Beweise, dass die Reihenfolge von Monotonne und begrenzt ist. Weisersstrass theorem an der Grenze der monotonen Sequenz. Ein Beispiel, um das Problem zu lösen

Definition1. Sequenz absteigend (non-Kopf ) Wenn für alle
ungleichheit wird durchgeführt
.

Definition2. Sequenz
namens zunehmend. (ungesetzlich ) Wenn für alle
ungleichheit wird durchgeführt
.

Definition3. Absteigend, nicht gewinnen, zunehmende und unauffällige Sequenzen werden aufgerufen eintönig sequenzen, abnehmende und zunehmende Abläufe werden ebenfalls aufgerufen streng monoton sequenzen.

Es ist offensichtlich, dass die nicht abnehmende Sequenz auf darunter beschränkt ist, eine nicht gewonnene Sequenz von oben begrenzt ist. Daher ist eine beliebige monotone Sequenz offensichtlich einerseits begrenzt.

Beispiel1. Sequenz
erhöht sich ohne abnehmend
verringern
strikt nicht auf
- nicht monotonische Sequenz.

Für monotone Sequenzen ist das Folgende das Folgende

Satz1. Wenn eine nicht brechende (nicht gewinnende) Sequenz von oben begrenzt ist (unten), konvergiert sie.

Beweise. Lass die Sequenz.
sinkt nicht und ist von oben begrenzt, d. H.
und viele
begrenzt von oben. Von theorem 1 § 2 existiert
. Das beweisen wir
.

Nehmen
willkürlich. Soweit aber- Genaue obere Grenze, es gibt eine Zahl N. so dass
. Da die Sequenz inkonsistent ist, dann für alle
wir haben, d. H.
, so
für alle
, und das bedeutet das
.

Für die nicht gewonnene Sequenz, begrenzt auf den Boden, wird der Beweis in ähnlicher Weise durchgeführt ( die Schüler können diese Aussage alleine zu Hause beweisen). Theorem ist bewiesen.

Kommentar. Theorem 1 kann ansonsten formuliert werden.

Satz2. Um die monotonische Sequenz zu konvergieren, ist es notwendig und genug, um begrenzt zu sein.

Die Sklarheit wird in Satz 1, dem Bedarf an der Anordnung von 2 § 5, etabliert.

Der monotonische Zustand ist für die Konvergenz der Sequenz nicht erforderlich, da die konvergierende Sequenz nicht unbedingt monotonne ist. Zum Beispiel die Reihenfolge
nicht monoton, sondern auf Null konvergiert.

Logische Folge. Wenn die Sequenz
erhöht (nimmt ab) und ist von oben (unten) begrenzt, dann
(
).

In der Tat von theorem 1
(
).

Definition4. Wenn
zum
, dann Sequenz anziehsystem von verschachtelten Segmenten .

Satz3 (Prinzip der verschachtelten Segmente). Jedes verschärfte System von verschachtelten Segmenten ist vorhanden, und außerdem der einzige Punkt vonZugehörigkeit zu allen Segmenten dieses Systems.

Beweise. Wir beweisen, dass der Punkt vonexistiert. Soweit
T.
und deshalb die Sequenz
verringert sich nicht und sequenz
erhöht nicht. Dabei
und
begrenzt, weil. Dann wird von Satz 1 existiert
und
, aber seit
T.
=
. Gefundene Punkt vongehört zu allen Segmenten des Systems, seit der Untersuchung des Satzes 1
,
.
für alle Werte. n..

Jetzt zeigen, dass der Punkt von- der Einzige. Angenommen, zwei Punkte sind zwei: vonund d.und auch für Sicherheit
. Dann schneiden
gehört zu allen Segmenten
.
für alle n.das ist unmöglich, weil
und das heißt, beginnend mit einiger Nummer,
. Theorem ist bewiesen.

Beachten Sie, dass es wichtig ist, dass geschlossene Lücken in Betracht gezogen werden, d. H. Segmente. Wenn wir das System der angespannten Intervalle betrachten, ist das Prinzip, im Allgemeinen, im Allgemeinen, falsch. Zum Beispiel Intervalle
offensichtlich an dem Punkt festgezogen
, jedoch Punkt
es gehört nicht zu keinem Intervall dieses Systems.

Berücksichtigen Sie jetzt Beispiele für konvergierende Monotonsequenzen.

1) Nummer. e..

Berücksichtigen Sie jetzt die Reihenfolge
. Wie verhält sie sich? Base

grad
, so
? Andererseits,
, aber
, so
? Oder Limit existiert nicht?

Um diese Fragen zu beantworten, berücksichtigen Sie die Hilfssequenz
. Wir beweisen, dass es abnimmt, und ist darauf beschränkt. Zur gleichen Zeit werden wir brauchen

Lemma. Wenn ein
Dann für alle natürlichen Werte n.haben

(Bernoulli-Ungleichung).

Beweise. Wir verwenden die Methode der mathematischen Induktion.

Wenn ein
T.
. Die Ungleichung ist wahr.

Angenommen, es gilt für
und beweisen seine Gerechtigkeit für
+1.

Recht
. Multiplizieren Sie diese Ungleichheit auf
:

Auf diese Weise, . Nach dem Prinzip der mathematischen Induktion trifft die Bernoulli-Ungleichung für alle natürlichen Werte zu. n.. Lemma ist bewiesen.

Wir zeigen, dass die Sequenz
nimmt ab. Haben

| Bernoulli Ungleichheit |
, und das bedeutet, dass die Sequenz
nimmt ab.

Begrenzung unten folgt der Ungleichheit
| Bernoulli Ungleichheit |
für alle natürlichen Werte n..

Von theorem 1 existiert
Was wird vom Brief bezeichnet e.. deshalb
.

Nummer e.irrational und transzendent e.\u003d 2.718281828 .... Es ist bekannt, die Grundlage natürlicher Logarithmen.

Bemerkungen. 1) Bernoulli-Ungleichheit kann verwendet werden, um das zu beweisen
zum
. In der Tat, wenn
T.
. Dann von Bernoulli Ungleichung,
. Daher die Lage
haben
, also
zum
.

2) In dem obigen Beispiel ist die Grundlage des Grades neigt zu 1, aber der Indikator des Grades n.- K. Das heißt, es gibt eine Unsicherheit der Art . Die Unsicherheit dieser Art, wie wir zeigten, wird mit einem wundervollen Limit offenbart.
.

2)
(*)

Wir beweisen, dass diese Sequenz konvergiert. Dazu zeigen wir, dass es von unten begrenzt ist und nicht steigt. Gleichzeitig verwenden wir Ungleichheit
für alle
das ist eine Folge der Ungleichheit
.

Haben
cm. Ungleichheit oben
. Die Sequenz ist auf den Boden der Anzahl beschränkt.
.

Des Weiteren,
 As.

. Die Reihenfolge erhöht sich nicht.

Von theorem 1 existiert
was ist bezeichnet h.. Gleichheit (*) an der Grenze gehen, wenn
, erhalten

.
Von!
(Wir nehmen ein Pluszeichen an, da alle Sequenzmitglieder positiv sind).

Die Reihenfolge (*) wird beim Berechnen angelegt
etwa. Pro nehmen Sie eine positive Zahl an. Zum Beispiel finden wir
. Lassen
. Dann
. Auf diese Weise,
.

3)
.

Haben
. Soweit
zum
, Gibt es eine Nummer N., so dass für alle
ungleichheit wird durchgeführt
. Somit die Reihenfolge
Beginnen Sie mit einer Nummer N., nimmt ab und ist auf darunter beschränkt, da
für alle Werte. n.. Also, von theorem 1 existiert
. Soweit
, haben
.

So,
.

4)
, rechts - n. wurzeln.

Methode der mathematischen Induktion, die wir zeigen
für alle Werte. n.. Haben
. Lassen
. Dann erhalten wir daher eine Erklärung über das Prinzip der mathematischen Induktion. Mit dieser Tatsache finden wir, d. H. Reihenfolge
erhöht und begrenzt von oben. Daher existiert, weil
.

Auf diese Weise,
.

Die Elemente, deren nicht absteigend ist, oder dagegen nicht steigen. Solche Sequenzen werden häufig in Studien gefunden und haben eine Reihe von Unterscheidungsmerkmalen und zusätzlichen Eigenschaften. Die Reihenfolge einer Zahl kann nicht als zunehmend oder abnehmend angesehen werden.

Enzyklopädie YouTube.

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  Lass es viele geben X (\\ displaystyle x)wo die Reihenfolge eingeführt wird.

  Reihenfolge von Set-Elementen X (\\ displaystyle x) namens ungesetzlich Wenn jedes Element dieser Sequenz das Folgende nicht überschreitet.

  (x n) (\\ displaystyle \\ (x_ (n) \\)) - rechtswidrig ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩽ x n + 1 (\\ displaystyle \\ leftrightarrow \\ \\ mall n \\ in \\ mathbb (n) \\ colon x_ (n) \\ leqslant x_ (n + 1))

  Reihenfolge (x n) (\\ displaystyle \\ (x_ (n) \\)) Elemente von Set. X (\\ displaystyle x) namens non-Kopf Wenn jedes nächste Element dieser Sequenz den vorherigen nicht überschreitet.

  (x n) (\\ displaystyle \\ (x_ (n) \\)) - nicht pulmonal ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩾ x n + 1 (\\ displaystyle \\ leftrightarrow \\ \\ mall n \\ in \\ mathbb (n) \\ colon x_ (n) \\ geqslant x_ (n + 1))

  Reihenfolge (x n) (\\ displaystyle \\ (x_ (n) \\)) Elemente von Set. X (\\ displaystyle x) namens zunehmend. Wenn jedes nächste Element dieser Sequenz den vorherigen überschreitet.

  (x n) (\\ displaystyle \\ (x_ (n) \\)) - zunehmend ⇔ ∀ n ∈ N: x n< x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}

  Reihenfolge (x n) (\\ displaystyle \\ (x_ (n) \\)) Elemente von Set. X (\\ displaystyle x) namens absteigend Wenn jedes Element dieser Sequenz den nächsten überschreitet.

  (x n) (\\ displaystyle \\ (x_ (n) \\)) - abnehmen ⇔ ∀ n ∈ N: x n\u003e x n + 1 (\\ displaystyle \\ leftrightarrow \\ \\ Vorall n \\ in \\ mathbb (n) \\ colon x_ (n)\u003e x_ (n + 1))

  monotonnaWenn es unauffällig oder nicht funktionsfähig ist.

  Die Reihenfolge wird aufgerufen streng monotonWenn es zunimmt oder abnimmt.

  Natürlich ist eine streng monotone Sequenz monoton.

  Manchmal wird die Terminologie verwendet, in der der Begriff "zunehmende Sequenz" als Synonym für den Begriff "nicht abnehmende Sequenz" betrachtet wird, und der Begriff "abnehmende Sequenz" - als Synonym für den Begriff "Nicht-gewinnende Sequenz". In diesem Fall werden zunehmende und abnehmende Sequenzen aus der obigen Definition "streng steigend" und "streng abnehmend" bezeichnet.

  Monotonie-Intervalle

  Es kann sich herausstellen, dass die obigen Bedingungen nicht für alle Zahlen ausgeführt werden. n ∈ N (\\ DisplayStyle n \\ in \\ mathbb (n)), aber nur für Zahlen aus einem Bereich

  I \u003d (n ∈ N | n - ⩽ n< N + } {\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n

  (dürfen dürfen an der rechten Grenze ansprechen N + (\\ displaystyle n _ (+)) in unendlich). In diesem Fall wird die Sequenz aufgerufen monoton im Intervall I (\\ displaystyle i) und der Bereich selbst I (\\ displaystyle i) namens monotonie-Intervall Sequenzen.

  Definition 1. Die Sequenz wird als nicht brechend [Nicht-Shept] bezeichnet, wenn jedes Sequenzelement ausgehend von einem zweiten, nicht weniger als [nicht mehr) seines vorherigen Elements, d. H.,, wenn für alle Zahlen Ungleichung ist

  Definition 2. Die Sequenz wird als monoton bezeichnet, wenn er entweder inkonsistent oder nicht gewinnt.

  Wenn die Elemente einer nicht abnehmenden Sequenz für alle Zahlen strikte Ungleichheit erfüllen, wird diese Reihenfolge zunehmend angerufen.

  In ähnlicher Weise, wenn Elemente der nicht gewinngestellten Sequenz für alle Zahlen strikte Ungleichheit erfüllen, wird diese Reihenfolge abnehmend bezeichnet.

  Beachten Sie, dass jede monotone Sequenz offensichtlich auf einer Seite begrenzt ist (entweder von oben oder unten). In der Tat ist jede nicht abnehmende Sequenz auf das unten beschränkt (als die untere Fläche können Sie den Wert seines ersten Elements annehmen), und jede nicht gewinnende Sequenz ist von oben begrenzt (als Oberfläche können Sie auch den Wert von annehmen sein erstes Element).

  Daraus folgt, dass die nicht abnehmende Reihenfolge auf beiden Seiten begrenzt ist oder einfach nur begrenzt ist, und nur dann, wenn er von oben begrenzt ist, und die nicht gewinngestellte Sequenz ist dann begrenzt und nur dann, wenn er von unten begrenzt ist.

  Betrachten Sie Beispiele für monotone Sequenzen.

  1. Die Reihenfolge ist rückläufig. Es ist auf den Boden seines ersten Elements beschränkt und ist nicht von oben begrenzt.

  2. Die Reihenfolge ist absteigend. Es ist auf beiden Seiten begrenzt: auf dem Wert des ersten Elements 2 und dessen unten, beispielsweise Nummer 1.