Sudut berlawanan dengan yang berdekatan. Perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan disebut. Segitiga siku-siku. Teori terperinci dengan contoh. Dan sekarang - trigonometri. Mengalami kesulitan dalam mencari koordinat suatu titik pada lingkaran

Trigonometri adalah salah satu cabang ilmu matematika yang mempelajari fungsi trigonometri dan kegunaannya dalam geometri. Perkembangan trigonometri dimulai pada zaman Yunani kuno. Selama Abad Pertengahan, para ilmuwan dari Timur Tengah dan India memberikan kontribusi penting bagi perkembangan ilmu ini.

Artikel ini dikhususkan untuk konsep dasar dan definisi trigonometri. Membahas tentang pengertian fungsi dasar trigonometri: sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Maknanya dijelaskan dan diilustrasikan dalam konteks geometri.

Awalnya, definisi fungsi trigonometri yang argumennya adalah sudut dinyatakan dalam perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku.

Definisi fungsi trigonometri

Sinus suatu sudut (sin α) adalah perbandingan kaki yang berhadapan dengan sudut tersebut dengan sisi miringnya.

Kosinus sudut (cos α) - rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Sudut singgung (t g α) - perbandingan sisi yang berlawanan dengan sisi yang berdekatan.

Kotangen sudut (c t g α) - rasio sisi yang berdekatan dengan sisi yang berlawanan.

Definisi berikut diberikan untuk sudut lancip segitiga siku-siku!

Mari kita beri ilustrasi.

Pada segitiga ABC dengan sudut siku-siku C, sinus sudut A sama dengan perbandingan kaki BC dan sisi miring AB.

Definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen memungkinkan Anda menghitung nilai fungsi-fungsi ini dari panjang sisi-sisi segitiga yang diketahui.

Penting untuk diingat!

Kisaran nilai sinus dan kosinus adalah dari -1 sampai 1. Dengan kata lain sinus dan kosinus mengambil nilai dari -1 sampai 1. Kisaran nilai tangen dan kotangen adalah keseluruhan garis bilangan, artinya, fungsi-fungsi ini dapat mengambil nilai apa pun.

Definisi yang diberikan di atas berlaku untuk sudut lancip. Dalam trigonometri, konsep sudut rotasi diperkenalkan, yang nilainya, tidak seperti sudut lancip, tidak dibatasi pada 0 hingga 90 derajat.Sudut rotasi dalam derajat atau radian dinyatakan dengan bilangan real apa pun dari - ∞ hingga + ∞ .

Dalam konteks ini, kita dapat mendefinisikan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut yang besarnya berubah-ubah. Mari kita bayangkan sebuah lingkaran satuan dengan pusatnya di titik asal sistem koordinat Kartesius.

Titik awal A dengan koordinat (1, 0) berputar mengelilingi pusat lingkaran satuan melalui sudut tertentu dan menuju ke titik A 1. Definisi tersebut diberikan dalam bentuk koordinat titik A 1 (x, y).

Sinus (sin) sudut rotasi

Sinus sudut rotasi adalah ordinat titik A 1 (x, y). dosa α = y

Cosinus (cos) dari sudut rotasi

Kosinus sudut rotasi adalah absis titik A 1 (x, y). karena α = x

Tangen (tg) sudut putaran

Garis singgung sudut rotasi adalah perbandingan ordinat titik A 1 (x, y) dengan absisnya. tg α = yx

Kotangen (ctg) dari sudut rotasi

Kotangen sudut rotasi adalah perbandingan absis titik A 1 (x, y) terhadap ordinatnya. ctg α = x y

Sinus dan kosinus ditentukan untuk setiap sudut rotasi. Hal ini logis, karena absis dan ordinat suatu titik setelah rotasi dapat ditentukan pada sudut mana pun. Lain halnya dengan tangen dan kotangen. Garis singgung tidak terdefinisi bila suatu titik setelah rotasi menuju ke titik yang absisnya nol (0, 1) dan (0, - 1). Dalam kasus seperti itu, ekspresi tangen t g α = y x tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Situasinya mirip dengan kotangen. Perbedaannya adalah kotangen tidak terdefinisi jika ordinat suatu titik mendekati nol.

Penting untuk diingat!

Sinus dan kosinus didefinisikan untuk sembarang sudut α.

Garis singgung didefinisikan untuk semua sudut kecuali α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangen didefinisikan untuk semua sudut kecuali α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Saat menyelesaikan contoh praktis, jangan ucapkan “sinus sudut rotasi α”. Kata “sudut rotasi” dihilangkan begitu saja, menyiratkan bahwa dari konteksnya sudah jelas apa yang sedang dibahas.

Angka

Bagaimana dengan pengertian sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan, dan bukan sudut putarnya?

Sinus, cosinus, tangen, kotangen suatu bilangan

Sinus, cosinus, tangen dan kotangen suatu bilangan T adalah bilangan yang masing-masing sama dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen in T radian.

Misalnya sinus bilangan 10 π sama dengan sinus sudut rotasi 10 π rad.

Ada pendekatan lain untuk menentukan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan. Mari kita lihat lebih dekat.

Bilangan real apa pun T suatu titik pada lingkaran satuan dikaitkan dengan pusat di titik asal sistem koordinat kartesius persegi panjang. Sinus, cosinus, tangen dan kotangen ditentukan melalui koordinat titik ini.

Titik pangkal lingkaran adalah titik A dengan koordinat (1, 0).

Nomor positif T

Angka negatif T sesuai dengan titik ke mana titik awal akan berangkat jika bergerak mengelilingi lingkaran berlawanan arah jarum jam dan melewati lintasan t.

Setelah hubungan antara bilangan dan titik pada lingkaran telah diketahui, kita beralih ke definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen.

Sinus (dosa) dari t

Sinus suatu bilangan T- ordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan tersebut T. dosa t = y

Kosinus (cos) dari t

Kosinus suatu bilangan T- absis titik lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan tersebut T. biaya t = x

Garis singgung (tg) dari t

Garis singgung suatu bilangan T- rasio ordinat terhadap absis suatu titik pada lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan tersebut T. t g t = y x = sin t biaya t

Definisi yang terakhir ini sesuai dan tidak bertentangan dengan definisi yang diberikan pada awal paragraf ini. Tunjuk lingkaran yang sesuai dengan nomor tersebut T, bertepatan dengan titik tujuan titik awal setelah berbelok suatu sudut T radian.

Fungsi trigonometri argumen sudut dan numerik

Setiap nilai sudut α sesuai dengan nilai sinus dan kosinus tertentu dari sudut tersebut. Sama seperti semua sudut α selain α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) bersesuaian dengan nilai tangen tertentu. Kotangen, sebagaimana dinyatakan di atas, didefinisikan untuk semua α kecuali α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Kita dapat mengatakan bahwa sin α, cos α, t g α, c t g α adalah fungsi dari sudut alpha, atau fungsi dari argumen sudut.

