Prisma lurus (segi empat beraturan). Prisma tegak (segi empat beraturan) Gabungan bola dengan benda bulat

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google dan masuk ke akun tersebut: https://accounts.google.com

Keterangan slide:

Bola dijelaskan di sekitar polihedra.

Definisi. Sebuah polihedron dikatakan tertulis di dalam sebuah bola (dan sebuah bola dijelaskan di sekitar sebuah polihedron) jika semua simpul dari polihedron tersebut termasuk dalam bola tersebut. Konsekuensi. Pusat bola yang dibatasi adalah sebuah titik yang berjarak sama dari semua simpul polihedron. OOOO. . .

Teorema 1. Himpunan titik-titik yang berjarak sama dari dua titik tertentu adalah suatu bidang yang tegak lurus suatu ruas yang ujung-ujungnya pada suatu titik tertentu melalui titik tengahnya (bidang garis bagi yang tegak lurus ruas tersebut). AB ┴ α AO=OB α A B O

Teorema 2. Himpunan titik-titik yang berjarak sama dari n titik-titik tertentu yang terletak pada lingkaran yang sama adalah garis lurus yang tegak lurus bidang titik-titik tersebut, melalui pusat lingkaran yang dibatasi di sekelilingnya. C E A B D O a . . . . . . C E A B D . . . . .

Sebuah prisma tertulis dalam sebuah bola. OA=OB=…=OX=R sf. HAI 1. HAI. HAI sf a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1 . X 1. .A .B .C .D E. X. a a 1 . HAI. HAI 1

Konsekuensi. 1)Sebuah bola dapat digambarkan mengelilingi prisma segitiga lurus, karena Anda selalu dapat menggambarkan lingkaran di sekitar segitiga. 2) Sebuah bola dapat digambarkan mengelilingi prisma beraturan, karena prisma beraturan adalah lurus dan lingkaran selalu dapat digambarkan di sekitar polihedron beraturan. HAI. HAI. .

Tugas No.1. Bola dibatasi mengelilingi prisma yang alasnya terdapat segitiga siku-siku dengan kaki 6 dan 8. Sisi lateral prisma adalah 24. Tentukan Jari-jari bola. Diketahui: ∆ ABC – persegi panjang; AC=6, BC=8, AA 1 =24. Carilah: Rw = ? Penyelesaian: 1)OO 1 ┴AB 1 ; OO 1 =AA 1 =24. 2) ABC: AB=10. 3) O w OB: R w = O w B=√OO w 2 + OB 2 = = √144+25=13 Jawaban: 13. O 1 O. . . R w HAI sh C 1 B 1 A 1 A C B

Tugas No.3. Dimensi sebuah balok adalah 2,3 dan 5. Tentukan jari-jari bola yang dibatasi. Diberikan:AB=a=2; BC=b=3; CC 1 =c=5. Carilah: Rw = ? Penyelesaian: 1) AC 2 =a 2 +b 2 +c 2. 2) A 1 C 2 =25+9+4=38 (Sifat diagonal-diagonal suatu persegi panjang sejajar) 3) A 1 C=√38; R w = O w C = √38 /2 Jawaban: √38 /2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3 . . . Oh sial

Tugas No.3. Sisi alas prisma segitiga beraturan sama dengan a, dan rusuk sisinya sama dengan 2 a. Temukan jari-jari bola yang dibatasi. Diketahui: AB=BC=AC=a, AA 1 ┴ABC ; AA 1= 2a. Carilah: Rw = ? Penyelesaian: 1)AB=AO √3; AO=a/√3. 2)R w =√ a 2 + a 2 /3=2a/ √ 3 Jawaban: 2a/ √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O w R w. HAI 1

Konsekuensi. 1) Anda selalu dapat mendeskripsikan bola di sekitar limas segitiga, karena Anda selalu dapat mendeskripsikan lingkaran di sekitar segitiga. 2) Anda selalu dapat menggambarkan sebuah bola di sekitar piramida biasa. 3) Jika sisi-sisi lateral piramida sama besar (miring sama ke alasnya), maka sebuah bola selalu dapat digambarkan di sekeliling piramida tersebut. *Dalam dua kasus terakhir, pusat bola terletak pada garis lurus yang memuat tinggi limas. HAI. HAI.

Masalah (bidang dijelaskan di dekat piramida). Sebuah bola dibatasi di sekeliling piramida PABC, yang alasnya adalah segitiga beraturan ABC dengan sisi 4√3. Tepi lateral PA tegak lurus terhadap bidang alas limas dan sama dengan 6. Tentukan jari-jari bola. Diketahui: AB=BC=AC=4 √3 ; PA ┴(ABC); PA=6. Carilah: Rw = ? Solusi: 1) OO SF ┴(ABC); O – pusat lingkaran yang dibatasi sekitar ABC; K HAI SF ┴ PA; KP=AK (KO SF Salah satu titik tengah tegak lurus terhadap tepi samping PA); HAI SF adalah pusat bola yang dibatasi. 2) OO SF ┴(ABC); OO SF milik (AKO); PA ┴(ABC); AK milik (AKO); artinya KA|| OO SF; . HAI SF. O K.P.A.B.C

Masalah (bidang dijelaskan di dekat piramida). 3) KO cf ┴AP; KO c f milik (AOK); AO┴AP; AO milik (AOK); artinya KO cf || AO; 4) Dari (2) dan (3): AOO c f K- persegi panjang, AK=PA/2=3; 5) AO=AB/ √3 =4; 6) ∆ AO O c f: AO c f = R w =5 Jawaban: 5

Masalah (bidang dijelaskan di dekat piramida). Pada limas segi empat beraturan, sisi sampingnya miring ke alas dengan sudut 45˚. Ketinggian piramida adalah h. Temukan jari-jari bola yang dibatasi. Diketahui: PABCD – piramida beraturan; (AP^(ABC))=45˚; PO=h. Carilah: Rw = ? Solusi: 1) AO=OP=h; AP=h √ 2; 2) ∆PAP ​​​​1 – persegi panjang; PP 1 – diameter bola; PP 1 = 2 R w; AP 2 = PP 1 *OP; (h √ 2) 2 =2 R w *h; R w = 2 jam 2 /2 jam = jam. Jawaban: h. C. B A. .D .P .P 1 . HAI

Tugas (bidang yang dijelaskan di dekat piramida). Sendirian. Jari-jari bola yang dibatasi pada tetrahedron beraturan sama dengan R. Temukan total luas permukaan tetrahedron.

