Topik merupakan turunan dari suatu fungsi. Turunan dari suatu fungsi. Arti praktis dari turunan

Turunan suatu fungsi disebut unsur dasar dalam kalkulus diferensial. Elemen ini merupakan hasil spesifik dari penerapan beberapa operasi diferensiasi spesifik terhadap fungsi aslinya.

Definisi turunan

Untuk memahami apa itu turunan, perlu Anda ketahui bahwa nama fungsi berasal langsung dari kata “turunan”, yaitu dibentuk dari suatu besaran lain. Pada saat yang sama, proses penentuan turunan dari suatu fungsi tertentu memiliki nama - "diferensiasi".

Metode representasi dan definisi yang paling umum menggunakan teori limit, meskipun faktanya teori tersebut muncul lebih lambat dari kalkulus diferensial. Menurut definisi teori ini, turunan adalah suatu batas perbandingan pertambahan fungsi dengan pertambahan argumen, jika ada batasan tersebut, dengan syarat argumen tersebut cenderung nol.

Contoh kecil di bawah ini akan membantu Anda memahami dengan jelas apa itu turunan.

1. Untuk mencari turunan suatu fungsi f di titik x, kita perlu menentukan nilai fungsi tersebut langsung di titik x, serta di titik x + Δx. Selain itu, Δx adalah pertambahan argumen x.
2. Tentukan kenaikan fungsi y yang sama dengan f(x+Δx) – f(x).
3. Tuliskan turunannya menggunakan limit relasi f’ = lim(f(x+Δх) – f(x))/Δх, hitung pada Δх → 0.

Biasanya turunan dilambangkan dengan apostrof - “'” tepat di atas fungsi yang dibedakan. Notasi yang berbentuk satu apostrof menunjukkan turunan pertama, dan yang berbentuk dua menunjukkan turunan kedua. Turunan orde tertinggi biasanya ditentukan dengan angka yang sesuai, misalnya f^(n) - apa arti turunan orde ke-n, dimana huruf “n” adalah bilangan bulat, yang mana? 0. Turunan orde nol adalah fungsi terdiferensiasi itu sendiri.

Untuk memfasilitasi diferensiasi fungsi yang kompleks, aturan tertentu untuk diferensiasi fungsi dikembangkan dan diadopsi:

• C’ = 0, dimana C adalah sebutan untuk suatu konstanta;
• x' sama dengan 1;
• (f + g)’ sama dengan f’ + g’;
• (C*f)’ sama dengan C*f’ dan seterusnya.
• Untuk diferensiasi N-fold, lebih mudah menggunakan rumus Leibniz dalam bentuk: (f*g) (n) = Σ C(n) k *f (n-k) *g k, dengan C(n) k adalah penunjukan koefisien binomial.

Turunan dan geometri

Pengertian geometri turunan adalah jika suatu fungsi f mempunyai turunan berhingga di titik x, maka nilai turunan tersebut akan sama dengan garis singgung kemiringan garis singgung fungsi f di titik tersebut.

Misalkan suatu fungsi terdefinisi di lingkungan suatu titik, Turunan suatu fungsi di suatu titik disebut limit, jika ada,

Notasi umum untuk turunan suatu fungsi di suatu titik

Tabel derivatif

Arti geometris turunan suatu fungsi di suatu titik.

Pertimbangkan garis potongnya AB grafik fungsi kamu=f(x) sedemikian rupa sehingga poinnya A Dan DI DALAM mempunyai koordinat dan , di mana pertambahan argumennya. Mari kita nyatakan dengan pertambahan fungsi. Mari tandai semua yang ada di gambar:

Dari segitiga siku-siku ABC kita punya . Karena, menurut definisi, garis singgung adalah posisi pembatas suatu garis potong, maka .

Mari kita mengingat kembali definisi turunan suatu fungsi di suatu titik: turunan suatu fungsi kamu=f(x) pada suatu titik disebut limit rasio pertambahan fungsi terhadap pertambahan argumen di , dilambangkan .

Oleh karena itu, , dimana adalah kemiringan garis singgungnya.

Dengan demikian, adanya turunan fungsi tersebut kamu=f(x) pada suatu titik ekuivalen dengan adanya garis singgung grafik fungsi tersebut kamu=f(x) pada titik kontak, dan kemiringan garis singgung sama dengan nilai turunan di titik tersebut, itu adalah .

Kami menyimpulkan: arti geometri turunan suatu fungsi di suatu titik terdiri dari adanya garis singgung grafik fungsi pada titik ini.

20 Diferensiabilitas suatu fungsi pada suatu titik. Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk diferensiasi.

Kenaikan suatu fungsi yang terdiferensiasi pada suatu titik tertentu dapat direpresentasikan sebagai fungsi linier dari kenaikan argumen hingga nilai orde kecil yang lebih tinggi. Ini berarti bahwa untuk lingkungan yang cukup kecil pada suatu titik tertentu, fungsinya dapat digantikan dengan fungsi linier (laju perubahan fungsi dapat dianggap tidak berubah). Bagian linier dari kenaikan suatu fungsi disebut diferensialnya (pada suatu titik tertentu).

Kondisi yang diperlukan namun tidak cukup untuk diferensiasi adalah kontinuitas fungsi. Dalam kasus fungsi satu variabel nyata, diferensiasi setara dengan keberadaan turunan. Dalam kasus fungsi beberapa variabel riil, kondisi yang diperlukan (tetapi tidak cukup) untuk diferensiasi adalah adanya turunan parsial terhadap semua variabel. Agar suatu fungsi dari beberapa variabel dapat terdiferensiasi di suatu titik, turunan parsialnya cukup berada di lingkungan tertentu dari titik yang ditinjau dan kontinu di titik tersebut.

21 Diferensiabilitas suatu fungsi pada suatu titik. Teorema kontinuitas fungsi terdiferensiasi.

Dalil.

Jika suatu fungsi terdiferensialkan pada suatu titik tertentu, maka fungsi tersebut kontinu pada titik tersebut.

Bukti.

Misalkan fungsi y=f(x)y=f(x) terdiferensialkan di titik x0x0, maka kenaikan fungsi tersebut sama dengan Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α( Δx)⋅x.

Karena pertambahan argumen fungsi ΔxΔx cenderung nol, maka pertambahan fungsi ΔyΔy juga cenderung nol, yang berarti kontinuitas fungsi tersebut.

Artinya, pada akhirnya kita mendapatkan bahwa fungsi y=f(x)y=f(x), terdiferensiasi di titik x0x0, juga merupakan fungsi kontinu di titik ini. Q.E.D.

Jadi, kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik tertentu merupakan syarat perlu, tetapi bukan syarat cukup bagi diferensiabilitas suatu fungsi.

Contoh.

Fungsi y=|x|y=|x| pada titik x0x0 merupakan fungsi kontinu, tetapi pada titik ini fungsi tersebut tidak terdiferensiasi.

Memang, kenaikan fungsinya sama dengan:

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.

Dalam hal ini kita mendapatkan:

ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

Limit limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx tidak ada, artinya fungsi y=|x|y=|x| yang kontinu di titik x0x0 tidak terdiferensiasi di titik ini.

22 Diferensial fungsi. Arti geometris dari diferensial.

Diferensial suatu fungsi pada suatu titik X disebut bagian utama dan linier dari kenaikan fungsi.

Diferensial fungsi kamu = f(X) sama dengan hasil kali turunannya dan selisih variabel bebas X(argumen).

Ada tertulis seperti ini:

Arti geometris dari diferensial. Diferensial fungsi kamu = f(X) sama dengan pertambahan ordinat garis singgung S yang ditarik ke grafik fungsi ini di titik M( X; kamu), ketika berubah X(argumen) dengan nilai (lihat gambar)..

23 Aturan diferensiasi jumlah dan hasil kali.

Untuk membuktikan aturan diferensiasi kedua, kita menggunakan definisi turunan dan sifat limit suatu fungsi kontinu.

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa turunan dari jumlah (selisih) N fungsi sama dengan jumlah (selisih) N turunan

Mari kita buktikan aturan diferensiasi hasil kali dua fungsi.

Mari kita tuliskan limit rasio pertambahan suatu produk fungsi dengan pertambahan argumen. Kita akan memperhitungkan bahwa dan (pertambahan fungsi cenderung nol karena pertambahan argumen cenderung nol).

Q.E.D.

24 Invarian bentuk 1 diferensial.

Invarian bentuk diferensial pertama

Jika X adalah variabel independen, maka dx = X - X 0 (kenaikan tetap). Dalam hal ini kita punya

df(X 0) = F"(X 0)dx. (3)

Jika X = φ (T) adalah fungsi terdiferensiasi dx = φ" (T 0)dt. Karena itu,

artinya, diferensial pertama mempunyai sifat invarian di bawah perubahan argumen.

25 Teorema Rolle.

teorema Rolle (teorema turunan nol) Menyatakan bahwa

Bukti

Jika fungsi pada interval tersebut konstan, maka pernyataannya jelas, karena turunan fungsi tersebut sama dengan nol di setiap titik dalam interval tersebut.

Jika tidak, karena nilai fungsi pada titik-titik batas ruas tersebut sama, maka menurut teorema Weierstrass, ia mengambil nilai terbesar atau minimumnya pada suatu titik dalam interval, yaitu mempunyai ekstrem lokal di pada titik ini, dan menurut Lemma Fermat, pada titik ini turunannya sama dengan 0.

Arti geometris

Teorema tersebut menyatakan bahwa jika ordinat kedua ujung kurva mulus adalah sama, maka pada kurva tersebut terdapat titik yang garis singgung kurva tersebut sejajar dengan sumbu x.

26 Teorema Lagrange dan konsekuensinya.

Rumus Kenaikan Hingga atau Teorema nilai rata-rata Lagrange menyatakan bahwa jika suatu fungsi kontinu pada suatu interval dan terdiferensiasi dalam interval tersebut, maka terdapat titik sedemikian rupa

.

Secara geometris hal ini dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: terdapat suatu titik pada ruas yang garis singgungnya sejajar dengan tali busur yang melalui titik-titik pada grafik yang bersesuaian dengan ujung-ujung ruas tersebut.

Interpretasi mekanis: Misalkan jarak titik saat ini dari posisi awal. Lalu ada lintasan yang ditempuh dari waktu ke waktu, rasionya adalah kecepatan rata-rata selama periode tersebut. Artinya jika kecepatan suatu benda ditentukan pada suatu saat, maka pada suatu saat akan sama dengan nilai rata-ratanya dalam luas tersebut.

Bukti

Untuk fungsi variabel tunggal:

Mari kita perkenalkan fungsinya. Kondisi teorema Rolle terpenuhi: di ujung segmen, nilainya sama dengan nol. Dengan menggunakan teorema yang disebutkan di atas, kita menemukan bahwa ada suatu titik di mana turunan fungsinya sama dengan nol:

Q.E.D.

Akibat wajar dan generalisasi

Teorema pertambahan hingga Lagrange adalah salah satu teorema nodal terpenting dalam keseluruhan sistem kalkulus diferensial. Ia memiliki banyak penerapan dalam matematika komputasi, dan teorema terpenting dalam analisis matematika juga merupakan konsekuensinya.

Akibat wajar 1. Suatu fungsi yang terdiferensiasi pada suatu interval yang turunannya sama dengan nol adalah suatu konstanta.

Bukti. Untuk siapa pun dan ada gunanya seperti itu.

Artinya kesetaraan berlaku bagi semua orang.

Akibat wajar 2 (Rumus Taylor dengan sisa suku dalam bentuk Lagrange). Jika suatu fungsi terdiferensiasi satu kali di lingkungan suatu titik, maka untuk fungsi yang kecil (yaitu fungsi yang segmennya terletak di lingkungan tersebut) rumus Taylor berlaku:

dimana adalah bilangan dari interval tersebut.

Akibat wajar 3. Jika suatu fungsi variabel terdiferensiasi dua kali di lingkungan titik O dan semua turunan campuran keduanya kontinu di titik O, maka persamaan berikut berlaku di titik ini:

Bukti untuk. Mari kita perbaiki nilainya dan pertimbangkan operator perbedaannya

Menurut teorema Lagrange, ada bilangan , seperti yang

di karena kontinuitas turunan kedua dari fungsi tersebut.

Demikian pula terbukti .

Namun karena , (yang diverifikasi secara langsung), batas-batas ini bertepatan.

Akibat wajar 4 (rumus Newton-Leibniz). Jika suatu fungsi terdiferensialkan pada suatu interval dan turunannya merupakan integral Riemann pada interval tersebut, maka rumusnya valid: .

Bukti. Biarkan menjadi partisi segmen yang berubah-ubah. Menerapkan teorema Lagrange, pada setiap segmen kita menemukan titik sedemikian rupa sehingga .

Menjumlahkan persamaan ini, kita mendapatkan:

Di sebelah kiri adalah jumlah integral Riemann untuk integral dan partisi bertanda tertentu. Melewati batas diameter partisi, kita memperoleh rumus Newton-Leibniz.

Akibat wajar 5 (Teorema memperkirakan kenaikan terbatas). Biarkan pemetaan dapat terdiferensiasi secara kontinyu dalam wilayah ruang yang cembung dan padat. Kemudian .

27 Teorema Kasha.

Teorema nilai rata-rata Cauchy.

Misalkan dua fungsi diberikan sedemikian rupa sehingga: 1. dan terdefinisi dan kontinu pada segmen tersebut ; 2. turunan dan berhingga pada intervalnya; 3. turunan dan tidak hilang secara bersamaan pada interval 4. ; maka ada hal-hal berikut ini yang benar: . (Jika kita menghilangkan kondisi 4, maka perlu, misalnya, untuk memperkuat kondisi 3: g"(x) tidak boleh hilang di mana pun dalam interval tersebut.)

Secara geometris, hal ini dapat dirumuskan ulang sebagai berikut: jika hukum gerak pada bidang ditentukan (yaitu absis dan ordinat ditentukan melalui parameter ), maka pada setiap segmen kurva tersebut, ditentukan oleh parameter dan , disana adalah vektor singgung yang segaris dengan vektor perpindahan dari ke .

Isi artikel

TURUNAN– turunan dari fungsi tersebut kamu = F(X), diberikan pada selang waktu tertentu ( A, B) pada titik X interval ini disebut batas di mana rasio kenaikan fungsi cenderung F pada titik ini ke kenaikan argumen yang sesuai ketika kenaikan argumen cenderung nol.

Turunannya biasanya dilambangkan sebagai berikut:

Sebutan lain juga banyak digunakan:

Kecepatan instan.

Biarkan intinya M bergerak dalam garis lurus. Jarak S titik bergerak, dihitung dari suatu posisi awal M 0 , tergantung waktu T, yaitu. S ada fungsi waktu T: S= F(T). Biarkan suatu saat nanti T titik bergerak M berada di kejauhan S dari posisi awal M 0, dan pada saat berikutnya T+D T menemukan dirinya dalam posisi M 1 - pada jarak S+D S dari posisi awal ( lihat gambar.).

Jadi, dalam kurun waktu tertentu D T jarak S diubah sebesar D S. Dalam hal ini mereka mengatakan bahwa selama selang waktu D T besarnya S menerima kenaikan D S.

Kecepatan rata-rata dalam semua kasus tidak dapat secara akurat mencirikan kecepatan pergerakan suatu titik M pada suatu saat T. Jika, misalnya, benda berada di awal interval D T bergerak sangat cepat, dan pada akhirnya sangat lambat, maka kecepatan rata-rata tidak akan mampu mencerminkan ciri-ciri pergerakan suatu titik dan memberikan gambaran tentang kecepatan sebenarnya dari pergerakannya saat ini. T. Untuk menyatakan kecepatan sebenarnya dengan lebih akurat menggunakan kecepatan rata-rata, Anda perlu mengambil periode waktu yang lebih singkat D T. Paling lengkap mencirikan kecepatan pergerakan suatu titik saat ini T batas kecenderungan kecepatan rata-rata pada D T® 0. Batasan ini disebut kecepatan arus:

Jadi, kecepatan gerak pada suatu momen tertentu disebut batas rasio pertambahan lintasan D S untuk menambah waktu D T, ketika pertambahan waktu cenderung nol. Karena

Arti geometris dari turunan. Bersinggungan dengan grafik suatu fungsi.

Konstruksi garis singgung merupakan salah satu permasalahan yang menyebabkan lahirnya kalkulus diferensial. Karya terbitan pertama terkait kalkulus diferensial, yang ditulis oleh Leibniz, diberi judul Metode baru maxima dan minima, serta garis singgung, yang tidak menjadi hambatan bagi besaran pecahan maupun irasional, dan jenis kalkulus khusus untuk ini.

Biarkan kurva menjadi grafik fungsi kamu =F(X) dalam sistem koordinat persegi panjang ( cm. beras.).

Pada nilai tertentu X fungsi penting kamu =F(X). Nilai-nilai ini X Dan kamu titik pada kurva tersebut bersesuaian M 0(X, kamu). Jika argumennya X memberi peningkatan D X, maka nilai argumen yang baru X+D X sesuai dengan nilai fungsi baru kamu+ D kamu = F(X + D X). Titik yang sesuai pada kurva akan menjadi titiknya M 1(X+D X,kamu+D kamu). Jika Anda menggambar garis potong M 0M 1 dan dilambangkan dengan j sudut yang dibentuk oleh garis transversal dengan arah sumbu positif Sapi, langsung terlihat jelas dari gambar itu.

Kalau sekarang D X cenderung nol, maka intinya M 1 bergerak sepanjang kurva, mendekati suatu titik M 0, dan sudut J berubah dengan D X. Pada Dx® 0 sudut j cenderung pada batas tertentu a dan garis lurus melalui titik tersebut M 0 dan komponen dengan arah sumbu x positif, sudut a, akan menjadi garis singgung yang diinginkan. Kemiringannya adalah:

Karena itu, F´( X) = tidak

itu. nilai turunan F´( X) untuk nilai argumen tertentu X sama dengan garis singgung sudut yang dibentuk oleh garis singgung grafik fungsi tersebut F(X) pada titik yang sesuai M 0(X,kamu) dengan arah sumbu positif Sapi.

Diferensiabilitas fungsi.

Definisi. Jika fungsinya kamu = F(X) mempunyai turunan pada titik tersebut X = X 0, maka fungsinya terdiferensiasi pada titik ini.

Kontinuitas suatu fungsi yang mempunyai turunan. Dalil.

Jika fungsinya kamu = F(X) dapat terdiferensiasi pada titik tertentu X = X 0, maka kontinu pada titik ini.

Jadi, fungsi tersebut tidak dapat mempunyai turunan pada titik diskontinuitas. Kesimpulan sebaliknya salah, yaitu. dari kenyataan bahwa pada suatu saat X = X 0 fungsi kamu = F(X) kontinu bukan berarti dapat terdiferensiasi pada saat ini. Misalnya saja fungsinya kamu = |X| berkelanjutan untuk semua orang X(–Ґ x x = 0 tidak mempunyai turunan. Pada titik ini tidak ada garis singgung pada grafik. Ada garis singgung kanan dan kiri, tetapi tidak berhimpitan.

Beberapa teorema tentang fungsi terdiferensiasi. Teorema akar-akar turunan (teorema Rolle). Jika fungsinya F(X) kontinu pada segmen tersebut [A,B], terdiferensiasi di semua titik dalam segmen ini dan di ujungnya X = A Dan X = B menjadi nol ( F(A) = F(B) = 0), lalu di dalam segmen [ A,B] setidaknya ada satu poin X= Dengan, A c b, yang merupakan turunannya Fў( X) menjadi nol, mis. Fў( C) = 0.

Teorema pertambahan hingga (teorema Lagrange). Jika fungsinya F(X) kontinu pada interval [ A, B] dan terdiferensiasi di semua titik dalam segmen ini, kemudian di dalam segmen [ A, B] setidaknya ada satu poin Dengan, A cb itu

F(B) – F(A) = Fў( C)(B– A).

Teorema perbandingan pertambahan dua fungsi (teorema Cauchy). Jika F(X) Dan G(X) – dua fungsi kontinu pada segmen tersebut [A, B] dan terdiferensiasi di semua titik interior segmen ini, dan Gў( X) tidak hilang dimanapun di dalam segmen ini, lalu di dalam segmen [ A, B] ada benarnya X = Dengan, A cb itu

Turunan dari berbagai ordo.

Biarkan fungsinya kamu =F(X) terdiferensiasi pada interval tertentu [ A, B]. Nilai turunan F ў( X), secara umum, bergantung pada X, yaitu. turunan F ў( X) juga merupakan fungsi dari X. Saat mendiferensiasikan fungsi ini, kita memperoleh apa yang disebut turunan kedua dari fungsi tersebut F(X), yang dilambangkan F ўў ( X).

Turunan N- urutan fungsi F(X) disebut turunan (orde pertama) dari turunan tersebut N- 1- th dan dilambangkan dengan simbol kamu(N) = (kamu(N– 1))ў.

Diferensiasi berbagai ordo.

Diferensial fungsi kamu = F(X), Di mana X– variabel independen, ya mati = F ў( X)dx, beberapa fungsi dari X, tapi dari X hanya faktor pertama yang dapat bergantung F ў( X), faktor kedua ( dx) adalah pertambahan variabel bebas X dan tidak bergantung pada nilai variabel ini. Karena mati ada fungsi dari X, maka kita dapat menentukan diferensial dari fungsi tersebut. Diferensial dari diferensial suatu fungsi disebut diferensial kedua atau diferensial orde kedua dari fungsi ini dan dilambangkan D 2kamu:

D(dx) = D 2kamu = F ўў( X)(dx) 2 .

Diferensial N- orde pertama disebut diferensial pertama dari diferensial tersebut N- 1- urutan ke-:

d n y = D(d n–1kamu) = F(N)(X)dx(N).

Turunan parsial.

Jika suatu fungsi tidak bergantung pada satu, tetapi pada beberapa argumen x saya(Saya bervariasi dari 1 hingga N,Saya= 1, 2,… N),F(X 1,X 2,… xn), kemudian dalam kalkulus diferensial diperkenalkan konsep turunan parsial, yang mencirikan laju perubahan suatu fungsi beberapa variabel ketika hanya satu argumen yang berubah, misalnya, x saya. Turunan parsial orde pertama terhadap x saya didefinisikan sebagai turunan biasa, dan diasumsikan bahwa semua argumen kecuali x saya, pertahankan nilai konstan. Untuk turunan parsial, notasi diperkenalkan

Turunan parsial orde pertama yang didefinisikan dengan cara ini (sebagai fungsi dari argumen yang sama), pada gilirannya, juga dapat memiliki turunan parsial, yaitu turunan parsial orde kedua, dan seterusnya. Turunan yang diambil dari argumen berbeda disebut campuran. Turunan campuran kontinu berorde sama tidak bergantung pada orde diferensiasi dan setara satu sama lain.

Anna Chugainova

Biarkan fungsi tersebut terdefinisi pada suatu titik dan beberapa lingkungannya. Mari kita beri argumen kenaikan sedemikian rupa sehingga titik tersebut berada dalam domain definisi fungsi. Fungsinya kemudian akan bertambah.

DEFINISI. Turunan suatu fungsi pada suatu titik disebut limit rasio kenaikan fungsi pada titik ini dengan kenaikan argumen, di (jika limit ini ada dan berhingga), yaitu.

Dilambangkan: ,,,.

Turunan suatu fungsi di suatu titik di sebelah kanan (kiri) ditelepon

(jika batas ini ada dan terbatas).

Ditunjuk oleh: , – turunan di titik sebelah kanan,

, adalah turunan di titik sebelah kiri.

Jelaslah, teorema berikut ini benar.

DALIL. Suatu fungsi mempunyai turunan di suatu titik jika dan hanya jika pada titik tersebut turunan fungsi di kanan dan kiri ada dan sama besar. Lebih-lebih lagi

Teorema berikut menetapkan hubungan antara keberadaan turunan suatu fungsi di suatu titik dan kontinuitas fungsi di titik tersebut.

TEOREMA (kondisi yang diperlukan bagi adanya turunan suatu fungsi di suatu titik). Jika suatu fungsi mempunyai turunan di suatu titik, maka fungsi tersebut kontinu.

BUKTI

Biarkan itu ada. Kemudian

,

di mana sangat kecil.

Komentar

turunan suatu fungsi dan menunjukkan

diferensiasi fungsi .

MAKNA GEOMETRIS DAN FISIK

1) Arti fisis dari turunan. Jika suatu fungsi dan argumennya adalah besaran fisis, maka turunannya adalah laju perubahan suatu variabel terhadap variabel tersebut di suatu titik. Misalnya, jika jarak yang ditempuh suatu titik waktu, maka turunannya adalah kecepatan pada saat itu. Jika adalah banyaknya listrik yang mengalir melalui penampang konduktor pada suatu waktu tertentu, maka adalah laju perubahan jumlah listrik tersebut pada suatu waktu tertentu, yaitu. kekuatan saat ini pada suatu saat.

2) Arti geometris dari turunan.

Biarlah suatu kurva, jadilah titik pada kurva tersebut.

Setiap garis lurus yang memotong paling sedikit dua titik disebut garis potong .

Bersinggungan dengan kurva di suatu titik disebut posisi batas suatu garis potong jika titiknya cenderung bergerak sepanjang suatu kurva.

Dari definisi tersebut jelas bahwa jika suatu titik mempunyai garis singgung terhadap suatu kurva, maka titik tersebut adalah satu-satunya

Pertimbangkan sebuah kurva (yaitu grafik suatu fungsi). Misalkan suatu titik mempunyai garis singgung nonvertikal. Persamaannya: (persamaan garis lurus yang melalui suatu titik dan mempunyai koefisien sudut).

Menurut definisi kemiringan

dimana adalah sudut kemiringan garis lurus terhadap sumbu.

Misalkan adalah sudut kemiringan garis potong terhadap sumbu, dimana. Karena merupakan garis singgung, maka kapan

Karena itu,

Jadi, kami mendapatkannya – koefisien sudut garis singgung grafik fungsi di titik tersebut(arti geometri turunan suatu fungsi di suatu titik). Oleh karena itu, persamaan garis singgung kurva di suatu titik dapat dituliskan dalam bentuk

Komentar . Garis lurus yang melalui suatu titik yang tegak lurus garis singgung yang ditarik kurva di titik tersebut disebut normal terhadap kurva di titik tersebut . Karena koefisien sudut garis lurus yang tegak lurus dihubungkan oleh relasi, maka persamaan garis normal terhadap kurva di suatu titik akan berbentuk

, Jika .

Jika , maka garis singgung kurva di titik tersebut akan berbentuk

dan biasa saja.

PERSAMAAN SINGKAT DAN NORMAL

Persamaan tangen

Biarkan fungsinya diberikan oleh persamaan kamu=F(X), Anda perlu menulis persamaannya garis singgung pada intinya X 0. Dari definisi turunan:

kamu/(X)=limΔ X→0Δ kamuΔ X

Δ kamu=F(X+Δ X)−F(X).

Persamaannya garis singgung ke grafik fungsi: kamu=kx+B (k,B=konstanta). Dari arti geometris turunannya: F/(X 0)=tgα= k Karena X 0 dan F(X 0)∈ garis lurus, maka persamaannya garis singgung ditulis sebagai: kamu−F(X 0)=F/(X 0)(X−X 0) , atau

kamu=F/(X 0)· X+F(X 0)−F/(X 0)· X 0.

Persamaan biasa

Normal- tegak lurus terhadap garis singgung(Lihat gambar). Berdasarkan ini:

tgβ= tg(2π−α)= ctg=1 tg=1 F/(X 0)

Karena sudut kemiringan garis normal adalah sudut β1, maka didapat:

tgβ1= tg(π−β)=− tg=−1 F/(X).

Dot ( X 0,F(X 0))∈ normal, persamaannya berbentuk:

kamu−F(X 0)=−1F/(X 0)(X−X 0).

BUKTI

Biarkan itu ada. Kemudian

,

di mana sangat kecil.

Namun ini berarti kontinu pada suatu titik (lihat definisi geometri kontinuitas). ∎

Komentar . Kontinuitas suatu fungsi di suatu titik bukanlah syarat yang cukup bagi adanya turunan fungsi tersebut di suatu titik. Misalnya suatu fungsi kontinu, tetapi tidak mempunyai turunan di suatu titik. Benar-benar,

dan karena itu tidak ada.

Jelasnya, korespondensi adalah fungsi yang didefinisikan pada suatu himpunan. Mereka memanggilnya turunan suatu fungsi dan menunjukkan

Operasi mencari suatu fungsi disebut fungsi turunannya diferensiasi fungsi .

Turunan dari jumlah dan selisih

Misalkan fungsi f(x) dan g(x) diberikan yang turunannya diketahui oleh kita. Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi dasar yang dibahas di atas. Kemudian Anda dapat mencari turunan dari jumlah dan selisih fungsi berikut:

(f + g)' = f ' + g '

(f − g)’ = f ’ − g ’

Jadi, turunan jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Mungkin ada lebih banyak istilah. Misalnya, (f + g + h)' = f' + g' + h'.

Sebenarnya, tidak ada konsep “pengurangan” dalam aljabar. Ada konsep “elemen negatif”. Oleh karena itu, selisih f − g dapat ditulis ulang sebagai jumlah f + (−1) g, dan hanya tersisa satu rumus - turunan dari jumlah tersebut.

Jika mengikuti definisi tersebut, maka turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi tersebut Δ kamu dengan kenaikan argumen Δ X:

Segalanya tampak jelas. Tapi coba gunakan rumus ini untuk menghitung, katakanlah, turunan suatu fungsi F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X dosa X. Jika Anda melakukan semuanya sesuai definisi, maka setelah beberapa halaman perhitungan Anda akan tertidur. Oleh karena itu, ada cara yang lebih sederhana dan efektif.

Pertama-tama, kita perhatikan bahwa dari seluruh ragam fungsi kita dapat membedakan apa yang disebut fungsi dasar. Ini adalah ekspresi yang relatif sederhana, yang turunannya telah lama dihitung dan ditabulasikan. Fungsi seperti itu cukup mudah diingat - beserta turunannya.

Turunan dari fungsi dasar

Semua fungsi dasar tercantum di bawah ini. Turunan dari fungsi-fungsi tersebut harus dihafal. Selain itu, menghafalnya sama sekali tidak sulit - itulah mengapa mereka bersifat dasar.

Jadi, turunan dari fungsi dasar:

Jika suatu fungsi dasar dikalikan dengan konstanta sembarang, maka turunan dari fungsi baru tersebut juga mudah dihitung:

(C · F)’ = C · F ’.

Secara umum, konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Misalnya:

(2X 3)' = 2 · ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Jelasnya, fungsi-fungsi dasar dapat dijumlahkan, dikalikan, dibagi - dan masih banyak lagi. Dengan demikian akan muncul fungsi-fungsi baru, tidak lagi bersifat dasar, tetapi juga dibedakan menurut aturan-aturan tertentu. Aturan-aturan ini dibahas di bawah ini.

Turunan dari jumlah dan selisih

Biarkan fungsinya diberikan F(X) Dan G(X), yang turunannya kita ketahui. Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi dasar yang dibahas di atas. Kemudian Anda dapat mencari turunan dari jumlah dan selisih fungsi berikut:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Jadi, turunan jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Mungkin ada lebih banyak istilah. Misalnya, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Sebenarnya, tidak ada konsep “pengurangan” dalam aljabar. Ada konsep “elemen negatif”. Oleh karena itu perbedaannya F − G dapat ditulis ulang sebagai jumlah F+ (−1) G, dan hanya satu rumus yang tersisa - turunan dari jumlah tersebut.

F(X) = X 2 + dosa x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Fungsi F(X) adalah jumlah dari dua fungsi dasar, oleh karena itu:

F ’(X) = (X 2 + dosa X)’ = (X 2)' + (dosa X)’ = 2X+ karena x;

Kami beralasan serupa untuk fungsinya G(X). Hanya saja sudah ada tiga suku (dari sudut pandang aljabar):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Menjawab:
F ’(X) = 2X+ karena x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Turunan dari produk

Matematika merupakan ilmu logika, sehingga banyak orang yang meyakini bahwa jika turunan suatu penjumlahan sama dengan jumlah turunannya, maka turunan dari hasil perkaliannya memukul">sama dengan hasil kali turunan. Tapi persetan! Turunan suatu hasil kali dihitung menggunakan rumus yang sama sekali berbeda. Yaitu:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Rumusnya sederhana, namun sering dilupakan. Dan tidak hanya anak sekolah, tapi juga pelajar. Hasilnya adalah masalah yang diselesaikan secara tidak benar.

Tugas. Temukan turunan fungsi: F(X) = X 3 karena x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Fungsi F(X) adalah produk dari dua fungsi dasar, jadi semuanya sederhana:

F ’(X) = (X 3 karena X)’ = (X 3)' karena X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 karena X + X 3 (− dosa X) = X 2 (3ko X − X dosa X)

Fungsi G(X) pengali pertama sedikit lebih rumit, tetapi skema umumnya tidak berubah. Jelasnya, faktor pertama adalah fungsinya G(X) adalah polinomial dan turunannya merupakan turunan dari jumlah tersebut. Kita punya:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Menjawab:
F ’(X) = X 2 (3ko X − X dosa X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Perlu diketahui bahwa pada langkah terakhir turunannya difaktorkan. Secara formal, hal ini tidak perlu dilakukan, tetapi sebagian besar turunan tidak dihitung sendiri, melainkan untuk menguji fungsinya. Artinya, selanjutnya turunannya akan disamakan dengan nol, ditentukan tanda-tandanya, dan seterusnya. Untuk kasus seperti ini, lebih baik ekspresi difaktorkan.

Jika ada dua fungsi F(X) Dan G(X), Dan G(X) ≠ 0 pada himpunan yang kita minati, kita dapat mendefinisikan fungsi baru H(X) = F(X)/G(X). Untuk fungsi seperti itu, Anda juga dapat mencari turunannya:

Tidak lemah, ya? Minusnya dari mana? Mengapa G 2? Dan seperti ini! Ini adalah salah satu formula yang paling rumit - Anda tidak dapat mengetahuinya tanpa botol. Oleh karena itu, lebih baik mempelajarinya dengan contoh-contoh spesifik.

Tugas. Temukan turunan fungsi:

Pembilang dan penyebut setiap pecahan mengandung fungsi dasar, jadi yang kita perlukan hanyalah rumus turunan dari hasil bagi:

Menurut tradisi, mari kita memfaktorkan pembilangnya - ini akan sangat menyederhanakan jawabannya:

Fungsi kompleks belum tentu merupakan rumus yang panjangnya setengah kilometer. Misalnya saja mengambil fungsinya saja F(X) = dosa X dan ganti variabelnya X, katakanlah, aktif X 2 + ln X. Ini akan berhasil F(X) = dosa ( X 2 + ln X) - ini adalah fungsi yang kompleks. Ia juga memiliki turunannya, tetapi tidak mungkin menemukannya menggunakan aturan yang dibahas di atas.

Apa yang harus saya lakukan? Dalam kasus seperti itu, mengganti variabel dan rumus dengan turunan fungsi kompleks akan membantu:

F ’(X) = F ’(T) · T', Jika X digantikan oleh T(X).

Biasanya, situasi pemahaman rumus ini bahkan lebih menyedihkan dibandingkan dengan turunan hasil bagi. Oleh karena itu, ada baiknya juga menjelaskannya dengan menggunakan contoh spesifik, dengan penjelasan rinci setiap langkahnya.

Tugas. Temukan turunan fungsi: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = dosa ( X 2 + ln X)

Perhatikan bahwa jika dalam fungsinya F(X) alih-alih ekspresi 2 X+3 akan mudah X, maka kita mendapatkan fungsi dasar F(X) = e X. Oleh karena itu, kami melakukan penggantian: misalkan 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Kita mencari turunan fungsi kompleks menggunakan rumus:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Dan sekarang - perhatian! Kami melakukan penggantian terbalik: T = 2X+ 3. Kita mendapatkan:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Sekarang mari kita lihat fungsinya G(X). Jelas itu perlu diganti X 2 + ln X = T. Kita punya:

G ’(X) = G ’(T) · T’ = (dosa T)’ · T' = karena T · T ’

Penggantian terbalik: T = X 2 + ln X. Kemudian:

G ’(X) = karena ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Itu saja! Seperti dapat dilihat dari ekspresi terakhir, seluruh masalah direduksi menjadi menghitung jumlah turunan.

Menjawab:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) karena ( X 2 + ln X).

Seringkali dalam pelajaran saya, alih-alih menggunakan istilah “turunan”, saya menggunakan kata “prima”. Misalnya, pukulan dari penjumlahan sama dengan jumlah pukulan. Apakah itu lebih jelas? Itu bagus.

Jadi, penghitungan turunannya dilakukan untuk menghilangkan goresan yang sama sesuai dengan aturan yang dibahas di atas. Sebagai contoh terakhir, mari kita kembali ke pangkat turunan dengan eksponen rasional:

(X N)’ = N · X N − 1

Hanya sedikit orang yang mengetahui peran itu N mungkin merupakan bilangan pecahan. Misalnya, akarnya adalah X 0,5. Bagaimana jika ada sesuatu yang mewah di bawah akarnya? Sekali lagi, hasilnya akan menjadi fungsi yang kompleks - mereka suka memberikan konstruksi seperti itu dalam ujian dan ujian.

Tugas. Temukan turunan dari fungsi tersebut:

Pertama, mari kita tulis ulang akar sebagai pangkat dengan eksponen rasional:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Sekarang kita buat penggantinya: biarkan X 2 + 8X − 7 = T. Kami menemukan turunannya menggunakan rumus:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' · T' = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Mari lakukan penggantian terbalik: T = X 2 + 8X− 7. Kita mempunyai:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Terakhir, kembali ke akar: