Tentukan proyeksi titik-titik dalam pandangan. Konstruksi proyeksi titik ortogonal
Pada artikel ini kita akan menemukan jawaban atas pertanyaan tentang cara membuat proyeksi suatu titik pada suatu bidang dan cara menentukan koordinat proyeksi tersebut. Pada bagian teoritis kita akan mengandalkan konsep proyeksi. Kami akan mendefinisikan istilah dan memberikan informasi dengan ilustrasi. Mari kita konsolidasikan pengetahuan yang diperoleh dengan memecahkan contoh.
Yandex.RTB RA-339285-1
Proyeksi, jenis proyeksi
Untuk kenyamanan melihat figur spasial, digunakan gambar yang menggambarkan figur tersebut.
Definisi 1
Proyeksi suatu gambar ke bidang datar– menggambar sosok spasial.
Jelasnya, ada sejumlah aturan yang digunakan untuk membuat proyeksi.
Definisi 2
Proyeksi– proses membuat gambar bangun ruang pada bidang datar dengan menggunakan aturan konstruksi.
Bidang proyeksi- ini adalah bidang tempat gambar dibuat.
Penggunaan aturan tertentu menentukan jenis proyeksi: pusat atau paralel.
Kasus khusus dari proyeksi paralel adalah proyeksi tegak lurus atau ortogonal: dalam geometri ini terutama digunakan. Oleh karena itu, kata sifat “tegak lurus” sendiri sering dihilangkan dalam ucapan: dalam geometri mereka hanya mengatakan “proyeksi suatu bangun” dan yang mereka maksud adalah membuat proyeksi dengan menggunakan metode proyeksi tegak lurus. Dalam kasus khusus, tentu saja ada hal lain yang bisa disepakati.
Mari kita perhatikan fakta bahwa proyeksi suatu bangun ke suatu bidang pada dasarnya adalah proyeksi semua titik pada bangun tersebut. Oleh karena itu, untuk dapat mempelajari suatu bangun ruang dalam suatu gambar, diperlukan keterampilan dasar memproyeksikan suatu titik pada suatu bidang. Apa yang akan kita bicarakan di bawah ini.
Ingatlah bahwa paling sering dalam geometri, ketika berbicara tentang proyeksi ke bidang, yang mereka maksud adalah penggunaan proyeksi tegak lurus.
Mari kita membuat konstruksi yang memberi kita kesempatan untuk memperoleh definisi proyeksi suatu titik pada suatu bidang.
Misalkan diberikan ruang tiga dimensi, dan di dalamnya terdapat bidang α dan titik M 1 yang bukan milik bidang α. Tariklah garis lurus melalui titik M A tegak lurus terhadap bidang tertentu α. Titik perpotongan garis lurus a dan bidang α kita nyatakan sebagai H 1; secara konstruksi, titik tersebut akan berfungsi sebagai alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik M 1 ke bidang α.
Jika suatu titik M 2 diberikan, yang termasuk dalam bidang α tertentu, maka M 2 akan berfungsi sebagai proyeksi dirinya ke bidang α.
Definisi 3
- ini bisa berupa titik itu sendiri (jika termasuk dalam bidang tertentu), atau alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari suatu titik tertentu ke bidang tertentu.
Menemukan koordinat proyeksi suatu titik pada bidang, contoh
Misalkan diberikan dalam ruang tiga dimensi: sistem koordinat persegi panjang O x y z, bidang α, titik M 1 (x 1, y 1, z 1). Kita perlu mencari koordinat proyeksi titik M 1 pada bidang tertentu.
Penyelesaiannya tentu saja mengikuti definisi yang diberikan di atas tentang proyeksi suatu titik pada suatu bidang.
Mari kita nyatakan proyeksi titik M 1 ke bidang α sebagai H 1 . Menurut definisinya, H 1 adalah titik potong suatu bidang tertentu dan garis lurus a yang melalui titik M 1 (tegak lurus terhadap bidang). Itu. Koordinat proyeksi titik M1 yang kita butuhkan adalah koordinat titik potong garis lurus a dan bidang α.
Jadi, untuk mencari koordinat proyeksi suatu titik pada suatu bidang perlu:
Dapatkan persamaan bidang α (jika tidak ditentukan). Artikel tentang jenis-jenis persamaan bidang akan membantu Anda di sini;
Menentukan persamaan garis a yang melalui titik M 1 dan tegak lurus bidang (pelajari topik persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus bidang tertentu);
Temukan koordinat titik potong garis lurus a dan bidang (artikel - mencari koordinat titik potong bidang dan garis). Data yang diperoleh akan menjadi koordinat yang kita perlukan untuk proyeksi titik M 1 ke bidang α.
Mari kita lihat teorinya dengan contoh praktis.
Contoh 1
Tentukan koordinat proyeksi titik M 1 (- 2, 4, 4) pada bidang 2 x – 3 y + z - 2 = 0.
Larutan
Seperti yang bisa kita lihat, persamaan bidang diberikan kepada kita, yaitu. tidak perlu mengkompilasinya.
Mari kita tuliskan persamaan kanonik garis lurus a yang melalui titik M 1 dan tegak lurus bidang tertentu. Untuk keperluan ini, kita menentukan koordinat vektor pengarah garis lurus a. Karena garis a tegak lurus terhadap suatu bidang tertentu, vektor arah garis a adalah vektor normal bidang 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Dengan demikian, a → = (2, - 3, 1) – vektor arah garis lurus a.
Sekarang mari kita buat persamaan kanonik sebuah garis dalam ruang yang melalui titik M 1 (- 2, 4, 4) dan mempunyai vektor arah a → = (2 , - 3 , 1) :
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1
Untuk mencari koordinat yang diperlukan, langkah selanjutnya adalah menentukan koordinat titik potong garis lurus x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 dan bidang 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Untuk tujuan ini, kita beralih dari persamaan kanonik ke persamaan dua bidang yang berpotongan:
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0
Mari kita buat sistem persamaan:
3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2
Dan mari kita selesaikan menggunakan metode Cramer:
∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5
Jadi, koordinat yang diperlukan dari suatu titik M 1 pada bidang tertentu adalah: (0, 1, 5).
Menjawab: (0 , 1 , 5) .
Contoh 2
Dalam sistem koordinat persegi panjang O x y z ruang tiga dimensi, diberikan titik A (0, 0, 2); B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) dan M 1 (-1, -2, 5). Kita perlu mencari koordinat proyeksi M 1 pada bidang A B C
Larutan
Pertama-tama, kita tuliskan persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu:
x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0
Mari kita tuliskan persamaan parametrik garis a yang melalui titik M 1 tegak lurus bidang A B C. Bidang x – 2 y + 2 z – 4 = 0 mempunyai vektor normal dengan koordinat (1, - 2, 2), yaitu vektor a → = (1, - 2, 2) – vektor arah garis lurus a.
Sekarang, dengan memiliki koordinat titik garis M 1 dan koordinat vektor arah garis tersebut, kita tuliskan persamaan parametrik garis dalam ruang:
Kemudian kita tentukan koordinat titik potong bidang x – 2 y + 2 z – 4 = 0 dan garis lurus
x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ
Untuk melakukan ini, kita substitusikan ke dalam persamaan bidang:
x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ
Sekarang, dengan menggunakan persamaan parametrik x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, kita cari nilai variabel x, y dan z untuk λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3
Jadi proyeksi titik M 1 pada bidang A B C akan mempunyai koordinat (- 2, 0, 3).
Menjawab: (- 2 , 0 , 3) .
Mari kita bahas secara terpisah masalah pencarian koordinat proyeksi suatu titik pada bidang koordinat dan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat.
Misalkan titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan bidang koordinat O x y, O x z dan O y z diberikan. Koordinat proyeksi titik ini pada bidang-bidang tersebut berturut-turut adalah: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) dan (0, y 1, z 1). Mari kita perhatikan juga bidang-bidang yang sejajar dengan bidang koordinat yang diberikan:
C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B
Dan proyeksi suatu titik M 1 pada bidang-bidang tersebut adalah titik-titik dengan koordinat x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 dan - D A, y 1, z 1.
Mari kita tunjukkan bagaimana hasil ini diperoleh.
Sebagai contoh, mari kita tentukan proyeksi titik M 1 (x 1, y 1, z 1) pada bidang A x + D = 0. Kasus-kasus lainnya serupa.
Bidang tertentu sejajar dengan bidang koordinat O y z dan i → = (1, 0, 0) adalah vektor normalnya. Vektor yang sama berfungsi sebagai vektor arah garis yang tegak lurus bidang O y z. Maka persamaan parametrik garis lurus yang melalui titik M 1 dan tegak lurus bidang tertentu akan berbentuk:
x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1
Mari kita cari koordinat titik potong garis ini dan bidang tertentu. Mari kita substitusikan dulu persamaan-persamaan tersebut ke dalam persamaan A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 dan dapatkan: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1
Kemudian kita menghitung koordinat yang diperlukan menggunakan persamaan parametrik garis lurus dengan λ = - D A - x 1 :
x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1
Artinya, proyeksi titik M 1 (x 1, y 1, z 1) pada bidang akan berupa titik dengan koordinat - D A, y 1, z 1.
Contoh 2
Koordinat proyeksi titik M 1 (- 6, 0, 1 2) harus ditentukan pada bidang koordinat O x y dan pada bidang 2 y - 3 = 0.
Larutan
Bidang koordinat O x y akan sesuai dengan persamaan umum bidang z = 0 yang tidak lengkap. Proyeksi titik M 1 pada bidang z = 0 mempunyai koordinat (- 6, 0, 0).
Persamaan bidang 2 y - 3 = 0 dapat ditulis sebagai y = 3 2 2. Sekarang tulis saja koordinat proyeksi titik M 1 (- 6, 0, 1 2) pada bidang y = 3 2 2:
6 , 3 2 2 , 1 2
Menjawab:(- 6 , 0 , 0) dan - 6 , 3 2 2 , 1 2
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Mari kita pertimbangkan bidang profil proyeksi. Proyeksi pada dua bidang yang tegak lurus biasanya menentukan posisi suatu bangun dan memungkinkan untuk mengetahui ukuran dan bentuk sebenarnya. Namun ada kalanya dua proyeksi saja tidak cukup. Kemudian konstruksi proyeksi ketiga digunakan.
Bidang proyeksi ketiga digambar sedemikian rupa sehingga tegak lurus terhadap kedua bidang proyeksi secara bersamaan (Gbr. 15). Pesawat ketiga biasa disebut Profil.
Dalam konstruksi seperti itu, garis lurus umum bidang horizontal dan bidang depan disebut sumbu X , garis lurus persekutuan bidang horizontal dan bidang profil – sumbu pada , dan garis lurus umum bidang frontal dan profil adalah sumbu z . Dot TENTANG, yang dimiliki ketiga bidang tersebut, disebut titik asal.
Gambar 15a menunjukkan maksudnya A dan tiga proyeksinya. Proyeksi ke bidang profil ( A) disebut proyeksi profil dan menunjukkan A.
Untuk memperoleh diagram titik A yang terdiri dari tiga proyeksi a, a, a, perlu untuk memotong trihedron yang dibentuk oleh semua bidang sepanjang sumbu y (Gbr. 15b) dan menggabungkan semua bidang ini dengan bidang proyeksi frontal. Bidang horizontal harus diputar terhadap sumbunya X, dan bidang profil berada di sekitar sumbu z dalam arah yang ditunjukkan oleh panah pada Gambar 15.
Gambar 16 menunjukkan posisi proyeksi A A Dan A poin A, diperoleh dengan menggabungkan ketiga bidang dengan bidang gambar.
Akibat pemotongan tersebut, sumbu y muncul di dua tempat berbeda pada diagram. Pada bidang horizontal (Gbr. 16) mengambil posisi vertikal (tegak lurus terhadap sumbu X), dan pada bidang profil – horizontal (tegak lurus terhadap sumbu z).
Ada tiga proyeksi pada Gambar 16 A A Dan A titik A memiliki posisi yang ditentukan secara ketat pada diagram dan tunduk pada kondisi yang tidak ambigu:
A Dan A harus selalu ditempatkan pada garis vertikal yang sama, tegak lurus terhadap sumbu X;
A Dan A harus selalu terletak pada garis lurus horizontal yang sama, tegak lurus terhadap sumbu z;
3) bila dilakukan melalui proyeksi mendatar dan garis lurus mendatar, serta melalui proyeksi profil A– garis lurus vertikal, garis lurus yang dibangun tentu akan berpotongan pada garis bagi sudut antara sumbu proyeksi, karena gambar Oa pada A 0 A n – persegi.
Saat membuat tiga proyeksi suatu titik, Anda perlu memeriksa apakah ketiga kondisi terpenuhi untuk setiap titik.
Koordinat titik
Posisi suatu titik dalam ruang dapat ditentukan dengan menggunakan tiga bilangan yang disebut nya koordinat. Setiap koordinat berhubungan dengan jarak suatu titik dari bidang proyeksi tertentu.
