ස්වයං චලිත තුවක්කු ස්ථායීතාවය තීරණය කිරීම. ස්වයං-ප්රචලිත තුවක්කු වල ස්ථාවරත්වය, ස්ථාවරත්වය පිළිබඳ පොදු සංකල්ප. ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතියක් ස්ථායී ලෙස හැඳින්වේ, එය සමතුලිත ස්ථානයෙන් බැහැර වීමට හේතු වූ බාධාවන් නැවැත්වීමෙන් පසු එය නැවත මෙම ස්ථානයට පැමිණේ.

තිරසාරභාවය පිළිබඳ සංකල්පය

පාලන පද්ධතියක ස්ථාවරත්වය පිළිබඳ සංකල්පය මෙම තත්වයෙන් පිටතට ගෙන ආ බාහිර බලවේග අතුරුදහන් වීමෙන් පසු සමතුලිත තත්වයට නැවත පැමිණීමේ හැකියාව සමඟ සම්බන්ධ වේ.

ස්ථායීතාවය යනු කිසියම් බලපෑමක ප්‍රතිඵලයක් ලෙස යම් පද්ධතියකින් ඉවත් වූ පසු එහි මුල් හෝ ඊට ආසන්න ස්ථාවර තත්ත්වයට ආපසු පැමිණීමට පද්ධතියක ඇති දේපළයි.

මෙම නිර්වචනය අනුව, ස්ථාවරත්වය සංක්‍රාන්ති ක්‍රියාවලීන්ගේ ස්වභාවයට සහ සංක්‍රාන්ති ක්‍රියාවලිය අවසන් වීමෙන් පසු පද්ධතියේ තත්වයට සම්බන්ධ වන බව අනුගමනය කරයි, i.e. පද්ධතියේ ප්රධාන ගතික ලක්ෂණය වේ. එබැවින් ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතිවල ස්ථායිතාව විශ්ලේෂණය කිරීම ස්වයංක්‍රීය පාලනය පිළිබඳ න්‍යායේ ප්‍රධාන ගැටළුවයි.

සංක්‍රාන්ති ක්‍රියාවලියේ ස්වභාවය අනුව, බාධාකාරී බලපෑමක් යෙදීමෙන් පසු පද්ධති හැසිරීමේ ප්‍රධාන අවස්ථා තුනක් තිබේ:

1) පද්ධතියට එහි සමතුලිතතා තත්වය යථා තත්වයට පත් කළ නොහැක, පාලිත විචල්‍යයේ අගය නිශ්චිතව දක්වා වැඩි වැඩියෙන් අපගමනය වේ (රූපය 6.1, a); එවැනි ක්රියාවලිය අපසාරී ලෙස හැඳින්වේ, සහ පද්ධතිය අස්ථායී ලෙස හැඳින්වේ;

2) පද්ධතිය සමතුලිත තත්වයකට නැවත පැමිණේ, පාලිත විචල්‍යයේ අගය පද්ධතියේ ස්ථිතික දෝෂයේ ප්‍රමාණයෙන් නිශ්චිත අගයට වඩා වෙනස් වේ; එවැනි සංක්රාන්ති ක්රියාවලියක් අභිසාරී වනු ඇත, සහ පද්ධතිය ස්ථාවර වනු ඇත (Figure 6.1, b);

3) පද්ධතිය ස්ථාවර ආවර්තිතා චලනය මගින් සංලක්ෂිත වේ; එවැනි ක්රියාවලියක් undamped oscillatory ලෙස හැඳින්වේ, සහ පද්ධතිය අසමමිතික ස්ථායීතාවයේ මායිම මත පවතිනු ඇත (Figure 6.1, c).

රූපය 6.1 බාධාවක් යෙදීමෙන් පසු පද්ධතියේ හැසිරීම

පද්ධතියේ ස්ථාවරත්වය රඳා පවතින්නේ කුමක් ද යන්න සහ එය තීරණය කරන්නේ කෙසේද යන්න අපි සලකා බලමු. රේඛීය පද්ධතියක ගතිකත්වය නියත සංගුණක සහිත රේඛීය අවකල සමීකරණයකින් විස්තර කිරීමට ඉඩ දෙන්න:

සාමාන්‍ය නඩුවේ එවැනි රේඛීය සමජාතීය සමීකරණයකට විසඳුම සංරචක දෙකකින් සමන්විත වේ:

, (6.2)

y මුඛය (t)- සංක්‍රාන්ති ක්‍රියාවලිය අවසානයේ ස්ථාපිත පද්ධතියේ බලහත්කාර මාදිලිය විස්තර කරමින් දකුණු පස ඇති සමජාතීය සමීකරණයේ (6.1) විශේෂිත විසඳුමක්; අපි කලින් ඡේදයේ එවැනි මාතයන් සාකච්ඡා කළා;

y p (t)- දී ඇති බාධාවකින් ඇති වූ පද්ධතියේ අස්ථිර ක්‍රියාවලිය විස්තර කරන සමජාතීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය විසඳුම.

තාවකාලික ක්‍රියාවලීන් නම් පද්ධතිය ස්ථායී වන බව පැහැදිලිය y p (t), කිසියම් බාධාවක් නිසා ඇති වූ, තෙතමනය වනු ඇත, i.e. කාලයත් එක්ක y p (t)ශුන්යයට නැඹුරු වනු ඇත (රූපය 6.1, b).

විසඳුමක් y p (t)සමජාතීය අවකල සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:

, (6.3)

C i - ආරම්භක කොන්දේසි සහ කැළඹීම් මගින් නිර්ණය කරන ලද ඒකාබද්ධතා නියතයන්;

l i - ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්:

මේ අනුව, සංක්රාන්ති ක්රියාවලිය y p (t)සංරචක එකතුව නියෝජනය කරයි, ඒවායේ සංඛ්යාව මූලයන් සංඛ්යාවෙන් තීරණය වේ l iලක්ෂණ සමීකරණය (6.4).

සාමාන්‍ය අවස්ථාවෙහිදී, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සංකීර්ණ වන අතර, සංයුජ මූල යුගල සාදයි:

කොහෙද a iධනාත්මක හෝ ඍණාත්මක විය හැකි අතර, මූලය සැබෑ නම් b j =0සහ මනඃකල්පිත නම් a i =0.

එවැනි මූලයන් සෑම යුගලයක්ම සංක්‍රාන්ති ක්‍රියාවලියේ සංරචකය තීරණය කරයි, සමාන වේ:

සහ හරහා අර්ථ දක්වා ඇත.

මෙම සංරචකය sinusoid බව දැකීම පහසුය: තෙතමනය සහිත උච්චාවචනයන් සමඟ, නම් a i<0 ; අපසාරී දෝලනයන් සමඟ, නම් a i >0; දී undamped sinusoidal දෝලනය සමග a i =0.

මේ අනුව, සංක්රාන්ති ක්රියාවලියේ මෙම සංරචකය දුර්වල කිරීම සඳහා කොන්දේසිය වන්නේ පද්ධතියේ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයේ සැබෑ කොටසෙහි නිෂේධනයයි.

නම් b=0, එවිට ක්රියාවලිය තීරණය වන්නේ මූලයේ සැබෑ කොටස පමණි ඒසහ aperiodic වේ. සාමාන්‍යයෙන්, පද්ධතියේ තාවකාලික ක්‍රියාවලිය දෝලනය වන සහ aperiodic සංරචක වලින් සමන්විත වේ. අවම වශයෙන් එක් මූලයක ධනාත්මක සැබෑ කොටසක් තිබේ නම්, එය සංක්‍රාන්ති ක්‍රියාවලියේ අපසාරී සංරචකයක් ලබා දෙන අතර පද්ධතිය අස්ථායී වනු ඇත. එය පහත දැක්වෙන්නේ සියලුම සංරචක දුර්වල කිරීම සඳහා වන පොදු කොන්දේසිය සහ සමස්තයක් ලෙස සමස්ත සංක්‍රාන්ති ක්‍රියාවලිය, පද්ධතියේ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සියලුම මූලයන්ගේ සැබෑ කොටසෙහි ඍණාත්මක බව, i.e. පද්ධති හුවමාරු ශ්‍රිතයේ සියලුම ධ්‍රැව (හර ශුන්‍ය).

සංකීර්ණ තලයේ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් නිරූපණය කිරීමෙන් ඉහත සඳහන් කළ දේ වඩාත් පැහැදිලිව නිරූපණය කළ හැකිය (රූපය 6.2). මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ඉහතින් සොයාගත් ස්ථායීතා තත්ත්වය පහත පරිදි සකස් කළ හැක: පද්ධතියක ස්ථායීතාවය සඳහා කොන්දේසිය වන්නේ පද්ධතියේ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සියලු මූලයන් පිහිටීමයි, i.e. පද්ධතියේ හුවමාරු ශ්‍රිතයේ ධ්‍රැව, වම් සංකීර්ණ අර්ධ තලයේ, හෝ, කෙටියෙන් කිවහොත්, සියලුම මූලයන් "වම් අත" විය යුතුය. මනඃකල්පිත අක්ෂයේ මූලයක් තිබීමෙන් අදහස් වන්නේ පද්ධතිය ස්ථායීතා මායිමේ ඇති බවයි.

රූපය 6.2 සංකීර්ණ තලයේ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් පිළිබඳ රූපය

එබැවින්, මුලින්ම බැලූ බැල්මට, ස්ථායීතාවය අධ්යයනය කිරීමේ ගැටළුව කිසිදු දුෂ්කරතාවයක් ඇති නොකරයි, මන්ද එය සංකීර්ණ තලයේ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් පිහිටීම තීරණය කිරීමට ප්රමාණවත් වේ. කෙසේ වෙතත්, තුන්වන අගයට වඩා ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි ලාක්ෂණික සමීකරණයක මූලයන් තීරණය කිරීම සැලකිය යුතු දුෂ්කරතා සමඟ සම්බන්ධ වී ඇති අතර, එය ගතික ක්‍රියාවලීන් ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි අවකල සමීකරණ මගින් විස්තර කෙරෙන පද්ධතිවල ස්ථායීතාවය අධ්‍යයනය කිරීමේ ගැටලුව මතු කරයි.

මෙම ගැටලුවට අර්ධ විසඳුමක් වක්‍රව සොයාගෙන ඇත. ලාක්ෂණික සමීකරණය විසඳා නොගෙන, පද්ධතියේ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්ගේ සැබෑ කොටස්වල සලකුණු සහ එමගින් පද්ධතියේ ස්ථායීතාවය විනිශ්චය කළ හැකි සංඥා ගණනාවක් වර්ධනය කර ඇත. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, පද්ධතියක ස්ථායීතාවය අධ්යයනය කිරීමේ ගැටලුවේ සූත්රගත කිරීම් දෙකක් සාමාන්යයෙන් ඇත:

1) පද්ධතියේ සියලුම පරාමිතීන් නිශ්චිතව දක්වා ඇති අතර, මෙම පරාමිති අගයන්හිදී පද්ධතිය ස්ථාවරද යන්න තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ;

2) පද්ධතිය ස්ථායී වන සමහර පරාමිතිවල (ඉතුරු කොටස ලබා දී ඇති) අගයන් තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ.

පද්ධතිය ස්ථායී වීම සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සංගුණක හෝ මෙම සංගුණකවල කිසියම් ශ්‍රිතයක් සපුරාලිය යුතු කොන්දේසි ගණිතමය වශයෙන් සකස් කිරීම ස්ථායීතා නිර්ණායකය ලෙස හැඳින්වේ.

ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධති ස්ථායිතාව තිරසාර බවස්වයංක්රීය පාලන පද්ධති, පද්ධති හැකියාව ස්වයංක්රීය පාලනය(ACS) සාමාන්‍ය පරිදි ක්‍රියා කිරීමට සහ විවිධ නොවැළැක්විය හැකි බාධා (බලපෑම්) වලට ඔරොත්තු දීම. ආදාන සංඥාවල ප්‍රමාණවත් තරම් කුඩා වෙනස්කම් සඳහා එයින් අපගමනය අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා නම් ACS තත්වය ස්ථායී ලෙස හැඳින්වේ. U. විවිධ වර්ගයේ ස්වයං-ප්රචලිත තුවක්කු විවිධ ක්රම මගින් තීරණය කරනු ලැබේ. සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණ මගින් විස්තර කරන ලද පද්ධති සඳහා අවකල සමීකරණ පිළිබඳ නිවැරදි හා දැඩි න්‍යායක් නිර්මාණය කරන ලද්දේ ඒ.එම්. ලියපුනොව් 1892 දී.

═ රේඛීය ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතියක සියලුම අවස්ථා ස්ථායී හෝ අස්ථායී වේ, එබැවින් අපට සමස්තයක් ලෙස පද්ධතියේ පාලන පද්ධතිය ගැන කතා කළ හැකිය. සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණ මගින් විස්තර කරන ලද ස්ථාවර රේඛීය SLE සඳහා, අනුරූප ලක්‍ෂණ සමීකරණයේ සියලුම මූලයන් සෘණාත්මක තාත්වික කොටස් තිබීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ (එවිට ACS අසමමිතිකව ස්ථායී වේ). මෙම සමීකරණය √ සෘජුවම එහි සංගුණක මගින් විසඳා නොගෙන ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්ගේ සලකුණු විනිශ්චය කිරීමට කෙනෙකුට ඉඩ සලසන විවිධ නිර්ණායක (කොන්දේසි) ඇත. අඩු අනුපිළිවෙලෙහි (4 වන දක්වා) අවකල සමීකරණ මගින් විස්තර කරන ලද U. ACS අධ්යයනය කරන විට, Routh සහ Hurwitz නිර්ණායක භාවිතා කරනු ලැබේ (E. Routh, English mechanic; A. Hurwitz, German mathematician). කෙසේ වෙතත්, බොහෝ අවස්ථාවලදී මෙම නිර්ණායක භාවිතා කිරීම පාහේ කළ නොහැක්කකි (උදාහරණයක් ලෙස, ඉහළ අනුපිළිවෙල සමීකරණ මගින් විස්තර කරන ලද ස්වයංක්රීය පාලන පද්ධති සම්බන්ධයෙන්) අපහසු ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමේ අවශ්යතාවය හේතුවෙන්; මීට අමතරව, සංකීර්ණ ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතිවල ලාක්ෂණික සමීකරණ නිර්ණය කිරීම ශ්‍රම-දැඩි ගණිතමය ගණනය කිරීම් සමඟ සම්බන්ධ වේ. මේ අතර, ඕනෑම සංකීර්ණ SLU වල සංඛ්‍යාත ලක්ෂණ සරල චිත්‍රක සහ වීජීය මෙහෙයුම් භාවිතයෙන් පහසුවෙන් සොයා ගත හැක. එබැවින්, රේඛීය ස්ථාවර ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධති පර්යේෂණ හා සැලසුම් කිරීමේදී, Nyquist සහ Mikhailov හි සංඛ්‍යාත නිර්ණායක සාමාන්යයෙන් භාවිතා වේ (H. Nyquist, American physicist; A. V. Mikhailov, ස්වයංක්රීය පාලන ක්ෂේත්රයේ සෝවියට් විද්යාඥ). Nyquist නිර්ණායකය ප්‍රායෝගික භාවිතයේදී විශේෂයෙන් සරල සහ පහසු වේ. පද්ධතිය ස්ථායීව පවතින ACS පරාමිතිවල අගයන් සමූහය U ප්‍රදේශය ලෙස හැඳින්වේ, ACS කලාපයේ මායිමට ACS හි සමීපත්වය ACS හි අදියර සහ විස්තාරය සංචිත මගින් ඇස්තමේන්තු කරනු ලැබේ, ඒවා තීරණය කරනු ලැබේ. විවෘත ACS හි amplitude-phase ලක්ෂණ. රේඛීය ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධති පිළිබඳ නවීන න්‍යාය මඟින් සමතුලිත සහ බෙදා හරින ලද පරාමිති, අඛණ්ඩ සහ විවික්ත (ස්පන්දනය), ස්ථිතික සහ ස්ථාවර නොවන පාලන පද්ධති අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා ක්‍රම සපයයි.

═ රේඛීය නොවන ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධති පාලනය කිරීමේ ගැටලුව රේඛීය ඒවාට සාපේක්ෂව සැලකිය යුතු ලක්ෂණ ගණනාවක් ඇත. පද්ධතියේ රේඛීය නොවන ස්වභාවය අනුව, සමහර තත්වයන් ස්ථාවර විය හැකි අතර අනෙක් ඒවා අස්ථායී විය හැකිය. රේඛීය නොවන පද්ධති පාලනය කිරීමේ න්‍යාය තුළ, අපි කතා කරන්නේ දී ඇති තත්වයක පාලනය ගැන මිස පද්ධතිය ගැන නොවේ. මෙහෙයුම් බාධා ප්‍රමාණවත් තරම් කුඩා නම් සහ විශාල බාධා කිරීම් යටතේ උල්ලංඝනය වී ඇත්නම් රේඛීය නොවන ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතියක ඕනෑම තත්වයක පාලනය සුරැකිය හැක. එබැවින්, කුඩා, විශාල සහ සමස්ත පාලනය පිළිබඳ සංකල්ප හඳුන්වා දෙනු ලැබේ. නිරපේක්ෂ පාලනය පිළිබඳ සංකල්පය, එනම්, අත්තනෝමතික සීමිත ආරම්භක බාධාවක් යටතේ පාලන පද්ධති පාලනය සහ පද්ධතියේ ඕනෑම රේඛීය නොවන (නිශ්චිත රේඛීය නොවන පන්තියකින්) වැදගත් වේ. පරිගණකයක් භාවිතා කරන විට පවා රේඛීය නොවන ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධති පාලනය අධ්‍යයනය කිරීම තරමක් අපහසු වේ. සමීකරණ සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසි සොයා ගැනීම සඳහා, Lyapunov ශ්රිතයේ ක්රමය බොහෝ විට භාවිතා වේ. නිරපේක්ෂ U. සඳහා ප්රමාණවත් සංඛ්යාත නිර්ණායක Rum විසින් යෝජනා කර ඇත. ගණිතඥ V. M. Popov සහ වෙනත් අය විශ්වය අධ්‍යයනය කිරීමේ නිශ්චිත ක්‍රම සමඟින්, ශ්‍රිත විස්තර කිරීමේ භාවිතය මත පදනම්ව, දළ වශයෙන් ක්‍රම භාවිතා කරනු ලැබේ, උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රතිමූර්තිය හෝ සංඛ්‍යානමය ක්‍රම රේඛීයකරණය

═ අහඹු කැළඹීම් සහ මැදිහත්වීම්වල බලපෑම යටතේ ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතියක ස්ථායීතාවය ස්ටෝචස්ටික් පද්ධති පාලනය කිරීමේ න්‍යාය මගින් අධ්‍යයනය කෙරේ.

═ නවීන පරිගණක තාක්‍ෂණය මඟින් විවිධ පන්තිවල රේඛීය සහ රේඛීය නොවන ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතිවල පාලන පද්ධතිවල බොහෝ ගැටලු විසඳා ගැනීමට හැකි වේ. ඇල්ගොරිතම,සහ නවීන පරිගණක සහ පරිගණක පද්ධතිවල හැකියාවන් සඳහා නිර්මාණය කර ඇති නව විශේෂිත ඇල්ගොරිතම මත පදනම්ව.

═ Lit.: Lyapunov A. M., චලන ස්ථායීතාවයේ පොදු ගැටළුව, එකතු කිරීම. soch., vol. 2, M. √ L., 1956; Voronov A. A., ස්වයංක්රීය පාලනය පිළිබඳ න්යායේ මූලික කරුණු, t. 2, M. √ L., 1966; Naumov B. N., රේඛීය නොවන ස්වයංක්‍රීය පද්ධති පිළිබඳ න්‍යාය. සංඛ්යාත ක්රම, එම්., 1972; ස්වයංක්‍රීය පාලනයේ මූලික කරුණු, සංස්. V. S. Pugacheva, 3rd ed., M., 1974.

═ V. S. Pugachev, I. N. Sinitsyn.

මහා සෝවියට් විශ්වකෝෂය. - එම්.: සෝවියට් විශ්වකෝෂය. 1969-1978 .

වෙනත් ශබ්ද කෝෂවල “ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතියක ස්ථායිතාව” යනු කුමක්දැයි බලන්න:

අන්තර්ගතය 1 ඉතිහාසය 2 මූලික සංකල්ප 3 ක්‍රියාකාරී ... විකිපීඩියාව

ස්වයංක්‍රීය පාලන න්‍යාය- ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතියක් (ACS) ඉදිකිරීමේ මූලධර්මය අධ්‍යයනය කරන විද්‍යාත්මක දිශාවකි. ටී. ඒ. u. කළමනාකරණය පිළිබඳ සාමාන්‍ය න්‍යායේ එක් කොටසකි. T. හි අරමුණ. u. කාර්යක්ෂම සහ නිවැරදි ස්වයංක්‍රීය තුවක්කු ගොඩනැගීම. සරලම සහ වඩාත් පොදු ... ... මනෝවිද්‍යාව සහ අධ්‍යාපනය පිළිබඳ විශ්වකෝෂ ශබ්දකෝෂය

ගුවන් යානයක වායු ටර්බයින එන්ජිම සඳහා තෝරාගත් පාලන වැඩසටහන් අවශ්‍ය නිරවද්‍යතාවයෙන් ස්වයංක්‍රීයව ක්‍රියාත්මක කිරීම සහතික කරන උපාංග සමූහයක් එහි ක්‍රියාකාරීත්වයේ ස්ථායී සහ අස්ථිර මාදිලියේ. එස්. ඒ. u. ගෑස් ටර්බයින එන්ජිම පහත සඳහන් දේ සිදු කරයි ... තාක්ෂණ විශ්වකෝෂය

විශ්වකෝෂය "ගුවන්"

ගෑස් ටර්බයින් එන්ජින් ස්වයංක්රීය පාලන පද්ධතිය- ගෑස් ටර්බයින එන්ජිමක ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතිය ගුවන් යානයක ගෑස් ටර්බයින එන්ජිම සඳහා තෝරාගත් පාලන වැඩසටහන් අවශ්‍ය නිරවද්‍යතාවයෙන් ස්වයංක්‍රීයව ක්‍රියාත්මක කිරීම සහතික කරන උපාංග සමූහයක් ස්ථාවර හා තාවකාලිකව ... ... විශ්වකෝෂය "ගුවන්"

I අවකල සමීකරණවල විසඳුම්වල ස්ථායීතාවය, අවකල සමීකරණවල ගුණාත්මක න්‍යාය පිළිබඳ සංකල්පය, විශේෂයෙන් යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේ චලිතයේ ස්ථායීතාවය පිළිබඳ ගැටළු (චලිතයේ ස්ථායිතාව බලන්න) සම්බන්ධව වර්ධනය කරන ලදී; ද වැදගත් වේ...

ස්ථායීතාවය යනු බාහිර බලපෑම් හමුවේ පවතින තත්ත්වය පවත්වා ගැනීමට පද්ධතියකට ඇති හැකියාවයි. සාර්ව ආර්ථික විද්‍යාවේදී තිරසාර බව යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ සම්පත් සූරාකෑම සහ මානව සමාජයේ සංවර්ධනය අතර දිගුකාලීන සමතුලිතතාවයි. කාලගුණ විද්‍යාවේ... ... විකිපීඩියාව

ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධති ස්ථායිතාව බලන්න... මහා සෝවියට් විශ්වකෝෂය

කළමනාකරණ ව්‍යුහය යනු පාලිත වස්තුවක් පිළිබඳ තොරතුරු රැස් කිරීම සහ යම් යම් අරමුණු සාක්ෂාත් කර ගැනීම සඳහා එහි හැසිරීමට බලපෑම් කිරීමේ මාධ්‍යයන් පිළිබඳ ක්‍රමානුකූල (දැඩි ලෙස අර්ථ දක්වා ඇති) මාධ්‍ය සමූහයකි. පාලන පද්ධතියක වස්තුව විය හැක... ... විකිපීඩියාව

ගුවන් යානා, ගුවන් යානයක හැකියාව (ස්ථාවරත්වය සහ පාලනය වැඩි දියුණු කිරීම සඳහා පද්ධතියක් සහිත ගුවන් යානයක් ඇතුළුව), නියමු මැදිහත්වීමකින් තොරව, ක්‍රියාව අවසන් වීමෙන් පසු කල්පවත්නා චලිතයේ මුල් මාදිලිය යථා තත්වයට පත් කිරීමට ... තාක්ෂණ විශ්වකෝෂය

පොත්

• MATLAB හි විසඳුම් සමඟ උදාහරණ සහ ගැටළු වල ස්වයංක්‍රීය පාලනය පිළිබඳ න්‍යාය. පෙළපොත, Gaiduk Anatoly Romanovich, Pyavchenko Tamila Alekseevna, Belyaev Viktor Egorovich. "ස්වයංක්‍රීය පාලන න්‍යාය" යන විනයෙහි ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා වන ගැටළු මෙන්ම සලකා බලනු ලබන සියලුම ආකාරයේ උදාහරණ සහ ගැටළු විසඳීම සඳහා අත්පොතෙහි ක්‍රම අඩංගු වේ. ද්‍රව්‍ය…
• MATLAB හි විසඳුම් සමඟ උදාහරණ සහ ගැටළු වල ස්වයංක්‍රීය පාලනය පිළිබඳ න්‍යාය. නිබන්ධනය. රුසියානු විශ්ව විද්‍යාල වල අධ්‍යාපන ආයතනයේ Grif, Gaiduk Anatoly Romanovich, Pyavchenko Tamila Alekseevna, Belyaev Viktor Egorovich. "ස්වයංක්‍රීය පාලන න්‍යාය" යන විනයෙහි ස්වාධීන විසඳුම සඳහා වන ගැටළු මෙන්ම සලකා බලනු ලබන සියලු වර්ගවල උදාහරණ සහ ගැටළු විසඳීම සඳහා අත්පොත අඩංගු වේ. ද්‍රව්‍ය…

දැනුම පදනම සරලයි ඔබේ හොඳ වැඩ යවන්න. පහත පෝරමය භාවිතා කරන්න

සිසුන්, උපාධිධාරී සිසුන්, ඔවුන්ගේ අධ්‍යයන හා වැඩ කටයුතුවලදී දැනුම පදනම භාවිතා කරන තරුණ විද්‍යාඥයින් ඔබට ඉතා කෘතඥ වනු ඇත.

පළ කර ඇත http:// www. allbest. ru/

ස්ථාවරත්වය SIස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතිය

1. ස්ථාවරත්ව න්‍යායේ මූලික සංකල්ප

1.1 පළමු ආසන්න සමීකරණ භාවිතා කරමින් ස්ථායීතාවය අධ්‍යයනය කිරීම

1.2 වීජීය ස්ථායිතා නිර්ණායක

1.3 සංඛ්යාත ස්ථායීතා නිර්ණායක

2. ස්ථාවරත්වයේ ප්රදේශ හඳුනා ගැනීම

ග්රන්ථ නාමාවලිය

1. මූලික කරුණුස්ථාවරත්ව න්‍යායේ නව සංකල්ප

එහි ක්‍රියාකාරිත්වය අතරතුර, පද්ධතිය විවිධ ආකාරයේ බාධාකාරී බලපෑම් වලට යටත් වන අතර එමඟින් සමතුලිතතා ස්ථානයෙන් හෝ ලබා දී ඇති චලනයකින් එහි අපගමනය සිදු වේ.

ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතියක් p වලින් අපගමනය වීමට හේතු වූ බාධාවන් නැවැත්වීමෙන් පසු ස්ථායී ලෙස හැඳින්වේ. ඕසමතුලිත තත්ත්වය, එය මෙම සමතුලිත තත්ත්වය වෙත ආපසු හෝඒමෙම ව්යාපාරයේ.

එබැවින්, ක්‍රියා කළ හැක්කේ ස්ථාවර පද්ධතියක් පමණිබීනෝවා.

ACS ආකෘතියේ රේඛීය නොවන ස්ථාවර අවකල සමීකරණ පද්ධතියකින් විස්තර කිරීමට ඉඩ දෙන්න

කොහෙද yk - පද්ධති රාජ්ය විචල්යයන්;

Yk - සමහර ස්ථාවර වසම් තුළ අර්ථ දක්වා ඇති දන්නා කාර්යයන් ජී විචල්ය අවකාශයන් yk ඕනෑම අවස්ථාවක ටී >0.

මෙම අවකාශයේ, සමීකරණ (3.1) සංරචක තීරණය කරයි Yk නිශ්චිත ලක්ෂ්‍යයක ප්‍රවේග දෛශිකය එම් , නියෝජනය කරන ලක්ෂ්‍යය ලෙස හැඳින්වේ. භෞතික දෘෂ්ටි කෝණයකින්, ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතියට යටත් වන එම භෞතික නීති වාර්තා කිරීමේ ගණිතමය ආකාරයක් ලෙස සමීකරණ (3.1) සැලකිය යුතුය. කලාපයේ ජී කාර්යය අර්ථ දැක්වීම් Yk යනු මෙම භෞතික නීතිවල ක්‍රියාව විහිදෙන රාජ්‍ය අවකාශයේ කොටසකි.

ප්‍රමාණයට ඉඩ දෙන්න වයි 10,...., yn 0 රාජ්ය විචල්යවල ආරම්භක අගයන් දක්වන්න. ආරම්භක අගයන්හි සෑම පද්ධතියක්ම අද්විතීය විසඳුමකට අනුරූප වේ

ඕනෑම දෙයක් සඳහා අර්ථ දක්වා ඇති සමීකරණ සියලු චලනයන් අතර, කාලයෙහි දී ඇති කාර්යයන් මගින් විස්තර කර ඇති එකක් ගැන අපි උනන්දු වෙමු යැයි උපකල්පනය කරමු

විශේෂ අවස්ථාවකදී පද්ධතිය නිශ්චල වන විට සහ ක්‍රියා කරයි Yk පැහැදිලිවම කාලයෙන් ස්වාධීන වේ, එවිට චලනයන් (3.3) ස්ථාවර වේ. ඒවාට පිළිතුරු සපයනු ලබන්නේ ඊනියා පැහැදිලි විසඳුම් මගිනි

සමීකරණවල මූලයන් ලෙස සේවය කරයි

පහත දැක්වෙන දෙයෙහි අපි එහි ස්ථාවර චලිතය විශේෂ අවස්ථාවක් ලෙස සලකමින් විසඳුමක් (3.3) ඇති පද්ධතියක චලිතයේ ස්ථායීතාවය ගැන කතා කරමු. දී ඇති චලිතයකින් අපගමනය සලකා බැලීම සඳහා අපි හඳුන්වා දෙමු

සඳහා ප්‍රකාශන ආදේශ කිරීම yk මුල් සමීකරණ පද්ධතියෙන් ලබාගත්, අපි ලබා ගනිමු

,

කොහෙද

සමීකරණ ලියා ඇත්තේ කිසියම් කැළඹීමක ප්‍රතිඵලයක් ලෙස පෙනෙන අපගමනයට සාපේක්ෂව වන අතර, ලියාපුනොව්ගේ පාරිභාෂිතය ලෙස හැඳින්වේ. සමීකරණයඊකැළඹුණු චලිතයේ නියාමි.

ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්‍යයකට මාරු කිරීම සූත්‍රය තීරණය කරයි, එබැවින් පද්ධතියේ විසඳුම (3.1) අගයන් වෙත අභිසාරී වේ නම්, පද්ධතියේ විසඳුම ශුන්‍යයට අභිසාරී වේ. සමීකරණ

යනුවෙන් හැඳින්වේ නොකැළඹුණු චලිතයේ සමීකරණ.

හිදී ටී = ටී 0 විචල්යයන් x කේ ඔවුන්ගේ ආරම්භක අගයන් ගන්න xk 0 යනුවෙන් හඳුන්වනු ලැබේ බාධා කිරීම්.එවැනි කැළඹීම් ඇති සෑම පද්ධතියක්ම අද්විතීය විසඳුමකට අනුරූප වේ

මෙම විසඳුම් නියෝජනය කරයි පද්ධතියේ කැළඹිලි චලිතය.

හි වෙනස්කම් වල හැසිරීම අපි අධ්යයනය කරමු ටී > ටී 0 . මේ සඳහා, සමීකරණය සලකා බලන්න

තුළ නිර්වචනය කරයි n - නියෝජනය කරන ලක්ෂ්‍යයේ දුර ප්‍රමාණයේ මාන අවකාශයේ චතුරස්‍රය එම් මූලාරම්භයේ සිට. හි බාධාකාරී චලනය t>t0 පහත පරිදි ඉදිරියට යා හැක:

M නියෝජනය කරන ලක්ෂ්‍යය ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භයෙන් සහ අගයෙන් තව තවත් ඈතට ගමන් කරයි ආර් සීමාවකින් තොරව වැඩි වේ (රූපය 3.1 හි වක්රය 1);

නිරූපිත ලක්ෂ්‍යය M මූලාරම්භයේ නිශ්චිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තුළ පවතී, එවිට ප්‍රමාණය ආර් සෑම විටම කලින් තීරණය කළ කුඩා ධන සංඛ්‍යාවක් නොඉක්මවන සීමිත අගයක් ඇත , එම. ආර් < (රූපය 3.1 හි වක්රය 2);

නියෝජනය කරන ලක්ෂ්‍යය M කාලයත් සමඟ ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය වෙත නැවත පැමිණේ, i.e. (රූපය 3.1 හි වක්‍රය 3).

සහල්. 3.1 නිරූපණය කරන ලක්ෂ්‍යයේ චලනයේ වර්ග

සමතුලිත තත්ත්වය xk =0 මුලික බාධාවක් ඇති වූ පසු පද්ධතිය දිගටම පැවතුනහොත් ස්ථායී ලෙස සැලකිය හැක bසහආසන්නතම අසල්වැසිසමතුලිත තත්ත්වය හෝ එය වෙත ආපසු යාම. "ක්ෂණික අසල්වැසි" සංකල්පයට නිශ්චිත අර්ථකථනයක් ලබා දීම අවශ්ය වන අතර ස්ථාවරත්වය පිළිබඳ න්යායේ නිර්මාතෘ A.M. ලියපුනොව් ස්ථාවරත්වය පිළිබඳ පහත අර්ථ දැක්වීම ලබා දුන්නේය.

නොකැළඹුණු චලිතය ප්‍රමාණවලට සාපේක්ෂව ස්ථායී යැයි කියනු ලැබේxk , කිසියම් අත්තනෝමතික ලෙස ලබා දී ඇති ධනාත්මක චි සඳහා නම්සමගle, එය කොතරම් කුඩා වුවත්, එවැනි තවත් ධනාත්මක සංඛ්යාවක් වනු ඇත ( ) , බාධා කිරීම් සඳහාxk 0 , තෘප්තිමත් කොන්දේසිසහබතල

කැළඹුණු චලිතය අසමානතාවයන් තෘප්තිමත් කරනු ඇත

ඕනෑම අවස්ථාවකටී > ටී 0. අසමානතාවයන් අවසර ලත් ආරම්භක අපගමනය පරාසය සීමා කරයි.

අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා නම් >0 සොයා ගැනීමට නොහැක ( ) , අසමානතාවයන් (3.11) තෘප්තිමත් වන විට, පද්ධතිය අස්ථායී වේ.

පද්ධතිය ස්ථායී නම් සහ එහි චලනය එබඳු වේ, එතකොට මේ siසමගමාතෘකාව අසමමිතිකව ස්ථායී වේ.

එය Fig. 3.1, වක්‍රය 1 අස්ථායී පද්ධතියකට ද, වක්‍රය 2 ස්ථාවර පද්ධතියකට ද, වක්‍රය 3 අසමමිතික ස්ථායී පද්ධතියකට ද අනුරූප වේ.

ඒ.එම්. ලියාපුනොව් ස්වයං-ප්‍රචලිත තුවක්කු වල ස්ථායීතාවය තක්සේරු කිරීම සඳහා විවිධ ක්‍රම සකස් කළේය. සෘජු, හෝ ඊනියා දෙවන Lyapunov ක්රමය, සියලු පන්ති පද්ධති අධ්යයනය කිරීම සඳහා අදාළ වන අතර විශේෂ Lyapunov කාර්යයන් භාවිතා කිරීම මත පදනම් වේ. සැලකිය යුතු පද්ධති සංඛ්‍යාවක් කුඩා අපගමන ක්‍රමය භාවිතා කරමින් රේඛීයකරණයට ඉඩ දෙන බව අපි දැනටමත් පවසා ඇති අතර, කුඩා වල ස්ථායීතාවය පිළිබඳ විනිශ්චයන් පිළිගැනීමට ප්‍රථම වරට ලියපුනොව් සමත් විය, i.e. කුඩා අපගමනය සඳහා, රේඛීයකරණයේ ප්රතිඵලයක් ලෙස ලබාගත් පළමු ආසන්න සමීකරණවලට අනුව මුල් රේඛීය නොවන පද්ධතිය.

1 . 1 තිරසාරභාවය පිළිබඳ පර්යේෂණපළමු ආසන්න සමීකරණ

ඕනෑම රේඛීය අවකල සමීකරණයකට පෝරමයේ විසඳුමක් ඇත

,

කොහෙද මම - ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්, x ටී( ටී ) - පද්ධතියේ අවශ්ය චලනය තීරණය කරන විශේෂිත විසඳුමක්. ලබා දී ඇති ව්යාපාරයෙන් බැහැරවීම පෝරමයේ ලියා ඇත

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සියලුම මූලයන් සෘණ නම් (සෘණ තාත්වික කොටසක් තිබේ නම්), එවිට රේඛීය පද්ධතිය අසමමිතිකව ස්ථායී වේ. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් අතර අවම වශයෙන් ධනාත්මක සැබෑ කොටසක් ඇති එකක් තිබේ නම්, රේඛීය පද්ධතිය ද අස්ථායී වේ. රේඛීය පද්ධතියක ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්ගෙන් කුඩා අපගමනය සඳහා මුල් රේඛීය නොවන පද්ධතියේ ස්ථායීතාවය ඇගයීමට ලක් කළ හැකිද? ඒ.එම්. Lyapunov කුඩා දී ස්ථාවරත්වය පිළිබඳ පහත සඳහන් ප්රමේය ඔප්පු කළේය.

ප්රමේයය 1. සැබෑ කොටස් නම් කේ සියලු මූලයන් කේ j කේ පළමු ආසන්නයේ ලාක්ෂණික සමීකරණ ඍණාත්මක වේ, එවිට මුල් රේඛීය නොවන පද්ධතියේ නොකැළඹුණු චලිතය කුඩාත්වයේ පළමු අනුපිළිවෙලට ඉහලින් සැලකිල්ලට නොගත් ටේලර් ශ්‍රේණියේ ප්‍රසාරණයේ නියමයන් නොසලකා අසමමිතිකව ස්ථායී වේ.

ප්රමේයය 2. පළමු ආසන්නයේ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් අතර අවම වශයෙන් ධනාත්මක තාත්වික කොටසක් සහිත එකක් තිබේ නම්, මුල් රේඛීය නොවන පද්ධතියේ නොකැළඹුණු චලිතය, කුඩාත්වයේ පළමු අනුපිළිවෙලට වඩා ටේලර් ශ්‍රේණි ප්‍රසාරණයේ නියමයන් කුමක් වුවත්, අස්ථායී වේ. සැලකිල්ලට නොගන්නා බව.

පළමු ආසන්න සමීකරණ භාවිතයෙන් ස්ථායීතාවය විනිශ්චය කළ නොහැකි තීරණාත්මක අවස්ථාවන් පැන නගින්නේ සියලු මූලයන් අතර සැබෑ කොටස ශුන්‍යයට සමාන වන මූල සමූහයක් තිබේ නම් සහ ඉතිරි ඒවාට සෘණ තාත්වික කොටස් තිබේ නම්.

අපි චිත්රය දෙස බලමු.

සෘණ තාත්වික කොටස් ඇති ලක්ෂණ සමීකරණයේ මූලයන් වම් අර්ධ තලයේ පිහිටා ඇති අතර පද්ධතියේ ස්ථායී මූලයන් (ධ්රැව) ලෙස හැඳින්වේ. ධනාත්මක සැබෑ කොටස් සහිත මූලයන් දකුණු අර්ධ තලයේ පිහිටා ඇති අතර පද්ධතියේ අස්ථායී ධ්රැව වේ. මෙම දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, මනඃකල්පිත අක්ෂය ස්ථායීතා මායිම වන අතර වම් පසින් පැටවුන් වේ.

පද්ධතියක ලාක්ෂණික බහුපදයට එක් ශුන්‍ය මූලයක් ඇති අතර, ඉතිරි මූලයන් වම් අර්ධ තලයේ පවතින විට නිතර හමුවන අවස්ථාව සිත්ගන්නා කරුණකි. මෙය නිදහස් පදය ශුන්‍යයට සමාන වන පද්ධතියේ සමීකරණයට අනුරූප වේ a .

ක්‍රියාකරු වරහන් වලින් පිටතට ගැනීම s , අපිට ලැබෙනවා

ශුන්ය ආරම්භක කොන්දේසි යටතේ Laplace ක්රියාකරු අවකලනය සංකේතයක් වන බැවින්, අවසාන සමීකරණය පාලිත විචල්යයේ වේගයට සාපේක්ෂව ලියා ඇති බව අපට නිගමනය කළ හැකිය. ලාක්ෂණික සමීකරණය

කොන්දේසිය අනුව, එයට ඇත්තේ ස්ථායී මූලයන් පමණක් වන අතර, එබැවින්, පාලිත විචල්‍යයේ වේගයට සාපේක්ෂව පද්ධතිය ස්ථායී වේ. නියාමනය කරන ලද ප්‍රමාණයට අදාළව, පද්ධතිය මධ්‍යස්ථ වන අතර නියාමනය කිරීමේ ක්‍රියාවලිය අවසන් වීමෙන් පසු එහි අගය අත්තනෝමතික වන අතර ආරම්භක කොන්දේසි මත රඳා පවතී. එවැනි පද්ධති ලෙස හැඳින්වේ මධ්යස්ථ ස්ථාවර.

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්ගෙන් සෘජුවම ස්ථායිතාව තක්සේරු කිරීම කළ හැකි නමුත් ඉංජිනේරු හා විද්‍යාත්මක භාවිතයේදී එතරම් ප්‍රයෝජනයක් නැත, මන්ද මූලවල සංඛ්‍යාත්මක අගයන් පිළිබඳ දැනුම පද්ධතිය අස්ථායී නම් හෝ එය ස්ථාවර කළ හැකි ක්‍රම පිළිබඳ තොරතුරු රැගෙන නොයන බැවිනි. ස්ථාවරත්වයේ කුඩා මායිම් ඇත. එබැවින්, ස්ථායීතා විශ්ලේෂණයේ අරමුණු සඳහා, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් නිර්ණය නොකර ස්ථායීතා ගැටළු අධ්යයනය කිරීමට හැකි වන පරිදි විශේෂ නිර්ණායක සකස් කර ඇත.

1.2 ඇල්ජීබ්වාර්ගික තිරසාර නිර්ණායක

ස්ථාවරත්වය සඳහා අවශ්ය කොන්දේසිය.

එහි මූලයන් නිර්ණය කිරීමෙන් පසු පද්ධතියේ ලාක්ෂණික සමීකරණය ලෙස නිරූපණය කළ හැක

පද්ධතිය ස්ථායී නම් සහ එහි සියලුම මූලයන් සෘණාත්මක තාත්වික කොටස් තිබේ නම්, අවසාන ප්‍රකාශනයේ වරහන් විවෘත කිරීමෙන් පසු අපි පද්ධතියේ ලාක්ෂණික සමීකරණය ලබා ගනිමු.

,

එහි සියලු සංගුණක ඒ මම , මම =1,2,... n , ශුන්යයට වඩා දැඩි ලෙස වැඩි වනු ඇත.

පද්ධතිය ස්ථාවර වීමට නම්, එහි ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සියලුම සංගුණක n ට වඩා දැඩි ලෙස වැඩි වීම අවශ්‍ය නමුත් ප්‍රමාණවත් නොවේ. හිදීla.

ප්‍රමාණවත් නොවන සංකල්පය යනු පද්ධතියක ලාක්ෂණික සමීකරණයේ කිසියම් සංගුණකයක් ශුන්‍යයට වඩා අඩු නම් හෝ ශුන්‍යයට සමාන නම්, පද්ධතිය අස්ථායී වේ, නමුත් සියලු සංගුණකවල ධනාත්මක බව පද්ධතිය ස්ථායී බව අදහස් නොවේ. තවත් පර්යේෂණ අවශ්ය වේ.

Hurwitz ස්ථායිතා නිර්ණායකය.

මෙම නිර්ණායකයට අනුව ස්ථායීතාවය තක්සේරු කිරීම සඳහා, පහත දැක්වෙන නීතිරීතිවලට අනුව ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සංගුණක වලින් Hurwitz නිර්ණය කිරීම අවශ්ය වේ:

ප්‍රධාන විකර්ණය දිගේ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සියලුම සංගුණක a1 කලින් ඒ n දර්ශකවල ආරෝහණ අනුපිළිවෙලින්;

නිර්ණායකයේ තීරු ප්‍රධාන විකර්ණයේ සිට පහළට දර්ශක අඩු කිරීමෙන් සහ ඉහළට දර්ශකවලින් සංගුණකවලින් පිරී ඇත;

දර්ශක වැඩි සංගුණක ස්ථාන n හෝ බිංදුවට වඩා අඩු බිංදු වලින් පිරී ඇත.

උදාහරණයක් ලෙස, අපි 5 වන ඇණවුම් පද්ධතියක් සඳහා Hurwitz නිර්ණායකය රචනා කරමු. පද්ධතියේ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත

එහිදී සියලුම සංගුණක ශුන්‍යයට වඩා දැඩි ලෙස වැඩි වේ. අපිට ලැබෙනවා

.

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සියලුම මූලයන් සෘණ තාත්වික කොටස් තිබීමට සහ පද්ධතිය ස්ථාවර වීමට නම්, එය අවශ්‍ය වේ. සහසියලුම සංගුණක සහ සියලුම විකර්ණ තීරණය කිරීම ප්‍රමාණවත් වේඊHurwitz නිර්ණායකය ශුන්‍යයට වඩා දැඩිව වැඩිද යන්න.

5 වන ඇණවුම් පද්ධතියේ ස්ථායීතාවය සඳහා, පහත සඳහන් කොන්දේසි සපුරාලිය යුතුය:

ඒ කේ >0, කේ =0,1,2,...5;

2 =a1a2 - a0a3>0;

3=a3 2 - a12a4>0;

4 = a4 3 -a2a5 2 + a0a5(a1a4 - a0a5)>0;

5 =a5 4>0.

අවශ්‍ය ස්ථායිතා තත්ත්වය තෘප්තිමත් වන විට, සෑම විටම ඒ n >0, එවිට පද්ධතියේ ස්ථායීතාවය දක්වා නිර්ණායක මගින් විනිශ්චය කළ හැක n -1 ඇතුළුව . නම් බව ඔප්පු වී ඇත n -1=0, එවිට පද්ධතිය දෝලන ස්ථායීතා මායිම මත වේ, i.e. තනිකරම මනඃකල්පිත මූලයන් යුගලයක් ඇත. කොන්දේසියෙන් n -1=0 එය ස්ථායීතා මායිම කරා ළඟා වන පද්ධති පරාමිතීන්ගේ තීරණාත්මක අගයන් තීරණය කළ හැකිය.

උදාහරණයක්. ගුවන් යානා තණතීරු කෝණ ස්ථායීකරණ පද්ධතියේ ස්ථායීතාවය විමර්ශනය කිරීම සහ ස්වයංක්‍රීය පිට්ටනි අනුපාතයෙහි තීරණාත්මක අගය තීරණය කිරීම. පද්ධතිය බ්ලොක් රූප සටහනක් මගින් නියම කර ඇත.

රූප සටහනේ දැක්වෙන්නේ:

කේ- ආම්පන්න අනුපාතය (සම්ප්රේෂණ සංගුණකය) තාර කෝණයෙහි ස්වයංක්රිය නියමු;

සුක්කානම් ගියර් මාරු කිරීමේ කාර්යය;

තාර කෝණික ප්‍රවේගය අනුව ගුවන් යානයක හුවමාරු කාර්යය z ;

කේ z - තාර කෝණික ප්‍රවේගය සඳහා ස්වයංක්‍රීය නියමු ගියර් අනුපාතය.

විවෘත-ලූප් පද්ධතියක මාරු කිරීමේ කාර්යය සඳහා, අපට ලිවිය හැකිය

කොහෙද

සංවෘත ලූප පද්ධතියේ මාරු කිරීමේ කාර්යය ස්වරූපය ගනී

කොහෙද

අපි Hurwitz නිර්ණායකය රචනා කරමු

පහත පරාමිති අගයන් සඳහා පද්ධතියේ ස්ථායීතාවය ඇගයීමට ලක් කරමු:

.

අප ලබා ගන්නා ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සංගුණක සඳහා මෙම අගයන් සමඟ

එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, සංවෘත ලූප පද්ධතියක ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සියලුම සංගුණක ධනාත්මක සහ

ස්ථායීතා තත්ත්වයන් තෘප්තිමත් වන අතර තෝරාගත් පරාමිතීන් යටතේ පද්ධතිය ස්ථාවර වේ.

තාර කෝණය සඳහා ගියර් අනුපාතයේ තීරණාත්මක අගය තීරණය කරමු, ඒ සඳහා අපි තුන්වන විකර්ණ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන කර පරිවර්තනයන් සිදු කරමු.

අවසාන ප්රකාශනයේ පමණි ඈ 3 සහ ඈ 4 සංගුණකයේ කාර්යයන් වේ කේ සහ ඒවාට ආදේශ කිරීම, මෙම සංගුණකය සඳහා චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් අපට ලැබේ

මෙම සමීකරණය විසඳා ගැනීමෙන්, අපි තාර අනුපාතයෙහි තීරණාත්මක අගය ලබා ගනිමු

පද්ධතිය ස්ථාවර නම් කේ <16.56.

රවුත් ස්ථායිතා නිර්ණායකය.

Routh නිර්ණායකයට Hurwitz නිර්ණායකයට වඩා තරමක් අඩු ගණනය කිරීමක් අවශ්‍ය වන අතර පරිගණක වැඩසටහන්කරණය සඳහා වඩාත් පහසු වේ. මෙම නිර්ණායකය භාවිතා කරමින් පද්ධතියේ ස්ථාවරත්වය විනිශ්චය කිරීම සඳහා, Routh වගුවක් සම්පාදනය කිරීම අවශ්ය වේ.

මාර්ග වගුව

සඳහා එක් එක් පේළියේ මූලද්රව්ය මම >2 සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් l හි පිහිටා තිබීම සඳහාඊඅර්ධ තලය සහ පද්ධතිය ස්ථායී වේ, රවුත් වගුවේ පළමු තීරුවේ සියලුම අංග දැඩි ලෙස ධනාත්මක වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ සහටෙල්නි.

1.3 සංඛ්යාත ස්ථායීතා නිර්ණායක

තර්කයේ මූලධර්මය.

සංඛ්‍යාත ස්ථායිතා නිර්ණායක චිත්‍රක-විශ්ලේෂණාත්මක ආකාරයෙන් භාවිතා වන අතර ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමේදී විශාල පැහැදිලිතාවයකින් කැපී පෙනේ. සියලුම සංඛ්යාත ක්රම තර්කයේ මූලධර්මය මත පදනම් වේ.

පද්ධතියේ ලාක්ෂණික සමීකරණය සලකා බලන්න

නම් මම , මම =1,2,... n - මෙම සමීකරණයේ මූලයන්, එසේ නම්

සංකීර්ණ තලයේ සෑම මූලයක්ම නිශ්චිත ලක්ෂ්‍යයකට අනුරූප වන අතර ජ්‍යාමිතිකව මෙම තලයේ සෑම මූලයක්ම මාපාංකය සහිත දෛශිකයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැක. මම , මූලාරම්භයෙන් ඇද ගන්නා ලදී (රූපය 3.4). අපි ආදේශකයක් කරමු s = j සහ අපට ලැබේ

දෛශික අඩු කිරීමේ රීතියට අනුකූලව, අපි එක් එක් මූලික දෛශිකයේ අවසානය ලබා ගනිමු. ( j - මම ) මනඃකල්පිත අක්ෂය මත වන්න.

දෛශික තර්කය ඩී ( j ) මූලික දෛශිකවල තර්ක එකතුවට සමාන වේ

දෛශික භ්රමණ දිශාව ( j - මම ) සිට සංඛ්යාතය වෙනස් වන විට වාමාවර්තව - + දක්වා ධනාත්මක ලෙස සලකනු ලැබේ, සහ දක්ෂිණාවර්තව - සෘණ. අපි හිතමු ලාක්ෂණික සමීකරණයට තියෙනවා කියලා එම් දකුණු අර්ධ තලයේ මුල් සහ n - එම් වම් අර්ධ තලයේ මුල්. සිට සංඛ්යාතය වෙනස් වන විට - + වෙත එක් එක් දෛශිකය ( j - මම ), එහි මූලාරම්භය වම් අර්ධ තලයේ පිහිටා ඇත්තේ කෝණයක් හරහා භ්‍රමණය වේ + , සහ දකුණු අර්ධ තලයේ සම්භවය ඇති සෑම දෛශිකයක්ම - කෝණයකින් - . දෛශික තර්කයක් වෙනස් කිරීම ඩී ( j ) තිබෙනු ඇත

මෙම ප්රකාශනය තර්කයේ මූලධර්මය නිර්වචනය කරයි.

දෛශික තර්කයක් වෙනස් කිරීමඩී ( j ) සංඛ්යාතය වෙනස් වන විට -+ වෙතඅංකය අතර වෙනසට සමාන වේ( n - එම් ) සමීකරණයේ මූලයන් ඩී ( s )=0 , වම් අර්ධ තලයේ වැතිර සිටින අතර, අංකයඑම් මෙම සමීකරණයේ මූලයන් දකුණු අර්ධයේ පිහිටා ඇතහිදීගුවන් යානය ගුණ කර ඇත .

මිහයිලොව් ස්ථායිතා නිර්ණායකය.

(3.14) සිට එය පහත දැක්වෙන්නේ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සියලුම මූලයන් වම් අර්ධ තලයේ තිබේ නම්, i.e. එම් =0 , එම

මෙය මිහයිලොව් නිර්ණායකයේ පළමු සූත්‍රගත කිරීම ඇඟවුම් කරයි.

සංඛ්‍යාතය වැඩි වන විට ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතිය ස්ථායී වේ -+ වෙතදෛශික තර්කය වෙනස් කිරීමඩී ( j ) සමාන වනු ඇතn , කොහෙදn - ලාක්ෂණික සමීකරණයේ අනුපිළිවෙල.

දෛශිකය ඩී ( j ) ස්වරූපයෙන් නිරූපණය කළ හැකිය

මෙම ප්‍රකාශනයේ සැබෑ සංරචකය ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක් වන අතර මනඃකල්පිත සංරචකය සංඛ්‍යාතයේ ඔත්තේ ශ්‍රිතයකි, i.e. යූ (- )= යූ ( ); වී (- )= - වී ( ) සහ ඩී (- j )= යූ ( ) - jV ( ).

මිහයිලොව් වක්‍රය සැබෑ අක්ෂයට සාපේක්ෂව සමමිතික වන අතර එය ගොඩනඟන විට කෙනෙකුට තමාගෙන් සංඛ්‍යාත පරාසයට සීමා විය හැකිය. 0 + වෙත . දෛශික තර්කයක් වෙනස් කිරීම ඩී ( j ) මෙම අවස්ථාවේ දී, එය අඩකින් අඩු වන අතර මිහයිලොව් නිර්ණායකය සකස් කිරීම පහත පරිදි වේ.

සංඛ්‍යාතය 0 සිට + දක්වා වැඩි වූ විට ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතිය ස්ථායී වේදෛශිකයඩී ( j ) කෝණයකට හැරෙනු ඇතn /2 හෝ, සමාන වන්නේ කුමක්ද, Mikhailov වක්රය සංඛ්යාතයේ එකම වෙනසක් සහිත නම්, ස්ථානයෙන් ආරම්භ වේසහසැබෑ සැබෑ අර්ධ අක්ෂය, ධන n වලින් අනුක්‍රමිකව ගමන් කරයිඒමණ්ඩලයn quadrants සහ අවසන් වේn -ඕම් quadrant (රූපය 3.5).

අවම වශයෙන් එක් චතුරස්රයක් අතුරුදහන් වී ඇත්නම් (රූපය 3.6), එවිට පද්ධතිය අස්ථායී වේthචිවා.

ස්ථාවර ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතියක් සඳහා මිහයිලොව් වක්‍රයේ හැසිරීම නිරීක්ෂණය කිරීමෙන් කෙනෙකුට එය හරහා යන විට දැකිය හැකිය. n සමීකරණවල හතරැස් මූලයන් යූ ( )=0 සහ වී ( )=0 එකිනෙකා සමඟ විකල්ප, i.e. සමීකරණයේ මූල දෙකක් අතර වී ( )=0 සමීකරණයේ එක් මූලයක් ඇත යූ ( )=0.

පද්ධති සමීකරණවල මූලයන් නම් ස්වයංක්‍රීය පාලනය ස්ථායී වේවී ( )=0 සහ යූ ( )=0 සැබෑ සහ එකිනෙකා අතරමැදි.

පද්ධතිය ස්ථාවරත්වයේ මායිමේ විය හැකි අතර මෙය අවස්ථා දෙකකට අනුරූප වේ:

පද්ධතියේ ලාක්ෂණික සමීකරණයට එක් ශුන්‍ය මූලයක් ඇත, එය කවදාද වේ ඒ n = 0 ; වක්රය මිහයිලෝවා මෙම අවස්ථාවේ දී එය ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය තබයි;

2) ලාක්ෂණික සමීකරණයට තනිකරම මනඃකල්පිත මූල යුගලයක් ඇත j කේ සහ ඩී ( j කේ )= යූ ( කේ )+ jV ( කේ )=0, එය සිදු විය හැක්කේ එකම අවස්ථාවේදීම නම් පමණි යූ ( කේ )=0 සහ වී ( කේ )=0; මෙයින් අදහස් කරන්නේ Mikhailov වක්රය සම්භවය හරහා ගමන් කරන බවයි.

සහල්. 3.5 Fig. සඳහා Mikhailov වක්‍ර. 3.6 ස්ථායී ස්වයං චලිත තුවක්කු සහ අස්ථායී ස්වයංක්‍රීය තුවක්කු සඳහා මිහයිලොව් වක්‍රය

මිහයිලොව් නිර්ණායකය භාවිතා කරමින්, එය ස්ථායීතා මායිමේ ඇති පද්ධති පරාමිතීන්ගේ තීරණාත්මක අගයන් තීරණය කළ හැකිය, විශේෂයෙන් තීරණාත්මක ලාභ සාධකය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ සමීකරණ පද්ධතිය විසඳිය යුතුය

උදාහරණයක්. මිහයිලොව් නිර්ණායකය භාවිතා කරමින්, ගුවන් යානා තණතීරු කෝණ ස්ථායීකරණ පද්ධතියේ ස්ථායිතාව ඇගයීම සහ ගියර් අනුපාතයේ තීරණාත්මක අගය තීරණය කරන්න කේ .

සංවෘත පද්ධතියක ලාක්ෂණික සමීකරණය ඉහත ලබාගෙන ඇති අතර එහි ආකෘතිය ඇත

අපි ආදේශකයක් කරමු s = j සහ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් තෝරන්න

කලින් නියම කරන ලද පද්ධති පරාමිතීන් සමඟ ඉදිකරන ලද Mikhailov වක්රය රූපය 3.7 හි දැක්වෙන ආකෘතිය ඇත.

වක්‍රය සැබෑ ධන අර්ධ අක්ෂයෙන් ආරම්භ වන අතර, අනුප්‍රාප්තික වශයෙන් හතරැස් හතරක් හරහා ගොස් 4 වැනි චතුරස්‍රයෙන් අවසන් වේ. එබැවින්, මෙම පරාමිතීන් සඳහා, අධ්යයනය යටතේ පවතින පද්ධතිය ස්ථායී වේ.

සහල්. 3.7 තාර කෝණ ස්ථායීකරණ පද්ධතිය සඳහා Mikhailov වක්රය

තාර කෝණය සඳහා ගියර් අනුපාතයේ තීරණාත්මක අගය තීරණය කිරීම සඳහා, අපි සමීකරණ පද්ධතියක් සම්පාදනය කරන්නෙමු.

පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණයෙන් අපි සංඛ්‍යාතය තීරණය කර එය සඳහා ප්‍රකාශනය පළමු සමීකරණයට ආදේශ කරමු, පරිවර්තනයෙන් පසු ගියර් අනුපාතයේ අපේක්ෂිත අගය සම්බන්ධයෙන් චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ලබා ගනිමු.

ප්රතිඵලය වන සමීකරණය Hurwitz නිර්ණායකය භාවිතයෙන් ගැටළුව විසඳන විට ලබාගත් සමීකරණයට සම්පූර්ණයෙන්ම සමාන වන අතර ප්රතිඵලය සමාන වේ.

ඉහළ පෙළේ පද්ධති සඳහා Mikhailov වක්රය ඉදිකිරීම අපහසු ගණනය කිරීම් සහ චිත්රක ඉදිකිරීම් සමඟ සම්බන්ධ විය හැක. මෙම අවස්ථා වලදී, සමීකරණවල මූලයන්ගෙන් ස්ථාවරත්වය තක්සේරු කිරීම පහසු විය හැකිය යූ ( )=0 සහ වී ( )=0. මෙම සමීකරණවල මූලයන් තීරණය කර සමීකරණයේ සංඛ්‍යා අක්ෂ මූලයන් මත තබමු යූ()=0

නයික්විස්ට් ස්ථායිතා නිර්ණායකය.

Nyquist ස්ථායිතා නිර්ණායකය අපට ස්ථාවරත්වය විනිශ්චය කිරීමට ඉඩ සලසයි වසා ඇතහිදීවිවෘත-ලූප් පද්ධතියක අදියර ප්‍රතිචාරයේ වර්ගය අනුව එම පද්ධතිය.

විවෘත-ලූප් සහ සංවෘත-ලූප් පද්ධතිවල හුවමාරු කාර්යයන් සඳහා පෝරමය තිබිය යුතුය:

කොහෙද ඩී ( s )- සංවෘත පද්ධතියක ලාක්ෂණික බහුපද. සංඛ්යාත නිරූපණයන් වෙත ගමන් කිරීම, අපි ලබා ගනිමු

දෛශිකය එන් ( j ) Nyquist vector ලෙස හැඳින්වේ. පැහැදිලිවම, මෙම දෛශිකයේ අංකනය සහ හරය එකම අනුපිළිවෙලක් ඇත n . Nyquist නිර්ණායකය භාවිතා කරන විට, අවස්ථා දෙකක් වෙන්කර හඳුනාගත යුතුය.

