Kajian penuh fungsi dan pembinaan graf. Bagaimana untuk menyiasat fungsi dan membina jadualnya? Terokai fungsi 1 5x

Sekiranya tugasnya adalah untuk menyelesaikan kajian penuh fungsi F (X) \u003d X 2 4 x 2 - 1 dengan pembinaan jadualnya, maka pertimbangkan prinsip ini secara terperinci.

Untuk menyelesaikan tugas jenis ini, gunakan sifat dan graf fungsi asas utama. Algoritma kajian termasuk langkah-langkah:

Mencari bidang definisi

Oleh kerana penyelidikan dijalankan di kawasan definisi lapangan, perlu bermula dari langkah ini.

Contoh 1.

Contoh yang ditentukan membayangkan asas Zeros denominator untuk mengecualikan mereka dari OTZ.

4 x 2 - 1 \u003d 0 x \u003d ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞.

Akibatnya, anda boleh mendapat akar, logaritma, dan sebagainya. Kemudian OTZ boleh dicari untuk ijazah Jenis G (X) 4 oleh Ketidaksamaan G (X) ≥ 0, untuk logaritma log A g (x) oleh ketidaksamaan g (x)\u003e 0.

Kajian sempadan sempadan dan mencari asymptot menegak

Pada batas-batas fungsi terdapat asymptotes menegak apabila had satu sisi di mata tersebut tidak terhingga.

Contoh 2.

Sebagai contoh, pertimbangkan mata sempadan sama dengan x \u003d ± 1 2.

Kemudian adalah perlu untuk mengkaji fungsi untuk mencari had unilateral. Kemudian kita dapatkan itu: Lim x → - 1 2 - 0 F (x) \u003d Lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · 0 \u003d + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 2) · (+ 0) \u003d - ∞ Lim x → 1 2 - 0 F (x) \u003d Lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (- 0) · 2 \u003d - ∞ Lim x → 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) \u003d 1 4 (+ 0 ) · 2 \u003d + ∞

Ia dapat dilihat bahawa had satu sisi tidak terhingga, yang bermaksud lurus x \u003d ± 1 2 - asymptotes menegak grafik.

Fungsi penyelidikan dan pariti atau ganjil

Apabila keadaan y (- x) \u003d y (x) berpuas hati, fungsi itu dianggap walaupun. Ini menunjukkan bahawa jadual terletak secara simetrik berbanding O. Apabila keadaan y (- x) \u003d - Y (x) berpuas hati, fungsi itu dianggap ganjil. Ini bermakna bahawa simetri datang berbanding dengan permulaan koordinat. Dengan lalai, sekurang-kurangnya satu ketidaksamaan, kami memperoleh fungsi yang sama.

Pelaksanaan kesamaan y (- x) \u003d y (x) menunjukkan bahawa fungsi itu walaupun. Apabila membina ia adalah perlu untuk mengambil kira bahawa akan ada simetri berbanding dengan o.

Untuk penyelesaian jurang yang semakin meningkat dan menurun dengan keadaan f "(x) ≥ 0 dan f" (x) ≤ 0, masing-masing.

Definisi 1.

Mata pegun- Ini adalah mata yang mengubah derivatif dalam sifar.

Mata kritikal. - Ini adalah titik dalaman dari kawasan definisi, di mana derivatif fungsi itu sifar atau tidak wujud.

Semasa menyelesaikan, adalah perlu untuk mengambil kira kenyataan berikut:

dengan sambungan yang semakin meningkat dan turun dari ketidaksamaan bentuk F "(X)\u003e 0, titik kritikal dalam penyelesaian tidak termasuk;
titik-titik di mana fungsi ditakrifkan tanpa derivatif terhingga mesti dimasukkan ke dalam jurang yang semakin meningkat dan menurun (contohnya, y \u003d x 3, di mana titik x \u003d 0 membuat fungsi yang ditakrifkan, derivatif mempunyai nilai infiniti pada ini titik, y "\u003d 1 3 · x 2 3, y" (0) \u003d 1 0 \u003d ∞, x \u003d 0 dimasukkan ke dalam selang yang semakin meningkat);
untuk mengelakkan perselisihan, adalah disyorkan untuk menggunakan kesusasteraan matematik, yang disyorkan oleh Kementerian Pendidikan.

Kemasukan mata kritikal ke dalam jurang yang semakin meningkat dan menurun sekiranya mereka memenuhi bidang definisi lapangan.

Definisi 2.

Untuk takrifan jurang yang semakin meningkat dan fungsi menurun mesti dijumpai:

derivatif;
mata kritikal;
membahagikan kawasan definisi dengan titik kritikal kepada selang;
tentukan tanda derivatif pada setiap jurang, di mana + adalah peningkatan, dan turun.

Contoh 3.

Cari derivatif pada medan definisi f "(x) \u003d x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 \u003d - 2 x (4 x 2 - 1 ) 2.

Keputusan

Untuk menyelesaikan anda perlukan:

cari mata pegun, contoh ini mempunyai x \u003d 0;
cari nol denominator, contohnya mengambil nilai sifar pada x \u003d ± 1 2.

Titik ujian pada paksi berangka untuk menentukan derivatif pada setiap selang. Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk mengambil apa-apa titik dari jurang dan membuat perhitungan. Dengan hasil yang positif, grafnya menggambarkan +, yang bermaksud meningkatkan fungsi, dan - bermaksud penurunannya.

