Lorentz e gerak non-periodik deterministik. Abstrak matematika dengan topik "Atraktor Lorentz". Alat teori kekacauan

Izv. universitas "PND", vol.15, No.1, 2007 UDC 517.9

PENARIK LORENZ DALAM ALIRAN GESER

SAYA. Mukhamedov

Dalam kerangka model dinamika kacau media kontinu yang diusulkan sebelumnya, penerapan rezim denyut kecepatan aliran tiga dimensi yang sesuai dengan penarik tipe Lorentz diperoleh. Solusinya adalah sekumpulan struktur yang menentukan geometri manifold bertingkat yang direduksi menjadi kasus tiga dimensi, yang dibentuk oleh denyut dengan kecepatan aliran sedang. Dinamika penarik Lorentz sendiri memanifestasikan dirinya dalam bentuk ketergantungan waktu dari denyut kecepatan sepanjang garis arus aliran rata-rata.

Seperti diketahui, salah satu contoh klasik kekacauan deterministik - penarik Lorentz - yang ditemukan sebagai hasil penelitian hidrodinamik yang bersifat terapan, belum cukup direproduksi dalam formalisme mekanika turbulen yang ada. Dalam karya penulis, sebuah hipotesis diajukan bahwa solusi hidrodinamik klasik untuk masalah ini pada prinsipnya tidak dapat diperoleh, dan sebuah pembenaran untuk kesimpulan ini diajukan. Hal ini didasarkan pada pemahaman bahwa model penarik dinamika chaos mempengaruhi tingkat gerak mesoskopik suatu medium kontinu, dan tingkat ini tidak terwakili dalam persamaan klasik Navier-Stokes. Oleh karena itu usulan untuk memperluas pilihan penyelesaian masalah penarik Lorentz dengan secara eksplisit memasukkan struktur meso tambahan ke dalam formalisme matematika hidrodinamika, membawa perangkat teori ini melampaui kerangka operasi klasik dengan persamaan Navier-Stokes.

Saat ini, mode penarik dinamika kontinum dibangun dalam kerangka model yang mewakili abstraksi luas dari gerak medium kontinu, yang hampir tidak menggunakan gagasan tentang interaksi mekanis partikel medium satu sama lain. Dalam beberapa kasus, abstraksi ini mencerminkan properti operator tipe evolusioner yang beroperasi dalam hierarki ruang Hilbert yang bersarang. Dalam kasus lain, mereka mencerminkan dinamika sistem dimensi terbatas yang mereproduksi perubahan keadaan lingkungan, namun masing-masing keadaan sebenarnya diwakili oleh hanya satu titik dari manifold fase yang sesuai. Pemodelan seperti itu tidak memenuhi tujuan penerapan mekanika fluida, yang memerlukan reproduksi semua struktur penting secara langsung, yaitu dalam ruang yang ditempati oleh media kontinu. Jika kita memperhitungkan argumen data teoritis dan eksperimental yang mendukung

Dengan adanya representasi tersebut, maka reproduksi atraktor dalam konteks dinamika karakteristik spatio-temporal lingkungan nampaknya menjadi kebutuhan yang mendesak.

Dalam karya ini, penarik Lorentz dibangun dalam kerangka dinamika turbulen yang diusulkan dalam model. Menurut model ini, ruang fase rezim turbulen adalah stratifikasi pancaran pulsasi besaran hidrodinamik. Geometri kumpulan pulsasi diasumsikan bersifat arbitrer secara apriori, ditentukan oleh fitur simulasi dari rezim chaos yang terkait. Objek utama pemodelan adalah struktur chaos, yaitu kompleks lintasan gerak titik-titik yang tidak stabil dalam medium. Diasumsikan bahwa setiap rezim turbulen yang ada berhubungan dengan struktur chaos yang terdefinisi dengan baik. Dalam lintasan struktur chaos, mereka diidentifikasi dengan himpunan kurva integral dari distribusi tipe Pfaff yang tidak dapat diintegrasikan (non-holonomis) yang ditentukan pada sekumpulan denyut variabel dinamis.

Ciri khas dari model yang diusulkan adalah metode Lagrange dalam mendeskripsikan gerak suatu medium, yang, secara umum, tidak direduksi menjadi mendeskripsikan gerak dalam variabel Euler. Ternyata deskripsi Lagrange sangat cocok untuk menggambarkan dinamika sistem dengan penarik yang aneh. Alih-alih pembatasan ketat paradigma Euler, deskripsi Lagrange menerapkan kondisi yang jauh lebih lunak yang berfungsi untuk menentukan objek geometris dari distribusi nonholonomik yang sesuai. Perubahan penekanan pemodelan ini memungkinkan untuk mereproduksi berbagai penarik dalam dinamika berkas partikel media kontinum.

1. Mari kita tentukan persamaan dinamika denyut tiga mode

(yg + 4 (x,y!))(xk = Ar(x,y^)(I (1,3,k = 1,2,3), (1)

di mana xk dan yr membentuk kumpulan koordinat spasial dan dinamis dari stratifikasi denyut, dan objek xrk(x,y^)(xk dan Ar(x,y^)M menentukan sifat interaksi antarmode dari mode tersebut. Kita dapat pertimbangkan objek-objek ini dan persamaan (1) itu sendiri) sebagai aturan untuk pembentukan turunan koordinat dinamis terhadap koordinat spasial dan waktu, yang ditentukan oleh evolusi turbulen nyata. Arti geometris invarian dari objek-objek ini adalah bahwa dalam bundel pulsasi mereka mendefinisikan sebuah objek konektivitas internal dan bidang vektor vertikal, masing-masing.

Misalkan koordinat dinamis yang diberikan di atas mempunyai arti denyut kecepatan aliran medium, yaitu kecepatan sebenarnya dari medium dapat didekomposisi menjadi bidang kecepatan aliran rata-rata dan denyutan sesuai dengan rumus.

ig(x,y)= u0(x)+ ang. (2)

Persamaan keseimbangan massa dan momentum kita ambil dalam bentuk persamaan kontinuitas standar dan persamaan Navier-Stokes

Chr + uDi. (4)

Sistem persamaan ini belum lengkap, karena persamaan (4) mencakup tekanan, yang merupakan variabel termodinamika, yang dinamikanya secara umum melampaui lingkup kinematika. Untuk menggambarkan denyut tekanan, diperlukan koordinat dinamis baru, yang meningkatkan jumlah derajat kebebasan yang diperlukan untuk menggambarkan rezim gerakan turbulen yang sesuai. Mari kita perkenalkan variabel dinamis baru yang memiliki arti denyut tekanan, yaitu kita terima

p(x,y)= po(x)+ y4. (5)

Jadi, himpunan awal koordinat dinamis yang diperlukan untuk menampilkan gerak medium kontinu adalah empat dimensi.

Kemungkinan direduksi menjadi sistem tiga dimensi dengan dinamika yang mirip dengan dinamika sistem Lorentz terletak pada kenyataan bahwa tekanan masuk ke persamaan (4) dalam bentuk gradien. Oleh karena itu, reduksi denyut kecepatan menjadi dinamika tiga dimensi dapat dilakukan jika gradien tekanan yang termasuk dalam persamaan (4) hanya memuat tiga koordinat dinamis pertama. Untuk melakukan ini, cukup mensyaratkan persamaan dinamika untuk koordinat keempat

dy4 + wj (x, y)dxk = A4 (x, y)dt (6)

koefisien bentuk koneksi w4(x,yj)dxk hanya bergantung pada tiga koordinat dinamis pertama. Perhatikan bahwa rezim tiga dimensi mungkin menjadi tidak stabil dari sudut pandang deskripsi yang lebih lengkap, termasuk pertimbangan semua derajat kebebasan yang tereksitasi. Namun, kami akan membatasi diri untuk memodelkan dinamika yang mungkin terjadi secara apriori.

Mari kita perhatikan kondisi yang dikenakan oleh persamaan keseimbangan (3), (4) pada ekspresi besaran yang tidak diketahui wk(x,yj)dxk dan Ai(x,yj)dt yang termasuk dalam persamaan dinamis (1). Untuk melakukan ini, kita substitusikan (2) dan (5) ke dalam (3) dan (4), dan gunakan persamaan (1) dan (6). Untuk menyederhanakan ekspresi yang muncul, kita asumsikan bahwa koordinat spasial xk adalah Cartesian. Dalam hal ini, Anda tidak dapat membedakan antara superskrip dan subskrip, menaikkan dan menurunkannya sesuai kebutuhan untuk menulis ekspresi kovarian. Kemudian kita peroleh persamaan berikut untuk koefisien persamaan (1)

dkuk - wj = 0, (7)

Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (8)

dimana notasi Dj = dj - wk^y diperkenalkan.

Untuk keperluan lebih lanjut, mari kita tentukan rumusan masalahnya. Kita akan mempertimbangkan suatu rezim yang medan kecepatan rata-ratanya menggambarkan aliran geser sederhana

inggris = Ax3à\. (9)

Selain itu, kami akan membuat asumsi mengenai geometri ruang pulsasi berlapis. Kita akan menganggap koneksi bundel sebagai fungsi linier dalam koordinat dinamis, yaitu w^ = waj (x)yj (a = 1,..., 4). Dalam hal ini, persamaan (8) langsung menyatakan bahwa objek kedua memperoleh polinomial struktur dalam koordinat dinamis. Yaitu, bidang vektor vertikal menjadi polinomial orde kedua dalam koordinat dinamis, yaitu,

Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.

Jadi, fungsi yang tidak diketahui yang menentukan persamaan dinamika denyut rezim tiga mode yang dipertimbangkan adalah koefisien yak(x), Ar0(x), Ark(x) dan A3k(x), untuk penentuannya kita memiliki persamaan (3) dan (4). Perhatikan bahwa persamaan (4) pada dasarnya direduksi menjadi penentuan koefisien medan vektor vertikal, sedangkan pilihan koefisien konektivitas hanya dibatasi oleh persamaan kontinuitas (3). Persamaan ini meninggalkan kesewenang-wenangan yang signifikan dalam menentukan koefisien konektivitas, sehingga memberikan kebebasan untuk memodelkan struktur spasial dinamika pulsasi yang konsisten dengan aliran rata-rata yang dipilih.

2. Mari kita pertimbangkan kemungkinan memperoleh penarik tipe Lorentz dalam soal ini. Untuk itu, pertama-tama kita membahas penguraian nilai kecepatan saat ini menjadi kecepatan rata-rata dan denyut di sekitar rata-rata.

Menurut pengertian denyut, waktu rata-ratanya harus sama dengan nol, yaitu

(y)t - 0. (10)

Pada saat yang sama, denyut didefinisikan sebagai penyimpangan nilai kecepatan arus dari nilai rata-rata. Jika aliran rata-rata dianggap diberikan, maka keadaan yang dicatat tidak memungkinkan pemilihan sistem persamaan sembarang dengan dinamika chaos sebagai model persamaan chaos. Agar variabel sistem persamaan model dianggap sebagai denyut besaran hidromekanik nyata, kondisi (10) harus dipenuhi. Jika (10) tidak terpenuhi, maka ini berarti adanya penyimpangan yang tidak terhitung dalam dinamika denyut. Oleh karena itu, sistem model yang diadopsi ternyata tidak konsisten baik dengan faktor aktif yang diperhitungkan atau dengan struktur aliran rata-rata yang diperbolehkan.

Selanjutnya, persamaan (1), dalam kasus umum, merupakan sistem tipe Pfaff yang tidak dapat diintegrasikan sepenuhnya. Sifat non-integrabilitas persamaan ini pada dasarnya penting, sesuai dengan ciri khas gerak turbulen. Yaitu, dalam proses pergerakan, setiap formasi turbulen kecil secara makroskopis, partikel, ngengat, butiran, kehilangan individualitasnya. Fitur ini diperhitungkan karena persamaan (1) tidak dapat diintegrasikan. Intinya, (1) mendeskripsikan kumpulan kemungkinan lintasan pergerakan titik-titik kontinum yang dibentuk oleh medium kontinu. Lintasan ini ditentukan dalam bundel riak. Proyeksi mereka ke ruang yang ditempati oleh media kontinu menentukan dinamika perkembangan denyutan sepanjang kurva spasial yang sesuai. Perhatikan bahwa yang terakhir dapat dipilih secara sewenang-wenang, menentukan kemungkinan mempertimbangkan dinamika denyut di sepanjang kurva spasial apa pun.

Untuk lebih pastinya, mari kita perhatikan dinamika denyutan sepanjang garis arus aliran rata-rata. Maka kita memiliki persamaan dinamis berikut:

xr = u0, (11)

yg + w)k y3 4 = Ar. (12)

Sebelum mempertimbangkan sistem ini, mari kita ubah menjadi variabel tak berdimensi. Untuk melakukan ini, dalam persamaan awal (4), kami memperkenalkan alih-alih koefisien viskositas

bilangan Reynolds. Kemudian kami menghilangkan ketergantungan yang jelas pada nomor ini dengan menggunakan penggantinya

<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)

Dengan menghilangkan tanda overline di atas variabel, dari (12) kita peroleh

yg = DiO - i!kdkiO - dgro + y3(-dziO +<г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)

Mari kita analisa (13). Perhatikan bahwa model yang digunakan mengasumsikan turbulensi yang berkembang, yaitu bilangan Reynolds harus dianggap cukup besar. Kemudian, jika besaran tak berdimensi mempunyai nilai orde kesatuan, maka besaran dimensi nyata sesuai dengan (13) akan menunjukkan skala perwujudan dinamika tersebut. Secara khusus, dari (13) dapat disimpulkan bahwa skala spasialnya kecil. Dengan demikian, model yang digunakan harus dipertimbangkan, pertama-tama, sebagai model proses pencampuran turbulen pada tingkat resolusi mesoskopik media kontinu.

Sekarang mari kita beralih ke analisis (11) dan (12). Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk aliran rata-rata yang dipilih, persamaan (11) mempunyai integral sederhana. Garis aliran rata-rata yang sesuai dengan persamaan ini adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu koordinat x1. Tidak termasuk koordinat spasial, dari (12) dalam kasus umum kita memperoleh sistem persamaan diferensial non-otonom. Selain itu, jika koefisien konektivitas dan gradien tekanan tidak bergantung pada koordinat x1, maka sistem (14) menjadi otonom, berisi sisa koordinat spasial x2 dan x3 sebagai parameter. Dalam hal ini, jalur nyata terbuka untuk pemodelan langsung dinamika denyut kuasi-stasioner yang tidak homogen secara spasial. Di bawah ini adalah contoh pemodelan tersebut.

Sebagai kesimpulan dari poin ini, kami mencatat bahwa kemunculan distribusi nonholonomis yang ditentukan oleh sistem Pfaffian (1), (6) adalah konsekuensi dari asumsi bahwa dalam keadaan turbulensi kuat, kelas lintasan gerak yang mungkin terjadi. partikel medium merupakan formasi yang stabil. Kondisi yang diperlukan untuk stabilitas baru ini adalah persyaratan ketidakstabilan lintasan titik-titik, yang, pada gilirannya, memerlukan nilai bilangan Reynolds yang besar. Upaya untuk memperluas pendekatan ke nilai kecil dari bilangan Rae tidak berdasar.

3. Mari kita beralih ke konstruksi contoh di mana denyut kecepatan sepanjang lintasan aliran rata-rata dijelaskan oleh sistem kanonik tipe Lorentz. Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa semua koefisien konektivitas adalah konstan. Dalam hal ini, kita memperoleh dinamika yang homogen secara spasial di sepanjang garis aliran rata-rata, namun tidak homogen secara spasial di sepanjang garis yang berubah-ubah. Kita akan menyebut asumsi yang dibuat sebagai pendekatan kuasi-homogen.

Tugas kita adalah memberikan persamaan (14) bentuk sistem Lorentz kanonik. Kendala pertama yang terlihat dalam hal ini adalah ketidakpastian dalam mengidentifikasi koordinat dinamis dan variabel terkait

dari sistem kanonik. Dengan asumsi bahwa berbagai jenis mekanisme interaksi antarmode akan memungkinkan untuk mensimulasikan salah satu identifikasi ini, kami akan memilih opsi berikut. Misalkan struktur persamaan (14) berbentuk sebagai berikut:

y1 = a(-y1 + y2), (15)

y2 = (g - (g))y1 - y2 - y1y3, (16)

y3 = -y(y3 + (r)) + y1y2, (17)

di mana istilah reguler ditonjolkan dengan jelas, yang, sesuai dengan apa yang disebutkan dalam paragraf 2, harus dikeluarkan dari ekspresi denyut.

x = o(-x + y), y = rx - y - xy, g = -y g + xy. (18)

Untuk melakukan hal ini, asumsikan bahwa rata-rata waktu untuk variabel sistem (18) ada. Berdasarkan invarian sistem ini dalam transformasi

x^-x, y^-y, z^z (19)

wajar jika kita berharap bahwa mean untuk dua variabel pertama adalah nol. Lalu pergantian pemain

x ^ x, y ^ y, z ^ z + (r) (20)

pada (18) memberikan sistem persamaan (15) - (17).

Dalam hal ini, kami mencatat bahwa untuk nilai parameter sistem Lorentz yang berbeda, solusi dimungkinkan dengan nilai rata-rata nol dan bukan nol dari dua variabel pertama. Dengan mengingat hal ini, kami akan membatasi pertimbangan kami selanjutnya pada kemungkinan pertama. Selain itu, kami mencatat bahwa substitusi (20) juga dapat dilakukan jika suku dalam ekspresi ketiga (20) tidak mempunyai arti rata-rata waktu. Dalam hal ini, interpretasi selanjutnya mungkin memerlukan definisi baru tentang prosedur rata-rata. Secara umum, definisi yang sesuai memerlukan klarifikasi skala waktu dari fenomena yang sedang dipertimbangkan. Jelas bahwa redefinisi tersebut memerlukan pertimbangan yang lebih rinci baik dari data awal maupun variasi parameter sistem. Efek yang terkenal dari interaksi penarik kacau menunjukkan bagaimana ambiguitas dapat muncul dalam menentukan rata-rata dengan variasi kecil dalam parameter gerak.

Mari kita kembali ke pertimbangan kita. Membandingkan koefisien sistem (15) - (17) dan (14), kita peroleh

(DiO - i£dki0 - s/ro) =

(-3]uO + - dkyu] + yu^) =

V -U (g)) (-o

g -(g) -1 0 V 0 0 -y U

Selain itu, dari (7) kita punya

dk u0 = 0, 0.

Mari kita perhatikan (21) dan (24). Mengganti ekspresi (9), mudah untuk melihat bahwa (24) dipenuhi secara identik, dan (21) direduksi hanya untuk menentukan gradien tekanan rata-rata. Dalam hal ini, gradien ternyata tegak lurus terhadap kecepatan aliran rata-rata, yang merupakan konsekuensi dari identifikasi yang dipilih dari variabel sistem Lorentz kanonik dan komponen fluktuasi kecepatan.

Mari kita beralih ke persamaan (23) dan (25). Dari (23) kita memperoleh ekspresi yang tidak ambigu untuk komponen objek terhubung yang disimetriskan oleh subskrip. Bagian antisimetris ditentukan dari (25) dengan beberapa kesewenang-wenangan. Solusi umum persamaan ini diberikan oleh ekspresi berikut:

/ ae,x2 - bjxr -aix1 + cd,x3 bjx1 - cjx2 \

ех2 - / х3 -ех1 + ьх3 (/ - 1) йх1 - йх2 V ря1х2 - ех3 (-р + 1) йх1 + айх3 ех1 - айх2)

Mari kita beralih ke persamaan yang tersisa (22). Persamaan matriks ini merupakan sistem dari 9 persamaan aljabar kuadrat

b2 - c(hal + /) +

ae - bp + kamu = g - (g),

eb - a/ + ω43 = 0,

ae - bp + b + 1021 = o,

C/ + e2 + b2 - (1 - /)(1 - p) + ω42 = -1,

Ec + ab + ω43 = 0,

SEBUAH/ + eb + a - SEBUAH + ω1 = 0,

Ec + ab + ω42 = 0,

Cp - (1 - /)(1 - p) + e2 + a2 + ω33 = -y.

Yang belum diketahui didalamnya adalah 6 koefisien konektivitas (26), 9 komponen tensor tekanan, 1 koefisien penentu kecepatan rata-rata, dan 3 parameter sistem Lorentz. Oleh karena itu, solusi sistem ini ditentukan dengan kesewenang-wenangan parametrik yang signifikan. Dalam mode tiga dimensi yang sedang dipertimbangkan, tensor gradien tekanan ω>4r bersifat arbitrer dan dengan menentukannya, dimungkinkan untuk mensimulasikan dinamika yang diinginkan untuk pilihan koefisien konektivitas yang telah ditetapkan sebelumnya. Untuk rezim multidimensi, komponen tensor tekanan disertakan dalam sistem persamaan yang lebih lengkap yang memperhitungkan dinamika semua derajat kebebasan tereksitasi. Dalam hal ini, tensor tekanan tidak bisa lagi sembarangan. Dalam hal ini, menarik untuk mempertimbangkan berbagai opsi khusus untuk menentukan tensor tekanan, dengan asumsi bahwa asumsi yang masuk akal secara fisik harus terwakili dalam persamaan yang lebih lengkap yang memperhitungkan dinamika multidimensi. Kita asumsikan tensor gradien tekanan berbentuk diagonal dengan komponen nol sesuai dengan koordinat y2. Dalam hal ini, (22) mempunyai solusi analitis eksak sebagai berikut:

ω!1 = .1 - a, ω43 = .1 - y + 1, .1 = (K - a) a - A2, K = g - (g), (27)

K - pada Ka, K - pada AK

a = A, b = a - K, c =--.1, p =-, f = - K, e =---. (28)

Mari kita perhatikan solusi yang dihasilkan (27), (28). Ini meninggalkan nilai A, r, a, y, yang menentukan besarnya gradien kecepatan aliran rata-rata, dan tiga parameter sistem model Lorentz. Semua karakteristik gerak lainnya dinyatakan sebagai fungsi dari himpunan besaran yang ditandai. Dengan memilih nilai tertentu dari besaran ini, dimungkinkan untuk memvariasikan dinamika denyut, dan menggunakan rumus (26), (27) untuk menemukan nilai yang sesuai dari komponen objek konektivitas. Jika kita memperhitungkan bahwa setiap objek menentukan sifat interaksi denyut, maka jenis interaksi itu sendiri dapat divariasikan. Secara khusus, memvariasikan besarnya komponen tensor tekanan. Perlu dicatat bahwa dalam beberapa kasus, komponen-komponen ini dapat dikurangi menjadi nol. Keunikan solusi (27), (28) adalah bahwa tidak mungkin mengubah komponen tensor tekanan menjadi nol sambil tetap berada di wilayah nilai parameter sistem yang menimbulkan dinamika Lorentz. (Namun, hal ini sangat mungkin terjadi pada wilayah nilai parameter di mana dinamika denyutnya teratur.)

Mari kita membuat beberapa perkiraan. Misalkan parameter sistem model sesuai dengan penarik Lorentz dengan parameter a = 10, r = 28, y = 8/3. Dalam hal ini, perhitungan menunjukkan bahwa denyut memiliki waktu karakteristik t ~ 0,7. Dalam selang waktu terhitung b = 0 + 50, nilai denyut termasuk dalam interval y1 = -17.3 + 19.8, y2 = -22.8 + 27.2 dan y3 = -23.2 + 23.7.

Mari kita bandingkan nilai absolut denyut kecepatan dan gradien kecepatan rata-rata. Dari (13) maka denyut diperoleh dengan membagi nilai relatif dengan bilangan l/D, sedangkan gradien kecepatan rata-rata tetap tidak berubah. Mari kita ambil nilai gradien kecepatan yang sama dengan satu dalam urutan besarnya

ada A ~ 1. Kemudian pada nilai Rae = 2000 yaitu pada nilai kritis yang lebih rendah, untuk pulsasi kita memperoleh orde besarnya sama dengan 50% dari nilai gradien. Untuk kasus Rae = 40000, denyut kecepatan hanya mencapai 10%% dari nilai gradien kecepatan rata-rata yang diterima. Dari sini jelas bahwa proporsi yang masuk akal antara kecepatan rata-rata dan denyut hanya dapat dipastikan dalam kisaran angka Rae tertentu.

4. Data baru terungkap dengan mempertimbangkan pergerakan titik-titik pada medium. Untuk dinamika Lorentz dalam pendekatan kuasi-homogen, persamaan gerak titik berbentuk

r -(z) -l 0 0 0 -Y

Aox3 -A(r - (z))x3

Sistem ini ternyata linier dengan koefisien konstan. Solusi umumnya dapat diperoleh dengan mudah melalui integrasi dasar. Oleh karena itu, kami hanya mencatat ciri-ciri kualitatif lintasan titik-titik tersebut. Dari persamaan karakteristik kecepatan gerak kita menemukan bahwa terdapat dua akar negatif dan satu akar positif. Jadi, pada setiap titik dalam ruang, dibedakan dua arah tekan dan satu arah tarik. Fitur dinamika ini merupakan karakteristik invarian yang dapat digunakan untuk mengklasifikasikan penarik yang sesuai dengan aliran dengan nilai kecepatan rata-rata yang sama.

Sebagai berikut dari solusi umum sistem (29) dan (30), kemungkinan pergerakan titik-titik medium dalam arah transversal terhadap garis aliran rata-rata tidak dibatasi. Yakni pada proyeksi ke sumbu x3 terdapat penyimpangan yang teratur. Dalam hal ini, titik-titik yang bergerak tegak lurus terhadap garis arus arus rata-rata jatuh ke dalam wilayah nilai kecepatan tinggi. Dalam hal ini, jumlah Rae meningkat, yang menyebabkan penurunan besaran relatif denyut. Dalam kerangka perkiraan kuasi-homogen yang dibuat, efek ini menyebabkan penurunan relatif dalam denyutan dan, pada akhirnya, degenerasinya menjadi fluktuasi.

Bibliografi

1.Mukhamedov A.M. Model turbulen: masalah dan solusi //17 Kongres IMACS, Makalah T4-1-103-0846, http://imacs2005.ec-lille.fr.

2.Mukhamedov A.M. Menuju teori turbulensi // Chaos, Soliton & Fraktal. 2006. Jil. 29.Hal.253.

3. Ruelle D., Takens F. Tentang sifat turbulensi // Commun. Matematika. Fis. 1971. Jil. 20.Hal.167.

4. Babin A.V., Vishik M.I. Penarik persamaan evolusi. M.: Nauka, 1989.296 hal.

5. Mandelbrot B. Geometri fraktal alam. Warga kehormatan. San Fransisco, 1982.

6. Benzi RPaladin G., Parisi G., Vulpiani A. Tentang sifat multifraktal dari turbulensi yang berkembang penuh dan sistem chaos // J. Phys. A.1984.Jil.17. Hlm.3521.

7. Elnaschie M.S. Integral jalur Feynman dan teori E-Infinity dari eksperimen Gedanken dua celah // Jurnal Internasional Ilmu Nonlinier dan Simulasi Numerik. 2005. Jil. 6(4). Hal.335.

8.Mukhamedov A.M. Ansambel rezim turbulensi dalam aliran geser // Vestnik KSTU im. SEBUAH.Tupolev. 2003, No.3.Hal.36.

9. Yudovich V.I. Asimtotik siklus batas sistem Lorentz pada bilangan Rayleigh besar // VINITI. 31/07/78. Nomor 2611-78.

10. Anishchenko V.S. Osilasi kompleks dalam sistem sederhana. M.: Nauka, 1990.312 hal.

11. Loytsyansky L.G. Mekanika zat cair dan gas. M.: Nauka, 1987.840 hal.

Negara Bagian Kazan Diterima pada 23/01/2006

Universitas Teknik Setelah revisi 15/08/2006

PENARIK LORENZ DALAM ALIRAN PERGESERAN SEDERHANA

Dalam kerangka model yang diberikan sebelumnya untuk simulasi dinamika chaos medium kontinum, penarik Lorenz direpresentasikan. Simulasi diberikan dengan bantuan struktur yang menentukan geometri bundel serat yang terkait dengan rezim denyut kecepatan 3 dimensi. Dinamika Lorenz muncul sebagai ketergantungan pulsasi terhadap waktu sepanjang garis aliran rata-rata.

Mukhamedov Alfarid Mavievich - lahir di Kazan (1953). Lulus dari Fakultas Fisika Universitas Negeri Kazan, Jurusan Gravitasi dan Relativitas (1976). Mahasiswa doktoral dari Departemen Mekanika Teoritis dan Terapan Universitas Teknik Negeri Kazan dinamai demikian. SEBUAH.Tupolev. Penulis 12 karya tentang topik ini, serta monografi “Penelitian Ilmiah dan Metodologi Matematika” (Kazan: KSTU Publishing House, 2005, ditulis bersama dengan G.D. Tarzimanova). Bidang minat ilmiah: model matematika dinamika chaos, geometri manifold berserat, metodologi matematika modern.

Biasanya mereka mengatakan itu kekacauan adalah bentuk keteraturan yang lebih tinggi, namun, lebih tepat untuk menganggap kekacauan sebagai bentuk keteraturan yang lain - pasti dalam sistem dinamis mana pun, keteraturan dalam pemahaman biasanya diikuti oleh kekacauan, dan kekacauan diikuti oleh keteraturan. Jika kita mengartikan chaos sebagai ketidakteraturan, maka dalam ketidakteraturan tersebut kita pasti akan dapat melihat bentuk keteraturan tersendiri yang khusus. Misalnya, asap rokok Mula-mula ia muncul dalam bentuk kolom yang teratur, di bawah pengaruh lingkungan luar ia memperoleh bentuk yang semakin aneh, dan gerakannya menjadi kacau. Contoh lain dari kekacauan di alam - daun dari pohon apa pun. Dapat dikatakan bahwa Anda akan menemukan banyak lembaran serupa, misalnya kayu ek, tetapi tidak ada satu pun huruf yang identik. Perbedaannya ditentukan oleh suhu, angin, kelembapan, dan banyak faktor eksternal lainnya, selain penyebab internal semata (misalnya perbedaan genetik).

Teori kekacauan

Sejarah teori chaos

Alat teori kekacauan

Penarik Lorentz

Pada tahun 1961, ahli meteorologi dan matematika Edward Lorenz, yang meninggal pada 16 April 2008, memasukkan data ke dalam model cuaca komputer yang ia buat, membulatkannya bukan ke tempat keenam, tetapi ke tempat desimal ketiga. Hasilnya, efek kupu-kupu dirumuskan, salah satu penarik aneh ditemukan, perilaku banyak sistem deterministik yang tidak dapat diprediksi ditemukan, dan, pada akhirnya, teori kekacauan tercipta.

Latar Belakang: Setan Laplace

Pertanyaan: apakah setan seperti itu bisa dibayangkan setidaknya secara teoritis? Keberhasilan ilmu pengetahuan modern menunjukkan bahwa ya: orbit planet-planet telah dihitung, kemunculan komet telah diprediksi, kejadian-kejadian acak dijelaskan oleh teori probabilitas.

Namun belakangan, iblis Laplace menjadi sasaran kritik keras. Setelah perkembangan mekanika kuantum dan penemuan prinsip ketidakpastian Heisenberg (tidak mungkin mengukur kecepatan dan koordinat partikel secara akurat pada saat yang sama), menjadi jelas bahwa sistem kuantum tidak tunduk pada setan: mereka memiliki dasar ketidakpastian.

Selanjutnya, diketahui juga bahwa keberadaan setan akan bertentangan dengan hukum termodinamika, yang pada prinsipnya ia tidak akan memiliki kekuatan informasi yang cukup untuk pengetahuan dan perhitungan, bahkan jika ia menggunakan semua sumber daya alam semesta.

Namun, iblis itu tidak sepenuhnya melepaskan posisinya. Faktanya, mari kita bayangkan sistem yang sepenuhnya deterministik (ditentukan sebelumnya, tanpa keacakan) (klasik, tanpa efek kuantum). Jika kita mengetahui semua hukum yang mengatur perilakunya (tidak peduli betapa rumitnya hukum tersebut), kita mengetahui semua parameter yang diperlukan dan memiliki daya komputasi yang diperlukan (yaitu, kita memiliki iblis Laplace - baca: superkomputer), maka untuk itu sebuah sistem yang sepenuhnya dapat memprediksi perilaku?

Ada satu peringatan. Semua pengukuran kami akan mengandung beberapa kesalahan. Variabel yang disimpan dalam memori komputer akan memiliki ketelitian yang terbatas. Artinya, Anda harus menggunakan data perkiraan. Baiklah: kita tidak memerlukan akurasi yang tak terbatas, prediksi perkiraan saja sudah cukup. Apakah data sumber terdapat kesalahan pada digit kelima? Kesalahan prediksi pada digit kelima akan cocok untuk kita.

Jadi, apakah mungkin, misalnya, memprediksi cuaca? Setidaknya kira-kira? Setidaknya di beberapa area terbatas, tetapi untuk jangka waktu yang kurang lebih layak?

Tiga tempat desimal

Dia memiliki komputer Royal McBee. Pada tahun 1960, Lorenz menciptakan model cuaca yang disederhanakan. Model merupakan sekumpulan angka yang menggambarkan nilai beberapa variabel (suhu, tekanan atmosfer, kecepatan angin) pada waktu tertentu. Lorenz memilih dua belas persamaan yang menggambarkan hubungan antara variabel-variabel tersebut. Nilai variabel pada saat berikutnya bergantung pada nilainya pada saat sebelumnya dan dihitung menggunakan persamaan ini. Dengan demikian, model tersebut sepenuhnya deterministik.

Rekan-rekan Lorenz senang dengan model tersebut. Mesin itu diberi makan beberapa angka, mulai menghasilkan serangkaian angka (kemudian Lorenz mengajarinya menggambar grafik sederhana) yang menggambarkan cuaca di dunia imajiner. Angka-angkanya tidak berulang - terkadang hampir berulang, sistem sepertinya mereproduksi keadaan lamanya, tetapi tidak sepenuhnya, tidak ada siklus yang muncul. Singkatnya, cuaca buatan tidak dapat diprediksi dengan baik, dan sifat ketidakpastian ini (aperiodisitas) kira-kira sama dengan cuaca di luar jendela. Siswa dan guru membuat taruhan, mencoba menebak keadaan model selanjutnya.

Pada musim dingin tahun 1961, Lorenz memutuskan untuk mempelajari lebih detail grafik perubahan salah satu variabel yang sudah dibuat oleh mesin. Sebagai data awal, ia memasukkan nilai-nilai variabel dari tengah grafik dan keluar untuk istirahat. Mesin harus mereproduksi paruh kedua grafik secara akurat dan terus membuatnya lebih jauh. Namun, sekembalinya, Lorenz menemukan grafik yang sama sekali berbeda. Jika pada awalnya dia sedikit banyak mengulangi yang pertama, maka pada akhirnya dia tidak memiliki kesamaan apa pun dengannya.

Divergensi dua grafik cuaca yang berasal dari titik yang sama. Cetakan Lorenz dari tahun 1961, direproduksi dalam buku James Gleick "Chaos: The Making of a New Science" (St. Petersburg, "Amphora", 2001).

Ternyata model yang menghilangkan keacakan sepenuhnya, dengan nilai awal yang sama, memberikan hasil yang sangat berbeda. Mesin tidak rusak dan menghitung semuanya dengan benar, Lorenz tidak salah ketik saat memasukkan data.

Solusinya ditemukan cukup cepat: nilai variabel disimpan dalam memori mesin dengan akurasi enam tempat desimal (...,506217), dan hanya tiga yang dicetak (...,506). Lorenz, tentu saja, memperkenalkan nilai-nilai yang dibulatkan, dengan asumsi yang masuk akal bahwa akurasi tersebut cukup memadai.

Ternyata tidak. “…domino kecil berjatuhan…domino besar…domino besar, dihubungkan oleh rantai tahun yang tak terhitung banyaknya yang membentuk Waktu,” tulis Ray Bradbury dalam cerita terkenal tahun 1952 “A Sound of Thunder.” Hal yang kurang lebih sama terjadi pada model Lorentz. Sistem ini ternyata sangat sensitif terhadap pengaruh sekecil apa pun terhadapnya.

Efek kupu-kupu

Dari manakah datangnya kekacauan dan ketidakpastian dalam sistem deterministik? Dari kepekaan yang kuat hingga kondisi awal. Pengaruh sekecil apa pun yang tidak dapat dihilangkan adalah pembulatan variabel (jika ini adalah model teoretis), kesalahan pengukuran (jika ini adalah studi tentang sistem nyata) - dan sistem berperilaku sangat berbeda.

Lorenz memberikan contoh yang jelas: jika cuaca benar-benar termasuk dalam kelas sistem sensitif tersebut (tentu saja tidak semua sistem seperti itu), maka kepakan sayap burung camar dapat menyebabkan perubahan cuaca yang nyata. Burung camar kemudian digantikan oleh kupu-kupu, dan pada tahun 1972, Prediktabilitas: Mungkinkah kepakan sayap kupu-kupu di Brasil menyebabkan tornado di Texas?

Dari sinilah istilah terkenal “efek kupu-kupu” lahir, mengacu pada kisah Bradbury dan, yang mengejutkan, pada penemuan Lorenz berikutnya - sebuah penarik aneh, yang dinamai menurut namanya.

Struktur yang tidak terduga

Lorenz membangun model tiga persamaan dengan tiga variabel yang serupa namun lebih sederhana. Model tersebut menggambarkan konveksi dalam gas dan cairan, serta perilaku perangkat mekanis sederhana - kincir air Lorentz (lihat ilustrasi). Di bawah tekanan air yang mengisi wadah (dan mengalir keluar melalui lubang kecil), roda berperilaku sangat rumit: memperlambat putarannya, mempercepatnya, mulai berputar ke arah lain, berhenti - secara umum , sebagaimana layaknya sistem kacau yang menghargai diri sendiri.

Persamaannya terlihat seperti ini
dx/dt = s(y - x)
dy/dt = x(r - z) - y
dz/dt = xy - bz
s=10, r=28, b=8/3. Anda dapat mengambil nilai parameter lain, tetapi tidak semuanya sistem akan menunjukkan perilaku kacau.

Untuk menampilkan perilaku sistem secara visual, Lorenz tidak menggunakan grafik waktu biasa, melainkan potret fase. Tiga angka yang menggambarkan keadaan sistem menunjukkan koordinat suatu titik dalam ruang tiga dimensi. Dengan setiap langkah, titik baru muncul pada potret fase.

Jika sistem cepat atau lambat mencapai stabilitas penuh, penambahan poin cepat atau lambat harus dihentikan sepenuhnya. Jika berosilasi secara berkala, garis titik-titik tersebut akan membentuk cincin. Terakhir, jika tidak ada pola sama sekali dalam perilaku sistem, apa pun dapat muncul dalam potret fase.

Hasilnya sungguh di luar dugaan. Objek yang tampak dalam potret (lihat ilustrasi utama) terletak dalam batas-batas tertentu tanpa melintasinya. Ia memiliki struktur tertentu – menyerupai dua sayap kupu-kupu – tetapi dalam batas-batasnya ia benar-benar tidak teratur. Ia tidak berhenti “berkembang”: tidak ada satu titik pun yang bertepatan dengan titik sebelumnya, potret fase dapat dibangun tanpa henti. Peralihan dari satu sayap ke sayap lainnya berhubungan dengan awal putaran roda ke arah lain.

Objek seperti itu—penarik aneh—memainkan peran besar dalam geometri fraktal dan teori chaos. Sayap kupu-kupu disebut sebagai penarik Lorenz.

Efek kupu-kupu: potret fase untuk tiga titik waktu. Garis kuning dan biru mewakili lintasan yang sesuai dengan kumpulan data awal yang nilai x-nya berbeda 10 -5 . Mula-mula garisnya hampir berhimpitan (kuning ditutup dengan

Teori kekacauan

Kejutan kedua adalah bahwa dalam kekacauan ini ternyata ada keteraturan yang tersembunyi. Tak terduga, aneh, kurang dipahami, mewakili “struktur halus yang tersembunyi dalam arus informasi yang kacau” (J. Gleick), tetapi yang lebih menarik. Penarik Lorentz tidak memecahkan masalah prediksi, namun keberadaannya layak untuk dipelajari.

Pencarian manifestasi keteraturan dalam kekacauan adalah fokus dari ilmu pengetahuan yang relatif muda – teori kekacauan. Ia tidak muncul secara instan dan tidak memiliki satu pencipta. Fondasinya diletakkan pada karya Poincaré, Kolmogorov, Arnold, Lyapunov, Landau, Smail, Mandelbrot, Feigenbaum dan lusinan ilmuwan berbakat lainnya yang melihat sesuatu yang belum pernah dilihat siapa pun sebelumnya, atau mampu menggambarkan apa yang dilihat orang lain.

Salah satu momen penting (omong-omong, tidak segera dihargai) dalam kemunculannya dianggap sebagai hari ketika Edward Norton Lorenz, seorang pencinta cuaca dan pencari keanehan yang gigih, memperkenalkan nilai variabel yang dibulatkan menjadi tiga tempat desimal ke dalam nilai-nilainya. model.