1) විවෘත ලූප පද්ධතිය ස්ථායී වන අතර එහි ලාක්ෂණික සමීකරණය වේ ඒ ( s )=0 වම් අර්ධ තලයේ සියලු මූලයන් ඇත. එවිට, සංඛ්යාතය 0 සිට වෙනස් වන විට

දෛශික තර්කයක් වෙනස් කිරීම ඩී ( j ) පොදුවේ ගත් කල, එය සමාන වේ

කොහෙද එම් - සමීකරණයේ මූලයන් ගණන ඩී ( s )=0, දකුණු අර්ධ තලයේ වැතිර සිටී. ස්ථායීතා සංඛ්යාතය සංවෘත අචලතාව

Nyquist දෛශිකයේ තර්කය වෙනස් කිරීම වනු ඇත

සංවෘත පද්ධතිය ස්ථායී නම්, එසේ නම් එම් =0 සහ

කවදා සිටද , ඩබ්ලිව් ( j ) 0, එම එන් ( j ) 1. සංඛ්‍යාතය 0 සිට වෙනස් වන විට Nyquist දෛශිකය මගින් විස්තර කරන Nyquist වක්‍රය පෙන්වන Figure 3.8a සලකා බලන්න. Nyquist දෛශිකය ශුන්‍යයට සමාන කෝණයක් විස්තර කරන්නේ එහි hodograph සම්භවය ආවරණය නොකරන්නේ නම් පමණක් බව තහවුරු කිරීම පහසුය. ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්‍යයට ගෙන යමු (1, j 0) (රූපය 3.9b). AFC නම් Nyquist දෛශිකයේ තර්කයේ වෙනස ශුන්‍යයට සමාන වන බවට ඔබට සහතික විය හැක. ඩබ්ලිව් ( j ) open-loop පද්ධතිය ආවරණය නොවේ ඛණ්ඩාංක සමඟ තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යය(-1, j 0).

සහල්. 3.9 Nyquist නිර්ණායකයේ නිර්වචනය දෙසට

සලකා බලනු ලබන නඩුව සඳහා Nyquist නිර්ණායකය පහත පරිදි සකස් කර ඇත.

විවෘත තත්වයේ ස්ථායී වන ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතියක් AFC නම් සංවෘත තත්වයේ ස්ථායී වේ ඩබ්ලිව් ( j ) 0 සිට සංඛ්‍යාතය වෙනස් කිරීමේදී open-loop පද්ධතියඛණ්ඩාංක සමඟ තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යය ආවරණය නොකරයි (-1,j0).

විවෘත-ලූප් පද්ධතිය උදාසීන-ස්ථායී නම්, ඒකීයත්වය පැන නගී, i.e.

බහුපද කොහෙද ඒ 1( s ) වම් අර්ධ තලයේ සියලු මූලයන් ඇත. හිදී =0 විවෘත-ලූප් පද්ධතියේ AFC ප්‍රතිචාරය ඩබ්ලිව් ( j )= සහ මෙම ලක්ෂ්‍යය ආසන්නයේ AFC වක්‍රයේ හැසිරීම සොයා ගැනීමට නොහැක. සංඛ්‍යාතය - සිට + දක්වා වෙනස් වන විට, මනඃකල්පිත අක්ෂය දිගේ පහළ සිට ඉහළට සහ කවදාද යන්න නිරීක්ෂණය කෙරේ. =0 නිමක් නැති පරතරයක් ඇත. මෙම චලිතය සමඟ, අපි ශුන්‍ය මූලය (රූපය 3.10) අපරිමිත අරය සහිත අර්ධ වෘත්තාකාරයක් ඔස්සේ යමු. එවිට මෙම මූලය වම් පසින් පවතී, i.e. අපි එය කෘතිමව වම් අර්ධ තලයට යොමු කරමු.

සහල්. 3.10 මධ්යස්ථ-ස්ථායී ස්වයං-ප්රචලිත තුවක්කු සඳහා Nyquist hodograph

ධනාත්මක දිශාවකින් මෙම අර්ධ වෘත්තාකාරය දිගේ ගමන් කරන විට, ස්වාධීන විචල්යය නීතියට අනුව වෙනස් වේ

කොහෙද අදියර ( ) වෙනස් වේ - / 2 + වෙත / 2. මෙම ප්‍රකාශනය ගුණකය වෙනුවට මාරු ශ්‍රිතයට ආදේශ කිරීම s හරය තුළ, අපට ලැබේ

කොහෙද ආර් හිදී 0 , සහ අදියර ( ) සිට වෙනස් වේ + / 2 කලින් - / 2. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, ශුන්‍ය මූලයට ආසන්නයේ හොඩෝග්‍රැෆ් ඩබ්ලිව් ( j ) සෘණ දිශාවට සංඛ්‍යාතය වැඩි වන විට සිදුවන අසීමිත විශාල අරය සහිත කවයක කොටසක් නියෝජනය කරයි.

සංවෘත ලූප පද්ධතියක ස්ථායිතාව තක්සේරු කිරීම සඳහා, විවෘත ලූප පද්ධතිය මධ්‍යස්ථව ස්ථායී නම්, එය අවශ්‍ය වේ.ඩබ්ලිව් ( j ) open-loopසමගඅඩු සංඛ්‍යාත වලින් ආරම්භ වන, සෘණ දිශාවට, අනන්ත විශාල අරය සහිත චාපයක් සමඟ මාතෘකාවට අතිරේක කරන්න, සහ එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස සංවෘත වක්‍රය සඳහා, එකවර ස්ථායී පද්ධති සඳහා Nyquist නිර්ණායකය භාවිතා කරන්න. දක්වාමින්ට් තත්වයක.

2).විවෘත-ලූප් පද්ධතියක් අස්ථායී වේ. මේ අවස්ථාවේ දී

කොහෙද R- දකුණු අර්ධ තලයේ පිහිටා ඇති විවෘත ලූප පද්ධතියක ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් ගණන. සංවෘත පද්ධතිය ස්ථායී නම්, i.e. එම් =0 , එම

එම. විවෘත-ලූප් පද්ධතියේ AFC ප්‍රතිචාරය ධනාත්මක දිශාවේ තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යය (-1,j0) ආවරණය කරයි. පි / 2 වරක්.

විවෘත තත්වයේ අස්ථායී වන පද්ධතියක් AFC නම් සංවෘත තත්වයේ ස්ථාවර වේඩබ්ලිව් ( j සමග ) විවෘත-ලූප් පද්ධතිය සහhවෙනස් කිරීම 0 සිට සංඛ්යාතතීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යය ආවරණය කරයි (-1,j0) ස්ථානයේසහසෘජු දිශාවr/2 අවස්ථා කොහෙදR- විවෘත පරිපථයේ දකුණු ධ්‍රැව ගණනසමගමාතෘකා.

විවේචනාත්මක ලක්ෂ්ය ආවරණ සංඛ්යාව තීරණය කිරීම පහසු කාර්යයක් නොවේ, විශේෂයෙන් ඉහළ පෙළේ පද්ධති සම්බන්ධයෙන්. එබැවින්, සලකා බලනු ලබන නඩුව සඳහා Nyquist නිර්ණායකයේ වෙනස් සූත්‍රගත කිරීමක් ප්‍රායෝගික යෙදුම්වල යෙදී ඇත.

Hodograph සංක්රමණය ඩබ්ලිව් ( j ) සැබෑ අර්ධ අක්ෂයේ කොටසක් හරහා (- ,-1), එම. තීරනාත්මක ලක්ෂ්‍යයේ වම් පසින්, සංඛ්‍යාතය ඉහළ සිට පහළට වැඩි වන විට, එය ධනාත්මක ලෙස ද, පහළ සිට ඉහළට සෘණ ලෙස ද සැලකේ.

ධනාත්මක සහ o සංඛ්‍යාව අතර වෙනස නම් විවෘත තත්වයේ අස්ථායී පද්ධතියක් සංවෘත තත්වයේ ස්ථායී වේ. ටීසෘණ සංක්‍රාන්ති, විවෘත ලූප පද්ධතියක අවධි ප්‍රතිචාර ලක්ෂණය සමාන වේr/2.

ධන සංක්‍රාන්ති සංඛ්‍යාව, සෘණ සංක්‍රාන්ති සංඛ්‍යාව කොහෙද.

උදාහරණයක් ලෙස, ඇවන්ගාඩ් දියත් කිරීමේ වාහනයේ මාරු කිරීමේ කාර්යයට අස්ථායී ධ්‍රැව දෙකක් ඇති අතර එහි AFC රූපයේ දැක්වේ. 3.11.

සහල්. 3.11. ඇවන්ගාඩ් රොකට්ටුවේ ඒ.එෆ්.එෆ්.සී

නිසැකවම, මෙම රොකට්ටුව සඳහා, පාලන වස්තුවක් ලෙස,

a සහ සංවෘත පද්ධතිය ස්ථාවර වනු ඇත.

ස්ථාවර සංචිත.

සංවෘත ලූප් ACS හි ස්ථායීතාවය තීරනාත්මක ලක්ෂ්යයට සාපේක්ෂව විවෘත-ලූප් පද්ධතියේ AFC hodograph පිහිටීම මත රඳා පවතී. මෙම වක්‍රය තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යයට සමීප වන තරමට, සංවෘත ACS ස්ථායිතා මායිමට සමීප වේ. ස්ථායී පද්ධති සඳහා, තීරනාත්මක ලක්ෂ්‍යයේ සිට විවෘත-ලූප් පද්ධතියක අදියර-සංඛ්‍යාත ප්‍රතිචාරයේ දුර සාමාන්‍යයෙන් තක්සේරු කරනු ලබන්නේ අදියර සහ විශාලත්වය අනුව ස්ථායීතා ආන්තික මගිනි.

අපි හිතමු සමහර open-loop පද්ධතියක AFC ප්‍රතිචාරය Fig. 3.12.

සහල්. 3.12. විවෘත-ලූප් පද්ධතියේ AFC ප්‍රතිචාරය

කෝනර් , පද්ධතියේ කැපුම් සංඛ්‍යාතයට අනුරූප වන ඒකක අරය කවයක් සහිත AFC හි ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවකින් සාදන ලද අතර සෘණ සැබෑ අර්ධ අක්ෂය ස්ථායීතා ආන්තිකය ලෙස හැඳින්වේ. thපද්ධතියේ අදියර ප්රතිචාර දැක්වීම.

(3.24)

ස්ථාවර ආන්තිකයසහ නිරපේක්ෂ අගය ලෙස හැඳින්වේ

(3.25)

කොහෙද ඒ( )- සංඛ්යාතයේ AFC අගය = , එය සැබෑ අක්ෂය ඡේදනය කරයි.

සියලුම පද්ධති පහත අවශ්යතා සපුරාලිය යුතුය:

AFC යම් පරිමාණයකින් චිත්‍රක ලෙස සැලසුම් කර ඇති බැවින්, මොඩියුල ස්ථායීතා ආන්තිකය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබට එකමුතුකම සහ OB ට අනුරූප වන කොටස්වල දිග මැනිය හැකි අතර පළමු මිනුම් ප්‍රති result ලය දෙවැන්නෙන් බෙදන්න. ඔබ පද්ධතියේ ලාභය වැඩි කළහොත්, B ලක්ෂ්‍යය වමට මාරු වන අතර OB = -1 හි ලාභය තීරණාත්මක අගයක් ගනී. එබැවින්, මාපාංකයේ ස්ථායීතා ආන්තිකය ද සූත්රය භාවිතයෙන් තීරණය කළ හැකිය

උදාහරණයක්. Nyquist නිර්ණායකය භාවිතා කරමින්, සංවෘත-ලූප් තාර කෝණ ස්ථායීකරණ පද්ධතියේ ස්ථායීතාවය ඇගයීම සහ එහි ස්ථායීතා මායිම් තීරණය කරන්න.

විවෘත-ලූප් පද්ධතියේ හුවමාරු කාර්යය කලින් ලබාගෙන ඇති අතර පෝරමය ඇත

සංගුණකවල සංඛ්‍යාත්මක අගයන් නිශ්චිතව දක්වා ඇත හෝ කලින් ගණනය කර ඇත. අපි ආදේශකයක් කරමු s = j :

පරිවර්තනයෙන් පසු අපට ලැබේ

සංඛ්‍යාතය 0 සිට වෙනස් කිරීමෙන් අපි AFC වක්‍රයක් සාදන්නෙමු - fig. 3.13. ඒකක අරය කවයක චාපයක් ඇඳීමෙන් පසු, අපි අදියර ස්ථායීතා ආන්තිකය තීරණය කරමු =1100 . සලකා බලන උදාහරණය සඳහා අපි එය ලබා ගනිමු h =3.3.

සහල්. 3.13. තණතීරු කෝණ ස්ථායීකරණ පද්ධතියේ AFFC

ප්රතිඵලයක් වශයෙන් ස්ථායීතා මායිම් ඉහත අවශ්යතා සපුරාලයි.

LCH මගින් ස්ථායිතා තක්සේරුව

විවෘත-ලූප් පද්ධතියේ AFC ලක්ෂණ වර්ග දෙකකට බෙදා ඇත:

පළමු ආකාරයේ AFC, තීරනාත්මක ලක්ෂ්‍යයේ දකුණු පසින් සැබෑ අක්ෂය සමඟ ඡේදනය වන සියලුම ලක්ෂ්‍ය (වක්‍රය 1, රූපය 3.14);

දෙවන ආකාරයේ AFCs, තීරනාත්මක ලක්ෂ්‍යයේ දකුණට සහ වමට යන සැබෑ අක්ෂය සමඟ ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍ය (වක්‍රය 2, රූපය 3.14).

පළමු ආකාරයේ පද්ධතිවල, ලාභයේ වැඩි වීම වක්‍ර ශාඛාව වමට මාරු කිරීමට සහ එහි තීරණාත්මක ස්ථානයට ප්‍රවේශ වීමට හේතු වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, ස්ථායීතා ආන්තිකය අඩු වන විට සහ කවදාද කේ = කේ cr පද්ධතිය ස්ථායීතා සීමාව කරා ළඟා වේ. ලාභය අඩු කිරීම පද්ධතිය ස්ථාවර කරයි. 2 වන වර්ගයේ පද්ධති වලදී, පද්ධතියේ ස්ථායීතා මායිම වෙත සංක්රමණය වීම ලාභයේ වැඩි වීමක් සහ එහි අඩුවීමක් සමඟ සිදු විය හැක. Nyquist නිර්ණායකයට අනුව, විවෘත තත්වයේ 1 වන ආකාරයේ AFC ප්‍රතිචාරයක් ඇති සංවෘත-ලූප් පද්ධතියක් AFC ප්‍රතිචාරයේ සියලුම ලක්ෂ්‍යයන් ඒකක අරය කවයක් සමඟ ඡේදනය වන ස්ථානය දක්වා ස්ථායී වේ. ( = සමග) , අදියර අගයන්ට අනුරූප වේ ( ) , වඩා විශාල - , i.e. අසමානතාවය තෘප්තිමත් විය යුතුය සමග< . මෙම නිර්වචනය LCH භාෂාවෙන් අර්ථ නිරූපණය කිරීම පහසුය.

විවෘත තත්ත්‍වයේ ස්ථායී වන සහ පළමු වර්ගයේ AFC ඇති පද්ධතියක් සංවෘත තත්වයේ ස්ථායී වීමට නම්, LAC n වන සෑම සංඛ්‍යාතයකම එය අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ. ඕධනාත්මක, අදියර ලාක්ෂණික අගයන් වඩා වැඩි විය -, i.e.සමග< .

LFC වෙතින්, ස්ථායීතා ආන්තිකය ද පහසුවෙන් තීරණය කළ හැකි අතර, ලඝුගණක පරිමාණයෙන් විස්තාරණය සඳහා ස්ථායීතා ආන්තිකය කොන්දේසිය සපුරාලිය යුතුය. එන් >6dB , අගයන්ට අනුරූප වන h >2.

විවෘත තත්ත්‍වයේ අස්ථායී සහ 2වන ආකාරයේ අවධි-සංඛ්‍යාත ප්‍රතිචාරයක් ඇති ACS සංවෘත තත්වයේ ස්ථායී වීමට නම්, එය අවශ්‍ය වේ. බීධනාත්මක සහ o සංඛ්‍යාව අතර වෙනස විය හැකි සහ ප්‍රමාණවත් වේටීරේඛාව හරහා අදියර ලක්ෂණයේ ඍණාත්මක සංක්රමණය -සමාන වියr/2, කොහෙදආර් - සෑම සංඛ්‍යාතයකම දකුණු අර්ධ තලයේ පිහිටා ඇති විවෘත ලූප පද්ධතියක ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් ගණන එල් ( )>0.

LFC මගින් ස්ථායීතාවය තක්සේරු කිරීම සහ ස්ථායීතා ආන්තික තීරණය කිරීම සඳහා පෙන්වා ඇති ක්‍රම, ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය සමඟ ලක්ෂ්‍යය ඒකාබද්ධ වූ විට, අදියර ලක්ෂණයට සාපේක්ෂව ඕඩිනේට් අක්ෂයේ එවැනි පිහිටීමක් සඳහා වලංගු වන බව අවධාරණය කළ යුතුය. ( )=-1800.

තීරනාත්මක ලාභය LFC වෙතින් ද තීරණය කළ හැකිය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කිරීම සඳහා LAX එකට සමාන්තරව සංයෝජන රේඛා ඔස්සේ මාරු කිරීම අවශ්ය වේ. සමග = සහ අලුතින් ලබාගත් LAC සඳහා ලාභය ගණනය කරන්න.

ස්ථිතික සහ ස්ථිතික පද්ධති සඳහා තීරණාත්මක ලාභය තීරණය කිරීම රූපයේ දැක්වේ. 3.17a සහ 3.17b.

උදාහරණයක්. තණතීරු කෝණ ස්ථායීකරණ පද්ධතියක LFC ගොඩනඟා එහි ස්ථායීතාවය තක්සේරු කරන්න. ස්ථායීතා මායිම් නිර්ණය කිරීම සහ තාර අනුපාතයෙහි තීරණාත්මක අගය ගණනය කිරීම.

විවෘත-ලූප් පද්ධතියක මාරු කිරීමේ කාර්යය පෝරමයට අඩු කළ හැකිය

විවෘත ලූප පද්ධතියක ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් පහත අගයන් ඇත:

එබැවින්, පරිවර්තනයෙන් පසු අපට ලැබේ

සංයෝජන සංඛ්‍යාත තීරණය කර ඛණ්ඩාංක ජාලය බෙදමු.

විවෘත-ලූප් පද්ධතියේ ලාභය සමාන බව සැලකිල්ලට ගනිමින් පද්ධතියේ LAC ගොඩනඟමු, සාපේක්ෂ දුර්වලතා අනුපාතය කුඩා බැවින්, සංයෝජන සංඛ්යාතය ආසන්නයේ ප්රතිඵලය වන LAC පිරිපහදු කිරීම අවශ්ය වේ. 03. මෙය විශේෂ ප්‍රස්ථාර භාවිතයෙන් හෝ දන්නා විස්තාර සංඛ්‍යාත ප්‍රතිචාරයක් භාවිතයෙන් ගණනය කිරීමෙන් සිදු කළ හැක. මෙම පද්ධතියේ සංඛ්යාත ප්රතිචාරය ප්රකාශනය මගින් තීරණය වේ

සම්බන්ධක සංඛ්‍යාතය ආසන්නයේ සංඛ්‍යාත අගයන් කිහිපයක් ආදේශ කිරීම 03, අපි සංඛ්‍යාත ප්‍රතිචාර අගයන් ලබාගෙන, LFC අගයන් ගණනය කර පැහැදිලි කිරීමේ වක්‍රයක් සාදන්නෙමු. අදියර සංඛ්‍යාත ප්‍රතිචාරය සම්ප්‍රේෂණ ශ්‍රිතයේ ඇතුළත් සාමාන්‍ය සබැඳිවල අවධි ලක්ෂණවල එකතුව ලෙස ගොඩනගා ඇත

කොහෙද

LFC ප්‍රස්ථාර වලින් එය පහත දැක්වේ සමග< සහ, එබැවින්, සංවෘත පද්ධතිය ස්ථායී වේ. අදියර ස්ථායීතා ආන්තිකය =1080 . කුඩා සාපේක්ෂ damping සංගුණකය සහිත දෝලන සම්බන්ධතා ඇතුළත් පද්ධති සඳහා, අනුනාද ලක්ෂ්‍යයේ දී මාපාංක ස්ථායීතා ආන්තිකය තීරණය කරනු ලබන අතර මෙම අවස්ථාවේ දී එය h = 3.16 අගයට අනුරූප වන 10 dB ට සමාන වේ. ස්ථායීතා ආන්තිකවල ලබාගත් අගයන් Hurwitz සහ Mikhailov නිර්ණායකයන්ට අනුකූලව ගණනය කරන ලද අගයන්ට වඩා තරමක් වෙනස් වේ. අධ්‍යයනයට භාජනය වන අවස්ථාවෙහිදී, තීරණාත්මක ලාභය තීරණය වන්නේ ස්පර්ශ කිරීමෙනි එල්(R)සංඛ්යාත අක්ෂය. ලක්ෂ්‍යයේ ඇති පරිදි අපි LAX එකට සමාන්තරව ගෙන යමු = ආර්එය සංඛ්‍යාත අක්ෂය ස්පර්ශ කළ අතර එය සංඛ්‍යාත අක්ෂය සමඟ ඡේදනය වන තෙක් අපි පළමු අසමමිතිය දිගු කරන්නෙමු. මෙම මොහොතේ දී කේ= =7.244, අගයට අනුරූප වන ( කේ)cr=16.74.

2. ස්ථාවරත්වයේ ප්රදේශ හඳුනා ගැනීම

ACS සංලක්ෂිත භෞතික පරාමිතීන් අතර, සෑම විටම පහසුවෙන් වෙනස් කළ හැකි සහ විශේෂිත පද්ධති සැකසුම් සඳහා භාවිතා කරන කිහිපයක් තිබේ. පද්ධතියක් සැලසුම් කිරීමේදී, ACS හි ස්ථායිතාව පවත්වා ගැනීමේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන් පිළිගත හැකි විචල්‍ය පරාමිතිවල අගයන් පරාසයන් දැන ගැනීම ඉතා වැදගත් වේ. විචල්‍ය පරාමිති අවකාශයේ ස්ථායිතා කලාපයක් තැනීමෙන් මෙම පරාසයන් විනිශ්චය කළ හැක, i.e. පද්ධතිය ස්ථායීව පවතින පරාමිති අගයන් පරාසය ඉස්මතු කරන්න.

ස්වයංක්‍රීය පාලනයේ න්‍යායේ ස්ථායීතාවයේ කලාපය සාමාන්‍යයෙන් D - කලාපය ලෙස හැඳින්වේ, සහ ස්ථායීතාවය සහ අස්ථාවරත්වයේ කලාපවල පරාමිති කලාපයේ නිරූපණය D - කොටස ලෙස හැඳින්වේ.

වීජීය නිර්ණායක භාවිතා කරමින් ස්ථායිතා කලාපයක් ඉදිකිරීම

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සංගුණක යැයි අපි උපකල්පනය කරමු

වෙනස් කළ හැකි පරාමිතීන් දෙකක් මත රඳා පවතී සහ . ස්ථායී කලාපයක් තැනීම සඳහා, පළමුව, අවශ්‍ය ස්ථායීතා තත්ත්වයට අනුකූලව, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සංගුණක ධනාත්මක වන විට විචල්‍ය පරාමිති කලාපයක් තෝරා ගැනීම අවශ්‍ය වේ. සමීකරණ පද්ධතිය විසඳීමෙන් මෙය කළ හැකිය

සංගුණකවල ධනාත්මක බව සඳහා සීමාව ගොඩනැගීමට ඒ මම සියලු සංගුණකවල ධනාත්මක බව සහතික කරන සමීකරණ (3.26) විසඳුම් වලින් තෝරා ගැනීම අවශ්ය වේ. ධනාත්මකතාවයේ සියලු මායිම් අතරින්, ස්ථාවරත්වයේ මායිම් විය හැක්කේ දෙකක් පමණි. මේවා සමීකරණ ඇති මායිම් වේ

නම් බව ඔප්පු වී ඇත ඈ 0 සහ dn ශුන්‍යයට පිවිසෙන්න, එවිට ලාක්ෂණික සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් දෙකක් ඇත

තවත් අඩුවීමක් සමඟ, සංගුණක ඈ 0 සහ dn ශුන්ය හරහා ගමන් කරනු ඇත, සෘණ බවට පත් වනු ඇත, සහ මූලයන් (3.28) ධනාත්මක බවට හැරෙනු ඇත. සැබෑ මූලයන් අවකල්‍ය සමීකරණයේ ද්‍රාවණයේ අපරියෝඩික් සංරචක තීරණය කරන බැවින්, මායිම් (3.27) aperiodic ස්ථායීතා මායිම් ලෙස හැඳින්වේ. ස්ථායීතා මායිම්වලදී, මූලයන් (3.28) පිළිවෙළින් 0 ට සමාන වේ. වක්‍රවල පැති, di ( , )=0, අනුරූප සංගුණකවල ධනාත්මක කලාපයට යාබදව ධනාත්මක දිශාවට පැටවුන් බිහි වේ. එය සංගුණක ඕනෑම දෙයක් සිදු විය හැක ඈ 0 හෝ dn වෙනස් වන පරාමිතීන් මත රඳා නොපවතී. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඊට අනුරූප වන ආවර්තීය ස්ථායීතා මායිමක් නොමැති වීමයි.

දෝලනය වන ස්ථායීතා මායිම යනු විචල්‍ය පරාමිතිවල තලයේ වක්‍රයකි, එය හරහා ගමන් කරන විට සංකීර්ණ සංයුජ මූල යුගලයක් එහි සැබෑ කොටසෙහි ලකුණ ප්‍රතිවිරුද්ධ ලෙස වෙනස් කරයි. දෝලන ස්ථායීතා සීමාව තීරණය වන්නේ ප්රකාශනය මගින් බව ඔප්පු වී ඇත

(3.29)

මෙම ප්‍රකාශනයේ, n-1 යනු (n-1)th Hurwitz නිර්ණායකයයි. දෝලන ස්ථායීතා මායිම n-1 හි ධනාත්මක පැත්ත දෙසට සෙවනැලි කර ඇත.

උදාහරණයක්. පරාමිති තලයේ ස්ථායී කලාපයක් සාදන්න කේ සහ කේ z තණතීරු කෝණ ස්ථායීකරණ පද්ධති.

සංවෘත ලූප පද්ධතියක ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත

අපි අසමානතා ගවේෂණය කරන්නෙමු ඈ 2>0, ඈ 3>0, ඈ 4>0 . පළමු අසමානතාවයෙන් සංගුණකය ධනාත්මක වීම සඳහා අනුගමනය කරයි ඈ 2 කොන්දේසිය සපුරාලීම අවශ්ය වේ

අසමානතාවය ඈ 4>0 මෙම සංගුණකය ධනාත්මක වීමට නම් එය අවශ්‍ය බව තීරණය කරයි කේ >0 . අසමානතාවය තෘප්තිමත් කිරීමට ඈ 3>0 එය අවශ්ය වේ

ශුන්‍යයට වඩා වැඩි කෝණික ගියර් අනුපාතයේ ඕනෑම අගයක් සඳහා, අවසාන ප්‍රකාශන මොඩියුලයේ දකුණු පැත්ත එකකට වඩා වැඩි වනු ඇත. මේ අනුව, සංගුණකවල ධනාත්මක බව සඳහා සීමාවන් වනු ඇත

සංගුණකය වෙනස් වන පරාමිතීන් මත රඳා පවතී dn = ඈ 4 සහ සංගුණකය රඳා නොපවතී ඈ 0. එබැවින් සමීකරණය කේ =0 ඒ සමගම එය aperiodic ස්ථායීතා සීමාවක් ද වේ.

Hurwitz නිර්ණායකය සම්පාදනය කිරීමෙන් පසු, එහි n-1 මයිනර් සඳහා අපි ලබා ගනිමු

අපි සංගුණකවල අගයන් මෙම ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරමු ඈ 2, ඈ 3, ඈ 4, පරාමිතීන්ගේ කාර්යයන් ලෙස කේ සහ කේ , පරිවර්තන වලින් පසුව අපි තාර කෝණයේ ගියර් අනුපාතයේ ශ්‍රිතයක් ලෙස කෝණික ප්‍රවේගයෙන් ගියර් අනුපාතය තීරණය කරන චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලබා ගනිමු.

මෙම ප්රකාශනය භාවිතා කරමින්, දෝලන ස්ථායීතා මායිම ගොඩනගා ඇත. අධ්‍යයනය කරන ලද පරාමිතිවල කලාපය ස්ථාවරත්වය සහ අස්ථාවරත්වයේ කලාපවලට බෙදීමේ ප්‍රස්ථාරය රූපයේ දැක්වේ. 3.19.

දෝලනය වන අස්ථායීතාවයේ මායිම n-1 වන Hurwitz නිර්ණායකයේ ධනාත්මකතාවයට සහ සරල රේඛාව දෙසට සෙවනැලි වේ. කේ z =0 මෙම සංගුණකයේ ධනාත්මක බව දෙසට. ලබාගත් ප්රතිඵල පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, උදාහරණයක් ලෙස සෙවන ලද ප්රදේශය තුළ පරාමිති අගයන් කිහිපයක් තෝරා ගනිමු කේ =5, කේ z =0.6, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සංගුණකවල අගයන් ගණනය කර Hurwitz නිර්ණායකය භාවිතයෙන් සංවෘත ලූප පද්ධතියේ ස්ථායිතාව තක්සේරු කරමු. ගියර් අනුපාතවල තෝරාගත් අගයන් සඳහා පද්ධතිය ස්ථායී බව අපට පෙනී යයි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ පහරවල් යොමු කරන ලද මුළු ප්රදේශයම ස්ථාවරත්වයේ ප්රදේශයක් බවයි.

D - එක් පරාමිතියක තලයේ කොටස

ACS හි ස්ථායීතාවයට ඕනෑම පරාමිතියක බලපෑම ගැන අපි උනන්දු වෙමු, මෙම පරාමිතිය ලාක්ෂණික සමීකරණයට රේඛීයව ඇතුල් වේ, එබැවින් මෙම සමීකරණය ආකෘතියෙන් නිරූපණය කළ හැකිය.

ආදේශකයක් සාදා තිබීම s = j , අපිට ලැබෙනවා

- සිට + දක්වා සංඛ්‍යාත අගයන් සැකසීමෙන් ඔබට වක්‍රයක් සෑදිය හැක ( ) , මූල තලයේ මනඃකල්පිත අක්ෂය තලය මත සිතියම්ගත කිරීම . D-කොටසෙහි මෙම මායිම සැබෑ අක්ෂය ගැන සමමිතික වේ. එබැවින්, 0 සිට + දක්වා සංඛ්‍යාත පරාසය තුළ ගණනය කිරීම් සිදු කළ හැකි අතර, පසුව ලැබෙන වක්‍රය එහි දර්පණ රූපය සමඟ - සිට - ශුන්‍ය දක්වා සංඛ්‍යාත පරාසයට අනුපූරක කරන්න. මුල්වල තලයේ සිට - සිට + දක්වා මනඃකල්පිත අක්ෂය දිගේ ගමන් කරන විට, ස්ථායීතා කලාපය වම් පසින් පවතී.

එබැවින්, වැඩිවන සංඛ්යාතයේ දිශාවට D-කොටස් වක්රය දිගේ ගමන් කරන විට, එය වම් පසින් පැටවා ඇත. ආඝාතය මුහුණ දෙන ප්රදේශය උපකල්පනය කරන ලද ස්ථායී ප්රදේශය වේ. අවසාන තීරණය සඳහා, ඔබ පරාමිතියේ සැබෑ අගයක් ගත යුතුය අධ්‍යයනයට භාජනය වන ප්‍රදේශයේ සහ යම් ස්ථායීතා නිර්ණායක භාවිතා කරන්න. පරාමිතියෙහි තෝරාගත් අගය සඳහා පද්ධතිය ස්ථායී නම්, සලකා බලනු ලබන කලාපය ස්ථාවරත්වයේ කලාපයකි.

උදාහරණයක්. ගියර් අනුපාතයේ තලයේ තාර කෝණ ස්ථායීකරණ පද්ධතියේ ස්ථායීතා කලාපය සාදන්න කේ .

අධ්‍යයනයට ලක්වන පද්ධතියේ ලාක්ෂණික සමීකරණය මෙසේ ලිවිය හැකිය

ප්රතිඵලයක් ලෙස ප්රකාශනයන් තුළ අපි ආදේශකයක් කරන්නෙමු s = j සහ අපට ලැබේ

මෙම ප්රකාශනයන් තුළ

සලකා බලනු ලබන පද්ධතියේ ස්ථාවරත්වය සඳහා අවශ්ය කොන්දේසියක් වන බැවින් කේ >0, එවිට මනඃකල්පිත අක්ෂය ස්ථායීතා මායිම වන අතර ධනාත්මකත්වය දෙසට මූලික වේ කේ . මෙම සංගුණකයේ අගය, 5 ට සමාන වන අතර, සෙවන ලද ප්රදේශය තුළ ඇති අතර, මෙම අගයෙහි පද්ධතිය ස්ථායී බව අපි දනිමු. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සෙවන සහිත ප්‍රදේශය තුළ පිහිටා ඇති සැබෑ අක්ෂයේ සම්පූර්ණ කොටස පද්ධතිය ස්ථායී වන කෝණික ගියර් අනුපාතයේ අගයන් ලබා දෙන බවයි. මෙම කොටසෙහි අවසානය සංගුණකයේ තීරනාත්මක අගයට සමාන ලක්ෂ්යයක් බව පෙන්විය හැක කේ =16.56.

D - පරාමිති දෙකක තලයේ කොටස

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සංගුණක පරාමිති දෙකක් මත රේඛීයව රඳා පවතීවා සහ එය පෝරමයේ ලිවිය හැකි වන පරිදි

ප්රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් පසුව s = j අපට ලැබෙනවා

සම්පූර්ණ පරිණාමනය වූ ලාක්ෂණික සමීකරණය ශුන්‍යයට සමාන විය හැක්කේ එහි තථ්‍ය සහ මනඃකල්පිත කොටස් එකවර ශුන්‍යයට සමාන නම් පමණක් බැවින්, අපි විචල්‍ය පරාමිති සඳහා සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු.

සම්බන්ධව විසඳන ලද පද්ධතිය (3.33) තිබීම සහ , අපිට ලැබෙනවා

- සිට + දක්වා සංඛ්‍යාත අගයන් සැකසීමෙන්, අපි තලයේ ලක්ෂ්‍ය කට්ටලයක් නිර්වචනය කරමු - , D-කොටස් වක්‍රය සෑදීම. කාර්යයන් ( ) සහ ( ) ඉරට්ටේ වේ, එබැවින්, ඉහත සීමාවන් තුළ සංඛ්යාතය වෙනස් වන විට, D-කොටස් වක්රය දෙවරක් ක්රියාත්මක වේ. පරාමිති දෙකක තලයේ D-කොටස් වක්රයක් තැනීමේදී, ඔබ පහත සඳහන් නීති මගින් මඟ පෙන්විය යුතුය:

1) පද්ධතියේ (3.33) පළමු සමීකරණය සැබෑ කොටස් වලින් ලබා ගන්නේ නම්, සහ දෙවන - ශ්‍රිතවල මනඃකල්පිත කොටස් වලින් පී ( j ), ප්‍රශ්නය ( j ) සහ එස් ( j ) සහ පරාමිතිය නම් ලිඛිතව එය මුලින්ම පැමිණේ, සහ - දෙවනුව, එවිට ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය දකුණු අත විය යුතුය, i.e. අක්ෂය ධන අගයන් දකුණට ගණන් කරන x අක්ෂය සහ අක්ෂය - ධන අගයන් ඉහළට ගණන් කරන y අක්ෂය;

2) සංඛ්‍යාතය ඉහළට වෙනස් වන විට D-කොට්ඨාශ වක්‍රය දිගේ ගමන් කරයි, එය වම් පසින් හැච් වේ නම් ( )>0, සහ දකුණු පසින් නම් ( )<0 ; එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, වක්‍රයේ කෙළවරේ සිට එක් පැත්තකින් වක්‍රය දෙවරක් හැච් වේ =0 සහ = ප්රධාන නිර්ණායකයේ ලකුණ ( ) වෙනස් වෙනවා.

විට නඩුවක් තිබිය හැක = * 0, එකවරම ( *)= = ( *)= ( *)=0. එවිට පද්ධතිය (3.33) රේඛීයව රඳා පවතින අතර එහි සමීකරණ එකිනෙකට වෙනස් වන්නේ නියත සාධකයකින් පමණි. මෙම අවස්ථාවේදී, මෙම පද්ධතිය තලය මත නිර්වචනය කරන එක් සමීකරණයකට අඩු වේ - සරල රේඛාවක්, එය විශේෂ සරල රේඛාවක් ලෙස හැඳින්වේ. ඒකීය රේඛාවක් ලක්ෂ්‍යයක D-කොට්ඨාශ වක්‍රයක් ඡේදනය කරන්නේ නම් = * සහ මෙම අවස්ථාවේදී නිර්ණායකය ( ) වෙනස් කිරීමේ ලකුණ, එවිට මෙම සරල රේඛාව ස්ථායීතා මායිම වන අතර පෙන්වා ඇති ස්ථානයේ දී වක්‍රයේ සෙවනේ දිශාව සහ විශේෂ සරල රේඛාව වෙනස් වේ. දී නම් = * ප්‍රධාන නිර්ණායකයේ ලකුණ වෙනස් නොවේ, එවිට විශේෂ රේඛාවට සෙවන යොදනු නොලැබේ. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ නිදහස් පදය නම් dn = dn ( , ) , එවිට මෙය සඳහා විශේෂ රේඛාවක පැවැත්මට අනුරූප වේ =0 සහ එහි සමීකරණය වනු ඇත

සමාන ලියකියවිලි

Nyquist, Mikhailov, Hurwitz (Rouse-Hurwitz) හි ස්ථායීතා නිර්ණායක භාවිතා කරමින් ස්වයංක්රීය පාලන පද්ධතියක ස්ථාවරත්වය තක්සේරු කිරීම. පද්ධතියේ ස්ථාවරත්වය තීරණය කිරීම සඳහා ප්රධාන නිර්ණායකයේ අනුකෘතියක් ඇඳීම. වැඩසටහන ලැයිස්තුගත කිරීම සහ ප්රතිඵල විශ්ලේෂණය.

රසායනාගාර කටයුතු, 06/06/2016 එකතු කරන ලදී


සංක්‍රාන්ති මාදිලියේ ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතියක ගුණාත්මකභාවය පිළිබඳ සංඛ්‍යාත දර්ශක. Hurwitz සහ Nyquist නිර්ණායක, Matlab, MatCad මෘදුකාංග නිෂ්පාදන භාවිතා කරමින් විවෘත-ලූප් සහ සංවෘත-ලූප් පද්ධති සඳහා ස්ථාවරත්වය සහ පාලනයේ ගුණාත්මකභාවය පිළිබඳ සම්පූර්ණ විශ්ලේෂණය.

පාඨමාලා වැඩ, 06/18/2011 එකතු කරන ලදී


සමතුලිත තත්වයෙන් ඉවත් කිරීමෙන් පසු එහි මුල් තත්වයට ආපසු යාමට පද්ධතියක දේපල ලෙස ස්ථාවරත්වය. සමීකරණයේ මුල්වල විවිධ අගයන් සඳහා විසඳුමේ ස්වභාවය. Routh-Hurwitz, Nyquist, Mikhailov ස්ථායිතා නිර්ණායකය, එහි ප්රදේශ වල නිර්වචනය.

වියුක්ත, 08/15/2009 එකතු කරන ලදී


සංවෘත ලූප පද්ධතියක මාරු කිරීමේ කාර්යයේ මූලික කරුණු සලකා බැලීම. ස්වයංක්රීය පාලන පද්ධතියේ ස්ථාවරත්වය විශ්ලේෂණය කිරීම. සංවෘත තත්වයක පද්ධතියක ලාක්ෂණික සමීකරණය සොයා ගැනීමේ විස්තරය. Hurwitz සහ Mikhailov හි වීජීය ස්ථායිතා නිර්ණායක.

පරීක්ෂණය, 04/28/2014 එකතු කරන ලදී


ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධති (ACS), ඒවායේ වර්ග සහ ප්‍රාථමික ඒකක. පද්ධතිවල ස්ථාවරත්වය සඳහා වීජීය සහ චිත්රක නිර්ණායක. ගතික සබැඳි සහ ACS වල සංඛ්‍යාත ලක්ෂණ. නියාමනයේ ගුණාත්මකභාවය තක්සේරු කිරීම, ස්වයංක්රීය පද්ධති නිවැරදි කිරීම.

පාඨමාලා වැඩ, 02/16/2013 එකතු කරන ලදී


විවෘත ලූප පද්ධතියක හුවමාරු කාර්යය. ස්වයංක්රීය පාලන පද්ධතියේ ස්ථාවරත්වය විශ්ලේෂණය කිරීම. පද්ධතියේ විස්තාරය-අදියර සංඛ්යාත ප්රතිචාරය. Hurwitz ස්ථායිතා නිර්ණායකය. පියවර ආචරණයක් යොදන විට තාවකාලික ක්‍රියාවලිය විශ්ලේෂණය කිරීම.

පාඨමාලා වැඩ, 10/18/2012 එකතු කරන ලදී


ස්ථාවරත්වය සඳහා වීජීය සහ සංඛ්යාත නිර්ණායක. ලාක්ෂණික සංකීර්ණයේ අනුපිළිවෙල. විවෘත-ලූප් පද්ධතියක සංඛ්‍යාත හුවමාරු කාර්යයේ හොඩෝග්‍රැෆ්. විවෘත ලූප පද්ධතියක LFC භාවිතයෙන් ස්ථායීතාවය නිර්ණය කිරීම. නිරපේක්ෂ සහ කොන්දේසි සහිත ස්ථායී පද්ධති.

වියුක්ත, 01/21/2009 එකතු කරන ලදී


මුල් ස්වයංක්රීය පාලන පද්ධතියේ විශ්ලේෂණය, මාරු කිරීමේ කාර්යය සහ සංගුණක නිර්ණය කිරීම. Routh සහ Nyquist නිර්ණායක භාවිතා කරමින් මුල් පද්ධතියේ ස්ථාවරත්වය විශ්ලේෂණය කිරීම. නිවැරදි කිරීමේ උපකරණ සංශ්ලේෂණය සහ සංස්ලේෂණය කළ පාලන පද්ධති විශ්ලේෂණය.

පාඨමාලා වැඩ, 04/19/2011 එකතු කරන ලදී


විවෘත-ලූප් සහ සංවෘත-ලූප් පද්ධති, සංවෘත-ලූප් පද්ධතිවල මාරු කිරීමේ කාර්යයන් සඳහා දෝෂ සහ බාධා කිරීම් මගින් සොයන්න. ආදාන බලපෑම් සැකසීමේ නිරවද්‍යතාවය. Hurwitz නිර්ණායකයට අනුව ස්ථාවරත්වය. නියාමකයෙකු තෝරාගැනීම සහ එහි පරාමිතීන් පැහැදිලි කිරීම. ගතික දර්ශක අගයන්.

පරීක්ෂණය, 03/04/2014 එකතු කරන ලදී


සංවෘත ලූප පද්ධතියක ස්ථායීතා විශ්ලේෂණය පැවැත්වීම. විවෘත-ලූප් පද්ධතියක මාරු කිරීමේ කාර්යය සහ ස්වයංක්‍රීය පාලන පද්ධතියක විස්තාරය-අදියර සංඛ්‍යාත ප්‍රතිචාරය තීරණය කිරීම. විශ්ලේෂණය සඳහා Hurwitz, Mikhailov සහ Nyquist නිර්ණායක යෙදීම.

පිටුව \* ඒකාබද්ධ ආකෘතිය 14

දේශන අංක 4

ස්වයං චලිත තුවක්කු ස්ථායීතාවය

යම් පද්ධතියක බාධා ඉවත් කිරීමෙන් පසු එහි මුල් තත්ත්වයට පැමිණීමේ ගුණය ස්ථාවරත්වය ලෙස හැඳින්වේ.

අර්ථ දැක්වීම.

වක්‍ර 1 සහ 2 ස්ථායී පද්ධතියක්, වක්‍ර 3 සහ 4 අස්ථායී පද්ධති සංලක්ෂිත කරයි.ε

ස්ථාවරත්වයේ මායිමේ පද්ධති 5 සහ 6 5 - උදාසීන පද්ධතිය, 6 - දෝලන ස්ථායීතා සීමාව.

ක්‍රියාකරු ආකාරයෙන් ACS හි අවකල සමීකරණයට පෝරමය තිබිය යුතුය

එවිට අවකල සමීකරණයේ විසඳුම (පද්ධති චලිතය) කොටස් දෙකකින් සමන්විත වේ ආදාන ක්‍රියාවට සමාන ආකාරයේ බලහත්කාර චලනය.

බහු මූලයන් නොමැති විට Cමම - ආරම්භක කොන්දේසි වලින් තීරණය වන නිරන්තර අනුකලනය,

 1,  2 ...,  n ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්

ලක්ෂණයේ මූලයන් පිහිටීම

සංකීර්ණ තලය මත පද්ධතියේ සමීකරණ

ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් කැළඹීම් වර්ගය මත හෝ මත රඳා නොපවතී

ආරම්භක කොන්දේසි, a තීරණය කරනු ලබන්නේ සංගුණක මගින් පමණි a 0 , a 1 , a 2 ,…, a n , එනම්, පද්ධතියේ පරාමිතීන් සහ ව්යුහය.

1-මූල සැබෑ, ශුන්‍යයට වඩා වැඩි;

2-මූල සැබෑ, ශුන්‍යයට වඩා අඩු;

3-මූල ශුන්ය වේ;

4-ශුන්‍ය මූලයන් දෙකක්;

5-සැබෑ කොටස වන සංකීර්ණ සංයුජ මූල දෙකක්

ධනාත්මක;

6-සංකීර්ණ සංයුජ මූලයන් දෙකක්, එහි සැබෑ කොටස ඍණ වේ;

7-පරිකල්පිත සංයුජ මූලයන් දෙකක්.

ස්ථායීතා විශ්ලේෂණ ක්රම:

1. සෘජු (අවකල සමීකරණ විසඳීම මත පදනම්ව);
2. වක්ර (ස්ථායීතා නිර්ණායක).

A.M හි ප්‍රමේය ලියපුනෝවා.

ප්රමේයය 1.

ප්රමේයය 2.

සටහන්:

1. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් අතර ශුන්‍ය මූල දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් තිබේ නම්, පද්ධතිය අස්ථායී වේ.
2. එක් මූලයක් ශුන්‍ය නම් සහ අනෙක් සියල්ල වම් අර්ධ තලයේ තිබේ නම්, පද්ධතිය මධ්‍යස්ථ වේ.
3. මූලයන් 2 මනඃකල්පිත සංයෝජන නම් සහ ඉතිරි සියල්ල වම් අර්ධ තලයේ තිබේ නම්, පද්ධතිය ස්ථායීතාවයේ දෝලනය වන මායිම මත වේ.

ACS ස්ථායිතා නිර්ණායක.

ස්ථායීතා නිර්ණායකය යනු ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් ගණනය නොකර පද්ධතියක ස්ථායීතාවය තීරණය කිරීමට ඉඩ සලසන රීතියකි.

1877 දී මාර්ගය ස්ථාපනය කර ඇත:

1. Hurwitz ස්ථාවරත්ව නිර්ණායකය

නිර්ණායකය 1895 දී සංවර්ධනය කරන ලදී.

සංවෘත පද්ධතියක ලාක්ෂණික සමීකරණය අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න: අපි සමීකරණය පෝරමයට අඩු කරමු. a 0 >0.

පහත රීතියට අනුව අපි ප්‍රධාන Hurwitz නිර්ණායකය රචනා කරමු:

ප්‍රධාන විකර්ණය දිගේ, සමීකරණයේ සංගුණක ලියා ඇත, දෙවන සිට අන්තිම දක්වා, විකර්ණයේ සිට ඉහළට ඇති තීරු වැඩිවන දර්ශක සහිත සංගුණකවලින් පුරවා ඇති අතර විකර්ණයේ සිට පහළට ඇති තීරු අඩුවන දර්ශක සහිත සංගුණකවලින් පුරවා ඇත. සමීකරණයේ කිසිදු සංගුණකයක් නොමැති විට සහ 0 ට අඩු සහ වැඩි දර්ශක සහිත සංගුණක වෙනුවට n ශුන්‍ය ලියන්න.

අපි ප්‍රධාන Hurwitz නිර්ණායකයේ විකර්ණ බාල වයස්කරුවන් හෝ සරලම නිර්ණායක ඉස්මතු කරමු:

නිර්ණායක සැකසීම.

දෙවන අනුපිළිවෙලට වඩා ඉහළ පද්ධති සඳහා, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සියලුම සංගුණකවල ධනාත්මකතාවයට අමතරව, පහත අසමානතාවයන් තෘප්තිමත් විය යුතුය:

1. තෙවන ඇණවුම් පද්ධති සඳහා:
2. සිව්වන ඇණවුම් පද්ධති සඳහා:
3. පස්වන ඇණවුම් පද්ධති සඳහා:

1. හයවන ඇණවුම් පද්ධති සඳහා:

උදාහරණයක්. Hurwitz ට අනුව පද්ධතියේ ස්ථායීතාවය අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණයක් ලබා දී ඇත.

ස්ථාවර පද්ධති සඳහා එය අවශ්ය සහ

2. රවුත් නිර්ණායකය

ඉහළ පෙළේ පද්ධතිවල ස්ථායිතාව අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා රවුත් නිර්ණායකය භාවිතා කරයි.

නිර්ණායක සැකසීම:

මාර්ග වගුව.

වගුව පිරවීම සඳහා ඇල්ගොරිතම: පළමු සහ දෙවන පේළිවල ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ දර්ශක සහිත සමීකරණයේ සංගුණක අඩංගු වේ; ඉතිරි පේළි වල මූලද්රව්ය පහත සඳහන් රීතිය අනුව ගණනය කරනු ලැබේ:

නිර්ණායකයේ වාසිය: ඕනෑම අනුපිළිවෙලක පද්ධතිවල ස්ථාවරත්වය අධ්යයනය කළ හැකිය.

2. නයික්විස්ට් ස්ථායිතා නිර්ණායකය

තර්කයේ මූලධර්මය

නිරන්තරවාදී ක්රම තර්කයේ මූලධර්මය මත පදනම් වේ.

පෝරමයේ බහුපදයක ගුණාංග අපි විශ්ලේෂණය කරමු:

කොහෙද  අයි - සමීකරණයේ මූලයන්

සංකීර්ණ තලය මත, සෑම මූලයක්ම හොඳින් අර්ථ දක්වා ඇති ලක්ෂ්යයකට අනුරූප වේ. ජ්යාමිතික වශයෙන්, සෑම මූලයක්ම මූලාරම්භයේ සිට ලක්ෂය දක්වා ඇද ගන්නා ලද දෛශිකයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැක මම : |  | - දෛශික දිග, arg - දෛශිකය සහ x අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව අතර කෝණය. අපි D(p) ෆූරියර් අවකාශයට සිතියම්ගත කරමු, ඉන්පසු j -  i - මූලික දෛශිකය.

ප්රාථමික දෛශිකවල කෙළවර මනඃකල්පිත අක්ෂය මත වේ.

දෛශිකයේ විශාලත්වය සහ තර්කය (අදියර)

දෛශිකයේ වාමාවර්තව භ්‍රමණය වන දිශාව ධනාත්මක ලෙස ගනු ලැබේ. එවිට වෙනස් කරන විට එක් එක් මූලික දෛශිකයේ සිට ( j  -  i ) කෝණයකින් + හැරෙනු ඇත නම්  i වම් අර්ධ තලයේ පිහිටා ඇත.

D ()=0ට m තිබීමට ඉඩ දෙන්න දකුණු අර්ධ තලයේ මුල් සහ n - m වමේ මුල්, පසුව වැඩි වීමත් සමඟ සිට දෛශිකයේ තර්කය වෙනස් කිරීමට D(j ) (භ්‍රමණ කෝණය D(j ), මූලික දෛශිකවල තර්කවල වෙනස්වීම් එකතුවට සමාන වේ) වනු ඇත

තර්කයේ මූලධර්මය:

Nyquist නිර්ණායකය ACS හි විවෘත පරිපථයේ සංඛ්‍යාත ලක්ෂණ මත පදනම් වේ, මන්ද සංවෘත පද්ධතියේ ස්ථායීතාවය විනිශ්චය කිරීමට විවෘත පරිපථයේ සංඛ්‍යාත ලක්ෂණ වර්ගය භාවිතා කළ හැකිය.

Nyquist නිර්ණායකය පහත සඳහන් හේතූන් මත ඉංජිනේරු භාවිතයේදී බහුලව භාවිතා වේ:

1. සංවෘත තත්වයක පද්ධතියක ස්ථායීතාවය එහි විවෘත පරිපථයේ සංඛ්යාත හුවමාරු ශ්රිතය මගින් අධ්යයනය කරනු ලබන අතර, මෙම කාර්යය බොහෝ විට සරල සාධක වලින් සමන්විත වේ. සංගුණක යනු පද්ධතියේ සැබෑ පරාමිතීන් වන අතර එමඟින් ස්ථායිතා තත්වයන්ගෙන් ඒවා තෝරා ගැනීමට ඔබට ඉඩ සලසයි.
2. ස්ථාවරත්වය අධ්යයනය කිරීම සඳහා, ඔබ ලබාගත් ප්රතිඵලවල නිරවද්යතාව වැඩි කරන පද්ධතියේ වඩාත් සංකීර්ණ මූලද්රව්යවල (පාලක වස්තුව, විධායක ආයතනය) පර්යේෂණාත්මකව ලබාගත් සංඛ්යාත ලක්ෂණ භාවිතා කළ හැකිය.
3. ස්ථාවරත්වය LFC භාවිතයෙන් අධ්‍යයනය කළ හැකි අතර, එහි ඉදිකිරීම් සරල ය.
4. ස්ථාවර මායිම් තීරණය කිරීම පහසුය.

1. විවෘත තත්වයේ පද්ධතිය ස්ථායී වේ

අපි සහායක ශ්‍රිතයක් හඳුන්වා දී ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු p  j  , එවිට

තර්ක මූලධර්මය අනුව, තර්කය වෙනස් කිරීම D(j 0 ට  ) සහ D з (j  )<  <  සමාන වේ එවිට එය hodograph වේ W 1 (j  ) සම්භවය විහිදී නොතිබිය යුතුය.

විශ්ලේෂණය සහ ගණනය කිරීම් සරල කිරීම සඳහා, අරය දෛශිකයේ මූලාරම්භය ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භයේ සිට ලක්ෂ්‍යයට මාරු කරමු (-1, j 0), සහ සහායක කාර්යය වෙනුවට W 1 (j  ) අපි විවෘත-ලූප් පද්ධතියක AFC භාවිතා කරමු W (j  ).

නිර්ණායක අංක 1 සකස් කිරීම

උදාහරණ.

AFC හි ධන සහ සෘණ සංක්‍රාන්ති සංඛ්‍යාවේ වෙනස ලක්ෂ්‍යයේ වමට බව සලකන්න (-1, j 0) ශුන්‍යයට සමාන වේ.

2. විවෘත තත්වයක මනඃකල්පිත අක්ෂය මත පොලු ඇති පද්ධතියකි

AFC පද්ධතියේ ස්ථායීතාවය විශ්ලේෂණය කිරීම සඳහා, ඒවා අසීමිත විශාල අරය කවයක් සමඟ පරිපූරණය කර ඇත. ශුන්‍ය ධ්‍රැවවල ධනාත්මක සැබෑ අර්ධ අක්ෂයට වාමාවර්තව 0, සහ තනිකරම මනඃකල්පිත මූලයන් වලදී - AFC හි අඛණ්ඩව පවතින ස්ථානයේ දක්ෂිණාවර්තව අර්ධ වෘත්තාකාරයකින්.

නිර්ණායක අංක 2 සැකසීම

1. අතරමැදි විවෘත පරිපථ පද්ධතිය

වඩාත් පොදු අවස්ථාවක් - විවෘත-ලූප් පද්ධතියක මාරු කිරීමේ කාර්යයේ හරය දකුණු අර්ධ තලයේ පිහිටා ඇති මූලයන් අඩංගු වේ. විවෘත ලූප පද්ධතියක අස්ථාවරත්වයේ පෙනුම හේතු දෙකක් නිසා සිදු වේ:

1. අස්ථායී සබැඳි තිබීමේ ප්රතිවිපාක;
2. ධනාත්මක හෝ සෘණාත්මක ප්‍රතිපෝෂණ මගින් ආවරණය වන සබැඳිවල ස්ථායීතාවය නැතිවීමේ ප්‍රතිඵලයක්.

x න්‍යායාත්මකව සංවෘත තත්වයක ඇති සමස්ත පද්ධතියම දේශීය ප්‍රතිපෝෂණ පරිපථයේ අස්ථාවරත්වය හමුවේ ස්ථායී විය හැකි වුවද, ප්‍රායෝගිකව එවැනි අවස්ථාවක් නුසුදුසු වන අතර ස්ථාවර දේශීය ප්‍රතිපෝෂණ පමණක් භාවිතා කිරීමට උත්සාහ කිරීමෙන් වළක්වා ගත යුතුය. අනවශ්‍ය ගුණාංග තිබීම, විශේෂයෙන් කොන්දේසි සහිත ස්ථායීතාවයේ පෙනුම මගින් මෙය පැහැදිලි කෙරේ, සාමාන්‍යයෙන් පද්ධතියේ පවතින රේඛීය නොවන බව ලබා දී ඇති අතර, සමහර ආකාරවලින් ස්ථාවරත්වය නැතිවීමට සහ ස්වයං දෝලනය වීමට හේතු විය හැක. එබැවින්, නීතියක් ලෙස, පද්ධතිය ගණනය කිරීමේදී, ප්රධාන ප්රතිපෝෂණ විවෘත වන විට ස්ථායී වන එවැනි දේශීය ප්රතිපෝෂණ තෝරා ගනු ලැබේ..

ලාක්ෂණික බහුපදයට ඉඩ දෙන්න D(p ) open-loop පද්ධතිය ඇතඑම් ධනාත්මක සැබෑ කොටසක් සහිත මූලයන්.

ඉන්පසු

ප්රතිස්ථාපන ආධාර කාර්යය p  j  ස්ථාවර සංවෘත පද්ධති සඳහා තර්කයේ මූලධර්මය අනුව තර්කයේ පහත වෙනසක් තිබිය යුතුය

නිර්ණායක අංක 3 සැකසීම

Ya.Z විසින් සකස් කිරීම. සිප්කිනා

LFC සඳහා Nyquist නිර්ණායකය

සටහන: ස්ථිතික පද්ධතිවල LFC හි අදියර ලක්ෂණය ඒකාකාරී අංශයකින් අතිරේක වේ + /2 ට  0.

පරම තිරසාරඔවුන් විවෘත-පරිපථ ලාභයේ කිසියම් අඩුවීමක් සඳහා ස්ථායීව පවතින පද්ධතියක් ලෙස හැඳින්වේ, එසේ නොමැතිනම් පද්ධතිය කොන්දේසි සහිත ස්ථාවර වේ.

ඒවායේ පරාමිතීන් වෙනස් කිරීමෙන් ස්ථාවර කළ හැකි පද්ධති ලෙස හැඳින්වේව්යුහාත්මකව ස්ථාවර, එසේ නොමැති නම් ව්යුහාත්මකව අස්ථායී.

ස්ථායීතා මායිම්

සාමාන්‍ය ක්‍රියාකාරිත්වය සඳහා, ඕනෑම ACS ස්ථායිතා සීමාවෙන් ඉවත් කළ යුතු අතර ප්‍රමාණවත් ස්ථායීතාවයක් තිබිය යුතුය. මෙම අවශ්‍යතාවය පහත සඳහන් හේතු නිසා වේ:

1. ACS මූලද්‍රව්‍යවල සමීකරණ, රීතියක් ලෙස, පරමාදර්ශී කර ඇත; ඒවා සම්පාදනය කිරීමේදී ද්විතියික සාධක සැලකිල්ලට නොගනී;
2. සමීකරණ රේඛීයකරණය කිරීමේදී, ආසන්න දෝෂ තවදුරටත් වැඩි වේ;
3. මූලද්රව්යවල පරාමිතීන් යම් දෝෂයක් සහිතව තීරණය කරනු ලැබේ;
4. එකම වර්ගයේ මූලද්රව්යවල පරාමිතීන් තාක්ෂණික වෙනස්කම් ඇත;
5. මෙහෙයුම අතරතුර, වයසට යෑම හේතුවෙන් මූලද්රව්යවල පරාමිතීන් වෙනස් වේ.

ඉංජිනේරු ගණනය කිරීම් භාවිතා කිරීමේදී, ස්ථායීතා ආන්තිකය පිළිබඳ බහුලව භාවිතා වන නිර්ණය NYQVIST නිර්ණායකය මත පදනම්ව, විවෘත-ලූප් පද්ධතියක AFC හි ඛණ්ඩාංක සහිත තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යයේ දුර මත පදනම් වේ (-1, j 0), එය දර්ශක දෙකකින් තක්සේරු කෙරේ: අදියර ස්ථායීතා ආන්තිකය සහ මාපාංකයේ ස්ථායීතා ආන්තිකය (විස්තාරය තුළ)එච්.

ATS සඳහා අවම වශයෙන් ස්ථායීතා ආන්තික තිබිය යුතුය සහ එච් , එහි විවෘත පරිපථයේ AFC, ස්ථායීතා නිර්ණායකය තෘප්තිමත් නම්, රූපයේ සෙවන ලද වළල්ලේ කොටස ඇතුල් නොකළ යුතුය. 1, කොහෙදඑච් සම්බන්ධතාවය මගින් තීරණය වේ

කොන්දේසි සහිත ස්ථායී පද්ධතිවල LFC මගින් ස්ථාවරත්වය තීරණය කරන්නේ නම්, අවම වශයෙන් ස්ථායීතා ආන්තික සහතික කිරීම සඳහා සහ h අවශ්‍ය වන පරිදි:

a) h සඳහා  L  - h අදියර-සංඛ්‍යාත ලක්ෂණය අසමානතාවයන් තෘප්තිමත් කරයිθ > -180  +  හෝ θ< -180  -  , i.e. රූපයේ 1 සෙවන සහිත ප්‍රදේශයට ඇතුළු නොවීය. 2;

ආ) -180  +   θ  -180  -  විස්තාරය-සංඛ්‍යාත ලක්ෂණය අසමානතාවයන් තෘප්තිමත් කරයිඑල්< - h или L >h , i.e. රූපය 2 හි සෙවන ලද ප්‍රදේශ 2" සහ 2" ඇතුළු නොකළේය.

නිරපේක්ෂ ස්ථායී පද්ධතියක් සඳහා, ස්ථායීතා මායිම් සහ h රූපයේ දැක්වෙන පරිදි තීරණය කරනු ලැබේ. 3:

1. අදියර ආන්තිකය

1. Modulo margin h =- L (ω -π), මෙහි ω -π සංඛ්යාතය θ=-180˚ .

ස්ථායිතා ආන්තිකවල අවශ්‍ය අගයන් ATS පන්තිය සහ නියාමනයේ ගුණාත්මකභාවය සඳහා වන අවශ්‍යතා මත රඳා පවතී. ආසන්න වශයෙන් එය විය යුතුය =30  60  සහ h =6  20dB.

විස්තාරය තුළ අවම අවසර ලත් ස්ථායීතා ආන්තිකය 6 dB ට නොඅඩු විය යුතුය (එනම්, විවෘත-ලූප් පද්ධතියේ හුවමාරු සංගුණකය තීරණාත්මක අගයෙන් අඩක්) සහ අදියරේදී 25 ට නොඅඩු විය යුතුය. 30 .

පිරිසිදු ප්‍රමාද සබැඳියක් සහිත පද්ධතියක ස්ථායිතාව

විවෘත-ලූප් පද්ධතියක AFC ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන්නේ නම් (-1, j 0), එවිට පද්ධතිය ස්ථාවරත්වයේ අද්දර පවතී.

1 ට වඩා අඩු හුවමාරු සංගුණකයක් සහිත අවස්ථිති-නිදහස් සබැඳියක් පරිපථයට ඇතුළත් කර ඇත්නම්, පිරිසිදු ප්‍රමාදයක් සහිත පද්ධතියක් ස්ථායී කළ හැක. වෙනත් වර්ගවල නිවැරදි කිරීමේ උපාංග ද හැකි ය.

ව්‍යුහාත්මකව ස්ථායී සහ ව්‍යුහාත්මකව අස්ථායී පද්ධති

පද්ධතියේ ගුණාත්මක භාවය වෙනස් කිරීමට එක් ක්රමයක් (ස්ථාවරත්වය අනුව) විවෘත-ලූප් පද්ධතියේ හුවමාරු සංගුණකය වෙනස් කිරීමයි.

විට k L ( ) නැඟී හෝ වැටෙනු ඇත. නම් k වැඩි වීම, L ( ) ඉහල යාම සහ  avg වැඩි වනු ඇත, නමුත් පද්ධතිය අස්ථායීව පවතිනු ඇත. නම්කේ අඩු කරන්න, එවිට පද්ධතිය ස්ථාවර කළ හැකිය. පද්ධතිය නිවැරදි කිරීම සඳහා මෙය එක් ක්රමයකි.

පද්ධති පරාමිතීන් වෙනස් කිරීමෙන් ස්ථාවර කළ හැකි පද්ධති ව්‍යුහාත්මකව තිරසාර ලෙස හැඳින්වේ.

මෙම පද්ධති සඳහා තීරණාත්මක විවෘත-ලූප් හුවමාරු අනුපාතයක් ඇත. K crit. පද්ධතිය ස්ථාවරත්වයේ අද්දර සිටින විට මෙය මාරු සංගුණකය වේ.

ව්‍යුහාත්මකව අස්ථායී පද්ධති ඇත - මේවා පද්ධතියේ පරාමිතීන් වෙනස් කිරීමෙන් ස්ථායී කළ නොහැකි පද්ධති වේ, නමුත් ස්ථාවරත්වය සඳහා පද්ධතියේ ව්‍යුහය වෙනස් කිරීම අවශ්‍ය වේ.

උදාහරණයක්.

අපි අවස්ථා තුනක් සලකා බලමු:

1. ඉඩ

ඉන්පසු

ස්ථාවරත්වය සඳහා පද්ධතියේ ක්රියාකාරිත්වය පරීක්ෂා කරමු.

Δ = a 3 Δ 2 >0.

k rs.cr තීරණය කිරීමට. අපි බිංදුවට සමාන කරමු 2 .

ඉන්පසු

කවදාද

සලකා බලනු ලබන පද්ධතිය ව්‍යුහාත්මකව ස්ථායී වේ, මන්ද එය සබැඳි වල පරාමිතීන් වෙනස් කිරීමෙන් ස්ථායි කළ හැක.

1. ඒවා පළමු අවස්ථාවේ දී මෙන් ම වීමට ඉඩ දෙන්න.

දැන් පාලක නාලිකාවේ ස්ථිතික දෝෂයක් නොමැත.

Hurwitz ස්ථායිතා කොන්දේසි:

 2 ඉඩ දෙන්න =0, එවිට පද්ධතිය අස්ථායී නම්.

1 වන අනුපිළිවෙලෙහි ස්ථිතිවාදය සහිත මෙම පද්ධතිය ව්‍යුහාත්මකව ස්ථායී වේ.

1. ඉඩ

පද්ධතිය සෑම විටම අස්ථායී වේ. මෙම පද්ධතිය ව්‍යුහාත්මකව අස්ථායී වේ.

ස්වයං චලිත තුවක්කු ස්ථායීතාවය

හුවමාරු කාර්යයේ ශුන්ය සහ ධ්රැව

හුවමාරු ශ්රිතයේ සංඛ්යාංකයේ බහුපදයේ මූලයන් ලෙස හැඳින්වේ බිංදු, සහ හරයෙහි බහුපදයේ මූලයන් වේ පොලුමාරු කාර්යය. එකවරම පොලු ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්, හෝ ලක්ෂණ සංඛ්යා.

හුවමාරු ශ්‍රිතයේ සංඛ්‍යා සහ හරයේ මූලයන් වම් අර්ධ තලයේ තිබේ නම් (සංඛ්‍යායේ සහ හරයේ මූලයන් ඉහළ අර්ධ තලයේ පිහිටා ඇති අතර), එවිට සබැඳිය ලෙස හැඳින්වේ. අවම අදියර.

මුල්වල වම් අර්ධ තලයට ලිපි හුවමාරු කිරීම ආර්මුල්වල ඉහළ අර්ධ තලය (රූපය 2.2.1) මගින් පැහැදිලි කරනු ලැබේ, හෝ , i.e. දෛශිකයකින් දෛශිකයක් ලබා ගන්නේ එය දක්ෂිණාවර්තව කෝණයකින් කරකැවීමෙනි. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, වම් අර්ධ තලයේ සිට සියලුම දෛශික ඉහළ අර්ධ තලයේ දෛශික වෙත පැමිණේ.

අවම නොවන අදියර සහ අස්ථායී සබැඳි

ඉහත සලකා බැලූ ස්ථානීය සහ අවකලනය කිරීමේ වර්ගවල සබැඳි ස්ථායී සබැඳිවලට හෝ ස්වයං-මට්ටම් සබැඳිවලට අයත් වේ.

යටතේ ස්වයං-මට්ටම්ආදාන අගයෙහි සීමිත වෙනසක් හෝ බාධාකාරී බලපෑමක් ඇතිව නව ස්ථාවර-තත්ත්ව අගයකට ස්වයංසිද්ධව පැමිණීමට සබැඳියකට ඇති හැකියාව අදහස් කරයි. සාමාන්‍යයෙන්, ස්වයං පෙළගැස්ම යන පදය නියාමනයට යටත් වන සබැඳි සඳහා භාවිතා වේ.

ආදාන අගයෙහි සීමිත වෙනසක් නිසා සබැඳිය නව ස්ථාවර තත්ත්වයකට පැමිණීමට හේතු නොවන සබැඳි ඇත, සහ කාලයත් සමඟ ප්‍රතිදාන අගය අසීමිත ලෙස වැඩි වේ. උදාහරණයක් ලෙස, මේවාට ඒකාබද්ධ කිරීමේ ආකාරයේ සබැඳි ඇතුළත් වේ.

මෙම ක්‍රියාවලිය වඩාත් කැපී පෙනෙන සබැඳි තිබේ. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ධනාත්මක තාත්වික කොටසක් සහිත ධනාත්මක තාත්වික හෝ සංකීර්ණ මූලයන් තිබීමෙන් මෙය පැහැදිලි වේ (මාරු ශ්‍රිතයේ හරය ශුන්‍යයට සමාන වේ), එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස සබැඳිය ලෙස වර්ග කෙරේ. අස්ථායී සබැඳි.

උදාහරණයක් ලෙස, අවකල සමීකරණයේ දී , අපට මාරු කිරීමේ කාර්යය ඇත සහ ධනාත්මක සැබෑ මූලයක් සහිත ලාක්ෂණික සමීකරණයක්. මෙම සබැඳිය මාරු ශ්‍රිතයක් සහිත අවස්ථිති සබැඳියට සමාන විස්තාර-සංඛ්‍යාත ලක්ෂණයක් ඇත. නමුත් මෙම සබැඳි වල අදියර-සංඛ්‍යාත ලක්ෂණ සමාන වේ. අප සතුව ඇති අවස්ථිති සබැඳිය සඳහා . අප සතු හුවමාරු කාර්යයක් සහිත සබැඳියක් සඳහා

එම. වැඩි නිරපේක්ෂ අගය.

මේ සම්බන්ධයෙන්, අස්ථායී සබැඳි සමූහයට අයත් වේ අවම-අදියර සබැඳි නොවේ.

අවම-අදියර නොවන සබැඳි ද හුවමාරු ශ්‍රිතයේ සංඛ්‍යාංකයේ (අවකල්‍ය සමීකරණයේ දකුණු පැත්තට අනුරූප වන) ධනාත්මක තාත්වික කොටසක් සහිත සැබෑ ධන මූලයන් හෝ සංකීර්ණ මූලයන් ඇති ස්ථායී සබැඳි ඇතුළත් වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, මාරු කිරීමේ කාර්යයක් සහිත සබැඳියක් අවම-අදියර නොවන සබැඳි සමූහයට අයත් වේ. සංඛ්‍යාත හුවමාරු ශ්‍රිතයේ මොඩියුලය හුවමාරු ශ්‍රිතය ඇති සබැඳියේ සංඛ්‍යාත හුවමාරු ශ්‍රිතයේ මොඩියුලය සමඟ සමපාත වේ. . නමුත් පළමු සබැඳියේ අදියර මාරුව නිරපේක්ෂ අගයෙන් වැඩි ය:

එකම විස්තාර සංඛ්‍යාත ලක්ෂණ ඇති අනුරූප සබැඳිවලට සාපේක්ෂව අවම-අදියර සබැඳි කුඩා අවධි මාරු ඇත.

ක්‍රමය කියලයි ඔවුන් කියන්නේ ස්ථාවරහෝ බාහිර කැළඹීම් ඉවත් කිරීමෙන් පසු එය එහි මුල් තත්වයට පැමිණේ නම් ස්වයං-මට්ටම් ඇත.

නිදහස් තත්වයක පවතින පද්ධතියක චලිතය සමජාතීය අවකල සමීකරණයකින් විස්තර කෙරෙන බැවින් ස්ථායී පද්ධතියක ගණිතමය අර්ථ දැක්වීම පහත පරිදි සකස් කළ හැක.

කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නම් පද්ධතියක් අසමමිතික ලෙස ස්ථායී ලෙස හැඳින්වේ (2.9.1)

පොදු විසඳුම (1.2.10) විශ්ලේෂණයෙන් ස්ථායීතාවය සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසියක් පහත දැක්වේ:

පද්ධතියේ ස්ථායීතාවය සඳහා, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සියලුම මූලයන් දැඩි ලෙස සෘණාත්මක සැබෑ කොටස් තිබීම අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ, i.e. නියෝජිත මම , මම = 1…n. (2.9.2)

පැහැදිලිකම සඳහා, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සාමාන්යයෙන් රූපය 2.9.1a හි සංකීර්ණ තලය මත නිරූපණය කෙරේ. අවශ්ය හා ප්රමාණවත් දේ කරන විට

Fig.8.12. මූල තලය

ලක්ෂණය

සමීකරණ ඒ(පි) = 0

OU - ස්ථායිතා කලාපය

තුන්වන කොන්දේසිය (2.9.2) සියලු මූලයන් මනඃකල්පිත අක්ෂයේ වම් පසින් පිහිටා ඇත, i.e. තිරසාරත්වය ක්ෂේත්රයේ.

එබැවින්, කොන්දේසිය (2.9.2) පහත පරිදි සකස් කළ හැක.

ස්ථාවරත්වය සඳහා, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සියලුම මූලයන් වම් අර්ධ තලයේ පිහිටා තිබීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ.

ස්ථායීතාවය පිළිබඳ දැඩි පොදු නිර්වචනයක්, රේඛීය නොවන පද්ධතිවල ස්ථායීතාවය අධ්යයනය කිරීමේ ක්රම සහ රේඛීය පද්ධතියක ස්ථාවරත්වය පිළිබඳ නිගමනය මුල් රේඛීය නොවන පද්ධතියට දීර්ඝ කිරීමේ හැකියාව රුසියානු විද්යාඥ A.M. Lyapunov විසින් ලබා දෙන ලදී.

ප්රායෝගිකව, ස්ථායීතාවය බොහෝ විට වක්රව තීරණය කරනු ලැබේ, ලක්ෂණ සමීකරණයේ මූලයන් සෘජුව සොයා නොගෙන ඊනියා ස්ථායීතා නිර්ණායක භාවිතා කරයි. මේවාට වීජීය නිර්ණායක ඇතුළත් වේ: Stodola තත්ත්වය, Hurwitz සහ Mikhailov නිර්ණායක මෙන්ම Nyquist සංඛ්‍යාත නිර්ණායකය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, Nyquist නිර්ණායකය මඟින් AFC හෝ විවෘත-ලූප් පද්ධතියක ලඝුගණක ලක්ෂණ මගින් සංවෘත-ලූප් පද්ධතියක ස්ථායීතාවය තීරණය කිරීමට ඉඩ ලබා දේ.

ස්ටෝඩෝලා තත්ත්වය

19 වැනි සියවසේ අගභාගයේදී ස්ලෝවැක් ජාතික ගණිතඥයෙකු වූ ස්ටෝඩෝලා විසින් මෙම තත්ත්වය ලබා ගන්නා ලදී. පද්ධති ස්ථායීතාවයේ කොන්දේසි අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා ක්‍රමවේද දෘෂ්ටි කෝණයකින් එය සිත්ගන්නා සුළුය.

අපි පද්ධතියේ ලාක්ෂණික සමීකරණය ආකෘතියෙන් ලියන්නෙමු

D(p) = a 0 පි n +අ 1 පි n- 1 +…අ n = 0. (2.9.3)

Stodol අනුව, ස්ථාවරත්වය සඳහා එය අවශ්ය නමුත් ප්රමාණවත් නොවේ ඒ 0 > 0 අනෙකුත් සියලුම සංගුණක දැඩි ලෙස ධනාත්මක විය, i.e.

ඒ 1 > 0 ,..., ඒ n > 0.

අවශ්යතාවයමේ ආකාරයට සෑදිය හැක:

පද්ධතිය ස්ථායී නම්, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සියලුම මූලයන් ඇත, i.e. වාමාංශිකයෝ වෙති.

අවශ්යතාවය පිළිබඳ සාක්ෂිය මූලික වේ. Bezout ගේ ප්‍රමේයයට අනුව ලාක්ෂණික බහුපදයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැක

, එනම්, සැබෑ සංඛ්‍යාවක් වීමට ඉඩ දෙන්න, සහ - සංකීර්ණ සංයුජ මූලයන්. ඉන්පසු

මෙයින් පෙන්නුම් කරන්නේ සැබෑ සංගුණක සහිත බහුපදයක නම්, සංකීර්ණ මූලයන් යුගල වශයෙන් සංයුති වන බවයි. එපමනක් නොව, නම් , එසේ නම් අපට ධනාත්මක සංගුණක සහිත බහුපදවල නිෂ්පාදනයක් ඇත, එය ධනාත්මක සංගුණක සමඟ පමණක් බහුපදයක් ලබා දෙයි.

අසාර්ථක වීමස්ටෝඩෝලාගේ කොන්දේසිය නම් කොන්දේසිය සෑම දෙයක්ම සහතික නොකරන බවයි. උපාධියේ බහුපදයක් සලකා බැලීමෙන් මෙය විශේෂිත උදාහරණයකින් දැකිය හැකිය.

නඩුවේ Stodola තත්ත්වය අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් බව සලකන්න. එය අනුගමනය කරයි. එසේ නම් .

මක්නිසාද යත්, චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා වන සූත්‍රය විශ්ලේෂණය කිරීමෙන්, කොන්දේසියේ ප්‍රමාණවත් බව ද පහත දැක්වේ.

ස්ටෝඩෝලාගේ තත්වයෙන් වැදගත් ප්‍රතිවිපාක දෙකක් අනුගමනය කරයි.

1. කොන්දේසිය සපුරා ඇත්නම් සහ පද්ධතිය අස්ථායී නම්, සංක්රාන්ති ක්රියාවලිය දෝලනය වන ස්වභාවයක් ඇත. ධනාත්මක සංගුණක සහිත සමීකරණයකට සැබෑ ධන මූලයන් තිබිය නොහැකි බව මෙය අනුගමනය කරයි. නිර්වචනය අනුව, මූලයක් යනු ලාක්ෂණික බහුපද අතුරුදහන් කරන අංකයකි. කිසිදු ධන සංඛ්‍යාවක් ධන සංගුණක සහිත බහුපදයක් අතුරුදහන් කළ නොහැක, එනම් එහි මූලය වේ.

2. සෘණාත්මක ප්‍රතිපෝෂණ අවස්ථා වලදී ලාක්ෂණික බහුපදයේ සංගුණකවල ධනාත්මක බව (පිළිවෙලින්, ස්ටෝඩෝලා තත්ත්වය සපුරාලීම) සහතික කෙරේ, i.e. සංවෘත ලූපයක් ඔස්සේ ඔත්තේ සංඛ්‍යාවක සංඥා ප්‍රතිලෝම අවස්ථාවකදී. මෙම අවස්ථාවේ දී, ලාක්ෂණික බහුපද. එසේ නොමැති නම්, සහ සමාන ඒවා ගෙන ඒමෙන් පසු, සමහර සංගුණක ඍණාත්මක විය හැකිය.

සෘණාත්මක ප්රතිපෝෂණ ස්ටෝඩෝලා තත්ත්වය ඉටු නොකිරීමේ හැකියාව බැහැර නොකරන බව සලකන්න. උදාහරණයක් ලෙස, නම් , a , එසේ නම් තනි ඍණාත්මක ප්‍රතිපෝෂණයකදී . මෙම බහුපදයේ දී, at හි සංගුණකය ශුන්‍යයට සමාන වේ. සෘණාත්මක සංගුණක නොමැත, නමුත්, කෙසේ වෙතත්, අසමානතාවයන් දැඩි ලෙස ඉටු කිරීම අවශ්ය වන බැවින්, කොන්දේසිය සෑහීමකට පත් නොවේ.

පහත උදාහරණයෙන් මෙය සනාථ වේ.

උදාහරණයක් 2.9.1. රූපයේ දැක්වෙන පරිපථයට Stodola තත්ත්වය යොදන්න. 2.9.2.

විවෘත ලූප ඒකක සෘණ ප්‍රතිපෝෂණ පද්ධතියක හුවමාරු ශ්‍රිතය සමාන වන අතර සංවෘත ලූප පද්ධතියක ලාක්ෂණික සමීකරණය යනු සංඛ්‍යා සහ හරයේ එකතුවයි, i.e.

D(p) = p 2 +k 1 කේ 2 = 0.

සමග සාමාජිකයෙකු නොමැති නිසා ආර්පළමු උපාධිය ( ඒ 1 = 0), එවිට Stodola තත්ත්වය තෘප්තිමත් නොවන අතර පද්ධතිය අස්ථායී වේ. පරාමිති අගයන් යටතේ මෙම පද්ධතිය ව්‍යුහාත්මකව අස්ථායී වේ කේ 1 සහ කේ 2 තිරසාර විය නොහැක.

පද්ධතිය ස්ථාවර කිරීමට, ඔබ අතිරේක සම්බන්ධතාවයක් හෝ නිවැරදි කිරීමේ සබැඳියක් හඳුන්වා දිය යුතුය, i.e. පද්ධතියේ ව්යුහය වෙනස් කරන්න. අපි මෙය උදාහරණ සහිතව පෙන්වා දෙමු. රූපයේ. 2.9.3. සෘජු දාම සම්බන්ධකයක් මාරු ශ්‍රිත සමඟ ශ්‍රේණිගතව සම්බන්ධ කර ඇති සබැඳි මගින් නිරූපණය කෙරේ. පළමු හැඳින්වීමට සමාන්තරව අතිරේක සම්බන්ධතාවයක් ඇත.

පී
ඒකක සෘණ සම්බන්ධතාවයක් හරහා පද්ධති විවෘත ලූපයක මාරු කිරීමේ කාර්යය සහ සංවෘත ලූප පද්ධතියක ලාක්ෂණික සමීකරණය පිළිවෙලින් සමාන වේ.

,

දැන් Stodola තත්ත්වය ඕනෑම දෙයක් සඳහා සෑහීමකට පත්වේ . දෙවන උපාධි සමීකරණයේ දී එය අවශ්‍ය පමණක් නොව ප්‍රමාණවත් වන බැවින්, ඕනෑම ධනාත්මක ලාභ සාධක සඳහා පද්ධතිය ස්ථායී වේ.

රූපය 2.9.4 හි, පරිපථයට අනුක්‍රමික බල කිරීමේ සබැඳියක් හඳුන්වා දෙනු ලැබේ. මෙම නඩුවේ විවෘත-පරිපථ තනි ඍණ සම්බන්ධතා පද්ධතියේ මාරු කිරීමේ කාර්යය සමාන වේ සහ සංවෘත පද්ධතියේ ලාක්ෂණික සමීකරණය සමාන වේ

පෙර එකට සමාන, පද්ධතිය ඕනෑම ධනාත්මක සඳහා ස්ථාවර වේ.

Rouss-Hurwitz ස්ථාවරත්ව නිර්ණායකය

රූස් (එංගලන්තය) සහ හර්විට්ස් (ස්විට්සර්ලන්තය) යන ගණිතඥයන් මෙම නිර්ණායකය ආසන්න වශයෙන් එකම කාලයකදී වර්ධනය කරන ලදී. වෙනස ගණනය කිරීමේ ඇල්ගොරිතමයේ විය. අපි Hurwitz ගේ සූත්‍රගත කිරීමේ නිර්ණායකය සමඟ දැන හඳුනා ගනිමු.

Hurwitz ට අනුව, ස්ථාවරත්වය සඳහා එය අවශ්ය වන අතර ප්රමාණවත් වේ ඒ 0 > 0 Hurwitz නිර්ණායක  =  nසහ එහි සියලුම ප්‍රධාන බාලවයස්කරුවන්  1 ,  2 ,...,  n -1 දැඩි ධනාත්මක විය, i.e.

(2.9.4)

සංගුණක ප්‍රධාන විකර්ණය දිගේ පිහිටා ඇති බැවින් Hurwitz නිර්ණායකයේ ව්‍යුහය මතක තබා ගැනීම පහසුය. ඒ 1 ,… ,ඒ n, රේඛා එකකින් වෙන් කරන ලද සංගුණක අඩංගු වේ; ඒවා අවසන් වී ඇත්නම්, හිස් අවකාශය ශුන්‍ය වලින් පුරවනු ලැබේ.

උදාහරණය 2.9.2. Hurwitz ස්ථායීතාවය සඳහා අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා ඒකක ඍණාත්මක ප්‍රතිපෝෂණයක් සහිත පද්ධතියක්, එහි සෘජු දාමයේ අවස්ථිති සබැඳි තුනක් ඇතුළත් වන අතර, එබැවින්, විවෘත-ලූප් පද්ධතියේ හුවමාරු ශ්‍රිතයට ආකෘතිය ඇත (2.9.5)

සංවෘත පද්ධතියක ලාක්ෂණික සමීකරණය අංකනය සහ හරයේ එකතුව (2.9.5) ලෙස ලියමු:

එබැවින්,

Hurwitz determinant සහ එහි බාල වයස්කරුවන්ට ආකෘතිය ඇත

සැලකිල්ලට ගනිමින් ඒ 0 > 0, Hurwitz determinant හි දැඩි ධනාත්මකතාවය සහ බාල වයස්කරුවන්ගේ (2.9.6) Stodola තත්ත්වය සහ ඊට අමතරව, කොන්දේසිය ඇඟවුම් කරයි ඒ 1 ඒ 2 - ඒ 0 ඒ 3 > 0, සංගුණකවල අගයන් ආදේශ කිරීමෙන් පසුව ලබා දෙයි

(ටී 1 ටී 2 + ටී 1 ටී 3 + ටී 2 ටී 3 )(ටී 1 + ටී 2 + ටී 3 ) > ටී 1 ටී 2 ටී 3 (1+ කේ) . (2.9.7)

වැඩිවීමත් සමඟ බව මෙයින් පෙනේ කේඅසමානතාවය (2.9.7) තෘප්තිමත් වීම නවත්වන බැවින් පද්ධතිය ස්ථායී සිට අස්ථායී දක්වා හැරවිය හැක.

දෝෂය මගින් පද්ධතියේ මාරු කිරීමේ කාර්යය සමාන වේ

මුල් පිටපතෙහි අවසාන අගය පිළිබඳ ප්‍රමේයයට අනුව, තනි පියවර සංඥාවක් සැකසීමේදී ස්ථායී-තත්ත්ව දෝෂය 1/(1+ ට සමාන වේ. කේ) එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, ස්ථාවරත්වය සහ නිරවද්යතාව අතර ප්රතිවිරෝධතාවක් අනාවරණය වේ. දෝෂය අඩු කිරීම සඳහා, ඔබ වැඩි කළ යුතුය කේ, නමුත් මෙය ස්ථාවරත්වය නැති වීමට හේතු වේ.

තර්ක මූලධර්මය සහ මිහයිලොව් ස්ථායිතා නිර්ණායකය

Mikhailov නිර්ණායකය ඊනියා තර්ක මූලධර්මය මත පදනම් වේ.

Bezout ප්‍රමේයය අනුව, ආකෘතියෙන් නිරූපණය කළ හැකි සංවෘත ලූප පද්ධතියක ලාක්ෂණික බහුපද සලකා බලමු.

D(p) = a 0 පි n +අ 1 පි n- 1 +…+ අ n =a 0 (p-p 1 )…(p - p n ).

අපි ආදේශකයක් කරමු p = j

D(j ) = a 0 (ජ ) n +අ 1 (ජ ) n- 1 +…+ අ n =a 0 (ජ -p 1 )…(ජ -p n ) = X( )+jY( ).

නිශ්චිත අගයක් සඳහා  පරාමිතික සමීකරණ මගින් ලබා දී ඇති සංකීර්ණ තලය මත ලක්ෂ්‍යයක් ඇත

ඊ
වෙනස් නම්  - සිට  දක්වා පරාසය තුළ, පසුව Mikhailov වක්රය, එනම් hodograph, ඇද ගනු ලැබේ. දෛශිකයේ භ්‍රමණය අධ්‍යයනය කරමු D(j ) එය වෙනස් වන විට  - සිට  දක්වා, එනම්, අපි දෛශික තර්කයේ වර්ධකය සොයා ගනිමු (තර්කය දෛශිකවල ගුණිතයේ එකතුවට සමාන වේ): .

හිදී  = -  වෙනස දෛශිකය, එහි ආරම්භය ලක්ෂ්‍යයේ ඇත ආර් i, සහ මනඃකල්පිත අක්ෂයේ අවසානය සිරස් අතට පහළට යොමු කෙරේ. ඔබ වර්ධනය වන විට  දෛශිකයේ අවසානය මනඃකල්පිත අක්ෂය දිගේ ලිස්සා යයි, සහ කවදාද  =  දෛශිකය සිරස් අතට ඉහළට යොමු කෙරේ. මූල ඉතිරි නම් (රූපය 2.9.19a), එසේ නම්  arg = + , සහ මූල නිවැරදි නම්, එසේ නම්  arg = - .

ලාක්ෂණික සමීකරණය තිබේ නම් එම්දකුණු මූලයන් (පිළිවෙලින් n - mවම්), පසුව .

තර්කයේ මූලධර්මය මෙයයි. සැබෑ කොටස තෝරාගැනීමේදී X( ) සහ මනඃකල්පිත Y( ) අපි ආරෝපණය කළා X( ) සියලුම කොන්දේසි අඩංගු j ඒකාකාර මට්ටමකට, සහ Y( ) - අමුතු මට්ටමකට. එබැවින්, Mikhailov වක්රය සැබෑ අක්ෂය ගැන සමමිතික වේ ( X( ) - පවා, Y( ) - ඔත්තේ කාර්යය). ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, ඔබ වෙනස් වුවහොත්  0 සිට + දක්වා, එවිට තර්ක වර්ධකය අඩකින් විශාල වනු ඇත. මේ සම්බන්ධයෙන්, අවසාන වශයෙන් තර්කයේ මූලධර්මයපහත පරිදි සකස් කර ඇත . (2.9.29)

පද්ධතිය ස්ථාවර නම්, i.e. එම්= 0, එවිට අපි Mikhailov ස්ථාවරත්ව නිර්ණායකය ලබා ගනිමු.

මිහයිලොව්ට අනුව, ස්ථාවරත්වය සඳහා එය අවශ්ය හා ප්රමාණවත් වේ

, (2.9.30)

එනම්, Mikhailov වක්රය අනුක්රමයෙන් ගමන් කළ යුතුය n

පැහැදිලිවම, Mikhailov නිර්ණායකය යෙදීම සඳහා, වක්රයේ නිශ්චිත හා සවිස්තරාත්මක ඉදිකිරීමක් අවශ්ය නොවේ. එය ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය වටා යන ආකාරය සහ ඡේදයේ අනුපිළිවෙල උල්ලංඝනය වී තිබේද යන්න තහවුරු කිරීම වැදගත් වේ. nහතරේ වාමාවර්තව.

උදාහරණයක් 2.9.6. 2.9.20 රූපයේ දැක්වෙන පද්ධතියේ ස්ථායිතාව පරීක්ෂා කිරීම සඳහා Mikhailov නිර්ණායකය යොදන්න.

සංවෘත ලූප පද්ධතියක ලාක්ෂණික බහුපද කේ 1 කේ 2 > 0 ස්ථාවර පද්ධතියකට අනුරූප වේ, එබැවින් Stodola තත්ත්වය තෘප්තිමත් වේ, සහ සඳහා n = 1 එය ප්රමාණවත්ය. ඔබට කෙලින්ම මූල සොයාගත හැකිය ආර් 1 = - කේ 1 කේ 2 සහ අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් ස්ථායිතා තත්ත්වය තෘප්තිමත් වන බවට වග බලා ගන්න. එබැවින්, Mikhailov නිර්ණායකයේ යෙදීම නිදර්ශනය වේ. විශ්වාස කරනවා පි= j , අපට ලැබෙනවා

ඩී(j ) = x( )+ jY( ),

කොහෙද X( ) = ; වයි( ) =  . (2.9.31)

පරාමිතික සමීකරණ (2.9.31) භාවිතා කරමින්, මිහයිලොව්ගේ හොඩොග්‍රැෆ් රූපය 2.9.21 හි ඉදිකරන ලද අතර, එය වෙනස් කිරීමේදී පැහැදිලි වේ.  0 සිට  දෛශිකය ඩී(j ) + මගින් වාමාවර්තව භ්‍රමණය වේ  /2, i.e. පද්ධතිය ස්ථාවර වේ.

නයික්විස්ට් ස්ථායිතා නිර්ණායකය

දක්වා දැනටමත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, Nyquist නිර්ණායකය ස්ථාවරත්ව නිර්ණායක අතර විශේෂ ස්ථානයක් ගනී. මෙය විවෘත ලූප් එකක සංඛ්‍යාත ලක්ෂණ මත පදනම්ව සංවෘත ලූප පද්ධතියේ ස්ථායීතාවය තීරණය කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසන සංඛ්‍යාත නිර්ණායකයකි. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, පද්ධතිය තනි ඍණාත්මක ප්රතිපෝෂණ පරිපථයේ විවෘතව ඇති බව උපකල්පනය කෙරේ (රූපය 2.9.22).

Nyquist නිර්ණායකයේ ඇති එක් වාසියක් වන්නේ විවෘත ලූප පද්ධතියක සංඛ්‍යාත ලක්ෂණ පර්යේෂණාත්මකව ලබා ගත හැකි වීමයි.

නිර්ණායකයේ ව්යුත්පන්න තර්කයේ මූලධර්මය භාවිතා කිරීම මත පදනම් වේ. විවෘත-ලූප් පද්ධතියේ මාරු කිරීමේ කාර්යය (රූපය 2.9.22 හි තනි ඍණාත්මක ප්රතිපෝෂණ පරිපථය හරහා) සමාන වේ

අපි සලකා බලමු. (2.9.32)

සීමිත කලාප පළලක් සහිත සැබෑ පද්ධතියක, විවෘත-ලූප් හුවමාරු ශ්‍රිතයේ හරයේ උපාධිය පීසංඛ්යාංකයේ බලයට වඩා වැඩි, i.e. n> එබැවින්, විවෘත-ලූප් පද්ධතියේ සහ සංවෘත-ලූප පද්ධතියේ ලාක්ෂණික බහුපදවල අංශක සමාන හා සමාන වේ. n. (2.9.32) අනුව විවෘත-ලූප් පද්ධතියක AFC සිට AFC වෙත සංක්‍රමණය වීම යනු සැබෑ කොටස 1 කින් වැඩි වීමයි, i.e. 2.9.23 රූපයේ දැක්වෙන පරිදි ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය ලක්ෂ්‍යයට (-1, 0) ගෙන යාම.

අපි දැන් උපකල්පනය කරමු සංවෘත ලූප පද්ධතිය ස්ථායී බවත්, විවෘත ලූප පද්ධතියේ ලාක්ෂණික සමීකරණය වන්නේ A(p) = 0 ඇත එම්නිවැරදි මුල්. එවිට, තර්ක මූලධර්මයට (2.9.29) අනුකූලව, Nyquist අනුව සංවෘත ලූප පද්ධතියක ස්ථාවරත්වය සඳහා අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් කොන්දේසියක් අපි ලබා ගනිමු.

එම. සංවෘත ලූප පද්ධති දෛශිකයේ ස්ථායීතාවය සඳහා ඩබ්ලිව් 1 (j ) කල යුතුමයි එම්/2 සම්පූර්ණ වාමාවර්තව, දෛශිකය කරකැවීමට සමාන වේ ඩබ්ලිව් pa z (j ) විවේචනාත්මක ලක්ෂ්යයට සාපේක්ෂව (-1.0).

ප්රායෝගිකව, රීතියක් ලෙස, විවෘත-ලූප් පද්ධතියක් ස්ථාවර වේ, i.e. එම්= 0. මෙම අවස්ථාවේදී, තර්කයේ වැඩිවීම ශුන්ය වේ, i.e. විවෘත-ලූප් පද්ධතියක AFC තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යය (-1.0) ආවරණය නොකළ යුතුය.

LAC සහ LFC සඳහා Nyquist නිර්ණායක

ප්රායෝගිකව, විවෘත ලූප පද්ධතියක ලඝුගණක ලක්ෂණ බොහෝ විට භාවිතා වේ. එබැවින්, ඒවා මත පදනම් වූ සංවෘත ලූප පද්ධතියක ස්ථායීතාවය තීරණය කිරීම සඳහා Nyquist නිර්ණායකය සකස් කිරීම යෝග්ය වේ. තීරණාත්මක ලක්ෂ්‍යයට (-1.0) සාපේක්ෂව AFC හි විප්ලව ගණන සහ එය ආවරණය කර තිබේද නැද්ද යන්න

සැබෑ අක්ෂයේ අන්තරයේ (-,-1) ධනාත්මක සහ සෘණ මංසන්ධි ගණන මත රඳා පවතින අතර, ඒ අනුව, කලාපයේ අදියර ලක්ෂණය අනුව -180 ° රේඛාවේ ඡේදනය එල්( )  0 . රූප සටහන 2.9.24 AFC පෙන්වන අතර සැබෑ අක්ෂයේ කොටසේ (-,-1) ඡේදනය වීමේ සලකුණු පෙන්වයි.

සාධාරණ පාලනය

ධන සහ සෘණ මංසන්ධි ගණන කොහෙද.

Fig. 2.9.24c හි AFC මත පදනම්ව, LAC සහ LFC ඉදි කර ඇති අතර, රූපය 2.9.25 හි පෙන්වා ඇති අතර, LFC මත ධනාත්මක සහ සෘණ මංසන්ධි සලකුණු කර ඇත. කොටසෙහි (-,-1) මොඩියුලය එකකට වඩා විශාල වේ, එය අනුරූප වේ එල්( ) > 0. එබැවින්, Nyquist නිර්ණායකය:

ඩී කලාපයේ විවෘත ලූප පද්ධතියක සංවෘත ලූප පද්ධතියක LFC හි ස්ථාවරත්වය සඳහා එල්( ) > 0, සෘණ ඒවාට වඩා -180° රේඛාවේ ධනාත්මක මංසන්ධි තිබිය යුතුය.

විවෘත ලූප පද්ධතිය ස්ථායී නම්, කලාපයේ ලක්ෂණය අනුව -180° රේඛාවේ ධන සහ සෘණ මංසන්ධි ගණන එල්( ) > සංවෘත ලූප පද්ධතියේ ස්ථායීතාවය සඳහා 0 සමාන විය යුතුය හෝ ඡේදනය නොවිය යුතුය.

Astatic පද්ධතියක් සඳහා Nyquist නිර්ණායකය

ඇස්ටැටික් ඇණවුම් පද්ධතියක සිද්ධිය සලකා බැලීම විශේෂයෙන් අවශ්‍ය වේ ආර්සමාන විවෘත-ලූප් පද්ධති හුවමාරු කාර්යයක් සමඟ

.

මේ අවස්ථාවේ දී 0 හි, එනම්, විවෘත-ලූප් පද්ධතියේ විස්තාරය-අදියර ලක්ෂණය (APC) අනන්තය වෙත යයි. මීට පෙර, අපි වෙනස් කිරීමේදී AFH ගොඩනඟා ගත්තෙමු  - සිට  දක්වා වන අතර එය අඛණ්ඩ වක්‍රයක් විය, වසා ඇත  =  0. දැන් එය ද වසා දමයි  = 0, නමුත් අනන්තයේ සහ සැබෑ අක්ෂයේ කුමන පැත්තේද යන්න පැහැදිලි නැත (වමේ හෝ දකුණේ අනන්තයේ?).

රූප සටහන 2.9.19c මගින් පෙන්නුම් කරන්නේ මෙම අවස්ථාවේ දී වෙනස දෛශිකයේ තර්කයේ වර්ධක ගණනය කිරීමේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති බවයි. එය දැන් සෑම විටම මනඃකල්පිත අක්ෂය ඔස්සේ පිහිටා ඇත (සමපාත වේ j ) ශුන්‍යය තරණය කරන විට පමණක් දිශාව වෙනස් වේ (මෙම අවස්ථාවේදී, දෛශිකය වාමාවර්තව භ්‍රමණය වේ  හෝ දක්ෂිණාවර්තව -?), නිශ්චිතභාවය සඳහා, අපි සාම්ප්‍රදායිකව උපකල්පනය කරන්නේ මූලය ඉතිරි වී ඇති අතර මූලාරම්භයේ වටකුරු අපරිමිත අරය වාමාවර්තව ඇති චාපයක් දිගේ සිදුවන බවයි (භ්‍රමණයෙන් +  ) ඒ අනුව ඒ අවට  = 0 පෝරමයේ නිරූපණය කෙරේ

,

කොහෙද  = +  එය වෙනස් වන විට  සිට – 0 දක්වා + 0. අවසාන ප්‍රකාශනය පෙන්නුම් කරන්නේ එවැනි අවිනිශ්චිතභාවයක් හෙළිදරව් කිරීමත් සමඟ AFC වෙනසක් සමඟ හැරෙන බවයි.  සිට – 0 සිට + 0 කෝණයකට - දක්ෂිණාවර්තව. ඊට අනුරූපව ඉදිකරන ලද AFC විය යුතුය  = 0 කෝණයක අරය අනන්ත චාපයක් සමඟ පරිපූරකය වේ, එනම් ධනාත්මක සැබෑ අර්ධ අක්ෂයට වාමාවර්තව.

මාපාංකය සහ අදියර අනුව ස්ථායීතා මායිම්

පද්ධති පරාමිතීන් වෙනස් වන විට ස්ථායීතාවය සහතික කිරීම සඳහා, පහත දැක්වෙන පරිදි තීරණය කරනු ලබන මාපාංකය සහ අදියර තුළ ස්ථායීතා ආන්තික හඳුන්වා දෙනු ලැබේ.

ස්ථායීතා ආන්තිකය මොඩියුලයපද්ධතිය ස්ථායීව පවතින පරිදි (ස්ථායීතා සීමාවේ) ලාභය වැඩි කිරීමට හෝ අඩු කිරීමට කොපමණ වාරයක් හෝ ඩෙසිබල් කීයක් අනුමත කරයිද යන්න පෙන්වයි. එය min ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත ( එල් 3 , එල් 4) රූපය 2.9.25 හි. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබ LFC වෙනස් නොකරන්නේ නම්, LFC ඉහළ යන විට එල් 4 කපා හැරීමේ සංඛ්යාතය  cp කාරණය වෙත ගමන් කරනු ඇත  4 සහ පද්ධතිය ස්ථාවරත්වයේ මායිම මත පවතිනු ඇත. ඔබ LAX දක්වා අඩු කළහොත් එල් 3, එවිට කැපුම් සංඛ්‍යාතය ලක්ෂ්‍යයට වමට මාරු වනු ඇත  3 සහ පද්ධතිය ස්ථායීතා මායිම මත ද පවතිනු ඇත. අපි LAX ඊටත් වඩා අඩු නම්, කලාපය තුළ එල්( ) > 0 පමණක් LFC රේඛාවේ සෘණ ඡේදනය වනු ඇත -180 °, i.e. Nyquist නිර්ණායකයට අනුව, පද්ධතිය අස්ථායී වනු ඇත.

අදියර ස්ථායීතා ආන්තිකයපද්ධතිය ස්ථායීව පවතින පරිදි (ස්ථායීතා මායිමේ ඇත) නියත ලාභයක් සමඟ අදියර මාරුව වැඩි කිරීමට කොපමණ අවසර තිබේද යන්න පෙන්වයි. එය අනුපූරකයක් ලෙස අර්ථ දැක්වේ  ( cf) -180 ° දක්වා.

ප්රායෝගිකව එල්  12-20 dB,   20-30°.