Demikian pula, kita dapat membicarakan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen sebagai fungsi argumen numerik. Setiap bilangan real T sesuai dengan nilai tertentu dari sinus atau kosinus suatu bilangan T. Semua bilangan selain π 2 + π · k, k ∈ Z, berhubungan dengan nilai tangen. Kotangen juga didefinisikan untuk semua bilangan kecuali π · k, k ∈ Z.

Fungsi dasar trigonometri

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen adalah fungsi dasar trigonometri.

Biasanya jelas dari konteks argumen fungsi trigonometri mana (argumen sudut atau argumen numerik) yang sedang kita hadapi.

Mari kita kembali ke definisi yang diberikan di awal dan sudut alfa, yang berkisar antara 0 hingga 90 derajat. Definisi trigonometri sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sepenuhnya konsisten dengan definisi geometri yang diberikan oleh perbandingan aspek segitiga siku-siku. Mari kita tunjukkan.

Mari kita ambil lingkaran satuan yang berpusat pada sistem koordinat kartesius persegi panjang. Mari kita putar titik awal A (1, 0) dengan sudut hingga 90 derajat dan gambar garis tegak lurus terhadap sumbu absis dari titik yang dihasilkan A 1 (x, y). Pada segitiga siku-siku yang dihasilkan, sudut A 1 O H sama dengan sudut putar , panjang kaki O H sama dengan absis titik A 1 (x, y). Panjang kaki yang berhadapan dengan sudut sama dengan ordinat titik A 1 (x, y), dan panjang sisi miringnya sama dengan satu, karena merupakan jari-jari lingkaran satuan.

Sesuai dengan definisi geometri, sinus sudut α sama dengan perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring.

dosa α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Artinya, menentukan sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku melalui rasio aspek sama dengan menentukan sinus sudut rotasi α, dengan alfa berada pada kisaran 0 hingga 90 derajat.

Demikian pula, korespondensi definisi dapat ditunjukkan untuk kosinus, tangen, dan kotangen.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Apa itu sinus, cosinus, tangen, kotangen suatu sudut akan membantu anda memahami segitiga siku-siku.

Sisi-sisi segitiga siku-siku disebut apa? Benar, sisi miring dan kaki: sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku (dalam contoh kita, ini adalah sisi \(AC\)); kaki adalah dua sisi yang tersisa \(AB\) dan \(BC\) (yang berdekatan dengan sudut siku-siku), dan jika kita menganggap kaki-kaki tersebut relatif terhadap sudut \(BC\), maka kaki \(AB\) adalah kaki yang bersebelahan, dan kaki \(BC\) yang berseberangan. Nah, sekarang mari kita jawab pertanyaannya: apa yang dimaksud dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut?

Sinus sudut– ini adalah rasio kaki yang berlawanan (jauh) dengan sisi miring.

Dalam segitiga kita:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus sudut– ini adalah rasio kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.

Dalam segitiga kita:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Garis singgung sudut– ini adalah perbandingan sisi yang berlawanan (jauh) dengan sisi yang berdekatan (dekat).

Dalam segitiga kita:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangen sudut– ini adalah perbandingan kaki yang berdekatan (dekat) dengan kaki yang berlawanan (jauh).

Dalam segitiga kita:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Definisi-definisi ini diperlukan Ingat! Agar lebih mudah mengingat kaki mana yang akan dibagi menjadi apa, Anda perlu memahaminya dengan jelas garis singgung Dan kotangens hanya kakinya yang duduk, dan sisi miring hanya muncul di dalam sinus Dan kosinus. Dan kemudian Anda dapat membuat rantai asosiasi. Misalnya yang ini:

Cosinus→sentuh→sentuh→berdekatan;

Kotangen→sentuh→sentuh→berdekatan.

Pertama-tama, perlu diingat bahwa sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sebagai perbandingan sisi-sisi suatu segitiga tidak bergantung pada panjang sisi-sisi tersebut (pada sudut yang sama). Tidak percaya? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:

Misalnya, cosinus sudut \(\beta \) . Menurut definisi, dari segitiga \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), namun kita dapat menghitung kosinus sudut \(\beta \) dari segitiga \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Soalnya, panjang sisinya berbeda-beda, tetapi nilai cosinus salah satu sudutnya sama. Jadi, nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen hanya bergantung pada besar sudut.

Jika Anda memahami definisinya, lanjutkan dan gabungkan!

Untuk segitiga \(ABC \) yang ditunjukkan pada gambar di bawah, kita temukan \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Nah, apakah kamu mengerti? Kemudian coba sendiri: hitung hal yang sama untuk sudut \(\beta \) .

Jawaban: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Lingkaran satuan (trigonometri).

Memahami konsep derajat dan radian, kita menganggap lingkaran dengan jari-jari sama dengan \(1\) . Lingkaran seperti ini disebut lajang. Ini akan sangat berguna ketika mempelajari trigonometri. Oleh karena itu, mari kita lihat lebih detail.

Seperti yang Anda lihat, lingkaran ini dibangun dalam sistem koordinat Cartesian. Jari-jari lingkaran sama dengan satu, sedangkan pusat lingkaran terletak di titik asal koordinat, posisi awal vektor jari-jari tetap sepanjang arah positif sumbu \(x\) (dalam contoh kita, ini adalah jari-jari \(AB\)).

Setiap titik pada lingkaran berhubungan dengan dua angka: koordinat sepanjang sumbu \(x\) dan koordinat sepanjang sumbu \(y\). Berapakah bilangan koordinat tersebut? Dan secara umum, apa hubungannya dengan topik yang sedang dibahas? Untuk melakukan ini, kita perlu mengingat tentang segitiga siku-siku yang dianggap. Pada gambar di atas, Anda dapat melihat dua segitiga siku-siku utuh. Perhatikan segitiga \(ACG\) . Berbentuk persegi panjang karena \(CG\) tegak lurus terhadap sumbu \(x\).

Berapakah \(\cos \ \alpha \) dari segitiga \(ACG \)? Itu benar \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Selain itu, kita mengetahui bahwa \(AC\) adalah jari-jari lingkaran satuan, yang artinya \(AC=1\) . Mari kita substitusikan nilai ini ke dalam rumus kosinus kita. Inilah yang terjadi:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Berapakah \(\sin \ \alpha \) dari segitiga \(ACG \)? Ya, tentu saja, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Substitusikan nilai jari-jari \(AC\) ke dalam rumus ini dan dapatkan:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Jadi, bisakah kamu mengetahui koordinat titik \(C\) yang termasuk dalam lingkaran? Ya, tidak mungkin? Bagaimana jika Anda menyadari bahwa \(\cos \ \alpha \) dan \(\sin \alpha \) hanyalah angka? Koordinat manakah yang sesuai dengan \(\cos \alpha \)? Tentu saja koordinatnya \(x\)! Dan koordinat \(\sin \alpha \) berhubungan dengan apa? Benar, koordinat \(y\)! Jadi intinya \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Lalu \(tg \alpha \) dan \(ctg \alpha \) sama dengan apa? Itu benar, mari kita gunakan definisi yang sesuai dari tangen dan kotangen dan dapatkan itu \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Bagaimana jika sudutnya lebih besar? Misalnya saja seperti pada gambar ini:

Apa yang berubah dalam contoh ini? Mari kita cari tahu. Untuk melakukan ini, mari kita kembali ke segitiga siku-siku. Misalkan segitiga siku-siku \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : sudut (berdekatan dengan sudut \(\beta \) ). Berapakah nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Itu benar, kami mematuhi definisi fungsi trigonometri yang sesuai:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \sudut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Seperti yang Anda lihat, nilai sinus sudut masih sesuai dengan koordinat \(y\) ; nilai kosinus sudut - koordinat \(x\) ; dan nilai tangen dan kotangen terhadap perbandingan yang bersangkutan. Jadi, hubungan ini berlaku untuk setiap rotasi vektor radius.

Telah disebutkan bahwa posisi awal vektor jari-jari adalah sepanjang arah positif sumbu \(x\). Sejauh ini kita telah memutar vektor ini berlawanan arah jarum jam, tetapi apa yang terjadi jika kita memutarnya searah jarum jam? Tidak ada yang luar biasa, Anda juga akan mendapatkan sudut dengan nilai tertentu, tetapi hanya negatif. Jadi, ketika vektor jari-jari diputar berlawanan arah jarum jam, kita mendapatkan sudut positif, dan ketika berputar searah jarum jam – negatif.

Jadi, kita tahu bahwa seluruh putaran vektor jari-jari mengelilingi lingkaran adalah \(360()^\circ \) atau \(2\pi \) . Apakah mungkin untuk memutar vektor radius sebesar \(390()^\circ \) atau sebesar \(-1140()^\circ \)? Ya, tentu saja bisa! Dalam kasus pertama, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), dengan demikian, vektor jari-jari akan membuat satu putaran penuh dan berhenti pada posisi \(30()^\circ \) atau \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Dalam kasus kedua, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), yaitu vektor jari-jari akan membuat tiga putaran penuh dan berhenti pada posisi \(-60()^\circ \) atau \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Jadi, dari contoh di atas kita dapat menyimpulkan bahwa sudut-sudut yang berbeda sebesar \(360()^\circ \cdot m \) atau \(2\pi \cdot m \) (dengan \(m \) adalah bilangan bulat ), sesuai dengan posisi yang sama dari vektor radius.

Gambar di bawah menunjukkan sudut \(\beta =-60()^\circ \) . Gambar yang sama berhubungan dengan sudut \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) dll. Daftar ini dapat dilanjutkan tanpa batas waktu. Semua sudut ini dapat ditulis dengan rumus umum \(\beta +360()^\circ \cdot m\) atau \(\beta +2\pi \cdot m \) (dengan \(m \) adalah bilangan bulat apa pun)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Nah, setelah mengetahui definisi fungsi dasar trigonometri dan menggunakan lingkaran satuan, coba jawab berapa nilainya:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\teks(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Berikut lingkaran satuan untuk membantu Anda:

Mengalami kesulitan? Kalau begitu mari kita cari tahu. Jadi kita tahu bahwa:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array)\)

Dari sini, kita menentukan koordinat titik-titik yang bersesuaian dengan besar sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulai secara berurutan: sudut ke dalam \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) bersesuaian dengan suatu titik dengan koordinat \(\left(0;1 \right) \) , oleh karena itu:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Panah Kanan \text(tg)\ 90()^\circ \)- tidak ada;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Selanjutnya, dengan mengikuti logika yang sama, kita menemukan bahwa sudut-sudutnya masuk \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) sesuai dengan titik-titik dengan koordinat \(\kiri(-1;0 \kanan),\teks( )\kiri(0;-1 \kanan),\teks( )\kiri(1;0 \kanan),\teks( )\kiri(0 ;1 \kanan) \), masing-masing. Mengetahui hal ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik-titik yang bersesuaian. Cobalah sendiri terlebih dahulu, lalu periksa jawabannya.

Jawaban:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Panah Kanan \text(ctg)\ \pi \)- tidak ada

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\teks(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Panah Kanan \teks(tg)\ 270()^\circ \)- tidak ada

\(\teks(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\teks(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\teks(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Panah Kanan \teks(ctg)\ 2\pi \)- tidak ada

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \kanan)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \kanan)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\teks(tg)\ 450()^\circ =\teks(tg)\ \kiri(360()^\circ +90()^\circ \kanan)=\teks(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Panah Kanan \teks(tg)\ 450()^\circ \)- tidak ada

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \kanan)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Dengan demikian, kita dapat membuat tabel berikut:

Tidak perlu mengingat semua nilai-nilai ini. Cukup mengingat korespondensi antara koordinat titik-titik pada lingkaran satuan dan nilai fungsi trigonometri:

\(\kiri.\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Anda harus ingat atau bisa menampilkannya!! \) !}

Namun nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) diberikan pada tabel di bawah ini, Anda harus ingat:

Jangan takut, sekarang kami akan menunjukkan kepada Anda salah satu contoh menghafal nilai-nilai terkait yang cukup sederhana:

Untuk menggunakan metode ini, penting untuk mengingat nilai sinus untuk ketiga ukuran sudut ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), serta nilai garis singgung sudut pada \(30()^\circ \) . Mengetahui nilai \(4\) ini, cukup mudah untuk mengembalikan seluruh tabel - nilai kosinus ditransfer sesuai dengan panah, yaitu:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), mengetahui hal ini, Anda dapat mengembalikan nilainya \(\teks(tg)\ 45()^\circ , \teks(tg)\ 60()^\circ \). Pembilang "\(1 \)" akan sesuai dengan \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) dan penyebut "\(\sqrt(\text(3)) \)" akan sesuai dengan \(\teks (tg)\ 60()^\circ \ \) . Nilai kotangen ditransfer sesuai dengan panah yang ditunjukkan pada gambar. Jika Anda memahami hal ini dan mengingat diagram dengan panah, maka cukup mengingat nilai \(4\) saja dari tabel.

Koordinat suatu titik pada lingkaran

Mungkinkah mencari suatu titik (koordinatnya) pada lingkaran dengan mengetahui koordinat pusat lingkaran, jari-jarinya, dan sudut rotasinya? Ya, tentu saja bisa! Mari kita turunkan rumus umum untuk mencari koordinat suatu titik. Misalnya, berikut adalah lingkaran di depan kita:

Kita diberikan poin itu \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- pusat lingkaran. Jari-jari lingkaran adalah \(1,5\) . Kita perlu mencari koordinat titik \(P\) yang diperoleh dengan memutar titik \(O\) sebesar \(\delta \) derajat.

Terlihat dari gambar, koordinat \(x\) titik \(P\) sesuai dengan panjang segmen \(TP=UQ=UK+KQ\) . Panjang ruas \(UK\) sesuai dengan koordinat \(x\) pusat lingkaran, yaitu sama dengan \(3\) . Panjang segmen \(KQ\) dapat dinyatakan dengan menggunakan definisi kosinus:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Panah Kanan KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Kemudian kita mendapatkan koordinat titik \(P\). \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Dengan menggunakan logika yang sama, kita mencari nilai koordinat y untuk titik \(P\) . Dengan demikian,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Jadi, secara umum koordinat titik ditentukan dengan rumus:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Di mana

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinat pusat lingkaran,

\(r\) - jari-jari lingkaran,

\(\delta \) - sudut rotasi jari-jari vektor.

Seperti yang Anda lihat, untuk lingkaran satuan yang sedang kita pertimbangkan, rumus ini dikurangi secara signifikan, karena koordinat pusatnya sama dengan nol, dan jari-jarinya sama dengan satu:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Kita akan memulai pembelajaran trigonometri dengan segitiga siku-siku. Mari kita definisikan apa itu sinus dan kosinus, serta garis singgung dan kotangen sudut lancip. Ini adalah dasar-dasar trigonometri.

Izinkan kami mengingatkan Anda akan hal itu sudut kanan adalah sudut yang sama dengan . Dengan kata lain, setengah sudut berubah.

Sudut tajam- lebih kecil.

Sudut tumpul- lebih besar. Sehubungan dengan sudut seperti itu, “tumpul” bukanlah sebuah penghinaan, melainkan istilah matematika :-)

Mari kita menggambar segitiga siku-siku. Sudut siku-siku biasanya dilambangkan dengan . Perlu diketahui bahwa sisi yang berhadapan dengan sudut ditandai dengan huruf yang sama, hanya kecil. Jadi, sisi yang berhadapan dengan sudut ditunjuk.

Sudut dilambangkan dengan huruf Yunani yang sesuai.

Sisi miring segitiga siku-siku adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku.

Kaki- sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut lancip.

Kaki yang terletak berhadapan dengan sudut disebut di depan(relatif terhadap sudut). Kaki lainnya yang terletak pada salah satu sisi sudut disebut bersebelahan.

Sinus Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring:

Kosinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku - rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring:

Garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku - perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan:

Definisi lain (yang setara): garis singgung sudut lancip adalah perbandingan sinus sudut dengan kosinusnya:

Kotangens sudut lancip dalam segitiga siku-siku - perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berlawanan (atau, yang sama, perbandingan kosinus dan sinus):

Perhatikan hubungan dasar sinus, cosinus, tangen, dan kotangen di bawah ini. Mereka akan berguna bagi kita ketika memecahkan masalah.

Mari kita buktikan beberapa di antaranya.

1. Jumlah sudut suatu segitiga sama dengan . Cara, jumlah dua sudut lancip suatu segitiga siku-siku sama dengan .

2. Di satu sisi, sebagai perbandingan sisi berlawanan dengan sisi miring. Sebaliknya, karena untuk sudut kaki akan berdekatan.

Kami mengerti. Dengan kata lain, .

3. Mari kita ambil teorema Pythagoras: . Mari kita bagi kedua bagian dengan:

Kita punya identitas trigonometri dasar:

Jadi, dengan mengetahui sinus suatu sudut, kita dapat mencari kosinusnya, dan sebaliknya.

4. Membagi kedua ruas identitas trigonometri utama dengan , kita peroleh:

Artinya jika kita diberi garis singgung suatu sudut lancip, maka kita dapat langsung mencari kosinusnya.

Juga,

Oke, kami sudah memberikan definisi dan menuliskan rumusnya. Tapi kenapa kita masih membutuhkan sinus, cosinus, tangen dan kotangen?

Kami tahu itu jumlah sudut suatu segitiga sama dengan.

Kita tahu hubungan antara keduanya Para Pihak segitiga siku-siku. Ini adalah teorema Pythagoras: .

Ternyata dengan mengetahui dua sudut dalam sebuah segitiga, Anda bisa menemukan sudut ketiga. Mengetahui kedua sisi segitiga siku-siku, Anda dapat menemukan sisi ketiga. Artinya sudut-sudutnya mempunyai perbandingannya sendiri-sendiri, dan sisi-sisinya mempunyai perbandingannya sendiri-sendiri. Namun apa yang harus dilakukan jika dalam segitiga siku-siku Anda mengetahui satu sudut (kecuali sudut siku-siku) dan satu sisi, tetapi Anda perlu mencari sisi lainnya?

Hal inilah yang ditemui orang-orang di masa lalu ketika membuat peta wilayah dan langit berbintang. Lagi pula, tidak selalu mungkin untuk mengukur semua sisi segitiga secara langsung.

Sinus, kosinus, dan tangen - disebut juga fungsi sudut trigonometri- berikan hubungan antar Para Pihak Dan sudut segi tiga. Mengetahui sudut, Anda dapat mengetahui semua fungsi trigonometrinya menggunakan tabel khusus. Dan dengan mengetahui sinus, cosinus, dan garis singgung sudut segitiga dan salah satu sisinya, Anda dapat mengetahui sisanya.

Kami juga akan menggambar tabel nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen untuk sudut “baik” dari ke.

Harap perhatikan dua garis merah pada tabel. Pada nilai sudut yang sesuai, garis singgung dan kotangen tidak ada.

Mari kita lihat beberapa soal trigonometri dari Bank Tugas FIPI.

1. Dalam suatu segitiga, sudutnya adalah , . Menemukan .

Masalahnya terpecahkan dalam empat detik.

Sejak , kami memiliki: .

2. Dalam suatu segitiga, sudutnya adalah , , . Menemukan . , sama setengah dari sisi miring.

Segitiga yang mempunyai sudut , dan sama kaki. Di dalamnya, sisi miringnya beberapa kali lebih besar dari kakinya.

Mengetahui salah satu kaki dalam segitiga siku-siku, Anda dapat mencari kaki kedua dan sisi miring menggunakan perbandingan trigonometri - sinus dan tangen dari sudut yang diketahui. Karena perbandingan kaki yang berhadapan dengan sudut terhadap sisi miring sama dengan sinus sudut tersebut, oleh karena itu, untuk mencari sisi miring, Anda perlu membagi kaki dengan sinus sudut tersebut. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Kaki kedua dapat dicari dari garis singgung sudut yang diketahui, sebagai perbandingan kaki yang diketahui terhadap garis singgung. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Untuk menghitung sudut yang tidak diketahui pada segitiga siku-siku, Anda perlu mengurangi nilai sudut α dari 90 derajat. =90°-α

Keliling dan luas segitiga siku-siku dapat dinyatakan dalam bentuk kaki dan sudut di depannya dengan memasukkan persamaan yang diperoleh sebelumnya untuk kaki kedua dan sisi miring ke dalam rumus. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Anda juga dapat menghitung tinggi melalui rasio trigonometri, tetapi dalam segitiga siku-siku bagian dalam dengan sisi a, yang dibentuknya. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan sisi a, sebagai sisi miring segitiga tersebut, dengan sinus sudut β atau kosinus α, karena keduanya setara dalam identitas trigonometri. (Gbr. 79.2) h=a cos⁡α

Median sisi miring sama dengan setengah sisi miring atau kaki a yang diketahui dibagi dua sinus α. Untuk mencari median kaki-kaki, kami mereduksi rumus ke bentuk yang sesuai untuk sisi dan sudut yang diketahui. (Gbr.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Karena garis bagi sudut siku-siku dalam suatu segitiga adalah hasil kali dua sisi dan akar dua, dibagi dengan jumlah sisi-sisi tersebut, maka mengganti salah satu kakinya dengan perbandingan kaki yang diketahui dengan garis singgungnya, kita peroleh ekspresi berikut. Demikian pula, dengan mensubstitusikan rasio ke dalam rumus kedua dan ketiga, Anda dapat menghitung garis bagi sudut α dan β. (Gbr.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Garis tengahnya sejajar dengan salah satu sisi segitiga, membentuk segitiga siku-siku serupa lainnya dengan sudut yang sama, yang semua sisinya berukuran setengah dari aslinya. Berdasarkan hal tersebut, garis tengah dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut, dengan mengetahui hanya kaki dan sudut yang berhadapan dengannya. (Gbr.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Jari-jari lingkaran bertulisan sama dengan selisih antara kaki dan sisi miring dibagi dua, dan untuk mencari jari-jari lingkaran bertulisan, Anda perlu membagi sisi miring dengan dua. Kita ganti kaki kedua dan sisi miring dengan rasio masing-masing kaki a terhadap sinus dan tangen. (Gbr. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

instruksi

Metode 1. Menggunakan teorema Pythagoras. Teorema tersebut menyatakan: kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya. Oleh karena itu, salah satu sisi segitiga siku-siku dapat dihitung dengan mengetahui dua sisi lainnya (Gbr. 2)

Metode 2. Berdasarkan fakta bahwa median yang ditarik dari sisi miring membentuk 3 segitiga sebangun (Gbr. 3). Pada gambar ini, segitiga ABC, BCD, dan ACD sebangun.

Contoh 6: Menggunakan Lingkaran Satuan untuk Mencari Koordinat

Pertama kita mencari sudut acuan yang bersesuaian dengan sudut tertentu. Kemudian kita ambil nilai sinus dan cosinus dari sudut acuan, dan beri tanda yang sesuai dengan nilai y dan x kuadran. Selanjutnya kita akan mencari cosinus dan sinus dari sudut tertentu.

Sudut saringan, sudut segitiga dan akar pangkat tiga

Catatan: sudut ayakan tidak dapat dibuat dengan menggunakan kompas dan penggaris. Mengalikan panjang sisi kubus dengan akar pangkat tiga dari 2 menghasilkan panjang sisi kubus dua kali volumenya. Dengan menggunakan teori perintis matematikawan Perancis Évariste Galois, dapat ditunjukkan bahwa untuk ketiga soal klasik, konstruksi dengan lingkaran dan penggaris tidak mungkin dilakukan.

Sisi miring adalah sisi segitiga siku-siku yang berhadapan dengan sudut 90 derajat. Untuk menghitung panjangnya, cukup mengetahui panjang salah satu kakinya dan besar salah satu sudut lancip segitiga.

Harap diperhatikan: Konstruksi sudut tiga bagian dan akar pangkat tiga tidak dapat dilakukan dengan kompas dan penggaris.

Sebaliknya, penyelesaian persamaan derajat ketiga menggunakan rumus Cardano dapat direpresentasikan dengan membagi sudut dan akar pangkat tiga. Di masa depan, kita membangun beberapa sudut dengan lingkaran dan penggaris. Namun, setelah sudut segitiga dan akar pangkat tiga ditentukan, penyelesaian desain saringan persegi dapat dilakukan dengan menggunakan kompas dan penggaris.

Membangun dek kisi menurut perhitungan ini

Rumusan masalah konstruksi secara aljabar menghasilkan suatu persamaan, yang analisis strukturnya akan memberikan informasi tambahan tentang konstruksi struktur terner. Di sini digunakan hubungan satu-satu sudut dengan kosinusnya: jika besar sudut diketahui, panjang kosinus sudut dapat diplot secara unik pada lingkaran satuan dan sebaliknya.

instruksi

Diketahui kaki dan sudut lancip suatu segitiga siku-siku, besar sisi miringnya bisa sama dengan rasio kaki terhadap kosinus/sinus sudut tersebut, jika sudut tersebut berhadapan/berdekatan dengannya:

h = C1(atau C2)/sinα;

h = C1 (atau C2)/cosα.

Contoh: Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan sisi miring AB dan sudut siku-siku C. Misalkan sudut B 60 derajat dan sudut A 30 derajat. Panjang kaki BC adalah 8 cm. Kita perlu mencari panjang sisi miring AB . Untuk melakukannya, Anda dapat menggunakan salah satu metode yang disarankan di atas:

Tugas satu-ke-satu ini memungkinkan Anda beralih dari menentukan sudut ke menentukan kosinus sudut. Berikut ini, 3φ menunjukkan sudut yang akan dibagi. Jadi, φ adalah sudut, yang nilainya harus ditentukan pada 3 φ tertentu. Dimulai dengan koneksi yang diketahui dari trigonometri.

Ini mengikuti pada sudut tertentu 3 φ. Pertimbangan aljabar tentang solvabilitas persamaan tiga dimensi mengarah langsung pada pertanyaan tentang kemungkinan membangun solusi dan, akibatnya, pertanyaan tentang kemungkinan atau ketidakmungkinan segitiga konstruktif dari sudut tertentu.

AB = BC/cos60 = 8cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Sisi miring adalah sisi segitiga siku-siku yang terletak berhadapan dengan sudut siku-siku. Ini adalah sisi terpanjang dari segitiga siku-siku. Dapat dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras atau menggunakan rumus fungsi trigonometri.

Besarnya sudut keluar mempunyai pengaruh yang besar terhadap kemungkinan menghubungkan sudut ketiga, karena sudut ini, sebagai suku mutlak, sangat menentukan jenis penyelesaian dalam persamaan tiga dimensi. Jika suatu persamaan triangulasi mempunyai paling sedikit satu penyelesaian nyata yang dapat diperoleh dengan operasi rasional atau dengan menggambar akar kuadrat untuk sudut awal tertentu, penyelesaian tersebut bersifat konstruktif.

Breidenbach merumuskan kriteria bahwa sudut tiga detik hanya dapat ditafsirkan dalam solusi rasional persamaan tiga bagian. Jika solusi seperti itu tidak tersedia, masalah desain tiga bagian tidak dapat diselesaikan dengan kompas dan penggaris. Analisis cluster adalah teknik umum untuk mengumpulkan kelompok-kelompok kecil dari kumpulan data yang besar. Mirip dengan analisis diskriminan, analisis klaster juga digunakan untuk mengelompokkan pengamatan ke dalam kelompok. Di sisi lain, analisis diskriminatif memerlukan pengetahuan tentang keanggotaan kelompok dalam kasus-kasus yang digunakan untuk menurunkan aturan klasifikasi.

instruksi

Sisi-sisi segitiga siku-siku yang berdekatan dengan sudut siku-siku disebut kaki. Pada gambar, kaki-kakinya diberi tanda AB dan BC. Misalkan panjang kedua kakinya diketahui. Mari kita nyatakan mereka sebagai |AB| dan |SM|. Untuk mencari panjang sisi miring |AC|, kita menggunakan teorema Pythagoras. Menurut teorema ini, jumlah kuadrat kaki sama dengan kuadrat sisi miring, yaitu. dalam notasi gambar kita |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Dari rumus tersebut kita mengetahui bahwa panjang sisi miring AC ditemukan sebagai |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .

Analisis klaster merupakan metode yang lebih primitif karena tidak membuat asumsi mengenai jumlah kelompok atau keanggotaan kelompok. Klasifikasi Analisis klaster menyediakan cara untuk menemukan hubungan potensial dan menciptakan struktur sistematis dalam sejumlah besar variabel dan observasi. Analisis klaster hierarki adalah metode statistik dasar untuk menemukan klaster kasus yang relatif homogen berdasarkan karakteristik yang diukur. Ini dimulai dengan setiap kasus sebagai cluster terpisah.

Cluster-cluster tersebut kemudian digabungkan secara berurutan, jumlah cluster berkurang pada setiap langkah hingga hanya tersisa satu cluster. Metode clustering menggunakan perbedaan antar objek untuk membentuk cluster. Analisis klaster hierarki paling cocok untuk sampel kecil.

Mari kita lihat sebuah contoh. Misalkan panjang kakinya |AB| = 13, |SM| = 21. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita peroleh bahwa |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Untuk mendapatkan panjang sisi miring, kita perlu mengekstrak akar kuadrat dari jumlah kuadrat kaki-kakinya, mis. dari nomor 610: |AC| = √610. Dengan menggunakan tabel kuadrat bilangan bulat, kita menemukan bahwa bilangan 610 bukanlah kuadrat sempurna dari bilangan bulat mana pun. Untuk mendapatkan nilai akhir panjang sisi miring, mari kita coba menghilangkan kuadrat penuh dari bawah tanda akar. Untuk melakukan ini, mari kita memfaktorkan angka 610. 610 = 2 * 5 * 61. Dengan menggunakan tabel bilangan prima, kita melihat bahwa 61 adalah bilangan prima. Oleh karena itu, pengurangan lebih lanjut pada angka √610 tidak mungkin dilakukan. Kami mendapatkan jawaban akhir |AC| = √610.
Misalnya, jika kuadrat sisi miringnya adalah 675, maka √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Jika pengurangan seperti itu memungkinkan, lakukan pemeriksaan terbalik - kuadratkan hasilnya dan bandingkan dengan nilai aslinya.

Analisis klaster hierarki hanyalah salah satu cara untuk mengamati terbentuknya kelompok variabel yang homogen. Tidak ada cara khusus untuk menetapkan jumlah cluster untuk analisis Anda. Anda mungkin perlu melihat dendrogram serta karakteristik cluster dan kemudian menyesuaikan jumlahnya selangkah demi selangkah untuk mendapatkan solusi cluster yang baik.

Ketika variabel diukur pada skala yang berbeda, Anda memiliki tiga cara untuk membakukan variabel. Akibatnya, semua variabel berkontribusi dalam proporsi yang kira-kira sama terhadap pengukuran jarak, meskipun Anda mungkin kehilangan informasi tentang varians variabel.

Beri tahu kami salah satu kaki dan sudut yang berdekatan dengannya. Untuk lebih spesifiknya, misalkan ini adalah sisi |AB| dan sudut α. Kemudian kita dapat menggunakan rumus fungsi trigonometri kosinus - kosinus suatu sudut sama dengan rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring. Itu. dalam notasi kita cos α = |AB| / |AC|. Dari sini kita memperoleh panjang sisi miring |AC| = |AB| / karena α.
Jika kita mengetahui sisi |BC| dan sudut α, maka kita akan menggunakan rumus untuk menghitung sinus sudut – sinus sudut sama dengan perbandingan kaki dihadapannya dengan sisi miring: sin α = |BC| / |AC|. Diketahui panjang sisi miringnya adalah |AC| = |SM| / karena α.

Jarak Euclidean: Jarak Euclidean adalah metode pengukuran yang paling umum. Jarak Euclidean Kuadrat: Jarak Euclidean kuadrat memfokuskan perhatian pada objek yang berjauhan. Jarak blok kota: Blok kota dan jarak Euclidean adalah kasus khusus dari metrik Minkowski. Meskipun jarak Euclidean menunjukkan panjang jalur terpendek antara dua titik, jarak blok kota adalah jumlah jarak sepanjang setiap dimensi. Jarak korelasi Pearson Selisih antara 1 dan koefisien kosinus dua pengamatan Koefisien kosinus adalah kosinus sudut antara dua vektor. Jarak Jaccard Selisih antara 1 dan koefisien Jaccard untuk dua observasi.Untuk data biner, koefisien Jaccard adalah rasio jumlah tumpang tindih dan jumlah kedua observasi. Tetangga Terdekat Metode ini mengasumsikan bahwa jarak antara dua cluster sama dengan jarak antara objek-objek di tetangga terdekatnya. Best Neighbor Dalam metode ini, jarak antara dua cluster sesuai dengan jarak maksimum antara dua objek dalam cluster yang berbeda. Rata-Rata Kelompok: Dengan metode ini, jarak antara dua cluster sesuai dengan jarak rata-rata antara semua pasangan objek dalam cluster yang berbeda. Metode ini umumnya direkomendasikan karena mengandung lebih banyak informasi. Median Metode ini identik dengan metode centroid hanya saja metode ini tidak berbobot. Jarak Euclidean kuadrat ke rata-rata cluster kemudian dihitung untuk setiap kasus. Cluster yang harus digabungkan adalah cluster yang paling sedikit menambah jumlahnya. Artinya, metode ini meminimalkan peningkatan jumlah total jarak kuadrat dalam cluster. Metode ini cenderung menciptakan cluster yang lebih kecil.

• Ini adalah jarak geometris dalam ruang multidimensi.
• Ini hanya cocok untuk variabel kontinu.
• Jarak Kosinus Kosinus sudut antara dua vektor nilai.
• Metode ini direkomendasikan ketika menggambar kelompok yang digambar tangan.
• Jika cluster yang digambar membentuk "rumpun" yang unik, metode ini cocok.
• Pusat massa sebuah cluster adalah titik tengah dalam ruang multidimensi.
• Ini tidak boleh digunakan jika ukuran cluster sangat berbeda.
• Ward Means untuk semua variabel dihitung untuk setiap cluster.
• Jarak-jarak ini dijumlahkan untuk semua kasus.

Untuk lebih jelasnya, mari kita lihat sebuah contoh. Diketahui panjang kaki |AB|. = 15. Dan sudut α = 60°. Kita mendapatkan |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Mari kita lihat bagaimana Anda dapat memeriksa hasil Anda menggunakan teorema Pythagoras. Untuk melakukannya, kita perlu menghitung panjang kaki kedua |BC|. Menggunakan rumus garis singgung sudut tan α = |BC| / |AC|, kita mendapatkan |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Selanjutnya kita terapkan teorema Pythagoras, didapat 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Pengecekan selesai.

Fungsi sinus didefinisikan dari konsep sinus, mengingat sudut harus selalu dinyatakan dalam radian. Kita dapat mengamati beberapa ciri fungsi sinus.

• Domain Anda berisi semua domain asli.
• Dalam hal ini fungsi tersebut dikatakan periodik dengan periode 2π.

Kita dapat mengamati beberapa ciri fungsi kosinus. Jadi periode periodiknya adalah 2π. . Pembatasan tersebut tidak menghilangkan keumuman rumus tersebut, karena kita selalu dapat memperkecil sudut kuadran kedua, ketiga, dan keempat menjadi sudut kuadran pertama. Latihan. - Hitung sinus 15º tanpa menggunakan kalkulator.

Setelah menghitung sisi miring, periksa apakah nilai yang dihasilkan memenuhi teorema Pythagoras.

Sumber:

• Tabel bilangan prima dari 1 hingga 10.000

Kaki adalah dua sisi pendek suatu segitiga siku-siku yang membentuk titik sudut yang besarnya 90°. Sisi ketiga dalam segitiga tersebut disebut sisi miring. Semua sisi dan sudut segitiga ini saling berhubungan oleh hubungan tertentu yang memungkinkan untuk menghitung panjang kaki jika beberapa parameter lain diketahui.

Kosinus jumlah dua sudut

Kosinus selisih dua sudut

Latihan. Pada artikel hari ini kita akan melihat subset yang sangat spesifik: fungsi trigonometri. Untuk menikmati segala sesuatu yang ditawarkan matematika, kita harus mengimpornya. Pada artikel berikutnya, kita akan melihat gaya impor lainnya, yang masing-masing memiliki kelebihan dan kekurangannya masing-masing. Namun dengan instruksi sederhana ini, Anda sudah memiliki akses ke seluruh namespace modul matematika, yang berisi lusinan fungsi, termasuk fungsi yang akan kita bahas hari ini.

instruksi

Gunakan Teorema Pythagoras untuk menghitung panjang kaki (A) jika panjang kedua sisi lainnya (B dan C) suatu segitiga siku-siku diketahui. Teorema ini menyatakan bahwa jumlah kuadrat panjang kaki sama dengan kuadrat sisi miring. Oleh karena itu, panjang masing-masing kaki sama dengan akar kuadrat selisih antara kuadrat panjang sisi miring dan kaki kedua: A=√(C²-B²).

Pada dasarnya, kita perlu menghitung sinus, cosinus, dan tangen suatu sudut, serta fungsi inversnya. Selain itu, kami ingin dapat bekerja dalam radian dan derajat sehingga kami juga dapat menggunakan fungsi konversi yang sesuai.

Anda harus ingat bahwa fungsi-fungsi ini mengharapkan argumen diberikan dalam radian, bukan derajat. Untuk tujuan ini, Anda akan tertarik untuk mengetahui bahwa Anda memiliki konstanta berikut. Jadi kita bisa menggunakan ekspresi ini sebagai pengganti nilai numerik.

Tidak ada fungsi langsung untuk kosekan, garis potong, dan kotangen karena hal ini tidak diperlukan karena keduanya hanyalah kebalikan dari sinus, kosinus, dan tangen. Seperti sebelumnya, sudut yang dikembalikan juga dalam radian. Fungsi matematika lain yang berguna memungkinkan kita mengetahui nilai sisi miring suatu segitiga siku-siku berdasarkan kaki-kakinya, yang memungkinkan kita menghitung akar kuadrat dari jumlah kuadrat segitiga tersebut.

Gunakan definisi fungsi trigonometri langsung “sinus” untuk sudut lancip, jika besar sudut (α) yang berhadapan dengan kaki yang sedang dihitung dan panjang sisi miring (C) diketahui. Definisi ini menyatakan bahwa sinus sudut yang diketahui sama dengan perbandingan panjang kaki yang diinginkan dengan panjang sisi miring. Artinya panjang kaki yang diinginkan sama dengan hasil kali panjang sisi miring dan sinus sudut yang diketahui: A=C∗sin(α). Untuk besaran yang diketahui sama, Anda juga dapat menggunakan definisi fungsi kosekan dan menghitung panjang yang diperlukan dengan membagi panjang sisi miring dengan kosekan dari sudut yang diketahui A=C/cosec(α).

Gunakan definisi fungsi kosinus trigonometri langsung jika, selain panjang sisi miring (C), juga diketahui besar sudut lancip (β) yang berdekatan dengan kaki yang diinginkan. Kosinus sudut ini didefinisikan sebagai perbandingan panjang kaki yang diinginkan dan sisi miring, dan dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa panjang kaki sama dengan hasil kali panjang sisi miring dan kosinus dari sudut yang diketahui. sudut: A=C∗cos(β). Anda dapat menggunakan definisi fungsi garis potong dan menghitung nilai yang diinginkan dengan membagi panjang sisi miring dengan garis potong dari sudut yang diketahui A=C/detik(β).

Turunkan rumus yang diperlukan dari definisi serupa untuk turunan tangen fungsi trigonometri, jika selain nilai sudut lancip (α) yang terletak di hadapan kaki yang diinginkan (A), panjang kaki kedua (B) diketahui . Garis singgung sudut yang berhadapan dengan kaki yang diinginkan adalah perbandingan panjang kaki tersebut dengan panjang kaki kedua. Artinya, nilai yang diinginkan akan sama dengan hasil kali panjang kaki yang diketahui dan garis singgung sudut yang diketahui: A=B∗tg(α). Dari besaran-besaran yang diketahui sama ini, rumus lain dapat diturunkan jika kita menggunakan definisi fungsi kotangen. Dalam hal ini, untuk menghitung panjang kaki, kita perlu mencari perbandingan panjang kaki yang diketahui dengan kotangen sudut yang diketahui: A=B/ctg(α).

Video tentang topik tersebut

Kata "kathet" berasal dari bahasa Rusia dari bahasa Yunani. Jika diterjemahkan secara tepat, artinya garis tegak lurus, yaitu tegak lurus dengan permukaan bumi. Dalam matematika, kaki adalah sisi-sisi yang membentuk sudut siku-siku pada segitiga siku-siku. Sisi yang berhadapan dengan sudut ini disebut sisi miring. Istilah “cathet” juga digunakan dalam arsitektur dan teknologi pengelasan.

Gambarlah segitiga siku-siku DIA. Beri label kakinya sebagai a dan b, dan sisi miringnya sebagai c. Semua sisi dan sudut suatu segitiga siku-siku saling berhubungan melalui hubungan tertentu. Perbandingan kaki yang berhadapan dengan salah satu sudut lancip dengan sisi miring disebut sinus sudut tersebut. Pada segitiga ini sinCAB=a/c. Cosinus adalah perbandingan sisi miring kaki yang berdekatan, yaitu cosCAB=b/c. Hubungan kebalikannya disebut garis potong dan kosekan.

Garis potong sudut ini diperoleh dengan membagi sisi miring dengan kaki yang berdekatan, yaitu secCAB = c/b. Hasilnya adalah kebalikan dari kosinus, yaitu dapat dinyatakan dengan rumus secCAB=1/cosSAB.
Kosekan sama dengan hasil bagi sisi miring dibagi sisi yang berlawanan dan merupakan kebalikan dari sinus. Dapat dihitung menggunakan rumus cosecCAB=1/sinCAB

Kedua kaki dihubungkan secara singgung dan kotangen. Dalam hal ini, garis singgungnya adalah perbandingan sisi a dengan sisi b, yaitu sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan. Hubungan ini dapat dinyatakan dengan rumus tgCAB=a/b. Oleh karena itu, rasio kebalikannya adalah kotangen: ctgCAB=b/a.

Hubungan antara ukuran sisi miring dan kedua kaki ditentukan oleh ahli matematika Yunani kuno, Pythagoras. Orang-orang masih menggunakan teorema yang dinamai menurut namanya. Dikatakan bahwa kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya, yaitu c2 = a2 + b2. Oleh karena itu, setiap kaki akan sama dengan akar kuadrat dari selisih antara kuadrat sisi miring dan kaki lainnya. Rumus ini dapat ditulis sebagai b=√(c2-a2).

Panjang kaki juga bisa diekspresikan melalui hubungan yang Anda kenal. Menurut teorema sinus dan kosinus, kaki sama dengan hasil kali sisi miring dan salah satu fungsi tersebut. Bisa juga dinyatakan melalui garis singgung atau kotangen. Kaki a dapat dicari misalnya dengan menggunakan rumus a = b*tan CAB. Dengan cara yang persis sama, bergantung pada garis singgung atau kotangen tertentu, kaki kedua ditentukan.

Istilah "cathet" juga digunakan dalam arsitektur. Ini diterapkan pada ibu kota ionik dan menunjukkan garis tegak lurus di tengah punggungnya. Artinya, dalam hal ini, istilah ini menunjukkan garis tegak lurus terhadap suatu garis tertentu.

Dalam teknologi pengelasan terdapat konsep “fillet weld leg”. Seperti dalam kasus lain, ini adalah jarak terpendek. Di sini kita berbicara tentang celah antara salah satu bagian yang dilas dengan batas jahitan yang terletak di permukaan bagian lainnya.

Video tentang topik tersebut

Sumber:

• apa itu kaki dan sisi miring?

Video tentang topik tersebut

catatan

Saat menghitung sisi-sisi segitiga siku-siku, pengetahuan tentang karakteristiknya dapat berperan:
1) Jika kaki suatu sudut siku-siku terletak berhadapan dengan sudut 30 derajat, maka itu sama dengan setengah sisi miring;
2) Sisi miring selalu lebih panjang dari kaki mana pun;
3) Jika sebuah lingkaran dibatasi di sekeliling segitiga siku-siku, maka pusatnya harus terletak di tengah sisi miring.

Jika kita membahas masalah penyelesaian segitiga siku-siku, saya berjanji akan menyajikan teknik menghafal definisi sinus dan kosinus. Dengan menggunakannya, Anda akan selalu dengan cepat mengingat sisi mana yang termasuk sisi miring (berdekatan atau berlawanan). Saya putuskan untuk tidak menundanya lama-lama, materi yang dibutuhkan ada di bawah, silahkan dibaca 😉

Faktanya adalah saya telah berulang kali mengamati bagaimana siswa di kelas 10-11 mengalami kesulitan dalam mengingat definisi-definisi tersebut. Mereka ingat betul bahwa kaki mengacu pada sisi miring, tetapi mereka lupa yang mana dan bingung. Harga sebuah kesalahan, seperti yang Anda ketahui dalam sebuah ujian, adalah kehilangan poin.

Informasi yang akan saya sampaikan secara langsung tidak ada hubungannya dengan matematika. Hal ini terkait dengan pemikiran figuratif, dan dengan metode komunikasi verbal-logis. Persis seperti itulah yang saya ingat, untuk selamanya data definisi. Jika Anda lupa, Anda selalu dapat mengingatnya dengan mudah menggunakan teknik yang disajikan.

Izinkan saya mengingatkan Anda tentang definisi sinus dan cosinus pada segitiga siku-siku:

Kosinus Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring:

Sinus Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring:

Jadi, apa kaitan Anda dengan kata cosinus?

Mungkin setiap orang punya miliknya masing-masing 😉 Ingat tautannya:

Dengan demikian, ekspresi akan segera muncul di ingatan Anda -

«… perbandingan kaki yang BERDEKATAN dengan sisi miring».

Masalah penentuan kosinus telah terpecahkan.

Jika Anda perlu mengingat definisi sinus pada segitiga siku-siku, maka dengan mengingat definisi cosinus, Anda dapat dengan mudah menetapkan bahwa sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi miring. Lagi pula, hanya ada dua kaki; jika kaki yang berdekatan “ditempati” oleh kosinus, maka hanya kaki yang berlawanan yang tersisa dengan sinus.

Bagaimana dengan tangen dan kotangen? Kebingungannya sama. Siswa mengetahui bahwa ini adalah hubungan kaki, tetapi masalahnya adalah mengingat mana yang mengacu pada yang mana - apakah berlawanan dengan yang berdekatan, atau sebaliknya.

Definisi:

Garis singgung Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan:

Kotangens Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berdekatan dan sisi yang berhadapan:

Bagaimana cara mengingatnya? Ada dua cara. Yang satu juga menggunakan hubungan verbal-logis, yang lain menggunakan hubungan matematis.

METODE MATEMATIKA

Ada definisi seperti itu - garis singgung sudut lancip adalah rasio sinus sudut terhadap kosinusnya:

*Setelah menghafal rumusnya, Anda selalu dapat menentukan bahwa garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan.

Juga. Kotangen sudut lancip adalah perbandingan kosinus sudut dengan sinusnya:

Jadi! Dengan mengingat rumus ini, Anda selalu dapat menentukan bahwa:

Garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan

Kotangen sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan.

METODE KATA-LOGIS

Tentang garis singgung. Ingat tautannya:

Artinya, jika Anda perlu mengingat definisi tangen, dengan menggunakan koneksi logis ini, Anda dapat dengan mudah mengingat apa itu tangen

“...perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan”

Jika kita berbicara tentang kotangen, maka mengingat definisi garis singgung Anda dapat dengan mudah menyuarakan definisi kotangen -

“...perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan”

Ada trik menarik untuk mengingat garis singgung dan kotangen pada website " Tandem matematika " , Lihat.

METODE UNIVERSAL

Anda tinggal menghafalnya saja. Tetapi seperti yang diperlihatkan oleh praktik, berkat koneksi verbal-logis, seseorang mengingat informasi untuk waktu yang lama, dan tidak hanya informasi matematika.

Saya harap materinya bermanfaat bagi Anda.

Hormat kami, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.