Smo dengan gotong royong antar saluran. QS dengan penolakan dan gotong royong penuh untuk arus massal. Grafik, sistem persamaan, hubungan terhitung. Sistem antrian dengan kegagalan dan aliran heterogen

Rumusan masalah. Di pintu masuk N-channel QS menerima aliran permintaan paling sederhana dengan kepadatan λ. Kepadatan aliran layanan paling sederhana untuk setiap saluran adalah μ. Jika permintaan yang diterima untuk layanan mendapati semua saluran gratis, maka permintaan tersebut diterima untuk diservis dan dilayani secara bersamaan aku saluran ( aku < N). Dalam hal ini, aliran layanan untuk satu aplikasi akan memiliki intensitas aku.

Jika permintaan layanan yang diterima menemukan satu permintaan di sistem, lalu kapan N ≥ 2aku aplikasi yang baru tiba akan diterima untuk dilayani dan akan dilayani secara bersamaan aku saluran.

Jika permintaan layanan yang diterima tertangkap dalam sistem Saya aplikasi ( Saya= 0,1, ...), sedangkan ( Saya+ 1)aku≤ N, maka aplikasi yang diterima akan dilayani aku saluran dengan kinerja keseluruhan aku. Jika aplikasi yang baru diterima terjebak dalam sistem J aplikasi dan pada saat yang sama dua ketidaksetaraan dipenuhi secara bersama-sama: ( J + 1)aku > N Dan J < N, maka permohonan akan diterima untuk dilayani. Dalam hal ini, beberapa aplikasi dapat diservis aku saluran, bagian lainnya lebih kecil dari aku, jumlah saluran, tetapi semua orang akan sibuk dalam melayani N saluran yang didistribusikan secara acak antar aplikasi. Jika aplikasi yang baru diterima terjebak dalam sistem N permohonan, maka ditolak dan tidak akan dilayani. Permohonan yang diterima untuk layanan dilayani sampai selesai (permohonan "pasien").

Grafik keadaan sistem seperti itu ditunjukkan pada Gambar. 3.8.

Beras. 3.8. Grafik status QS dengan kegagalan dan parsial

gotong royong antar saluran

Perhatikan bahwa grafik keadaan sistem sampai dengan keadaan X H hingga notasi parameter aliran, bertepatan dengan grafik keadaan sistem antrian klasik dengan kegagalan, ditunjukkan pada Gambar. 3.6.

Karena itu,

(Saya = 0, 1, ..., H).

Grafik status sistem dimulai dari status X H dan diakhiri dengan negara X N, bertepatan, hingga notasi, dengan grafik keadaan QS dengan bantuan timbal balik lengkap yang ditunjukkan pada Gambar. 3.7. Dengan demikian,

.

Mari kita perkenalkan notasi λ / akuμ = ρ aku ; λ / Nμ = χ, maka

Dengan mempertimbangkan kondisi normalisasi, kita peroleh

Untuk mempersingkat notasi selanjutnya, kami memperkenalkan notasi

Mari kita cari tahu ciri-ciri sistemnya.

Kemungkinan layanan permintaan

Jumlah rata-rata aplikasi dalam sistem adalah

Jumlah rata-rata saluran sibuk

.

Kemungkinan saluran tertentu akan sibuk

.

Kemungkinan hunian semua saluran sistem

3.4.4. Sistem antrian dengan kegagalan dan aliran heterogen

Rumusan masalah. Di pintu masuk N-Sistem QS saluran menerima aliran paling sederhana yang heterogen dengan intensitas total λ Σ , dan

λ Σ = ,

di mana λ Saya– intensitas aplikasi di Saya sumber ke-th.

Karena aliran permintaan dianggap sebagai superposisi persyaratan dari berbagai sumber, aliran gabungan dengan akurasi yang cukup untuk praktik dapat dianggap sebagai Poisson untuk N = 5...20 dan λ Saya ≈ λ Saya +1 (Saya1,N). Intensitas layanan satu perangkat didistribusikan menurut hukum eksponensial dan sama dengan = 1/ T. Perangkat servis untuk melayani permintaan dihubungkan secara seri, yang setara dengan menambah waktu layanan sebanyak jumlah perangkat digabungkan untuk servis:

T obs = kt, μ obs = 1 / kt = μ/ k,

Di mana T obs – meminta waktu servis; k– jumlah perangkat layanan; μ obs – meminta intensitas servis.

Dalam kerangka asumsi yang diadopsi pada Bab 2, kami merepresentasikan keadaan QS sebagai vektor, di mana k M– jumlah aplikasi dalam sistem, yang masing-masing dilayani M perangkat; L = Q maks – Q min +1 – jumlah aliran input.

Kemudian jumlah perangkat yang terisi dan kosong ( N zan ( ),N sv ( )) mampu didefinisikan sebagai berikut:

Dari negara bagian sistem dapat berpindah ke negara bagian lain mana pun . Sejak sistem beroperasi L aliran input, maka dari setiap negara bagian itu berpotensi dimungkinkan L transisi langsung. Namun, karena sumber daya sistem yang terbatas, tidak semua transisi ini dapat dilakukan. Biarkan SMO berada dalam keadaan dan sebuah permintaan datang menuntut M perangkat. Jika M≤ N sv ( ), maka permintaan layanan diterima dan sistem masuk ke keadaan dengan intensitas λ M. Jika aplikasi memerlukan lebih banyak perangkat daripada yang tersedia, maka layanannya akan ditolak, dan QS akan tetap dalam keadaan tersebut . Jika kamu bisa ada aplikasi yang membutuhkan M perangkat, kemudian masing-masing dilayani dengan intensitas  M, dan total intensitas pelayanan permintaan tersebut (μ M) didefinisikan sebagai μ M = k M μ / M. Ketika pelayanan salah satu permintaan selesai, sistem akan masuk ke keadaan di mana koordinat yang sesuai memiliki nilai yang kurang dari satu daripada di negara bagian. ,=, yaitu transisi sebaliknya akan terjadi. Pada Gambar. 3.9 menunjukkan contoh model vektor QS untuk N = 3, L = 3, Q menit = 1, Q maks = 3, P(M) = 1/3, λ Σ = λ, intensitas pemeliharaan perangkat – μ.

Beras. 3.9. Contoh grafik model vektor QS dengan kegagalan layanan

Jadi setiap negara bagian ditandai dengan jumlah aplikasi yang dilayani dari jenis tertentu. Misalnya saja di suatu negara
satu permintaan dilayani oleh satu perangkat dan satu permintaan oleh dua perangkat. Dalam keadaan ini, semua perangkat sibuk, oleh karena itu, hanya transisi terbalik yang mungkin (kedatangan permintaan apa pun dalam keadaan ini menyebabkan penolakan layanan). Jika pelayanan permintaan jenis pertama telah berakhir lebih awal, sistem akan masuk ke status (0,1,0) dengan intensitas μ, tetapi jika pelayanan permintaan tipe kedua telah berakhir lebih awal, maka sistem akan masuk ke keadaan (0,1,0) dengan intensitas μ/2.

Menggunakan grafik keadaan dengan intensitas transisi yang diplot, sistem persamaan aljabar linier disusun. Dari penyelesaian persamaan tersebut ditemukan probabilitas R(), yang menentukan karakteristik QS.

Pertimbangkan untuk menemukan R otk (kemungkinan penolakan layanan).

,

Di mana S– jumlah keadaan grafik model vektor QS; R() adalah probabilitas sistem berada dalam keadaan tersebut .

Jumlah negara bagian menurut ditentukan sebagai berikut:

, (3.22)

;

Mari kita tentukan jumlah keadaan model vektor QS menurut (3.22) untuk contoh yang ditunjukkan pada Gambar. 3.9.

.

Karena itu, S = 1 + 5 + 1 = 7.

