Kawasan definisi fungsi dengan akar. Bagaimana untuk mencari kawasan definisi lapangan

Dalam setiap fungsi terdapat dua pembolehubah - pemboleh ubah bebas dan pemboleh ubah bergantung, nilai-nilai yang bergantung kepada nilai pembolehubah bebas. Sebagai contoh, dalam fungsi ini y. = f.(x.) = 2x. + y. Pemboleh ubah bebas adalah "X", dan yang bergantung - "Y" (dengan kata lain, "Y" adalah fungsi dari "X"). Nilai yang dibenarkan pembolehubah bebas "X" dipanggil kawasan definisi bidang, dan nilai-nilai pembolehubah yang bergantung "Y" dipanggil fungsi fungsi fungsi.

Langkah-langkah

Bahagian 1

Tentukan jenis fungsi yang diberikan kepada anda. Bidang fungsi fungsi adalah semua nilai "X" (didepositkan sepanjang paksi mendatar), yang sesuai dengan nilai-nilai "Y". Fungsi ini mungkin kuadrat atau mengandungi pecahan atau akar. Untuk mencari fungsi untuk menentukan fungsi, anda mesti terlebih dahulu menentukan jenis fungsi.

1. Pilih entri yang sesuai untuk kawasan definisi fungsi. Kawasan definisi ditulis dalam persegi dan / atau kurungan. Bracket Square. Ia digunakan dalam kes apabila nilai memasuki fungsi menentukan fungsi; Jika nilai tidak termasuk dalam kawasan definisi, pendakap bulat digunakan. Sekiranya fungsi mempunyai beberapa definisi bukan negatif, simbol "U" ditetapkan di antara mereka.

   • Sebagai contoh, kawasan definisi [-2.10) U (10.2] termasuk -2 dan 2 nilai, tetapi tidak termasuk nilai 10.

2. Membina graf fungsi kuadratik. Jadual fungsi sedemikian adalah parabola, yang cawangannya diarahkan atau naik, atau ke bawah. Sejak parabola meningkat atau berkurangan sepanjang paksi X, kawasan penentuan fungsi kuadratik adalah semua nombor yang sah. Dalam erti kata lain, kawasan definisi fungsi sedemikian adalah set r (R menandakan semua nombor yang sah).

   • Untuk lebih menjelaskan konsep fungsi, pilih sebarang nilai "X", gantikannya ke fungsi dan cari nilai "Y". Sepasang nilai "X" dan "Y" adalah titik dengan koordinat (X, Y), yang terletak pada graf fungsi.
   • Sapukan perkara ini ke pesawat koordinat dan lakukan proses yang dijelaskan dengan nilai lain "X".
   • Memohon pesawat koordinat beberapa mata, anda akan menerima pandangan umum Pada bentuk graf fungsi.

3. Jika fungsi mengandungi pecahan, sama dengan penyebutnya kepada sifar. Ingat bahawa tidak mustahil untuk membahagikan kepada sifar. Oleh itu, menyamakan penyebut kepada sifar, anda akan mendapati nilai-nilai "X" yang tidak termasuk dalam bidang definisi bidang.

   • Sebagai contoh, cari kawasan definisi bidang f (x) \u003d (x + 1) / (x - 1).
   • Berikut adalah penyebut: (x - 1).
   • Menyamakan penyebut kepada sifar dan mencari "x": x - 1 \u003d 0; x \u003d 1.
   • Tuliskan kawasan definisi fungsi. Kawasan definisi tidak termasuk 1, iaitu, ia termasuk semua nombor yang sah dengan pengecualian 1. Oleh itu, fungsi menentukan fungsi: (-∞, 1) U (1, ∞).
   • Rakaman (-∞, 1) U (1, ∞) dibaca seperti ini: set semua nombor yang sah kecuali 1. Simbol infiniti ∞ bermaksud semua nombor sebenar. Dalam contoh kami, semua nombor yang sah yang lebih besar daripada 1 dan kurang daripada 1 dimasukkan ke dalam kawasan definisi.

4. Jika fungsi mengandungi akar persegi, maka ungkapan makan harus lebih besar daripada atau sama dengan sifar. Ingat bahawa akar kuadrat nombor negatif tidak diambil. Oleh itu, apa-apa nilai "X", di mana ungkapan memberi makan menjadi negatif, harus dikecualikan daripada fungsi menentukan fungsi tersebut.