Masalah (bidang dijelaskan di dekat piramida). Sendirian. Diberikan: DABC – tetrahedron beraturan; R adalah jari-jari bola. Temukan: S tetra penuh. =? Penyelesaian: 1) Karena tetrahedron beraturan, pusat bola yang dibatasi termasuk dalam garis lurus yang memuat tinggi limas; 2) S tetra penuh. = a 2 √ 3/4*4= a 2 √ 3; 3) Titik D, A, D 1 termasuk dalam lingkaran yang sama - bagian bola oleh bidang DAD 1, artinya sudut DAD 1 adalah sudut tertulis berdasarkan diameter, DD 1; sudut AYAH 1 =90˚; 4) AO – tinggi ∆ ADD 1 yang ditarik dari titik sudut siku-siku. IKLAN 2 = LAKUKAN*DD 1 ; 5) AO=sebuah/ √ 3; LAKUKAN= √ a 2 -a 2 /3=a √ 2 / √ 3; a 2 = a √ 2 / √ 3*2R; sebuah= √ 2 / √ 3*2R; sebuah 2 = 8R 2 /3; .D 1 .D .O .B .C A. a

Masalah (bidang dijelaskan di dekat piramida). Sendirian. 6) S tet penuh. = 8R 2 √ 3/3 Jawab : 8R 2 √ 3/3

Topik “Soal-soal berbeda pada polihedra, silinder, kerucut dan bola” merupakan salah satu topik tersulit dalam mata pelajaran geometri kelas 11. Sebelum menyelesaikan masalah geometri, mereka biasanya mempelajari bagian-bagian teori relevan yang menjadi acuan ketika menyelesaikan masalah. Dalam buku teks oleh S. Atanasyan dan lain-lain tentang topik ini (hlm. 138), kita hanya dapat menemukan definisi polihedron yang dibatasi di sekitar bola, polihedron yang dimasukkan ke dalam bola, bola yang dimasukkan ke dalam polihedron, dan bola yang dijelaskan di sekitar a polihedron. Rekomendasi metodologis untuk buku teks ini (lihat buku “Mempelajari Geometri di Kelas 10–11” oleh S.M. Sahakyan dan V.F. Butuzov, hal. 159) menyebutkan kombinasi benda apa yang dipertimbangkan ketika memecahkan masalah No. 629–646 , dan perhatian diberikan pada fakta bahwa “ketika memecahkan suatu masalah tertentu, pertama-tama, perlu dipastikan bahwa siswa memiliki pemahaman yang baik tentang posisi relatif benda-benda yang ditunjukkan dalam kondisi tersebut.” Berikut penyelesaian soal no.638(a) dan no.640.

Mengingat semua hal di atas, dan kenyataan bahwa masalah yang paling sulit bagi siswa adalah kombinasi bola dengan benda lain, maka perlu untuk mensistematisasikan prinsip-prinsip teoritis yang relevan dan mengkomunikasikannya kepada siswa.

Definisi.

1. Sebuah bola disebut tertulis dalam polihedron, dan polihedron dibatasi di sekeliling bola jika permukaan bola menyentuh seluruh permukaan polihedron.

2. Sebuah bola disebut dibatasi di sekitar polihedron, dan polihedron dimasukkan ke dalam bola, jika permukaan bola melewati semua simpul polihedron.

3. Sebuah bola dikatakan tertulis di dalam silinder, kerucut terpotong (cone), dan silinder, kerucut terpotong (cone) dikatakan tertulis mengelilingi bola jika permukaan bola menyentuh alas (base) dan semua generatrices silinder, kerucut terpotong (cone).

(Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa lingkaran besar sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam bagian aksial mana pun dari benda-benda ini).

4. Sebuah bola dikatakan dibatasi terhadap sebuah silinder, suatu kerucut terpotong (cone), jika lingkaran-lingkaran alasnya (lingkaran alas dan puncaknya) termasuk pada permukaan bola.

(Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa di sekitar bagian aksial benda-benda ini, lingkaran lingkaran bola yang lebih besar dapat digambarkan).

Catatan umum tentang posisi bagian tengah bola.

1. Pusat bola pada polihedron terletak pada titik potong bidang-bidang bagi semua sudut dihedron polihedron. Itu terletak hanya di dalam polihedron.

2. Pusat bola yang dibatasi pada suatu polihedron terletak pada titik potong bidang-bidang yang tegak lurus terhadap semua tepi polihedron dan melalui titik tengahnya. Itu dapat ditempatkan di dalam, di permukaan, atau di luar polihedron.

Kombinasi bola dan prisma.

1. Sebuah bola tertulis pada prisma lurus.

Teorema 1. Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam prisma lurus jika dan hanya jika sebuah lingkaran dapat dimasukkan ke alas prisma, dan tinggi prisma sama dengan diameter lingkaran tersebut.

Akibat wajar 1. Pusat bola pada prisma siku-siku terletak pada titik tengah tinggi prisma yang melalui titik pusat lingkaran pada alasnya.

Akibat wajar 2. Sebuah bola, khususnya, dapat dibuat dalam garis lurus: segitiga, beraturan, segi empat (yang jumlah sisi alasnya sama satu sama lain) dengan syarat H = 2r, di mana H adalah tinggi bola. prisma, r adalah jari-jari lingkaran pada alasnya.