Untuk menerapkan persyaratan nyata untuk perangkat layanan, sejumlah besar N (40, ..., 50), dan permintaan jumlah perangkat penyajian dalam suatu aplikasi dalam praktiknya berada pada kisaran 8–16. Dengan rasio instrumen dan permintaan seperti itu, cara yang diusulkan untuk menemukan probabilitas menjadi sangat rumit karena model vektor QS memiliki banyak status S(50) = 1790, S(60) = 4676, S(70) = = 11075, dan besarnya matriks koefisien sistem persamaan aljabar sebanding dengan kuadrat S, yang memerlukan sejumlah besar memori komputer dan banyak waktu komputer. Keinginan untuk mengurangi jumlah kalkulasi mendorong pencarian kemampuan kalkulasi berulang R() berdasarkan bentuk perkalian yang mewakili probabilitas keadaan. Makalah ini menyajikan pendekatan penghitungan R():

(3.23)

Menggunakan kriteria kesetaraan keseimbangan global dan terperinci dari rantai Markov yang diusulkan dalam karya ini memungkinkan kita untuk mengurangi dimensi masalah dan melakukan penghitungan pada komputer berdaya sedang menggunakan penghitungan berulang. Selain itu, dimungkinkan untuk:

– melakukan penghitungan untuk nilai apa pun N;

– mempercepat perhitungan dan mengurangi biaya waktu mesin.

Karakteristik lain dari sistem dapat ditentukan dengan cara yang sama.

Sistem persamaan

QS dengan kegagalan untuk sejumlah aliran layanan secara acak; model vektor untuk aliran Poisson. Grafik, sistem persamaan.

Mari kita nyatakan QS sebagai vektor, di mana km– jumlah aplikasi dalam sistem, yang masing-masing dilayani M perangkat; L= Q maks – Q min +1 – jumlah aliran input.

Jika permintaan layanan diterima dan sistem memasuki keadaan dengan intensitas λ M.

Ketika pelayanan salah satu permintaan selesai, sistem akan berpindah ke keadaan di mana koordinat yang bersangkutan memiliki nilai yang lebih kecil satu daripada keadaan , = , yaitu. transisi sebaliknya akan terjadi.

Contoh model vektor QS untuk N = 3, L = 3, Q menit = 1, Q maks = 3, P(M) = 1/3, λ Σ = λ, intensitas pemeliharaan perangkat – μ.

Menggunakan grafik keadaan dengan intensitas transisi yang diplot, sistem persamaan aljabar linier disusun. Dari penyelesaian persamaan tersebut ditemukan probabilitas R(), dimana karakteristik QS ditentukan.

QS dengan antrian tak terbatas untuk aliran Poisson. Grafik, sistem persamaan, hubungan terhitung.

Grafik sistem

Di mana N– jumlah saluran layanan, aku– jumlah saluran yang saling membantu

QS dengan antrian tak terbatas dan bantuan timbal balik parsial untuk aliran sewenang-wenang. Grafik, sistem persamaan, hubungan terhitung.

Grafik sistem

Sistem persamaan

–λ R 0 + Nμ R 1 =0,

.………………

–(λ + Nμ) hal+ λ hal –1 + Nμ hal +1 =0 (k = 1,2, ... , N–1),

……………....

-(λ+ Nμ) hal+ λ hal –1 + Nμ Р n+1=0,

……………….

-(λ+ Nμ) Pn+j+ λ n+j –1 + Nμ n+j+1=0, j=(1,2,….,∞)

QS dengan antrian tak terbatas dan bantuan timbal balik lengkap untuk thread sewenang-wenang. Grafik, sistem persamaan, hubungan terhitung.

Grafik sistem

Sistem persamaan

QS dengan antrian terbatas untuk aliran Poisson. Grafik, sistem persamaan, hubungan terhitung.

Grafik sistem

Sistem persamaan

Rasio perhitungan:

,

Dalam sebagian besar kasus, dalam praktiknya, sistem antrian bersifat multi-saluran, yaitu beberapa permintaan dapat dilayani secara paralel, dan oleh karena itu, , model dengan saluran layanan(di mana jumlah saluran layanan N>1) tidak diragukan lagi menarik.
Proses antrian yang dijelaskan oleh model ini ditandai dengan intensitas aliran masukan λ, dan tidak lebih dari N klien (aplikasi). Durasi rata-rata melayani satu permintaan adalah 1/μ. Mode pengoperasian saluran servis tertentu tidak mempengaruhi mode pengoperasian saluran servis lain dalam sistem, dan durasi prosedur servis untuk setiap saluran adalah variabel acak yang tunduk pada hukum distribusi eksponensial. Tujuan akhir penggunaan saluran layanan yang terhubung paralel adalah untuk meningkatkan (dibandingkan dengan sistem saluran tunggal) kecepatan permintaan layanan dengan melakukan layanan secara bersamaan N klien.
Solusi stasioner sistem mempunyai bentuk:
;
Di mana, .
Rumus untuk menghitung probabilitas disebut Rumus Erlang.
Mari kita tentukan karakteristik probabilistik dari fungsi QS multi-saluran dengan kegagalan dalam mode stasioner:
kemungkinan kegagalan:
.
karena permohonan ditolak jika datang pada saat semua saluran sedang sibuk. Besarnya R terbuka mencirikan kelengkapan pelayanan arus masuk;
kemungkinan bahwa permohonan tersebut akan diterima untuk dilayani(alias kapasitas relatif sistem) saling melengkapi R terbuka untuk satu:
.
keluaran absolut

jumlah rata-rata saluran yang ditempati oleh layanan() pengikut:

Nilai tersebut mencirikan tingkat pemuatan QS.
Contoh. Membiarkan N-channel QS adalah pusat komputer (CC) dengan tiga ( N=3) PC yang dapat dipertukarkan untuk memecahkan masalah yang masuk. Alur tugas yang sampai di pusat komputer mempunyai intensitas λ=1 tugas per jam. Durasi rata-rata layanan t sekitar =1,8 jam.
Anda perlu menghitung nilainya:
- kemungkinan jumlah saluran CC yang ditempati;
- kemungkinan penolakan untuk melayani aplikasi;
- kapasitas relatif dari pusat komputer;
- kapasitas absolut dari pusat komputer;
- jumlah rata-rata PC yang ditempati di pusat komputer.
Tentukan berapa banyak PC tambahan yang perlu dibeli untuk meningkatkan throughput pusat komputer sebanyak 2 kali lipat.
Larutan.
Mari kita tentukan parameter aliran layanan μ:
.
Mengurangi intensitas aliran aplikasi
.
Kami menemukan probabilitas pembatas suatu keadaan menggunakan rumus Erlang:

Kemungkinan penolakan untuk melayani aplikasi
.
Kapasitas relatif dari pusat komputer
.
Kapasitas absolut CC:
.
Jumlah rata-rata saluran yang ditempati – PC

Jadi, dalam mode operasi QS yang stabil, rata-rata, 1,5 dari tiga komputer akan ditempati - satu setengah sisanya akan menganggur. Pekerjaan CC yang dipertimbangkan hampir tidak dapat dianggap memuaskan, karena rata-rata pusat tersebut tidak melayani permintaan dalam 18% kasus (P 3 = 0,180). Jelas bahwa kapasitas pusat komputer untuk λ dan μ tertentu dapat ditingkatkan hanya dengan menambah jumlah PC.
Mari kita tentukan berapa banyak PC yang perlu digunakan untuk mengurangi jumlah aplikasi yang belum terlayani yang diterima di CC sebanyak 10 kali lipat, yaitu. sehingga peluang kegagalan penyelesaian masalah tidak melebihi 0,0180. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus probabilitas kegagalan:

Mari buat tabel berikut:

Menganalisis data tabel, perlu dicatat bahwa perluasan jumlah saluran komputer pada nilai tertentu λ dan μ menjadi 6 unit PC akan memastikan kepuasan permintaan untuk memecahkan masalah sebesar 99,22%, karena dengan N= 6 kemungkinan penolakan layanan ( R terbuka) adalah 0,0078.

Mari kita pertimbangkan sistem antrian multi-saluran (total n saluran), yang menerima permintaan dengan intensitas λ dan dilayani dengan intensitas μ. Permintaan yang masuk ke sistem dilayani jika setidaknya satu saluran bebas. Jika semua saluran sibuk, maka permintaan berikutnya yang diterima ke sistem ditolak dan meninggalkan QS. Mari kita beri nomor pada status sistem berdasarkan jumlah saluran yang ditempati:

• S 0 – semua saluran gratis;
• S 1 – satu saluran sedang sibuk;
• S 2 – dua saluran terisi;
• Sk- sibuk k saluran;
• SN– semua saluran sibuk.

Beras. 7.24
Gambar 6.24 menunjukkan grafik keadaan dimana SSaya– nomor saluran; λ – intensitas permintaan yang diterima; μ – dengan demikian, intensitas permintaan layanan. Permintaan memasuki sistem antrian dengan intensitas konstan dan secara bertahap menempati saluran satu demi satu; ketika semua saluran sibuk, permintaan berikutnya yang masuk ke QS akan ditolak dan meninggalkan sistem.
Mari kita tentukan intensitas aliran peristiwa yang memindahkan sistem dari satu keadaan ke keadaan lain ketika bergerak dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri sepanjang grafik keadaan.
Misalnya, biarkan sistem berada dalam keadaan S 1, yaitu satu saluran sibuk, karena ada permintaan pada inputnya. Segera setelah pelayanan permintaan selesai, sistem akan masuk ke status S 0 .
Misalnya, jika dua saluran sibuk, maka aliran layanan yang mentransfer sistem dari keadaan tersebut S 2 di negara bagian S 1 akan dua kali lebih kuat: 2-μ; karenanya, jika sibuk k saluran, intensitasnya k-μ.

Proses pemeliharaannya merupakan proses kematian dan reproduksi. Persamaan Kolmogorov untuk kasus khusus ini akan berbentuk sebagai berikut:

(7.25)
Persamaan (7.25) disebut Persamaan Erlang .
Untuk menemukan nilai probabilitas suatu negara R 0 , R 1 , …, RN, perlu ditentukan kondisi awal:
– R 0 (0) = 1 yaitu ada permintaan pada input sistem;
– R 1 (0) = R 2 (0) = … = RN(0) = 0, yaitu pada saat awal sistem dalam keadaan bebas.
Setelah mengintegrasikan sistem persamaan diferensial (7.25), kita memperoleh nilai probabilitas keadaan R 0 (T), R 1 (T), … RN(T).
Namun kami lebih tertarik pada batasan probabilitas suatu negara. Sebagai t → ∞ dan menggunakan rumus yang diperoleh dengan mempertimbangkan proses kematian dan reproduksi, kita memperoleh solusi sistem persamaan (7.25):

(7.26)
Dalam rumus ini, rasio intensitas λ / μ akan lebih mudah untuk menentukan alur aplikasi ρ .Kuantitas ini disebut mengingat intensitas aliran aplikasi, yaitu jumlah rata-rata aplikasi yang tiba di QS selama waktu rata-rata melayani satu aplikasi.

Dengan memperhatikan notasi yang dibuat, maka sistem persamaan (7.26) akan berbentuk sebagai berikut:

(7.27)
Rumus untuk menghitung probabilitas marjinal ini disebut Rumus Erlang .
Mengetahui semua probabilitas status QS, kita akan menemukan karakteristik efisiensi QS, yaitu throughput absolut A, throughput relatif Q dan kemungkinan kegagalan R membuka
Permohonan yang diterima oleh sistem akan ditolak jika semua saluran sibuk:

.
Kemungkinan permohonan akan diterima untuk dilayani:

Q = 1 – R membuka,
Di mana Q– pangsa rata-rata aplikasi yang diterima dan dilayani oleh sistem, atau jumlah rata-rata aplikasi yang dilayani oleh QS per unit waktu, terkait dengan jumlah rata-rata lamaran yang diterima selama ini:

A=λ·Q=λ·(1-P terbuka)
Selain itu, salah satu karakteristik terpenting dari QS yang mengalami kegagalan adalah jumlah rata-rata saluran sibuk. DI DALAM N-saluran QS dengan kegagalan, jumlah ini bertepatan dengan jumlah rata-rata aplikasi di QS.
Jumlah rata-rata permintaan k dapat dihitung secara langsung melalui probabilitas keadaan P 0, P 1, ..., P n:

,
yaitu kita menemukan ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit yang mengambil nilai dari 0 hingga N dengan probabilitas R 0 , R 1 , …, RN.
Lebih mudah lagi untuk menyatakan nilai k melalui kapasitas absolut QS, yaitu. A. Nilai A adalah rata-rata jumlah aplikasi yang dilayani sistem per satuan waktu. Satu saluran sibuk melayani μ permintaan per satuan waktu, kemudian jumlah rata-rata saluran sibuk