Jumlah angka negatif di Excel. Perkalian bilangan negatif dengan konjugasinya

Bilangan negatif dan imajiner

Sekarang kita berani beralih ke aljabar. Penggunaan bilangan negatif dan bilangan imajiner dalam aljabar menegaskan sifat analisis empat bagian dan memberikan peluang tambahan untuk menggunakan analisis tiga bagian. Dalam hal ini, kita harus kembali mengingatkan bahwa kita bermaksud menggunakan konsep aljabar untuk tujuan yang jauh melampaui penerapan normal konsep-konsep ini, karena beberapa penemuan aljabar memberikan kontribusi yang signifikan terhadap penelitian kita.

Evolusi matematika berjalan pesat setelah ditemukannya kemungkinan penggunaan bilangan negatif ( besaran negatif). Jika kita membayangkan bilangan positif sebagai suatu rangkaian di sebelah kanan nol, maka di sebelah kiri nol akan ada bilangan negatif.
dst... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3... dst.

Dengan menggunakan grafik ini, kita dapat menganggap penjumlahan bergerak ke kanan dan pengurangan bergerak ke kiri. Menjadi mungkin untuk mengurangkan bilangan yang lebih besar dari bilangan yang lebih kecil; misalnya, jika kita mengurangkan 3 dari 1, kita mendapatkan -2, yang merupakan bilangan real (walaupun negatif).

Konsep penting berikutnya adalah bilangan imajiner. Mereka tidak ditemukan, melainkan ditemukan secara kebetulan. Para ahli matematika sampai pada kesimpulan bahwa bilangan mempunyai akar, yaitu bilangan yang jika dikalikan sendiri akan menghasilkan bilangan yang diinginkan. Penemuan bilangan negatif dan perbandingannya dengan akar menimbulkan kepanikan di kalangan ilmiah. Berapakah bilangan yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan -1? Untuk beberapa waktu tidak ada jawaban. Akar kuadrat dari bilangan negatif tidak mungkin dihitung. Itu sebabnya mereka menyebutnya khayalan. Namun ketika Gauss, yang dijuluki “Pangeran Matematikawan”, menemukan metode untuk merepresentasikan bilangan imajiner, metode tersebut segera dapat digunakan. Saat ini mereka digunakan setara dengan bilangan real. Metode merepresentasikan bilangan imajiner menggunakan diagram Argand, yang menyatakan keseluruhan sebagai lingkaran, dan akar-akar keseluruhan sebagai bagian dari lingkaran.

Ingatlah bahwa rangkaian bilangan negatif dan positif menyimpang ke arah yang berlawanan dari satu titik - nol. Jadi, akar kuadrat dari bilangan bulat, +1 atau -1, juga dapat dinyatakan sebagai ujung-ujung garis yang berlawanan dengan nol di tengahnya. Garis ini juga dapat direpresentasikan sebagai sudut 180 0, atau diameter.

Gauss mengembangkan asumsi awal dan menggambarkan akar kuadrat -1 sebagai setengah jarak antara +1 dan -1, atau sebagai sudut 90 0 antara garis dari -1 ke +1. Oleh karena itu, jika pembagian keseluruhan menjadi plus dan minus adalah diameter, atau 180 0, maka pembagian kedua menyebabkan munculnya sumbu lain, yang membagi diameter ini menjadi dua, yaitu dengan sudut 90 0.

Jadi, kita mendapatkan dua sumbu - sumbu horizontal, yang mewakili bilangan positif dan negatif yang tak terhingga, dan sumbu vertikal, yang mewakili bilangan imajiner positif dan negatif. Hasilnya adalah sebuah sumbu koordinat beraturan, dimana bilangan yang dijelaskan oleh diagram dan sumbu ini merupakan bilangan yang memiliki bagian nyata dan bagian imajiner.

Dengan menggunakan diagram Argand (lingkaran dengan jari-jari bilangan bulat (jari-jari +1) pada sistem koordinat kompleks), kita mencari akar-akar bilangan bulat berikut (akar pangkat tiga, akar pangkat empat, pangkat lima, dsb.) hanya dengan membagi lingkaran menjadi tiga, lima, dst... bagian yang sama. Menemukan akar utuh menjadi proses menuliskan poligon ke dalam lingkaran: segitiga untuk akar pangkat tiga, segi lima untuk akar kelima, dan seterusnya. Akar menjadi titik pada lingkaran; nilainya memiliki bagian nyata dan imajiner, dan masing-masing dihitung sepanjang sumbu koordinat horizontal atau vertikal. Artinya, mereka diukur dalam satuan akar kuadrat dan akar pangkat empat.

Dari penyederhanaan logis yang kuat ini menjadi jelas bahwa analisis merupakan proses yang terdiri dari empat bagian. Situasi apa pun dapat dilihat dari sudut pandang empat faktor atau aspek. Hal ini tidak hanya semakin menegaskan gagasan Aristoteles tentang empat kategori, tetapi juga menjelaskan mengapa persamaan kuadrat (dengan kata lain, "segiempat") begitu populer dalam matematika.

Tetapi kesimpulan tentang sifat analisis sebagai empat bagian pada dasarnya mengandaikan kerjanya dalam dua arah. Analisis ini menunjukkan kelengkapan keempat bagian tersebut dan keterbatasannya. Dan juga fakta bahwa terkadang esensi pengalaman tidak dapat dianalisis.

Berada “di dalam” metode geometris, kami menunjukkan bahwa faktor-faktor non-analitik ini mencakup triplicity, fiveness, dan sevenness. Meskipun kami dapat memberikan gambaran analitisnya, kami tidak dapat mengungkapkan sifat aslinya.

Memangnya kenapa? Jawaban termudah adalah: “Karena ini adalah aturan pengoperasian bilangan negatif.” Aturan yang kita pelajari di sekolah dan terapkan sepanjang hidup kita. Namun, buku pelajaran tidak menjelaskan mengapa peraturan tersebut berlaku demikian. Kami ingat bahwa memang demikian adanya dan kami tidak lagi bertanya-tanya.

Mari kita bertanya pada diri kita sendiri...

Dahulu kala, orang hanya mengetahui bilangan asli: 1, 2, 3, ... Bilangan tersebut digunakan untuk menghitung peralatan, jarahan, musuh, dll. Namun bilangan itu sendiri tidak berguna - Anda harus mampu menanganinya. Penjumlahan jelas dan dapat dimengerti, dan selain itu, penjumlahan dua bilangan asli juga merupakan bilangan asli (seorang ahli matematika akan mengatakan bahwa himpunan bilangan asli ditutup pada operasi penjumlahan). Perkalian pada dasarnya sama dengan penjumlahan jika kita berbicara tentang bilangan asli. Dalam kehidupan, kita sering melakukan tindakan yang berkaitan dengan kedua operasi ini (misalnya, saat berbelanja, kita menjumlahkan dan mengalikan), dan aneh jika kita berpikir bahwa nenek moyang kita lebih jarang menjumpainya - penjumlahan dan perkalian sudah dikuasai umat manusia sejak lama. yang lalu. Seringkali Anda harus membagi beberapa besaran dengan besaran lain, tetapi di sini hasilnya tidak selalu dinyatakan sebagai bilangan asli - begitulah bilangan pecahan muncul.

Tentu saja, pengurangan juga tidak dapat dilakukan. Namun dalam praktiknya, kita biasanya mengurangkan bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang lebih besar, dan tidak perlu menggunakan bilangan negatif. (Jika saya mempunyai 5 permen dan memberikan 3 permen kepada saudara perempuan saya, maka saya akan mempunyai 5 - 3 = 2 permen yang tersisa, namun saya tidak dapat memberikan 7 permen kepadanya meskipun saya ingin.) Hal ini dapat menjelaskan mengapa orang tidak menggunakan bilangan negatif untuk a lama.


Angka negatif telah muncul dalam dokumen India sejak abad ke-7 M; Orang Cina rupanya mulai menggunakannya lebih awal. Mereka digunakan untuk menghitung hutang atau dalam perhitungan perantara untuk menyederhanakan solusi persamaan - mereka hanyalah alat untuk mendapatkan jawaban positif. Fakta bahwa angka negatif, tidak seperti angka positif, tidak menunjukkan keberadaan entitas apa pun menyebabkan ketidakpercayaan yang kuat. Orang benar-benar menghindari angka negatif: jika suatu soal memiliki jawaban negatif, mereka percaya bahwa tidak ada jawaban sama sekali. Ketidakpercayaan ini bertahan untuk waktu yang sangat lama, dan bahkan Descartes, salah satu “pendiri” matematika modern, menyebutnya “salah” (pada abad ke-17!).

Perhatikan misalnya persamaan 7x - 17 = 2x - 2. Penyelesaiannya dapat dilakukan sebagai berikut: pindahkan suku-suku yang tidak diketahui ke ruas kiri, dan sisanya ke kanan, diperoleh 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. Dengan solusi ini, kita bahkan tidak menemukan bilangan negatif.

Namun ada kemungkinan untuk melakukannya secara berbeda secara tidak sengaja: pindahkan suku-suku yang tidak diketahui ke ruas kanan dan dapatkan 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Untuk mencari bilangan yang tidak diketahui, Anda perlu membagi satu bilangan negatif dengan bilangan negatif lainnya: x = (-15)/(-5). Namun jawaban yang benar telah diketahui, dan disimpulkan bahwa (-15)/(-5) = 3.

Apa yang ditunjukkan oleh contoh sederhana ini? Pertama, logika yang menentukan aturan tindakan pada bilangan negatif menjadi jelas: hasil tindakan tersebut harus sesuai dengan jawaban yang diperoleh dengan cara yang berbeda, tanpa bilangan negatif. Kedua, dengan mengizinkan penggunaan bilangan negatif, kita menghilangkan pencarian solusi yang membosankan (jika persamaannya menjadi lebih rumit, dengan jumlah suku yang banyak) di mana semua tindakan hanya dilakukan pada bilangan asli. Selain itu, kita mungkin tidak lagi memikirkan kebermaknaan besaran yang diubah setiap saat - dan ini sudah merupakan langkah menuju transformasi matematika menjadi ilmu abstrak.

Aturan pengoperasian bilangan negatif tidak serta merta dibentuk, tetapi menjadi generalisasi dari berbagai contoh yang muncul dalam penyelesaian masalah terapan. Secara umum perkembangan matematika dapat dibagi menjadi beberapa tahap: setiap tahap berikutnya berbeda dari tahap sebelumnya dalam tingkat abstraksi baru dalam mempelajari objek. Jadi, pada abad ke-19, para ahli matematika menyadari bahwa bilangan bulat dan polinomial, terlepas dari semua perbedaan eksternalnya, memiliki banyak kesamaan: keduanya dapat dijumlahkan, dikurangkan, dan dikalikan. Operasi-operasi ini mematuhi hukum yang sama - baik dalam hal bilangan maupun polinomial. Namun membagi bilangan bulat satu sama lain sehingga hasilnya menjadi bilangan bulat lagi tidak selalu memungkinkan. Sama halnya dengan polinomial.

Kemudian kumpulan objek matematika lain ditemukan di mana operasi serupa dapat dilakukan: deret pangkat formal, fungsi kontinu... Akhirnya, muncul pemahaman bahwa jika Anda mempelajari sifat-sifat operasi itu sendiri, maka hasilnya kemudian dapat diterapkan ke semua kumpulan objek ini (pendekatan ini umum untuk semua matematika modern).

Alhasil, muncullah konsep baru: cincin. Itu hanyalah sekumpulan elemen ditambah tindakan yang dapat dilakukan pada elemen tersebut. Yang mendasar di sini justru adalah aturan-aturan (disebut aksioma) yang menjadi subjek tindakan, dan bukan sifat elemen-elemen himpunan (ini dia, tingkat abstraksi baru!). Ingin menekankan bahwa yang penting adalah struktur yang muncul setelah memperkenalkan aksioma, ahli matematika mengatakan: ring bilangan bulat, ring polinomial, dll. Berdasarkan aksioma, sifat-sifat ring lainnya dapat disimpulkan.

Kita akan merumuskan aksioma-aksioma ring (yang tentunya serupa dengan aturan pengoperasian bilangan bulat), dan kemudian membuktikan bahwa pada ring mana pun, mengalikan minus dengan minus akan menghasilkan plus.

Ring adalah himpunan dengan dua operasi biner (yaitu, setiap operasi melibatkan dua elemen ring), yang secara tradisional disebut penjumlahan dan perkalian, dan aksioma berikut:

Penjumlahan unsur gelanggang mematuhi hukum komutatif (A + B = B + A untuk sembarang unsur A dan B) dan kombinasional (A + (B + C) = (A + B) + C); pada ring terdapat elemen khusus 0 (elemen netral dengan penjumlahan) sehingga A + 0 = A, dan untuk setiap elemen A terdapat elemen yang berlawanan (dilambangkan (-A)) sehingga A + (-A) = 0 ;
-perkalian mematuhi hukum kombinasional: A·(B·C) = (A·B)·C;
penjumlahan dan perkalian dihubungkan dengan aturan tanda kurung buka sebagai berikut: (A + B) C = A C + B C dan A (B + C) = A B + A C.

Perhatikan bahwa gelanggang, dalam konstruksi paling umum, tidak memerlukan komutabilitas perkalian, atau invertibilitasnya (yaitu, pembagian tidak selalu dapat dilakukan), atau keberadaan satuan - elemen netral dalam perkalian. Jika kita memperkenalkan aksioma ini, kita mendapatkan struktur aljabar yang berbeda, tetapi di dalamnya semua teorema yang dibuktikan untuk gelanggang akan benar.

Sekarang mari kita buktikan bahwa untuk sembarang elemen A dan B pada suatu gelanggang sembarang, hal ini benar, pertama, (-A) B = -(A B), dan kedua (-(-A)) = A. Ini dengan mudah mengikuti pernyataan tentang satuan : (-1) 1 = -(1 1) = -1 dan (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Untuk melakukan ini kita perlu menetapkan beberapa fakta. Pertama kita buktikan bahwa setiap unsur hanya mempunyai satu kebalikan. Faktanya, misalkan elemen A mempunyai dua hal yang berlawanan: B dan C. Artinya, A + B = 0 = A + C. Misalkan jumlah A + B + C. Dengan menggunakan hukum asosiatif dan komutatif serta sifat nol, kita diperoleh bahwa, di satu sisi, jumlahnya sama dengan B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, dan di sisi lain, sama dengan C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Jadi B = C.

Perhatikan sekarang bahwa A dan (-(-A)) keduanya berlawanan dari elemen yang sama (-A), jadi keduanya harus sama.

Fakta pertama menjadi seperti ini: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, yaitu (-A) B berlawanan dengan A B, artinya sama - (A·B).

Agar lebih teliti secara matematis, mari kita jelaskan juga mengapa 0·B = 0 untuk setiap elemen B. Memang benar, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Artinya, menambahkan 0·B tidak mengubah jumlahnya. Artinya hasil kali ini sama dengan nol.

Dan fakta bahwa ada tepat satu angka nol di dalam ring (bagaimanapun juga, aksioma mengatakan bahwa elemen seperti itu ada, tetapi tidak ada yang dikatakan tentang keunikannya!), akan kami serahkan kepada pembaca sebagai latihan sederhana.

Evgeniy Epifanov

Angka negatif terletak di sebelah kiri nol. Bagi mereka, seperti halnya bilangan positif, hubungan keteraturan ditentukan, yang memungkinkan seseorang membandingkan satu bilangan bulat dengan bilangan bulat lainnya.

Untuk setiap bilangan asli N hanya ada satu bilangan negatif yang dilambangkan -N, yang melengkapi N ke nol: N + (− N) = 0 . Kedua nomor tersebut dipanggil di depan untuk satu sama lain. Mengurangi Bilangan Bulat A setara dengan menambahkannya dengan kebalikannya: -A.

Sifat-sifat Bilangan Negatif

Bilangan negatif mengikuti aturan yang hampir sama dengan bilangan asli, tetapi mempunyai beberapa ciri khusus.

Sketsa sejarah

literatur

• Vygodsky M.Ya. Buku Pegangan Matematika Dasar. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah. - M.: Pendidikan, 1964. - 376 hal.

Tautan

Yayasan Wikimedia. 2010.

• Bentang alam negatif
• Nol negatif dan positif

Lihat apa itu “Angka negatif” di kamus lain:

Angka negatif- bilangan real kurang dari nol, misalnya 2; 0,5; π, dst. Lihat Nomor... Ensiklopedia Besar Soviet

Angka positif dan negatif- (nilai). Hasil penambahan atau pengurangan berturut-turut tidak bergantung pada urutan pelaksanaan tindakan tersebut. Misalnya. 10 5 + 2 = 10 +2 5. Di sini tidak hanya angka 2 dan 5 yang disusun ulang, tetapi juga tanda di depan angka-angka tersebut. Sepakat... ... Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron

angkanya negatif- Angka-angka dalam akuntansi yang ditulis dengan pensil merah atau tinta merah. Topik: akuntansi... Panduan Penerjemah Teknis

ANGKA NEGATIF- angka-angka dalam akuntansi yang ditulis dengan pensil merah atau tinta merah... Kamus Akuntansi Hebat

Bilangan bulat- Himpunan bilangan bulat didefinisikan sebagai penutupan himpunan bilangan asli terhadap operasi aritmatika penjumlahan (+) dan pengurangan (). Jadi, jumlah, selisih, dan hasil kali dua bilangan bulat juga merupakan bilangan bulat. Terdiri dari... ...Wikipedia

bilangan bulat- bilangan yang muncul secara alami pada saat berhitung (baik dalam arti pencacahan maupun dalam arti kalkulus). Ada dua pendekatan untuk menentukan bilangan asli; bilangan yang digunakan dalam: membuat daftar (penomoran) objek (pertama, kedua, ... ... Wikipedia

ANGKA EULER- koefisien E n dalam pemuaian Rumus berulang untuk E. bilangan mempunyai bentuk (dalam notasi simbolik, (E + 1)n + (E 1)n=0, E0 =1. Dalam hal ini, E 2n+1= 0, E4n positif, E4n+2 bilangan bulat negatif untuk semua n=0, 1, ...; E2= 1, E4=5, E6=61, E8=1385 ... Ensiklopedia Matematika

Angka negatif- Bilangan negatif adalah salah satu elemen dari himpunan bilangan negatif, yang (bersama dengan nol) muncul dalam matematika ketika himpunan bilangan asli diperluas. Tujuan dari ekstensi ini adalah untuk memungkinkan operasi pengurangan dilakukan pada bilangan berapa pun. Akibatnya... ...Wikipedia

Sejarah aritmatika- Aritmatika. Lukisan oleh Pinturicchio. Apartemen Borgia. 1492 1495. Roma, Istana Vatikan ... Wikipedia

Hitung-Hans Sebald Beham. Hitung. Aritmatika abad ke-16 (Yunani kuno ἀ ... Wikipedia

Buku

• Seperangkat tabel. Matematika. tingkat ke 6. 12 tabel + metodologi, . Tabel dicetak pada karton cetak tebal berukuran 680 x 980 mm. Paket tersebut mencakup brosur dengan pedoman pengajaran untuk guru. Album pendidikan sebanyak 12 lembar. Dapat dibagi... Beli seharga RUR 3.063
• Matematika. tingkat ke 6. Buku Kerja. Bilangan positif dan negatif, . Buku kerja untuk kelas 6 merupakan bagian dari bahan ajar matematika untuk sekolah dasar (kelas 5-9), dibuat dalam kerangka proyek “Matematika.Psikologi.Kecerdasan” bersama dengan buku teks, pendidikan…

NAMA LENGKAP. guru: Ivanova Olga Anatolyevna
Barang: Matematika

Kelas: 6 A

Nama Perangkat Pendidikan dan Metodologi (UMK): Matematika. Buku teks untuk kelas 6 / Nikolsky S.M., Potapov M.K.

Topik pelajaran: bilangan bulat negatif

Jenis pelajaran: Pelajaran tentang presentasi awal pengetahuan baru

Tempat pelajaran dalam sistem pelajaran: Pelajaran 1 pada topik “Bilangan Bulat”

Tujuan Pelajaran:

Pendidikan: belajar mencari perbedaan suhu menggunakan pembacaan termometer, mengenal aturan pengurangan bilangan menggunakan rangkaian bilangan bulat;

Pembangunan: mengembangkan pemikiran analitis, menyoroti poin-poin utama dan menggeneralisasi

Pendidikan: menumbuhkan rasa gotong royong dan keterampilan mendengarkan

Tugas didaktik pelajaran: memperkenalkan konsep bilangan negatif, bilangan positif, rangkaian bilangan bulat; mempelajari aturan pengurangan bilangan menggunakan termometer dan deret bilangan bulat

Hasil yang direncanakan

Hasil subjek: mengetahui dan memahami makna konsep : bilangan positif, bilangan negatif , rangkaian bilangan bulat, mampu melakukan pengurangan bilangan dengan menggunakan rangkaian bilangan bulat, menerapkan ilmu yang diperoleh pada pelajaran lain.

Hasil meta-subjek:

Kognitif: kemampuan memahami tugas pendidikan pelajaran, mengidentifikasi dan merumuskan tujuan kognitif, dan membangun rantai penalaran yang logis.

Peraturan: memantau dan mengevaluasi aktivitas Anda sendiri dan aktivitas mitra, merencanakan dan menyesuaikan aktivitas Anda;

Komunikatif: mampu mengungkapkan pikiran secara utuh dan jelas, mendengarkan lawan bicara dan berdialog.

Pribadi: memiliki motivasi untuk kegiatan pendidikan, menerima dan menguasai peran sosial siswa, menggunakan pengetahuan yang diperoleh tentang kerjasama pendidikan dengan orang dewasa dan teman sebaya dalam berbagai situasi.

Konsep dasar: bilangan negatif, bilangan positif, deret bilangan bulat

Koneksi interdisipliner: fisika

Sumber daya:http :// www . uroki . bersih ; http :// www . zavuch . info

Bentuk pekerjaan: percakapan frontal, kerja berpasangan, kerja individu.

Langkah-langkah pelajaran

Kegiatan guru

Kegiatan kemahasiswaan

waktu

Terbentuknya UUD

1.

Tahap organisasi

Salam siswa. Memantau kesiapan pelajaran.

Periksa apakah semuanya baik-baik saja? Buku, pena, dan buku catatan? Bel telah berbunyi: kelas dimulai!

Bekerjalah dengan rajin di kelas, dan kesuksesan menanti Anda!

Mempersiapkan dimulainya pelajaran

Pribadi: memiliki sikap positif terhadap pembelajaran dan aktivitas kognitif, mereka ingin memperoleh pengetahuan dan keterampilan baru, serta meningkatkan yang sudah ada.

Kognitif: memahami tugas pendidikan dan kognitif.

Peraturan: merencanakan, bekerja sama dengan guru dan teman sekelas, tindakan yang diperlukan secara mandiri.

Komunikasi: mendengarkan dan mendengar satu sama lain.

2.

Memperbarui pengetahuan

Teman-teman, keterampilan apa yang paling penting dalam matematika? Mari kita periksa seberapa baik Anda bisa berhitung: mari kita lakukan pemanasan matematika.

Contohnya ditulis di papan tulis, kita menyelesaikannya secara lisan dan menyebutkan jawabannya.

Teman-teman, apa pendapatmu tentang angka-angka yang tertulis pada kolom pertama dan kedua? Apakah mereka?

Operasi matematika apa yang pernah kamu lakukan dengan angka?

Tawarkan opsi jawaban (hitungan)

Pekerjaan lisan dengan contoh di papan tulis.

Jawab pertanyaan (alami, pecahan)

(penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian)

Penilaian aktivitas Anda

Pribadi: menunjukkan minat kognitif yang stabil dalam aritmatika mental.

Kognitif: melakukan tindakan pendidikan dan kognitif dalam bentuk mental; melaksanakan operasi analisis, sintesis, perbandingan, dan kualifikasi untuk memecahkan masalah pendidikan.

Peraturan: menerima dan menyimpan tugas belajar.

Komunikasi: mengungkapkan dan membenarkan sudut pandang mereka.

3.

Penetapan tujuan

Organisasi kerja dengan handout.

Teman-teman, perhatikan lembar tugas 1

Termometer demo menunjukkan solusi untuk masalah tersebut.

Guys, konsep baru apa yang kita temui? Bagaimana cara mencatat pembacaan termometer? Apa arti entri -3? 0 DENGAN.

Dari titik manakah kita mengukur suhu? Apa yang kita sebut suhu di atas 0? Di bawah 0? Peran apa yang dimainkan 0?

Apa topik pelajarannya?

Guru mengoreksi jawaban siswa dan mengumumkan topik pelajaran. Topik pelajaran: bilangan bulat negatif.

Bersama dengan siswa:

merumuskan tujuan kegiatan pendidikan;

membangun proyek (algoritma) untuk memecahkan situasi masalah.

Menyelenggarakan dan melengkapi kegiatan belajar bersama

Baca masalahnya dan tawarkan solusi yang mungkin.

Jawab pertanyaan

Jawaban siswa

Suhu di malam hari -3 0 DENGAN

Beri tanda minus sebelum angka 3.

3 0 Dari embun beku.

Kita hitung dari 0. Plus (positif), minus (negatif). berbatasan

Suhu negatif (angka)

Siswa menuliskan topik tersebut di buku catatannya.

Merumuskan tujuan kegiatan pendidikan dalam dialog dengan guru.

Pribadi: melakukan dialog atas dasar hubungan yang setara dan saling menghormati dan menerima.

Kognitif: mengekstrak informasi yang diperlukan dari penjelasan, pernyataan teman sekelas, mensistematisasikan pengetahuan.

Peraturan: merencanakan tindakan yang diperlukan.

Komunikasi: menyusun pernyataan monolog, melakukan kegiatan bersama.

4

Organisasi kerja dengan buku teks

206 di buku catatan

Periksa jawaban masing-masing

Tugas 2

selesaikan contoh menggunakan termometer:

10 0 C -5 0 =+5 0 DENGAN

15 0 dari -15 0 =+0 0 DENGAN

0 0 dari -10 0 =-10 0 DENGAN

10 0 C – 15 0 C = -5 0 C

15 0 S-20 0 =-5 0 DENGAN

Teman-teman, bayangkan Anda dan saya meletakkan termometer secara horizontal dan mendapatkan entri berikut

Apa yang kita sebut dengan angka yang terletak di sebelah kanan 0? Di sebelah kiri 0?

Sebutkan pengertian bilangan positif dan negatif

Kerjakan pekerjaan itu secara lisan dan di buku catatan.

Tinjauan sejawat

Bekerja berpasangan; memeriksa solusi di papan tulis dengan penjelasan dengan termometer

Evaluasi kinerja

Positif negatif.

Merumuskan definisi

Pribadi: Menyelesaikan masalah yang timbul secara konstruktif.

Kognitif: membaca dan mendengarkan, mengekstraksi informasi yang diperlukan.

Peraturan: mengontrol kegiatan pendidikan, memperhatikan kesalahan yang dilakukan; memahami aturan kontrol dan berhasil menggunakannya dalam menyelesaikan tugas pembelajaran.

Komunikasi: melakukan kegiatan bersama secara berpasangan.

4.

menit pendidikan jasmani

Sekarang bayangkan angka nol adalah tangan anda terlipat di dada, lalu tangan kiri anda akan menunjukkan letak angka yang mana? Benar?

Tunjukkan di mana letak angka 5 relatif terhadap nol? -7? -10? 100? 15? -20?

Ayo lakukan pemanasan

Jawab pertanyaan, tunjukkan letak angkanya

Beristirahatlah dari kegiatan belajar dan lakukan pemanasan.

Pribadi: o kesadaran akan pentingnya kesehatan

Kognitif: membangun hubungan sebab-akibat antara kesehatan dan olahraga Anda.

Peraturan: menilai secara mandiri kebenaran tindakan dan membuat penyesuaian yang diperlukan terhadap pelaksanaan baik pada akhir tindakan maupun selama pelaksanaan.

5.

Persepsi primer dan asimilasi materi

Teman-teman, mari kita kembali ke rekaman.

7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

Apa arti entri ini?

Deret bilangan bulat terdiri dari bilangan apa?

Buku teks akan membantu Anda menemukan jawabannya.

Bagaimana rangkaian bilangan bulat dapat membantu kita dalam mengurangkan bilangan?

Coba gunakan serangkaian bilangan bulat untuk menyelesaikan tugas 3

Melakukan latihan sendiri

Menyelesaikan tugas 3

Mari kita periksa hasil apa yang Anda dapatkan.

Bekerja dengan buku teks, mencari jawaban atas sebuah pertanyaan. (serangkaian bilangan bulat)

Deret bilangan bulat terdiri dari bilangan asli, bilangan bulat negatif, dan nol.

Saat melakukan pengurangan, kita akan bergerak ke kiri sepanjang baris

Menyelesaikan tugas di buku catatan

Verifikasi dengan komentar lisan

Diskusi solusi

Evaluasi kinerja

Pribadi: menunjukkan kebutuhan akan ekspresi diri dan realisasi diri.

Kognitif: mencari informasi yang diperlukan (dari bahan buku teks dan cerita guru, dengan mengingatnya dalam ingatan).

Peraturan: secara mandiri mengontrol dan mengatur waktu yang dialokasikan untuk menyelesaikan tugas tertentu.

Komunikasi: mencerminkan isi tindakan yang dilakukan dalam pidato internal.

6.

Cerminan

Konsep baru apa yang kita pelajari dalam pelajaran hari ini?

Apa yang kita pelajari dalam pelajaran hari ini?

Apa yang paling sulit?

Meringkas pelajaran. Mengevaluasi pekerjaan kelas dan individu siswa.

Memberikan penilaian yang memadai terhadap kegiatan mereka.

Pribadi: memahami pentingnya ilmu bagi seseorang.

Kognitif: memperoleh kemampuan untuk menggunakan pengetahuan dan keterampilan dalam kegiatan praktis dan kehidupan sehari-hari; membangun hubungan antara jumlah pengetahuan, keterampilan, dan kemampuan yang diperoleh dalam pembelajaran dan keterampilan operasional, penelitian, analitis sebagai keterampilan yang terintegrasi dan kompleks.

Peraturan: mengevaluasi pekerjaan mereka; memperbaiki dan menjelaskan kesalahannya.

Komunikasi: merumuskan pemikirannya sendiri, mengungkapkan dan membenarkan sudut pandangnya.

7

Pekerjaan rumah

Memberikan pekerjaan rumah.

425, 426, 434 * masuk

Siswa menuliskan pekerjaan rumah

Saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan, serta soal modul, Anda perlu menempatkan akar-akar yang ditemukan pada garis bilangan. Seperti yang Anda ketahui, akar yang ditemukan mungkin berbeda. Bisa seperti ini: , atau bisa seperti ini: , .

Oleh karena itu, jika bilangan-bilangan tersebut tidak rasional tetapi irasional (jika Anda lupa, lihat topiknya), atau merupakan ekspresi matematika yang kompleks, maka menempatkannya pada garis bilangan akan sangat bermasalah. Selain itu, Anda tidak dapat menggunakan kalkulator selama ujian, dan perhitungan perkiraan tidak memberikan jaminan 100% bahwa satu angka lebih kecil dari angka lainnya (bagaimana jika ada perbedaan antara angka yang dibandingkan?).

Tentu anda tahu bahwa bilangan positif selalu lebih besar dari bilangan negatif, dan jika kita bayangkan sebuah sumbu bilangan, maka jika dibandingkan, bilangan terbesar akan berada di sebelah kanan daripada bilangan terkecil: ; ; dll.

Namun apakah semuanya selalu mudah? Dimana pada garis bilangan tersebut kita tandai, .

Bagaimana cara membandingkannya, misalnya dengan angka? Inilah intinya...)

Pertama, mari kita bicara secara umum tentang bagaimana dan apa yang harus dibandingkan.

Penting: disarankan untuk melakukan transformasi sedemikian rupa sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah! Artinya, selama transformasi, tidak diinginkan untuk mengalikan dengan bilangan negatif, dan itu dilarang persegi jika salah satu bagiannya negatif.

Perbandingan pecahan

Jadi, kita perlu membandingkan dua pecahan: dan.

Ada beberapa opsi tentang cara melakukan ini.

Pilihan 1. Kurangi pecahan menjadi penyebut yang sama.

Mari kita tuliskan dalam bentuk pecahan biasa:

- (seperti yang Anda lihat, saya juga mengurangi pembilang dan penyebutnya).

Sekarang kita perlu membandingkan pecahan:

Sekarang kita dapat terus membandingkan dengan dua cara. Kita dapat:

1. cukup bawa semuanya ke penyebut yang sama, dengan menampilkan kedua pecahan sebagai pecahan biasa (pembilangnya lebih besar dari penyebutnya):

   Angka manakah yang lebih besar? Betul, yang pembilangnya lebih besar, yaitu yang pertama.

2. “ayo kita buang” (anggap kita telah mengurangkan satu dari setiap pecahan, dan perbandingan pecahan satu sama lain tidak berubah) dan bandingkan pecahannya:

   Kami juga membawanya ke penyebut yang sama:

   Kami mendapatkan hasil yang persis sama seperti pada kasus sebelumnya - angka pertama lebih besar dari angka kedua:

   Mari kita periksa juga apakah kita mengurangi satu dengan benar? Mari kita hitung selisih pembilangnya pada perhitungan pertama dan kedua:
   1)
   2)

Jadi, kami melihat cara membandingkan pecahan, membawanya ke penyebut yang sama. Mari kita beralih ke metode lain - membandingkan pecahan, membawanya ke... pembilang yang sama.

Pilihan 2. Membandingkan pecahan dengan mereduksi menjadi pembilang yang sama.

Ya ya. Ini bukan salah ketik. Metode ini jarang diajarkan kepada siapa pun di sekolah, tetapi seringkali sangat mudah dilakukan. Agar Anda segera memahami esensinya, saya hanya akan menanyakan satu pertanyaan - “dalam hal apa nilai pecahan paling besar?” Tentu saja, Anda akan mengatakan “bila pembilangnya sebesar mungkin dan penyebutnya sekecil mungkin”.

Misalnya, Anda pasti bisa mengatakan itu benar? Bagaimana jika kita perlu membandingkan pecahan berikut: ? Saya rasa Anda juga akan segera memasang tandanya dengan benar, karena dalam kasus pertama mereka dibagi menjadi beberapa bagian, dan yang kedua menjadi utuh, yang berarti bahwa dalam kasus kedua potongan-potongannya menjadi sangat kecil, dan karenanya: . Seperti yang Anda lihat, penyebutnya berbeda, tetapi pembilangnya sama. Namun, untuk membandingkan kedua pecahan ini, Anda tidak perlu mencari penyebut yang sama. Meskipun... temukan dan lihat apakah tanda perbandingannya masih salah?

Tapi tandanya sama.

Mari kita kembali ke tugas awal kita - membandingkan dan... Kami akan membandingkan dan... Mari kita kurangi pecahan-pecahan ini bukan menjadi penyebut yang sama, tetapi menjadi pembilang yang sama. Untuk melakukan ini secara sederhana pembilang dan penyebut kalikan pecahan pertama dengan. Kita mendapatkan:

Dan. Pecahan manakah yang lebih besar? Itu benar, yang pertama.

Opsi 3: Membandingkan pecahan menggunakan pengurangan.

Bagaimana cara membandingkan pecahan menggunakan pengurangan? Ya, sangat sederhana. Kami mengurangi pecahan lain dari satu pecahan. Jika hasilnya positif maka pecahan pertama (minuend) lebih besar dari pecahan kedua (pengurang), dan jika negatif maka sebaliknya.

Dalam kasus kita, mari kita coba kurangi pecahan pertama dari pecahan kedua: .

Seperti yang sudah Anda pahami, kami juga mengonversi ke pecahan biasa dan mendapatkan hasil yang sama - . Ekspresi kami mengambil bentuk:

Selanjutnya, kita masih harus menggunakan penyebut yang sama. Pertanyaannya: cara pertama, mengubah pecahan menjadi pecahan biasa, atau cara kedua, seolah-olah “menghilangkan” satuannya? Omong-omong, tindakan ini memiliki pembenaran matematis sepenuhnya. Lihat:

Saya lebih menyukai opsi kedua, karena mengalikan pembilangnya jika direduksi menjadi penyebut yang sama menjadi lebih mudah.

Mari kita bawa ke penyebut yang sama:

Hal utama di sini adalah jangan bingung tentang bilangan apa yang kita kurangi dan di mana. Perhatikan baik-baik kemajuan solusinya dan jangan sampai membingungkan tanda-tandanya. Kita mengurangkan bilangan pertama dari bilangan kedua dan mendapat jawaban negatif, jadi?.. Betul, bilangan pertama lebih besar dari bilangan kedua.

Mengerti? Coba bandingkan pecahan:

Berhenti berhenti. Jangan terburu-buru membawa ke penyebut atau pengurangan yang sama. Lihat: Anda dapat dengan mudah mengubahnya menjadi pecahan desimal. Berapa lama lagi? Benar. Apa lagi pada akhirnya?

Ini adalah pilihan lain - membandingkan pecahan dengan mengonversi ke desimal.

Opsi 4: Membandingkan pecahan menggunakan pembagian.

Ya ya. Dan ini juga mungkin terjadi. Logikanya sederhana: ketika kita membagi bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil, maka jawaban yang kita peroleh adalah bilangan yang lebih besar dari satu, dan jika kita membagi bilangan yang lebih kecil dengan bilangan yang lebih besar, maka jawabannya berada pada interval dari ke.

Untuk mengingat aturan ini, ambil dua bilangan prima untuk perbandingan, misalnya, dan. Anda tahu apa lagi? Sekarang mari kita bagi. Jawaban kami adalah. Oleh karena itu, teori tersebut benar. Jika kita membaginya, yang kita peroleh kurang dari satu, yang pada gilirannya menegaskan bahwa sebenarnya kurang.

Mari kita coba menerapkan aturan ini pada pecahan biasa. Mari kita bandingkan:

Bagilah pecahan pertama dengan pecahan kedua:

Mari kita persingkat sedikit demi sedikit.

Hasil yang didapat lebih kecil artinya pembagiannya lebih kecil dari pembaginya, yaitu:

Kami telah mempertimbangkan semua opsi yang memungkinkan untuk membandingkan pecahan. Bagaimana Anda melihatnya 5:

• pengurangan ke penyebut yang sama;
• pengurangan ke pembilang yang sama;
• pengurangan ke bentuk pecahan desimal;
• pengurangan;
• divisi.

Siap untuk berlatih? Bandingkan pecahan dengan cara yang optimal:

Mari kita bandingkan jawabannya:

1. (- ubah ke desimal)
2. (bagi satu pecahan dengan pecahan lainnya dan kurangi dengan pembilang dan penyebutnya)
3. (pilih seluruh bagian dan bandingkan pecahan berdasarkan prinsip pembilang yang sama)
4. (bagi satu pecahan dengan pecahan lainnya dan kurangi dengan pembilang dan penyebutnya).

2. Perbandingan derajat

Sekarang bayangkan kita perlu membandingkan bukan hanya angka, tetapi juga ekspresi yang memiliki derajat ().

Tentu saja, Anda dapat dengan mudah memasang tanda:

Lagi pula, jika kita mengganti derajat dengan perkalian, kita mendapatkan:

Dari contoh kecil dan primitif ini, aturannya sebagai berikut:

Sekarang coba bandingkan yang berikut ini: . Anda juga dapat dengan mudah memberi tanda:

Karena jika kita mengganti eksponensial dengan perkalian...

Secara umum, Anda memahami segalanya, dan itu tidak sulit sama sekali.

Kesulitan muncul hanya jika, jika dibandingkan, derajat-derajat tersebut memiliki dasar dan indikator yang berbeda. Dalam hal ini, perlu diusahakan untuk mencapai titik temu. Misalnya:

Tentu saja, Anda tahu bahwa ungkapan ini berbentuk:

Mari kita buka tanda kurung dan bandingkan apa yang kita dapatkan:

Kasus yang agak istimewa adalah ketika basis derajat () kurang dari satu.

Jika , maka dua derajat dan lebih besar adalah yang indeksnya lebih kecil.

Mari kita coba buktikan aturan ini. Biarlah.

Mari kita perkenalkan beberapa bilangan asli sebagai selisih antara dan.

Logis, bukan?

Dan sekarang mari kita perhatikan kembali kondisinya - .

Masing-masing: . Karena itu, .

Misalnya:

Seperti yang Anda pahami, kami mempertimbangkan kasus ketika basis kekuasaan adalah sama. Sekarang mari kita lihat ketika basisnya berada pada interval dari ke, tetapi eksponennya sama. Semuanya sangat sederhana di sini.

Mari kita ingat bagaimana membandingkannya menggunakan sebuah contoh:

Tentu saja, Anda menghitungnya dengan cepat:

Oleh karena itu, ketika Anda menemukan masalah serupa untuk perbandingan, ingatlah beberapa contoh sederhana yang serupa yang dapat Anda hitung dengan cepat, dan berdasarkan contoh ini, letakkan tanda-tanda dalam masalah yang lebih kompleks.

Saat melakukan transformasi, ingatlah bahwa jika Anda mengalikan, menambah, mengurangi, atau membagi, maka semua tindakan harus dilakukan dengan ruas kiri dan kanan (jika Anda mengalikannya, maka Anda harus mengalikan keduanya).

Selain itu, ada kalanya melakukan manipulasi apa pun tidak menguntungkan. Misalnya, Anda perlu membandingkan. Dalam hal ini, tidak begitu sulit untuk menaikkan pangkat dan menyusun tanda berdasarkan ini:

Ayo berlatih. Bandingkan derajat:

Siap membandingkan jawaban? Inilah yang saya dapatkan:

1. - sama seperti
2. - sama seperti
3. - sama seperti
4. - sama seperti

3. Membandingkan bilangan dengan akar

Pertama, mari kita ingat apa itu akar? Apakah Anda ingat rekaman ini?

Akar pangkat suatu bilangan real adalah bilangan yang persamaannya berlaku.

Akar derajat ganjil ada untuk bilangan negatif dan positif, dan bahkan akar- hanya untuk yang positif.

Nilai akar seringkali berupa desimal tak terhingga, sehingga sulit untuk dihitung secara akurat, sehingga penting untuk dapat membandingkan akar-akarnya.

Jika Anda lupa apa itu dan dimakan dengan apa - . Jika Anda ingat semuanya, mari belajar membandingkan akar selangkah demi selangkah.

Katakanlah kita perlu membandingkan:

Untuk membandingkan kedua akar ini, Anda tidak perlu melakukan perhitungan apa pun, cukup menganalisis konsep “root” itu sendiri. Apakah Anda mengerti apa yang saya bicarakan? Ya, tentang ini: jika tidak maka dapat ditulis sebagai pangkat ketiga dari suatu bilangan, sama dengan ekspresi radikal.

Apalagi? atau? Tentu saja, Anda dapat membandingkannya tanpa kesulitan apa pun. Semakin besar angka yang kita pangkatkan maka semakin besar pula nilainya.

Jadi. Mari kita buat sebuah aturan.

Jika eksponen dari akar-akarnya sama (dalam kasus kita ini adalah), maka kita perlu membandingkan ekspresi radikal (dan) - semakin besar bilangan radikal, semakin besar nilai akar dengan eksponen yang sama.

Sulit diingat? Kemudian simpan saja contohnya di kepala Anda dan... Lebih dari itu?

Pangkat akar-akarnya sama, karena akarnya persegi. Ekspresi radikal suatu bilangan () lebih besar dari bilangan lainnya (), yang berarti aturan tersebut benar.

Bagaimana jika ekspresi akarnya sama, tetapi derajat akarnya berbeda? Misalnya: .

Cukup jelas juga bahwa ketika mengekstraksi akar dengan derajat yang lebih besar, angka yang lebih kecil akan diperoleh. Mari kita ambil contoh:

Mari kita nyatakan nilai akar pertama sebagai, dan akar kedua sebagai, maka:

Anda dapat dengan mudah melihat bahwa pasti ada lebih banyak persamaan dalam persamaan ini, oleh karena itu:

Jika ekspresi radikalnya sama(dalam kasus kami), dan eksponen akarnya berbeda(dalam kasus kami ini adalah dan), maka perlu membandingkan eksponennya(Dan) - semakin tinggi indikatornya, semakin kecil ekspresi ini.

Coba bandingkan akar-akar berikut:

Mari kita bandingkan hasilnya?

Kami berhasil menyelesaikan masalah ini :). Pertanyaan lain muncul: bagaimana jika kita semua berbeda? Baik derajat maupun ekspresi radikal? Tidak semuanya rumit, kita hanya perlu... “menyingkirkan” akarnya. Ya ya. Buang saja)

Jika kita memiliki derajat dan ekspresi radikal yang berbeda, kita perlu mencari kelipatan persekutuan terkecil (baca bagian tentang) untuk eksponen akar-akarnya dan pangkatkan kedua ekspresi tersebut ke pangkat yang sama dengan kelipatan persekutuan terkecil.

Bahwa kita semua ada dalam kata-kata dan kata-kata. Berikut ini contohnya:

1. Kami melihat indikator akar - dan. Kelipatan persekutuan terkecilnya adalah .
2. Mari kita naikkan kedua ekspresi menjadi pangkat:
3. Mari kita ubah ekspresi dan buka tanda kurung (detail lebih lanjut di bab ini):
4. Mari kita hitung apa yang telah kita lakukan dan beri tanda:

4. Perbandingan logaritma

Jadi, perlahan tapi pasti, kita sampai pada pertanyaan bagaimana cara membandingkan logaritma. Jika Anda tidak ingat jenis hewan apa ini, saya sarankan Anda membaca teori dari bagian tersebut terlebih dahulu. Sudahkah Anda membacanya? Kemudian jawab beberapa pertanyaan penting:

1. Apa argumen logaritma dan apa basisnya?
2. Apa yang menentukan apakah suatu fungsi bertambah atau berkurang?

Jika Anda mengingat semuanya dan menguasainya dengan sempurna, mari kita mulai!

Untuk membandingkan logaritma satu sama lain, Anda hanya perlu mengetahui 3 teknik:

• pengurangan dengan dasar yang sama;
• pengurangan argumen yang sama;
• perbandingan dengan angka ketiga.

Pertama, perhatikan basis logaritma. Ingatkah Anda jika lebih kecil maka fungsinya berkurang, dan jika lebih besar maka fungsinya bertambah. Inilah yang akan menjadi dasar penilaian kami.

Mari kita pertimbangkan perbandingan logaritma yang telah direduksi menjadi basis atau argumen yang sama.

Untuk memulainya, mari kita sederhanakan masalahnya: masukkan logaritma yang dibandingkan alasan yang sama. Kemudian:

1. Fungsinya, untuk, bertambah pada interval dari, yang berarti, menurut definisi, maka (“perbandingan langsung”).
2. Contoh:- alasannya sama, kami membandingkan argumennya sesuai: , oleh karena itu:
3. Fungsinya, pada, berkurang pada interval dari, yang berarti, menurut definisi, maka (“perbandingan terbalik”). - basisnya sama, kami membandingkan argumennya sesuai: namun, tanda logaritmanya akan "terbalik", karena fungsinya menurun: .

Sekarang pertimbangkan kasus-kasus di mana alasannya berbeda, namun argumennya sama.

1. Basisnya lebih besar.
   • . Dalam hal ini kami menggunakan “perbandingan terbalik”. Misalnya: - argumennya sama, dan. Mari kita bandingkan basisnya: namun, tanda logaritmanya akan “terbalik”:
2. Basis a ada di celah.
   • . Dalam hal ini kami menggunakan “perbandingan langsung”. Misalnya:
   • . Dalam hal ini kami menggunakan “perbandingan terbalik”. Misalnya:

Mari kita tuliskan semuanya dalam bentuk tabel umum:

Oleh karena itu, seperti yang sudah Anda pahami, ketika membandingkan logaritma, kita perlu mengarah ke basis atau argumen yang sama.Kita sampai pada basis yang sama menggunakan rumus untuk berpindah dari satu basis ke basis lainnya.

Anda juga dapat membandingkan logaritma dengan angka ketiga dan, berdasarkan ini, menarik kesimpulan tentang mana yang lebih kecil dan mana yang lebih. Misalnya, pikirkan bagaimana cara membandingkan kedua logaritma ini?

Sedikit petunjuk - sebagai perbandingan, logaritma akan banyak membantu Anda, yang argumennya akan sama.

Pikiran? Mari kita putuskan bersama.

Kami dapat dengan mudah membandingkan kedua logaritma ini dengan Anda:

Tidak tahu caranya? Lihat di atas. Kami baru saja menyelesaikan masalah ini. Tanda apa yang akan muncul? Benar:

Setuju?

Mari kita bandingkan satu sama lain:

Anda harus mendapatkan yang berikut ini:

Sekarang gabungkan semua kesimpulan kita menjadi satu. Telah terjadi?

5. Perbandingan ekspresi trigonometri.

Apa itu sinus, cosinus, tangen, kotangen? Mengapa kita membutuhkan lingkaran satuan dan bagaimana mencari nilai fungsi trigonometri pada lingkaran tersebut? Jika Anda tidak mengetahui jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini, saya sangat menyarankan Anda membaca teori tentang topik ini. Dan jika Anda mengetahuinya, maka membandingkan ekspresi trigonometri satu sama lain tidaklah sulit bagi Anda!

Mari kita segarkan ingatan kita sedikit. Mari kita menggambar lingkaran trigonometri satuan dan sebuah segitiga tertulis di dalamnya. Apakah Anda berhasil? Sekarang tandai di sisi mana kita menggambar kosinus dan di sisi mana sinus, menggunakan sisi-sisi segitiga. (Anda tentu ingat bahwa sinus adalah perbandingan sisi berlawanan dengan sisi miring, dan kosinus adalah sisi yang berdekatan?). Apakah kamu menggambarnya? Besar! Sentuhan terakhir adalah meletakkan dimana kita akan menyimpannya, dimana dan seterusnya. Apakah kamu meletakkannya? Fiuh) Mari kita bandingkan apa yang terjadi padamu dan aku.

Fiuh! Sekarang mari kita mulai perbandingannya!

Katakanlah kita perlu membandingkan dan. Gambarlah sudut-sudut ini menggunakan petunjuk di dalam kotak (yang telah kita tandai di mana), tempatkan titik-titik pada lingkaran satuan. Apakah Anda berhasil? Inilah yang saya dapatkan.

Sekarang mari kita jatuhkan garis tegak lurus dari titik yang kita tandai pada lingkaran ke sumbunya... Yang mana? Sumbu manakah yang menunjukkan nilai sinus? Benar, . Inilah yang harus Anda dapatkan:

Melihat gambar ini, mana yang lebih besar: atau? Tentu saja karena poinnya berada di atas poin tersebut.

Dengan cara yang sama, kita membandingkan nilai cosinus. Kita hanya menurunkan tegak lurus terhadap sumbu... Betul sekali, . Oleh karena itu, kita melihat titik mana yang ke kanan (atau lebih tinggi, seperti pada kasus sinus), maka nilainya lebih besar.

Anda mungkin sudah tahu cara membandingkan garis singgung, bukan? Yang perlu Anda ketahui hanyalah apa itu garis singgung. Jadi apa itu garis singgung?) Betul, perbandingan sinus dan cosinus.

Untuk membandingkan garis singgung, kita menggambar sudut dengan cara yang sama seperti pada kasus sebelumnya. Katakanlah kita perlu membandingkan:

Apakah kamu menggambarnya? Sekarang kita juga menandai nilai sinus pada sumbu koordinat. Apakah kamu menyadari? Sekarang tunjukkan nilai cosinus pada garis koordinat. Telah terjadi? Mari kita bandingkan:

Sekarang analisislah apa yang Anda tulis. - kami membagi segmen besar menjadi segmen kecil. Jawabannya akan mengandung nilai yang pasti lebih besar dari satu. Benar?

Dan saat kita membagi yang kecil dengan yang besar. Jawabannya adalah angka yang kurang dari satu.

Jadi ekspresi trigonometri manakah yang nilainya lebih besar?

Benar:

Seperti yang Anda pahami sekarang, membandingkan kotangen adalah hal yang sama, hanya saja sebaliknya: kita melihat bagaimana segmen yang menentukan kosinus dan sinus berhubungan satu sama lain.

Coba bandingkan sendiri ekspresi trigonometri berikut:

Contoh.

Jawaban.

PERBANDINGAN ANGKA. LEVEL RATA-RATA.

Angka mana yang lebih besar: atau? Jawabannya jelas. Dan sekarang: atau? Tidak begitu jelas lagi, bukan? Jadi: atau?

Seringkali Anda perlu mengetahui ekspresi numerik mana yang lebih besar. Misalnya, untuk menempatkan titik-titik pada sumbu pada urutan yang benar saat menyelesaikan pertidaksamaan.

Sekarang saya akan mengajari Anda cara membandingkan angka-angka tersebut.

Jika Anda ingin membandingkan angka dan, kami memberi tanda di antara keduanya (berasal dari kata Latin Versus atau disingkat vs. - melawan): . Tanda ini menggantikan tanda pertidaksamaan yang tidak diketahui (). Selanjutnya kita akan melakukan transformasi yang sama hingga menjadi jelas tanda mana yang perlu ditempatkan di antara angka-angka tersebut.

Inti dari membandingkan bilangan adalah: kita memperlakukan suatu tanda seolah-olah itu semacam tanda pertidaksamaan. Dan dengan ekspresi tersebut kita dapat melakukan segala sesuatu yang biasa kita lakukan dengan ketidaksetaraan:

• tambahkan angka apa saja pada kedua ruas (dan, tentu saja, kita juga bisa menguranginya)
• “pindahkan semuanya ke satu sisi”, yaitu, kurangi salah satu ekspresi yang dibandingkan dari kedua bagian. Di tempat ekspresi yang dikurangi akan tetap ada: .
• mengalikan atau membagi dengan angka yang sama. Jika bilangan ini negatif, tanda pertidaksamaannya dibalik: .
• menaikkan kedua belah pihak ke kekuatan yang sama. Jika pangkatnya genap, Anda perlu memastikan bahwa kedua bagian memiliki tanda yang sama; jika kedua ruasnya positif maka tandanya tidak berubah jika dipangkatkan, tetapi jika negatif maka berubah menjadi sebaliknya.
• ekstrak akar dengan derajat yang sama dari kedua bagian. Jika kita mengekstrak akar dengan derajat genap, pertama-tama kita harus memastikan bahwa kedua ekspresi tersebut non-negatif.
• transformasi setara lainnya.

Penting: disarankan untuk melakukan transformasi sedemikian rupa sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah! Artinya, selama transformasi, tidak diinginkan untuk mengalikan dengan bilangan negatif, dan Anda tidak dapat mengkuadratkannya jika salah satu bagiannya negatif.

Mari kita lihat beberapa situasi yang umum.

1. Eksponensial.

Contoh.

Mana yang lebih: atau?

Larutan.

Karena kedua ruas pertidaksamaan tersebut positif, kita dapat mengkuadratkannya untuk menghilangkan akarnya:

Contoh.

Mana yang lebih: atau?

Larutan.

Di sini kita juga bisa mengkuadratkannya, tapi ini hanya akan membantu kita menghilangkan akar kuadratnya. Di sini perlu untuk menaikkannya sedemikian rupa sehingga kedua akarnya hilang. Artinya eksponen derajat ini harus habis dibagi (derajat akar pertama) dan oleh. Oleh karena itu, angka ini dipangkatkan ke th:

2. Perkalian dengan konjugasinya.

Contoh.

Mana yang lebih: atau?

Larutan.

Mari kalikan dan bagi setiap selisih dengan jumlah konjugasinya:

Tentu saja penyebut di sebelah kanan lebih besar daripada penyebut di sebelah kiri. Oleh karena itu, pecahan kanan lebih kecil dari pecahan kiri:

3. Pengurangan

Mari kita ingat itu.

Contoh.

Mana yang lebih: atau?

Larutan.

Tentu saja, kita dapat mengatur segalanya, menyusun kembali, dan menyusunnya kembali. Namun Anda dapat melakukan sesuatu yang lebih cerdas:

Terlihat bahwa setiap suku di ruas kiri lebih kecil dari setiap suku di ruas kanan.

Oleh karena itu, jumlah semua suku di ruas kiri lebih kecil dari jumlah semua suku di ruas kanan.

Tetapi berhati-hatilah! Kami ditanya apa lagi...

Sisi kanan lebih besar.

Contoh.

Bandingkan angka dan...

Larutan.

Mari kita ingat rumus trigonometri:

Mari kita periksa di bagian mana pada lingkaran trigonometri titik-titik tersebut dan terletak.

4. Divisi.

Di sini kami juga menggunakan aturan sederhana: .

Pada atau, itu.

Ketika tandanya berubah: .

Contoh.

Membandingkan: .

Larutan.

5. Bandingkan angka tersebut dengan angka ketiga

Jika dan, maka (hukum transitivitas).

Contoh.

Membandingkan.

Larutan.

Mari kita bandingkan angkanya bukan satu sama lain, tapi dengan angkanya.

Jelas sekali.

Di sisi lain, .

Contoh.

Mana yang lebih: atau?

Larutan.

Kedua angka tersebut lebih besar, namun lebih kecil. Mari kita pilih suatu bilangan yang lebih besar dari satu, tetapi lebih kecil dari yang lain. Misalnya, . Mari kita periksa:

6. Apa hubungannya dengan logaritma?

Tidak ada yang spesial. Cara menghilangkan logaritma dijelaskan secara rinci di topik. Aturan dasarnya adalah:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Panah kiri-kanan (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \irisan (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \irisan y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Kita juga dapat menambahkan aturan tentang logaritma dengan basis berbeda dan argumen yang sama:

Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut: semakin besar alasnya, semakin kecil derajat yang harus dinaikkan untuk mendapatkan benda yang sama. Jika basisnya lebih kecil, maka yang terjadi adalah sebaliknya, karena fungsi yang bersesuaian menurun secara monoton.

Contoh.

Bandingkan angkanya: dan.

Larutan.

Menurut aturan di atas:

Dan sekarang formula untuk tingkat lanjut.

Aturan perbandingan logaritma dapat ditulis lebih singkat:

Contoh.

Mana yang lebih: atau?

Larutan.

Contoh.

Bandingkan angka mana yang lebih besar: .

Larutan.

PERBANDINGAN ANGKA. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

1. Eksponensial

Jika kedua ruas pertidaksamaan bernilai positif, maka pertidaksamaan tersebut dapat dikuadratkan untuk menghilangkan akarnya

2. Perkalian dengan konjugasinya

Konjugasi adalah faktor yang melengkapi persamaan selisih kuadrat rumus: - konjugasi untuk dan sebaliknya, karena .

3. Pengurangan

4. Divisi

Kapan atau itu

Saat tandanya berubah:

5. Perbandingan dengan angka ketiga

Jika dan kemudian

6. Perbandingan logaritma

Aturan Dasar:

Logaritma dengan basis berbeda dan argumen yang sama:

Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...

Untuk apa?

Untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...

Orang yang mendapat pendidikan yang baik memperoleh penghasilan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukanlah hal yang utama.

Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.

Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.

Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua pilihan:

1. Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini -
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 899 RUR

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.

“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!