Trigonometriska funktioner av ett numeriskt argument. Egenskaper och grafer av trigonometriska funktioner. Trigonometriska funktioner av numeriska och vinkelargument. Gjutningsformler trigonometriska funktioner av numeriska argument Exempel på lösningar

Vi tittade på de mest grundläggande trigonometriska funktionerna (dela inte utöver sinus, cosinus, tangent och catangent finns det fortfarande många andra funktioner, men senare), medan vi överväger några av de grundläggande egenskaperna hos de redan studerade funktionerna.

Trigonometriska funktioner i det numeriska argumentet

Vilket giltigt nummer T tar inte, det kan sättas i linje med ett definitivt definierat antal synd (t). Det är sant att överensstämmelsen är ganska komplicerad och är som följer.

För att hitta värdet av synd (t) måste du:

1. leta reda på den numeriska cirkeln på koordinatplanet så att mitten av cirkeln sammanfaller med koordinatens ursprung och den ursprungliga punkten och omkretsen kom till punkten (1; 0);
2. på cirkeln för att hitta en punkt som motsvarar numret t;
3. hitta ordinaten för denna punkt.
4. denna ordinat är den önskade synden (t).

Faktum är att det handlar om funktionen s \u003d sin (t), där t är något giltigt nummer. Vi vet hur man beräknar vissa värden av den här funktionen (till exempel synd (0) \u003d 0, \\ (Sin \\ frac (\\ pi) (6) \u003d \\ frac (1) (2) \\) etc.), vi känner till några av dess egenskaper.

På samma sätt kan vi anta att vissa idéer redan har fått ungefär tre funktioner: s \u003d cos (t) s \u003d tg (t) s \u003d ctg (t) Alla dessa funktioner kallas trigonometriska funktioner i det numeriska argumentet T.

Kommunikation av trigonometriska funktioner

Som du hoppas, gissa alla trigonometriska funktioner är relaterade till varandra och inte ens med att veta betydelsen av en, den kan hittas genom en annan.

Till exempel är den viktigaste formeln, från hela trigonometrien - grundläggande trigonometrisk identitet:

\\ [SIN ^ (2) t + cos ^ (2) t \u003d 1 \\]

Som du kan se, kan man veta värdet av sinusen ett cosinusvärde, och även tvärtom. Också mycket vanliga formler som förbinder sinus och cosinus med tangent och kotangent:

\\ [\\ FRAC (\\ Sin \\; t) (\\ cos \\; t), \\ qquad t \\ neq \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi k) \\]

\\ [\\ Boxed (\\ cot \\; t \u003d \\ frac (\\ cos \\;) (\\ sin \\;), \\ qquad t \\ neq \\ pi k) \\]

Av de två sista formlerna kan en ytterligare trigometrisk identitet avlägsnas som förbinder tangent och cotangent den här tiden:

\\ [\\ Boxed (\\ tan \\; t \\ cdot \\ cot \\; t \u003d 1, \\ qquad t \\ neq \\ frac (\\ pi k) (2)) \\]

Låt oss nu se hur dessa formler fungerar i praktiken.

Exempel 1. Förenkla uttrycket: a) \\ (1+ \\ tan ^ 2 \\; t \\), b) \\ (1+ \\ cot ^ 2 \\; t \\)

a) Först och främst med en tangent, håller torget:

\\ [1+ \\ tan ^ 2 \\; T \u003d 1 + \\ frac (\\ sin ^ 2 \\; t) (\\ cos ^ 2 \\; t) \\]

\\ [1 + \\ frac (\\ sin ^ 2 \\; t) (\\ cos ^ 2 \\; t) \u003d \\ sin ^ 2 \\; t + \\ cos ^ 2 \\; T + \\ frac (\\ sin ^ 2 \\; t) (\\ cos ^ 2 \\; t) \\]

Nu ska vi presentera allt för en allmän nämnare, och vi får:

\\ [\\ sin ^ 2 \\; t + \\ cos ^ 2 \\; T + \\ FRAC (\\ Sin ^ 2 \\; t) \u003d \\ frac (\\ cos ^ 2 \\; t + \\ synd ^ 2 \\; t) (\\ cos ^ 2 \\; t ) \\]

Tja, äntligen, eftersom vi ser att täljaren kan minskas med den viktigaste trigonometriska identiteten till enheten, som ett resultat, får vi: \\ [1+ \\ tan ^ 2 \\; \u003d \\ Frac (1) (\\ cos ^ 2 \\; t) \\]

b) Med Kothannz utför alla samma åtgärder, endast i nämnaren kommer inte längre att cosinus, och sinus och svaret kommer att visa sig:

\\ [1+ \\ cot ^ 2 \\; \u003d \\ Frac (1) (\\ sin ^ 2 \\; t) \\]

Genom att slutföra den här uppgiften tog vi med två mer viktiga formler som förbinder våra funktioner som du också behöver veta hur dina fem fingrar:

\\ [\\ Boxed (1+ \\ tan ^ 2 \\; \u003d \\ Frac (1) (\\ cos ^ 2 \\; t), \\ qquad t \\ neq \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi k) \\]

\\ [\\ Boxed (1+ \\ cot ^ 2 \\; \u003d \\ frac (1) (\\ sin ^ 2 \\; t), \\ qquad t \\ neq \\ pi k) \\]

All den formel som presenteras som parter du borde veta av hjärtat, annars är den ytterligare studien av trigonometri helt enkelt omöjligt utan dem. I framtiden kommer det att finnas fler formler och det kommer att finnas många av dem och jag försäkrar dem alla du kommer ihåg länge, men kanske inte kommer ihåg, men dessa sex stycken borde veta allt!

Tillbaka framåt

Uppmärksamhet! Förhandsgranskningsglas används uteslutande för informationsändamål och får inte ge idéer om alla presentationsmöjligheter. Om du är intresserad av detta arbete, ladda ner hela versionen.

Mål lektion:

1. Utveckling av färdigheter och färdigheter för att tillämpa trigonometriska formler för att förenkla trigonometriska uttryck.
2. Genomförande av principen om aktivitetsstrategi för lärande studenter, utveckling av kommunisation och tolerans av studenter, förmågan att lyssna och höra andra och uttrycka sin åsikt.
3. Förbättra elevernas intresse till matematik.

Typ av lektion:träning.

Typ av lektion:lesson Testing Färdigheter och färdigheter.

Studieform:grupp.

Typ av grupp: Grupp sitter tillsammans. Elever av en annan utbildningsnivå, medvetenhet om detta ämne, kompatibla studenter, vilket gör det möjligt för dem att komplettera och berika varandra.

Utrustning: styrelse; en bit krita; Bord "trigonometer"; ruttblad; kort med bokstäver (A, B, C.) för att utföra testet; Tallrikar med namnen på besättningen; Beräknade lakan; Bord med namnen på spåren; Magneter, multimedia komplex.

Under klasserna

Eleverna sitter i grupper: 4 grupper på 5-6 personer. Varje grupp är maskinens besättning med namnen som motsvarar namnen på trigonometriska funktioner, ledd av styrning. Varje besättning utfärdas en ruttlista och ett mål är bestämt: Gå igenom den angivna vägen framgångsrikt, utan fel. Lektionen åtföljs av en presentation.

I. Organisationsmoment.

Läraren rapporterar temat för lektionen, syftet med lektionen, lektionens gång, gruppens arbetsplan, rollen som styrning.

Lärarens inledande ord:

– Killar! Spela in numret och ämnet för lektionen: "Trigonometriska funktioner av ett numeriskt argument".

Idag i lektionen kommer vi att lära oss:

1. Beräkna värdena för trigonometriska funktioner;
2. Förenkla trigonometriska uttryck.

För att göra detta måste du veta:

1. Definitioner av trigonometriska funktioner
2. Trigonometriska förhållanden (formler).

Det är länge känt att ett huvud är bra, och två är bättre, så du arbetar i grupp idag. Det är också känt att vägen är tillgång till. Men vi lever i åldern av hastigheter och tiden är dyrt, och därför kan du säga så här: "Vägen kommer att stigas", så idag kommer vi att ha en lektion i form av spelet "matematisk rally". Varje grupp är bilens besättning, ledd av styrning.