2. Sebuah bola dibatasi pada prisma.

Teorema 2. Sebuah bola dapat digambarkan mengelilingi prisma jika dan hanya jika prisma tersebut lurus dan sebuah lingkaran dapat digambarkan di sekeliling alasnya.

Akibat wajar 1. Pusat bola yang dibatasi terhadap prisma lurus terletak pada titik tengah tinggi prisma yang ditarik melalui pusat lingkaran yang dibatasi terhadap alasnya.

Akibat wajar 2. Sebuah bola, khususnya, dapat digambarkan: dekat prisma segitiga siku-siku, dekat prisma beraturan, dekat paralelepiped persegi panjang, dekat prisma segi empat siku-siku, yang jumlah sudut berlawanan alasnya sama dengan 180 derajat.

Dari buku teks karya L.S. Atanasyan, soal No. 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) dapat disarankan untuk kombinasi bola dan prisma.

Kombinasi bola dengan piramida.

1. Sebuah bola digambarkan di dekat piramida.

Teorema 3. Sebuah bola dapat digambarkan mengelilingi piramida jika dan hanya jika sebuah lingkaran dapat digambarkan di sekeliling alasnya.

Akibat wajar 1. Pusat bola yang dibatasi di sekitar limas terletak pada titik potong garis lurus yang tegak lurus alas limas yang melalui pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar alasnya dan bidang yang tegak lurus terhadap rusuk lateral yang melalui titik tengahnya. tepi ini.

Akibat wajar 2. Jika sisi-sisi piramida sama besar (atau sama miringnya terhadap bidang alasnya), maka sebuah bola dapat digambarkan di sekitar piramida tersebut.Pusat bola dalam hal ini terletak pada titik potongnya. tinggi limas (atau perpanjangannya) dengan sumbu simetri sisi samping yang terletak pada bidang tepi samping dan tinggi.

Akibat wajar 3. Sebuah bola, khususnya, dapat digambarkan: dekat limas segitiga, dekat limas beraturan, dekat limas segi empat yang jumlah sudut berhadapannya adalah 180 derajat.

2. Sebuah bola bertuliskan piramida.

Teorema 4. Jika sisi-sisi piramida mempunyai kemiringan yang sama terhadap alasnya, maka sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam piramida tersebut.

Akibat wajar 1. Pusat sebuah bola yang terdapat pada sebuah piramida yang sisi-sisinya mempunyai kemiringan yang sama terhadap alasnya terletak pada titik potong tinggi piramida dengan garis bagi sudut linier sembarang sudut dihedral pada dasar piramida, sisinya yang merupakan tinggi sisi muka yang ditarik dari puncak limas.

Akibat wajar 2. Anda bisa memasukkan bola ke dalam piramida biasa.

Dari buku teks karya L.S. Atanasyan, soal No. 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 dapat disarankan untuk kombinasi bola dengan limas.

Kombinasi bola dengan piramida terpotong.

1. Sebuah bola dibatasi pada piramida terpotong beraturan.

Teorema 5. Sebuah bola dapat digambarkan di sekitar piramida terpotong beraturan. (Kondisi ini cukup, tetapi tidak perlu)

2. Sebuah bola bertuliskan piramida terpotong beraturan.

Teorema 6. Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam piramida terpotong beraturan jika dan hanya jika apotema piramida sama dengan jumlah apotema alasnya.

Hanya ada satu soal kombinasi bola dengan piramida terpotong dalam buku teks L.S. Atanasyan (No. 636).

Kombinasi bola dengan badan bulat.

Teorema 7. Bola dapat digambarkan mengelilingi silinder, kerucut terpotong (lurus melingkar), atau kerucut.

Teorema 8. Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam silinder (lurus melingkar) jika dan hanya jika silinder tersebut sama sisi.

Teorema 9. Anda dapat memasukkan bola ke dalam kerucut apa pun (lurus melingkar).

Teorema 10. Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam kerucut terpotong (lurus melingkar) jika dan hanya jika generatornya sama dengan jumlah jari-jari alasnya.

Dari buku ajar L.S. Atanasyan, soal No. 642, 643, 644, 645, 646 dapat disarankan untuk kombinasi bola dengan benda bulat.

Agar lebih berhasil mempelajari materi tentang topik ini, perlu untuk memasukkan tugas-tugas lisan dalam pelajaran:

1. Panjang rusuk kubus sama dengan a. Temukan jari-jari bola: tertulis di dalam kubus dan dibatasi di sekelilingnya. (r = a/2, R = a3).

2. Apakah mungkin untuk menggambarkan sebuah bola (bola) di sekitar: a) kubus; b) paralelepiped persegi panjang; c) sebuah paralelepiped miring dengan persegi panjang di alasnya; d) paralelepiped lurus; e) paralelepiped miring? (a) ya; b) ya; c) tidak; d) tidak; d) tidak)

3. Benarkah sebuah bola dapat digambarkan di sekeliling limas segitiga? (Ya)

4. Apakah mungkin untuk menggambarkan sebuah bola di sekitar piramida segi empat? (Tidak, tidak di dekat piramida segi empat mana pun)

5. Sifat-sifat apa yang harus dimiliki sebuah piramida agar dapat menggambarkan bola di sekelilingnya? (Pada dasarnya harus ada poligon yang di sekelilingnya dapat digambarkan sebuah lingkaran)

6. Sebuah piramida terletak pada sebuah bola yang sisi sisinya tegak lurus dengan alasnya. Bagaimana cara mencari pusat bola? (Pusat bola adalah titik potong dua lokus titik geometri dalam ruang. Yang pertama adalah garis tegak lurus yang ditarik ke bidang alas limas, melalui pusat lingkaran yang dibatasi di sekitarnya. Yang kedua adalah bidang tegak lurus terhadap tepi samping tertentu dan ditarik melalui tengahnya)

7. Dalam kondisi apa kamu dapat menggambarkan sebuah bola di sekitar prisma yang alasnya terdapat trapesium? (Pertama, prisma harus lurus, dan kedua, trapesium harus sama kaki agar dapat dibatasi lingkaran di sekelilingnya)

8. Kondisi apa yang harus dipenuhi oleh sebuah prisma agar sebuah bola dapat digambarkan mengelilinginya? (Prisma harus lurus, dan alasnya harus berupa poligon yang kelilingnya dapat dibatasi lingkaran)

9. Sebuah bola digambarkan mengelilingi prisma segitiga, yang pusatnya terletak di luar prisma. Segitiga manakah yang alas prismanya? (Segitiga tumpul)

10. Apakah mungkin untuk menggambarkan bola di sekitar prisma miring? (Tidak Anda tidak bisa)

11. Dalam kondisi apa pusat bola yang dibatasi pada prisma segitiga siku-siku akan terletak pada salah satu sisi lateral prisma? (Dasarnya adalah segitiga siku-siku)

12. Alas limas adalah trapesium sama kaki Proyeksi ortogonal puncak limas pada bidang alasnya adalah suatu titik yang terletak di luar trapesium. Apakah mungkin untuk mendeskripsikan bola di sekitar trapesium seperti itu? (Ya, Anda bisa. Fakta bahwa proyeksi ortogonal dari puncak piramida terletak di luar alasnya tidak menjadi masalah. Yang penting adalah bahwa di dasar piramida terdapat trapesium sama kaki - poligon yang di sekelilingnya terdapat lingkaran. dijelaskan)

13. Sebuah bola digambarkan di dekat piramida biasa. Bagaimana letak pusatnya relatif terhadap unsur-unsur piramida? (Pusat bola berada pada garis tegak lurus yang ditarik ke bidang alas melalui pusatnya)

14. Dalam kondisi apa pusat bola yang mengelilingi prisma segitiga siku-siku terletak: a) di dalam prisma; b) di luar prisma? (Pada alas prisma: a) segitiga lancip; b) segitiga tumpul)

15. Sebuah bola digambarkan mengelilingi sebuah persegi panjang sejajar yang panjang rusuknya 1 dm, 2 dm, dan 2 dm. Hitung jari-jari bola. (1,5 dm)

16. Kerucut terpotong manakah yang dapat memuat bola? (Pada kerucut terpotong, pada bagian aksialnya dapat dibuat lingkaran. Bagian aksial kerucut adalah trapesium sama kaki, jumlah alasnya harus sama dengan jumlah sisi lateralnya. Dengan kata lain, jumlah jari-jari alas kerucut harus sama dengan generator)

17. Sebuah bola tertulis di dalam kerucut yang terpotong. Pada sudut berapakah generatrix kerucut terlihat dari pusat bola? (90 derajat)

18. Sifat apa yang harus dimiliki sebuah prisma lurus agar sebuah bola dapat dimasukkan ke dalamnya? (Pertama, pada alas prisma lurus harus terdapat poligon yang di dalamnya terdapat lingkaran, dan kedua, tinggi prisma harus sama dengan diameter lingkaran pada alasnya)

19. Berikan contoh piramida yang tidak dapat memuat bola? (Misalnya, limas segi empat dengan persegi panjang atau jajar genjang di alasnya)

20. Alas prisma lurus terdapat belah ketupat. Apakah mungkin untuk memasukkan sebuah bola ke dalam prisma ini? (Tidak, itu tidak mungkin, karena secara umum tidak mungkin menggambarkan lingkaran di sekitar belah ketupat)

21. Dalam kondisi apa sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam prisma segitiga siku-siku? (Jika tinggi prisma adalah dua kali jari-jari lingkaran pada alasnya)

22. Dalam kondisi apa sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam piramida terpotong segi empat beraturan? (Jika penampang suatu piramida adalah sebuah bidang yang melalui titik tengah sisi alas yang tegak lurus terhadapnya, maka piramida tersebut adalah trapesium sama kaki yang di dalamnya dapat dibuat lingkaran)

23. Sebuah bola tertulis di dalam piramida terpotong berbentuk segitiga. Titik manakah pada piramida yang merupakan pusat bola? (Pusat bola pada piramida ini terletak pada perpotongan tiga bidang sudut yang dibentuk oleh sisi samping piramida dengan alasnya)

24. Apakah mungkin untuk menggambarkan bola di sekitar silinder (melingkar siku-siku)? (Ya kamu bisa)

25. Apakah mungkin untuk menggambarkan bola di sekitar kerucut, kerucut terpotong (lurus melingkar)? (Ya, Anda bisa, dalam kedua kasus tersebut)

26. Dapatkah sebuah bola dimasukkan ke dalam silinder apa pun? Properti apa yang harus dimiliki sebuah silinder agar dapat memuat bola ke dalamnya? (Tidak, tidak setiap saat: bagian aksial silinder harus berbentuk persegi)

27. Dapatkah sebuah bola dimasukkan ke dalam kerucut apa pun? Bagaimana cara menentukan posisi pusat bola pada kerucut? (Ya, tentu saja. Pusat bola yang tertulis itu berada pada perpotongan ketinggian kerucut dan garis bagi sudut kemiringan generatrix terhadap bidang alasnya)

Penulis berpendapat bahwa dari tiga pelajaran perencanaan dengan topik “Masalah yang berbeda pada polihedra, silinder, kerucut dan bola”, disarankan untuk mencurahkan dua pelajaran untuk memecahkan masalah menggabungkan bola dengan benda lain. Tidak disarankan untuk membuktikan teorema di atas karena waktu di kelas tidak mencukupi. Anda dapat mengundang siswa yang memiliki keterampilan yang cukup untuk membuktikannya dengan menunjukkan (sesuai kebijaksanaan guru) kursus atau rencana pembuktian.