Sebagai contoh, F "(- 1) \u003d - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, ini bermakna bahawa selang pertama kiri mempunyai tanda +. Pertimbangkan pada garis angka.

Jawab:

terdapat peningkatan dalam fungsi dalam selang - ∞; - 1 2 dan (- 1 2; 0];
penurunan dalam selang [0; 1 2) dan 1 2; + ∞.

Dalam rajah dengan + dan - positif dan negatif fungsi digambarkan, dan penembak itu berkurangan dan meningkat.

Fungsi Mata Extremum - Mata di mana fungsi ditakrifkan dan di mana derivatif mengubah tanda.

Contoh 4.

Jika kita mempertimbangkan contoh di mana x \u003d 0, maka nilai fungsi di dalamnya adalah sama dengan f (0) \u003d 0 2 4 · 0 2 - 1 \u003d 0. Apabila menukar tanda derivatif dengan + pada - dan melewati titik x \u003d 0, maka titik dengan koordinat (0; 0) dianggap sebagai titik maksimum. Apabila menukar tanda C - pada + kami mendapat titik minimum.

Penukaran dan kesucian ditentukan apabila menyelesaikan ketidaksamaan bentuk F "" (x) ≥ 0 dan f "" (x) ≤ 0. Kurang sering menggunakan nama bulge ke bawah bukannya cekung, dan bulge dan bukannya convexity.

Definisi 3.

Untuk menentukan jurang cekung dan bonjol Perlu:

cari derivatif kedua;
cari sifar fungsi derivatif kedua;
berpecah kawasan definisi yang muncul pada selang;
tentukan tanda selang.

Contoh 5.

Cari derivatif kedua dari kawasan definisi.

Keputusan

f "" (x) \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "\u003d \u003d (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 \u003d 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Kami mendapati sifar pengangka dan penyebut, di mana contoh contoh kami, kami mempunyai sifar yang zeros X \u003d ± 1 2

Sekarang anda perlu memohon mata kepada paksi berangka dan mentakrifkan tanda derivatif kedua setiap jurang. Kami mendapatnya

Jawab:

fungsi ini adalah cembung dari jurang - 1 2; 12;
fungsi ini cekung dari jurang - ∞; - 1 2 dan 1 2; + ∞.

Definisi 4.

Titik infleksi - ia adalah titik jenis x 0; f (x 0). Apabila ia mempunyai tangen kepada grafik fungsi, maka apabila ia melewati x 0, fungsi itu mengubah tanda ke sebaliknya.

Dalam erti kata lain, ini adalah satu titik di mana derivatif kedua berlalu dan mengubah tanda, dan dalam mata itu sendiri sama dengan sifar atau tidak wujud. Semua mata dianggap sebagai kawasan definisi bidang.

Dalam contohnya, jelas bahawa titik-titik infleksi tidak hadir, kerana derivatif kedua mengubah tanda semasa melewati mata x \u003d ± 1 2. Mereka, sebaliknya, tidak termasuk dalam bidang definisi.

Mencari asymptotes mendatar dan cenderung

Apabila menentukan fungsi di Infinity, adalah perlu untuk mencari asymptotes mendatar dan cenderung.

Definisi 5.

Asymptotes cenderung.gambar digambarkan menggunakan langsung yang ditentukan oleh persamaan y \u003d k x + b, di mana k \u003d lim x → ∞ f (x) x dan b \u003d lim x → ∞ f (x) - k x.

Pada k \u003d 0 dan B, tidak sama dengan tak terhingga, kita memperoleh bahawa asymptota yang cenderung menjadi mendatar.

Dalam erti kata lain, asymptotes mempertimbangkan garis-garis yang jadual fungsi itu menghampiri infiniti. Ini menyumbang kepada pembinaan pesat grafik fungsi.

Jika asymptotes hilang, tetapi fungsi itu ditentukan pada kedua-dua penyuara, adalah perlu untuk mengira had fungsi infiniti ini, untuk memahami bagaimana graf fungsi itu sendiri.

Contoh 6.

Mengenai contoh, pertimbangkan itu

k \u003d lim x → ∞ f (x) x \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x \u003d 0 b \u003d lim x → ∞ (f (x) - kx) \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 \u003d 1 4 ⇒ y \u003d 1 4

ia adalah asymptota mendatar. Selepas penyelidikan, fungsi itu boleh dimulakan untuk membinanya.

Kira nilai fungsi pada titik perantaraan

Untuk membina jadual yang paling tepat, adalah disyorkan untuk mencari beberapa fungsi fungsi di mata perantaraan.

Contoh 7.

Dari contoh yang kita pertimbangkan, adalah perlu untuk mencari nilai-nilai fungsi di mata x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Oleh kerana fungsi itu, kita dapat memperoleh bahawa nilai-nilai bertepatan dengan nilai-nilai pada titik-titik ini, iaitu, kita memperoleh x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Kami menulis dan menyelesaikan:

F (- 2) \u003d f (2) \u003d 2 2 4 · 2 2 - 1 \u003d 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) \u003d 1 2 4 · 1 2 - 1 \u003d 1 3 ≈ 0 , 33 F - 3 4 \u003d F 3 4 \u003d 3 4 2 4 3 4 2 - 1 \u003d 9 20 \u003d 0, 45 F - 1 4 \u003d F 1 4 \u003d 1 4 2 4 · 1 4 2 - 1 \u003d - 1 12 ≈ - 0, 08

Untuk menentukan maksim dan minima fungsi, titik-titik infleksi, titik perantaraan perlu membina asymptotes. Untuk penamaan yang mudah, jurang yang semakin meningkat, penurunan, bonjol, konon direkodkan. Pertimbangkan dalam angka yang ditunjukkan di bawah.

Ia perlu melalui mata yang ditandakan untuk menjalankan garis-garis graf, yang akan mendatar lebih dekat dengan asymptotam, berikutan kesombongan.

Ini menamatkan kajian lengkap fungsi tersebut. Terdapat kes-kes membina beberapa fungsi asas yang mana transformasi geometri digunakan.

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila pilih dan tekan Ctrl + ENTER

Cabarannya ialah: untuk meneroka sepenuhnya fungsi dan membina jadualnya.

Setiap pelajar melewati tugas tersebut.

Pembentangan lanjut melibatkan pengetahuan yang baik. Kami mengesyorkan menghubungi bahagian ini apabila isu berlaku.

Fungsi algoritma kajian terdiri daripada langkah-langkah berikut.

Mencari kawasan definisi lapangan.

Ini adalah langkah penyelidikan yang sangat penting, kerana semua tindakan selanjutnya akan dijalankan di kawasan definisi.

Dalam contoh kami, anda perlu mencari nol denominator dan mengecualikan mereka dari jumlah sebenar nombor.

(Dalam contoh lain, mungkin ada akar, logaritma, dan sebagainya. Ingat bahawa dalam kes-kes ini, kawasan definisi adalah seperti berikut:
Untuk akar ijazah walaupun, contohnya, - kawasan definisi adalah dari ketidaksamaan;
Untuk logaritma - kawasan definisi adalah dari ketidaksamaan).

Kajian tingkah laku fungsi di sempadan kawasan definisi, penemuan asymptotes menegak.

Di sempadan kawasan definisi, fungsi itu ada asymptotes menegak.Jika dalam titik sempadan ini tidak terhingga.

Dalam contoh kami, titik sempadan kawasan definisi adalah.

Kami menyiasat tingkah laku fungsi ketika menghampiri titik-titik ini di sebelah kiri dan kanan, yang mana kami akan menemui had unilateral:

Oleh kerana had unilatal tidak terhingga, maka garis lurus adalah asymptotes menegak graf.

Fungsi penyelidikan untuk pariti atau ganjil.

Fungsi ialah walaupun, sekiranya . Kesediaan fungsi menunjukkan simetri graf mengenai paksi of the Ordinate.

Fungsi ialah ganjil, sekiranya . Ketepatan fungsi menunjukkan simetri graf mengenai permulaan koordinat.

Sekiranya tidak ada kesamaan yang dipenuhi, maka kita mempunyai fungsi yang sama.

Dalam contoh kami, persamaan dilakukan, oleh itu, fungsi kami adalah walaupun. Kami akan mengambil kira perkara ini apabila membina jadual - ia akan menjadi simetri tentang paksi OY.

Mencari jurang yang semakin meningkat dan turun fungsi, mata ekstrem.

Jurang peningkatan dan menurun adalah penyelesaian ketidaksamaan dan, dengan itu.

Mata di mana derivatif berubah menjadi sifar dipanggil pegun.

Fungsi Mata Kritikal Panggil titik dalaman kawasan definisi di mana fungsi derivatif adalah sifar atau tidak wujud.

Komen (Adakah anda memasukkan mata kritikal dalam jurang yang semakin meningkat dan menurun).

Kami akan memasukkan mata kritikal dalam jurang yang semakin meningkat dan menurun, jika mereka tergolong dalam fungsi menentukan fungsi tersebut.

Dengan cara ini, Untuk menentukan jurang yang semakin meningkat dan fungsi menurun

pertama, kita dapati derivatif;
kedua, kita dapati mata kritikal;
ketiga, kita membahagikan kawasan penentuan oleh titik kritikal kepada selang;
keempat, kita mentakrifkan tanda derivatif pada setiap selang. Tanda tambah akan sesuai dengan jurang peningkatan, tanda minus adalah jurang menurun.

Pergi!

Kami mendapati derivatif di kawasan definisi (apabila terdapat kesukaran, lihat bahagian).

Kami mendapati mata kritikal untuk ini:

Kami menerapkan perkara-perkara ini kepada paksi berangka dan menentukan tanda derivatif dalam setiap jurang yang dihasilkan. Sebagai alternatif, anda boleh mengambil apa-apa titik dari jurang dan mengira nilai derivatif pada ketika ini. Jika nilai positif, maka kami meletakkan saiz tambah ke atas jurang ini dan pergi ke seterusnya, jika negatif, kemudian letakkan tolak, dan sebagainya. Sebagai contoh, Oleh itu, di atas selang kiri pertama meletakkan plus.

Kami membuat kesimpulan:

Secara skematik plus / minus yang ditandakan jurang di mana derivatif positif / negatif. Meningkatkan / menurun anak panah menunjukkan peningkatan / arah menurun.

Mata Fungsi Extremum Ini adalah titik di mana fungsi itu ditakrifkan dan melewati mana derivatif mengubah tanda.

Dalam contoh kami, titik ekstrem adalah titik x \u003d 0. Nilai fungsi pada ketika ini adalah . Oleh kerana derivatif mengubah tanda dari tambah tolak apabila melewati titik x \u003d 0, kemudian (0; 0) adalah titik maksimum tempatan. (Jika derivatif mengubah tanda dari tolak yang ditambah, kita akan mempunyai titik minimum tempatan).

Mencari selang konvensit dan ketidakpastian fungsi dan titik-titik infleksi.

Jurang konvensional dan konvensyen fungsi berada di bawah penyelesaian ketidaksamaan dan, dengan itu.

Kadang-kadang concavity dipanggil convexity ke bawah, dan bulge bertaburan.

Terdapat juga komen yang serupa dengan komen dari titik peningkatan dan menurun.

Dengan cara ini, untuk menentukan jurang ketidaksetaraan dan konvokesyen fungsi:

pertama, kita dapati derivatif kedua;
kedua, kita dapati sifar pengangka dan penyebut derivatif kedua;
ketiga, kita membahagikan kawasan penentuan oleh titik yang diperolehi kepada selang;
keempat, kita mentakrifkan tanda derivatif kedua pada setiap selang. Tanda tambah akan sesuai dengan jurang cekung, tanda "tolak" adalah jurang penyerapan.

Pergi!

Kami mendapati derivatif kedua pada bidang definisi.

Dalam contoh kami numer No, Zeros of the Denominator.

Kami menerapkan perkara-perkara ini kepada paksi berangka dan menentukan tanda derivatif kedua dalam setiap jurang yang terhasil.

Kami membuat kesimpulan:

Titik dipanggil Titik infleksiJika pada masa ini terdapat tangen untuk fungsi fungsi dan fungsi derivatif kedua mengubah tanda ketika melewati.

Dalam erti kata lain, penyuntik boleh menjadi mata, melewati mana derivatif kedua mengubah tanda, dalam mata itu sendiri atau sama dengan sifar, atau tidak wujud, tetapi titik-titik ini dimasukkan ke dalam kawasan definisi fungsi.

Dalam contoh kami, tidak ada titik infleksi, kerana derivatif kedua mengubah tanda melewati mata, dan mereka tidak termasuk dalam bidang definisi lapangan.

Mencari asymptotes mendatar dan cenderung.

Asyymptotes mendatar atau cenderung harus dilihat hanya apabila fungsi ditakrifkan di infiniti.

Asymptotes cenderung. mencari dalam bentuk langsung, di mana dan .

Sekiranya k \u003d 0 dan B bukanlah infiniti, maka asimtota cenderung akan menjadi mendatar.

Siapakah asymptotes ini?

Ini adalah garis-garis yang mana graf fungsi sedang menghampiri infiniti. Oleh itu, mereka sangat membantu apabila membina grafik fungsi.

Sekiranya tidak ada asyyymptot mendatar atau cenderung, tetapi fungsi itu ditakrifkan di atas tak terhingga dan (atau) tak terhingga, maka batas fungsi adalah tambah tak terhingga dan (atau) infiniti untuk mempunyai idea tentang tingkah laku grafik fungsi.

Untuk contoh kami

- Asymptota mendatar.

Mengenai ini, fungsi ini selesai dengan kajian ini, pergi ke pembinaan jadual.

Kirakan nilai-nilai fungsi di titik perantaraan.

Untuk grafik yang lebih tepat, kami mengesyorkan mencari beberapa fungsi fungsi di Mata Perantaraan (iaitu, pada mana-mana mata dari fungsi menentukan fungsi).

Untuk contoh kami, kami mendapati nilai-nilai fungsi pada mata x \u003d -2, x \u003d -1, x \u003d -3 / 4, x \u003d -1 / 4. Oleh kerana pariti fungsi, nilai-nilai ini akan bertepatan dengan nilai-nilai di mata x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3/4, x \u003d 1/4.

Membina graf.

Pertama kita membina asymptotes, meletakkan titik maksima tempatan dan rendah fungsi, titik titik dan titik perantaraan. Untuk kemudahan membina graf, suatu penamaan skematik peningkatan, penurunan, bonjolan dan selang konkaun juga boleh dilakukan, tidak sia-sia kita menjalankan fungsi fungsi \u003d).

Ia tetap memegang garis graf melalui mata yang ditandakan, menghampiri asymptotams dan mengikuti para saur.

Karya seni halus ini tugas kajian lengkap fungsi dan pembinaan graf selesai.

Grafik beberapa fungsi asas boleh dibina menggunakan grafik fungsi asas asas.

Reshebnik Kuznetsova.
III Grafik.

Tugas 7. Menjalankan kajian lengkap fungsi dan membina jadualnya.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp Sebelum anda mula memuat turun pilihan anda, cuba selesaikan masalah sampel di bawah untuk pilihan 3. Sebahagian daripada pilihan diarkibkan dalam format.rar

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 menjalankan kajian penuh fungsi dan membina jadualnya

Keputusan.

& Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp 1) Definisi Kawasan: & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp, I.E. & Nbsp & Nbsp & Nbsp & nbsp.
.
Oleh itu: & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) Mata persimpangan dengan paksi lembu. Sesungguhnya, persamaan & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp tidak mempunyai penyelesaian.
Titik persimpangan dengan Oy Axis No, sejak & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) Fungsi ini sama ada sesuatu atau sengit. Tidak ada simetri mengenai paksi yang sedang dijalankan. Tiada simetri mengenai permulaan koordinat. -
.
Kami melihat bahawa & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4) Fungsi ini berterusan dalam bidang definisi
.

; .

; .
Oleh itu, titik & Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp adalah titik istirahat pesanan kedua (Break Infinite).

5) Asymptotes Menegak: & Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Kami akan mendapati asymptotes cenderung & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp. Di sini

;
.
Akibatnya, kita mempunyai asymptotes mendatar: y \u003d 0.. Tidak ada asymptot cenderung.

& Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp 6) akan mendapati derivatif pertama. Derivatif Pertama:
.
Dan itulah sebabnya
.
Cari mata pegun di mana derivatif adalah sifar, iaitu
.

& Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp 7) Kami akan menemui derivatif kedua. Derivatif kedua:
.
Dan mudah untuk memastikan kerana

Bagaimana untuk menyiasat fungsi dan membina jadualnya?

Nampaknya saya mula memahami wajah rohani yang ditembusi pemimpin dunia proletariat, pengarang koleksi tulisan dalam 55 volum .... Cara bukan pendapatan bermula dengan maklumat asas tentang fUNGSI DAN CARTA , Dan sekarang, kerja pada tema yang memakan masa berakhir dengan hasil semulajadi - artikel pada kajian penuh fungsi itu. Tugas yang lama ditunggu-tunggu diformulasikan seperti berikut:

Meneroka fungsi kaedah kalkulus pembezaan dan berdasarkan hasil kajian untuk membina jadualnya

Atau lebih pendek: meneroka fungsi dan membina carta.

Kenapa meneroka? Dalam kes yang mudah, kami tidak akan mendapati sukar untuk memahami fungsi asas, menarik jadual yang diperoleh oleh transformasi Geometri Elementary. dan lain-lain. Walau bagaimanapun, ciri-ciri dan imej grafik fungsi yang lebih kompleks jauh dari jelas, itulah sebabnya kajian keseluruhan diperlukan.

Tahap utama penyelesaian dikurangkan dalam bahan rujukan. Skim Penyelidikan Fungsi Ini adalah panduan anda ke bahagian tersebut. Teapotes memerlukan penjelasan langkah demi langkah topik ini, sesetengah pembaca tidak tahu di mana untuk memulakan dan bagaimana untuk menganjurkan satu kajian, dan pelajar lanjutan mungkin hanya tertarik pada beberapa saat. Tetapi sesiapa yang anda boleh, pelawat yang dihormati, yang dicadangkan abstrak dengan petunjuk kepada pelbagai pelajaran dalam Orientat Terma yang singkat dan akan mengarahkan anda ke arah yang menarik. Robot memfitnah \u003d) membimbing swaths dalam bentuk fail PDF dan mengambil tempat yang layak di halaman Formula dan jadual matematik .

Kajian fungsi yang saya gunakan untuk memecah 5-6 mata:

6) Mata dan jadual tambahan berdasarkan hasil kajian.

Dengan mengorbankan tindakan terakhir, saya fikir semuanya jelas kepada semua orang - ia akan menjadi sangat mengecewakan jika dalam masa beberapa saat ia akan diseberang dan dikembalikan kepada penghalusan. Lukisan yang betul dan tepat adalah hasil utama penyelesaian! Ia sangat mungkin "mengikat" abrasion analitik, sementara carta yang salah dan / atau cuai akan menyampaikan masalah walaupun dengan kajian yang dijalankan dengan ideal.

Harus diingat bahawa dalam sumber lain, bilangan item penyelidikan, prosedur untuk pelaksanaan dan gaya pendaftaran mereka boleh berbeza dengan ketara dari skema yang dicadangkan oleh saya, tetapi dalam kebanyakan kes, ia cukup. Versi paling mudah dari tugas terdiri daripada hanya 2-3 peringkat dan dirumuskan seperti berikut: "Terokai fungsi menggunakan derivatif dan membina carta" atau "meneroka fungsi menggunakan derivatif pertama dan ke-2, membina carta."

Sememangnya - jika kaedah anda dibongkar secara terperinci algoritma lain atau guru anda dengan ketat menuntut untuk mematuhi kuliahnya, ia perlu membuat beberapa pelarasan terhadap penyelesaian. Tidak lebih sukar daripada menggantikan garpu dengan sudu gergaji.

Semak fungsi pada kesediaan / kebahagiaan:

Selepas itu, rakaman templat diikuti:
Oleh itu, fungsi ini tidak atau ganjil.

Oleh kerana fungsi itu berterusan, tidak ada asymptotes menegak.

Tiada asymptot cenderung.

Nota : Saya mengingatkan anda yang lebih tinggi perintah pertumbuhan daripada, jadi had akhir adalah sama dengan " tambahan Infiniti. "

Ketahui bagaimana fungsi berkelakuan pada infiniti:

Dalam erti kata lain, jika kita pergi ke kanan, maka jadual itu jauh jauh, jika dibiarkan tanpa henti. Ya, di sini juga dua had di bawah satu rekod. Jika anda mempunyai sebarang kesulitan dengan tanda-tanda penyahkodan, sila lawati pelajaran tentang ciri-ciri kecil yang tidak terhingga .

Oleh itu, fungsi itu tidak terhad kepada dari atas dan tidak terhad kepada di bawah. Memandangkan kita tidak mempunyai titik pemecahan, ia menjadi jelas dan nilai fungsi kawasan: - Juga mana-mana nombor yang sah.