Jarak titik yang ditentukan A ke bidang profil adalah koordinatnya X, di mana X = A A(Gbr. 15), jarak ke bidang frontal adalah koordinat y, dan y = A A, dan jarak ke bidang horizontal adalah koordinatnya z, di mana z = A A.
Pada Gambar 15, titik A menempati lebar sebuah persegi panjang parallelepiped, dan pengukuran parallelepiped ini sesuai dengan koordinat titik ini, yaitu masing-masing koordinat diwakili pada Gambar 15 sebanyak empat kali, yaitu:
x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;
y = а́А = Оа y = а x а = а z а˝;
z = aA = Oa z = a x á = a y a˝.
Pada diagram (Gbr. 16), koordinat x dan z muncul tiga kali:
x = a z a ́= Oa x = a y a,
z = a x á = Oa z = a y a˝.
Semua segmen yang sesuai dengan koordinat X(atau z), sejajar satu sama lain. Koordinat pada diwakili dua kali oleh sumbu yang terletak vertikal:
y = Oa y = ax a
dan dua kali – terletak secara horizontal:
y = Oa y = az a˝.
Perbedaan ini muncul karena sumbu y pada diagram terdapat pada dua posisi berbeda.
Perlu diperhatikan bahwa posisi setiap proyeksi pada diagram ditentukan hanya oleh dua koordinat, yaitu:
1) horisontal – koordinat X Dan pada,
2) depan – koordinat X Dan z,
3) profil – koordinat pada Dan z.
Menggunakan koordinat x, kamu Dan z, Anda dapat membuat proyeksi suatu titik pada diagram.
Jika titik A diberikan koordinatnya, pencatatannya didefinisikan sebagai berikut: A ( X; kamu; z).
Saat membuat proyeksi titik A kondisi berikut harus diperiksa:
1) proyeksi horizontal dan frontal A Dan A X X;
2) proyeksi frontal dan profil A Dan A harus terletak pada tegak lurus yang sama terhadap sumbu z, karena mereka mempunyai koordinat yang sama z;
3) proyeksi horizontal dan juga dihilangkan dari sumbu X, seperti proyeksi profil A menjauh dari porosnya z, karena proyeksi á dan a˝ mempunyai koordinat yang sama pada.
Jika suatu titik terletak pada salah satu bidang proyeksi, maka salah satu koordinatnya sama dengan nol.
Ketika sebuah titik terletak pada sumbu proyeksi, dua koordinatnya sama dengan nol.
Jika suatu titik terletak di titik asal, ketiga koordinatnya adalah nol.
Proyeksi garis
Untuk menentukan garis lurus diperlukan dua titik. Suatu titik ditentukan oleh dua proyeksi pada bidang mendatar dan bidang depan, yaitu suatu garis lurus ditentukan dengan menggunakan proyeksi kedua titiknya pada bidang mendatar dan bidang depan.
Gambar 17 menunjukkan proyeksi ( A Dan a, b Dan B) dua poin A dan B. Dengan bantuan mereka, posisi garis tertentu ditentukan AB. Saat menghubungkan proyeksi titik-titik ini dengan nama yang sama (yaitu. A Dan b, a Dan B) proyeksi dapat diperoleh ab Dan ab lurus AB.
Gambar 18 menunjukkan proyeksi kedua titik, dan Gambar 19 menunjukkan proyeksi garis lurus yang melaluinya.
Jika proyeksi suatu garis ditentukan oleh proyeksi dua titiknya, maka titik-titik tersebut ditandai dengan dua huruf Latin yang bersebelahan sesuai dengan penunjukan proyeksi titik-titik yang diambil pada garis tersebut: dengan guratan untuk menunjukkan proyeksi depan dari suatu garis. garis atau tanpa guratan untuk proyeksi horizontal.
Jika kita tidak mempertimbangkan titik-titik individual suatu garis, tetapi proyeksinya secara keseluruhan, maka proyeksi ini ditunjukkan dengan angka.
Jika suatu saat DENGAN terletak pada garis lurus AB, proyeksinya с dan с́ berada pada proyeksi garis yang sama ab Dan ab. Situasi ini diilustrasikan oleh Gambar 19.
Jejak garis lurus
Jejaknya lurus- ini adalah titik perpotongannya dengan bidang atau permukaan tertentu (Gbr. 20).
Jejak horizontal berupa garis lurus suatu titik disebut H, di mana garis lurus bertemu dengan bidang horizontal, dan frontal- dot V, di mana garis lurus ini bertemu dengan bidang depan (Gbr. 20).
Gambar 21a menunjukkan jejak horizontal suatu garis lurus, dan jejak depannya ditunjukkan pada Gambar 21b.
Terkadang jejak profil garis lurus juga dipertimbangkan, W– titik potong garis lurus dengan bidang profil.
Jejak horizontal berada pada bidang horizontal, yaitu proyeksi horizontalnya H bertepatan dengan jejak ini, dan bagian depan H terletak pada sumbu x. Jejak frontal terletak pada bidang frontal, oleh karena itu proyeksi frontalnya berimpit dengannya, dan proyeksi horizontal v terletak pada sumbu x.
Jadi, H = H, Dan V= ν́. Oleh karena itu, untuk menunjuk jejak garis lurus dapat digunakan huruf H dan ν́.
Berbagai posisi lurus
Langsung disebut posisi umum, jika tidak sejajar atau tegak lurus terhadap bidang proyeksi mana pun. Proyeksi garis lurus pada posisi umum juga tidak sejajar dan tidak tegak lurus terhadap sumbu proyeksi.
Garis lurus yang sejajar dengan salah satu bidang proyeksi (tegak lurus terhadap salah satu sumbu). Gambar 22 menunjukkan garis lurus yang sejajar dengan bidang mendatar (tegak lurus terhadap sumbu z), - garis lurus mendatar; Gambar 23 menunjukkan garis lurus yang sejajar dengan bidang frontal (tegak lurus terhadap sumbu pada), – garis lurus depan; Gambar 24 menunjukkan garis lurus yang sejajar dengan bidang profil (tegak lurus terhadap sumbu X), – profil garis lurus. Meskipun setiap garis membentuk sudut siku-siku dengan salah satu sumbunya, namun tidak berpotongan, melainkan hanya berpotongan dengannya.
Karena garis lurus horizontal (Gbr. 22) sejajar dengan bidang horizontal, maka proyeksi frontal dan profilnya akan sejajar dengan sumbu yang menentukan bidang horizontal, yaitu sumbu X Dan pada. Oleh karena itu proyeksinya ab́|| X Dan a˝b˝|| pada z. Proyeksi horizontal ab dapat menempati posisi mana pun pada diagram.
Pada garis lurus frontal (Gbr. 23) proyeksi ab|| x dan a˝b˝ || z, yaitu tegak lurus terhadap sumbu pada, dan oleh karena itu dalam hal ini proyeksi frontal ab garis lurus dapat mengambil posisi apa pun.
Pada garis lurus profil (Gbr. 24) ab|| kamu, ab|| z, dan keduanya tegak lurus terhadap sumbu x. Proyeksi a˝b˝ dapat ditempatkan pada diagram dengan cara apa pun.
Saat mempertimbangkan bidang yang memproyeksikan garis lurus horizontal ke bidang depan (Gbr. 22), Anda dapat melihat bahwa bidang tersebut memproyeksikan garis lurus ini ke bidang profil, yaitu bidang yang memproyeksikan garis lurus ke dua bidang proyeksi sekaligus. - bagian depan dan profil. Berdasarkan hal ini, disebut bidang proyeksi ganda. Dengan cara yang sama, untuk garis lurus frontal (Gbr. 23), bidang proyeksi ganda memproyeksikannya ke bidang proyeksi horizontal dan profil, dan untuk garis profil (Gbr. 23) - ke bidang horizontal dan frontal. proyeksi.
Dua proyeksi tidak dapat menentukan garis lurus. Dua proyeksi 1 Dan 1 garis profil (Gbr. 25) tanpa menentukan proyeksi dua titik garis ini pada garis tersebut tidak akan menentukan posisi garis ini dalam ruang.
Pada suatu bidang yang tegak lurus terhadap dua bidang simetri tertentu, kemungkinan adanya garis lurus yang jumlahnya tak terhingga, yang datanya pada diagram 1 Dan 1 adalah proyeksi mereka.
Jika suatu titik berada pada suatu garis, maka proyeksinya dalam semua kasus terletak pada proyeksi yang sama dari garis tersebut. Situasi sebaliknya tidak selalu berlaku untuk profil garis lurus. Pada proyeksinya, Anda dapat secara sewenang-wenang menunjukkan proyeksi suatu titik tertentu dan tidak yakin bahwa titik tersebut terletak pada garis ini.
Dalam ketiga kasus khusus (Gbr. 22, 23 dan 24) posisi garis lurus terhadap bidang proyeksi adalah segmen sembarang darinya AB, yang diambil pada setiap garis lurus, diproyeksikan ke salah satu bidang proyeksi tanpa distorsi, yaitu ke bidang yang sejajar. Segmen garis AB garis lurus horizontal (Gbr. 22) memberikan proyeksi ukuran penuh pada bidang horizontal ( ab = AB); segmen garis AB garis lurus frontal (Gbr. 23) - dalam ukuran penuh pada bidang bidang frontal V ( ab́ = AB) dan segmen AB profil lurus (Gbr. 24) – dalam ukuran penuh pada bidang profil W (a˝b˝= AB), yaitu tampaknya mungkin untuk mengukur ukuran sebenarnya dari segmen pada gambar.
Dengan kata lain, dengan menggunakan diagram Anda dapat menentukan dimensi alami sudut-sudut yang dibentuk oleh garis lurus tersebut dengan bidang proyeksi.
Sudut yang dibentuk garis lurus dengan bidang mendatar N, biasanya dilambangkan dengan huruf α, dengan bidang depan - dengan huruf β, dengan bidang profil - dengan huruf γ.
Setiap garis lurus yang ditinjau tidak mempunyai jejak pada bidang yang sejajar dengannya, yaitu garis lurus mendatar tidak mempunyai jejak mendatar (Gbr. 22), garis lurus depan tidak mempunyai jejak depan (Gbr. 23), dan garis lurus profil garis tidak memiliki jejak profil (Gbr. 24).
Suatu titik, sebagai konsep matematika, tidak memiliki dimensi. Jelasnya, jika objek proyeksinya adalah objek berdimensi nol, maka membicarakan proyeksinya tidak ada artinya.
Gambar.9 Gambar.10
Dalam geometri, disarankan untuk menganggap titik sebagai benda fisik yang memiliki dimensi linier. Secara konvensional, sebuah bola dengan radius yang sangat kecil dapat dianggap sebagai sebuah titik. Dengan penafsiran konsep suatu titik ini, kita dapat membicarakan proyeksinya.
Saat membuat proyeksi ortogonal suatu titik, seseorang harus dipandu oleh properti invarian pertama dari proyeksi ortogonal: Proyeksi ortogonal suatu titik adalah sebuah titik.
Posisi suatu titik dalam ruang ditentukan oleh tiga koordinat: X, Y, Z, menunjukkan jarak suatu titik dipindahkan dari bidang proyeksi. Untuk menentukan jarak tersebut, cukup dengan menentukan titik pertemuan garis lurus tersebut dengan bidang proyeksi dan mengukur besaran yang sesuai, yang akan menunjukkan nilai absisnya. X, ordinat Y dan jari Z poin (Gbr. 10).
Proyeksi suatu titik adalah alas garis tegak lurus yang ditarik dari titik tersebut ke bidang proyeksi yang bersangkutan. Proyeksi horizontal poin A disebut proyeksi persegi panjang suatu titik pada bidang proyeksi horizontal, proyeksi depan a /– masing-masing pada bidang proyeksi frontal dan profil a // – pada bidang profil proyeksi.
Langsung Aa, Aa / Dan A A // disebut garis proyeksi. Pada saat yang sama, langsung Ah, titik proyeksi A pada bidang proyeksi horizontal disebut garis lurus mendatar, Aa/ Dan A A //- masing-masing: secara frontal Dan garis proyeksi profil.
Dua garis proyeksi melewati suatu titik A mendefinisikan sebuah bidang, yang biasa disebut memproyeksikan.
Saat mengubah tata ruang, proyeksi depan titik A A / tetap pada tempatnya, sebagai milik suatu bidang yang tidak berubah posisinya selama transformasi yang bersangkutan. Proyeksi horizontal – A bersama-sama dengan bidang proyeksi horizontal, ia akan berputar searah jarum jam dan terletak pada tegak lurus yang sama terhadap sumbu X dengan proyeksi frontal. Proyeksi profil - A // akan berputar bersama dengan bidang profil dan pada akhir transformasi akan mengambil posisi yang ditunjukkan pada Gambar 10. Dalam hal ini - A // akan menjadi milik tegak lurus terhadap sumbu Z diambil dari titik tersebut A / dan akan dikeluarkan dari porosnya Z pada jarak yang sama dengan proyeksi horizontal A menjauh dari porosnya X. Oleh karena itu, hubungan antara proyeksi horizontal dan profil suatu titik dapat dibuat dengan menggunakan dua segmen ortogonal aa y Dan a ya // dan busur lingkaran yang menghubungkannya dengan pusat di titik potong sumbu ( TENTANG- asal). Koneksi yang ditandai digunakan untuk menemukan proyeksi yang hilang (diberikan dua proyeksi tertentu). Posisi proyeksi profil (horizontal) menurut proyeksi horizontal (profil) dan frontal yang diberikan dapat diketahui dengan menggunakan garis lurus yang ditarik dengan sudut 45 0 dari titik asal ke sumbu. Y(garis bagi ini disebut garis lurus k– Konstanta monge). Metode pertama lebih disukai karena lebih akurat.
Karena itu:
1. Sebuah titik dalam ruang dihilangkan:
dari bidang horizontal H Z,
dari bidang frontal V dengan nilai koordinat tertentu kamu,
dari bidang profil W dengan nilai koordinat. X.
2. Dua proyeksi suatu titik mempunyai garis tegak lurus yang sama (satu garis sambungan):
horizontal dan frontal – tegak lurus terhadap sumbu X,
horizontal dan profil – tegak lurus terhadap sumbu Y,
frontal dan profil - tegak lurus terhadap sumbu Z.
3. Posisi suatu titik dalam ruang sepenuhnya ditentukan oleh posisi kedua proyeksi ortogonalnya. Karena itu - Dengan menggunakan dua proyeksi ortogonal suatu titik, selalu mungkin untuk membuat proyeksi ketiga yang hilang.
Jika suatu titik mempunyai tiga koordinat tertentu, maka titik tersebut disebut titik posisi umum. Jika suatu titik mempunyai satu atau dua koordinat yang bernilai nol, maka titik tersebut disebut poin pribadi.
Beras. 11 Gambar. 12
Gambar 11 menunjukkan gambar spasial titik-titik pada posisi tertentu, dan Gambar 12 menunjukkan gambar kompleks (diagram) dari titik-titik tersebut. Dot A milik bidang proyeksi frontal, titik DI DALAM– bidang proyeksi horizontal, titik DENGAN– bidang dan titik proyeksi profil D– sumbu x ( X).
Memproyeksikan suatu titik ke tiga bidang proyeksi sudut koordinat dimulai dengan memperoleh bayangannya pada bidang H - bidang proyeksi horizontal. Untuk melakukan ini, sinar proyeksi dilewatkan melalui titik A (Gbr. 4.12, a) tegak lurus bidang H.
Pada gambar, garis tegak lurus bidang H sejajar dengan sumbu Oz. Titik potong balok dengan bidang H (titik a) dipilih secara sembarang. Ruas Aa menentukan pada jarak berapa titik A terletak dari bidang H, sehingga dengan jelas menunjukkan posisi titik A pada gambar terhadap bidang proyeksi. Titik a adalah proyeksi persegi panjang titik A pada bidang H dan disebut proyeksi horizontal titik A (Gbr. 4.12, a).
Untuk memperoleh bayangan titik A pada bidang V (Gbr. 4.12,b), seberkas sinar proyeksi dilewatkan melalui titik A tegak lurus bidang proyeksi frontal V. Pada gambar, tegak lurus bidang V sejajar dengan sumbu Oy . Pada bidang H, jarak titik A ke bidang V diwakili oleh ruas aa x yang sejajar sumbu Oy dan tegak lurus sumbu Ox. Jika kita bayangkan sinar yang diproyeksikan dan bayangannya dilakukan bersamaan pada arah bidang V, maka ketika bayangan sinar tersebut memotong sumbu Ox di titik ax, maka sinar tersebut akan memotong bidang V di titik a.” dari titik ax pada bidang V a yang tegak lurus sumbu Ox yang merupakan bayangan sinar proyeksi Aa pada bidang V, pada perpotongan dengan sinar proyeksi tersebut diperoleh titik a." Titik a" adalah proyeksi frontal titik A, yaitu bayangannya pada bidang V.
Bayangan titik A pada bidang proyeksi profil (Gbr. 4.12, c) dibuat dengan menggunakan sinar proyeksi yang tegak lurus bidang W. Pada gambar, tegak lurus bidang W sejajar dengan sumbu Ox. Sinar yang diproyeksikan dari titik A ke bidang W pada bidang H akan diwakili oleh segmen aa y yang sejajar sumbu Ox dan tegak lurus sumbu Oy. Dari titik Oy sejajar sumbu Oz dan tegak lurus sumbu Oy dibuat bayangan sinar proyeksi aA dan pada perpotongan dengan sinar proyeksi diperoleh titik a. Titik a merupakan proyeksi profil titik A , yaitu bayangan titik A pada bidang W.
Titik a" dapat dibuat dengan menggambar ruas a"az dari titik a" (bayangan sinar proyeksi Aa" pada bidang V) sejajar sumbu Ox, dan dari titik a z - ruas a"az sejajar dengan Oy sumbu sampai berpotongan dengan sinar proyeksi.
Setelah menerima tiga proyeksi titik A pada bidang proyeksi, sudut koordinat diperluas menjadi satu bidang, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 4.11,b, bersama dengan proyeksi titik A dan sinar proyeksi, serta titik A dan sinar proyeksi Aa, Aa" dan Aa" dihilangkan. Tepi bidang proyeksi gabungan tidak digambar, tetapi hanya sumbu proyeksi Oz, Oy dan Ox, Oy 1 yang digambar (Gbr. 4.13).
Analisis gambar ortogonal suatu titik menunjukkan bahwa tiga jarak - Aa", Aa dan Aa" (Gbr. 4.12, c), yang mencirikan posisi titik A dalam ruang, dapat ditentukan dengan membuang objek proyeksi itu sendiri - titik A, pada sudut koordinat berubah menjadi satu bidang (Gbr. 4.13). Ruas a"az, aa y dan Oa x sama dengan Aa" sebagai sisi-sisi yang berhadapan pada persegi panjang yang bersesuaian (Gbr. 4.12c dan 4.13). Mereka menentukan jarak di mana titik A berada dari bidang proyeksi profil. Ruas a"a x, a"a y1 dan Oa y sama dengan ruas Aa, tentukan jarak titik A ke bidang proyeksi mendatar, ruas aa x, a"az dan Oa y 1 sama dengan ruas Aa ", menentukan jarak dari titik A ke bidang proyeksi frontal.
Ruas Oa x, Oa y dan Oa z yang terletak pada sumbu proyeksi merupakan ekspresi grafis dari dimensi koordinat X, Y dan Z titik A. Koordinat titik ditunjukkan dengan indeks huruf yang sesuai . Dengan mengukur ukuran segmen-segmen tersebut, Anda dapat menentukan posisi suatu titik dalam ruang, yaitu mengatur koordinat titik tersebut.
Pada diagram, ruas a"a x dan aa x terletak sebagai satu garis tegak lurus terhadap sumbu Ox, dan ruas a"a z dan a"a z - terhadap sumbu Oz. Garis-garis ini disebut garis sambungan proyeksi. Garis-garis tersebut memotong garis sumbu proyeksi masing-masing di titik ax dan a z. Garis sambungan proyeksi yang menghubungkan proyeksi horizontal titik A dengan profil satu ternyata “terpotong” di titik a y.
Dua proyeksi pada titik yang sama selalu terletak pada garis sambungan proyeksi yang sama, tegak lurus terhadap sumbu proyeksi.
Untuk menyatakan posisi suatu titik dalam ruang, cukup dua proyeksinya dan titik asal tertentu (titik O). 4.14, b dua proyeksi suatu titik sepenuhnya menentukan posisinya dalam ruang.Dengan menggunakan kedua proyeksi ini, dimungkinkan untuk membuat proyeksi profil titik A. Oleh karena itu, di masa depan, jika proyeksi profil tidak diperlukan, diagram akan dibangun pada dua bidang proyeksi: V dan H.
Beras. 4.14. Beras. 4.15.
Mari kita lihat beberapa contoh pembuatan dan pembacaan gambar suatu titik.
Contoh 1. Penentuan koordinat titik J ditentukan pada diagram dalam dua proyeksi (Gbr. 4.14). Tiga ruas yang diukur: ruas OB X (koordinat X), ruas b X b (koordinat Y) dan ruas b X b" (koordinat Z). Koordinatnya ditulis dengan urutan sebagai berikut: X, Y dan Z, setelah huruf sebutan titik, misalnya B20; 30; 15.
Contoh 2. Membangun suatu titik pada koordinat tertentu. Titik C diberikan oleh koordinat C30; 10; 40. Pada sumbu Ox (Gbr. 4.15) carilah titik c x di mana garis sambungan proyeksi memotong sumbu proyeksi. Untuk melakukan ini, koordinat X (ukuran 30) diplot sepanjang sumbu Ox dari titik asal (titik O) dan diperoleh titik dengan x. Garis sambungan proyeksi ditarik melalui titik ini tegak lurus sumbu Ox dan koordinat Y (ukuran 10) diletakkan dari titik tersebut, diperoleh titik c - proyeksi horizontal titik C. Koordinat Z (ukuran 40) adalah diletakkan dari titik c x sepanjang garis sambungan proyeksi, diperoleh titik c" - proyeksi frontal titik C.
Contoh 3. Konstruksi proyeksi profil suatu titik menggunakan proyeksi yang diberikan. Diberikan proyeksi titik D - d dan d". Melalui titik O, sumbu proyeksi Oz, Oy dan 1 digambar (Gbr. 4.16, a). Untuk membuat proyeksi profil titik D titik d", proyeksi garis sambungan ditarik tegak lurus terhadap sumbu Oz dan meneruskannya ke kanan di belakang sumbu Oz. Proyeksi profil titik D akan ditempatkan pada garis ini, terletak pada jarak yang sama dari sumbu Oz dengan letak proyeksi horizontal titik d: dari sumbu Ox, yaitu pada jarak dd x. Ruas d z d" dan dd x adalah sama, karena keduanya menentukan jarak yang sama - jarak dari titik D ke bidang proyeksi frontal. Jarak ini adalah koordinat Y dari titik D.
Secara grafis, segmen d z d" dibuat dengan memindahkan segmen dd x dari bidang proyeksi horizontal ke bidang profil. Untuk melakukannya, gambarlah garis sambungan proyeksi yang sejajar dengan sumbu Ox, dapatkan titik d y pada sumbu Oy (Gbr. 4.16, b). Kemudian pindahkan besar ruas Od y ke sumbu Oy 1 , dengan cara menggambar busur dari titik O yang berjari-jari sama dengan ruas Od y sampai berpotongan dengan sumbu Oy 1 (Gbr. 4.16, b). ), kita memperoleh titik dy 1. Titik ini juga dapat dibangun seperti ditunjukkan pada Gambar 4.16, c, dengan menggambar garis lurus membentuk sudut 45° terhadap sumbu Oy dari titik d y. Dari titik d y1, gambarlah a garis sambungan proyeksi sejajar dengan sumbu Oz dan di atasnya terletak ruas yang sama dengan ruas d"d x, diperoleh titik d".
Pemindahan nilai segmen dxd ke bidang profil proyeksi dapat dilakukan dengan menggunakan garis lurus konstan pada gambar (Gbr. 4.16, d). Dalam hal ini garis sambungan proyeksi dd y ditarik melalui proyeksi mendatar dari titik yang sejajar sumbu Oy 1 sampai berpotongan dengan garis lurus tetap, kemudian sejajar dengan sumbu Oy sampai berpotongan dengan kelanjutan proyeksi. jalur koneksi d"d z.
Kasus khusus lokasi titik relatif terhadap bidang proyeksi
Posisi suatu titik relatif terhadap bidang proyeksi ditentukan oleh koordinat yang sesuai, yaitu ukuran segmen garis sambungan proyeksi dari sumbu Ox ke proyeksi yang sesuai. Pada Gambar. 4.17 Koordinat Y titik A ditentukan oleh ruas aa x - jarak titik A ke bidang V. Koordinat Z titik A ditentukan oleh ruas a" a x - jarak titik A ke bidang H. Jika salah satu Jika koordinatnya nol, maka titik tersebut terletak pada bidang proyeksi. Gambar 4.17 menunjukkan contoh perbedaan letak titik relatif terhadap bidang proyeksi. Koordinat Z titik B adalah nol, titik tersebut terletak pada bidang H. Proyeksi frontalnya adalah pada sumbu Ox dan berimpit dengan titik b x Koordinat Y titik C sama dengan nol, titik terletak pada bidang V, proyeksi mendatar c terletak pada sumbu Ox dan berimpit dengan titik c x.
Oleh karena itu, jika suatu titik berada pada bidang proyeksi, maka salah satu proyeksi titik tersebut terletak pada sumbu proyeksi.
Pada Gambar. 4.17, koordinat Z dan Y titik D sama dengan nol, oleh karena itu titik D berada pada sumbu proyeksi Ox dan kedua proyeksinya berimpit.
Peralatan proyeksi
Peralatan proyeksi (Gbr. 1) mencakup tiga bidang proyeksi:
π 1 – bidang proyeksi horizontal;
π 2 – bidang proyeksi frontal;
π 3– bidang proyeksi profil .
Bidang proyeksi saling tegak lurus ( π 1^ π 2^ π 3), dan garis perpotongannya membentuk sumbu:
Persimpangan pesawat π 1 Dan π 2 membentuk sebuah sumbu 0X (π 1∩ π 2 = 0X);
Persimpangan pesawat π 1 Dan π 3 membentuk sebuah sumbu 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);
Persimpangan pesawat π 2 Dan π 3 membentuk sebuah sumbu 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).
Titik potong sumbu (OX∩OY∩OZ=0) dianggap sebagai titik awal (titik 0).
Karena bidang dan sumbu saling tegak lurus, peralatan tersebut mirip dengan sistem koordinat Cartesian.
Bidang proyeksi membagi seluruh ruang menjadi delapan oktan (pada Gambar 1 ditunjukkan dengan angka Romawi). Bidang proyeksi dianggap buram, dan pemirsa selalu berada di dalamnya SAYA-oktan.
Proyeksi ortogonal dengan pusat proyeksi S 1, S 2 Dan S 3 masing-masing untuk bidang proyeksi horizontal, frontal dan profil.
A.
Dari pusat proyeksi S 1, S 2 Dan S 3 sinar proyeksi keluar aku 1, aku 2 Dan aku 3 A
- Sebuah 1 A;
- Sebuah 2– proyeksi frontal suatu titik A;
- Sebuah 3– proyeksi profil suatu titik A.
Suatu titik dalam ruang dicirikan oleh koordinatnya A(x,y,z). Poin Sebuah x, Ay Dan Sebuah z masing-masing pada sumbu 0X, 0Y Dan 0Z menunjukkan koordinat x, kamu Dan z poin A. Pada Gambar. 1 memberikan semua notasi yang diperlukan dan menunjukkan hubungan antar titik A ruang, proyeksi dan koordinatnya.
Diagram titik
Untuk mendapatkan plot suatu titik A(Gbr. 2), pada alat proyeksi (Gbr. 1) bidang π 1 Sebuah 1 0X π 2. Lalu pesawat π 3 dengan proyeksi titik Sebuah 3, putar berlawanan arah jarum jam di sekitar sumbu 0Z, hingga sejajar dengan bidang π 2. Arah rotasi bidang π 2 Dan π 3 ditunjukkan pada Gambar. 1 panah. Pada saat yang sama, lurus SEBUAH 1 x Dan SEBUAH 2 x 0X tegak lurus SEBUAH 1 SEBUAH 2, dan garis lurus SEBUAH 2 x Dan A 3 x akan ditempatkan pada sumbu yang sama 0Z tegak lurus SEBUAH 2 SEBUAH 3. Berikut ini kita akan menyebut baris-baris ini masing-masing vertikal Dan horisontal jalur komunikasi.
Perlu dicatat bahwa ketika berpindah dari peralatan proyeksi ke diagram, objek yang diproyeksikan menghilang, tetapi semua informasi tentang bentuknya, dimensi geometris, dan lokasinya dalam ruang tetap dipertahankan.
A(x A , kamu A , z Ax A , kamu A Dan zA dalam urutan berikut (Gbr. 2). Urutan ini disebut metode pembuatan diagram titik.
1. Sumbu digambar secara ortogonal SAPI, OY Dan ONS.
2. Pada porosnya SAPI xA poin A dan dapatkan posisi intinya Sebuah x.
3. Melalui intinya Sebuah x tegak lurus terhadap sumbu SAPI
Sebuah x sepanjang sumbu oh nilai numerik koordinat diplot kamu A poin A Sebuah 1 pada diagram.
Sebuah x sepanjang sumbu ONS nilai numerik koordinat diplot z A poin A Sebuah 2 pada diagram.
6. Melalui intinya Sebuah 2 sejajar dengan sumbu SAPI garis komunikasi horizontal ditarik. Perpotongan garis ini dan sumbunya ONS akan memberikan posisi intinya Sebuah z.
7. Pada jalur komunikasi horizontal dari suatu titik Sebuah z sepanjang sumbu oh nilai numerik koordinat diplot kamu A poin A dan posisi proyeksi profil titik ditentukan Sebuah 3 pada diagram.
Karakteristik poin
Semua titik dalam ruang dibagi menjadi titik-titik posisi khusus dan umum.
Poin dari posisi tertentu. Titik-titik yang termasuk dalam alat proyeksi disebut titik-titik yang kedudukannya tertentu. Ini termasuk titik-titik milik bidang proyeksi, sumbu, titik asal dan pusat proyeksi. Ciri-ciri titik posisi tertentu adalah:
Metamatematika – satu, dua atau semua nilai koordinat numerik sama dengan nol dan (atau) tak terhingga;
Pada diagram, dua atau semua proyeksi suatu titik terletak pada sumbu dan (atau) terletak di tak terhingga.
Poin posisi umum. Titik-titik kedudukan umum meliputi titik-titik yang tidak termasuk dalam alat proyeksi. Misalnya, titik A pada Gambar. 1 dan 2.
Dalam kasus umum, nilai numerik dari koordinat suatu titik mencirikan jaraknya dari bidang proyeksi: koordinat X dari pesawat π 3; koordinat kamu dari pesawat π 2; koordinat z dari pesawat π 1. Perlu diperhatikan bahwa tanda nilai numerik koordinat menunjukkan arah perpindahan titik dari bidang proyeksi. Bergantung pada kombinasi tanda untuk nilai numerik koordinat suatu titik, itu tergantung pada oktannya.
Metode Dua Gambar
Dalam praktiknya, selain metode proyeksi penuh, juga digunakan metode dua gambar. Bedanya, metode ini menghilangkan proyeksi ketiga objek. Untuk mendapatkan peralatan proyeksi dari metode dua gambar, bidang proyeksi profil dengan pusat proyeksinya dikeluarkan dari peralatan proyeksi penuh (Gbr. 3). Apalagi di bagian porosnya 0X titik referensi ditetapkan (titik 0 ) dan darinya tegak lurus terhadap sumbu 0X dalam bidang proyeksi π 1 Dan π 2 menggambar sumbu 0Y Dan 0Z masing-masing.
Pada perangkat ini, seluruh ruang dibagi menjadi empat kuadran. Pada Gambar. 3 mereka ditunjukkan dengan angka Romawi.
Bidang proyeksi dianggap buram, dan pemirsa selalu berada di dalamnya SAYA kuadran ke-.
Mari kita pertimbangkan pengoperasian perangkat menggunakan contoh memproyeksikan suatu titik A.
Dari pusat proyeksi S 1 Dan S 2 sinar proyeksi keluar aku 1 Dan aku 2. Sinar-sinar ini melewati suatu titik A dan berpotongan dengan bidang proyeksi membentuk proyeksinya:
- Sebuah 1– proyeksi horizontal suatu titik A;
- Sebuah 2– proyeksi frontal suatu titik A.
Untuk mendapatkan plot suatu titik A(Gbr. 4), pada alat proyeksi (Gbr. 3) bidang π 1 dengan proyeksi titik yang dihasilkan Sebuah 1 memutar searah jarum jam di sekitar sumbu 0X, hingga sejajar dengan bidang π 2. Arah putaran bidang π 1 ditunjukkan pada Gambar. 3 anak panah. Dalam hal ini, pada diagram suatu titik yang diperoleh dengan metode dua gambar, hanya satu yang tersisa vertikal jalur komunikasi SEBUAH 1 SEBUAH 2.
Dalam praktiknya, merencanakan suatu titik A(x A , kamu A , z A) dilakukan sesuai dengan nilai numerik koordinatnya x A , kamu A Dan zA dalam urutan berikut (Gbr. 4).
1. Sumbu digambar SAPI dan titik referensi ditetapkan (titik 0 ).
2. Pada porosnya SAPI nilai numerik koordinat diplot xA poin A dan dapatkan posisi intinya Sebuah x.
3. Melalui intinya Sebuah x tegak lurus terhadap sumbu SAPI garis komunikasi vertikal ditarik.
4. Pada jalur komunikasi vertikal dari suatu titik Sebuah x sepanjang sumbu oh nilai numerik koordinat diplot kamu A poin A dan posisi proyeksi horizontal titik tersebut ditentukan Sebuah 1 oh tidak digambar, tetapi diasumsikan nilai positifnya terletak di bawah sumbu SAPI, dan yang negatif lebih tinggi.
5. Pada jalur komunikasi vertikal dari suatu titik Sebuah x sepanjang sumbu ONS nilai numerik koordinat diplot z A poin A dan posisi proyeksi frontal titik ditentukan Sebuah 2 pada diagram. Perlu dicatat bahwa diagram adalah sumbu ONS tidak digambar, tetapi diasumsikan nilai positifnya terletak di atas sumbu SAPI, dan yang negatif lebih rendah.
Poin yang bersaing
Titik-titik pada berkas proyeksi yang sama disebut titik-titik bersaing. Dalam arah pancaran sinar, mereka mempunyai proyeksi yang sama, yaitu. proyeksi mereka identik. Ciri khas titik-titik yang bersaing pada diagram adalah kebetulan yang sama dari proyeksi mereka dengan nama yang sama. Persaingannya terletak pada visibilitas proyeksi ini secara relatif terhadap pengamat. Dengan kata lain, dalam ruang bagi pengamat, salah satu titik terlihat, sedangkan titik lainnya tidak. Dan karenanya, dalam gambar: salah satu proyeksi titik-titik yang bersaing terlihat, dan proyeksi titik lainnya tidak terlihat.
Pada model proyeksi spasial (Gbr. 5) dari dua titik yang bersaing A Dan DI DALAM titik terlihat A berdasarkan dua sifat yang saling melengkapi. Dilihat dari rantainya S 1 →A→B dot A lebih dekat ke pengamat daripada titiknya DI DALAM. Dan karenanya, lebih jauh dari bidang proyeksi π 1(itu. z A > z A).
Beras. 5 Gambar.6
Jika intinya sendiri terlihat A, maka proyeksinya juga terlihat Sebuah 1. Sehubungan dengan proyeksi yang bertepatan dengannya B1. Untuk kejelasan dan, jika perlu, pada diagram, proyeksi titik-titik yang tidak terlihat biasanya diapit tanda kurung.
Mari kita hilangkan titik-titik pada model A Dan DI DALAM. Proyeksi mereka yang bertepatan pada pesawat akan tetap ada π 1 dan proyeksi terpisah – aktif π 2. Mari kita tinggalkan proyeksi frontal pengamat (⇩) yang terletak di tengah proyeksi S 1. Kemudian, sepanjang rangkaian gambar ⇩ → Sebuah 2 → B 2 akan mungkin untuk menilai itu z A > z B dan intinya sendiri terlihat A dan proyeksinya Sebuah 1.
Mari kita juga mempertimbangkan poin-poin yang bersaing DENGAN Dan D dalam penampilan relatif terhadap bidang π 2. Karena pancaran umum memproyeksikan titik-titik ini aku 2 sejajar dengan sumbu 0Y, lalu tanda visibilitas poin yang bersaing DENGAN Dan D ditentukan oleh ketimpangan kamu C > kamu D. Oleh karena itu, poin itu D ditutup oleh sebuah titik DENGAN dan sesuai dengan proyeksi titik tersebut D 2 akan tercakup dalam proyeksi titik tersebut dari 2 di permukaan π 2.
Mari kita pertimbangkan bagaimana visibilitas titik-titik yang bersaing dalam gambar kompleks ditentukan (Gbr. 6).
Dilihat dari proyeksi yang terjadi secara kebetulan Sebuah 1≡DALAM 1 poin-poin itu sendiri A Dan DI DALAM berada pada satu balok yang diproyeksikan sejajar dengan sumbu 0Z. Artinya koordinatnya bisa dibandingkan z A Dan z B poin-poin ini. Untuk melakukan ini, kami menggunakan bidang proyeksi frontal dengan gambar titik-titik yang terpisah. Pada kasus ini z A > z B. Oleh karena itu proyeksinya terlihat Sebuah 1.
Poin C Dan D pada gambar kompleks yang sedang dipertimbangkan (Gbr. 6) juga berada pada balok proyeksi yang sama, tetapi hanya sejajar dengan sumbu 0Y. Oleh karena itu, dari perbandingan kamu C > kamu D kami menyimpulkan bahwa proyeksi C 2 terlihat.
Peraturan umum. Visibilitas untuk mencocokkan proyeksi titik-titik yang bersaing ditentukan dengan membandingkan koordinat titik-titik tersebut dalam arah sinar proyeksi umum. Proyeksi titik yang koordinatnya lebih besar terlihat. Dalam hal ini, koordinat pada bidang proyeksi dibandingkan dengan gambar titik yang terpisah.