   • Sebagai contoh, cari fungsi untuk menentukan fungsi F (x) \u003d √ (x + 3).
   • Ekspresi Guardian: (x + 3).
   • Ekspresi makan harus lebih besar daripada atau sama dengan sifar: (x + 3) ≥ 0.
   • Cari "X": X ≥ -3.
   • Kawasan definisi fungsi ini termasuk pluralitas semua nombor yang sah yang lebih besar atau sama dengan -3. Oleh itu, kawasan definisi: [-3, ∞).

Bahagian 2

1. Pastikan anda mempunyai fungsi kuadratik. Fungsi kuadratik mempunyai bentuk: kapak 2 + bx + c: f (x) \u003d 2x 2 + 3x + 4. Grafik fungsi sedemikian adalah parabola, cawangan-cawangan yang diarahkan atau naik, atau ke bawah. Terdapat pelbagai kaedah untuk mencari kawasan nilai-nilai fungsi kuadratik.

   • Cara paling mudah untuk mencari pelbagai fungsi yang mengandungi akar atau pecahan adalah untuk membina graf fungsi seperti menggunakan kalkulator grafik.

2. Cari koordinat "X" simpang grafik fungsi. Dalam kes fungsi kuadratik, cari koordinat "X" dari Pearabol Vertex. Ingat bahawa fungsi kuadratik mempunyai bentuk: AX 2 + BX + C. Untuk mengira koordinat "X", gunakan persamaan berikut: X \u003d -B / 2A. Persamaan ini adalah derivatif fungsi utama persegi dan menggambarkan tangen, pekali sudut yang sifar (tangent ke bahagian atas parabola selari dengan paksi X).

   • Sebagai contoh, cari pelbagai nilai fungsi 3x 2 + 6x -2.
   • Kirakan koordinat "X" dari Vertex Parabola: X \u003d -B / 2A \u003d -6 / (2 * 3) \u003d -1

3. Cari koordinat "U" simpang fungsi grafik. Untuk melakukan ini, menggantikan fungsi koordinat "X". Koordinat yang dikehendaki "Y" adalah nilai had fungsi fungsi fungsi.

   • Kirakan koordinat "Y": y \u003d 3x 2 + 6x - 2 \u003d 3 (-1) 2 + 6 (-1) -2 \u003d -5
   • Koordinat puncak parabola fungsi ini: (-1, -5).

4. Tentukan arah parabola, yang menggantikan fungsi sekurang-kurangnya satu nilai "X". Pilih mana-mana nilai "X" yang lain dan tukarnya kepada fungsi untuk mengira nilai "Y" yang sepadan. Sekiranya nilai yang dijumpai "Y" adalah lebih banyak koordinat "U" Parabola Vertex, maka Parabola diarahkan ke atas. Sekiranya nilai yang dijumpai "Y" kurang daripada koordinat "Y" dari Pearabol Vertex, maka parabol diarahkan ke bawah.

   • Kembali ke fungsi X \u003d -2: Y \u003d 3x 2 + 6x - 2 \u003d Y \u003d 3 (-2) 2 + 6 (-2) - 2 \u003d 12 -12 -2 \u003d -2.
   • Koordinat titik berbaring di Parabola: (-2, -2).
   • Koordinat yang ditemui menunjukkan bahawa cawangan Parabola diarahkan ke atas. Oleh itu, fungsi fungsi fungsi termasuk semua nilai "Y", yang lebih besar atau sama dengan -5.
   • Julat nilai fungsi ini: [-5, ∞)

5. Fungsi nilai-nilai fungsi dicatatkan sama dengan kawasan definisi bidang. Kurungan persegi digunakan dalam kes apabila nilai memasuki fungsi nilai-nilai fungsi; Jika nilai tidak termasuk dalam pelbagai nilai, pendakap bulat digunakan. Sekiranya fungsi mempunyai beberapa bidang yang tidak mengukur nilai, simbol "U" ditetapkan di antara mereka.

   • Sebagai contoh, nilai [-2.10) U (10.2] termasuk -2 dan 2 nilai, tetapi tidak termasuk 10.
   • Kurungan bulat sentiasa digunakan dengan simbol infiniti ∞.

Sering kali, apabila tugas dilakukan, masalah timbul, bagaimana untuk mencari kawasan definisi lapangan? Tanpa itu, ia tidak perlu dilakukan tanpa pembinaan graf dan dengan kajian lanjut mengenai nilai-nilai fungsi.

Konsep kawasan definisi fungsi

Fungsi penentuan fungsi adalah set nilai berubah fungsi X, di mana fungsi F (x) masuk akal. Dan lebih tepatnya, nilai fungsi X berubah-ubah akan dikatakan, di mana F (x) mungkin wujud dalam realiti. Sebagai contoh, adalah dicadangkan untuk mempertimbangkan kes apabila fungsi itu tidak boleh wujud sama sekali. Kes pertama kita akan melihat apabila dalam ungkapan. Dalam perwujudan, apabila pecahan berlaku, penyebut tidak boleh menjadi sifar, kerana alasan yang mudah bahawa ungkapan fraksional semacam itu tidak wujud, kerana mereka akhirnya membawa kepada nilai sifar, dan salah satu peraturan aritmetik emas - anda tidak boleh membahagikannya sifar.

Dengan Zero digambarkan, mari kita berurusan dengan Sillah. Apa yang perlu dicari kawasan definisi lapangan, contoh dengan pecahan yang sama, dan tentukan nilai pembolehubah X, kita perlu belajar pecahan kepada sifar, dan, menyelesaikan persamaan ini, kita akan mendapat nilai pembolehubah X, yang akan menjadi dikecualikan dari kawasan penyelesaian. Contoh kedua ialah apabila fungsi kami mengandungi akar darjah yang sama. Di sini kita mempunyai kebebasan tindakan yang lengkap, kerana apabila menyelesaikan fungsi sedemikian, kita mendapat sambutan yang positif dengan mana-mana nombor subkorteks, yang akan dipadamkan lagi dari fungsi menentukan fungsi tersebut. Apa yang tidak boleh dikatakan tentang akar ijazah ganjil apabila kita hanya boleh memenuhi nombor berpandu yang positif.

Contoh penyelesaian

Satu lagi contoh apabila anda perlu mencari kawasan definisi data fungsi yang ditentukan oleh logaritma. Ia benar-benar mudah di sini, rantau menentukan logaritma adalah semua nombor positif. Dan untuk mencari nilai pembolehubah, adalah perlu untuk menyelesaikan ketidaksamaan untuk logaritma ini. Di mana ungkapan porphmic akan menjadi negatif. Perlu mengambil kira fungsi trigonometri, iaitu, Arcxinus dan Arckosinus, yang ditentukan pada selang [-1: 1]. Untuk melakukan ini, anda perlu mengesan, supaya nilai ekspresi yang ditunjukkan oleh fungsi-fungsi ini jatuh ke dalam jurang yang telah ditetapkan kepada kami, dan segala-galanya dengan berani mengecualikan dari nilai pembolehubah.

Satu contoh, bagaimana untuk mencari fungsi definisi fungsi, jika fungsi itu mengandungi, sebagai contoh, pecahan yang sukar. Di mana, sebagai contoh, penyebut akan kelihatan seperti akar Arksinus. Dalam kes ini, adalah perlu untuk menyerlahkan hanya nilai-nilai pembolehubah di mana arxinus mungkin wujud, dan sudah menghapuskan nilai arxinus yang sifar (kerana ia datang kepada contoh ini Penyiar), langkah seterusnya adalah untuk mengecualikan semua nilai negatif, untuk alasan yang mudah bahawa mereka tidak sesuai dengan keadaan fungsi nilai makan. Semua nilai yang tinggal adalah yang dikehendaki.

Katakan fungsi kami mempunyai bentuk Y \u003d A / B, kawasan definisi adalah semua nilai kecuali untuk sifar. Nilai nombor A boleh menjadi sepenuhnya. Sebagai contoh, cari kawasan definisi data y \u003d 3 / 2x-1, kita perlu mencari nilai-nilai x, di mana penyebut pecahan tidak akan dipegang kepada kita. Untuk melakukan ini, menyamakan penyebut kepada sifar dan mencari penyelesaian, selepas itu jawapannya diperolehi sama dengan 0.5 (x: 2x - 1 \u003d 0; 2x \u003d 1; x \u003d ½; x \u003d 0.5) Berikutan ini, dari rantau ini Definisi fungsi hendaklah dikecualikan kepada 0.5. Untuk mencari bidang definisi fungsi, penyelesaian mesti mengambil kira bahawa ungkapan ini harus sama ada positif atau sama dengan sifar.

