Die Lektion eines Satzes: "Anzeichen der Sendenz des Direkts und des Flugzeugs." Senkrechte Gerade und Ebene, Merkmal und Bedingungen der Senspendikatur der direkten und ebenen Eigenschaften der direkten senkrecht zum Flugzeug

In dieser Lektion wiederholen wir die Theorie und beweisen den Satz und das Zeichen der Senspendikatur der direkten und Ebene.
Zu Beginn der Lektion erinnern wir uns an die Definition eines direkten Senkrechts in das Flugzeug. Als nächstes betrachten wir den Satz - das Zeichen der Senspendikatur der Geraden und des Flugzeugs. Um diesen Satz zu beweisen, erinnern Sie sich an die Eigenschaft der mittleren senkrechten.
Als nächstes lösen wir mehrere Aufgaben auf der Senspendizitut der Geraden und des Flugzeugs.

Thema: Senkrecht und Flugzeug

Lektion: ein Zeichen der Senspendikatur der Geraden und des Flugzeugs

In dieser Lektion wiederholen wir Theorie und beweisen satz und Zeichen der Senspendikatur der Geraden und des Flugzeugs.

Definition. Gerade aber Es wird senkrecht zum Flugzeug α genannt, wenn er senkrecht zu jedem direkten Lügen in dieser Ebene ist.

Wenn das Direkt senkrecht zu zwei kreuzenden Gerichten, in der Ebene liegt, ist es senkrecht zu dieser Ebene.

Beweise.

Lassen Sie uns ein Flugzeug α erhalten. In dieser Ebene liegen zwei überschneidende geradlinige Linien. p. und q. Gerade aber Senkrecht zur direkten p. und direkt. q. Wir müssen das nachweisen aber Senkrecht zu der Ebene α, das heißt, das heißt gerade und senkrecht zu einer geraden Linie, die in der α-Ebene liegt.

Erinnerung.

Um zu beweisen, müssen wir uns an die Eigenschaften der mittleren Senkrechte des Segments erinnern. Mittlere senkrecht. r.durch Schnitt Au. - Dies ist ein geometrischer Bereich von Punkten, die von den Enden des Segments äquidistant sind. Das heißt, wenn der Punkt VON Liegt auf dem mittleren senkrecht Ac \u003d sun..

Lass den Punkt ÜBER - Kreuzungspunkt direkt aber und Flugzeuge α (Abb. 2). Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass direkt p. und q Schnittpunkt an Punkt. ÜBER. Wir müssen die Senspendikatur der Direkts nachweisen aber Zu willkürlich direkt. m.aus dem Flugzeug α.

Lass uns durch den Punkt ziehen ÜBER Gerade l., parallel zu direkten m.Auf direkt aber Wir verschieben die Segmente Oa. und Over, und Oa. = Over, Das ist der Punkt ÜBER - mittlerer Schnitt Au.. Lass uns gerade ausgeben Pl, .

Gerade r. Senkrecht zur direkten aber (aus der Bedingung), (auf dem Bau). Es bedeutet r. Au.. Punkt R. Liegt direkt an r.. Es bedeutet Ra \u003d RV..

Gerade q Senkrecht zur direkten aber (aus der Bedingung), (auf dem Bau). Es bedeutet q - Mitte senkrecht zum Segment Au.. Punkt Q Liegt direkt an q. Es bedeutet Qa \u003d.Qb..

Dreiecke Ar.Qund BP.Qgleich drei Seiten (Ra \u003d RV, Qa \u003d.QB, R.Q -gemeinsame Partei). Also Winkel Ar.Qund BP.Qgleich.

Dreiecke ABERPl und Bpl. gleich der Ecke und zwei benachbarter Parteien (∠ Ar.L.= ∠BP.L, ra \u003d rv, Pl - allgemeine Seite). Von der Gleichheit der Dreiecke verstehen wir das Al \u003d.BL..

Betrachten Sie ein Dreieck AblodertEr ist ein herausgefordert, weil Al \u003d.BL.In einem äquilibrierten Dreieckmedianer LO.ist eine Höhe, das heißt gerade LO.aufrecht Au..

Wir haben eine gerade aber Senkrecht zur direkten l,und deshalb gerade m,q.E.D.

Punkte A, m, o liegen auf einer geraden Linie senkrecht zum Flugzeug α und Punkte Oh, mit und D. La in der Ebene α (Abb. 3). Welcher der folgenden Winkel ist unkompliziert :?

Entscheidung

Einen Winkel betrachten. Gerade Ao senkrecht zu der Ebene α und daher gerade Ao senkrecht zu jedem direkten Lügen in der Ebene α, einschließlich direkter IM. So.

Einen Winkel betrachten. Gerade Ao Senkrecht zur direkten OS., So,.

Einen Winkel betrachten. Gerade Ao Senkrecht zur direkten ÜBERD., So,. Betrachten Sie ein Dreieck DAO.. In einem Dreieck kann es nur einen geraden Winkel geben. Also, Ecke DAMM. - nicht direkt.