2. Sisi dasar

Tugas

1. Tentukan luas permukaan prisma lurus yang alasnya terdapat belah ketupat dengan diagonal-diagonal sama dengan 3 dan 4 serta rusuk lateralnya sama dengan 5.

Jawaban: 62.

2. Di alas prisma lurus terdapat belah ketupat dengan diagonal-diagonalnya sama dengan 6 dan 8. Luas permukaannya adalah 248. Tentukan rusuk lateral prisma tersebut.

Jawaban: 10.

3. Tentukan rusuk lateral prisma segi empat beraturan jika panjang sisi alasnya 3 dan luas permukaannya 66.

Jawaban: 4.

4. Sebuah prisma segi empat beraturan dibatasi di sekitar silinder yang jari-jari alas dan tingginya sama dengan 2. Tentukan luas permukaan lateral prisma tersebut.

Jawaban: 32.

5. Sebuah prisma segi empat beraturan dibatasi di sekitar sebuah silinder yang jari-jari alasnya 2. Luas permukaan lateral prisma adalah 48. Tentukan tinggi silinder tersebut.

Prisma siku-siku (heksagonal beraturan)

Prisma yang sisi-sisinya tegak lurus terhadap alasnya dan alasnya berbentuk persegi sama besar.

1. Sisi mukanya berbentuk persegi panjang sama besar

2. Sisi dasar

Tugas

1. Tentukan volume prisma segi enam beraturan yang sisi alasnya sama dengan 1 dan rusuk sisinya sama dengan .

Jawaban: 4.5.

2. Hitunglah luas permukaan lateral prisma segi enam beraturan yang sisi alasnya 3 dan tingginya 6.

Jawaban: 108.

3. Tentukan volume prisma segi enam beraturan yang semua rusuknya sama dengan √3.

Jawaban: 13.5

4. Hitunglah volume polihedron yang titik sudutnya adalah titik A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 prisma heksagonal beraturan ABCDEFA1B1C1D1E1F1 yang luas alasnya 6 dan rusuk lateralnya 2 .

Prisma lurus (sewenang-wenang N-batu bara)

Prisma yang sisi-sisinya tegak lurus alasnya dan alasnya sama besar dengan n-gon.

1. Jika alasnya adalah poligon beraturan, maka sisi-sisinya adalah persegi panjang yang sama besar.

2. Sisi dasar .

Piramida

Piramida adalah polihedron yang terdiri dari n-gon A1A2...AnA1 dan n segitiga (A1A2P, A1A3P, dst.).

1. Bagian yang sejajar dengan alas limas adalah segi banyak yang mirip dengan alasnya. Luas penampang dan luas alas dihubungkan sebagai kuadrat jaraknya ke puncak limas.

2. Piramida disebut beraturan jika alasnya berbentuk poligon beraturan dan puncaknya menonjol ke tengah alasnya.

3. Semua rusuk lateral sebuah limas beraturan adalah sama besar, dan sisi-sisi sisinya adalah segitiga sama kaki yang sama besar.

4. Tinggi sisi muka limas beraturan disebut apotema.

5. Luas permukaan lateral limas beraturan sama dengan setengah hasil kali keliling alas dan apotema.

Tugas

1. Berapa kali volume tetrahedron beraturan bertambah jika semua rusuknya diperbesar dua kali lipat?

Jawaban: 8.

2. Sisi-sisi alas limas beraturan sama dengan 10, sisi-sisinya sama dengan 13. Tentukan luas permukaan lateral limas tersebut.

Jawaban: 360.

5. Tentukan volume limas yang ditunjukkan pada gambar. Basisnya adalah poligon, sisi-sisi yang berdekatan tegak lurus, dan salah satu sisi sisinya tegak lurus terhadap bidang alas dan sama dengan 3.

Jawaban: 27.

6. Hitunglah volume limas segitiga beraturan yang sisi alasnya sama dengan 1 dan tingginya sama dengan .

Jawaban: 0,25.

7. Sisi-sisi rusuk limas segitiga saling tegak lurus, masing-masing sama dengan 3. Tentukan volume limas tersebut.

Jawaban: 4.5.

8. Diagonal alas limas segi empat beraturan adalah 8. Sisi lateralnya adalah 5. Tentukan volume limas tersebut.

Jawaban: 32.

9. Sebuah limas segi empat beraturan, tingginya 12 dan volumenya 200. Tentukan rusuk sisi limas tersebut.

Jawaban: 13.

10. Sisi-sisi alas limas segi empat beraturan sama dengan 6, sisi-sisinya sama dengan 5. Hitunglah luas permukaan limas tersebut.

Jawaban: 84.

11. Volume limas beraturan adalah 6. Sisi alasnya adalah 1. Tentukan rusuk sisinya.

12. Berapa kali luas permukaan tetrahedron beraturan bertambah jika semua rusuknya digandakan?

Jawaban: 4.

13. Volume limas segi empat beraturan adalah 12. Tentukan volume limas yang dipotong oleh bidang yang melalui diagonal alas dan titik tengah sisi seberangnya.

Jawaban: 3.

14. Berapa kali volume segi delapan akan mengecil jika semua rusuknya dibelah dua?

Jawaban: 8.

15. Volume sebuah limas berbentuk segitiga adalah 15. Bidang tersebut melalui sisi alas limas tersebut dan memotong tepi sisi yang berhadapan pada suatu titik yang membaginya dengan perbandingan 1:2, dihitung dari puncak limas. Temukan volume terbesar dari piramida yang menjadi tempat bidang membagi piramida aslinya.

Jawaban: 10.

16. Tentukan tinggi limas segitiga beraturan yang sisi alasnya sama dengan 2 dan volumenya sama dengan .

Jawaban: 3.

17. Dalam limas segi empat beraturan, tingginya 6, sisi sisinya 10. Tentukan volumenya.

Jawaban: 256.

18. Dari sebuah limas segitiga yang volumenya 12, sebuah limas segitiga dipotong oleh sebuah bidang yang melalui puncak limas dan garis tengah alasnya. Temukan volume piramida segitiga yang terpotong.

Jawaban: 3.

Silinder

Silinder adalah suatu benda yang dibatasi oleh suatu permukaan silinder dan dua buah lingkaran yang mempunyai batas.

Volume tubuh	Luas permukaan lateral	Daerah dasar	Luas permukaan total

1. Generator silinder - segmen generatrix yang tertutup di antara alasnya.

2. Tinggi silinder adalah panjang generatrix.

3. Bagian aksial berbentuk persegi panjang, dua sisinya merupakan generatrices, dan dua sisi lainnya adalah diameter alas silinder.

4. Bagian melingkar - bagian yang bidang potongnya tegak lurus terhadap sumbu silinder.

5. Perkembangan permukaan samping silinder - persegi panjang yang mewakili dua sisi potongan permukaan samping silinder sepanjang generatrix.

6. Luas permukaan lateral silinder adalah luas perkembangannya.

7. Luas permukaan seluruh silinder disebut jumlah luas permukaan lateral dan kedua alasnya.

8. Anda selalu dapat menggambarkan sebuah bola di sekitar silinder. Pusatnya terletak di tengah-tengah ketinggian. , dimana R adalah jari-jari bola, r adalah jari-jari alas silinder, H adalah tinggi silinder.

9. Bola dapat dimasukkan ke dalam silinder jika diameter alas silinder sama dengan tingginya, .

Tugas

1. Suatu bagian diturunkan ke dalam bejana berbentuk silinder yang berisi 6 liter air. Pada saat yang sama, level cairan di dalam bejana naik 1,5 kali lipat. Berapa volume bagian tersebut?

Jawaban: 3.

2. Tentukan volume silinder yang luas alasnya 1, generatrixnya 6 dan miring terhadap bidang alasnya dengan sudut 30°.

Jawaban: 3.

3. Silinder dan kerucut mempunyai alas dan tinggi yang sama. Hitunglah volume silinder jika volume kerucutnya 50.

Jawaban: 150.

4. Air yang dimasukkan ke dalam bejana berbentuk silinder dengan ketinggian 12 cm, dituangkan ke dalam bejana berbentuk silinder yang diameternya dua kali lipat. Berapa ketinggian permukaan air pada bejana kedua?

5. Luas penampang aksial silinder adalah . Temukan luas permukaan lateral silinder.

Jawaban: 2.

6. Sebuah prisma segi empat beraturan dibatasi di sekitar silinder yang jari-jari alas dan tingginya sama dengan 2. Tentukan luas permukaan lateral prisma tersebut.

Jawaban: 32.

7. Keliling alas silinder adalah 3. Luas permukaan lateralnya adalah 6. Tentukan tinggi silinder.

8. Satu cangkir berbentuk silinder dua kali lebih tinggi dari cangkir kedua, tetapi cangkir kedua satu setengah kali lebih lebar. Tentukan perbandingan volume gelas kedua dengan volume gelas pertama.

Jawaban: 1.125.

9. Dalam sebuah bejana berbentuk silinder tinggi zat cair mencapai 18 cm, berapakah tinggi tinggi zat cair jika dituang ke dalam bejana kedua yang diameternya 3 kali lebih besar dari bejana pertama?

Jawaban: 2.

Kerucut

Kerucut adalah benda yang dibatasi oleh permukaan kerucut dan lingkaran.

Volume tubuh	Luas permukaan lateral	Daerah dasar	Luas permukaan total

1. Luas permukaan lateral kerucut adalah luas perkembangannya.

2. Hubungan antara sudut sapuan dan sudut puncak penampang aksial .

1. Sebuah silinder dan kerucut mempunyai alas dan tinggi yang sama. Hitunglah volume silinder jika volume kerucutnya 50.

Jawaban: 150.

2. Tentukan volume kerucut yang luas alasnya 2, generatrixnya 6 dan miring terhadap bidang alas dengan sudut 30°.

Jawaban: 2.

3. Volume kerucut adalah 12. Sebuah bagian digambar sejajar dengan alas kerucut, membagi tingginya menjadi dua. Temukan volume kerucut yang terpotong.

Jawaban: 1.5.

4. Berapa kali volume kerucut yang dibatasi pada limas segi empat beraturan lebih besar dari volume kerucut yang dibatasi pada limas tersebut?

Jawaban: 2.

5. Tinggi kerucut adalah 6, generatrixnya adalah 10. Hitunglah volumenya dibagi .

Jawaban: 128.

6. Silinder dan kerucut mempunyai alas dan tinggi yang sama. Hitunglah volume kerucut jika volume tabung adalah 48.

Jawaban: 16.

7. Diameter alas kerucut adalah 6 dan sudut puncak penampang aksialnya adalah 90°. Hitung volume kerucut dibagi .

8. Sebuah kerucut digambarkan mengelilingi limas segi empat beraturan dengan sisi alas 4 dan tinggi 6. Tentukan volume kerucut dibagi dengan .

9. Sebuah kerucut diperoleh dengan memutar segitiga siku-siku sama kaki mengelilingi kaki yang sama dengan 6. Tentukan volumenya dibagi .

Bola dan bola

Bola adalah permukaan yang terdiri dari semua titik dalam ruang yang terletak pada jarak tertentu dari suatu titik tertentu. Bola adalah benda yang dibatasi oleh bola.

1. Penampang bola oleh bidang adalah lingkaran jika jarak pusat bola ke bidang lebih kecil dari jari-jari bola.

2. Penampang bola oleh bidang adalah lingkaran.

3. Bidang singgung bola adalah bidang yang hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan bola.

4. Jari-jari bola yang ditarik ke titik kontak bola dan bidang tegak lurus terhadap bidang singgung.

5. Jika jari-jari bola tegak lurus terhadap bidang yang melalui ujung bola, maka bidang tersebut bersinggungan dengan bola.

6. Suatu polihedron dikatakan dibatasi terhadap suatu bola jika bola tersebut menyentuh seluruh mukanya.

7. Ruas garis singgung bola yang ditarik dari satu titik adalah sama besar dan membentuk sudut yang sama besar dengan garis lurus yang melalui titik tersebut dan pusat bola.

8. Sebuah bola tertulis pada permukaan silinder jika menyentuh semua generatornya.

9. Sebuah bola tertulis pada permukaan berbentuk kerucut jika menyentuh semua generatornya.

Tugas

1. Jari-jari dua bola adalah 6 dan 8. Tentukan jari-jari bola yang luas permukaannya sama dengan jumlah luas permukaannya.

Jawaban: 10.

2. Luas lingkaran besar bola adalah 1. Hitunglah luas permukaan bola tersebut.

3. Berapa kali luas permukaan bola bertambah jika jari-jarinya diperbesar dua kali lipat?

4. Jari-jari tiga bola adalah 3, 4 dan 5. Tentukan jari-jari bola yang volumenya sama dengan jumlah volumenya.

Jawaban: 6.

5. Sebuah paralelepiped persegi panjang dibatasi di sekitar bola berjari-jari 2. Temukan luas permukaannya.

Jawaban: 96.

6. Sebuah kubus dimasukkan ke dalam bola berjari-jari . Temukan luas permukaan kubus.

Jawaban: 24.

7. Sebuah paralelepiped persegi panjang dibatasi di sekitar bola berjari-jari 2. Tentukan volumenya.

8. Volume sebuah persegi panjang sejajar yang dibatasi di sekitar bola adalah 216. Tentukan jari-jari bola tersebut.

Jawaban: 3.

9. Luas permukaan persegi panjang sejajar yang dibatasi sekeliling bola adalah 96. Tentukan jari-jari bola tersebut.

Jawaban: 2.

10. Sebuah silinder dibatasi di sekeliling bola, yang luas permukaan lateralnya adalah 9. Temukan luas permukaan bola.

Jawaban: 9.

11. Berapa kali luas permukaan bola yang dibatasi pada kubus lebih besar dari luas permukaan bola pada kubus yang sama?

Jawaban: 3.

12. Sebuah kubus dimasukkan ke dalam bola berjari-jari . Temukan volume kubus.

Jawaban: 8.

Polihedra komposit

Tugas

1. Gambar menunjukkan sebuah polihedron, semua sudut dihedral dari polihedron tersebut adalah sudut siku-siku. Tentukan jarak antara simpul A dan C2.

Jawaban: 3.

2. Temukan sudut CAD2 dari polihedron yang ditunjukkan pada gambar. Semua sudut dihedral polihedron adalah sudut siku-siku. Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Jawaban: 60.

3. Temukan luas permukaan polihedron yang ditunjukkan pada gambar (semua sudut dihedral adalah sudut siku-siku).

Jawaban: 18.

4. Temukan luas permukaan polihedron yang ditunjukkan pada gambar (semua sudut dihedral adalah sudut siku-siku).

Jawaban: 132

5. Temukan luas permukaan persilangan spasial yang ditunjukkan pada gambar dan terdiri dari kubus satuan.

Jawaban: 30

6. Temukan volume polihedron yang ditunjukkan pada gambar (semua sudut dihedral siku-siku).

Jawaban:8

7.Temukan volume polihedron yang ditunjukkan pada gambar (semua sudut dihedral siku-siku).

Jawaban: 78

8. Gambar menunjukkan sebuah polihedron, semua sudut dihedral polihedron adalah sudut siku-siku. Tentukan garis singgung sudut ABB3.

Jawaban: 2

10. Gambar menunjukkan sebuah polihedron, semua sudut dihedral dari polihedron tersebut adalah sudut siku-siku. Tentukan garis singgung sudut C3D3B3.

Jawaban: 3

11. Melalui garis tengah alas prisma segitiga, ditarik sebuah bidang sejajar dengan tepi samping. Hitunglah luas permukaan lateral prisma jika luas permukaan lateral prisma segitiga yang dipangkas adalah 37.

Jawaban: 74.

12. Gambar menunjukkan sebuah polihedron, semua sudut dihedral dari polihedron tersebut adalah sudut siku-siku. Temukan kuadrat jarak antara simpul B2 dan D3.

Jawaban: 11.