Teknik teknikal yang berguna

Setiap persediaan tugas membawa maklumat baru mengenai grafOleh itu, semasa penyelesaiannya, ia adalah mudah untuk menggunakan sejenis susun atur. Saya akan menggambarkan sistem koordinat di Cartovka Cartov. Apa yang sudah diketahui? Pertama, jadual tidak mempunyai asymptot, oleh itu, kelemahan langsung tidak diperlukan. Kedua, kita tahu bagaimana fungsi bertindak di tak terhingga. Menurut analisis, lukis penghampiran pertama:

Ambil perhatian bahawa oleh kebajikan kesinambungan Fungsi dan hakikat bahawa jadual harus sekurang-kurangnya sekali menyeberang paksi. Atau mungkin ada beberapa titik persimpangan?

3) Zeros dan selang penjajaran.

Kami akan terlebih dahulu mencari titik persimpangan graf dengan paksi offinate. Ia mudah. Ia adalah perlu untuk mengira nilai fungsi apabila:

Satu setengah di atas paras laut.

Untuk mencari titik persimpangan dengan paksi (sifar fungsi), ia dikehendaki untuk menyelesaikan persamaan, dan di sini kita akan mengalami kejutan yang tidak menyenangkan:

Pada akhirnya, seorang ahli percuma dilampirkan, yang sangat merumitkan tugas itu.

Persamaan sedemikian mempunyai sekurang-kurangnya satu akar yang sah, dan selalunya akar ini tidak rasional. Dalam kisah dongeng yang lebih teruk, kami akan mempunyai tiga babi. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan apa yang dipanggil formula Cardano.Tetapi kerosakan kertas adalah setanding hampir dengan semua kajian. Dalam hal ini, ia lebih mudah difahami secara lisan sama ada pada draf untuk cuba memilih sekurang-kurangnya satu keseluruhan akar. Semak, bukan nombor:
- tidak sesuai;
- terdapat!

Ia bernasib baik di sini. Sekiranya berlaku kegagalan, ia juga mungkin untuk menguji, dan jika angka-angka ini tidak muncul, maka ada peluang yang sangat sedikit untuk penyelesaian yang menguntungkan kepada persamaan. Kemudian item kajian lebih baik untuk melangkau sepenuhnya - mungkin ia akan menjadi sesuatu yang lebih jelas pada langkah terakhir apabila titik tambahan akan dibuat. Dan jika akar yang sama (akar) jelas "buruk", maka selang penjajaran adalah lebih baik pada umumnya Silex ya, ia lebih diarahkan untuk memenuhi lukisan.

Walau bagaimanapun, kita mempunyai akar yang indah, jadi kita membahagikan polinomial Tidak ada residu:

Algoritma untuk membahagikan polinomial kepada polinomial secara terperinci disassembled dalam contoh pertama pelajaran Had yang sukar .

Akibatnya, bahagian kiri persamaan sumber dilipat ke dalam kerja:

Dan kini sedikit tentang gaya hidup yang sihat. Saya, sudah tentu, memahami bahawa persamaan kuadratik. Anda perlu membuat keputusan setiap hari, tetapi hari ini kita akan membuat pengecualian: persamaan Ia mempunyai dua akar yang sah.

Pada langsung angka menangguhkan nilai yang ditemui dan kaedah interval. Tentukan ciri-ciri fungsi:

bendera Oleh itu pada selang waktu Jadual yang terletak.
di bawah paksi abscissa, dan pada selang waktu - Di atas paksi ini.

Kesimpulan yang dihasilkan membolehkan anda memperincikan susun atur kami, dan penghampiran kedua graf adalah seperti berikut:

Sila ambil perhatian bahawa fungsi itu mestilah mempunyai sekurang-kurangnya satu maksimum, dan pada selang - sekurang-kurangnya satu minimum. Tetapi berapa kali, di mana dan kapan akan "menyembunyikan" jadual, kita tidak tahu lagi. By the way, fungsi ini boleh mempunyai kedua-dua tak terhingga banyak ekstrem. .

4) Menaik, penurunan dan fungsi ekstremum.

Cari mata kritikal:

Persamaan ini mempunyai dua akar yang sah. Saya akan menangguhkan mereka secara langsung dan mentakrifkan tanda-tanda derivatif:

Akibatnya, fungsi itu bertambah dan berkurangan.
Pada ketika itu, ciri mencapai maksimum: .
Pada ketika itu, fungsi itu mencapai minimum: .

Fakta yang dipasang Pound Template kami dalam bingkai yang agak keras:

Apa yang hendak dikatakan, kalkulus pembezaan - satu perkara yang kuat. Mari kita berurusan dengan bentuk jadual:

5) Bulge, konon dan titik infleksi.

Kami akan mencari titik kritikal derivatif kedua:

Tentukan tanda-tanda:

Grafik fungsi adalah cembung dan cekung. Kirakan perundingan titik infleksi :.

Hampir semuanya ternyata.

6) Ia tetap mencari mata tambahan yang akan membantu lebih tepat membina jadual dan melakukan ujian sendiri. Dalam kes ini, mereka tidak cukup, tetapi kita tidak akan mengabaikan:

Melakukan lukisan:

Warna hijau ditandakan dengan titik infleksi, salib - mata tambahan. Grafik fungsi kubik adalah simetris mengenai titik inflectionnya, yang sentiasa terletak di tengah-tengah antara maksimum dan minimum.