Einen Winkel betrachten. Gerade Ao Senkrecht zur direkten ÜBERD., So,.

Einen Winkel betrachten. Dies ist die Ecke von B. rechteckiges Dreieck. BMO., kann es nicht gerade sein, da der Winkel Move - Gerade.

Antworten: .

In einem Dreieck. ABC Dano: AC. \u003d 6 cm, Sonne \u003d 8 cm, CM - Median (Abb. 4). Durch die obere. VON Gerade durchgeführt SCsenkrecht zur Ebene des Dreiecks ABC, und SC \u003d 12 cm. Finden Km.

Entscheidung:

Länge finden Au. Laut Pythagora theorem: (cm).

Durch das Eigentum des rechteckigen Dreiecks der Mitte der Hypotenuse M. Equifold aus den Scheitelpunkten des Dreiecks. Also Cm \u003d bin \u003d vm, (cm).

Betrachten Sie ein Dreieck Ksm.. Gerade Ks. Senkrecht zum Flugzeug ABCund deshalb Ks. Aufrecht CM. Also Dreieck Ksm. - rechteckig. Finden Sie Hypotenuse Km Vom Pythagora-Satz: (cm).

1. Geometrie 10-11 Klasse: Lehrbuch für Studenten allgemeine Bildungseinrichtungen. (Basic I. profilstufen) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. Auflage, korrigiert und ergänzt - M.: Mnemozina, 2008. - 288 S.: Il.

Aufgaben 1, 2, 5, 6 S. 57

2. Geben Sie die Definition der direkten und ebenen Sechstinge.

3. Geben Sie ein paar Kante in Kuba an, die senkrecht sind.

4. Punkt ZU Liegt außerhalb der Ebene eines unzugänglichen Dreiecks ABC und gleich den Punkten IM und VON. M. - Mitte der Basis Sonne. Beweise das gerade Sonne Senkrecht zum Flugzeug AKM.

In dieser Lektion wiederholen wir die Theorie und beweisen den Satz und das Zeichen der Senspendikatur der direkten und Ebene.
Zu Beginn der Lektion erinnern wir uns an die Definition eines direkten Senkrechts in das Flugzeug. Als nächstes betrachten wir den Satz - das Zeichen der Senspendikatur der Geraden und des Flugzeugs. Um diesen Satz zu beweisen, erinnern Sie sich an die Eigenschaft der mittleren senkrechten.
Als nächstes lösen wir mehrere Aufgaben auf der Senspendizitut der Geraden und des Flugzeugs.

Thema: Senkrecht und Flugzeug

Lektion: ein Zeichen der Senspendikatur der Geraden und des Flugzeugs

In dieser Lektion wiederholen wir Theorie und beweisen satz und Zeichen der Senspendikatur der Geraden und des Flugzeugs.

Definition. Gerade aber Es wird senkrecht zum Flugzeug α genannt, wenn er senkrecht zu jedem direkten Lügen in dieser Ebene ist.

Wenn das Direkt senkrecht zu zwei kreuzenden Gerichten, in der Ebene liegt, ist es senkrecht zu dieser Ebene.

Beweise.

Lassen Sie uns ein Flugzeug α erhalten. In dieser Ebene liegen zwei überschneidende geradlinige Linien. p. und q. Gerade aber Senkrecht zur direkten p. und direkt. q. Wir müssen das nachweisen aber Senkrecht zu der Ebene α, das heißt, das heißt gerade und senkrecht zu einer geraden Linie, die in der α-Ebene liegt.

Erinnerung.

Um zu beweisen, müssen wir uns an die Eigenschaften der mittleren Senkrechte des Segments erinnern. Mittlere senkrecht. r.durch Schnitt Au. - Dies ist ein geometrischer Bereich von Punkten, die von den Enden des Segments äquidistant sind. Das heißt, wenn der Punkt VON Liegt auf dem mittleren senkrecht Ac \u003d sun..

Lass den Punkt ÜBER - Kreuzungspunkt direkt aber und Flugzeuge α (Abb. 2). Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass direkt p. und q Schnittpunkt an Punkt. ÜBER. Wir müssen die Senspendikatur der Direkts nachweisen aber Zu willkürlich direkt. m.aus dem Flugzeug α.

Lass uns durch den Punkt ziehen ÜBER Gerade l., parallel zu direkten m.Auf direkt aber Wir verschieben die Segmente Oa. und Over, und Oa. = Over, Das ist der Punkt ÜBER - mittlerer Schnitt Au.. Lass uns gerade ausgeben Pl, .

Gerade r. Senkrecht zur direkten aber (aus der Bedingung), (auf dem Bau). Es bedeutet r. Au.. Punkt R. Liegt direkt an r.. Es bedeutet Ra \u003d RV..

Gerade q Senkrecht zur direkten aber (aus der Bedingung), (auf dem Bau). Es bedeutet q - Mitte senkrecht zum Segment Au.. Punkt Q Liegt direkt an q. Es bedeutet Qa \u003d.Qb..