Sebuah prisma segi empat beraturan yang volumenya 65 dm 3, digambarkan mengelilingi sebuah bola. Hitung perbandingan luas permukaan total prisma dan volume bola
Suatu prisma disebut beraturan jika alasnya berbentuk poligon beraturan dan sisi-sisinya tegak lurus terhadap alasnya. Segi empat beraturan adalah persegi. Titik potong diagonal-diagonal suatu persegi adalah pusatnya, sekaligus pusat lingkaran yang terdapat di dalamnya. Mari kita buktikan fakta ini. meskipun bukti ini kecil kemungkinannya untuk ditanyakan dan dapat dihilangkan
Sebagai jenis khusus jajar genjang, persegi panjang, dan belah ketupat, persegi mempunyai sifat-sifatnya masing-masing: diagonal-diagonalnya sama besar dan dibagi dua oleh titik potongnya, serta merupakan garis bagi sudut-sudut persegi. Melalui titik E kita tarik garis lurus TK sejajar AB. AB tegak lurus BC, artinya TC juga tegak lurus BC (jika salah satu dari dua garis sejajar tegak lurus garis ketiga, maka garis sejajar kedua tegak lurus garis (ketiga) tersebut). Dengan cara yang sama kita akan melakukan MR langsung. Segitiga siku-siku BET dan AEK mempunyai sisi miring dan sudut lancip yang sama besar (BE=AE - setengah diagonalnya, ∠ EBT=∠ EAK - setengah sudut siku-siku), yang berarti ET=EK. Dengan cara yang sama kita membuktikan bahwa EM=EP. Dan dari persamaan segitiga CEP dan CET (tandanya sama) kita melihat bahwa ET = EP, yaitu. ET=EP=EK=EM atau cukup katakan bahwa titik M berjarak sama dari sisi-sisi persegi, dan ini merupakan syarat yang diperlukan untuk mengenalinya sebagai pusat lingkaran pada persegi tersebut.
Perhatikan persegi panjang AVTC (segiempat ini adalah persegi panjang, karena semua sudut di dalamnya adalah sudut siku-siku menurut konstruksinya). Dalam sebuah persegi panjang, sisi-sisi yang berhadapan sama besar - AB = CT (perlu diperhatikan bahwa CT adalah diameter alasnya) - ini berarti sisi alasnya sama dengan diameter lingkaran yang tertulis.
Mari kita menggambar bidang-bidang yang sejajar (dua garis yang tegak lurus bidang yang sama sejajar) masing-masing AA 1, CC 1 dan BB 1 dan DD 1 (garis sejajar hanya mendefinisikan satu bidang). Bidang AA 1 C 1 C dan BB 1 D 1 D tegak lurus terhadap alas ABCD, karena melewati garis lurus (tulang rusuk lateral) yang tegak lurus terhadapnya.
Dari titik H (potongan diagonal) pada bidang AA 1 C 1 C tegak lurus alas ABCD. Maka kita akan melakukan hal yang sama pada bidang BB 1 D 1 D. Dari teorema: jika dari suatu titik yang termasuk dalam salah satu dari dua bidang tegak lurus kita menggambar garis tegak lurus terhadap bidang lainnya, maka tegak lurus tersebut terletak seluruhnya pada bidang pertama, kita temukan bahwa garis tegak lurus ini pasti terletak dan pada bidang AA 1 C 1 C dan pada bidang BB 1 D 1 D. Hal ini hanya mungkin jika garis tegak lurus ini bertepatan dengan garis perpotongan bidang-bidang tersebut - TIDAK. Itu. ruas tersebut BUKAN merupakan garis lurus yang menjadi tempat pusat lingkaran yang tertulis (karena TIDAK berjarak sama dari bidang sisi-sisinya, dan ini pada gilirannya mengikuti jarak yang sama dari titik E dan H dari simpul-simpul alas yang bersesuaian. (sesuai yang telah dibuktikan: titik potong diagonal-diagonalnya berjarak sama dari sisi-sisi persegi ), dan dari kenyataan bahwa NOT tegak lurus alasnya, kita dapat menyimpulkan bahwa NOT adalah diameter bola. Suatu bola dapat dimasukkan ke dalam prisma beraturan jika dan hanya jika tingginya sama dengan diameter lingkaran yang terdapat pada alasnya.Nah, bola tersebut sudah dimasukkan ke dalam bola prisma kita, artinya tingginya sama dengan diameter lingkaran yang tertulis pada alasnya Jika sisi alasnya kita nyatakan sebagai A, dan tinggi prisma adalah h, maka dengan menggunakan teorema ini kita menyimpulkan A=h dan volume prisma tersebut dicari seperti ini:

Selanjutnya, dengan menggunakan fakta bahwa tingginya sama dengan diameter bola yang tertulis dan sisi alas prisma, kita mencari jari-jari bola dan volumenya:

Harus dikatakan bahwa rusuk-rusuk sisinya sama dengan tingginya (ruas-ruas garis sejajar yang berada di antara bidang-bidang sejajar adalah sama), dan karena tingginya sama dengan sisi alasnya, maka secara umum semua rusuk prisma adalah sama. satu sama lain, dan semua permukaan pada dasarnya berbentuk persegi dengan luas A 2. Faktanya, gambar seperti itu disebut kubus - kasus khusus dari paralelepiped. Tetap mencari luas permukaan kubus dan menghubungkannya dengan volume bola:

Sebuah bola dapat digambarkan mengelilingi piramida jika dan hanya jika sebuah lingkaran dapat digambarkan di sekeliling alasnya.

Untuk membuat pusat O bola ini, Anda memerlukan:

1. Temukan pusat O dari lingkaran yang dibatasi di sekitar alasnya.

2. Melalui titik O, tariklah garis lurus yang tegak lurus bidang alasnya.

3. Gambarlah sebuah bidang melalui bagian tengah tepi lateral limas yang tegak lurus terhadap tepi tersebut.

4. Temukan titik O perpotongan garis dan bidang yang dibangun.

Kasus khusus: tepi lateral piramida sama besar. Kemudian:

bola bisa digambarkan;

pusat O bola terletak pada ketinggian piramida;

Dimana jari-jari bola yang dibatasi; - rusuk samping; H adalah tinggi piramida.

5.2. Bola dan prisma

Sebuah bola dapat digambarkan mengelilingi prisma jika dan hanya jika prisma tersebut lurus dan sebuah lingkaran dapat digambarkan di sekeliling alasnya.

Pusat bola adalah titik tengah ruas yang menghubungkan pusat-pusat lingkaran yang dibatasi dekat alasnya.

dimana adalah jari-jari bola yang dibatasi; - Jari-jari lingkaran yang dibatasi di dekat alasnya; H adalah tinggi prisma.

5.3. Bola dan silinder

Sebuah bola selalu dapat digambarkan mengelilingi sebuah silinder. Pusat bola merupakan pusat simetri penampang aksial silinder.

5.4. Bola dan kerucut

Sebuah bola selalu dapat digambarkan mengelilingi kerucut. Bagian tengah bola; berfungsi sebagai pusat lingkaran yang dibatasi pada bagian aksial kerucut.