Dalam perjalanan melaksanakan tugas itu, saya membawa tiga lukisan perantaraan hipotetikal. Dalam praktiknya, sudah cukup untuk menarik sistem koordinat, tandakan mata yang dijumpai dan selepas setiap item kajian mental menganggarkan bagaimana graf fungsi mungkin kelihatan. Pelajar yang mempunyai tahap latihan yang baik tidak akan sukar untuk menjalankan analisis sedemikian secara eksklusif dalam fikiran tanpa menarik draf.

Untuk penyelesaian diri:

Contoh 2.

Terokai fungsi dan membina jadual.

Terdapat lebih cepat dan lebih menyeronokkan, sampel teladan reka bentuk penamat pada akhir pelajaran.

Banyak rahsia mendedahkan kajian fungsi rasional pecahan:

Contoh 3.

Kaedah kalkulus yang berbeza meneroka fungsi dan berdasarkan hasil kajian untuk membina jadualnya.

Keputusan: Peringkat pertama kajian tidak berbeza dengan sesuatu yang luar biasa, dengan pengecualian lubang dalam bidang definisi:

1) Fungsi ini ditakrifkan dan berterusan pada keseluruhan angka angka kecuali titik, domain. : .

Ini bermakna fungsi ini tidak atau ganjil.

Jelas sekali, fungsi itu tidak berkala.

Grafik fungsi adalah dua cawangan yang berterusan yang terletak di kiri dan kanan separuh pesawat - ini mungkin kesimpulan yang paling penting dari titik pertama.

2) Asymptotes, tingkah laku fungsi di Infinity.

a) Dengan bantuan had satu arah, kami menyiasat tingkah laku fungsi berhampiran titik yang mencurigakan di mana ia jelas merupakan asimtota menegak:

Sesungguhnya, fungsi bertolak ansur break Infinite. Pada ketika itu,
dan lurus (paksi) adalah menegak asimptota. grafik.

b) Periksa sama ada asymptotes serong wujud:

Ya, langsung adalah asymptoto cenderung Grafik, jika.

Had untuk menganalisis tidak masuk akal, kerana ia sangat jelas bahawa fungsi dalam pelukan dengan asymptota yang cenderung tidak terhad kepada dari atas dan tidak terhad kepada di bawah.

Titik penyelidikan kedua membawa banyak maklumat penting mengenai fungsi tersebut. Lakukan lakaran draf:

Kesimpulan Nombor 1 Memperhatikan selang penjajaran. Pada "tolak infiniti", graf fungsi ini terletak di bawah paksi abscissa, dan pada "ditambah infiniti" - di atas paksi ini. Di samping itu, had satu sisi yang dilaporkan kepada kami sebagai kiri dan kanan fungsi, juga, lebih sifar. Sila ambil perhatian bahawa di kiri separuh pesawat, jadual sekurang-kurangnya sekali diwajibkan untuk menyeberangi paksi abscissa. Dalam sifar separuh pesawat yang betul, fungsi itu mungkin tidak.

Nombor output 2 adalah bahawa fungsi itu meningkat dan ke kiri (terdapat "bawah"). Di sebelah kanan titik ini - fungsi berkurangan (ada "atas ke bawah"). Cawangan carta yang betul pasti harus sekurang-kurangnya satu minimum. Kiri melampau tidak dijamin.

Kesimpulan Nombor 3 memberikan maklumat yang boleh dipercayai tentang kebanggaan graf di kawasan kejiranan. Kita tidak boleh mengatakan apa-apa tentang bonjol / concavity pada tak terhingga, kerana garis itu boleh ditekan ke asymptotes mereka dari atas dan di bawah. Secara umumnya, ada cara analitis untuk memikirkannya sekarang, tetapi bentuk hadiah "untuk apa-apa" akan menjadi lebih jelas di peringkat kemudian.

Kenapa begitu banyak perkataan? Untuk memantau mata penyelidikan berikutnya dan mencegah kesilapan! Pengiraan lanjut tidak sepatutnya bertentangan dengan kesimpulan.

3) Mata persimpangan carta dengan koordinat paksi, selang fungsi simbol.

Grafik fungsi tidak menyeberang paksi.

Kaedah interval menentukan tanda-tanda:

, sekiranya ;
, sekiranya .

Keputusan titik sepenuhnya sesuai dengan kesimpulan nombor 1. Selepas setiap peringkat, lihat draf, secara mental merujuk kepada kajian dan melukis jadual fungsi.

Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, pengangka dibahagikan kepada seorang penyebut, yang sangat bermanfaat untuk pembezaan:

Sebenarnya, ia telah dilakukan sementara asymptotes dijumpai.

- Titik kritikal.

Tentukan tanda-tanda:

meningkat dan penurunan oleh

Pada ketika itu, fungsi itu mencapai minimum: .

Perbincangan dengan Kesimpulan Nombor 2 juga tidak mengetahui, dan kemungkinan besar, kita berada di landasan yang betul.

Oleh itu, graf fungsi adalah cekung sepanjang bidang definisi.

Cemerlang - dan jangan lukis apa-apa.

Tiada mata infleksi.

Persidangan adalah konsisten dengan kesimpulan nombor 3, lebih-lebih lagi, menunjukkan bahawa dalam infiniti (dan di sana dan di sana) graf fungsi yang terletak di atas asymptotes yang cenderung.

6) Dalam tugas merah jambu dengan teliti dengan mata tambahan. Di sini ia akan menjadi cantik untuk bekerja keras, kerana kajian kita hanya dikenali dua mata.