Dreiecke Ar.Qund BP.Qgleich drei Seiten (Ra \u003d RV, Qa \u003d.QB, R.Q -gemeinsame Partei). Also Winkel Ar.Qund BP.Qgleich.

Dreiecke ABERPl und Bpl. gleich der Ecke und zwei benachbarter Parteien (∠ Ar.L.= ∠BP.L, ra \u003d rv, Pl - allgemeine Seite). Von der Gleichheit der Dreiecke verstehen wir das Al \u003d.BL..

Betrachten Sie ein Dreieck AblodertEr ist ein herausgefordert, weil Al \u003d.BL.In einem äquilibrierten Dreieckmedianer LO.ist eine Höhe, das heißt gerade LO.aufrecht Au..

Wir haben eine gerade aber Senkrecht zur direkten l,und deshalb gerade m,q.E.D.

Punkte A, m, o liegen auf einer geraden Linie senkrecht zum Flugzeug α und Punkte Oh, mit und D. La in der Ebene α (Abb. 3). Welcher der folgenden Winkel ist unkompliziert :?

Entscheidung

Einen Winkel betrachten. Gerade Ao senkrecht zu der Ebene α und daher gerade Ao senkrecht zu jedem direkten Lügen in der Ebene α, einschließlich direkter IM. So.

Einen Winkel betrachten. Gerade Ao Senkrecht zur direkten OS., So,.

Einen Winkel betrachten. Gerade Ao Senkrecht zur direkten ÜBERD., So,. Betrachten Sie ein Dreieck DAO.. In einem Dreieck kann es nur einen geraden Winkel geben. Also, Ecke DAMM. - nicht direkt.

Einen Winkel betrachten. Gerade Ao Senkrecht zur direkten ÜBERD., So,.

Einen Winkel betrachten. Dies ist ein Winkel in einem rechteckigen Dreieck BMO., kann es nicht gerade sein, da der Winkel Move - Gerade.

Antworten: .

In einem Dreieck. ABC Dano: AC. \u003d 6 cm, Sonne \u003d 8 cm, CM - Median (Abb. 4). Durch die obere. VON Gerade durchgeführt SCsenkrecht zur Ebene des Dreiecks ABC, und SC \u003d 12 cm. Finden Km.

Entscheidung:

Länge finden Au. Laut Pythagora theorem: (cm).

Durch das Eigentum des rechteckigen Dreiecks der Mitte der Hypotenuse M. Equifold aus den Scheitelpunkten des Dreiecks. Also Cm \u003d bin \u003d vm, (cm).

Betrachten Sie ein Dreieck Ksm.. Gerade Ks. Senkrecht zum Flugzeug ABCund deshalb Ks. Aufrecht CM. Also Dreieck Ksm. - rechteckig. Finden Sie Hypotenuse Km Vom Pythagora-Satz: (cm).

1. Geometrie 10-11 Klasse: Lehrbuch für Studierende von allgemeinen Bildungseinrichtungen (Grund- und Profilniveaus) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. Auflage, korrigiert und ergänzt - M.: Mnemozina, 2008. - 288 S.: Il.

Aufgaben 1, 2, 5, 6 S. 57

2. Geben Sie die Definition der direkten und ebenen Sechstinge.

3. Geben Sie ein paar Kante in Kuba an, die senkrecht sind.

4. Punkt ZU Liegt außerhalb der Ebene eines unzugänglichen Dreiecks ABC und gleich den Punkten IM und VON. M. - Mitte der Basis Sonne. Beweise das gerade Sonne Senkrecht zum Flugzeug AKM.

Lektion Studie.

Senspendikatur der Geraden und des Flugzeugs.

Der Zweck der Lektion: Zeigen die Vielzahl von Ansätzen zum Beweis des Satzes; Verbessern Sie die Fähigkeiten und Fähigkeiten der Studentenforschung.

Vorbereitung auf Lektion: Pupillen-Berater zu Hause bereiten sich auf zusätzliche Literatur sieben Anzeichen für ein Zeichen der Senspendikatur des Direkts und des Flugzeugs vor.

Standortstunde: I

Lehrer einführendes Wort:

Die heutige Lektion ist eine Studienstunde. Zusammen wird alle zusammen im Prozess der Lösung von Problemen und Antworten auf problematische Probleme sein, nähern sich der Formulierung des Theorems der Sendenität des Direkts und des Flugzeugs und lernen Sie die sieben Optionen für Beweise für diesen Satz kennen, um das optimalste Ausweis zu wählen von ihnen, um Ihre Meinung gründlich zu motivieren.

1. Vorbereitung auf die Formulierung des Satzes:

Senkrecht zum Flugzeug wiederholen, Analyse der praktischen Anwendung dieses Konzepts durch Lösen von Problemen.

Aufgabe 1.

Dana: Flugzeug, Punkte A und B in dieser Ebene; AM ist ein direkt senkrecht zu dieser Ebene. Bestimmen Sie die Ansicht des AMV-Dreiecks.

Aufgaben für Optionen.

Dan Flat Vier-Brühe AVD. AM ist senkrecht zum ABCD-Flugzeug. Welches der ABC, ACD, ABD, BCD, ADM, ABM, CAM-Dreiecke sind rechteckig.

ABCD - Square. Direkte vc senkrecht zur quadratischen Ebene. Welcher der von ABD, BCD, ABK, BDK, BCD-Dreiecke sind rechteckig.

Berater sammeln Blätter und überprüfen die Entscheidungen, und der Lehrer bringt Studierende zum Schluss:

1. Ob die Genehmigung, dass dies direkt ist, senkrecht zum Flugzeug,

senkrecht zu jedem direkten Lügen in dieser Ebene?

2. Wenn das Direkt senkrecht zum Flugzeug ist?

3. Wie viel gerade liegt in der Ebene? Ist es möglich, sie zu berechnen?

Schüler - Beraterauf dem Modell aus den Speichen zeigt verschiedene Optionen: In der Ebene befinden sich in der Ebene zwei gerade Linien in der Ebene, direkt senkrecht zu einem von ihnen.Ausgabe: Direkt nicht senkrecht zum Flugzeug. Die folgende Variante des Modells: Direct ist senkrecht zu zwei direkter Lügen in der Ebene und erscheint senkrecht zur Ebene. Neben der Sicherung können Sie ein Modell mit drei geraden Linien usw. nehmen.

Nach Abschluss der Arbeit mit Modellen vor Studierenden ist eine andere Problemfrage eingestellt: Wie viele direkt genug in der Ebene zu sagen, dass das direkte senkrecht zum Flugzeug ist?

Durch die Untersuchung der Situation der Senspendiktheit des Direkts und des Flugzeugs näherten wir uns in dichtem Theorem, der die Möglichkeit geben, in den Zeichnungen, auf Modellen und in der Praxis in der Praxis in der Praxis zu erfahren, in der Praxis senkrecht zu einem Geraden und einem Flugzeug. Versuchen wir, theorem zu formulieren.

Die Jungs bieten ihre eigenen Formulierungen des Satzes. Der Lehrer hebt den effizientesten hervor und schlägt vor, verschiedene Optionen für den Wortlaut und den Nachweis des Untersuchungen zu hören, die der Schüler in der empfohlenen Literatur zu Hause fand.

2. Nachweis des Satzes:

Satz: Wenn ein gerades Linie mit einer Ebene kreuzen, ist senkrecht zu ein paar zwei direkten, auf dieser Ebene aufgewendeten, durch den Schnittpunkt einer direkten und Ebene aufgewendet, dann ist es senkrecht zu einem dritten geraden Kreuz in dieser Ebene durch denselben Schnittpunkt.

Beweise: Postpone on Direct AA1 beliebige Länge, aber gleiche Segmente von OA und OA1 und verbringen Sie direkte direkte direkte direkte in der Ebene, die drei direkt von Punkt O an Punkten C, D und b überqueren würde. Diese Punkte verbinden sich mit den Punkten A und A1 ; Wir bekommen ein paar Dreiecke.ΔACB \u003d ΔA1 Cb, da sie bc haben - insgesamt, ac \u003d a1 C - Wie geneigt, um AA zu lenken1 , gleichermaßen von der Basis des senkrechten Betriebssystems entfernt. Aus dem gleichen grund ab \u003d a1 B. gleich diesen Dreiecke ist es folgt, dass ∟abc \u003d ∟a1 v. Chr.

ΔABD \u003d ΔA 1 BD auf dem ersten Zeichen der Gleichheit der Dreiecke: BD - Total, AB \u003d a1 B auf bewährt, ∟abc \u003d ∟a1 BC. Ist gleich diesen Dreiecke, das folgt, dass ad \u003d a1 D.

ΔAD \u003d ΔA1od auf der dritten Basis der Gleichheit der Dreiecke. Von der Gleichheit dieser Dreiecke folgt, dass AOD \u003d A1OD; Und da diese Winkel benachbart sind, dann senkrecht zu od.

Satz: Direkt, senkrecht zu zwei sich kreuzenden direkten, angehörigen Flugzeugen senkrecht zum Flugzeug.

Erster Fall Wenn alle geraden Linien A, B, C durch den Punkt des Kreuzungspunkts mit einer Ebene α passieren. Wir bemerken auf einem geraden Linien-Op-Vektor, auf einer geraden Linie mit dem OC-Vektor und beweisen, dass das Produkt der OP- und OK-Vektoren 0 ist.

Wir zersetzen den OC-Vektor gemäß den OA- und OB-Vektoren, die jeweils auf direkten A und B angeordnet sind; Dann sprechen wir über Vektoren) OC \u003d OA + OB. So:

Op ∙ oc \u003d op (oa + ob) \u003d op ∙ oa + op ∙ ob

Aber op ┴ oa, op ┴ ob; Daher op ∙ oa \u003d 0, op ∙ ob \u003d 0. Somit op ∙ oc \u003d 0; So op ┴ oc und p ┴ s. Aber mit - jede gerade Ebene; Also, p ┴ α

Zweiter Fall Wenn gerade a, b, c nicht durch den Punkt O passieren, werden wir den Punkt der direkten A1 || a ausgeben; B1 || b; C1 || C. Unter der Bedingung p ┴ a, p ┴ b bedeutet, dass p ┴ a1, p ┴ b1 und gemäß der nachgewiesenen oben p ┴ c1 und somit p ┴ s ist. Gerade c - jede gerade Ebene α; Dies bedeutet, dass die gerade P senkrecht zu allen direkten Lügen in der Ebene α ist, und daher p ┴ α.

Satz: Wenn Direkt senkrecht zu zwei sichtbaren direkten Lügen in der Ebene ist, ist es senkrecht zu dieser Ebene.

Der Beweis kann aus dem Lehrbuch A.V. Pogorelov "Geometrie 7-11"

A 1.

α A x B

A 2

IV-Option E.E. Lena

Satz: Direkte senkrecht zu zwei gerade, auf dem Flugzeug senkrecht zur Ebene selbst liegen. Ö.

Danar: Also  oa, so  Ob, oa c ., OB c 

Beweise: Also  

Beweise:

1. Der Dreieck-Median kann durch die Parteien ausgedrückt werden.

4AM 2 \u003d 2 (AB 2 + AC 2) -BC 2

2 Nach dem Punkt mit der Verbringe der Linie, so dass das Segment AB, das zwischen den Seiten des AOS-Winkels gefördert ist, an diesem Punkt in der Hälfte geteilt wird, dh der AC \u003d SUN. SC - Median Triangle ASV: 4SS2 \u003d 2 (SA 2 + SV 2) -AV 2 . OS - Median Triangle AOS: 42 \u003d 2 (AO 2 + OV 2) -AV 2 . Zusammenfassung dieser Gleichheit, wir erhalten: 4 (SC2-OS 2) \u003d 2 (((SA 2 -AO 2) + (SV 2 -S 2) )). Der Ausdruck in Klammern im rechten Teil der Gleichheit kann durch t ersetzt werden. Pythagora. Für Triangle Aos: Also2 \u003d SA 2 -OA 2 . Für ein Dreieck vs: so2 \u003d SV 2 -OS 2.

Daher: 4 (SC 2-OS 2) \u003d 2 (SO 2 + SO 2), 4 (SC 2-OS 2) \u003d 4SO 2, SC 2-OS 2 \u003d SO 2, von wo SS 2 \u003d SO 2 + OS 2. . Nach dem umgekehrten Satz von Pythagora, so OS. OS - willkürlich direkter Zugehörigkeit zum Flugzeug so.

Satz: Wenn Direct senkrecht zu jedem der beiden überquemierenden direkten Lügen in der Ebene ist, ist diese Direkte senkrecht zur Ebene.

Wir beweisen, dass gerade l senkrecht zu einer dritten geraden Linie im Flugzeug ist

1. Gebäude: gerade M, N, G Wir übertragen parallel zum Punkt O; OA \u003d OS \u003d OD \u003d OS, von hier aus ABCD - ein Rechteck, Verbinden Sie A, B, C, D mit einem beliebigen Punkt M.
2. Das AMD-Dreieck ist gleich den drei Seiten, daher ist der Winkel1 gleich der Ecke. Das Dreieck von MDL ist gleich dem Dreieck von MKV auf zwei Seiten und der Ecke zwischen ihnen. MD \u003d MV, LD \u003d BK - zentral symmetrisch; Daher mk \u003d lm.
3. Das MLK-Dreieck ist eine Kette, OM - Median, Mittel. Empfangen om. g, daher l  g, deshalb l 

Satz: Wenn das Direkt senkrecht zu zwei sichtbaren, direkt in der Ebene ist, ist es senkrecht zur Ebene selbst.

P 1.

Der Beweis basiert auf der Symmetrie relativ zur Achse der Ebene.

1. Bau: l  l 1, m. O  l 1, m  n \u003d o, op \u003d op '.
2. Die Punktpunkte p und p 'sind in Bezug auf die Achse M symmetrisch, auch p und p' symmetrisch in Bezug auf die N-Achse. Dann ((m  n)  ) - die Ebene der Symmetriepunkte P und R ', daher,l .

3. Vorbehaltlich der verschiedenen Optionen für den Beweis des Satzes. Die Studierenden äußern ihre Meinungen darüber, welche Art von Beweise in ihrer Meinung nach optimal ist und warum. Der Lehrer ermöglicht es Ihnen, eine beliebige Option für mich selbst zu wählen und den Satz mit Beispielen aus dem Leben zu verbinden: Die Technik ergibt sich häufig auf die Richtung senkrecht zur Ebene. Die Säulen werden hergestellt, so dass ihre Achse senkrecht zur Grundlage ist; Nägel werden in den Brett verstopft, so dass sie senkrecht zur Ebene des Boards sind; In dem Dampfmaschinenzylinder, der Rute senkrecht zur Kolbenebene usw. Die vertikale Richtung ist besonders wichtig, dh die Richtung der Schwerkraft ist senkrecht zur horizontalen Ebene.

Aufgabe: ABCD - Rhombus, gerade ok, ist senkrecht zu Diagonalen von Rhombus.

Beweisen Sie: OK senkrecht zur Rautenebene.

Das Ergebnis der Lektion.

Home Task: P17, №120, №129

Gebäude Direkte senkrecht zu dieser Ebene von dem von dieser Ebene genommenen Punkt.
Lassen eIN. - Ebene, ein Punkt, von dem es notwendig ist, um senkrecht auszulassen. Im Flugzeug verbringen Sie geradeaus aber. Durch den Punkt a und gerade aberwir führen ein Flugzeug aus b. (gerade und Punkt bestimmen das Flugzeug und nur eins). Im Flugzeug b. Von dem Punkt und stecke auf die Gerade aber senkrecht av. Von dem Punkt in das Flugzeug eIN. Wiederherstellen senkrecht und angeben, auf dem diese senkrechte liegt von. Durch das Segment ab und direkt vonwir führen ein Flugzeug aus g. (Zwei kreuzende gerade Linien bestimmen das Flugzeug und nur ein). Im Flugzeug g. Von dem Punkt und stecke auf die Gerade von Senkrechte Lautsprecher. Lassen Sie uns nachweisen, dass das Segment des AC senkrecht zum Flugzeug ist b.. Beweise. Gerade aber Senkrecht zur direkten von und Ab (durch Baube), was bedeutet, dass es senkrecht zur Ebene selbst ist g.in dem diese zwei schneidenden geraden Linien liegen (auf der Grundlage der Senspendikatur der direkten und Ebene). Und da es senkrecht zu dieser Ebene ist, ist es senkrecht zu jedem Geraden in dieser Ebene, was gerade bedeutet aber Senkrecht zu den Lautsprechern. Direkter AU senkrecht zu zwei direkten Lügen in der Ebene α: von (auf Baube) und aber (gemäß dem bewährten), was bedeutet, dass es senkrecht zur Ebene α (auf der Grundlage der Sendenz der Direkt- und Ebene) ist

Theorem 1. . Wenn zwei kreuzende gerade Parallelen jeweils zwei senkrechte direkte, dann senkrecht.
Beweise. Lassen aber und b. - senkrecht gerade, aber 1 I. b. 1 - Parallel zu ihnen schneiden gerade. Wir beweisen das gerade aber 1 I. b. 1 senkrecht.
Wenn gerade aber, b., aber 1 I. b. 1 liegen in derselben Ebene, dann haben sie die im Satz angegebene Eigenschaft, wie aus der Planimetrie bekannt ist.
Angenommen, jetzt ist unsere Gerade in derselben Ebene. Dann gerade Linien aber und b. liegen in einem anderen Flugzeug α und gerade aber 1 I. b. 1 - In einigen Flugzeug β. Als Merkmal der parallelen Natur der ebenen Ebenen α und β sind parallel. Lassen Sie c - den Schnittpunkt der direkten aber und b.und von 1 - Kreuzung von Direct aber 1 I. b. einer . Wir werden in der Ebene der Parallele ausgeben aber und aber aber und aber 1 an Punkten A und A 1. In der Ebene der parallelen Gerade b. und b. 1 gerade, parallel direkte SS 1. Es kreuzen gerade b. und b. 1 an den Punkten B und B 1.
SAA-Quadrangel 1 mit 1 und SWV 1 mit 1 - Parallelogramm, da sie gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Viertelial ABV 1 A 1 Auch Parallelogramm. Er hat AA 1 und BB von 1 parallel, da jeder von ihnen parallel zum direkten CC 1 ist. Tatsächlich liegt der Viereck in der Ebene in der Ebene, die durch parallel direkte AA 1 und BB 1 verläuft. Und es kreuzt die parallelen Ebenen α und β durch parallele Direktablauf und 1 in 1.
Da das Parallelogramm die gegenüberliegenden Parteien gleich sind, dann Av \u003d A 1 in 1, als \u003d A 1 mit 1, Sun \u003d in 1 s 1. Gemäß dem dritten Vorzeichen der Gleichheit der Dreiecke ABC sind ABC und A 1 in 1 C 1 gleich. So ist der Winkel a 1 c 1 in 1, gleich der Ecke der Technik, gerade, d. H. Gerade aber 1 I. b. 1 senkrecht. Ch.t.d.

Eigenschaften Senkrecht direkt und ebene.
Theorem 2 . Wenn die Ebene senkrecht zu einer von zwei parallelen geraden Linien ist, dann ist es senkrecht zum anderen.
Beweise. Lassen aber 1 I. aber 2 - zwei parallele gerade und α - Ebene senkrecht zur direkten aber einer . Wir beweisen, dass dieses Flugzeug senkrecht und direkt ist aber 2 .
Wir werden durch einen Punkt eine 2 Kreuzung direkt ausgeben aber 2 mit einem Flugzeug α willkürlich gerade von 2 in der Ebene α. Wir führen in der Ebene α durch den Punkt A 1 Kreuzung durch aber 1 mit einem Flugzeug α gerade von 1, parallel direkt von 2 Seit gerade aber 1 senkrecht zum Flugzeug α, dann direkt aber 1 I. von 1 senkrecht. Und durch den Satz 1 parallel zu ihnen, die gerade Linien schneiden aber 2 I. von 2 sind auch senkrecht. So gerade aber 2 senkrecht zu jeder direkten von 2 in der Ebene α. Was gerade bedeutet aber 2 senkrecht zur Ebene α. Theorem ist bewiesen.

Theorem 3. . Zwei gerade, senkrecht zu derselben Ebene, parallel zueinander.
Wir haben ein Flugzeug α und zwei senkrechte Gerade aber und b.. Das beweisen wir aber || b..
Durch die Schnittpunkte der direkten Ebene verbringen Sie direkt von. Auf der Grundlage des Empfangs aber ^ c. und b. ^ c.. Durch gerade aber und b. Wir führen ein Flugzeug aus (zwei parallele gerader Linien bestimmen das Flugzeug und darüber hinaus nur eins). In dieser Ebene haben wir zwei parallele gerade aber und b. Und sicher von. Wenn die Summe der internen einseitigen Ecken 180 ° beträgt, dann direkt parallel. Wir haben nur einen solchen Fall - zwei gerade Ecken. deshalb aber || b..

Wird das Konzept der Senkrechtentwicklung der Geraden und des Flugzeugs anhand einer abstrakten Lektion befestigen. Wir werden eine allgemeine Definition angeben, wir formulieren und führen den Beweis des Satzes und lösen mehrere Aufgaben, um das Material zu sichern.

Aus dem Verlauf der Geometrie ist bekannt: Zwei gerade Linien gelten als senkrecht, wenn sie sich in einem Winkel von 90 o kreuzen.

In Kontakt mit

ODNOKLASSNIKI.

Theoretischer Teil

In der Untersuchung der Merkmale der räumlichen Figuren wenden wir uns ein neues Konzept an.

Definition:

direkt wird aufgerufen senkrechter Ebene.Wenn es senkrecht zu der Gerade auf der Oberfläche ist, die willkürlich durch den Kreuzungspunkt geht.

Mit anderen Worten, wenn das Segment "AB" senkrecht zu der Ebene α ist, ist der Schnittwinkel mit jedem Segment, das auf dieser Oberfläche durch den "C" -Punkt des Durchtritts "AB" durch die Ebene α durchgeführt wird, 90 °.

Nach dem Vorstehenden wird der Satz auf dem Vorzeichen der Sendenz der Geraden und des Flugzeugs befolgt:

falls der direkte, durch die Ebene durchgeführte, durch die Ebene geleitete, senkrecht zu zwei direkte, in der Ebene durch den Kreuzungspunkt durchgeführt wird, ist es senkrecht zur gesamten Ebene.

Mit anderen Worten, wenn in Abbildung 1, ACD- und ACE-Winkel 90 ° beträgt, ist der ACF-Winkel auch 90 °. Uhr Abbildung 3 ansehen.

Beweise

Unter den Bedingungen des Satzes wurde die Linie "A" senkrecht zu den Linien durchgeführt d. und e. Mit anderen Worten, ACD- und ACE-Winkel sind 90 o. Wir werden den Beweis dafür geben, basierend auf den Eigenschaften der Gleichheit der Dreiecke. Uhr Abbildung 3 ansehen.

Durch den Punkt C Passage eIN. Durch das Flugzeug α wird die Zeile gelesen f. in einer willkürlichen Richtung. Wir geben den Beweis dafür, dass es senkrecht zum AB-Segment ist, oder der ACF-Winkel ist 90 °.

Auf direkt eIN. Wir verschieben die Segmente derselben Länge AC und AB. Auf der Oberfläche agr; ich trage eine Zeile x. In einer willkürlichen Richtung und nicht durch den Ort der Kreuzung am Punkt "c". Die Linie "x" sollte die Linie E, D und F überqueren.

Verbinden Sie die direkten Punkte F, D und E mit den Punkten A und B.

Betrachten Sie zwei Dreiecke Ass und BCE. Unter den Baubedingungen:

1. Es gibt zwei identische Aspekte von AC und BC.
2. Sie haben den Boden der allgemeinen Seite von CE.
3. Zwei gleicher Winkel von ACE und BCE - 90 o.

Folglich, nach den Bedingungen der Gleichheit der Dreiecke, wenn wir zwei gleiche Seiten und den gleichen Winkel zwischen ihnen haben, dann sind diese Dreiecke gleich. Von der Gleichheit der Dreiecke folgt, dass die Parteien ae und sein gleich sind.

Dementsprechend wird die Gleichheit der ACD- und BCD-Dreiecke nachgewiesen, mit anderen Worten, die Gleichheit der Parteien AD und BD.

Betrachten Sie nun zwei Dreiecke AED und Bett. Von der zuvor bewährten Gleichheit der Dreiecke folgt, dass diese Figuren mit BD die gleichen Seiten von AE mit BD haben. Eine Seite ist üblich. Aus dem Zustand der Gleichheit der in drei Parteien definierten Dreiecken folgt, dass die Winkel von ADE und BDE gleich sind.

Die Menge an ADE- und ADF-Winkeln beträgt 180 °. Die Summe der Ecken von BDE und BDF wird auch 180 ° sein. Da ADE- und BDE-Winkel gleich sind, sind ADF- und BDF-Winkel gleich.

Betrachten Sie zwei Dreiecke ADF und BDF. Sie haben zwei gleiche Parteien AD und BD (erwiesener als früher), DF Total Side und gleiche Ecke Zwischen ihnen ADF und BDF. Folglich haben diese Dreiecke dieselbe Seite. Das heißt, die Seite bf hat die gleiche Länge wie die Seite AF.

Wenn wir das Dreieck AFB betrachten, dann ist es ein erhöhter (AF-Gleichheit Bf), und der direkte FC ist Median, da gemäß den Konstruktionen der Konstruktion die Wechselstromseite gleich der BC-Seite ist. Folglich ist der ACF-Winkel 90 o. Was folgte, um zu beweisen.

Eine wichtige Folge des gegebenen Satzes wird die Genehmigung sein:

wenn die beiden Parallelen die Ebene kreuzen und einer von ihnen ein Winkel von 90 ° ist, dann ist der zweite durch die Ebene in einem Winkel von 90 °.

Unter den Bedingungen des Problems sind A und B parallel. Achten Sie auf, um die Linie senkrecht zur Oberfläche α anzuordnen. Daraus folgt, dass Linie B auch senkrecht zur Oberfläche α sein wird.

Um zu beweisen, geben Sie durch zwei Punkte der Kreuzung von parallelen geraden Linien mit einem Flugzeug auf der Oberfläche direkt aus c.. Durch die direkte senkrechte Ebene ist der DAB-Winkel 90 o. Aus den Eigenschaften der parallelen Reiche folgt, dass der ABF-Winkel auch 90 ° sein wird. Daher nach Definition direkt b. Es wird senkrecht zur Oberfläche α sein.

Verwenden Sie den Satz, um Probleme zu lösen

Um das Material mit den grundlegenden Bedingungen für die Sendenz der Direkt- und Ebene zu sichern, lösen Sie mehrere Aufgaben.

Aufgabe Nummer 1.

Bedingungen. Von Punkt A erstellen eine senkrechte Linie der Ebene α. Achten Sie auf. Abbildung 5.

Auf der Oberfläche α ziehen wir eine willkürliche Direkte. Durch gerade B und Punkt A konstruieren wir die Oberfläche β. Von Punkt A On Line B führen wir ein Segment AB durch. Von Punkt B auf der Oberfläche α führen wir die senkrechte Linie aus c..

Von Punkt A online von Senken Sie den senkrechten Wechselstrom. Wir beweisen, dass diese Linie senkrecht zum Flugzeug ist.

Um sich durch den Punkt C auf der Oberfläche α zu beweisen, führen wir ausgekleidet, parallel B und durch die Linie aus c. Und der Punkt A wird ein Flugzeug erstellen. Die Wechselstromlinie ist senkrecht zur Linie C unter dem Konstruktionszustand und senkrecht zur Linie D, infolge von zwei parallelen Linien aus dem Senspendizititätsheorem, da gemäß dem Zustand die Linie gemäß der Bedingung senkrecht zur Oberfläche γ ist.

Folglich wird durch Bestimmen der Senspendizitut der Linie und der Ebene der aufgebaute Abschnitt Wechselstrom senkrecht zur Oberfläche α senkrecht.

Task Nummer 2.

Bedingungen. AV senkrecht zum Flugzeug α schneiden. Das BDF-Dreieck befindet sich auf der Oberfläche α und hat die folgenden Parameter:

• dBF-Winkel ist 90 o
• seite BD. \u003d 12 cm;
• seite BF \u003d 16 cm;
• BC - Median.

Achte auf, Abbildung 6.

Finden Sie die Länge des Lautsprechers, wenn av \u003d 24 cm.

Entscheidung. Laut Pythagore ist Hypotenuse oder die DF-Seite von der Summe der Quadrate der Katheten gleich Quadratwurzel. Die BD-Länge im Quadrat ist 144 und dementsprechend BC im Quadrat 256 beträgt 256. in der Menge von 400; Entfernen der Quadratwurzel, erhalten wir 20.

Der BC-Median in einem rechteckigen Dreieck teilt die Hypotenuse in zwei gleiche Teile und ist gleich dieser Segmente entlang der Länge, dh sun \u003d dc \u003d cf \u003d 10.

Der Pythagora-Theorem wird wieder verwendet, und wir erhalten: Hypotenuse c \u003d 26, die eine Quadratwurzel von 675 ist, die Summen der Muttern der Muttern 576 (AV \u003d 24 pro Quadrat) und 100 (Sun \u003d 10 im Quadrat).

Antwort: Die Längenlänge ist 26 cm.