Jelajahi solusi contoh fungsi. Soal dari kumpulan Kuznetsov L.A. Inilah yang terjadi

Membangun grafik suatu fungsi dengan menggunakan titik tunggal meliputi studi tentang fungsi itu sendiri: menentukan rentang nilai argumen yang diperbolehkan, menentukan rentang variasi fungsi, menentukan fungsi genap atau ganjil, menentukan breakpoints fungsi, mencari interval tanda konstan suatu fungsi, mencari asimtot grafik fungsi. Dengan menggunakan turunan pertama, Anda dapat menentukan interval kenaikan (penurunan) fungsi dan keberadaan titik ekstrem. Dengan menggunakan turunan kedua, Anda dapat menentukan interval kecembungan (cekung) grafik fungsi, serta titik belok. Pada saat yang sama, kami percaya bahwa suatu saat nanti xo bersinggungan dengan grafik fungsi di atas kurva, maka grafik fungsi pada titik tersebut bersifat cembung; jika garis singgungnya berada di bawah kurva, maka grafik fungsi pada titik tersebut cekung.

y(x) = x³/(x²+3)

1. Studi fungsi.

a) Rentang nilai argumen yang diperbolehkan: (-∞,+∞).

b) Luas perubahan fungsi: (-∞, +∞).

c) Fungsinya ganjil, karena kamu(-x) = -y(x), itu. grafik fungsinya simetris terhadap titik asal.

d) Fungsi kontinu, tidak ada titik diskontinuitas, sehingga tidak ada asimtot vertikal.

e) Mencari persamaan asimtot miring y(x) = k∙x + b, Di mana

k = /X Dan b =

Dalam contoh ini, parameter asimtotnya masing-masing sama:

k = , karena derajat tertinggi pembilang dan penyebutnya sama, sama dengan tiga, dan perbandingan koefisien pada derajat tertinggi tersebut sama dengan satu. Kapan x→ + ∞ batas luar biasa ketiga digunakan untuk menghitung batas tersebut.

b = = = 0, saat menghitung limit di x→ + ∞ menggunakan batas luar biasa ketiga. Jadi, grafik fungsi ini memiliki asimtot yang miring kamu=x.

kamu´= /(x²+3)² - turunannya dihitung menggunakan rumus diferensiasi hasil bagi.

a) Tentukan angka nol dari turunan dan titik diskontinuitas dengan menyamakan pembilang dan penyebut turunannya masing-masing dengan nol: kamu´=0, Jika x=0. Derivatif pertama tidak mempunyai titik diskontinuitas.

b) Kita menentukan interval tanda konstan dari turunannya, yaitu. interval monotonisitas fungsi: di -∞ turunannya positif, sehingga fungsinya bertambah; pada 0≤x<+∞, turunannya tetap positif, yaitu. fungsinya juga meningkat.

3. Mempelajari suatu fungsi menggunakan turunan ke-2.

Dengan menggunakan rumus untuk membedakan hasil bagi dan melakukan transformasi aljabar, kita memperoleh: y´´ = /(x²+3)³

a) Tentukan angka nol dari turunan ke-2 dan interval tanda konstannya: kamu´´ = 0, Jika x=0 Dan x= + 3 . Derivatif ke-2 tidak mempunyai titik diskontinuitas.

b) Mari kita tentukan interval keteguhan turunan ke-2, yaitu. interval kecembungan atau kecekungan grafik suatu fungsi. Pada -∞ dan di 0 turunan kedua kamu´´>0, yaitu. Grafik fungsinya cekung. Pada - 3 dan di 3 turunan kedua kamu´´<0, itu. Grafik fungsinya cembung. Sejak di poin x=0 Dan x= + 3 turunan keduanya sama dengan nol, dan tandanya berubah, maka titik-titik tersebut merupakan titik belok grafik fungsi (Gbr. 4).

Contoh: Jelajahi suatu fungsi dan buat grafiknya y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x

1.Studi fungsi.

a) Rentang nilai yang dapat diterima: (-∞,0)U(0,+∞).

b) Luas perubahan fungsi: (-∞,+∞).

d) Fungsi ini mempunyai titik diskontinuitas jenis ke-2 di x=0.

e) Menemukan asimtot. Karena fungsi tersebut mempunyai titik diskontinuitas jenis ke-2 di x=0, maka fungsi tersebut mempunyai asimtot vertikal x=0. Fungsi ini tidak memiliki asimtot miring atau horizontal.

2.Mempelajari suatu fungsi menggunakan turunan pertama.

Mari kita transformasikan fungsinya dengan melakukan semua operasi aljabar. Hasilnya, bentuk fungsinya akan disederhanakan secara signifikan: y(x)=x²-x-1+(1/x). Sangat mudah untuk mengambil turunan dari penjumlahan suku-suku tersebut dan kita mendapatkan: y´ = 2x – 1 –(1/x²).

a) Tentukan angka nol dan titik diskontinuitas turunan ke-1. Kita bawa ekspresi turunan pertama ke penyebut yang sama dan, dengan menyamakan pembilangnya dan kemudian penyebutnya ke nol, kita memperoleh: kamu´=0 pada x=1, kamu´ - tidak ada kapan x=0.

b) Mari kita tentukan interval monotonisitas fungsi tersebut, yaitu. interval tanda konstan turunannya. Pada -∞<X<0 Dan 0 turunan pertama kamu´<0, oleh karena itu, fungsinya menurun. Pada 1≤ X<∞ turunan pertama kamu´>0, karenanya fungsinya meningkat. Pada intinya x=1 turunan pertama berubah tanda dari minus menjadi plus, oleh karena itu, pada titik ini fungsinya mempunyai minimum. Minimumnya datar, karena pada x=1 turunan kamu´=0.

3.

y´´= 2 + 2/x³. Dengan menggunakan turunan ke-2, kita menentukan interval kecembungan atau kecekungan grafik fungsi, serta, jika ada, titik belok. Mari kita nyatakan ekspresi turunan kedua ke penyebut yang sama, dan kemudian, dengan menyamakan pembilang dan penyebutnya dengan nol, kita memperoleh: kamu´´=0 pada x=-1, y´´- tidak ada kapan x=0.

Pada -∞ dan di 00 – Grafik fungsinya cekung. Pada -1≤ X<0 – grafik fungsinya cembung. Karena pada intinya x=-1 turunan keduanya berubah tanda dari plus ke minus, lalu titik x=-1 – titik belok grafik fungsi (Gbr. 5).

beras. 4 gambar. 5

Contoh: Jelajahi suatu fungsi dan buat grafiknya y(x) = ln (x²+4x+5)

1.Studi fungsi.

a) Rentang nilai argumen yang diperbolehkan: fungsi logaritmik hanya ada untuk argumen yang lebih besar dari nol, oleh karena itu, x²+4x+5>0 – kondisi ini terpenuhi untuk semua nilai argumen, mis. O.D.Z. – (-∞, +∞).

b) Luas perubahan fungsi: (0, +∞). Mari kita ubah ekspresi di bawah tanda logaritma dan samakan fungsinya dengan nol: dalam((x+2)²+1) =0. Itu. fungsinya menjadi nol ketika x=-2. Grafik fungsinya akan simetris terhadap garis lurus x=-2.

c) Fungsinya kontinu dan tidak memiliki titik henti sementara.

d) Grafik fungsi tidak mempunyai asimtot.

2.Mempelajari suatu fungsi menggunakan turunan pertama.

Dengan menggunakan aturan untuk mendiferensiasikan fungsi kompleks, kita peroleh: kamu´= (2x+4)/(x²+4x+5)

a) Mari kita tentukan titik nol dan titik diskontinuitas turunannya: kamu´=0, pada x=-2. Turunan pertama tidak mempunyai titik diskontinuitas.

b) Kita menentukan interval monotonisitas fungsi tersebut, yaitu. interval tanda konstan turunan pertama: di -∞<X<-2 turunan kamu´<0, oleh karena itu, fungsinya menurun; kapan -2 turunan kamu´>0, karenanya fungsinya meningkat. Karena turunannya pada titik tersebut x=-2 berubah tanda dari minus menjadi plus, maka pada titik ini fungsinya sudah minimum (datar).

3.Mempelajari fungsi turunan ke-2.

Mari kita nyatakan turunan pertama dalam bentuk berikut: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².

a) Mari kita tentukan interval tanda konstan turunan keduanya. Karena penyebut turunan ke-2 selalu non-negatif, maka tanda turunan kedua hanya ditentukan oleh pembilangnya. kamu´´=0 pada x=-3 Dan x=-1.

Pada -∞ dan di -1 turunan kedua kamu´´<0, oleh karena itu, grafik fungsi pada interval ini adalah cembung. Pada -3 turunan kedua kamu´´>0, oleh karena itu, grafik fungsi pada interval ini cekung. Poin x=-3 Dan x=-1 – titik belok grafik fungsi, karena pada titik-titik tersebut tanda turunan kedua berubah, dan turunan kedua itu sendiri menjadi nol (Gbr. 6).

Contoh: Jelajahi Fungsi dan Plot Grafik y(x) = x²/(x+2)²

1.Studi fungsi.

a) Rentang nilai argumen yang diperbolehkan (-∞, -2)U(-2, +∞).

b) Luas perubahan fungsi².

a) Mari kita tentukan angka nol dan interval tanda konstan dari turunan kedua. Karena Karena penyebut suatu pecahan selalu positif, maka tanda turunan keduanya ditentukan seluruhnya oleh pembilangnya. Pada -∞ dan di -2 turunan kedua kamu´´>0, oleh karena itu, grafik fungsi pada interval ini cekung; pada 1≤x<+∞ turunan kedua kamu´´<0 , oleh karena itu, grafik fungsi pada interval ini adalah cembung. Saat melewati suatu titik x=1, tanda turunan keduanya berubah dari plus ke minus, yaitu. titik ini adalah titik belok grafik fungsi. Pada x→+∞ grafik fungsi tersebut mendekati asimtot horizontalnya secara asimtotik kamu=1 di bawah. Pada x→ -∞, grafik mendekati asimtot horizontalnya dari atas (Gbr. 7).

Akan lebih mudah untuk melakukan studi lengkap tentang fungsi dan membuat grafiknya sesuai dengan skema berikut:

1) temukan domain definisi fungsi;

2) mengetahui fungsi genap atau ganjil, periodik;

3) menjajaki kesinambungan, menemukan titik putus dan mengetahui sifat putusnya;

4) mencari asimtot grafik fungsi;

5) menyelidiki monotonisitas suatu fungsi dan menemukan ekstremnya;

6) mencari titik belok, menentukan interval kecembungan dan kecekungan grafik fungsi;

7) menentukan titik-titik tambahan pada grafik fungsi, misalnya titik potongnya dengan sumbu koordinat.

Hasil setiap poin harus segera tercermin pada grafik dan konsisten dengan hasil kajian pada poin-poin sebelumnya.

Contoh 1.

Lakukan studi lengkap tentang fungsi tersebut dan buatlah grafiknya.

1. Fungsi didefinisikan dalam interval xÎ (-¥; 1) È (-1; +¥).

2. Fungsinya tidak boleh genap atau ganjil, karena domain definisinya tidak simetris terhadap 0. Oleh karena itu, fungsi ini berbentuk umum, yaitu. tidak memiliki properti paritas. Fungsinya juga tidak periodik.

Mari kita ingat kembali definisinya:

Fungsinya disebut bahkan, jika dua kondisi terpenuhi:

a) domain definisinya simetris terhadap nol,

b) untuk semua nilai X dari domain definisi kesetaraan terpenuhi.

Grafik fungsi genap memiliki simetri aksial terhadap sumbunya oh.

Fungsinya disebut aneh, Jika

a) daerah definisi fungsinya simetris terhadap nol,

b) untuk "x di luar domain definisi.

Grafik fungsi ganjil mempunyai simetri sentral terhadap titik asal.

Fungsinya disebut berkala, jika ada nomor T> 0 , sehingga kesetaraan berlaku untuk " X dari domain definisi.

Nomor T dipanggil periode fungsinya, dan itu cukup untuk membuat grafiknya pada interval panjang berapa pun T, dan kemudian secara berkala melanjutkan ke seluruh area definisi.

3. Fungsi tersebut kontinu untuk semua xÎ (-¥; -1) È (-1; +¥).

Fungsi ini bersifat dasar, yang dibentuk dengan membagi dua fungsi dasar dasar kontinu dan . Oleh karena itu, berdasarkan sifat-sifat fungsi kontinu, suatu fungsi tertentu kontinu di semua titik di mana fungsi tersebut didefinisikan.

Dot x = -1 adalah titik istirahat, karena fungsi ini tidak didefinisikan di dalamnya. Untuk menentukan sifat (tipe) diskontinuitas, mari kita hitung. Oleh karena itu, kapan x = -1 fungsi tersebut mempunyai diskontinuitas tak terhingga (diskontinuitas jenis kedua).

4. Asimtot grafik suatu fungsi.

Asimtot vertikal adalah garis lurus x = -1(ini mengikuti studi tentang diskontinuitas fungsi).

Kami mencari asimtot miring dengan persamaan , dimana

Jadi, adalah persamaan asimtot miring (pada x® ±¥).

5. Kita menentukan monotonisitas dan ekstrem suatu fungsi menggunakan turunan pertamanya:

Titik kritis ditentukan dari kondisi:

kamu maksimal =y(-3)= .

6. Kita mencari interval kecembungan dan kecekungan grafik suatu fungsi, titik beloknya menggunakan turunan kedua:

Titik-titik yang mencurigakan terjadinya infleksi ditentukan dari kondisi sebagai berikut:

Kondisi yang memadai untuk titik konveksitas, cekungan dan belok:

Dot HAI(0; 0) adalah titik belok grafik.

Seringkali hasil mempelajari suatu fungsi dengan menggunakan turunan pertama dan kedua disajikan dalam bentuk tabel umum yang mencerminkan sifat-sifat utama grafik fungsi:

X (-¥;-3) -3 (-3;-1) -1 (-1;0) (0;+¥)
+ - tidak ada + +
- - - tidak ada - +
meningkat, cekung maks Menurun, cekung tidak ada meningkat, cekung = 0 titik belok meningkat, cembung
Semua hasil yang diperoleh dari mempelajari suatu fungsi tercermin dalam grafiknya.

Contoh 2.

OOF: xÎ (-¥; - ) È (- ; ) È ( ;+¥).

Fungsinya ganjil karena domain definisinya simetris terhadap nol dan untuk " XÎ OOF persamaan berikut berlaku:

Oleh karena itu, grafik fungsi tersebut memiliki simetri sentral terhadap titik asal.

Fungsi tersebut kontinu untuk semua xÎ (-¥; - ) È (- ; ) È ( ; +¥), karena suatu fungsi dasar kontinu pada OOF-nya. Titik x=- dan x= adalah titik diskontinuitas tak terhingga, karena,

Asimtot vertikal grafik tersebut berupa garis lurus x = - Dan x =.

Asimtot miring: , dimana

= = 0 .

Ini adalah persamaan asimtot miring.

Interval kenaikan dan penurunan suatu fungsi, ekstremnya.

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem:

Þ x 1 = 0, x 2 = 3, x 3 = -3- titik kritis.

Kondisi yang cukup untuk monotonisitas dan ekstrem:

kamu maksimal =y(-3)= ;

kamu menit =kamu(3)= .

Interval konveksitas, kecekungan grafik fungsi dan titik belok:

Dot x = 0 mencurigakan karena membungkuk.

Kondisi yang cukup:

Titik O(0; 0) merupakan titik belok.

Tabel umum properti utama grafik untuk fungsi tertentu hanya dapat dikompilasi untuk xО)

X	(-¥;-3)	-3	(-3;-1)	-1	(-1;0)		(0;+¥)
	+		-	tidak ada	+		+
	-	-	-	tidak ada	-		+
	meningkat, cekung	maks	Menurun, cekung	tidak ada	meningkat, cekung	= 0 titik belok	meningkat, cembung