är interna punkter från definitionområdet, där derivatet av funktionen är noll eller inte existerar.

Vid lösning är det nödvändigt att ta hänsyn till följande anmärkningar:

med förlängningarna av den ökande och nedåtgående av ojämlikheten i formen F "(x)\u003e 0 ingår inte de kritiska punkterna i lösningen.
de punkter där funktionen definieras utan ett ändligt derivat måste inkluderas i luckorna av ökande och nedåtgående (till exempel Y \u003d X3, där punkt X \u003d 0 gör den definierade funktionen, derivatet har värdet av oändligheten vid detta punkt, y "\u003d 1 3 · x 2 3, y" (0) \u003d 1 0 \u003d ∞, x \u003d 0 ingår i det ökande intervallet);
för att undvika meningsskiljaktigheter rekommenderas att använda matematisk litteratur, som rekommenderas av utbildningsdepartementet.

Inkluderingen av kritiska punkter i luckorna för att öka och nedåtgående i händelse av att de uppfyller fältdefinitionsområdena.

Definition 2.

För definitioner av luckor av ökande och nedåtgående funktion måste hittas:

derivat;
kritiska punkter;
dela definitionområdet med kritiska punkter till intervallen;
bestäm tecknet på derivatet på var och en av luckorna, där + är en ökning och är fallande.

Exempel 3.

Hitta ett derivat på definitionfältet f "(x) \u003d x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 \u003d - 2 x (4 x 2 - 1 ) 2.

Beslut

För att lösa du behöver:

hitta stationära punkter, detta exempel har x \u003d 0;
hitta zeros av denominatorn, exemplet tar värdet på noll vid x \u003d ± 1 2.

Testpunkter på den numeriska axeln för att bestämma derivatet vid varje intervall. För att göra detta är det tillräckligt att ta någon punkt från gapet och göra en beräkning. Med ett positivt resultat är grafen avbildar +, vilket innebär att man ökar funktionen och - betyder minskningen.

Till exempel, F "(- 1) \u003d - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e, det betyder att det första intervallet av vänster har ett tecken +. Tänk på en numerisk linje.

Svar:

det finns en ökning av funktionen i intervallet - ∞; - 1 2 och (- 1 2; 0];
minskning av intervallet [0; 1 2) och 1 2; + ∞.

I diagrammet med + och - positiviteten och negativiteten hos funktionen är avbildad, och skytten minskar och ökar.

Extremum Points Funktion - Punkter där funktionen definieras och genom vilken derivatet ändrar tecknet.

Exempel 4.

Om vi \u200b\u200banser ett exempel där x \u003d 0, då är funktionsvärdet i det lika med f (0) \u003d 0 2 4 · 0 2 - 1 \u003d 0. När du ändrar tecknet på derivatet med + på - och passerar genom punkten x \u003d 0, anses punkten med koordinater (0; 0) en maximal punkt. När du ändrar tecknet C - ON + får vi en minsta punkt.

Omvandling och konkavitet bestäms när man löser ojämlikheten i formuläret F "" (x) ≥ 0 och f "" (x) ≤ 0. Mindre ofta använder bulgens namn istället för konkav, och bulken upp i stället för konvexitet.

Definition 3.

För bestämning av luckorna i konkav och bulge Behöver:

hitta det andra derivatet;
hitta nollor av funktionen av det andra derivatet;
dela definitionsområdet som uppträdde på intervallen;
bestäm intervallskylten.

Exempel 5.

Hitta det andra derivatet från definitionområdet.

Beslut

f "" (x) \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "\u003d \u003d (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 \u003d 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Vi hittar Zeros av täljaren och denominatorn, där på exempel på vårt exempel har vi den nollor av denominatorn x \u003d ± 1 2

Nu måste du applicera punkter på den numeriska axeln och definiera ett tecken på det andra derivatet av varje gap. Vi får det

Svar:

funktionen är konvex från gapet - 1 2; 12;
funktionen är konkav från luckorna - ∞; - 1 2 och 1 2; + ∞.

Definition 4.

Böjningspunkt - Det är en typ av typ X 0; f (x 0). När den har tangent till funktionen av funktionen, då när den passerar genom X 0, ändrar funktionen tecknet mot motsatt.

Med andra ord är detta en sådan punkt genom vilken det andra derivatet passerar och ändrar tecknet, och i själva punkterna är lika med noll eller existerar inte. Alla punkter anses vara ett fältdefinitionsområde.