Syftet med spelet:

• framgångsrikt passera vägen till varje besättning;
• avslöja mästarna rally.

Besättningsnamnet motsvarar varumärket på den maskin som du gör körsträcka.

Crästare och deras styrning presenteras:

• Besättning - "sinus"
• Besättning - "cosinus"
• Besättning - "Tangent"
• Besättning - "Kotangent"

Motto of Racing: "Skynda långsamt!"

Du måste göra en körsträcka på "matematisk plats" med många hinder.

Ruttlistor varje besättning utfärdas. Besättningar som vet de definitioner och trigonometriska formlerna kan övervinna hindren.

Under körningen leder varje styrning besättningen, vilket bidrar till och utvärderar bidraget från varje besättningsmedlem för att övervinna rutten i form av "plus" och "minuses" i det beräknade arket. För varje korrekt svar mottar gruppen "+", fel "-".

Du måste övervinna följande steg på vägen:

Steg I. PDD (vägregler).
Steg II. Inspektion.
III-scenen. Tävling i korsad terräng.
IV-scenen. Plötsligt stopp - en olycka.
V-steg. Total
VI-scenen. Slutet.
VII-scenen. Resultat.

Och så på vägen!

Steg I. PDD (vägregler).

1) I varje vagn distribueras styrningen till varje medlem av besättningsbiljetterna med teoretiska problem:

1. Berätta definitionen av sinus av numret T och dess tecken på kvartalen.
2. Berätta definitionen av cosinusen av numret T och dess tecken på kvartalen.
3. Namn den minsta och största sin T och Cos T.
4. Berätta definitionen av tangenten av numret T och dess tecken på kvartalen.
5. Berätta definitionen av Cotannce of the Number T och dess tecken på kvartalen.
6. Berätta för hur du hittar värdet av SIN T-funktionen på ett välkänt nummer T.

2) Samla "spridda" formler. På mysterietbordet (se nedan). Besättningar bör resultera i överensstämmelse med formeln. Svar varje kommando skriver på brädet som en sträng av motsvarande bokstäver (par).

Svar:aB, VG, DE, Yozh, Zi, YK.

Steg II. Inspektion.

Muntligt arbete: Test.

På Mystery Board är det skrivet: Uppgift: Förenkla uttryck.

I närheten är inspelade alternativ för svar. Besättningar definierar rätt svar i 1. min. Och höja motsvarande uppsättning bokstäver.

Svar: C i A.

III-scenen. Tävling i korsad terräng.

3 minuters besättningar vid ett möte om uppgiften av uppgiften, och då är besättningen skrivna på styrelsen. När besättningsrepresentanter kommer att slutföra beslutet från den första uppgiften, verifiera alla studenter (tillsammans med läraren) korrektheten och rationaliteten av lösningar och registreras i anteckningsboken. Styrningen bedömer varje besättningsmedlems bidrag med tecknen "+" och "-" i de beräknade lakan.

Uppgifter från läroboken:

• Besättning - "sinus": nr 118 g;
• Besättning - "Kosinus": Nr 122 A;
• Besättning - "Tangent": Nr 123 g;
• Besättning - "Kotangent": № 125

IV-scenen. Plötsligt stopp - en olycka.

– Din bil bröt. Det är nödvändigt att eliminera funktionsfel i din bil.

För varje besättning ges uttalandena, men de är felaktiga. Hitta dessa fel och förklara varför de var tillåtna. Uttalandena använder trigonometriska funktioner som motsvarar märkena i dina maskiner.

V-steg. Total

Du är trött och måste koppla av. Medan besättningen vilar styrningen för att sammanfatta de preliminära resultaten: de överväger "PROS" och "minuses" bland besättningsmedlemmar och i allmänhet besättningen.

För studenter:

3 och mer "+" - uppskattning "5";
2 "+" - Uppskattning "4";
1 "+" - Betyg "3".

För besättningar: "+" Och "-" ömsesidigt förstördes. Endast de återstående tecknen beaktas.

Gissa charad.

Från dina nummer tar du min första stavelse
Den andra är ordet "stolthet".
Och de tredje hästarna du följer,
Den fjärde kommer att vara bläckande får.
Min femte stavelse är densamma som den första
Den sista bokstaven i alfabetet är den sjätte,
Och om du gissar dig okej,
Det i matematik får du det här.
(Trigonometri)

Ordet "trigonometri" (från de grekiska orden "trigonon" - en triangel och "metreo" - mått) betyder "mätning av trianglar". Förekomsten av trigonometri är förknippad med utvecklingen av geografi och astronomi - vetenskapen om förflyttning av himmelska kroppar, universums struktur och utveckling.

Som ett resultat av de producerade astronomiska observationerna var det nödvändigt att bestämma armaturens position, beräkning av avstånd och vinklar. Eftersom vissa avstånd, till exempel, från marken till andra planeter, var det omöjligt att mäta direkt, då forskare började utveckla mottagningarna av förhållandet mellan parterna och hörnen av triangeln, där två hörn är belägna på jorden, och den tredje representerar planeten eller stjärnan. Sådana relationer kan avlägsnas genom att studera olika trianglar och deras egenskaper. Därför ledde astronomiska beräkningar till en lösning (dvs att hitta element) av en triangel. Detta är engagerat i trigonometri.

Principerna för trigonometri hittades i den gamla Babylon. Babyloniska forskare visste hur man förutsäger sol och månförmörkelser. Några av den trigonometriska naturen finns i de antika forntida monumenten.

VI-scenen. Slutet.

För att framgångsrikt korsa mållinjen, är det fortfarande att ljuga och göra en "jerk". Det är mycket viktigt i trigonometri för att snabbt bestämma värdena för synd T, kostnad, TGT, CTG T, där 0 ≤ t ≤. Textböcker nära.

Besättningar kallar växelvis värdena för funktionerna Sin T, Kostnad, TGT, CTG T, om:

VII-scenen. Resultat.

Resultat av spelet.

Styrning donera uppskattade ark. Besättningen som blev den "matematiska rally" -mästaren och kännetecknas av resten av de övriga grupperna. Vidare kallas namnen på de som fick uppskattningarna "5" och "4".

Resultaten av lektionen.

- Killar! Vad lärde du dig idag i lektionen? (Förenkla trigonometriska uttryck; hitta värden för trigonometriska funktioner). Och vad ska jag veta för det här?

• definitioner och egenskaper synd t, cos t, tg t, ctg t;
• förhållanden som förbinder värdena för olika trigonometriska funktioner;
• tecken på trigonometriska funktioner på kvartaler av en numerisk cirkel.
• värdena för de trigonometriska funktionerna för första kvartalet av den numeriska cirkeln.

- Jag tror att du förstår att formlerna behöver veta väl för att tillämpa dem korrekt. Du insåg också att trigonometri är en mycket viktig del av matematiken, eftersom den används i andra vetenskaper: astronomi, geografi, fysik etc.

Läxa:

• för studenterna fick "5" och "4": §6, №128A, 130A, 134A.
• för andra studenter: §6, №119G, №120G, №121.

Video Tutorial "Trigonometriska funktioner av ett numeriskt argument" representerar visuellt material för att ge synlighet när du förklarar ämnet i lektionen. Under demonstrationen beaktas principen om att bilda värdet av trigonometriska funktioner på numret, ett antal exempel beskrivs för att beräkna värdena för trigonometriska funktioner från numret. Med den här handboken är det lättare att bilda färdigheter för att lösa lämpliga uppgifter, att komma ihåg materialet. Användningen av fördelar ökar lektionen effektivitet, bidrar till den snabba uppnåendet av inlärningsmål.

I början av lektionen demonstreras titeln på ämnet. Då är uppgiften att hitta motsvarande cosinus till något numeriskt argument. Det noteras att denna uppgift är löst helt enkelt och det kan visuellt demonstreras. Skärmen visar en enda cirkel med mitten i början av koordinaterna. I detta fall noteras att skärningspunkten av cirkeln med en positiv axelaxel av abscissa-axeln är belägen vid punkt A (1; 0). Ett exempel på en punkt M, som representerar argumentet T \u003d π / 3. Denna punkt är noterad på en enda cirkel, och den är nedstigning av vinkelrätt mot abscissaxeln. Hittade abscissa poäng och är cosinus cos t. I det här fallet kommer AbsCissa-punkten att vara X \u003d 1/2. Därför, cos t \u003d 1/2.

Sammanfattar de ansedda fakta, det noteras att det är vettigt att prata om funktionen S \u003d COS T. Det noteras att vissa kunskaper om den här funktionen redan är tillgänglig för studenter. Några cosinusvärden COS 0 \u003d 1, COS π / 2 \u003d 0, COS π / 3 \u003d 1/2 beräknas. Också kopplad till den här funktionen är funktionerna s \u003d sin t, s \u003d tg t, s \u003d ctg T. Det noteras att de har ett gemensamt namn - trigonometriska funktioner.

Viktiga relationer demonstreras, som används för att lösa problem med trigonometriska funktioner: sin huvudidentitet 2 T + COS 2 T \u003d 1, uttrycket av tangent och kattent genom sinus och cosinus Tg t \u003d synd t / cos t, där t ≠ π / 2 + πk för KεZ, CTG T \u003d COS T / SIN T, där T ≠ πk för KεZ, liksom tangentförhållandet till TG TG t · ctg t \u003d 1 där t ≠ πk / 2 för kεz.

Följande föreslås för att överväga beviset på förhållandet 1+ Tg 2 t \u003d 1 / Cos 2 t, vid T ≠ π / 2 + πk för KεZ. För att bevisa identiteten är det nödvändigt att presentera Tg 2 t i form av förhållandet sinus och cosinus, och efter komponenterna i den vänstra delen leder den totala nämnaren 1 + Tg 2 t \u003d 1 + SIN 2 T / COS 2 t \u003d (synd 2 t + cos 2 t) / cos 2 t. Med hjälp av den huvudsakliga trigonometriska identiteten erhålls vi i en täljare 1, det vill säga det slutliga uttrycket 1 / COS 2 T. Q.e.d.

Identiteten av 1 + CTG 2 T \u003d 1 / SIN 2 T är på samma sätt som T ≠ πk för KεZ. Precis som i det föregående beviset ersätts Cotangent med motsvarande cosinus och sinusförhållande, och båda termerna i den vänstra delen ges till den totala nämnaren 1+ CTG 2 t \u003d 1 + COS 2 T / SIN 2 T \u003d (SIN 2 T + cos 2 t) / sin 2 t. Efter att ha tillämpat den viktigaste trigonometrisk identitet till täljaren får vi 1 / synd 2 t. Detta är det önskade uttrycket.

Lösningen av exempel där kunskapen som erhållits gäller. I den första uppgiften är det nödvändigt att hitta värdena på kostnad, TGT, CTGT, om sinusen är känd Sint \u003d 4/5, och T tillhör gapet π / 2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

Följande anses vara en lösning av ett liknande problem, i vilket tngt \u003d -8 / 15 tangent är känt, och argumentet är begränsat till 3π / 2

För att hitta sinusens värde använder vi definitionen av TNGT \u003d sint / kostnad. Av det hittar vi Sint \u003d Tgt · Kostnad \u003d (- 8/15) · (15/17) \u003d - 8/17. Att veta att Cotangent är en funktion, omvänd tangent, hittar vi CTGT \u003d 1 / (- 8/15) \u003d - 15/8.

Video Tutorial "Trigonometriska funktioner av ett numeriskt argument" används för att förbättra effektiviteten i lektionen av matematik i skolan. Under distansutbildning kan detta material användas som visuell ersättning för bildning av uppgiftslösningar, där det finns trigonometriska funktioner från numret. För att förvärva dessa färdigheter kan studenten rekommenderas oberoende avseende ett visuellt material.

Textavkodning:

Ämnet för lektionens "trigonometriska funktioner i ett numeriskt argument".

Eventuellt giltigt nummer T kan sättas i linje med en unikt definierad COS T. För att göra detta måste du utföra följande åtgärder:

1) På koordinatplanet, lägg en numerisk cirkel så att mitten av cirkeln sammanfaller med början av koordinaterna och den ursprungliga punkten och omkretsen kom till punkten (1; 0);

2) på cirkeln för att hitta en punkt som motsvarar numret T;

3) Hitta abscissen av denna punkt. Detta är Cos T.

Därför kommer det att handla om funktionen s \u003d cos t (es lika cosinus te), där t är något giltigt nummer. Vi har redan fått en uppfattning om den här funktionen:

• vi lärde oss hur man beräknar vissa värden, till exempel COS 0 \u003d 1, COS \u003d 0, COS \u003d, etc. (nollkosinsen är lika med en, Cosine PI med två är noll, Cosine PI till tre är lika med en sekund och så på).
• och eftersom värdena för sinus, cosinus, tangent och catangens är interrelaterade, fick de en uppfattning om tre fler funktioner: s \u003d sint; S \u003d tgt; S \u003d ctgt. (Er är lika med sinus, es är lika med tangent te, es lika med cotangent te)

Alla dessa funktioner kallas trigonometriska funktioner i det numeriska argumentet T.

Av definitionerna av sinus, cosinus, tangent och catangens följer några förhållanden:

1) SIN 2 T + COS 2 T \u003d 1 (Sinus Square Te Plus Cosinous Square Pe är lika med en)

2) TGT \u003d vid T ≠ + πk, KεZ (Tangent i lika med förhållandet mellan sinusen i Te till Teinus av Te med Te inte lika med de två plus Pi Ka, tillhör Kat Set)

3) CTGT \u003d Vid T ≠ πk är KεZ (Te Cotancenes lika med förhållandet mellan Teinus av Te till Sinus av Te med en PE på den inte lika med PA, tillhör KA till uppsättningen).

4) TGT ∙ CTGT \u003d 1 AT T ≠, KεZ (produkten av Tegens Te på Kotangent PE är lika med en vid en PE som inte är lika med PI, dividerad med två, Kat tillhör set)

Vi kommer att bevisa två viktiga formler:

Tänk på exempel.

Exempel1. Hitta kostnad, TGT, CTGT om sint \u003d och< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Beslut. Från det första förhållandet hittar vi Cosinus-torget i Te är lika med enheten Minus Sinus Square Te: Cos 2 t \u003d 1 - Sin 2 T.

Så, cos 2 t \u003d 1 - () 2 \u003d (Cosine Square of the Te är nio tjugofemte), det vill säga kostar \u003d (Te Cosine är lika med tre femte) eller kostnad \u003d - (Cosine of PE är minus tre fem). Under förutsättningen tillhör Argumentet T till andra kvartalet, och i den cos t< 0 (косинус тэ отрицательный).

Det betyder att Teinus av Te är minus de tre femte, kostnaden \u003d -.

Beräkna tangent te:

tGT \u003d \u003d: (-) \u003d -; (tentens PE är lika med förhållandet mellan sinus Te till Cosine Te, och därför fyra femtedelar till minus tre femte och lika med de fyra tredje)

Följaktligen beräkna (cotangens av antalet TE. Eftersom den cotangent PE är lika med förhållandet mellan kosinusen av Te till Sinus av TE,) CTGT \u003d \u003d -.

(Cotangent PE är minus tre fjärde).

Svar: Kostnad \u003d -, TGT \u003d -; CTGT \u003d -. (svar på hur man bestämmer)

Exempel 2. Det är känt att TGT \u003d - och< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Beslut. Vi använder det här förhållandet, vilket ersätter vikten i denna formel, vi får:

1 + (-) 2 \u003d (Enheten på Cosine-kvadraten i PE är lika med summan av enheten och den kvadratiska minus åtta femtonde). Härifrån hittar vi cos 2 t \u003d

(Cosine Square te är tvåhundra tjugofem tvåhundra åttio nionde). Det betyder kostnad \u003d (Cosine of the Te är lika med femton sjuttonde) eller

kostnad \u003d. Under förutsättningen hör inte argumentet T till fjärde kvartalet, där kostnaden\u003e 0. Därför kostar kostnaden \u003d. (Teaksus PE är lika med femton sjuttonde)

Vi finner värdet av sinusens argument. Eftersom förhållandet (för att visa TGT \u003d T ≠ + πk, KεZ-förhållandet) är lika med produkten av tio tangens på kosinusen av TE, vilket därigenom ersätter värdet av Te-argumentet är lika till minus åtta femtonde löste tidigare, få

sint \u003d tgt ∙ kostar \u003d (-) ∙ \u003d -, (sinus te är minus åtta sjuttonde)

cTGT \u003d \u003d -. (Eftersom Cotangent Te, det finns en omvänd tangent, vilket innebär att Cotangent PE är lika med minus femton åttonde)

Mål lektion:

Pedagogisk:

• Tillhandahålla repetition, generalisering och systematisering av materialets tema "trigonometriska funktioner i ett numeriskt argument";
• Skapa kontrollvillkor (självkontroll) lärande kunskaper och färdigheter.

Utvecklande:

• Bidra till bildandet av förmågan att tillämpa adrictions - jämförelser, generaliseringar, fördelning av den främsta kunskapsöverföringen till en ny situation.
• Utvecklingen av den matematiska horisonten, tänkande, tal, uppmärksamhet och minne.

Pedagogisk:

• Att främja uppväxt av intresse för matematik, aktivitet, förmåga att kommunicera, en gemensam kultur.

Typ av lektion: Lektion av generalisering och systematisering av kunskap.

Lär ut metoder: Delvis sökning, (heuristisk).

Testa kontrollnivå, lösning av kognitiva generalisering av uppgifter, självtest, systemiska generaliseringar.

Lektionsplanering.

1. Org. Ögonblick - 2 min.
2. Självtesttest - 10 min.
3. Meddelande på ämnet - 3 min.
4. Systematisering av teoretiskt material - 15 min.
5. Differentierat oberoende arbete med självtest - 10 min.
6. Resultatet av oberoende arbete är 2 minuter.
7. Summera upp lektionen - 3 min.

Under klasserna

1. Organisationsmoment.

Uppgift för huset:

Punkt 1, punkt 1.4
- Testarbeten (uppgifter publicerades på stativet).

Fransk författare Anatole Frankrike påmängde en gång: "Du kan bara lära dig roligt. För att smälta kunskap är det nödvändigt att absorbera dem med aptit. " Låt oss idag i lektionen följa detta råd från författaren, kommer att vara aktiv, uppmärksam, vi kommer att absorbera kunskap med stor önskan. När allt kommer omkring kommer de att använda dig i framtiden.

Idag har vi en sista lektion om ämnet: "Trigonometriska funktioner av ett numeriskt argument". Vi upprepar, vi genererar det studerade materialet, metoderna och teknikerna för att lösa trigonometriska uttryck.

2. Testa med självtest.

Arbetet utförs i två versioner. Frågor på skärmen.

Eleverna firar felaktiga steg. Antalet korrekta svar ingås i en kunskapsblad.

3. Meddelande.

Rapporten om utvecklingen av trigonometri (den beredda studenten).

4. Systematisering av teoretiskt material.

Muntliga uppgifter.

1) Vad pratar vi om? Vad är speciellt?

Bestäm tecknet på uttrycket:

a) COS (700 °) Tg 380 °,
b) cos (- 1) synd (- 2)

2) Vad säger detta block med formel? Var är misstaget?

3) Tänk på bordet:

4) Lösa problem med varje typ av trigonometriska transformationer.

Introducerar trigonometriska uttryck.

Hitta värdet av trigonometrisk funktion till det kända värdet av denna trigonometriska funktion.

Danched: sin \u003d;< <

Hitta COS2, CTG2.

Svar:.< < 2

Hitta: COS2, TG2

Tredje svårighetsnivå:

Danched: sin \u003d;< <

Hitta: sin2; synd (60 ° -); Tg (45 ° +)

Ytterligare uppgift.

Bevisidentitet:

4 SIN 4 - 4 SIN 2 \u003d COS 2 2 - 1

6. Resultatet av oberoende arbete.

Eleverna kontrollerar arbetet och ger resultat till en lista över kunskapsredovisning.

7. Resultatet av lektionen levereras.

Lektion och presentation på ämnet: "Trigonometrisk funktion av numeriskt argument, definition, identitet"

Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, recensioner, önskemål. Alla material kontrolleras av antivirusprogram.

Utbildningshjälpmedel och simulatorer i online-butiken "Integral" för betyg 10
Algebraiska uppgifter med parametrar, 9-11 klasser
Programvara onsdag "1c: Matematisk designer 6.1"

Vad vi ska studera:
1. Definition av numeriskt argument.
2. Grundläggande formler.
3. Trigonometriska identiteter.
4. Exempel och uppgifter för självlösningar.

Bestämning av trigonometrisk funktion av det numeriska argumentet

Minns de grundläggande formlerna:
$ SIN ^ 2 (t) + cos ^ 2 (t) \u003d 1 $. Förresten, vad heter den här formeln?

$ TG (t) \u003d \\ frac (SIN (T)) (COS (T)) $, med $ t ≠ \\ frac (π) (2) + πk $.
$ Ctg (t) \u003d \\ frac (cos (t)) (synd (t)) $, med $ t ≠ πk $.

Låt oss ta med nya formler.

Trigonometriska identiteter

Nu delar vi båda delarna av identiteten på $ SIN ^ 2 (t) $.
Vi får: $ \\ frac (Sin ^ 2 (t)) (Sin ^ 2 (t)) + \\ frac (Cos ^ 2 (t)) (Sin ^ 2 (t)) \u003d \\ frac (1) (Sin ^ 2 (t)) $.
Vi konverterar: $ 1 + (\\ frac (cos (t)) (synd (t)) ^ 2 \u003d \\ frac (1) (sin ^ 2 (t)). $
Vi har en ny identitet som är värt att komma ihåg:
$ Ctg ^ 2 (t) + 1 \u003d \\ frac (1) (sin ^ 2 (t)) $, med $ t ≠ πk $.

Vi lyckades få två nya formler. Kom ihåg dem.
Dessa formler används om, enligt något känt värde av trigonometriska funktionen, är det nödvändigt att beräkna värdet av en annan funktion.

Lösning av exempel på trigonometriska funktioner av ett numeriskt argument

$ Cos (t) \u003d \\ frac (5) (7) $, för att hitta $ synd (t) $; $ Tg (t) $; $ Ctg (t) $ för alla t.

Beslut:

$ SIN ^ 2 (t) + cos ^ 2 (t) \u003d 1 $.
Då $ Sin ^ 2 (t) \u003d 1-cos ^ 2 (t) $.
$ SIN ^ 2 (t) \u003d 1 - (\\ frac (5) (7)) ^ 2 \u003d 1- \\ frac (25) (49) \u003d \\ frac (49-25) (49) \u003d \\ frac (24) (49) $.
$ SIN (t) \u003d ± \\ frac (\\ sqrt (24)) (7) \u003d ± \\ frac (2 \\ sqrt (6)) (7) $.
$ TG (t) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (1) (cos ^ 2 (t)) - 1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (1) (\\ frac (25) (49)) - 1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (49) (25) -1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (24) (25)) \u003d ± frac (\\ sqrt (24)) (5) $.
$ Ctg (t) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (1) (synd ^ 2 (t)) - 1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (1) (\\ frac (24) (49)) - 1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (49) (24) -1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (25) (24)) \u003d ± frac (5) (\\ sqrt (24)) $.

Exempel 2.

$ Tg (t) \u003d \\ frac (5) (12) $, för att hitta $ synd (t) $; $ Cos (t) $; $ Ctg (t) $, alls $ 0

Beslut:
$ Tg ^ 2 (t) + 1 \u003d \\ frac (1) (cos ^ 2 (t)) $.
Då $ \\ frac (1) (COS ^ 2 (t)) \u003d 1+ frac (25) (144) \u003d \\ frac (169) (144) $.
Vi får det $ COS ^ 2 (t) \u003d \\ frac (144) (169) $.
Då $ COS ^ 2 (t) \u003d ± \\ frac (12) (13) $, men $ 0 Cosinus under första kvartalet är positivt. Då $ cos (t) \u003d \\ frac (12) (13) $.
Vi får: $ SIN (T) \u003d TG (T) * COS (T) \u003d \\ FRAC (5) (12) * \\ frac (12) (13) \u003d \\ frac (5) (13) $.
$ Ctg (t) \u003d \\ frac (1) (tg (t)) \u003d \\ frac (12) (5) $.

Uppgifter för självlösningar