Ia adalah perlu untuk mencari kawasan definisi bidang contoh y \u003d √3x-9, berdasarkan keadaan di atas, kita mengubah ungkapan kita dalam bentuk ketidaksamaan 3x ≥ 9; x ≥ 3; 0, selepas penyelesaian kita datang ke nilai yang x adalah lebih besar daripada atau sama dengan 3, dan kita tidak termasuk semua nilai-nilai ini dari fungsi fungsi apabila menentukan kawasan menentukan fungsi ekspresi makan dengan Penunjuk ganjil, adalah perlu untuk mengambil kira bahawa dalam kes ini nilai x boleh jika ekspresi makan tidak pecahan, dan x tidak di dalam denominator. Contoh: Y \u003d ³√2x-5, anda hanya boleh menunjukkan bahawa pembolehubah X mungkin menjadi nombor yang sebenarnya. Bagaimana untuk mencari kawasan definisi bidang tidak perlu lupa bahawa nombor ini di bawah logaritma mestilah positif.

Contoh: Ia adalah perlu untuk mencari bidang menentukan data fungsi Y \u003d log2 (4x - 1). Memandangkan keadaan di atas, mencari nilai fungsi ini harus dikira jadi, 4x - 1\u003e 0; Dari sini ia mengikuti 4x\u003e 1; x\u003e 0.25. Dan bidang penentuan fungsi ini akan sama dengan semua nilai yang lebih besar daripada 0.25.

Sesetengah laman web menawarkan untuk mencari bidang untuk menentukan fungsi dalam talian dan menjimatkan masa untuk mencari penyelesaian. Perkhidmatan yang sangat mudah, terutamanya untuk pelajar dan pelajar.

Fungsi dengan akar persegi hanya ditakrifkan pada nilai-nilai "X" apabila ekspresi yang dibingungkan adalah bukannegatif:. Sekiranya akar terletak di dalam penyebut, keadaan itu jelas toughened :. Pengiraan yang sama adalah sah untuk sebarang akar ijazah yang positif: Benar, akar sudah ada ijazah ke-4 fUNGSI PENYELIDIKAN Saya tidak ingat.

Contoh 5.

Keputusan: Ekspresi masa lalu harus menjadi nonnegatif:

Sebelum meneruskan keputusan itu, saya mengingatkan peraturan asas kerja dengan ketidaksamaan, yang diketahui dari sekolah.

Saya memberi perhatian khusus! Ketidaksamaan kini dipertimbangkan dengan satu pembolehubah - iaitu, hanya untuk kita satu paksi dimensi. Tolong jangan mengelirukan dengan ketidaksamaan dua pembolehubahdi mana seluruh pesawat koordinat terlibat secara geometri. Walau bagaimanapun, terdapat kebetulan yang menyenangkan! Oleh itu, transformasi berikut bersamaan dengan ketidaksamaan:

1) Komponen boleh dipindahkan dari bahagian ke bahagian dengan perubahan tanda.

2) Kedua-dua bahagian ketidaksamaan boleh didarab dengan nombor positif.

3) Jika kedua-dua bahagian ketidaksamaan didarabkan oleh negatif nombor, maka anda perlu berubah tanda ketidaksamaan itu sendiri. Sebagai contoh, jika ia "lebih", ia akan menjadi "kurang"; Sekiranya ia "kurang atau sama," ia akan menjadi "lebih sama sama."

Dalam ketidaksamaan, kita akan memindahkan "Troika" ke sebelah kanan tanda tanda (Peraturan No. 1):

Multiply kedua-dua bahagian ketidaksamaan pada -1 (peraturan nombor 3):

Multiply kedua-dua bahagian ketidaksamaan pada (peraturan nombor 2):

Jawapan: Domain:

Jawapannya juga boleh dirakam oleh frasa yang setara: "Fungsi ini ditakrifkan apabila".
Secara geometri, kawasan definisi digambarkan dengan menetas selang yang sama pada paksi abscissa. Dalam kes ini:

Sekali lagi saya mengingatkan makna geometri bidang definisi - graf fungsi Hanya ada di plot yang teduh dan hilang di.

Dalam kebanyakan kes, penemuan analitik yang semata-mata dari bidang definisi sesuai, tetapi apabila fungsi itu sangat bermasalah, paksi harus ditarik dan nota.

Contoh 6.

Cari kawasan definisi lapangan

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas.

Apabila di bawah akar persegi adalah twist persegi atau tiga kali ganda, keadaannya agak rumit, dan sekarang kita akan menganalisis penyelesaian secara terperinci:

Contoh 7.

Cari kawasan definisi lapangan

Keputusan: Ekspresi makan harus tegas, iaitu, kita perlu menyelesaikan ketidaksamaan. Dalam langkah pertama, kami cuba menguraikan triple persegi untuk pengganda:

Diskriminasi adalah positif, mencari akar:

Oleh itu, parabola. Paksi abscissa diseberang di dua mata, yang bermaksud bahawa bahagian parabola terletak di bawah paksi (ketidaksamaan), dan sebahagian parabola berada di atas paksi (ketidaksamaan yang kita perlukan).

Kerana pekali, cawangan parabola melihat. Dari yang terdahulu, ia berlaku bahawa ketidaksamaan dilakukan pada selang waktu (cawangan parabola naik ke infiniti), dan Pearabol Vertex terletak pada selang di bawah paksi abscissa, yang sepadan dengan ketidaksamaan:

! Nota: sekiranya anda tidak difahami sepenuhnya oleh penjelasan, sila lukis paksi kedua dan seluruh parabola! Adalah dinasihatkan untuk kembali ke artikel itu. Carta dan sifat fungsi asas dan kaedah Formula Kursus Sekolah Matematik Panas.

Sila ambil perhatian bahawa mata itu sendiri telah dinyatakan (tidak termasuk dalam penyelesaian), kerana ketidaksamaan yang kami ketat.

Jawapan: Domain:

Secara umum, banyak ketidaksamaan (termasuk yang dipertimbangkan) diselesaikan oleh universal kaedah interval.diketahui lagi dari program sekolah. Tetapi dalam kes-kes dua persegi dan tiga peringkat, pada pendapat saya, ia lebih mudah dan lebih cepat untuk menganalisis lokasi parabola berbanding paksi. Dan kaedah utama - kaedah selang masa kami akan menganalisis secara terperinci dalam artikel Fungsi sifar. Selang waktu.

Contoh 8.

Cari kawasan definisi lapangan

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas. Dalam sampel, logik hujah + cara kedua penyelesaian dan satu transformasi yang lebih penting ketidaksamaan disarankan secara terperinci secara terperinci, tanpa mengetahui pelajar akan chrome satu kaki ..., ... hmm ... di Perbelanjaan kaki, mungkin, teruja, sebaliknya - satu jari. Ibu jari.

Bolehkah fungsi dengan akar persegi ditentukan pada keseluruhan garis angka? Pasti. Familiar semua orang :. Atau jumlah yang sama dengan eksponen :. Sesungguhnya, untuk apa-apa makna "X" dan "Ka": Oleh itu, ia juga ditindas. Sebagai contoh, fungsi itu ditakrifkan pada keseluruhan garis berangka. Walau bagaimanapun, fungsi ini mempunyai satu titik masih tidak termasuk dalam kawasan definisi, kerana mereka melukis penyebut kepada sifar. Atas alasan yang sama untuk fungsi itu Mata dikecualikan.

Sesetengah pelawat laman web ini, contoh-contoh yang sedang dipertimbangkan akan kelihatan asas dan primitif, tetapi tidak ada peluang - pertama, saya cuba untuk "mengasah" bahan untuk noobs, dan kedua, saya pilih perkara yang realistik di bawah tugas yang akan datang: penyelidikan penuh FUNGSI, mencari kawasan yang menentukan fungsi dua pembolehubahdan beberapa yang lain. Segala-galanya dalam matematik berpaut kepada satu sama lain. Walaupun pencinta kesulitan juga akan ditinggalkan, tugas yang lebih kukuh akan bertemu di sini, dan dalam pelajaran
mengenai kaedah interval..