Sistem Lorentz adalah sistem persamaan diferensial otonom nonlinier tiga dimensi. Sistem dinamik dipelajari oleh Edward Lorenz pada tahun 1963. Alasan utama yang memunculkan minat terhadap sistem persamaan Lorentz adalah perilakunya yang kacau. Sistem persamaan ditulis dalam bentuk

dimana q, r, b > 0. Sebagai hasil dari integrasi sistem, pola-pola yang diberikan di bawah ini teridentifikasi.

Untuk r>0 dan r<1 система имеем только одну критическую точку. Она является одновременно локальным и глобальным аттрактором. Любое начальное состояние приближается к началу координат при t стремящемся к бесконечности (рис.1).

Beras. 1. Penarik stabil, r>0 dan r<1

Ketika r mendekati 1, terjadi perlambatan kritis. Ketika r melebihi nilai 1, terjadi percabangan pertama. Asal usul koordinat kehilangan stabilitas dan dua penarik bercabang darinya (Gbr. 2), baik stabil secara global maupun lokal.

Beras. 2.Dua penarik stabil, r>1

Dalam kasus r<1,345 точки равновесия представляются узлами (рис.3), а при r>1.345 – fokus (Gbr. 4).

Beras. 3. Dua node, r=1.3

Beras. 4. Dua fokus, r=10

Ketika r meningkat ke nilai 13,926, dua lintasan tidak stabil yang berasal dari titik asal kembali ke titik asal karena t cenderung tak terhingga, dan keduanya tidak lagi menjadi penarik global.

Dalam kasus r=13,927, titik dapat melakukan gerakan osilasi dari satu lingkungan ke lingkungan lain dan sebaliknya. Perilaku ini disebut kekacauan metastabil atau lingkaran homoklinik (Gbr. 5).

Beras. 5. Lingkaran homoklinik, r=13.927

Jika r>13.927, bergantung pada arahnya, lintasan akan sampai pada salah satu dari dua titik stabil. Lingkaran homoklinik merosot menjadi siklus batas yang tidak stabil, dan sekumpulan lintasan kompleks yang bukan merupakan penarik juga muncul. Percabangan lintasan homoklinik terjadi dengan terbentuknya dua siklus tidak stabil (Gbr. 6).

Beras. 6.Dua siklus tidak stabil, r>13,927

Dengan nilai r=24,06, lintasan tidak mengarah ke titik stabil, tetapi mendekati siklus batas tidak stabil secara asimtotik - penarik Lorentz sendiri muncul (Gbr. 7).

Beras. 7.Penarik Lorentz, r=24.06

Dalam kasus r>24.06, bifurkasi lain terjadi. Namun kedua titik stabil tersebut dipertahankan hingga nilai r=24,74.

Pada r=24.74, inversi bifurkasi Hopf terjadi, ketika r>24.74 “penarik aneh” tetap ada (Gbr. 8).

Beras. 8.Penarik aneh Lorentz, r>24.74

Ketika r meningkat menjadi 100, mode osilasi sendiri diamati (Gbr. 9).

Beras. 9.Mode berosilasi sendiri, r=100

Ketika r meningkat ke nilai 225, terjadi rangkaian percabangan penggandaan siklus (Gbr. 10).

Beras. 10.Siklus penggandaan, r=225

Beras. sebelas.Dua solusi periodik asimetris, r=300

Pada nilai r yang besar, terdapat siklus simetris dalam sistem (Gbr. 12).

Beras. 12.Siklus simetris, r=400

Program "Lorenz - program untuk mempelajari sistem Lorenz", diimplementasikan di lingkungan pengembangan Turbo C++, memungkinkan Anda untuk mensimulasikan sistem Lorenz. Konstruksi potret fase dan grafik ketergantungan solusi terhadap waktu t didasarkan pada metode Runge-Kutta orde ketiga. Antarmuka program ditunjukkan pada Gambar 13.

Beras. 13.

Memodelkan perilaku sistem Lorenz menggunakan program Lorenz melibatkan melakukan langkah-langkah berikut (Gbr. 14):

• tentukan koordinat awal (x0,y0,z0);
• atur langkah integrasi h dan jumlah iterasi i;
• tetapkan nilai koefisien q, r, b;
• (opsional) atur indikator “Detail” untuk mendapatkan rincian solusi;
• klik tombol “Hitung”;
• (opsional) klik dua kali pada gambar yang dihasilkan untuk menyalinnya ke clipboard.

Beras. 14.

Contoh pemodelan perilaku sistem Lorenz menggunakan program Lorenz ditunjukkan pada Gambar 15.

Beras. 15.

literatur

1. Arkhangelsky A.Ya. Pemrograman di C++ Builder. – M.: Binom-Press, 2010. – 1304 hal.
2. Kiryanov D. Mathcad 15/Mathcad Prime 1.0. – St.Petersburg: BHV-Petersburg, 2012. – 432 hal.
3. Arnold V.I. Persamaan diferensial biasa. – M.: MTsNMO, 2012. – 344 hal.

Daftar program

1. MassTextReplacer - program untuk mengubah file teks secara massal;
2. Lorenz - program untuk mempelajari sistem Lorenz;

solusi sistem di R=24,06

solusi sistem di R=28 - sebenarnya, ini adalah penarik Lorentz

solusi sistem di R=100 – mode osilasi mandiri dalam sistem terlihat

Dalam masalah konveksi, model muncul ketika kecepatan aliran dan suhu diperluas ke dalam deret Fourier dua dimensi dan selanjutnya “pemangkasan” akurat hingga harmonik pertama dan kedua. Selain itu, sistem persamaan hidrodinamik lengkap yang diberikan ditulis dalam pendekatan Boussinesq. Pemangkasan deret tersebut sampai batas tertentu dibenarkan, karena Solzman dalam karyanya menunjukkan tidak adanya fitur menarik dalam perilaku sebagian besar harmonik.

Penerapan dan kesesuaian dengan kenyataan

Mari kita nyatakan arti fisis dari variabel dan parameter dalam sistem persamaan sehubungan dengan masalah yang disebutkan.

• Konveksi pada lapisan datar. Di Sini X bertanggung jawab atas kecepatan putaran poros air, kamu Dan z- untuk distribusi suhu secara horizontal dan vertikal, R- bilangan Rayleigh yang dinormalisasi, σ - bilangan Prandtl (perbandingan koefisien viskositas kinematik dengan koefisien difusivitas termal), B berisi informasi tentang geometri sel konvektif.
• Konveksi dalam lingkaran tertutup. Di Sini X- kecepatan aliran, kamu- penyimpangan suhu dari rata-rata pada titik 90° dari titik terbawah loop, z- sama, tetapi pada titik terendah. Panas disuplai pada titik terendah.
• Rotasi kincir air. Kami mempertimbangkan masalah roda yang tepinya terdapat keranjang berlubang di bagian bawah. Di atas kemudi secara simetris Aliran air yang terus menerus mengalir relatif terhadap sumbu rotasi. Permasalahannya sama dengan permasalahan sebelumnya, yaitu terbalik, dengan suhu digantikan oleh kepadatan distribusi massa air dalam keranjang di sepanjang tepinya.
• Laser mode tunggal. Di Sini X- amplitudo gelombang di rongga laser, kamu- polarisasi, z- inversi populasi tingkat energi, B dan σ adalah rasio koefisien inversi dan relaksasi medan terhadap koefisien relaksasi polarisasi, R- intensitas pemompaan.

Perlu diperhatikan bahwa dalam kaitannya dengan masalah konveksi, model Lorentz merupakan perkiraan yang sangat kasar, sangat jauh dari kenyataan. Korespondensi yang kurang lebih memadai terdapat di wilayah rezim reguler, di mana solusi stabil secara kualitatif mencerminkan gambaran yang diamati secara eksperimental tentang gulungan konvektif yang berputar secara seragam (Sel Benard). Rezim kacau yang melekat pada model tidak menggambarkan konveksi turbulen karena pemangkasan yang signifikan dari deret trigonometri aslinya.

Yang menarik adalah akurasi model yang jauh lebih besar dengan beberapa modifikasinya, yang digunakan khususnya untuk menggambarkan konveksi pada lapisan yang terkena getaran dalam arah vertikal atau pengaruh termal variabel. Perubahan kondisi eksternal seperti itu menyebabkan modulasi koefisien dalam persamaan. Dalam hal ini, komponen suhu dan kecepatan Fourier frekuensi tinggi ditekan secara signifikan, sehingga meningkatkan kesesuaian antara model Lorentz dan sistem nyata.

Keberuntungan Lorentz dalam memilih nilai parameter patut diperhatikan r (\gaya tampilan r), karena sistem mencapai penarik aneh hanya untuk nilai yang lebih besar dari 24,74; untuk nilai yang lebih kecil, perilakunya menjadi sangat berbeda.

Perilaku solusi sistem

Mari kita perhatikan perubahan perilaku solusi sistem Lorentz untuk nilai parameter r yang berbeda. Ilustrasi pada artikel menunjukkan hasil pemodelan numerik untuk titik-titik dengan koordinat awal (10,10,10) dan (-10,-10,10). Simulasi dilakukan dengan menggunakan program di bawah ini, yang ditulis dalam Fortran, plotting menggunakan tabel yang dihasilkan - karena lemahnya kemampuan grafis Fortran menggunakan Compaq Array Viewer.

• R<1 - penariknya adalah titik asal koordinat, tidak ada titik stabil lainnya.

• 1<R<13,927 - lintasannya mendekat secara spiral (ini sesuai dengan adanya osilasi teredam) ke dua titik, yang posisinya ditentukan oleh rumus:

( x = ± b (r − 1) y = ± b (r − 1) z = r − 1 (\displaystyle (\begin(kasus)x=\pm (\sqrt (b(r-1)))\ \y=\pm (\sqrt (b(r-1)))\\z=r-1\end(kasus)))

Titik-titik ini menentukan keadaan rezim konveksi stasioner, ketika struktur poros cairan berputar terbentuk di lapisan.

• R≈13,927 - jika lintasan meninggalkan titik asal, kemudian, setelah melakukan putaran penuh di sekitar salah satu titik stabil, lintasan akan kembali ke titik awal - timbul dua putaran homoklinik. Konsep lintasan homoklinik berarti berangkat dan tiba pada posisi setimbang yang sama.

• R>13,927 - Tergantung pada arahnya, lintasan sampai pada salah satu dari dua titik stabil. Lingkaran homoklinik merosot menjadi siklus batas yang tidak stabil, dan sekelompok lintasan yang tersusun rumit juga muncul, yang bukan merupakan penarik, melainkan sebaliknya, mengusir lintasan dari dirinya sendiri. Kadang-kadang, dengan analogi, struktur ini disebut “penolak aneh” (eng. untuk mengusir- mendorong).

• R≈24,06 - lintasan sekarang tidak mengarah ke titik stabil, tetapi mendekati siklus batas tidak stabil secara asimtotik - penarik Lorentz sendiri muncul. Namun, kedua titik stabil dipertahankan hingga nilainya R≈24,74.

Pada nilai parameter yang besar, lintasan mengalami perubahan besar. Shilnikov dan Kaplan menunjukkan hal itu dengan sangat besar R sistem masuk ke mode osilasi mandiri, dan jika parameternya dikurangi, transisi ke kekacauan akan diamati melalui serangkaian penggandaan periode osilasi.

Signifikansi model

Model Lorentz adalah contoh fisik nyata dari sistem dinamis dengan perilaku kacau, berbeda dengan berbagai pemetaan yang dibuat secara artifisial (“gigi gergaji”, “tenda”, transformasi pembuat roti, pemetaan Feigenbaum, dll.).

Program yang mensimulasikan perilaku sistem Lorentz

#termasuk #termasuk void main() ( ganda x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1; ganda dt = 0,0001; int a = 5, b = 15, c = 1; int gd = DETEKSI, gm; initgraph (& gd , & gm , "C: \\ BORLANDC \\ BGI" ); lakukan ( x1 = x + a * (- x + y ) * dt ; y1 = y + (b * x - y - z * x ) * dt ; z1 = z + (- c * z + x * y ) * dt ; x = x1 ; y = y1 ; z = z1 ; putpixel ((int )(19,3 * (y - x * 0,292893 ) + 320 ), (int )(- 11 * (z + x * 0.292893 ) + 392 ), 9 ); ) while (!kbhit ()); closegraph(); )

data = Tabel [ Dengan [( N = 1000 , dt = 0,01 , a = 5 , b = 1 + j , c = 1 ), NestList [ Modul [( x , y , z , x1 , y1 , z1 ), ( x , kamu , z ) = # ; x1 = x + a (- x + y ) dt ; y1 = y + (b x - y - z x ) dt ; z1 = z + (- c z + x y ) dt ; ( x1 , y1 , z1 )] & , ( 3.051522 , 1.582542 , 15.62388 ), N ] ], ( j , 0 , 5 )]; Grafik3D @ MapIndexed [( Hue [ 0.1 Pertama [ # 2 ]], Titik [ # 1 ]) & , data ]

< html > < body > < canvas height = "500" width = "500" id = "cnv" > < script >var cnv = dokumen . getElementById("cnv"); var cx = cnv . getContext("2d"); var x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1; var dt = 0,0001 ; var a = 5, b = 15, c = 1; var h = parseInt (cnv .getAttribute ("tinggi" )); var w = parseInt (cnv .getAttribute ("lebar" )); var id = cx . createImageData(w, h); var rd = Matematika. bulat ; var idx = 0; saya = 1000000 ; sedangkan (i -- ) ( x1 = x + a * (- x + y ) * dt ; y1 = y + (b * x - y - z * x ) * dt ; z1 = z + (- c * z + x * y ) * dt ; x = x1 ; y = y1 ; z = z1 ; idx = 4 * (rd (19.3 * (y - x * 0.292893 ) + 320 ) + rd (- 11 * (z + x * 0.292893 ) + 392 ) * w ); id .data [ idx + 3 ] = 255 ; ) cx . putImageData(id, 0, 0);