Dan gambar, yang mungkin, ramai yang telah lama dibentangkan:

Semasa tugas itu, anda perlu berhati-hati memastikan bahawa tidak ada percanggahan antara peringkat kajian, tetapi kadang-kadang keadaan adalah kecemasan atau bahkan mati-mati. Di sini "tidak menumpukan" penganalisis - dan itu sahaja. Dalam kes ini, saya mengesyorkan penerimaan kecemasan: kita dapati seberapa banyak mata yang tergolong dalam grafik (berapa banyak kesabaran yang cukup), dan kita perhatikan mereka pada pesawat koordinat. Analisis grafik nilai-nilai yang dijumpai dalam kebanyakan kes akan memberitahu anda di mana kebenaran, dan di mana dusta. Di samping itu, jadual boleh dibina sebelum ini menggunakan mana-mana program, sebagai contoh, dalam pengasingan yang sama (difahami, untuk ini anda memerlukan kemahiran).

Contoh 4.

Kaedah kalkulus berbeza meneroka fungsi dan membina jadualnya.

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas. Di dalamnya, kawalan diri dipertingkatkan dengan fungsi - graf adalah simetri tentang paksi, dan jika sesuatu yang bertentangan dengan fakta ini dalam kajian anda, cari ralat.

Anda juga boleh meneroka fungsi yang jelas atau ganjil apabila, dan kemudian gunakan simetri graf. Penyelesaian sedemikian adalah optimum, tetapi ia kelihatan seperti, pada pendapat saya, sangat luar biasa. Secara peribadi, saya menganggap keseluruhan paksi berangka, tetapi saya dapati mata tambahan lagi di sebelah kanan:

Contoh 5.

Menjalankan kajian lengkap mengenai fungsi dan membina jadualnya.

Keputusan: Ia bergegas keras:

1) Fungsi ini ditakrifkan dan berterusan pada keseluruhan garis angka :.

Ini bermakna fungsi ini adalah ganjil, grafnya adalah simetri berbanding dengan permulaan koordinat.

Jelas sekali, fungsi itu tidak berkala.

2) Asymptotes, tingkah laku fungsi di Infinity.

Oleh kerana fungsi itu berterusan, maka asymptotes menegak tidak hadir

Untuk fungsi yang mengandungi peserta pameran itu biasanya berasingan Kajian "tambah" dan "tolak infiniti", tetapi kehidupan kita memudahkan simetri jadual - sama ada ke kiri dan di sebelah kanan ada asimtota, atau tidak. Oleh itu, kedua-dua had tak terhingga boleh dikeluarkan di bawah satu rekod. Semasa penyelesaian yang kami gunakan peraturan Lopital. :

Direct (Axis) adalah asymptota mendatar graf dengan.

Sila ambil perhatian bagaimana saya memukul algoritma lengkap untuk mencari asymptotes yang cenderung: had itu sepenuhnya mudah dan menjelaskan tingkah laku fungsi di infiniti, dan asymptota mendatar telah menemui "seolah-olah pada masa yang sama."

Dari kesinambungan dan kewujudan asyymptotes mendatar mengikuti fakta bahawa fungsi itu terhad dari atas dan terhad dari bawah.

3) titik persimpangan graf dengan paksi koordinat, selang penjajaran.

Di sini, juga, mengurangkan keputusan:
Jadual ini melalui asal-usul koordinat.

Tiada titik persimpangan lain dengan koordinat paksi. Selain itu, selang alpopurisme adalah jelas, dan paksi tidak boleh ditarik:, yang bermaksud bahawa fungsi fungsi hanya bergantung kepada "ICA":
, sekiranya ;
, sekiranya .

4) Meningkatkan, penurunan, fungsi ekstremum.

- Titik kritikal.

Mata adalah simetri relatif kepada sifar, kerana ia sepatutnya.

Tentukan tanda-tanda derivatif:

Fungsi ini meningkat pada selang dan berkurangan pada selang waktu

Pada ketika itu, ciri mencapai maksimum: .

Berdasarkan harta itu (FUNGSI FUNGSI) Minimum tidak boleh dikira:

Oleh kerana fungsi berkurang pada selang waktu, adalah jelas kepada "tolak infiniti" jadual itu terletak di bawah Dengan asymptota beliau. Pada selang waktu, fungsi itu juga berkurangan, tetapi di sini semuanya adalah sebaliknya - selepas beralih melalui titik maksimum, garis mendekati paksi sudah di atas.

Daripada yang terdahulu, ia juga mengikuti jadual fungsi cembung pada "tolak infiniti" dan cekung di "ditambah infiniti."

Selepas kajian ini, bidang nilai fungsi itu juga ditarik:

Sekiranya anda tidak mempunyai salah faham tentang apa-apa saat, sekali lagi saya menggesa untuk menarik paksi koordinat dalam buku nota dan dengan pensil di tangan untuk menganalisis semula setiap kesimpulan.

5) Penukaran, Konkonomi, Infleksi Grafik.

- Titik kritikal.

Mata simetri dipelihara, dan kemungkinan besar kita tidak salah.

Tentukan tanda-tanda:

Grafik fungsi adalah cembung Dan cekung di atas .

Bulge / conconent dalam selang melampau telah disahkan.

Di semua titik kritikal terdapat geografi lenturan. Kami akan mendapati ordinat mata pengemis, sementara sekali lagi akan mengurangkan bilangan pengiraan menggunakan keanehan fungsi: