Das Flugzeug kacheln. Das Problem der nichtperiodischen Kachelung einer Ebene mit Figuren gleicher Form wurde gelöst. In ihren Arbeiten nutzt sie häufig Computergrafiken als sehr nützliches Werkzeug zur Erstellung von Kunstwerken, das eine Verbindung zwischen ihnen darstellt

Eine Sensation in der Welt der Mathematik. Es wurde eine neue Art von Fünfecken entdeckt, die die Ebene ohne Unterbrechungen und ohne Überlappungen abdecken.

Dies ist erst der 15. Typ solcher Fünfecke und der erste, der in den letzten 30 Jahren entdeckt wurde.

Die Ebene ist mit Dreiecken und Vierecken beliebiger Form bedeckt, aber bei Fünfecken ist alles viel komplizierter und interessanter. Regelmäßige Fünfecke können eine Ebene nicht abdecken, einige unregelmäßige Fünfecke jedoch schon. Die Suche nach solchen Zahlen ist seit hundert Jahren eines der interessantesten mathematischen Probleme. Die Suche begann im Jahr 1918, als der Mathematiker Karl Reinhard die ersten fünf geeigneten Figuren entdeckte.

Lange Zeit glaubte man, Reinhard habe alle möglichen Formeln berechnet und es gäbe keine solchen Fünfecke mehr, doch 1968 fand der Mathematiker R.B. Kershner drei weitere, und Richard James erhöhte 1975 ihre Zahl auf neun. Im selben Jahr entwickelte die 50-jährige amerikanische Hausfrau und Mathematik-Enthusiastin Marjorie Rice ihre eigene Notationsmethode und entdeckte innerhalb weniger Jahre vier weitere Fünfecke. 1985 schließlich erhöhte Rolf Stein die Zahl der Figuren auf vierzehn.

Pentagone bleiben die einzige Figur, über die weiterhin Unsicherheit und Rätsel bestehen. Im Jahr 1963 wurde nachgewiesen, dass es nur drei Arten von Sechsecken gibt, die die Ebene bedecken. Unter konvexen siebeneckigen, achteckigen usw. gibt es solche Dreiecke nicht. Doch bei den Pentagons ist noch nicht alles ganz klar.

Bis heute waren nur 14 Arten solcher Fünfecke bekannt. Sie sind in der Abbildung dargestellt. Die Formeln für jede davon finden Sie unter dem Link.

30 Jahre lang konnte niemand etwas Neues finden und endlich die lang erwartete Entdeckung! Es wurde von einer Gruppe von Wissenschaftlern der University of Washington erstellt: Casey Mann, Jennifer McLoud und David Von Derau. So sieht der kleine hübsche Kerl aus.

„Wir haben die Form per Computer entdeckt, indem wir eine große, aber begrenzte Anzahl von Variationen durchsuchten“, sagt Casey Mann. „Natürlich sind wir sehr aufgeregt und ein wenig überrascht, dass wir einen neuen Fünfecktyp entdecken konnten.“

Die Entdeckung scheint rein abstrakt zu sein, könnte aber tatsächlich praktische Anwendungen haben. Zum Beispiel bei der Herstellung von Abschlussfliesen.

Die Suche nach neuen Fünfecken, die das Flugzeug bedecken, wird sicherlich weitergehen.

Es ist einfach, die Ebene mit Parkett aus regelmäßigen Dreiecken, Quadraten oder Sechsecken zu pflastern (siehe unten). Fliesen Wir verstehen diese Anordnung, bei der die Eckpunkte jeder Figur nur auf die Eckpunkte benachbarter Figuren angewendet werden und es keine Situation gibt, in der ein Eckpunkt auf die Seite angewendet wird. Beispiele für solche Fliesen sind in Abb. dargestellt. 1.

Kein anderes richtig N-Es wird nicht möglich sein, eine Ebene mit Winkeln ohne Lücken und Überlappungen abzudecken. So erklären Sie es. Bekanntlich ist die Summe der Innenwinkel beliebig N-gon ist gleich ( N– 2) 180°. Weil alle Winkel stimmen N-Ecke identisch sind, dann ist das Gradmaß jedes Winkels . Wenn die Ebene mit solchen Figuren gekachelt werden kann, dann konvergiert sie an jedem Scheitelpunkt k Polygone (für einige k). Die Summe der Winkel an diesem Scheitelpunkt muss also 360° betragen. Nach ein paar einfachen Transformationen wird aus dieser Gleichheit Folgendes: . Aber wie man leicht überprüfen kann, hat die letzte Gleichung nur drei Lösungspaare, wenn wir das annehmen N Und k ganze Zahlen: k = 3, N = 6; k = 4, N= 4 oder k = 6, N= 3. Diese Zahlenpaare entsprechen genau denen in Abb. 1 Fliesen.

Welche anderen Polygone können verwendet werden, um eine Ebene ohne Lücken oder Überlappungen zu kacheln?

Aufgabe

a) Beweisen Sie, dass jedes Dreieck zum Kacheln einer Ebene verwendet werden kann.

b) Beweisen Sie, dass jedes Viereck (sowohl konvexe als auch nicht konvexe) zum Kacheln einer Ebene verwendet werden kann.

c) Geben Sie ein Beispiel für ein Fünfeck, das zum Kacheln einer Ebene verwendet werden kann.

d) Geben Sie ein Beispiel für ein Sechseck, das nicht zum Kacheln einer Ebene verwendet werden kann.

e) Geben Sie ein Beispiel N-Quadrat für irgendein N> 6, mit dem das Flugzeug gepflastert werden kann.

Hinweis 1

In den Punkten a), c), e) können Sie versuchen, aus identischen Figuren „Streifen“ zu machen, mit denen Sie dann problemlos die gesamte Ebene pflastern können.

Schritt b): Falten Sie zwei identische Vierecke zu einem Sechseck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind. Es ist ganz einfach, mit diesen Sechsecken eine Ebene zu kacheln.

Punkt d): Nutzen Sie die Tatsache, dass die Summe der Winkel an jedem Scheitelpunkt 360° betragen muss.

Hinweis 2

In Punkt e) können Sie versuchen, anders vorzugehen: Ändern Sie die vorhandenen Figuren leicht, sodass neue Tessellationen entstehen.

Lösung

Beispiele für Antworten sind in den Bildern dargestellt.

c) Ein Fünfeck in Form eines Hauses reicht aus:

d) Es wird nicht möglich sein, eine Ebene mit solchen Sechsecken zu pflastern: Es passt einfach kein Teil eines solchen Sechsecks vollständig in die „ausgeschnittene“ Ecke. Dies ist in den Zellen deutlich zu erkennen:

Sie können sich viele andere Sechsecke ausdenken, die nicht zum Kacheln einer Ebene verwendet werden können.

e) Hier ist ein Beispiel für ein Zwölfeck, das zum Kacheln einer Ebene verwendet werden kann. Diese Kachelmethode wurde als Modifikation des üblichen quadratischen Gitters erhalten (siehe Abb. 1, ii aus der Bedingung):

Nachwort

Das Problem, eine Fläche mit identischen Figuren ohne Lücken oder Überlappungen zu kacheln, ist seit der Antike bekannt. Einer ihrer Sonderfälle ist die Frage, was Parkette sein können (also Fliesen einer Ebene). regelmäßige Polygone, und nicht unbedingt gleich) und insbesondere richtige Parkettböden. Richtiges Parkett hat folgende Eigenschaft: Mit Hilfe von Parallelübertragungen (Verschiebungen ohne Drehungen), die das Parkett in sich selbst übertragen, kann man einen vorgewählten Knoten mit jedem anderen Parkettknoten kombinieren. In Abb. 1 der Bedingungen zeigt genau die richtigen Parkettböden.

Es ist nicht allzu schwierig zu beweisen, dass es nur 11 verschiedene Arten von regulären Parkettböden gibt (siehe Liste der einheitlichen Parkettböden). Dies wird ungefähr auf die gleiche Weise bewiesen, wie wir in der Problemstellung bewiesen haben, dass es nur drei Arten von Parkett aus identischen regelmäßigen Vielecken gibt – die Gradmaße der Winkel jedes regelmäßigen Vielecks sind bekannt, Sie müssen sie nur so auswählen, dass die Die Gesamtsumme beträgt 360°, und dies geschieht einfach durch eine kleine Aufzählung von Optionen. Es gibt viele antike Mosaike, die auf diesen Parkettböden basieren.

Mosaike aus Ton, Stein und Glas (sowie Parkettböden aus Holz und Fliesen) sind die bekannteste und verständlichste Anwendung dieser Theorie im Leben. Viele von uns können dies überprüfen, indem sie in ihre Küche oder ihr Badezimmer gehen. Zukünftige Designer beschäftigen sich speziell mit mathematischen Parketten, da diese und ihre Variationen häufig in Architektur und Dekoration verwendet werden.

Auch in der Natur kommen Tessellationen vor. Die auffälligsten Beispiele sind neben den bekannten Waben die geologischen Formationen am Kap Stolbchaty (Kunaschir-Insel, der große Bergrücken der Kurilen) und der „Giant’s Causeway“ in Nordirland.

Eine Verallgemeinerung unseres Problems – räumliche Kachelung – ein moderner wichtiger Zweig der Kristallographie, der eine wichtige Rolle in der integrierten Optik und Laserphysik spielt.

Seltsamerweise waren bis vor relativ kurzer Zeit nur periodische Tessellationen bekannt (die nach einiger Verschiebung und deren Wiederholungen vollständig mit sich selbst kompatibel sind). 1974 entwickelte der englische Wissenschaftler Roger Penrose jedoch nichtperiodische Kacheln, die heute nach ihm Penrose-Kacheln genannt werden. Später (1984) wurden ähnliche nichtperiodische Strukturen entdeckt

Städtische Bildungseinrichtung

„Sekundarschule Nr. 28.“

Ein Flugzeug im Weltraum kacheln.

Forschungszusammenfassung

Mathematik

Schüler der 10. Klasse

Komarcheva Anna

Aufsicht:

Mathematiklehrerin Ovsyankina O.A.

Mytischtschi

Einleitung………………………………………………………………………………3

Definition der ebenen Fliesen ……………………………………………..4

Die Entstehungsgeschichte von Fliesen …………………………………………………………..5

Parkette………………………………………………………………………………......7

Nichtperiodische Kacheln von H. Foderberg………………………………...10

Die einfachste Kachelung……………………………………………………….11

Mosaik von Roger Penrose……………………………………………………………..12

Eigenschaften des Penrose-Mosaiks……………………………………………………………..13

Sensationelle Entdeckung……………………………………………………….14

Quasikristalle……………………………………………………………….17

Struktur von Quasikristallen…………………………………………………….19

Eigenschaften von Quasikristallen…………………………………………………….21

Fullerene und Quasikristalle…………………………………………………………...24

Maurice Escher…………………………………………………………………...26

Mittelalterliche Ornamente……………………………………………………28

Struktur der Girikhs……………………………………………………………..31

Fazit……………………………………………………………………………..34

Einführung

Die Relevanz der Zusammenfassung liegt in der Tatsache, dass ebene Kacheln in der Kristallphysik und Geometrie aktiv untersucht werden und auch im Alltag zu finden sind.

Schon antike Künstler schufen erstaunliche geometrische Muster. Zur Erstellung ihrer Muster verwendeten sie keine einfachen, zufällig erfundenen Konturen, sondern Figuren, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet waren. Und das Erstaunlichste ist, dass die Leute sie später wieder trafen. Alte Muster sind nichts anderes als das, was Jahrhunderte später als Penrose-Gitter bezeichnet und in der Struktur von Quasikristallen gefunden wird!

Und der berühmte niederländische Künstler Maurice Escher (1898-1972), der berühmte Gravuren und Mosaike schuf und nie Mathematik verstand, erklärte: „Alle meine Werke sind Spiele. Ernsthafte Spiele.“ Allerdings blicken Mathematiker auf der ganzen Welt in diesen Spielen seit mehreren Jahrzehnten auf absolut ernsthafte, materielle Beweise für Ideen, die ausschließlich mit mathematischen Geräten erstellt wurden.

Die größte Aufmerksamkeit wurde dem Problem der Kachelung einer Ebene im Weltraum in den letzten fünfzig Jahren gewidmet, nach Entdeckungen in der Physik von Kristallen – Hartmetalllegierungen. In der Kristallographie wird die Rotationssymmetrie 5. Ordnung am besten in der Pflanzenwelt und in den einfachsten lebenden Organismen dargestellt, insbesondere bei einigen Arten von Viren und bei einigen Meeresbewohnern.

Definieren einer ebenen Tessellation

Tessellation ist die Abdeckung einer gesamten Ebene mit nicht überlappenden Formen.

Fliesenlegen – Aufteilen Flugzeug oder Leerzeichen auf Figuren ohne gemeinsame innere Punkte oder die gesamte Ebene mit nicht überlappenden Formen abdecken.

Die Kachelung einer Ebene kann als eine Reihe zusammengeklebter Figuren entlang der Grenzen dargestellt werden. Eines der einfachsten Beispiele ist die sogenannte hexagonale Kachelung, bei der eine Ebene, ähnlich einer Bienenwabe, aus an den Seiten verbundenen Sechsecken besteht. Eine Kachelung heißt periodisch, wenn sie sich bei Verschiebung um einen bestimmten Vektor in sich selbst umwandelt. Im hexagonalen Fall ist dies beispielsweise ein Vektor, der die Mittelpunkte benachbarter hexagonaler Zellen verbindet.

Die Geschichte des Fliesenlegens

Wahrscheinlich entstand das Interesse an der Pflasterung zunächst im Zusammenhang mit der Herstellung von Mosaiken, Ornamenten und anderen Mustern. Es sind viele Ornamente bekannt, die aus sich wiederholenden Motiven bestehen.

Schon die Pythagoräer wussten, dass es nur drei Arten regelmäßiger Vielecke gibt, mit denen sich eine Fläche vollständig ohne Lücken oder Überlappungen überdecken lässt – Dreieck, Quadrat und Sechseck.

Das mathematische Problem der nichtperiodischen Kachelung einer Ebene besteht seit etwa einem halben Jahrhundert. Die bekannteste Lösung für dieses Problem ist Penrose-Mosaik, das in den siebziger Jahren des letzten Jahrhunderts erschien und nur zwei verschiedene Figuren verwendet.

Und der erste Satz Kacheln, bestehend aus 20.426 Figuren, wurde 1966 vom Mathematiker Robert Berger eingeführt. Nach einiger Zeit gelang es ihm jedoch, die Anzahl der benötigten Plättchen auf 104 zu reduzieren.

Für den Autor des betreffenden Werkes reichte eine Figur aus, um das Problem zu lösen – ein regelmäßiges Sechseck. Beim Verlegen solcher Fliesen sollten die schwarzen Linien nicht unterbrochen werden und die Fahnen an den Eckpunkten der Sechsecke, die sich in einem Abstand befinden, der der Länge einer Seite der Fliese entspricht (in der Abbildung mit Pfeilen markiert), sollten sichtbar sein in die gleiche Richtung.

Parkette

In jeder Tessellation, die ein Quadrat, ein regelmäßiges Dreieck und ein regelmäßiges Sechseck verwendet, haben zwei beliebige Polygone entweder eine gemeinsame Seite, nur einen gemeinsamen Scheitelpunkt oder überhaupt keine gemeinsamen Punkte. Tessellationen der Ebene mit Polygonen, die diese Anforderung erfüllen, werden aufgerufen Parkette.

Es ist ganz einfach sicherzustellen, dass kein anderes regelmäßiges Vieleck das Parkett bildet. Und hier brauchen wir die Formel für die Winkelsumme eines Polygons.

Wenn das Parkett aus besteht N-gons, dann kommt es an jedem Scheitelpunkt des Parketts zu Konvergenz k= 360°/ A N Polygone, wo N- Richtiger Winkel N-gon. Das ist leicht zu finden A 3 = 60°, A 4 = 90°, A 5 = 108°, A 6 = 120° und 120° a N P > 7. Daher ist 360° teilbar durch A N nur wenn P = 3; 4; 6.

Parkette aus regelmäßigen Polygonen sind selbst regelmäßig in dem Sinne, dass sie in Bezug auf alle ihre Eckpunkte und alle Polygonstücke, aus denen das Parkett besteht, „gleich strukturiert“ sind. (Diese Teile werden Kachelflächen oder einfach Kacheln genannt.) Mit anderen Worten: Für zwei beliebige Eckpunkte eines regulären Parketts kann man dessen Selbstausrichtung so festlegen, dass einer der Eckpunkte auf den anderen fällt. Das Gleiche gilt auch für zwei beliebige Parkettfliesen.

Sie können verlangen, dass das Parkett nur an den Eckpunkten regelmäßig ist, aber die Verwendung verschiedener Arten regelmäßiger Polygone zulassen. Dann werden acht weitere Parkettböden zu den ursprünglich drei hinzukommen.

Die einfachste Fliesenverlegung

Eine der einfachsten Kachelungen kann wie folgt beschrieben werden. Die Ebene ist mit Parallelogrammen bedeckt und alle Parallelogramme sind identisch. Jedes Parallelogramm dieser Kachelung kann aus dem ursprünglichen Parallelogramm erhalten werden, indem es um den Vektor nU ± mV verschoben wird (die Vektoren U und V werden durch die Kanten des ausgewählten Parallelogramms bestimmt, n und m sind ganze Zahlen). Es ist zu beachten, dass sich die gesamte Kachelung als Ganzes in sich selbst verwandelt, wenn sie um den Vektor U (oder V) verschoben wird. Diese Eigenschaft kann als Definition verstanden werden: Eine periodische Kachelung mit den Perioden U und V ist nämlich eine Kachelung, die sich in sich selbst umwandelt, wenn sie um einen Vektor U und einen Vektor V verschoben wird.

Mosaik von Roger Penrose

Lange Zeit ging man davon aus, dass es keine Kacheln oder gar Sätze aus mehreren verschiedenen Kacheln gebe, deren Kopien eine Fläche nur in unregelmäßigen Abständen bedecken könnten. Allerdings Mitte der 60er Jahre. Im 20. Jahrhundert wurde diese Hypothese widerlegt, die einen Satz von mehr als 20.000 verschiedenen Fliesentypen voraussetzte. Schritt für Schritt wurde die Anzahl der Kacheln reduziert und schließlich gelang es dem englischen Mathematiker Roger Penrose zehn Jahre später, mit nur zwei sehr einfachen Figuren auszukommen.

Der englische Mathematiker Roger Penrose hat sich 1973 so etwas ausgedacht – ein besonderes Mosaik aus geometrischen Formen. Dementsprechend wurde es als Penrose-Mosaik bekannt. Was ist daran so speziell? Das Penrose-Mosaik ist ein Muster, das aus polygonalen Fliesen mit zwei spezifischen Formen (leicht unterschiedliche Rauten) zusammengesetzt ist. Sie können eine endlose Ebene ohne Lücken pflastern.

Das resultierende Bild sieht aus, als wäre es eine Art „rhythmisches“ Ornament – ​​ein Bild mit translatorischer Symmetrie. Diese Art der Symmetrie bedeutet, dass Sie ein bestimmtes Stück in einem Muster auswählen können, das auf einer Ebene „kopiert“ werden kann, und diese „Duplikate“ dann durch parallele Übertragung (also ohne Drehung und ohne Vergrößerung) miteinander kombinieren können.

Wenn man jedoch genau hinschaut, erkennt man, dass das Penrose-Muster keine solchen sich wiederholenden Strukturen aufweist – es ist aperiodisch. Aber der Punkt ist keine optische Täuschung, sondern die Tatsache, dass das Mosaik nicht chaotisch ist: Es hat eine Rotationssymmetrie fünfter Ordnung. Das bedeutet, dass das Bild auf einen Winkel von mindestens 360° gedreht werden kann. N Grad, wo N–in diesem Fall die Ordnung der Symmetrie N= 5. Daher muss der Drehwinkel, an dem sich nichts ändert, ein Vielfaches von 360 / 5 = 72 Grad sein.

Penrose-Mosaik hat die folgenden Eigenschaften:

1. Das Verhältnis der Anzahl dünner Rauten zur Anzahl dicker ist immer gleich der sogenannten „goldenen“ Zahl 1,618...

2. Es verwandelt sich während der Verschiebungen nicht in sich selbst, d. h. nicht periodisch

3. Hat Rotationssymmetrie fünfter Ordnung. Der Drehwinkel ist ein Vielfaches von 360° / 5 = 72. Die resultierenden Muster haben quasikristallin eine Form, die hat axiale Symmetrie 5. Ordnung. Die Struktur des Mosaiks ist mit verbunden Fibonacci-Folge.

Sensationelle Entdeckung

Etwa ein Jahrzehnt lang galt die Fiktion von Roger Penrose als nichts anderes als eine niedliche mathematische Abstraktion.

Später machten Wissenschaftler aus den USA und Israel – D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias und J. Kahn – eine sensationelle Entdeckung, indem sie die nichtperiodische Struktur einer schnell abgekühlten Legierung aus Mangan und Aluminium entdeckten. Bisher ging man davon aus, dass Kristalle nur eine Achsensymmetrie 1., 2., 3., 4. und 6. Ordnung aufweisen. Mit anderen Worten: Kristalle mit axialer Symmetrie 5. Ordnung befinden sich in einem Zustand des fließenden Übergangs zwischen amorphen Körpern und periodischen Kristallen.

Bisherige Vorstellungen der Festkörperphysik schlossen diese Möglichkeit aus: Die Struktur des Beugungsmusters weist eine Symmetrie fünfter Ordnung auf.

Seine Teile können nicht durch parallele Übertragung kombiniert werden, was bedeutet, dass es sich überhaupt nicht um einen Kristall handelt. Aber Beugung ist charakteristisch für ein Kristallgitter!

Wie können wir hier sein? Die Frage ist nicht einfach, daher waren sich die Wissenschaftler einig, dass diese Option Quasikristalle genannt wird – so etwas wie ein besonderer Zustand der Materie. So wurde aus der mathematischen Kuriosität ein Modell, das die innere Struktur von Quasikristallen beschreibt.

Das Schöne an der Entdeckung ist, dass es dafür schon seit langem ein mathematisches Modell gibt. Das Penrose-Mosaik ist ein großartiges Beispiel dafür, wie eine schöne Konstruktion, die sich an der Schnittstelle verschiedener Disziplinen befindet, zwangsläufig ihre Anwendung findet. Wenn die Knotenpunkte durch Atome ersetzt werden, wird das Penrose-Mosaik zu einem guten Analogon eines zweidimensionalen Quasikristalls, da es viele dafür charakteristische Eigenschaften aufweist
Aggregatszustand. Und deshalb:

Erstens wird der Aufbau des Mosaiks nach einem bestimmten Algorithmus umgesetzt, wodurch es sich nicht um eine zufällige, sondern um eine geordnete Struktur handelt. Jeder endliche Teil davon kommt im gesamten Mosaik unzählige Male vor.

Zweitens kann man im Mosaik viele regelmäßige Zehnecke unterscheiden, die genau die gleiche Ausrichtung haben. Sie erzeugen eine Orientierungsordnung mit großer Reichweite, die als quasiperiodisch bezeichnet wird. Dies bedeutet, dass es eine Wechselwirkung zwischen entfernten Mosaikstrukturen gibt, die die Lage und relative Ausrichtung der Diamanten auf sehr spezifische, wenn auch mehrdeutige Weise koordiniert.
Drittens: Wenn Sie nacheinander alle Rauten übermalen, deren Seiten parallel zu einer ausgewählten Richtung verlaufen, bilden sie eine Reihe unterbrochener Linien.

Entlang dieser gestrichelten Linien können Sie gerade parallele Linien zeichnen, die ungefähr den gleichen Abstand voneinander haben. Dank dieser Eigenschaft können wir von einer gewissen Translationssymmetrie im Penrose-Mosaik sprechen.

Viertens bilden nacheinander schattierte Rauten fünf Familien ähnlicher paralleler Linien, die sich in Winkeln schneiden, die ein Vielfaches von 72° sind. Die Richtungen dieser gestrichelten Linien entsprechen den Seitenrichtungen eines regelmäßigen Fünfecks. Daher weist das Penrose-Mosaik gewissermaßen eine Rotationssymmetrie 5. Ordnung auf und ähnelt in diesem Sinne einem Quasikristall.

Quasikristalle

Seit der Antike, als die Wissenschaft der Festkörper gerade erst aufkam, wurde festgestellt, dass alle Körper in der Natur in zwei diametral entgegengesetzte Klassen eingeteilt werden können: ungeordnete amorphe Körper, bei denen es keine Regelmäßigkeit in der gegenseitigen Anordnung der Atome gibt, und kristalline Körper , gekennzeichnet durch ihre geordnete Anordnung . Diese Aufteilung der Struktur von Festkörpern hielt fast bis zum Ende des 20. Jahrhunderts an, als nicht ganz „richtige“ kristalline Körper – Quasikristalle – entdeckt wurden. Man begann, sie als Zwischenformen zwischen amorphen und kristallinen Körpern zu betrachten.

Quasi (lat. quasi – als ob, als ob) ist ein Präfix für verschiedene Wörter, dessen Bedeutung den Wörtern „eingebildet“, „falsch“, „angeblich“ entspricht.

Im Jahr 1984 wurde eine Aluminium-Mangan-Legierung Al0,86Mn0,14 entdeckt, deren Probe nach einer speziellen Schnellabkühlungsmethode einen Elektronenstrahl streute, so dass am Ort der Beugung ein ausgeprägtes Beugungsmuster mit Symmetrie fünfter Ordnung entstand Auf der Fotoplatte bildeten sich Maxima (Ikosaeder-Symmetrie). Das Vorhandensein scharfer Beugungsmaxima deutete auf das Vorhandensein einer für Kristalle charakteristischen Fernordnung in der Anordnung der Atome in der Struktur hin, da dies bedeutet, dass Atome in verschiedenen Teilen der Probe den Elektronenstrahl gleichermaßen reflektieren. Die Symmetrie des beobachteten Beugungsmusters widersprach jedoch den Grundkonzepten der klassischen Kristallographie: Eine solche Symmetrie ist für alle kristallinen Substanzen physikalisch unmöglich.

Weitere Untersuchungen zeigten, dass das neue Material eine neue Art von Ordnung aufweist, nicht kristallin und nicht amorph (eine amorphe Substanz zeichnet sich durch das Vorhandensein einer atomaren Nahordnung aus – kristalline Ordnung nur innerhalb weniger interatomarer Abstände). Daher wurde diese Substanz als Quasikristall bezeichnet.

Einige Zeit später wurden andere Metalllegierungen mit Fernordnung gefunden, die jedoch Symmetrieachsen der siebten, achten, zehnten, zwölften usw. hatten. Bestellungen für Kristalle verboten. In diesem Zusammenhang hat sich auch der Begriff der Quasikristalle erweitert: Unter Quasikristallen versteht man heute allgemein feste Metalllegierungen mit Fernordnung, deren Beugungspeaks in nichtkristallographischer Symmetrie liegen.

Struktur von Quasikristallen

Ein wichtiges Problem in der Physik von Quasikristallen ist ihre atomare Struktur. Ihre Struktur kann mit der mathematischen Theorie der Kachelung verstanden werden. Ein gewöhnlicher Kristall ist eine periodische Struktur aus Atomen oder Molekülen. Jede Kristallstruktur weist eine bestimmte Symmetrie auf. Kristalle haben zwei Arten von Fernordnung: Orientierung und Translation. Unter translatorischer Ordnung versteht man die Fähigkeit, eine Kristallstruktur aufzubauen, indem der elementare Baustein der Struktur mit einer bestimmten Anordnung von Atomen auf einen bestimmten Vektor der elementaren Zelle des Kristalls verschoben wird. In diesem Fall sprechen sie von der Existenz einer Fernordnung im Kristall. Orientierungsordnung bedeutet, dass die Drehung des Kristalls um eine bestimmte Achse die Atompositionen an sich selbst ausrichtet. Kristalle können Rotationssymmetrie dritter, vierter oder sechster Ordnung haben.

Wenn beispielsweise ein Kristall eine Symmetrieachse dritter Ordnung hat, ändert sich sein Kristallgitter nach einer Drehung um ein Drittel eines Kreises nicht. Die Elementarzellenstruktur der meisten Kristalle basiert auf einfachen geometrischen Körpern wie Würfel, Tetraeder und Oktaeder. Die Struktur von Quasikristallen, beispielsweise einer Legierung aus Aluminium und Mangan, basiert auf einem anderen geometrischen Körper – dem Ikosaeder. Ein Ikosaeder ist ein Polyeder mit 20 Flächen, von denen jede ein gleichseitiges Dreieck, 12 Eckpunkte und 30 Kanten ist. Das Ikosaeder hat eine Symmetrie fünfter Ordnung: An jedem Scheitelpunkt sind fünf Flächen verbunden. Ikosaeder können nicht so gepackt werden, dass sie den gesamten Raum dicht und lückenlos ausfüllen, sie können also nicht als Elementarzellen von Kristallen dienen.

Elemente der Struktur eines Quasikristalls aus fünf Tetraedern: Fragment eines Ikosaeders (a), 32 - Scheitelpunkt eines Triacontaeders (6)

Ikosaeder(aus griechischεικοσάς – zwanzig; -εδρον - Fläche, Fläche, Basis) - regelmäßiges konvexes Polyeder, zwanzigseitiges Polyeder, eines von Platonische Körper. Jede der 20 Flächen ist gleichseitig Dreieck. Die Anzahl der Kanten beträgt 30, die Anzahl der Eckpunkte beträgt 12.

Tetraeder(Griechisch τετραεδρον – Tetraeder) – ein Polyeder mit vier dreieckigen Flächen, an deren Ecken jeweils 3 Flächen zusammenlaufen.

Triacontaeder- (Griechisch, von Triaconta Thirty und Hedra Base). Dreißigeder, d. h. ein Körper, der durch 30 gleiche rhombische Ebenen begrenzt wird.

Eigenschaften von Quasikristallen

Quasikristalle sind meist Legierungen metallischer Elemente. Doch die physikalischen Eigenschaften von Quasikristallen unterscheiden sich von denen anderer metallischer Systeme. Der elektrische Widerstand von Metallen steigt mit zunehmender Temperatur, Konzentration an Verunreinigungen und Strukturfehlern. Quasikristalle sind keine Isolatoren oder Halbleiter, aber im Gegensatz zu Metallen ist ihr elektrischer Widerstand bei niedrigen Temperaturen ungewöhnlich hoch, nimmt mit steigender Temperatur ab und steigt mit zunehmender Strukturordnung und Ausheilen von Defekten (langfristiges Erhitzen, das Defekte beseitigt). Ein interessantes Muster wird in zehneckigen Quasikristallen beobachtet. Dabei handelt es sich um Schichtobjekte: Quasikristalline Ebenen sind entlang einer Achse zehnter Ordnung mit einer endlichen Periode gepackt. Entlang der Packungsachse verhält sich die Leitfähigkeit wie in einem normalen Metall, in quasikristallinen Ebenen verhält sie sich jedoch anders.

Fast alle quasikristallinen Legierungen sind diamagnetisch. Eine Ausnahme bilden Legierungen mit Mangan, die paramagnetisch sind.

Die Festkörpertheorie erklärt perfekt die elektronischen Eigenschaften normaler Metalle und ihrer Legierungen. Ausgangspunkt ist die Periodizität der Kristallstruktur. Die Theorie ist jedoch noch nicht in der Lage zu erklären, warum die Quasiperiodizität die Ursache für das spezifische Verhalten von Eigenschaften ist. Um diese Frage zu beantworten, sind weitere experimentelle und theoretische Informationen über die elektronische Struktur (elektronisches Spektrum) von Quasikristallen erforderlich.

Derzeit wurden mehr als 200 quasikristalline Legierungen entdeckt, deren Eigenschaften aktiv untersucht werden. Jedes Jahr gibt es Berichte über Quasikristalle mit neuer Zusammensetzung und neuen Strukturvarianten, deren Existenz vorher nicht einmal angenommen werden konnte.

Derzeit wurden in den meisten synthetisierten Quasikristallen Symmetrieachsen der 5., 7., 8., 10., 12. und noch höheren Ordnungen entdeckt, die für ideale Kristalle verboten sind. Diese Objekte haben noch keine praktische Anwendung gefunden, aber ihre Untersuchung erweitert unser Verständnis der Struktur der Materie. Die Frage nach dem quasikristallinen Zustand ist nicht auf die Festkörperphysik beschränkt. Die Symmetrieeigenschaften von Quasikristallen sind universell. Dies bedeutet, dass, wenn in einem Festkörper eine Methode zum Packen von Zellen einer bestimmten Form gefunden wird, dann die gleiche Methode zum Packen von „flüssigen Zellen“ in hydrodynamischen Strömungen zu finden ist, das Problem des Chaos (in der Struktur der Phasenebene von a dynamisches System) usw. Daher sind an der Untersuchung von Quasikristallen Physiker, Mathematiker, Kristallographen und Materialwissenschaftler beteiligt. Die Frage nach der Natur des quasikristallinen Zustands der Materie und die Erklärung der Eigenschaften von Quasikristallen bleibt jedoch immer noch ein Rätsel der Natur uns präsentiert.

Hier ist eine interessante Tatsache, die Forscher festgestellt haben. Die in der Kristallographie streng verbotene Rotationssymmetrie 5. Ordnung wird am effektivsten in der Pflanzenwelt und in den einfachsten lebenden Organismen dargestellt, insbesondere bei einigen Virenarten, bei einigen Meeresbewohnern (Seesterne, Seeigel, Grünalgenkolonien, usw.) und in anderen Objekten, die „Leben aufbauen“. Rotationssymmetrie 5. Ordnung ist charakteristisch für viele Wildblumen (Johanniskraut, Vergissmeinnicht, Glockenblume usw.), für Blüten von Obst- und Beerenpflanzen (Himbeere, Viburnum, Eberesche, Hagebutte usw.), für Blüten von Obstbäumen (Kirsche, Birne, Apfelbaum, Mandarine usw.). Auch die Schuppen eines Tannenzapfens, die Körner einer Sonnenblume oder die Zellen einer Ananas bilden eine Art quasi-regelmäßige Oberflächenbedeckung, bei der benachbarte Zellen in deutlich sichtbaren Spiralen organisiert sind und eine quasikristallähnliche Struktur bilden.

Wie wir sehen, manifestiert sich die Rotationssymmetrie 5. Ordnung, die in Quasikristallen eine wichtige Rolle spielt, am deutlichsten im Übergangsbereich zwischen der statisch unbelebten und biegsam flexiblen Lebenswelt der Natur. Die Untersuchung quasikristalliner Objekte hat zu einer Reihe von Entdeckungen und angewandten Entwicklungen geführt. Die strukturelle Perfektion thermodynamisch stabiler Quasikristalle stellt sie auf eine Stufe mit den besten Beispielen gewöhnlicher Kristalle. Auf ihrer Grundlage werden leichte und sehr starke Gläser erhalten. Dünne Filme und Beschichtungen aus Quasikristallen haben einen sehr niedrigen Reibungskoeffizienten. Mithilfe von Quasikristallen entstehen Verbundwerkstoffe, beispielsweise reibungsbeständiger Gummi. Besonders attraktiv sind ihre geringe elektrische und thermische Leitfähigkeit, hohe Härte, Korrosions- und Oxidationsbeständigkeit, chemische Inertheit und Ungiftigkeit. Heute wurden bereits viele vielversprechende Quasikristalle gewonnen, von denen man vor einigen Jahrzehnten noch nicht einmal zu träumen wagte. Eine der vorrangigen Aufgaben ist die Entwicklung von Synthesemethoden nach vorgegebenen Parametern, die es ermöglichen würden, die physikalischen Eigenschaften der entstehenden Materialien im Voraus zu „programmieren“.

Das unerwartete Auftreten des goldenen Anteils in der Struktur von Quasikristallen weist auf das Vorhandensein eines lebendigen „Motivs“ in ihrer Symmetrie hin, da im Gegensatz zu unbelebten Kristallen nur die lebende Welt bemerkenswerte Beziehungen des goldenen Anteils zulässt. Vieles über die Natur von Quasikristallen ist noch unklar. Darüber hinaus gibt es keine endgültigen physikalischen Vorstellungen über die Merkmale ihrer Struktur und es wurde keine physikalische Begründung für ihre Festigkeit, plastischen, elastischen, elektrischen, magnetischen und anderen Eigenschaften erhalten. Trotz dieser Schwierigkeiten lässt das zunehmende Interesse der Wissenschaftler an dem Geheimnis, das ihnen die Natur in Form von Quasikristallen präsentiert, nicht nach, und in Zukunft werden zweifellos mehr als einmal unerwartete Ergebnisse erzielt.

Fullerene und Quasikristalle

In direktem Zusammenhang mit der Struktur von Quasikristallen stehen die Mitte der 1980er Jahre entdeckten sogenannten Fullerene – eine bisher unbekannte Form der Verbindung von Kohlenstoffatomen zu nahezu kugelförmigen Molekülen C n ( N = 28, 54, 60, 70, 84, 120...).Fullerene sind eine Klasse von Kohlenstoffmolekülen mit mehr als 20 Atomen. Ihre Entdeckung verschärfte die „kristallographische Katastrophe“, die durch die Entdeckung von Quasikristallen verursacht wurde. Das am meisten untersuchte Kohlenstoff-Nanoobjekt ist das C 60-Fulleren. Bisher wurde angenommen, dass Kohlenstoff im freien Zustand in Form von zwei Modifikationen gefunden werden kann – Diamant und Graphit . Die Struktur des C 60 -Moleküls ist etwas anderes. Es handelt sich um ein eckenstumpfförmiges Ikosaeder, also eines der 14 unregelmäßigen (oder halbregulären) Polyeder des Archimedes, in denen die Sechsecke durch Fünfecke miteinander verbunden sind. Ohne näher darauf einzugehen Bei genauer Betrachtung dieser Figur stellen wir fest, dass eine solche Struktur einem Fußball ähnelt, der traditionell aus schwarzen Fünfecken und weißen Sechsecken genäht wird. Es ist nicht verwunderlich, dass ein solches Molekül eine Ikosaeder-Symmetrie aufweist. Fullerene kennenzulernen ist sofort fesselnd, man ist beeindruckt durch ihre Schönheit und Proportionalität. Fullerene sprechen wie Quasikristalle von der erstaunlichen Harmonie der Welt, von der kontinuierlichen Einheit in all ihren Erscheinungsformen. Das Interesse an Fullerenen entstand vor allem aufgrund ihrer einzigartigen Struktur und Symmetrie sowie aufgrund von die Fähigkeit, darauf basierende Materialien herzustellen, die in einer Vielzahl von Hochtechnologien eingesetzt werden. Erstens gelten sie als vielversprechende Materialien für elektronische Geräte. Darüber hinaus wurden Ultratief- und Ultrahochtemperaturschmierstoffe und Verbindungen mit Supraleitung auf Basis von Fullerenen hergestellt und Substanzen gewonnen, die härter als Diamant sind (siehe Science and Life, Nr. 10, 1995).

Der Name „Fullerene“ wird einer neuen Klasse von Kohlenstoffmodifikationen zu Ehren des amerikanischen Architekten Buckminster Fuller gegeben, der das Design kugelförmiger Kuppeln entwickelt hat. Eines dieser Gebäude wurde auf der internationalen Ausstellung EXPO-67 in Montreal errichtet. Das Hauptmotiv der Konstruktion sind sich wiederholende sechseckige Fragmente, zwischen denen an bestimmten Stellen fünfeckige eingefügt werden, um das Notwendige zu geben
Krümmung einer volumetrischen Struktur.

Die ersten Fullerene wurden aus kondensierten Dämpfen isoliert Graphit erhalten durch Laserbestrahlung von festen Graphitproben. Tatsächlich handelte es sich dabei um Spuren der Substanz. Der nächste wichtige Schritt wurde getan 1990 V. Kretschmer, Lamb, D. Huffman und andere, die eine Methode zur Herstellung von Fullerenen im Grammbereich durch Verbrennen von Graphitelektroden in einem Lichtbogen in der Atmosphäre entwickelten Helium bei niedrigen Drücken. Im Prozess der Erosion Anode An den Wänden der Kammer lagerte sich Ruß ab, der einen bestimmten Anteil an Fullerenen enthielt. Anschließend konnten die optimalen Parameter für die Verdampfung der Elektroden (Druck, Atmosphärenzusammensetzung, Strom, Durchmesser der Elektroden) ausgewählt werden, bei denen die höchste Ausbeute an Fullerenen erreicht wird, durchschnittlich 3-12 % des Anodenmaterials bestimmt letztendlich die hohen Kosten von Fullerenen.

Maurice Escher

Lassen Sie uns die Arbeiten von Maurice Escher für die oben beschriebenen mathematischen Muster genauer untersuchen. Escher interessierte sich für alle Arten von Mosaiken – regelmäßige und unregelmäßige (periodische und quasiperiodische) – und führte auch seinen eigenen Typ ein, den er „Metamorphosen“ nannte, bei dem sich die Figuren verändern und miteinander interagieren und manchmal auch die Ebene selbst verändern. Diese Art von Mosaik wurde im vorherigen Kapitel beschrieben. Escher begann sich 1936 während einer Spanienreise für Mosaike zu interessieren. Er verbrachte viel Zeit in der Alhambra und zeichnete arabische Mosaike. Später sagte er, dass dies für ihn „eine reiche Inspirationsquelle“ sei. Escher schrieb später in seinem Essay über Mosaike:

„In mathematischen Arbeiten wird die regelmäßige Teilung der Ebene theoretisch betrachtet ... Bedeutet das, dass diese Frage rein mathematisch ist? Mathematiker öffneten die Tür zu einer anderen Welt, aber sie selbst wagten es nicht, diese Welt zu betreten. Sie interessieren sich mehr für den Weg, auf dem die Tür steht, als für den Garten, der dahinter liegt.“

Sobald wir verstehen, wie man periodische und quasiperiodische Kacheln erstellt, können wir erraten, wie Maurice Escher schuf seine eigenen Mosaike. Bei genauer Betrachtung und Studium der Mosaike Eschers kann man davon ausgehen, dass der Künstler die folgende sehr interessante, aber zugleich einfache Methode angewendet hat. Ich habe ein regelmäßiges Sechseck skizziert (es ist bekannt, dass diese Figur zur Erstellung periodischer Mosaike verwendet werden kann). Danach krümmte er die drei benachbarten Seiten des Sechsecks, gab ihnen die erforderliche Kontur und ordnete diese Seiten mithilfe einer Parallelverschiebung den gegenüberliegenden Seiten zu.

So stellte der Meister sicher, dass aus der entstandenen Figur noch das Mosaik gefertigt werden konnte. Danach veränderte er die Figur von innen. Der Künstler teilte es in sechs gleich große Dreiecke. Bei jedem Dreieck wurden die Seitenrippen so modifiziert, dass sie in Kombination mit der modifizierten Seite des Sechsecks (der Basis des Dreiecks) den Umriss des gewünschten Tieres bildeten. In unserem Fall haben wir „Fisch“ bekommen. Mit der oben beschriebenen Methode erhielt er ein druckfertiges Bild. Als Beweis für die Gültigkeit der oben genannten Methode kann man die unscharfen Linien vorläufiger Markierungen anführen, die auf einigen Drucken der Stiche des Meisters erhalten geblieben sind. Diese Linien wiederholen genau das Muster, das bei der Durchführung der ersten Phasen der von uns vorgeschlagenen Methode erhalten werden sollte.

Basierend auf den obigen Überlegungen können wir das gesamte Spektrum der „Mosaik“-Werke in zwei grundlegende Klassen einteilen. Die erste ist periodische Arbeit und die zweite ist quasiperiodische Arbeit.

Ich selbst Maurice Escher Wie viele Genies vor und nach ihm sagte er: „Alle meine Werke sind Spiele. Ernsthafte Spiele.“ Allerdings blicken Mathematiker auf der ganzen Welt in diesen Spielen seit mehreren Jahrzehnten auf absolut ernsthafte, materielle Beweise für Ideen, die ausschließlich mit mathematischen Geräten erstellt wurden. Periodische Fliesen können sehr kompliziert sein, einige davon sind sehr schön. Ein Beispiel ist die von Maurice Escher („The Riders“) erfundene periodische Kachelung.

Mittelalterliche Ornamente

Im Jahr 2007 gründete Peter Lu, ein Physiker aus Harvard, zusammen mit einem anderen Physiker – Paul Steinhardt, allerdings aus Princeton – veröffentlicht in Science ein Artikel über Penrose-Mosaike. Es scheint, dass es hier kaum etwas Unerwartetes gibt: Die Entdeckung von Quasikristallen erregte großes Interesse an diesem Thema, was zum Erscheinen einer Reihe von Veröffentlichungen in der wissenschaftlichen Presse führte. Der Clou an der Arbeit ist jedoch, dass sie sich nicht der modernen Wissenschaft widmet. Und im Allgemeinen - keine Wissenschaft. Lu machte auf die Muster der im Mittelalter erbauten Moscheen in Asien aufmerksam. Diese leicht erkennbaren Designs bestehen aus Mosaikfliesen. Sie werden Girihi genannt. Girikh ist ein geometrisches Muster in Form einer Kombination aus polygonalen und sternförmigen Figuren, charakteristisch für die mittelalterliche Kunst Zentral- und Zentralasiens. Girikh – aus dem Persischen übersetzt als Knoten, ein komplexes geometrisches Muster, das aus Linien in verschiedenen geometrischen Formen (Sterne, Rechtecke, Rauten usw.) besteht.

Lange Zeit glaubte man, dass diese Muster mit Lineal und Zirkel erstellt wurden. Als Lou jedoch vor ein paar Jahren durch Usbekistan reiste, interessierte er sich für die Mosaikmuster, die die lokale mittelalterliche Architektur schmückten, und bemerkte etwas Vertrautes an ihnen. Nach seiner Rückkehr nach Harvard begann der Wissenschaftler, ähnliche Motive in Mosaiken an den Wänden mittelalterlicher Gebäude in Afghanistan, Iran, Irak und der Türkei zu untersuchen.

Dieses Beispiel stammt aus einer späteren Zeit – 1622 (indische Moschee). Wenn man es und die Zeichnung seiner Struktur betrachtet, kann man nicht umhin, die harte Arbeit der Forscher zu bewundern. Und natürlich die Meister selbst.

Peter Lu entdeckte, dass diese Muster fast identisch waren und konnte die Grundelemente der Girikhs identifizieren, die in allen geometrischen Designs verwendet werden. Darüber hinaus fand er in antiken Manuskripten Zeichnungen dieser Bilder, die antike Künstler als eine Art Spickzettel für die Wanddekoration verwendeten.

Aber all das ist, wie sich herausstellt, nicht so wichtig. Um diese Muster zu erstellen, verwendeten sie keine einfachen, zufällig erfundenen Konturen, sondern Figuren, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet waren. Und das ist nicht besonders überraschend. Was wirklich interessant ist, ist, dass die Leute, nachdem sie solche Pläne vergessen hatten, ihnen später wieder begegneten.

Ja, ja, alte Muster sind nichts anderes als das, was Jahrhunderte später als Penrose-Gitter bezeichnet und in der Struktur von Quasikristallen gefunden wird!

Zwar hielt es Dr. Emil Makovitsky von der Universität Kopenhagen für seine Pflicht, die Forscher dafür zu schelten, dass sie seinem Artikel aus dem Jahr 1991, in dem er das Muster auf einem iranischen Grab aus dem 12. Jahrhundert untersuchte, nicht genügend Aufmerksamkeit geschenkt hatten. Bald schlossen sich einige weitere Wissenschaftler – vom Technion und von der Duke University – dieser Kritik an und sagten jedoch, dass die Arbeit von Steinhardt und Lu eine „interessante Hypothese“ darstelle.

Paul Steinhardt entgegnete der Bemerkung ehrlich, dass er und sein Kollege nicht an einer Probe, sondern an einer Vielzahl von Materialien gearbeitet hätten. Glücklicherweise kam es nicht zu einem akademischen Streit, und die Forschung fand zumindest eine gewisse Anerkennung in der wissenschaftlichen Welt.

Und doch bleibt die mysteriöseste Frage – wie die mittelalterlichen Araber zu quasikristallinen Strukturen gelangen konnten, die uns seit weniger als drei Jahrzehnten bekannt sind – unbeantwortet.

Ob dies ein Beweis für die enorme Rolle der Mathematik in der islamischen Kunst des Mittelalters sein könnte oder ob dies einfach die einfachste Möglichkeit für die Autoren war, ihre Werke „zusammenzustellen“, lässt sich heute nicht mehr wissen.

„Wir können nicht mit Sicherheit sagen, was all diese Kunst bedeutet“, gab Peter Lu zu. „Es scheint jedoch unglaublich, dass die Wahl einer solchen Taktik reiner Zufall war.“ Auf jeden Fall könnte diese Entdeckung ein Beweis dafür sein, dass die Kunst, der keine große Bedeutung beigemessen wird, sich als viel „fortgeschrittener“ erwiesen hat, als wir es uns hätten vorstellen können.

Abschluss

Tessellation ist das am meisten untersuchte Gebiet der Quasikristallphysik. Fast alle derzeit bekannten Quasikristalle sind Metalllegierungen, ihre Eigenschaften unterscheiden sich jedoch stark von den Eigenschaften der Grundmetalle. Beachten wir zum Beispiel den ungewöhnlich hohen elektrischen Widerstand bei niedrigen Temperaturen und dessen Abfall mit steigender Temperatur. „Traditionelle“ Metalle verhalten sich genau umgekehrt. Das Zeitalter der massenhaften Nutzung von Quasikristallen steht offensichtlich bevor; einige Konturen lassen sich bereits skizzieren. Ihr Einsatz in Gleitlagern ist möglich – quasikristalline Legierungen haben bei niedrigem Reibungskoeffizienten einen hohen Sicherheitsspielraum. Hochfeste Antihaftbeschichtungen, Hochtemperatur-Supraleiter, hochfeste Materialien, ultradünne Beschichtungen, ultrafeine Pulver und quasikristalline Schleifmittel sehen verlockend aus. Viele Eigenschaften dieser Substanzklasse müssen noch untersucht werden. Eine der vorrangigen Aufgaben ist die Entwicklung von Synthesemethoden nach vorgegebenen Parametern, die es ermöglichen würden, die physikalischen Eigenschaften der entstehenden Materialien im Voraus zu „programmieren“. Die Entdeckung der Quasikristalle erschütterte die Grundlagen der Kristallographie, deren Bestimmungen im Laufe des letzten Vierteljahrhunderts überarbeitet werden mussten. Im verallgemeinerten Konzept eines Kristalls hat das Konzept der „Fernordnung“ das Konzept einer „Elementarzelle“ – der herkömmlichen kleinsten Struktureinheit eines Kristalls – ersetzt. Physiker vergleichen die Bedeutung der Entdeckung von Quasikristallen für die Kristallographie mit der Entdeckung irrationaler Zahlen in der Mathematik. Derzeit wurden mit Hilfe von Kacheln mehr als 200 quasikristalline Legierungen entdeckt, deren Eigenschaften aktiv untersucht werden.

Diese Objekte haben noch keine praktische Anwendung gefunden, aber ihre Untersuchung erweitert unser Verständnis der Struktur der Materie.

Die Frage nach dem quasikristallinen Zustand ist nicht auf die Festkörperphysik beschränkt. Die Symmetrieeigenschaften von Quasikristallen sind universell. Dies bedeutet, dass, wenn in einem Festkörper eine Methode zum Packen von Zellen einer bestimmten Form gefunden wird, dann die gleiche Methode zum Packen von „flüssigen Zellen“ in hydrodynamischen Strömungen zu finden ist, das Problem des Chaos (in der Struktur der Phasenebene von a dynamisches System) usw. Daher sind an der Untersuchung von Quasikristallen Physiker, Mathematiker, Kristallographen und Materialwissenschaftler beteiligt. Die Frage nach der Natur des quasikristallinen Zustands der Materie und die Erklärung der Eigenschaften von Quasikristallen bleibt jedoch immer noch ein Rätsel. Quasikristalle haben die traditionelle Vorstellung einer unüberwindbaren Kluft zwischen der mineralischen Welt, in der die „fünfeckige“ Symmetrie verboten war, und der lebenden Natur, in der die „fünfeckige“ Symmetrie am häufigsten vorkommt, zerstört. Und das sollten wir nicht vergessen dass der Hauptanteil des Ikosaeders der „goldene Anteil“ ist. Und die Entdeckung von Quasikristallen ist eine weitere wissenschaftliche Bestätigung dafür, dass es vielleicht der „goldene Anteil“ ist, der sich sowohl in der Welt der belebten Natur als auch in der Welt der Mineralien manifestiert , ist der Hauptanteil.

Warum gibt es einige menschliche Organe paarweise (z. B. Lunge, Niere), während andere nur in einer Kopie vorliegen?

Kaustiken sind allgegenwärtige optische Oberflächen und Krümmungen, die durch Reflexion und Brechung von Licht entstehen. Kaustiken können als Linien oder Flächen beschrieben werden, entlang derer sich Lichtstrahlen konzentrieren.

Schabbat G.B.

Wir wissen heute ungefähr so ​​viel über die Struktur des Universums, wie die Menschen der Antike über die Erdoberfläche wussten. Genauer gesagt wissen wir, dass der kleine Teil des Universums, der unseren Beobachtungen zugänglich ist, genauso strukturiert ist wie ein kleiner Teil des dreidimensionalen euklidischen Raums. Mit anderen Worten, wir leben auf einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit (3-Mannigfaltigkeit).

Victor Lavrus

Ein Mensch unterscheidet Gegenstände um ihn herum anhand ihrer Form. Das Interesse an der Form eines Objekts kann durch eine lebenswichtige Notwendigkeit bedingt sein oder durch die Schönheit der Form verursacht werden. Die Form, deren Konstruktion auf einer Kombination aus Symmetrie und dem Goldenen Schnitt basiert, trägt zur besten visuellen Wahrnehmung und zum Erscheinungsbild eines Gefühls von Schönheit und Harmonie bei. Das Ganze besteht immer aus Teilen, unterschiedlich große Teile stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander und zum Ganzen. Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist die höchste Manifestation der strukturellen und funktionalen Perfektion des Ganzen und seiner Teile in Kunst, Wissenschaft, Technik und Natur.

Der Dokumentarfilm „Dimensionen“ ist zwei Stunden Mathematik, die Sie schrittweise in die vierte Dimension entführt.

Sergey Stafeev

Die wissensintensivste Aufgabe der antiken Völker war die Orientierung in Raum und Zeit. Zu diesem Zweck hat die Menschheit seit jeher zahlreiche megalithische Bauwerke errichtet – Cromlechs, Dromos, Dolmen und Menhire. Es wurden unglaublich geniale Geräte erfunden, die es ermöglichten, die Zeit minutengenau zu zählen oder Richtungen mit einem Fehler von nicht mehr als einem halben Grad zu visualisieren. Wir werden zeigen, wie Menschen auf allen Kontinenten Fallen für die Sonnenstrahlen schufen, Tempel bauten, als ob sie an astronomischen Himmelsrichtungen „aufgehängt“ wären, geneigte Tunnel gruben, um tagsüber die Sterne zu beobachten, oder Gnomonobelisken errichteten. Unglaublicherweise gelang es unseren entfernten Vorfahren beispielsweise, nicht nur den Sonnen- oder Mondschatten, sondern sogar dem Schatten der Venus zu folgen.

Wir werden über das Fliesenlegen des Flugzeugs sprechen. Tessellation ist die Abdeckung einer gesamten Ebene mit nicht überlappenden Formen. Wahrscheinlich entstand das Interesse an der Pflasterung zunächst im Zusammenhang mit der Herstellung von Mosaiken, Ornamenten und anderen Mustern. Es sind viele Ornamente bekannt, die aus sich wiederholenden Motiven bestehen. Eine der einfachsten Kacheln ist in Abbildung 1 dargestellt.

Die Ebene ist mit Parallelogrammen bedeckt und alle Parallelogramme sind identisch. Jedes Parallelogramm dieser Kachelung kann aus dem rosa Parallelogramm erhalten werden, indem man letzteres um einen Vektor verschiebt (Vektoren und werden durch die Kanten des ausgewählten Parallelogramms bestimmt, n und m sind ganze Zahlen). Es ist zu beachten, dass sich die gesamte Kachelung als Ganzes in sich selbst verwandelt, wenn sie um einen Vektor (oder) verschoben wird. Diese Eigenschaft kann als Definition verstanden werden: Eine periodische Kachelung mit Perioden ist nämlich eine Kachelung, die sich bei Verschiebung um einen Vektor in sich selbst umwandelt. Periodische Fliesen können sehr kompliziert sein, einige davon sind sehr schön.

Quasiperiodische Kacheln der Ebene

Es gibt interessante und nichtperiodische Tessellationen der Ebene. Im Jahr 1974 Der englische Mathematiker Roger Penrose entdeckte quasiperiodische Kacheln der Ebene. Die Eigenschaften dieser Kacheln verallgemeinern natürlich die Eigenschaften periodischer Kacheln. Ein Beispiel für eine solche Kachelung ist in Abbildung 2 dargestellt.

Das gesamte Flugzeug ist mit Rauten bedeckt. Es gibt keine Lücken zwischen den Diamanten. Jede Rauten-Tessellation kann mit nur zwei Tessellationen unter Verwendung von Verschiebungen und Drehungen erhalten werden. Dies ist eine schmale Raute (36 0, 144 0) und eine breite Raute (72 0, 108 0), wie in Abbildung 3 dargestellt. Die Seitenlänge jeder Raute beträgt 1. Diese Kachelung ist nicht periodisch – sie ist offensichtlich verwandelt sich unter keinen Umständen in sich selbst. Es weist jedoch eine wichtige Eigenschaft auf, die es periodischen Kacheln näher bringt und dazu führt, dass man es als quasiperiodisch bezeichnen muss. Der Punkt ist, dass jeder endliche Teil einer quasiperiodischen Kachelung während der gesamten Kachelung unzählige Male vorkommt. Diese Kachelung hat eine Symmetrieachse der Ordnung 5, während solche Achsen für periodische Kacheln nicht existieren.

Eine weitere von Penrose konstruierte quasiperiodische Kachelung der Ebene ist in Abbildung 4 dargestellt. Die gesamte Ebene ist mit vier Polygonen eines besonderen Typs bedeckt. Dies ist ein Stern, eine Raute, ein regelmäßiges Fünfeck.

A) Umrechnung von Inflation und Deflation

Bei jedem der drei oben gezeigten Beispiele für quasiperiodische Kacheln handelt es sich um die Abdeckung einer Ebene durch Verschiebungen und Drehungen einer endlichen Anzahl von Figuren. Diese Hülle verwandelt sich bei keiner Verschiebung in sich selbst; jeder endliche Teil der Hülle kommt in der gesamten Hülle unzählige Male vor, darüber hinaus in der gesamten Ebene gleich oft. Die oben beschriebenen Fliesen weisen eine besondere Eigenschaft auf, die Penrose als Inflation bezeichnet. Die Untersuchung dieser Eigenschaft ermöglicht es uns, die Struktur dieser Beschichtungen zu verstehen. Darüber hinaus kann die Inflation zur Konstruktion von Penrose-Mustern genutzt werden. Die Inflation lässt sich am Beispiel der Robinson-Dreiecke am deutlichsten veranschaulichen. Robinson-Dreiecke sind zwei gleichschenklige Dreiecke P, Q mit den Winkeln (36 0, 72 0, 72 0) bzw. (108 0, 36 0, 36 0) und Seitenlängen, wie in Abbildung 6. Hier ist φ der Goldene Schnitt:

Diese Dreiecke können in kleinere Teile zerschnitten werden, sodass jedes der neuen (kleineren) Dreiecke einem der ursprünglichen ähnelt. Der Schnitt ist in Abbildung 7 dargestellt: Die Gerade ac ist die Winkelhalbierende des Winkels dab und die Segmente ae, ab und ac sind gleich. Es ist leicht zu erkennen, dass Dreieck acb und ace kongruent und dem Dreieck P ähnlich sind und das Dreieck cde dem Dreieck Q ähnlich ist. Das Dreieck Q wird so geschnitten. Die Länge des Segments gh ist gleich der Länge des Segments ih (und ist gleich 1). Das Dreieck igh ähnelt dem Dreieck P und das Dreieck igf ähnelt dem Dreieck Q. Die linearen Abmessungen der neuen Dreiecke sind t-mal kleiner als die der ursprünglichen. Diese Kürzung wird Deflation genannt.

Die umgekehrte Transformation – das Kleben – wird Inflation genannt.

Die Abbildung zeigt uns, dass wir aus zwei P-Dreiecken und einem Q-Dreieck ein P-Dreieck und aus einem P- und Q-Dreieck ein Q-Dreieck kleben können. Die neuen (geklebten) Dreiecke haben lineare Abmessungen, die t-mal größer sind als die ursprünglichen Dreiecke.

Deshalb haben wir das Konzept der Transformationen von Inflation und Deflation eingeführt. Es ist klar, dass die Inflationstransformation wiederholt werden kann; Dadurch entsteht ein Dreieckspaar, dessen Abmessungen t 2-mal größer sind als die ursprünglichen. Durch sukzessive Anwendung von Inflationstransformationen können Sie ein Dreieckspaar beliebig großer Größe erhalten. Auf diese Weise können Sie die gesamte Ebene pflastern.

Es kann gezeigt werden, dass die oben durch Robinson-Dreiecke beschriebene Kachelung nicht periodisch ist

Nachweisen

Lassen Sie uns den Beweis dieser Aussage skizzieren. Lassen Sie uns durch Widerspruch argumentieren. Nehmen wir an, dass die Kachelung der Ebene mit Robinson-Dreiecken periodisch mit den Perioden u und w ist. Bedecken wir die Ebene mit einem Netzwerk von Parallelogrammen mit den Seiten u, w. Bezeichnen wir mit p die Anzahl der P-Dreiecke, deren unterer linker Scheitelpunkt (relativ zu unserem Netzwerk) in einem schattierten Parallelogramm liegt; Definieren wir die Zahl q auf ähnliche Weise. (Ausgewählte p+q-Dreiecke bilden den sogenannten Grundbereich einer gegebenen periodischen Kachelung.) Betrachten Sie einen Kreis mit Radius R und Mittelpunkt O. Bezeichnen wir mit PR (eigentlich QR) die Anzahl der P-Dreiecke (bzw. Q- Dreiecke), die innerhalb dieses Kreises liegen.

Lasst uns das beweisen

1) Tatsächlich ist die Anzahl der Dreiecke, die einen Kreis mit dem Radius R schneiden, proportional zu R, während die Anzahl der Dreiecke innerhalb eines Kreises mit dem Radius R proportional zu R 2 ist. Daher ist im Grenzfall das Verhältnis der Anzahl der P-Dreiecke zur Anzahl der Q-Dreiecke in einem Kreis gleich diesem Verhältnis im Fundamentalbereich.

Nehmen wir nun unsere Tessellation und führen Deflationstransformationen durch. Dann wird es im ursprünglichen Fundamentalbereich pґ = 2p + q kleinere P-Dreiecke und qґ = p + q kleinere Q-Dreiecke geben. Bezeichnen wir mit pґR und qґR die Anzahl der kleineren Dreiecke in einem Kreis mit Radius R. Nun ist es leicht, einen Widerspruch zu erhalten. Tatsächlich,

= = = = (L'Hopitals Regel)

Von wo aus die Gleichung lösen

p/q=(2p+q)/(p+q),

während p und q ganze Zahlen sind! Der Widerspruch zeigt, dass die Kachelung mit Robinson-Dreiecken nicht periodisch ist.

Es stellt sich heraus, dass diese Überdeckung durch Robinson-Dreiecke nicht die einzige ist. Es gibt unendlich viele verschiedene quasiperiodische Überdeckungen der Ebene durch Robinson-Dreiecke. Grob gesagt liegt der Grund für dieses Phänomen in der Tatsache, dass während der Deflation die Winkelhalbierende in Abbildung 7 vom Scheitelpunkt b und nicht vom Scheitelpunkt a gezeichnet werden kann. Durch diese Beliebigkeit lässt sich beispielsweise erreichen, dass aus der Belegung mit Dreiecken eine Bedeckung aus Dreiecken mit Rauten wird

B) Transformation der Dualität

Die oben angegebene Methode zur Konstruktion quasiperiodischer Kacheln sieht aus wie eine Vermutung. Es gibt jedoch eine regelmäßige Möglichkeit, quasiperiodische Überdeckungen zu konstruieren. Dabei handelt es sich um eine Dualitätstransformationsmethode, deren Idee dem niederländischen Mathematiker de Braun gehört.

Erläutern wir diese Methode am Beispiel der Konstruktion des Ersatzes einer Ebene durch Rauten (siehe Abb. 3). Erstellen wir zunächst ein Gitter G. Nehmen Sie dazu ein regelmäßiges Fünfeck und nummerieren Sie seine Seiten (j = 1,2,3,4,5; Abb. 10). Schauen wir uns die Seite mit der Nummer j an. Konstruieren wir eine unendliche Menge von Linien parallel zu dieser Seite, sodass der Abstand zwischen den beiden nächsten Linien gleich 1 ist.

Führen wir eine ähnliche Konstruktion für jede Seite des Fünfecks durch. Wir werden Geraden so zeichnen, dass sie sich nur paarweise schneiden. Das Ergebnis ist eine Menge von Linien, die nicht periodisch sind (Abb. 9). Die Linien in dieser Menge werden mit den Buchstaben l bezeichnet. Nummerieren wir die Zeilen mit zwei Indizes neu: l j (n). Hier gibt j die Richtung der Linie an (zu welcher Seite des Fünfecks sie parallel ist). Die ganze Zahl n nummeriert verschiedene parallele Geraden und durchläuft alle ganzzahligen Werte (sowohl positive als auch negative). Dieser Liniensatz unterteilt die Ebene in einen unendlichen Satz von Polygonen. Diese Polygone werden Netzflächen genannt. Wir nennen die Seiten der Polygone die Kanten des Netzes und die Eckpunkte der Polygone die Eckpunkte des Netzes. (Ähnlich gilt für eine quasiperiodische Abdeckung Q: Rauten sind Flächen von Q, Seiten von Rauten sind Kanten von Q, Eckpunkte von Rauten sind Eckpunkte von Q)

Somit ist das Gitter G konstruiert. Lassen Sie uns nun die Transformation der Dualität durchführen. Jede Fläche des Netzes G ist vergleichbar mit einem Scheitelpunkt einer quasiperiodischen Abdeckung Q (dem Scheitelpunkt einer Raute). Wir bezeichnen die Eckpunkte mit Buchstaben (das sind Vektoren). Zuerst verknüpfen wir jede Fläche M des Netzes mit fünf ganzen Zahlen n j = (M), j - 1,2, ....5 gemäß der folgenden Regel. Interne Punkte von M liegen zwischen einer Geraden l j (n) und einer dazu parallelen Geraden l j (n+1).

Mit dieser ganzen Zahl n werden wir die Flächen von M abgleichen. Da das Netz gerade Linien in fünf Richtungen hat, werden wir auf diese Weise fünf ganze Zahlen n j (M) von jedem M des Netzes G abgleichen. Der Scheitelpunkt der quasiperiodischen Abdeckung Q, das einer gegebenen Fläche M des Netzes G entspricht, ist wie folgt aufgebaut:

(M) = n 1 (M) + + … +

Hier ist ein Vektor mit einer Längeneinheit, der von der Mitte eines regelmäßigen Fünfecks zur Mitte der Seitenzahl j gerichtet ist. Daher haben wir jeder Fläche des Netzes einen abdeckenden Scheitelpunkt zugeordnet. Auf diese Weise können wir alle Ecken von Q konstruieren.

Verbinden wir nun einige Eckpunkte mit geraden Liniensegmenten. Dies sind die Kanten der Abdeckung Q (die Seiten der Rauten). Betrachten Sie dazu ein Paar Flächen M1 und M2, die eine gemeinsame Kante haben. Wir werden die diesen Flächen entsprechenden Eckpunkte der Beschichtung mit Segmenten verbinden.

Dann stellt sich heraus, dass der Unterschied

Entspricht möglicherweise nur einem von zehn Vektoren.

Somit ist jeder Netzkante eine Abdeckfläche Q zugeordnet. Jeder Netzscheitelpunkt ist einer Abdeckfläche Q (Rhombus) zugeordnet. Tatsächlich grenzt jeder Netzscheitelpunkt an vier Flächen M R (R = 1,2,3,4). Betrachten wir die vier ihnen entsprechenden Abdeckscheitelpunkte (M R). Aus der Differenzeigenschaft (2) folgt, dass die durch diese Eckpunkte verlaufenden Kanten der Abdeckung die Grenze der Raute bilden. Es wird eine quasiperiodische Belegung der Ebene mit Rauten konstruiert.

Wir haben die Dualitätstransformationsmethode veranschaulicht. Dies ist eine allgemeine Methode zum Aufbau einer Methode für quasiperiodische Überdeckungen. Bei dieser Konstruktion kann das regelmäßige Fünfeck durch jedes beliebige regelmäßige Vieleck ersetzt werden. Das Ergebnis wird eine neue quasiperiodische Bedeckung sein. Die Dualitätstransformationsmethode ist auch für die Konstruktion quasiperiodischer Strukturen im Raum anwendbar.

B) Quasiperiodische Füllung des dreidimensionalen Raums

Es gibt eine dreidimensionale Verallgemeinerung von Penrose-Mustern. Der dreidimensionale Raum kann mit Parallelepipeden einer besonderen Art gefüllt werden. Parallelepipede haben keine gemeinsamen inneren Punkte und es gibt keine Lücken zwischen ihnen. Jedes Parallelepiped dieser Füllung kann durch Verschiebungen und Drehungen aus nur zwei Parallelepipeden erhalten werden. Dies sind die sogenannten Amman-Mackay-Parallelepipede. Um ein Parallelepiped zu definieren, reicht es aus, drei Kanten anzugeben, die von einem Scheitelpunkt ausgehen. Für das erste Amman-Mackay-Parallel haben diese Vektoren die Form:

= (0; 1; φ), = (-φ; 0; -1)

Und für das zweite Parallelepiped:

= (0; -1;f), = (f; 0;1), = (0;1; f)

Die Füllung mit diesen Parallelepipeden verwandelt sich bei keiner Verschiebung in sich selbst, jedoch kommt ein endlicher Teil davon in der gesamten Füllung unzählige Male vor. Die Raumfüllung mit diesen Parallelepipeden hängt mit den Symmetrien des Ikosaeders zusammen. Das Ikosaeder ist ein platonischer Körper. Jede seiner Flächen ist ein regelmäßiges Dreieck. Das Ikosaeder hat 12 Eckpunkte, 20 Flächen und 30 Kanten

Anwendung

Es stellte sich heraus, dass die schnell abgekühlte Aluminium-Mangan-Schmelze (entdeckt 1984) genau diese Symmetrien aufweist. Somit halfen Penrose-Muster, die Struktur der neu entdeckten Substanz zu verstehen. Und nicht nur diese Substanz, auch andere echte Quasikristalle wurden gefunden, ihre experimentelle und theoretische Untersuchung steht an der Spitze der modernen Wissenschaft.