Cara membuktikan garis sejajar. Garis sejajar, tanda dan syarat kesejajaran garis Tanda kesejajaran dua garis pada sudut yang bersesuaian

BAB III.
LANGSUNG PARALEL

§ 35. TANDA DUA GARIS PARALEL.

Teorema dua garis tegak lurus pada satu garis sejajar (§ 33) memberikan tanda bahwa dua garis sejajar. Kita dapat memperoleh tanda-tanda paralelisme dua garis yang lebih umum.

1. Tanda pertama paralelisme.

Jika, ketika dua garis lurus memotong garis ketiga, sudut-sudut dalam yang terletak bersilangan adalah sama besar, maka garis-garis tersebut sejajar.

Misalkan garis lurus AB dan CD berpotongan dengan garis lurus EF dan / 1 = / 2. Ambil titik O - bagian tengah ruas KL dari garis potong EF (Gbr. 189).

Mari kita turunkan garis tegak lurus OM dari titik O ke garis lurus AB dan lanjutkan sampai berpotongan dengan garis lurus CD, AB_|_MN. Mari kita buktikan CD_|_MN itu.
Untuk melakukan ini, pertimbangkan dua segitiga: MOE dan NOK. Segitiga-segitiga ini sama besar satu sama lain. Memang: / 1 = / 2 menurut ketentuan teorema; ОK = ОL - berdasarkan konstruksi;
/ MOL = / NOK, seperti sudut vertikal. Jadi, sisi dan dua sudut yang berdekatan pada suatu segitiga masing-masing sama dengan sisi dan dua sudut yang berdekatan pada segitiga lainnya; karena itu, /\ MOL = /\ NOK, dan karenanya
/ LMO = / TAHU, tapi / LMO itu langsung yang artinya / KNO juga lurus. Jadi garis AB dan CD tegak lurus terhadap garis MN yang sama, oleh karena itu sejajar (§ 33), itu yang perlu dibuktikan.

Catatan. Perpotongan garis lurus MO dan CD dapat ditentukan dengan memutar segitiga MOL mengelilingi titik O sebesar 180°.

2. Tanda paralelisme yang kedua.

Mari kita lihat apakah garis lurus AB dan CD sejajar jika, ketika keduanya memotong garis lurus ketiga EF, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Misalkan beberapa sudut yang bersesuaian sama besar / 3 = / 2 (gambar 190);
/ 3 = / 1, karena sudutnya vertikal; Cara, / 2 akan sama / 1. Tetapi sudut 2 dan 1 merupakan sudut dalam yang berpotongan, dan kita telah mengetahui bahwa jika dua garis lurus memotong garis ketiga, sudut dalam yang berpotongan sama besar, maka garis-garis tersebut sejajar. Oleh karena itu AB || CD.

Jika dua garis berpotongan dengan garis ketiga, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka kedua garis tersebut sejajar.

Konstruksi garis sejajar menggunakan penggaris dan gambar segitiga didasarkan pada sifat ini. Ini dilakukan sebagai berikut.

Mari kita tempelkan segitiga pada penggaris seperti yang ditunjukkan pada gambar 191. Kita akan memindahkan segitiga tersebut sehingga salah satu sisinya meluncur di sepanjang penggaris, dan menggambar beberapa garis lurus di sepanjang sisi segitiga yang lain. Garis-garis ini akan sejajar.

3. Tanda ketiga paralelisme.

Diketahui bahwa ketika dua garis lurus AB dan CD berpotongan dengan garis lurus ketiga, jumlah sudut dalam satu sisi sama dengan 2 D(atau 180°). Akankah garis lurus AB dan CD sejajar dalam kasus ini (Gbr. 192).

Membiarkan / 1 dan / 2 adalah sudut satu sisi dalam dan jumlahnya menjadi 2 D.
Tetapi / 3 + / 2 = 2D sebagai sudut yang berdekatan. Karena itu, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Dari sini / 1 = / 3, dan sudut-sudut dalam ini terletak melintang. Oleh karena itu AB || CD.

Jika, ketika dua garis lurus memotong garis ketiga, jumlah sudut dalam satu sisi sama dengan 2 d, maka kedua garis tersebut sejajar.

Latihan.

Buktikan bahwa garis-garis tersebut sejajar:
a) jika sudut melintang luar sama besar (Gbr. 193);
b) jika jumlah sudut luar satu sisi sama dengan 2 D(gambar 194).

Bab ini dikhususkan untuk mempelajari garis sejajar. Ini adalah nama yang diberikan untuk dua garis lurus pada bidang yang tidak berpotongan. Kita melihat segmen garis sejajar di lingkungan - ini adalah dua sisi meja persegi panjang, dua sisi sampul buku, dua batang bus listrik, dll. Garis sejajar memainkan peran yang sangat penting dalam geometri. Pada bab ini, Anda akan mempelajari tentang apa itu aksioma geometri dan apa itu aksioma garis sejajar, salah satu aksioma geometri yang paling terkenal.

Dalam paragraf 1, kita mencatat bahwa dua garis mempunyai satu titik yang sama, yaitu berpotongan, atau tidak mempunyai satu titik yang sama, yaitu tidak berpotongan.

Definisi

Paralelisme garis a dan b dinotasikan sebagai berikut: a || B.

Gambar 98 menunjukkan garis a dan b tegak lurus garis c. Dalam paragraf 12, kita menetapkan bahwa garis a dan b tidak berpotongan, yaitu sejajar.

Beras. 98

Seiring dengan garis sejajar, segmen sejajar sering dianggap. Kedua segmen tersebut disebut paralel, jika terletak pada garis sejajar. Pada Gambar 99, ruas AB dan CD sejajar (AB || CD), tetapi ruas MN dan CD tidak sejajar. Paralelisme suatu segmen dan garis lurus (Gbr. 99, b), sebuah sinar dan sebuah garis lurus, sebuah segmen dan sebuah sinar, dua sinar (Gbr. 99, c) ditentukan dengan cara yang sama.

Beras. 99 Tanda-tanda kesejajaran dua garis

Garis lurus dengan disebut garis potong terhadap garis lurus a dan b, jika garis tersebut memotongnya di dua titik (Gbr. 100). Jika garis a dan b berpotongan dengan garis transversal c, maka terbentuklah delapan sudut yang ditunjukkan dengan angka pada Gambar 100. Beberapa pasang sudut berikut mempunyai nama khusus:

sudut melintang: 3 dan 5, 4 dan 6;
sudut satu sisi: 4 dan 5, 3 dan 6;
sudut yang sesuai: 1 dan 5, 4 dan 8, 2 dan 6, 3 dan 7.

Beras. 100

Mari kita perhatikan tiga tanda kesejajaran dua garis lurus yang berhubungan dengan pasangan sudut tersebut.

Dalil

Bukti

Misalkan garis potong a dan b yang melintasi sudut AB sama besar: ∠1 = ∠2 (Gbr. 101, a).

Mari kita buktikan bahwa || B. Jika sudut 1 dan 2 siku-siku (Gbr. 101, b), maka garis a dan b tegak lurus terhadap garis AB dan karenanya sejajar.

Beras. 101

Mari kita perhatikan kasus ketika sudut 1 dan 2 tidak siku-siku.

Dari tengah O ruas AB kita tarik garis tegak lurus OH terhadap garis lurus a (Gbr. 101, c). Pada garis lurus b dari titik B kita akan memberhentikan ruas ВН 1 yang sama dengan ruas AH, seperti terlihat pada Gambar 101, c, dan menggambar ruas OH 1. Segitiga OHA dan OH 1 B sama besar pada kedua sisi dan sudut antara keduanya (AO = VO, AN = BH 1, ∠1 = ∠2), maka ∠3 = ∠4 dan ∠5 = ∠6. Dari persamaan ∠3 = ∠4 maka titik H 1 terletak pada kelanjutan sinar OH, yaitu titik H, O dan H 1 terletak pada satu garis lurus, dan dari persamaan ∠5 = ∠6 maka sudut 6 adalah garis lurus (karena sudut 5 adalah sudut siku-siku). Jadi garis a dan b tegak lurus terhadap garis HH 1 sehingga sejajar. Teorema tersebut telah terbukti.

Dalil

Bukti

Misalkan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar ketika garis a dan b berpotongan dengan garis transversal c, misalnya ∠1 =∠2 (Gbr. 102).

Beras. 102

Karena sudut 2 dan 3 vertikal, maka ∠2 = ∠3. Dari kedua persamaan tersebut diperoleh ∠1 = ∠3. Tetapi sudut 1 dan 3 saling bersilangan, jadi garis a dan b sejajar. Teorema tersebut telah terbukti.

Dalil

Bukti

Misalkan perpotongan garis lurus a dan b dengan garis transversal c jumlahkan sudut satu sisinya sebesar 180°, misalnya ∠1 + ∠4 = 180° (lihat Gambar 102).

Karena sudut 3 dan 4 berdekatan, maka ∠3 + ∠4 = 180°. Dari kedua persamaan tersebut diperoleh sudut bersilangan 1 dan 3 yang sama besar, sehingga garis a dan b sejajar. Teorema tersebut telah terbukti.

Cara praktis membuat garis sejajar

Beras. 103 Gambar 104 menunjukkan cara membuat garis sejajar dengan menggunakan palang. Metode ini digunakan dalam latihan menggambar.

Beras. 104 Metode serupa digunakan saat melakukan pekerjaan pertukangan, di mana sebuah balok (dua papan kayu diikat dengan engsel, Gambar 105) digunakan untuk menandai garis sejajar.

Beras. 105

Tugas

186. Pada Gambar 106, garis a dan b berpotongan dengan garis c. Buktikan bahwa || b, jika:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, dan sudut 7 tiga kali lebih besar dari sudut 3.

Beras. 106

187. Berdasarkan data pada Gambar 107, buktikan bahwa AB || D.E.

Beras. 107

188. Ruas AB dan CD berpotongan di titik tengah persekutuannya. Buktikan garis AC dan BD sejajar.

189. Dengan menggunakan data pada Gambar 108, buktikan bahwa BC || IKLAN.

Beras. 108

190. Pada Gambar 109, AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Buktikan bahwa DE || AC.

Beras. 109

191. Ruas BK adalah garis bagi segitiga ABC. Sebuah garis lurus ditarik melalui titik K dan memotong sisi BC di titik M sehingga BM = MK. Buktikan garis KM dan AB sejajar.

192. Pada segitiga ABC, sudut A adalah 40°, dan sudut ALL yang berdekatan dengan sudut ACB adalah 80°. Buktikan bahwa garis bagi sudut ALL sejajar dengan garis lurus AB.

193. Pada segitiga ABC, ∠A = 40°, ∠B = 70°. Sebuah garis lurus BD ditarik melalui titik sudut B sehingga sinar BC merupakan garis bagi sudut ABD. Buktikan garis AC dan BD sejajar.

194. Gambarlah sebuah segitiga. Melalui setiap titik sudut segitiga ini, dengan menggunakan gambar persegi dan penggaris, tariklah garis lurus yang sejajar dengan sisi yang berlawanan.

195. Gambarlah segitiga ABC dan tandai titik D pada sisi AC. Melalui titik D, dengan menggunakan gambar persegi dan penggaris, tariklah garis lurus yang sejajar dengan kedua sisi segitiga lainnya.

Pada artikel kali ini kita akan membahas tentang garis sejajar, memberikan definisi, dan menguraikan tanda dan syarat paralelisme. Untuk memperjelas materi teoritis, kami akan menggunakan ilustrasi dan solusi contoh-contoh tipikal.

Garis sejajar pada bidang datar– dua garis lurus pada suatu bidang yang tidak mempunyai titik persekutuan.

Definisi 2

Garis sejajar dalam ruang tiga dimensi– dua garis lurus dalam ruang tiga dimensi, terletak pada bidang yang sama dan tidak mempunyai titik persekutuan.

Perlu diperhatikan bahwa untuk menentukan garis sejajar dalam ruang, klarifikasi “terletak pada bidang yang sama” sangatlah penting: dua garis dalam ruang tiga dimensi yang tidak mempunyai titik persekutuan dan tidak terletak pada bidang yang sama adalah tidak sejajar. , tapi berpotongan.

Untuk menunjukkan garis sejajar, biasanya digunakan simbol ∥. Artinya, jika garis a dan b sejajar, maka kondisi ini harus ditulis secara singkat sebagai berikut: a ‖ b. Secara lisan kesejajaran garis dinotasikan sebagai berikut: garis a dan b sejajar, atau garis a sejajar dengan garis b, atau garis b sejajar dengan garis a.

Mari kita rumuskan suatu pernyataan yang mempunyai peranan penting dalam topik yang sedang dipelajari.

Aksioma

Melalui suatu titik yang tidak termasuk dalam suatu garis tertentu melewati satu-satunya garis lurus yang sejajar dengan garis tersebut. Pernyataan ini tidak dapat dibuktikan berdasarkan aksioma planimetri yang diketahui.

Jika kita berbicara tentang ruang, teorema berikut ini benar:

Teorema 1

Melalui titik mana pun dalam ruang yang tidak termasuk dalam suatu garis tertentu, akan ada satu garis lurus yang sejajar dengan garis tersebut.

Teorema ini mudah dibuktikan berdasarkan aksioma di atas (program geometri untuk kelas 10 - 11).

Kriteria paralelisme merupakan syarat cukup yang pemenuhannya menjamin paralelisme garis. Dengan kata lain, terpenuhinya syarat ini cukup untuk menegaskan fakta paralelisme.

Secara khusus, terdapat kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis pada bidang dan ruang. Mari kita jelaskan: perlu berarti syarat yang pemenuhannya diperlukan untuk garis sejajar; jika tidak terpenuhi maka garis-garisnya tidak sejajar.

Ringkasnya, syarat perlu dan cukup untuk kesejajaran garis adalah syarat yang perlu dan cukup dipenuhi agar garis-garis sejajar satu sama lain. Di satu sisi, ini adalah tanda paralelisme, di sisi lain, ini adalah sifat yang melekat pada garis sejajar.

Sebelum memberikan rumusan pasti tentang syarat perlu dan syarat cukup, mari kita ingat kembali beberapa konsep tambahan.

Definisi 3

Garis potong– garis lurus yang memotong masing-masing dua garis lurus yang tidak berhimpitan.

Memotong dua garis lurus, sebuah garis transversal membentuk delapan sudut yang belum berkembang. Untuk merumuskan syarat perlu dan syarat cukup, kita akan menggunakan jenis sudut bersilangan, bersesuaian, dan satu sisi. Mari kita tunjukkan dalam ilustrasi:

Teorema 2

Jika dua garis pada suatu bidang berpotongan dengan garis transversal, maka agar garis-garis tersebut sejajar, sudut-sudut yang berpotongan harus sama besar, atau sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, atau jumlah sudut satu sisi sama dengan 180 derajat.

Mari kita ilustrasikan secara grafis kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis pada suatu bidang:

Bukti kondisi tersebut terdapat pada program geometri untuk kelas 7 – 9.

Secara umum, kondisi ini juga berlaku untuk ruang tiga dimensi, asalkan dua garis dan satu garis potong berada pada bidang yang sama.

Mari kita tunjukkan beberapa teorema lagi yang sering digunakan untuk membuktikan fakta bahwa garis sejajar.

Teorema 3

Pada sebuah bidang, dua garis yang sejajar dengan garis ketiga sejajar satu sama lain. Ciri ini dibuktikan berdasarkan aksioma paralelisme yang ditunjukkan di atas.

Teorema 4

Dalam ruang tiga dimensi, dua garis yang sejajar dengan garis ketiga sejajar satu sama lain.

Pembuktian suatu tanda dipelajari pada kurikulum geometri kelas 10.

Mari kita beri ilustrasi teorema ini:

Mari kita tunjukkan satu pasang teorema lagi yang membuktikan paralelisme garis.

Teorema 5

Pada sebuah bidang, dua garis yang tegak lurus sepertiga sejajar satu sama lain.

Mari kita rumuskan hal serupa untuk ruang tiga dimensi.

Teorema 6

Dalam ruang tiga dimensi, dua garis yang tegak lurus sepertiga sejajar satu sama lain.

Mari kita ilustrasikan:

Semua teorema, tanda, dan kondisi di atas memungkinkan pembuktian paralelisme garis dengan mudah menggunakan metode geometri. Artinya, untuk membuktikan kesejajaran garis, seseorang dapat menunjukkan bahwa sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, atau menunjukkan fakta bahwa dua garis tertentu tegak lurus terhadap garis ketiga, dan seterusnya. Namun perhatikan bahwa seringkali lebih mudah menggunakan metode koordinat untuk membuktikan paralelisme garis pada bidang atau ruang tiga dimensi.

Paralelisme garis pada sistem koordinat persegi panjang

Dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu, garis lurus ditentukan oleh persamaan garis lurus pada bidang dari salah satu jenis yang mungkin. Demikian pula, garis lurus yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang dalam ruang tiga dimensi berhubungan dengan beberapa persamaan garis lurus dalam ruang.

Mari kita tuliskan syarat-syarat perlu dan cukup untuk kesejajaran garis-garis dalam sistem koordinat persegi panjang bergantung pada jenis persamaan yang menggambarkan garis-garis tersebut.

Mari kita mulai dengan kondisi paralelisme garis pada suatu bidang. Hal ini didasarkan pada definisi vektor arah suatu garis dan vektor normal suatu garis pada suatu bidang.

Teorema 7

Agar dua garis yang tidak berhimpitan sejajar pada suatu bidang, vektor-vektor arah dari garis-garis tertentu harus segaris, atau vektor-vektor normal dari garis-garis tersebut adalah segaris, atau vektor arah suatu garis tegak lurus terhadap vektor normal garis lainnya.

Jelaslah bahwa syarat kesejajaran garis pada suatu bidang didasarkan pada syarat kolinearitas vektor atau syarat tegak lurus dua vektor. Artinya, jika a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) adalah vektor arah garis a dan b ;

dan n b → = (n b x , n b y) adalah vektor normal garis a dan b, maka syarat perlu dan cukup di atas kita tuliskan sebagai berikut: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y atau n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y atau a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , dimana t adalah bilangan real. Koordinat pemandu atau vektor lurus ditentukan oleh persamaan garis lurus yang diberikan. Mari kita lihat contoh utamanya.

1. Garis a pada sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan umum garis: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; garis lurus b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Maka vektor-vektor normal dari garis-garis tersebut masing-masing mempunyai koordinat (A 1, B 1) dan (A 2, B 2). Kondisi paralelismenya kita tuliskan sebagai berikut:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Garis a digambarkan dengan persamaan garis yang kemiringannya berbentuk y = k 1 x + b 1 . Garis lurus b - y = k 2 x + b 2. Maka vektor-vektor normal dari garis-garis tersebut masing-masing mempunyai koordinat (k 1, - 1) dan (k 2, - 1), dan kita tuliskan kondisi paralelismenya sebagai berikut:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Jadi, jika garis-garis sejajar pada suatu bidang dalam sistem koordinat persegi panjang diberikan oleh persamaan dengan koefisien sudut, maka koefisien sudut garis-garis tersebut akan sama. Dan pernyataan sebaliknya yang benar: jika garis-garis yang tidak berhimpitan pada suatu bidang dalam sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan garis dengan koefisien sudut yang sama, maka garis-garis tersebut sejajar.

1. Garis a dan b pada sistem koordinat persegi panjang ditentukan dengan persamaan kanonik garis pada bidang: x - x 1 a x = y - y 1 a y dan x - x 2 b x = y - y 2 b y atau dengan persamaan parametrik garis pada bidang: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y dan x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Maka vektor-vektor arah dari garis-garis tersebut masing-masing adalah: a x, a y dan b x, b y, dan kita tuliskan kondisi paralelismenya sebagai berikut:

ax = tbx ay = tb y

Mari kita lihat contohnya.

Contoh 1

Diberikan dua garis: 2 x - 3 y + 1 = 0 dan x 1 2 + y 5 = 1. Penting untuk menentukan apakah keduanya paralel.

Larutan

Mari kita tuliskan persamaan garis lurus dalam ruas-ruas dalam bentuk persamaan umum:

x 1 2 + kamu 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 kamu - 1 = 0

Kita lihat bahwa n a → = (2, - 3) adalah vektor normal garis 2 x - 3 y + 1 = 0, dan n b → = 2, 1 5 adalah vektor normal garis x 1 2 + y 5 = 1.

Vektor-vektor yang dihasilkan tidak segaris, karena tidak ada nilai tat yang persamaannya akan benar:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Dengan demikian, syarat perlu dan cukup agar kesejajaran garis pada suatu bidang tidak terpenuhi, artinya garis-garis tersebut tidak sejajar.

Menjawab: garis-garis yang diberikan tidak sejajar.

Contoh 2

Diberikan garis y = 2 x + 1 dan x 1 = y - 4 2. Apakah keduanya paralel?

Larutan

Mari kita ubah persamaan kanonik garis lurus x 1 = y - 4 2 menjadi persamaan garis lurus dengan kemiringan:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Kita melihat bahwa persamaan garis y = 2 x + 1 dan y = 2 x + 4 tidak sama (jika sebaliknya, garis-garisnya akan berhimpitan) dan koefisien sudut garis-garisnya sama, yang berarti garis-garis tertentu sejajar.

Mari kita coba menyelesaikan masalah ini secara berbeda. Pertama, mari kita periksa apakah garis-garis yang diberikan bertepatan. Kita gunakan sembarang titik pada garis y = 2 x + 1, misalnya (0, 1), koordinat titik tersebut tidak sesuai dengan persamaan garis x 1 = y - 4 2, artinya garis-garis tersebut sesuai tidak bertepatan.

Langkah selanjutnya adalah menentukan apakah kondisi paralelisme garis-garis tertentu terpenuhi.

Vektor normal garis y = 2 x + 1 adalah vektor na → = (2 , - 1) , dan vektor arah garis kedua adalah b → = (1 , 2) . Produk skalar dari vektor-vektor ini sama dengan nol:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Jadi, vektor-vektornya tegak lurus: ini menunjukkan kepada kita terpenuhinya kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme garis asli. Itu. garis-garis yang diberikan sejajar.

Menjawab: garis-garis ini sejajar.

Untuk membuktikan kesejajaran garis pada sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi digunakan syarat perlu dan syarat cukup sebagai berikut.

Teorema 8

Agar dua garis yang tidak berhimpitan dalam ruang tiga dimensi menjadi sejajar, vektor-vektor arah garis-garis tersebut harus segaris dan cukup.

Itu. Mengingat persamaan garis-garis dalam ruang tiga dimensi, jawaban atas pertanyaan sejajar atau tidak ditemukan dengan menentukan koordinat vektor-vektor arah garis-garis tersebut, serta memeriksa kondisi kolinearitasnya. Dengan kata lain, jika a → = (a x, a y, a z) dan b → = (b x, b y, b z) berturut-turut adalah vektor-vektor arah dari garis a dan b, maka agar garis-garis tersebut sejajar, maka harus ada bilangan real t diperlukan agar persamaannya berlaku:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Contoh 3

Diberikan garis x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 dan x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Kita perlu membuktikan paralelisme garis-garis ini.

Larutan

Kondisi permasalahan diberikan oleh persamaan kanonik suatu garis dalam ruang dan persamaan parametrik garis lain dalam ruang. Vektor panduan sebuah → dan b → garis-garis tertentu mempunyai koordinat: (1, 0, - 3) dan (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , maka a → = 1 2 · b → .

Oleh karena itu, syarat perlu dan syarat cukup bagi kesejajaran garis-garis dalam ruang terpenuhi.

Menjawab: paralelisme garis-garis yang diberikan terbukti.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

1. Tanda pertama paralelisme.

Jika, ketika dua garis lurus memotong garis ketiga, sudut-sudut dalam yang terletak bersilangan adalah sama besar, maka garis-garis tersebut sejajar.

Misalkan garis AB dan CD berpotongan dengan garis EF dan ∠1 = ∠2. Mari kita ambil titik O - bagian tengah segmen KL dari garis potong EF (Gbr.).

Mari kita turunkan garis tegak lurus OM dari titik O ke garis AB dan lanjutkan sampai memotong garis CD, AB ⊥ MN. Mari kita buktikan bahwa CD ⊥ MN.

Untuk melakukan ini, pertimbangkan dua segitiga: MOE dan NOK. Segitiga-segitiga ini sama besar satu sama lain. Memang: ∠1 = ∠2 menurut teorema; ОK = ОL - berdasarkan konstruksi;

∠MOL = ∠NOK, seperti sudut vertikal. Jadi, sisi dan dua sudut yang berdekatan pada suatu segitiga masing-masing sama dengan sisi dan dua sudut yang berdekatan pada segitiga lainnya; oleh karena itu, ΔMOL = ΔNOK, dan karenanya ∠LMO = ∠KNO,
tetapi ∠LMO lurus, artinya ∠KNO juga lurus. Jadi garis AB dan CD tegak lurus terhadap garis MN yang sama, oleh karena itu sejajar, itu yang perlu dibuktikan.

Catatan. Perpotongan garis lurus MO dan CD dapat ditentukan dengan memutar segitiga MOL mengelilingi titik O sebesar 180°.

2. Tanda paralelisme yang kedua.

Mari kita lihat apakah garis lurus AB dan CD sejajar jika, ketika keduanya memotong garis lurus ketiga EF, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Misalkan beberapa sudut yang bersesuaian sama besar, misalnya ∠ 3 = ∠2 (Gbr.);

∠3 = ∠1, sebagai sudut vertikal; ini berarti ∠2 akan sama dengan ∠1. Tetapi sudut 2 dan 1 adalah sudut dalam yang berpotongan, dan kita telah mengetahui bahwa jika dua garis lurus memotong garis ketiga, sudut dalam yang berpotongan sama besar, maka garis-garis tersebut sejajar. Oleh karena itu AB || CD.

Jika dua garis berpotongan dengan garis ketiga, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka kedua garis tersebut sejajar.

Konstruksi garis sejajar menggunakan penggaris dan gambar segitiga didasarkan pada sifat ini. Ini dilakukan sebagai berikut.

Mari kita tempelkan segitiga ke penggaris seperti yang ditunjukkan pada Gambar. Kita akan memindahkan segitiga sehingga salah satu sisinya meluncur di sepanjang penggaris, dan kita akan menggambar beberapa garis lurus di sepanjang sisi lain segitiga. Garis-garis ini akan sejajar.

3. Tanda ketiga paralelisme.

Diketahui bahwa ketika dua garis lurus AB dan CD berpotongan dengan garis lurus ketiga, jumlah sudut dalam satu sisi sama dengan 2 D(atau 180°). Akankah garis lurus AB dan CD sejajar dalam kasus ini (Gbr.).

Misalkan ∠1 dan ∠2 adalah sudut dalam satu sisi dan dijumlahkan menjadi 2 D.

Tapi ∠3 + ∠2 = 2 D sebagai sudut yang berdekatan. Oleh karena itu, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Oleh karena itu ∠1 = ∠3, dan sudut-sudut dalam ini terletak bersilangan. Oleh karena itu AB || CD.

Jika, ketika dua garis lurus memotong garis ketiga, jumlah sudut dalam satu sisi sama dengan 2 d (atau 180°), maka kedua garis tersebut sejajar.

Tanda-tanda garis sejajar :

1. Jika, ketika dua garis memotong garis ketiga, sudut-sudut dalam yang terletak bersilangan adalah sama besar, maka garis-garis tersebut sejajar.

2. Jika dua garis memotong garis ketiga dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka kedua garis tersebut sejajar.

3. Jika, ketika dua garis memotong garis ketiga, jumlah sudut dalam satu sisi adalah 180°, maka kedua garis tersebut sejajar.

4. Jika dua garis sejajar dengan garis ketiga, maka kedua garis tersebut sejajar satu sama lain.

5. Jika dua garis tegak lurus terhadap garis ketiga, maka keduanya sejajar.

Aksioma Paralelisme Euclid

Tugas. Melalui titik M yang diambil di luar garis AB, tariklah sebuah garis yang sejajar dengan garis AB.

Dengan menggunakan teorema tanda paralelisme garis yang telah terbukti, masalah ini dapat diselesaikan dengan berbagai cara,

Larutan. langkah pertama (gambar 199).

Kita tarik MN⊥AB dan melalui titik M kita tarik CD⊥MN;

kita mendapatkan CD⊥MN dan AB⊥MN.

Berdasarkan teorema (“Jika dua garis tegak lurus terhadap garis yang sama, maka keduanya sejajar.”) kita menyimpulkan bahwa CD || AB.

Metode ke-2 (menggambar 200).

Kita menggambar MK yang memotong AB pada sembarang sudut α, dan melalui titik M kita menggambar garis lurus EF, membentuk sudut EMK dengan garis lurus MK sama dengan sudut α. Berdasarkan Teorema (), kita menyimpulkan bahwa EF || AB.

Setelah menyelesaikan soal ini, kita dapat menganggap terbukti bahwa melalui sembarang titik M yang berada di luar garis lurus AB, dapat ditarik sebuah garis lurus yang sejajar dengannya. Timbul pertanyaan: berapa banyak garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu dan melalui suatu titik tertentu yang dapat ada?

Praktek konstruksi memungkinkan kita untuk berasumsi bahwa hanya ada satu garis lurus seperti itu, karena dengan gambar yang dibuat dengan hati-hati, garis-garis lurus yang ditarik dengan cara yang berbeda melalui titik yang sama sejajar dengan garis lurus yang sama bergabung.

Secara teori, jawaban atas pertanyaan yang diajukan diberikan oleh apa yang disebut aksioma paralelisme Euclid; itu dirumuskan sebagai berikut:

Melalui suatu titik yang berada di luar suatu garis tertentu, hanya satu garis yang dapat ditarik sejajar dengan garis tersebut.

Pada gambar 201, ditarik garis lurus SC melalui titik O, sejajar dengan garis AB.

Garis lain yang melalui titik O tidak lagi sejajar dengan garis AB, tetapi akan memotongnya.

Aksioma yang dianut oleh Euclid dalam Elements-nya, yang menyatakan bahwa pada suatu bidang, melalui suatu titik yang diambil di luar suatu garis tertentu, hanya satu garis lurus yang dapat ditarik sejajar dengan garis tersebut, disebut Aksioma paralelisme Euclid.

Lebih dari dua ribu tahun setelah Euclid, banyak ahli matematika mencoba membuktikan proposisi matematika ini, namun usaha mereka selalu gagal. Baru pada tahun 1826, ilmuwan besar Rusia, profesor di Universitas Kazan Nikolai Ivanovich Lobachevsky membuktikan bahwa dengan menggunakan semua aksioma Euclid lainnya, proposisi matematis ini tidak dapat dibuktikan, bahwa proposisi tersebut harus benar-benar diterima sebagai aksioma. NI Lobachevsky menciptakan geometri baru, yang berbeda dengan geometri Euclid, disebut geometri Lobachevsky.

Definisi 1

Garis lurus $c$ disebut garis potong untuk garis $a$ dan $b$, jika garis tersebut memotong keduanya di dua titik.

Pertimbangkan dua baris $a$ dan $b$ dan garis potong $c$.

Ketika mereka berpotongan, timbul sudut, yang kita nyatakan dengan angka dari $1$ hingga $8$.

Masing-masing sudut mempunyai nama yang sering digunakan dalam matematika:

• pasangan sudut $3$ dan $5$, $4$ dan $6$ disebut berbaring melintang;
• pasangan sudut $1$ dan $5$, $4$ dan $8$, $2$ dan $6$, $3$ dan $7$ disebut sesuai;
• pasangan sudut $4$ dan $5$, $5$ dan $6$ disebut berat sebelah.

Tanda-tanda garis sejajar

Teorema 1

Persamaan sepasang sudut bersilangan garis $a$ dan $b$ serta garis potong $c$ menunjukkan bahwa garis $a$ dan $b$ sejajar:

Bukti.

Misalkan sudut melintang garis $a$ dan $b$ dan garis melintang $c$ sama: $∠1=∠2$.

Mari kita tunjukkan bahwa $a \paralel b$.

Asalkan sudut $1$ dan $2$ siku-siku, kita peroleh bahwa garis $a$ dan $b$ akan tegak lurus terhadap garis lurus $AB$, dan karenanya sejajar.

Asalkan sudut $1$ dan $2$ bukan sudut siku-siku, kita tarik dari titik $O$ - titik tengah ruas $AB$, sebuah garis tegak lurus $OH$ terhadap garis lurus $a$.

Pada garis lurus $b$ kita plot segmen $BH_1=AH$ dan menggambar segmen $OH_1$. Kita mendapatkan dua segitiga sama besar $ОНА$ dan $ОH_1В$ pada dua sisi dan sudut di antara keduanya ($∠1=∠2$, $АО=ВО$, $BH_1=AH$), maka $∠3=∠4$ dan $∠5=∠6$. Karena $∠3=∠4$, maka titik $H_1$ terletak pada sinar $ON$, sehingga titik $H$, $O$ dan $H_1$ berada pada garis yang sama. Karena $∠5=∠6$, lalu $∠6=90^(\circ)$. Jadi, garis $a$ dan $b$ yang tegak lurus terhadap garis $HH_1$ adalah sejajar. Teorema tersebut telah terbukti.

Teorema 2

Persamaan sepasang sudut yang bersesuaian untuk garis $a$ dan $b$ serta garis potong $c$ menunjukkan bahwa garis $a$ dan $b$ sejajar:

jika $∠1=∠2$, maka $a \paralel b$.

Bukti.

Misalkan sudut-sudut yang bersesuaian untuk garis lurus $а$ dan $b$ serta garis potong $с$ sama: $∠1=∠2$. Sudut $2$ dan $3$ adalah vertikal, jadi $∠2=∠3$. Jadi $∠1=∠3$. Karena sudut $1$ dan $3$ bersilangan, maka garis $a$ dan $b$ sejajar. Teorema tersebut telah terbukti.

Teorema 3

Jika jumlah dua sudut satu sisi untuk garis $a$ dan $b$ dan transversal $c$ sama dengan $180^(\circ)C$, maka garis $a$ dan $b$ sejajar:

jika $∠1+∠4=180^(\circ)$, maka $a \parallel b$.

Bukti.

Misalkan sudut satu sisi untuk garis lurus $a$ dan $b$ dan garis transversal $c$ berjumlah $180^(\circ)$, misalnya

$∠1+∠4=180^(\circ)$.

Sudut $3$ dan $4$ berdekatan, jadi

$∠3+∠4=180^(\circ)$.

Dari persamaan yang diperoleh terlihat jelas bahwa sudut bersilangan $∠1=∠3$, sehingga garis $a$ dan $b$ sejajar.

Teorema tersebut telah terbukti.

Dari ciri-ciri yang dipertimbangkan dapat disimpulkan bahwa garis-garis tersebut sejajar.

Contoh pemecahan masalah

Contoh 1

Titik potong membagi segmen $AB$ dan $CD$ menjadi dua. Buktikan bahwa $AC \paralel BD$.

Diberikan: $AO=OB$, $CO=OD$.

Membuktikan: $AC \paralel BD$.

Bukti.

Dari kondisi soal $AO=OB$, $CO=OD$ dan persamaan sudut vertikal $∠1=∠2$ menurut kriteria pertama persamaan segitiga maka $\bigtriangleup COA=\bigtriangleup DOB$ . Jadi, $∠3=∠4$.

Sudut $3$ dan $4$ terletak bersilang dengan dua garis lurus $AC$ dan $BD$ dan garis melintang $AB$. Kemudian, menurut kriteria pertama untuk kesejajaran garis, $AC \parallel BD$. Pernyataan itu terbukti.

Contoh 2

Diketahui sudut $∠2=45^(\circ)$, dan $∠7$ adalah $3$ kali lebih besar dari sudut yang diberikan. Buktikan bahwa $a \paralel b$.

Diberikan: $∠2=45^(\circ)$, $∠7=3∠2$.

Membuktikan: $a \paralel b$.

Bukti:

1. Mari kita cari nilai sudut $7$:

$∠7=3 \cdot 45^(\circ)=135^(\circ)$.

1. Sudut vertikal $∠5=∠7=135^(\circ)$, $∠2=∠4=45^(\circ)$.
2. Mari kita cari jumlah sudut dalam $∠5+∠4=135^(\circ)+45^(\circ)=180^(\circ)$.

Menurut kriteria ketiga untuk paralelisme garis $a \parallel b$. Pernyataan itu terbukti.

Contoh 3

Diberikan: $\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup ADB$.

Membuktikan: $AC \parallel BD$, $AD \parallel BC$.

Bukti:

Untuk gambar yang sedang dipertimbangkan, sisi $AB$ adalah umum.

Karena segitiga $ABC$ dan $ADB$ sama besar, maka $AD=CB$, $AC=BD$, serta sudut-sudut yang bersesuaian sama besar $∠1=∠2$, $∠3=∠4$, $∠ 5=∠6$.

Pasangan sudut $3$ dan $4$ bersilangan untuk garis $AC$ dan $BD$ serta garis potong $AB$ yang bersesuaian, oleh karena itu, sesuai dengan kriteria pertama kesejajaran garis $AC \sejajar BD$.

Pasangan sudut $5$ dan $6$ bersilangan untuk garis $AD$ dan $BC$ serta garis potong $AB$ yang bersesuaian, oleh karena itu, sesuai dengan kriteria pertama kesejajaran garis $AD \sejajar BC$.