I exemplet var det klart att inflektionspunkterna är frånvarande, eftersom det andra derivatet ändrar tecknet under passande genom punkterna x \u003d ± 1 2. De ingår i sin tur inte i definitionen.

Hitta horisontella och lutande asymptoter

Vid bestämning av funktionen i oändlighet är det nödvändigt att leta efter horisontella och lutande asymptoter.

Definition 5.

Lutande asymptoterbilder är avbildade med hjälp av den direkta specificerad av ekvationen Y \u003d K x + B, där k \u003d lim x → ∞ f (x) x och b \u003d lim x → ∞ f (x) - kx.

Vid k \u003d 0 och b, inte lika med oändligheten, får vi att den lutande asymptota blir horisontell.

Med andra ord anser asymptoterna de linjer som schemat för funktionen närmar sig oändligheten. Detta bidrar till snabbkonstruktionen av funktionsgrafiken.

Om asymptoterna saknas, men funktionen bestäms på båda infinitionerna, är det nödvändigt att beräkna gränsen för funktionen på denna oändlighet, för att förstå hur själva funktionsgrafen är.

Exempel 6.

Tänk på det här exemplet

k \u003d lim x → ∞ f (x) x \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x \u003d 0 b \u003d lim x → ∞ (f (x) - kx) \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 \u003d 1 4 ⇒ y \u003d 1 4

det är horisontellt asymptota. Efter forskning kan funktionen startas för att bygga den.

Beräkna funktionsvärdet vid mellanpunkter

För att bygga schemat är det mest exakt, det rekommenderas att hitta flera funktioner i funktionen vid mellanpunkter.

Exempel 7.

Från det exempel som vi ansåg är det nödvändigt att hitta värdena på funktionen vid punkterna x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Eftersom funktionen är jämn, får vi att värdena sammanfaller med värdena vid dessa punkter, det vill säga, vi får X \u003d 2, X \u003d 1, X \u003d 3 4, X \u003d 1 4.

Vi skriver och löser:

F (- 2) \u003d f (2) \u003d 2 2 4 · 2 2 - 1 \u003d 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) \u003d 1 2 4 · 1 2 - 1 \u003d 1 3 ≈ 0 , 33 F - 3 4 \u003d F3 4 \u003d 3 4 2 4 3 4 2 - 1 \u003d 9 20 \u003d 0, 45 F - 1 4 \u003d F 1 4 \u003d 1 4 2 4 · 1 4 2 - 1 \u003d - 1 12 ≈ - 0, 08

För att bestämma maximerna och minima av funktionen, måste inflektionspunkter, mellanliggande punkter bygga asymptoter. För bekväm beteckning är luckorna att öka, minska, bulge, konkavitet spelas in. Tänk i figuren som visas nedan.

Det är nödvändigt genom de markerade punkterna att utföra linjerna i grafen, som kommer att ligga närmare Asymptotam, efter arrogorna.

Detta slutar den fullständiga studien av funktionen. Det finns fall av att konstruera några elementära funktioner för vilka geometriska transformationer används.

Om du märker ett misstag i texten, välj det och tryck på CTRL + ENTER

Utmaningen är: att fullt ut utforska funktionen och bygga sitt schema.

Varje elev gick igenom sådana uppgifter.

Ytterligare presentation innebär god kunskap. Vi rekommenderar att du kontaktar det här avsnittet när problem uppstår.

Studiealgoritmfunktionen består av följande steg.

Hitta fältdefinitionsområdet.

Detta är ett mycket viktigt steg med forskningsforskning, eftersom alla ytterligare åtgärder kommer att utföras på definitionområdet.

I vårt exempel måste du hitta Zeros av denominatorn och utesluta dem från det reella antalet nummer.

(I andra exempel kan det finnas rötter, logaritmer, etc. Minns att definitionområdet i dessa fall är följande:
För roten till en jämn grad, till exempel, - definitionsområdet är från ojämlikhet;
För logaritm - definitionsområdet är från ojämlikhet).

Studien av funktionen hos funktionen på gränsen för definitionområdet, upptäckten av vertikala asymptoter.

Vid gränserna för definitionområdet har funktionen vertikala asymptoterOm i dessa gränspunkter är oändligt.

I vårt exempel är gränspunkterna i definitionområdet.

Vi undersöker funktionen hos funktionen när de närmar sig dessa punkter till vänster och höger, för vilka vi hittar ensidiga gränser:

Eftersom de ensidiga gränserna är oändliga, är de raka linjerna vertikala asymptoter av grafen.

Forskningsfunktion för paritet eller oddhet.

Funktionen är även, Om en . Funktionens beredskap indikerar symmetrin för grafen avseende ordinatets axel.

Funktionen är udda, Om en . Funktionens noggrannhet indikerar symmetrin för grafen angående starten av koordinaterna.

Om ingen av jämställdheterna är uppfyllda, har vi en gemensam funktion.

I vårt exempel utförs jämlikhet därför vår funktion är jämn. Vi tar hänsyn till detta när vi bygger ett schema - det kommer att vara symmetriskt om Oy-axeln.

Hitta luckorna i ökande och nedåtgående funktion, extremitetspunkter.

Luckor av ökande och nedåtgående är lösningar av ojämlikheter och därmed.

Pekar i vilka derivatet blir till noll kallas stationär.

Kritisk poäng funktion Ring interna punkter i det definitionområde där derivatfunktionen är noll eller inte existerar.

KOMMENTAR (Inkluderar du kritiska punkter i luckorna i ökande och nedåtgående).

Vi kommer att inkludera kritiska punkter i luckorna i ökande och nedåtgående, om de tillhör funktionen att bestämma funktionen.

På det här sättet, För att bestämma luckorna i ökande och nedåtgående funktion

först finner vi ett derivat;
för det andra finner vi kritiska poäng;
för det tredje delar vi det bestämningsområdet med kritiska punkter till intervallen.
för det fjärde definierar vi tecknet på derivatet på var och en av intervallen. Plus-tecknet motsvarar klyftan av en ökning, minustecknet är ett fall av fallet.

Gå!

Vi finner ett derivat på definitionområdet (när det finns svårigheter, se avsnittet).

Vi hittar kritiska poäng för detta:

Vi tillämpar dessa punkter till den numeriska axeln och bestämmer tecknet på derivatet inom varje resulterande gap. Alternativt kan du ta någon punkt från gapet och beräkna värdet på derivatet vid denna tidpunkt. Om värdet är positivt sätter vi plusstorleken över det här gapet och går till nästa, om det är negativt, lägger sedan minus etc. Till exempel, Därför ovanför det första vänstra intervallet plus.

Vi sammanfattar:

Schematiskt plussar / minusar märkta luckor där derivatet är positivt / negativt. Ökande / minskande pilar visar en ökning av / nedåtgående riktning.

Points of Extremum-funktionen Dessa är punkter där funktionen definieras och passerar genom vilken derivatet ändrar tecknet.

I vårt exempel är extremt punkten punkt x \u003d 0. Värdet på funktionen vid denna tidpunkt är . Eftersom derivatet ändrar skylten från plus till minus när du passerar genom punkten x \u003d 0, är \u200b\u200b(0; 0) en lokal maxpunkt. (Om derivatet ändrade ett tecken från en minus på plus, skulle vi ha en lokal minsta punkt).

Hitta intervallet för konvexiteten och inflexibiliteten hos flöjtens funktion och punkter.

Gålarna i konkaviteten och konvexiteten av funktionen är under lösningar av ojämlikheter och därigenom.

Ibland kallas konkaviteten konvexitet, och bulgen är att konvexa upp.

Det finns också kommentarer som liknar kommentarer från det att öka och nedåtgående luckor.

På det här sättet, för att bestämma luckorna i konkaviteten och konvexiteten av funktionen:

först finner vi det andra derivatet;
för det andra hittar vi nollor av numeratorn och nämnaren av det andra derivatet;
för det tredje delar vi bestämningen av de erhållna punkterna till intervallen.
för det fjärde definierar vi tecknet på det andra derivatet på var och en av intervallen. Plus-tecknet motsvarar det konkava klyftan, "minus" -tecknet är absorptionsgapet.

Gå!

Vi finner det andra derivatet på definitionen.

I vårt exempel Zeros numerator Nej, Zeros av denominatorn.

Vi tillämpar dessa punkter på den numeriska axeln och bestämmer tecknet på det andra derivatet inom varje resulterande gap.

Vi sammanfattar:

Punkt kallas BöjningspunktOm det vid denna tidpunkt är en tangent till funktionen hos funktionen och den andra derivatfunktionen ändrar tecknet när det passerar.

Med andra ord kan injektorerna vara punkter, som passerar genom vilka det andra derivatet ändrar tecknet, i punkterna själva eller lika med noll eller inte existerar, men dessa punkter ingår i funktionsdefinitionsområdet.

I vårt exempel finns det ingen böjningspunkt, eftersom det andra derivatet ändrar tecknet som passerar genom punkterna, och de ingår inte i fältdefinitionsområdet.

Hitta horisontella och lutande asymptoter.

Horisontella eller lutande asymptoter bör endast ses när funktionen är definierad på oändligheten.

Lutande asymptoter sökte i form av direkt, där och .

Om en k \u003d 0 och b är inte en oändlighet, då blir den lutande asymptota horisontell.

Vem är dessa asymptoter?

Dessa är de linjer som grafen av funktionen närmar sig i oändligheten. Således är de mycket hjälpsamma när de bygger en funktionsgrafik.

Om det inte finns någon horisontell eller lutande asymptot, men funktionen definieras på pluset av oändlighet och (eller) minus oändlighet, är gränsen för funktionen att plus oändlighet och (eller) minus oändlighet för att ha en uppfattning om beteendet hos funktionsgrafiken.

För vårt exempel

- Horisontell asymptota.

På detta är funktionen färdig med studien, gå till byggandet av schemat.

Beräkna värdena för funktionen vid mellanpunkter.

För mer exakt grafik rekommenderar vi att du hittar flera funktioner i funktionen vid mellanpunkter (dvs vid några punkter från funktionen att bestämma funktionen).

För vårt exempel hittar vi värdena på funktionen vid punkterna x \u003d -2, x \u003d -1, x \u003d -3 / 4, x \u003d -1 / 4. På grund av funktionens paritet sammanfaller dessa värden med värdena vid punkterna x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3/4, x \u003d 1/4.

Bygga ett diagram.

Först bygger vi asymptoter, lägger punkterna på lokala maxima och låga av funktionen, meningsstället och mellanliggande punkter. För bekvämligheten med att bygga ett diagram kan en schematisk beteckning av de ökande, nedåtgående, bulge- och konkavitetsintervall också vara förgäves.

Det är kvar att hålla linjerna i diagrammet genom de markerade punkterna, närma sig asymptotamerna och följa arrogorna.

Detta mästerverk av konsten är uppgiften att en fullständig studie av funktionen och konstruktionen av grafen är klar.

Graferna för vissa elementära funktioner kan konstrueras med hjälp av grafer av grundläggande elementära funktioner.

Reshebnik Kuznetsova.
III Grafik

Uppgift 7. Gör en fullständig studie av funktionen och bygga sitt schema.

& Nbsp & Nbsp & NBSP & NBSP Innan du börjar hämta dina alternativ, försök att lösa provproblemet nedan för alternativ 3. En del av alternativen är arkiverade i format.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 Gör en fullständig studie av funktionen och bygga sitt schema

Beslut.

& NBSP & NBSP & NBSP 1) Definition Område: & PSP &P &P &P &P &P &P &P &P & PSP, dvs. och nbsp &p & nbsp & Nbsp & nbsp.
.
Således: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) crossing points med ox axel. Faktum är att den & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp ekvationen har inga lösningar.
Korsningspunkter med Oy Axis No, sedan & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) Funktionen är antingen något eller intensivt. Det finns inga symmetrier angående ordinatets axel. Det finns inga symmetrier angående starten av koordinaterna. Som
.
Vi ser att & nbsp &p & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp &p & nbsp &p & nbsp &

& Nbsp & nbsp & nbsp 4) Funktionen är kontinuerlig i definitionområdet
.

; .

; .
Följaktligen är Point & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp en andra orderbrytningspunkt (oändlig paus).

5) Vertikala asymptoter: & Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Vi hittar lutande asymptoter och nbsp & nbsp & nbsp & nbsp. Här

;
.
Följaktligen har vi horisontella asymptoter: y \u003d 0. Det finns ingen lutande asymptot.

& Nbsp & nbsp & nbsp 6) hittar det första derivatet. Första derivat:
.
Och det är varför
.
Hitta stationära punkter där derivatet är noll, det är
.

& Nbsp & nbsp & nbsp 7) Vi hittar det andra derivatet. Andra derivat:
.
Och det är lätt att se till att

Hur undersöker funktionen och bygger sitt schema?

Det verkar som om jag börjar förstå det spiritualiserade penetrerade ansiktet på världens proletariat, författaren till samlingen av skrifter i 55 volymer .... Non-inkomst sätt började med elementär information om funktioner och diagram , Och nu slutar arbetet med tidskrävande tema med ett naturligt resultat - artikel vid full studie av funktionen. Den efterlängtade uppgiften är formulerad enligt följande:

Utforska funktionen av differentialkalkylmetoder och baserat på resultaten av studien för att bygga sitt schema

Eller kortare: Utforska funktionen och bygga ett diagram.

Varför utforska? I enkla fall finner vi det inte svårt att förstå de elementära funktionerna, dra det schema som erhållits av elementära geometriska omvandlingar etc. Egenskaper och grafiska bilder av mer komplexa funktioner är dock långt ifrån uppenbara, varför hela studien är nödvändig.

Huvudstadierna i lösningen reduceras i referensmaterial. Funktionsforskningssystem Detta är din guide till avsnittet. Tekanna kräver en stegvis förklaring av ämnet, vissa läsare vet inte vart man ska börja och hur man organiserar en studie, och avancerade studenter kan vara intresserade endast vid några ögonblick. Men den som du kunde, kära besökare, den föreslagna abstrakt med pekare till olika lektioner i kortaste sikt orienterat och kommer att leda dig i riktning mot intresse. Robots slånged \u003d) Styr swaths i form av en PDF-fil och tog en välförtjänt plats på sidan Matematiska formler och tabeller .

Studien av den funktion som jag brukade bryta upp 5-6 poäng:

6) Ytterligare punkter och schema baserat på resultaten av studien.

På bekostnad av den slutliga åtgärden tror jag att allt är klart för alla - det kommer att vara mycket nedslående om det på några sekunder kommer att korsas och återvändas till förfiningen. Den korrekta och korrekta ritningen är huvudresultatet av lösningen! Det är mycket sannolikt att "binda" analytiska nackdelar, medan felaktigt och / eller försumligt diagram kommer att leverera problem även med en idealiskt genomförd studie.

Det bör noteras att i andra källor antalet forskningsobjekt, förfarandet för deras genomförande och registreringsstil, kan skilja sig avsevärt från det system som jag föreslår, men i de flesta fall är det tillräckligt. Den enklaste versionen av uppgiften består av endast 2-3 steg och formuleras enligt följande: "Utforska funktionen med ett derivat och bygga ett diagram" eller "Utforska funktionen med 1: a och 2: a derivatet, bygga ett diagram."

Naturligtvis - Om din metod är demonterad i detalj en annan algoritm eller din lärare kräver strängt att följa sina föreläsningar, måste det göra några justeringar av lösningen. Inte svårare än att ersätta gaffeln med en motorsågsked.

Kontrollera funktionen på beredskap / oddhet:

Därefter följs en mallinspelning:
Därför är den här funktionen inte ens eller udda.

Eftersom funktionen är kontinuerlig, finns det inga vertikala asymptoter.

Ingen lutande asymptot.

Notera : Jag påminner dig om det är högre tillväxtbeställning än, så den slutliga gränsen är lika med " ett plus Oändlighet. "

Ta reda på hur funktionen uppträder på oändligheten:

Med andra ord, om vi går till höger, så går schemat oändligt långt borta, om det är kvar är oändligt nere. Ja, här är också två gränser under en enda post. Om du har några svårigheter med avkodande tecken, besök lektionen om oändligt små funktioner .

Således är funktionen inte begränsad till ovanstående och inte begränsad till nedan. Med tanke på att vi inte har några brytpunkter blir det klart och funktionsvärdenområde: - Också något giltigt nummer.

Användbar teknisk teknik

Varje inställning av uppgift ger ny information om grafenDärför är det lämpligt att använda en slags layout under lösningen. Jag kommer att avbilda koordinatsystemet på Cartovka Cartov. Vad är redan känt? För det första har schemat inte asymptot, därför behövs inte den direkta nackdelen. För det andra vet vi hur funktionen beter sig i oändligheten. Enligt analysen, dra den första approximationen:

Observera att på grund av kontinuitet Funktioner på och det faktum att schemat ska minst en gång korsa axeln. Eller kanske finns det flera skärningspoäng?

3) nollor och intervall av justeringen.

Vi kommer först att hitta punkten med korsningen av grafen med ordens axel. Det är enkelt. Det är nödvändigt att beräkna värdet på funktionen när:

En och en halv över havet.

För att hitta skärningspunkten med axeln (nollor i funktionen) krävs det att lösa ekvationen, och här kommer vi att ha en obehaglig överraskning:

I slutet bifogades en fri medlem, vilket väsentligt komplicerar uppgiften.

En sådan ekvation har åtminstone en giltig rot, och oftast är denna rot irrationell. I den sämre sagan kommer vi att ha tre grisar. Ekvationen är lösbar med hjälp av den så kallade cARDANO FORMULASMen pappersskador är jämförbar nästan med all studie. I det avseendet är det mer begripligt oralt, antingen på utkastet för att försöka välja minst en hela rot. Kontrollera, är inte siffror:
- inte lämplig;
- det finns!

Det är lyckligt här. I händelse av misslyckande är det också möjligt att testa, och om dessa siffror inte kom upp, så finns det mycket små chanser för en lönsam lösning på ekvationen. Då är studieobjektet bättre att helt hoppa - kanske blir det något tydligare vid det sista steget när ytterligare poäng kommer att göras. Och om samma rot (rötter) är klart "dålig", är intervallet på anpassningen bättre i allmänhet blygsamt Silex Ja, det är mer instruerat att uppfylla ritningen.

Men vi har en vacker rot, så vi delar upp polynomialen på ingen rester:

Algoritmen för att dividera polynomet till polynomen i detalj demonteras i det första exemplet av lektionen Svåra gränser .

Som ett resultat, den vänstra delen av källekvationen Fälld i arbetet:

Och nu lite om en hälsosam livsstil. Jag förstår självklart det kvadratisk ekvation Du måste bestämma varje dag, men idag kommer vi att göra ett undantag: ekvation Den har två giltiga rot.

På en numerisk direkt skjuta upp de hittade värdena och intervallmetod Bestäm funktionerna i funktionen:

flagte sålunda med intervaller Schema
under abscissaxeln, och med intervaller - över denna axel.

De resulterande slutsatserna tillåter dig att detaljera vår layout, och den andra approximationen av grafen är som följer:

Observera att funktionen nödvändigtvis måste ha minst ett maximalt och med ett intervall - minst ett minimum. Men hur många gånger, var och när kommer "gömma" ett schema, vet vi ännu inte. Förresten kan funktionen ha både oändligt många ytterligheter .

4) Stigande, minskning och extremumfunktion.

Hitta kritiska poäng:

Denna ekvation har två giltiga rötter. Jag kommer att skjuta upp dem på en numerisk direkt och definiera tecknen på derivatet:

Följaktligen ökar funktionen på och minskar på.
Vid den punkten når funktionen maximalt: .
Vid den punkten når funktionen ett minimum: .

Installerade fakta pund vår mall i en ganska hård ram:

Vad man ska säga, differentialalkylus - en kraftfull sak. Låt oss äntligen hantera formen av schemat:

5) bulge, konkavitet och inflektionspunkt.

Vi hittar kritiska punkter i det andra derivatet:

Bestämma tecknen:

Funktionsgrafen är konvex på och konkav på. Beräkna ordinaten av böjpunkten :.

Nästan allt visade sig.

6) Det är fortfarande att hitta ytterligare punkter som hjälper mer exakt ett schema och utför självtest. I det här fallet är de inte tillräckligt, men vi kommer inte att försumma:

Utför en ritning:

Grön färg är markerad med en böjpunkt, korsar - ytterligare poäng. Grafen av den kubiska funktionen är symmetrisk om hans böjningspunkt, som alltid ligger strängt i mitten mellan det maximala och lägsta.

I samband med uppgiften tog jag med tre hypotetiska mellanliggande ritningar. I praktiken är det tillräckligt att rita koordinatsystemet, markera poängen som hittats och efter varje studiepost uppskattar hur funktionsgrafen kan se ut. Studenter med god utbildning är inte svår att utföra en sådan analys uteslutande i sinnet utan att locka utkast.

För självlösningar:

Exempel 2.

Utforska funktionen och bygga ett diagram.

Det finns ett snabbare och roligare, ett exemplifierande prov av ytbehandling i slutet av lektionen.

Många hemligheter avslöjar studien av fraktionerade rationella funktioner:

Exempel 3.

Differentiella kalkylmetoder Utforska funktionen och på grundval av resultaten av studien för att bygga sitt schema.

Beslut: Den första etappen av studien skiljer sig inte med något anmärkningsvärt, med undantag för hålet på definitionen:

1) Funktionen är definierad och kontinuerlig på hela numeriska direkt utom punkten, domän : .

Det betyder att den här funktionen inte ens är eller udda.

Självklart är funktionen icke-periodisk.

Funktionens graf är två kontinuerliga grenar i vänster och höger halvplan - det här är kanske den viktigaste slutsatsen av 1: a punkten.

2) Asymptoter, beteendet hos funktionen vid oändligheten.

a) Med hjälp av envägsgränser undersöker vi beteendet hos en funktion nära en misstänkt punkt där det är klart en vertikal asymptota:

Faktum är att funktionerna tolererar oändlig paus Vid punkten,
och den raka (axeln) är vertikal asimptota grafik.

b) Kontrollera om snedställda asymptoter finns:

Ja, direkt är lutande asymptoto Grafik, om.

Gränserna för att analysera har ingen mening, eftersom det är så klart att funktionen i en omfamning med dess lutande asymptota inte begränsad till ovanstående och inte begränsad till nedan.

Den andra forskningspunkten tog många viktiga uppgifter om funktionen. Utför ett utkast till skiss:

Slutsats nummer 1 avser intervallet i anpassningen. På "minus oändlighet" är grafen av funktionen unikt beläget under abscissa-axeln och på "plus oändlighet" - ovanför denna axel. Dessutom rapporterade ensidiga gränser till oss som vänster och höger om funktionen, mer noll. Observera att i det vänstra halvplanet är schemat åtminstone en gång skyldig att korsa axeln hos abscissen. I den högra halvplanet är funktionerna kanske inte.

Utgångsnummer 2 är att funktionen ökar och till vänster (det finns en "botten upp"). Till höger om denna punkt - minskar funktionen (det finns en "topp ned"). Den högra grenen av diagrammet bör säkert vara minst ett minimum. Vänster ytterligheter garanteras inte.

Slutsats nummer 3 ger tillförlitlig information om konkaviteten av grafen i närheten av punkten. Vi kan inte säga något om bulge / konkaviteten på oändligheten, eftersom linjen kan pressas till sina asymptoter både från ovan och nedan. Generellt sett finns det ett analytiskt sätt att räkna ut det just nu, men formen på gåvan "för ingenting" blir tydligare vid senare faser.

Varför så många ord? För att övervaka efterföljande forskningspunkter och förhindra fel! Ytterligare beräkningar bör inte strida mot slutsatserna.

3) Korsningspunkter av diagrammet med koordinataxlar, intervallet på symbolfunktionen.

Funktionens graf korsar inte axeln.

Intervallmetod Bestäm tecken:

, Om en ;
, Om en .

Resultaten av punkten motsvarar fullständigt slutsatsen 1. Efter varje steg, kolla på utkastet, mentalt hänvisat till studien och dra ett funktionsschema.

I det aktuella exemplet är täljaren uppdelad i en nämnare, vilket är mycket fördelaktigt för differentiering:

Egentligen har det redan gjorts medan asymptoterna finns.

- kritisk punkt.

Bestämma tecknen:

ökar av och minska av

Vid den punkten når funktionen ett minimum: .

Diskussioner med slutsats nummer 2 fanns inte heller, och mest sannolikt är vi på rätt spår.

Så är funktionsdiagrammet konkav under definitionen.

Utmärkt - och dra inte något.

Det finns inga inflektionspunkter.

Konferensen är förenlig med slutsatsen nummer 3, indikerar dessutom att i oändligheten (och där och där) är grafen av funktionen belägen ovan dess lutande asymptoter.

6) I samvetsgrant rosa uppgiften med ytterligare poäng. Här kommer det att vara ganska svårt, på grund av studien vi är kända bara två punkter.

Och bilden, som förmodligen, många har länge presenterat:

Under uppgiften måste du noggrant se till att det inte finns några motsägelser mellan studiens stadier, men ibland är situationen nödsituation eller till och med en desperat död. Här konvergerar inte "analytiker - och det är det. I det här fallet rekommenderar jag nödmottagningen: Vi hittar så många punkter som tillhör grafiken (hur mycket tålamod är tillräckligt), och vi noterar dem på koordinatplanet. En grafisk analys av de funna värdena i de flesta fall kommer att berätta var sanningen, och var är en lögn. Dessutom kan schemat som tidigare byggts med något program, till exempel, i samma exil (förståeligt, för det här behöver du färdigheter).

Exempel 4.

Differentiella kalkylmetoder Utforska funktionen och bygga sitt schema.

Detta är ett exempel på en oberoende lösning. I den förbättras självkontrollen med funktionen - grafen är symmetrisk kring axeln, och om något i motsats till detta i din studie, leta efter ett fel.

Du kan också utforska en klar eller udda funktion när, och sedan använda diagrammets symmetri. En sådan lösning är optimal, men det ser ut, enligt min mening, är mycket ovanligt. Personligen anser jag hela numeriska axeln, men jag hittar ytterligare poäng än till höger:

Exempel 5.

Genomföra en fullständig studie av funktionen och bygga sitt schema.

Beslut: Det rusade hårt:

1) Funktionen definieras och kontinuerlig på hela numeriska linjen :.

Det betyder att denna funktion är udda, dess graf är symmetrisk i förhållande till början av koordinaterna.

Självklart är funktionen icke-periodisk.

2) Asymptoter, beteendet hos funktionen vid oändligheten.

Eftersom funktionen är kontinuerlig på, är de vertikala asymptoterna frånvarande

För en funktion som innehåller utställaren typiskt separat Studien "plus" och "minus oändlighet", men våra liv underlättar schematens symmetri - antingen till vänster och till höger finns en asymptota, eller det är det inte. Därför kan båda oändliga gränserna utfärdas under en enda rekord. Under den lösning vi använder lopitalregel :

Direkt (Axis) är en horisontell asymptota i grafen med.

Observera hur jag slår hela algoritmen för att hitta lutande asymptoter: Gränsen är helt enkelt och förtydligar beteendet hos funktionen i oändligheten, och den horisontella asymptota har hittat "som om samtidigt."

Från kontinuitet på och existens av horisontella asymptoter följer det faktum att funktionen begränsad ovanifrån och begränsad underifrån.

3) Korsningspunkterna i grafen med koordinataxlarna, intervallet på inriktningen.

Här minskar också beslutet:
Schemat passerar genom koordinaternas ursprung.

Det finns inga andra skärningspunkter med koordinataxlar. Dessutom är intervallet på alpopurismen uppenbara, och axeln kan inte dras :, vilket innebär att funktionen av funktionen endast beror på "ICA":
, Om en ;
, Om en .

4) Öka, minska, extremumfunktionen.

- Kritiska poäng.

Poängen är symmetriska i förhållande till noll, som det borde vara.

Bestämma tecknen på derivatet:

Funktionen ökar med intervallet och minskar med intervaller

Vid den punkten når funktionen maximalt: .

På grund av fastigheten (Grundliga funktioner) minimum kan inte beräknas:

Eftersom funktionen minskar på intervallet är det uppenbart att "minus oändlighet" är det beläget under Med sin asymptota. Vid intervallet minskar funktionen också, men här är allt motsatsen - efter att ha bytte igenom den maximala punkten, närmar linjen axeln redan ovanpå.

Av det ovanstående följer det också att funktionsschemat är konvex på "minus oändlighet" och konkav på "plus oändlighet".

Efter denna studiepunkt ritades också värdet för funktionen:

Om du inte har något missförstånd om några stunder, uppmanar jag återigen att rita koordinata axlar i anteckningsboken och med en penna i händerna för att om analysera varje slutsats.

5) Omvandling, konkavitet, böjning av grafik.

- Kritiska poäng.

Symmetripoäng bevaras, och sannolikt är vi inte felaktiga.

Bestämma tecknen:

Funktionsgrafen är konvex på Och konkav på .

Bulge / konkaviteten i de extrema intervallen bekräftades.

I alla kritiska punkter är det böjande geografi. Vi hittar ordinaterna för tiggare punkter, samtidigt som det kommer att minska antalet beräkningar med hjälp av funktionen av funktionen: