Entdecken Sie Funktionsbeispiellösungen. Probleme aus der Sammlung von Kuznetsov L.A. Das ist passiert
Die Konstruktion eines Funktionsgraphen unter Verwendung singulärer Punkte umfasst das Studium der Funktion selbst: Bestimmen des Bereichs zulässiger Werte des Arguments, Bestimmen des Variationsbereichs der Funktion, Bestimmen, ob die Funktion gerade oder ungerade ist, Bestimmen der Haltepunkte der Funktion, Finden von Intervallen mit konstantem Vorzeichen der Funktion, Finden von Asymptoten des Graphen der Funktion. Mithilfe der ersten Ableitung können Sie die Intervalle der Zunahme (Abnahme) der Funktion und das Vorhandensein von Extrempunkten bestimmen. Mithilfe der zweiten Ableitung können Sie die Konvexitätsintervalle (Konkavität) des Funktionsgraphen sowie Wendepunkte bestimmen. Gleichzeitig glauben wir, dass, wenn irgendwann xo Tangente an den Funktionsgraphen über der Kurve, dann weist der Funktionsgraph an diesem Punkt Konvexität auf; Liegt die Tangente unterhalb der Kurve, weist der Funktionsgraph an diesem Punkt eine Konkavität auf.
y(x) = x³/(x²+3)
1. Funktionsstudie.
a) Bereich zulässiger Werte des Arguments: (-∞,+∞).
b) Änderungsbereich der Funktion: (-∞, +∞).
c) Die Funktion ist ungerade, weil y(-x) = -y(x), diese. Der Graph der Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.
d) Die Funktion ist stetig, es gibt keine Unstetigkeitspunkte, daher gibt es keine vertikalen Asymptoten.
e) Finden der Gleichung der schrägen Asymptote y(x) = k∙x + b, Wo
k = /X Und b = 
In diesem Beispiel sind die Asymptotenparameter jeweils gleich:
k = , weil der höchste Grad von Zähler und Nenner ist gleich drei, und das Verhältnis der Koeffizienten auf diesen höchsten Graden ist gleich eins. Wenn x→ + ∞ Die dritte bemerkenswerte Grenze wurde zur Berechnung des Grenzwerts verwendet.
b = = = 0, wenn der Grenzwert bei x→ berechnet wird + ∞ verwendete die dritte bemerkenswerte Grenze. Der Graph dieser Funktion hat also eine geneigte Asymptote y=x.
2.
y´= /(x²+3)² - Die Ableitung wird mit der Quotientendifferenzierungsformel berechnet.
a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Ableitung und den Unstetigkeitspunkt, indem Sie den Zähler und den Nenner der Ableitung jeweils mit Null gleichsetzen: y´=0, Wenn x=0. Die 1. Ableitung hat keine Unstetigkeitsstellen.
b) Wir bestimmen die Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Ableitung, d.h. Intervalle der Monotonie der Funktion: bei -∞
3. Studieren einer Funktion mit der 2. Ableitung.
Mit der Formel zur Differenzierung von Quotienten und zur Durchführung algebraischer Transformationen erhalten wir: y´´ = /(x²+3)³
a) Bestimmen Sie die Nullstellen der 2. Ableitung und die Intervalle mit konstantem Vorzeichen: y´´ = 0, Wenn x=0 Und x= + 3 . Die 2. Ableitung hat keine Unstetigkeitsstellen.
b) Bestimmen wir die Konstanzintervalle der 2. Ableitung, d.h. Intervalle der Konvexität oder Konkavität des Graphen einer Funktion. Bei -∞
Beispiel: Untersuchen Sie eine Funktion und stellen Sie sie grafisch dar y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Funktionsstudie.
a) Bereich akzeptabler Werte: (-∞,0)U(0,+∞).
b) Änderungsbereich der Funktion: (-∞,+∞).
d) Diese Funktion hat eine Unstetigkeitsstelle 2. Art bei x=0.
e) Finden von Asymptoten. Weil Die Funktion weist eine Unstetigkeitsstelle 2. Art auf x=0, dann hat die Funktion folglich eine vertikale Asymptote x=0. Diese Funktion hat keine schrägen oder horizontalen Asymptoten.
2.Studieren einer Funktion mit der 1. Ableitung.
Lassen Sie uns die Funktion transformieren, indem wir alle algebraischen Operationen ausführen. Dadurch wird die Form der Funktion deutlich vereinfacht: y(x)=x²-x-1+(1/x). Es ist sehr einfach, die Ableitung aus der Summe der Terme zu bilden, und wir erhalten: y´ = 2x – 1 –(1/x²).
a) Bestimmen Sie die Nullstellen und Unstetigkeitsstellen der 1. Ableitung. Wir bringen die Ausdrücke für die 1. Ableitung auf einen gemeinsamen Nenner und setzen den Zähler und dann den Nenner mit Null gleich und erhalten: y´=0 bei x=1, y´ - existiert nicht wann x=0.
b) Bestimmen wir die Intervalle der Monotonie der Funktion, d.h. Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Ableitung. Bei -∞<X<0
Und 0
3.
y´´= 2 + 2/x³. Mithilfe der 2. Ableitung bestimmen wir die Konvexitäts- bzw. Konkavitätsintervalle des Funktionsgraphen sowie ggf. Wendepunkte. Stellen wir den Ausdruck für die zweite Ableitung auf den gemeinsamen Nenner dar und setzen dann Zähler und Nenner nacheinander mit Null gleich und erhalten: y´´=0 bei x=-1, y´´- existiert nicht wann x=0.
Bei -∞
Reis. 4 Abb. 5
Beispiel: Untersuchen Sie eine Funktion und stellen Sie sie grafisch dar y(x) = ln (x²+4x+5)
1.Funktionsstudie.
a) Bereich zulässiger Argumentwerte: Die logarithmische Funktion existiert nur für Argumente, die strikt größer als Null sind, daher x²+4x+5>0 – diese Bedingung ist für alle Werte des Arguments erfüllt, d.h. O.D.Z. – (-∞, +∞).
b) Änderungsbereich der Funktion: (0, +∞). Lassen Sie uns den Ausdruck unter dem Logarithmuszeichen umwandeln und die Funktion mit Null gleichsetzen: ln((x+2)²+1) =0. Diese. Die Funktion geht auf Null, wenn x=-2. Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur Geraden x=-2.
c) Die Funktion ist stetig und hat keine Haltepunkte.
d) Der Graph der Funktion hat keine Asymptoten.
2.Studieren einer Funktion mit der 1. Ableitung.
Mit der Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion erhalten wir: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)
a) Bestimmen wir die Nullstellen und Unstetigkeitsstellen der Ableitung: y´=0, bei x=-2. Die erste Ableitung hat keine Unstetigkeitspunkte.
b) Wir bestimmen die Intervalle der Monotonie der Funktion, d.h. Intervalle mit konstantem Vorzeichen der ersten Ableitung: bei -∞<X<-2
Derivat y´<0,
daher nimmt die Funktion ab; wann -2
3.Untersuchung der Funktion anhand der 2. Ableitung.
Stellen wir die erste Ableitung in der folgenden Form dar: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².
a) Bestimmen wir die Intervalle mit konstantem Vorzeichen der zweiten Ableitung. Da der Nenner der 2. Ableitung immer nicht negativ ist, wird das Vorzeichen der zweiten Ableitung nur durch den Zähler bestimmt. y´´=0 bei x=-3 Und x=-1.
Bei -∞
Beispiel: Erkunden Sie eine Funktion und zeichnen Sie ein Diagramm y(x) = x²/(x+2)²
1.Funktionsstudie.
a) Bereich zulässiger Werte des Arguments (-∞, -2)U(-2, +∞).
b) Bereich der Funktionsänderung².
a) Bestimmen wir die Nullstellen und Intervalle mit konstantem Vorzeichen der zweiten Ableitung. Weil Da der Nenner des Bruchs immer positiv ist, wird das Vorzeichen der zweiten Ableitung vollständig durch den Zähler bestimmt. Bei -∞
Es ist zweckmäßig, eine vollständige Untersuchung der Funktionen durchzuführen und ihre Diagramme nach dem folgenden Schema zu erstellen:
1) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion;
2) Finden Sie heraus, ob die Funktion gerade oder ungerade, periodisch ist;
3) Kontinuität erforschen, Bruchstellen finden und die Art der Brüche herausfinden;
4) Finden Sie die Asymptoten des Funktionsgraphen;
5) Untersuchen Sie die Monotonie der Funktion und finden Sie ihre Extrema;
6) Wendepunkte finden, Konvexitäts- und Konkavitätsintervalle des Funktionsgraphen festlegen;
7) Bezeichnen Sie zusätzliche Punkte des Funktionsgraphen, beispielsweise die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
Das Ergebnis jedes Punktes sollte sofort in der Grafik wiedergegeben werden und mit den Ergebnissen der Studie zu den vorherigen Punkten übereinstimmen.
Beispiel 1.
Führen Sie eine vollständige Untersuchung der Funktion durch und zeichnen Sie ein Diagramm.
1. Die Funktion ist in den Intervallen xÎ (-¥; 1) È (-1; +¥) definiert.
2. Die Funktion kann nicht gerade oder ungerade sein, weil ihr Definitionsbereich ist nicht symmetrisch bezüglich 0. Folglich hat diese Funktion eine allgemeine Form, d. h. verfügt nicht über die Paritätseigenschaft. Außerdem ist die Funktion nicht periodisch.
Erinnern wir uns an die Definitionen:
Die Funktion wird aufgerufen sogar, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:
a) sein Definitionsbereich ist symmetrisch um Null,
b) für alle Werte X Aus dem Definitionsbereich ist die Gleichheit erfüllt.
Der Graph einer geraden Funktion hat Achsensymmetrie um die Achse OY.
Die Funktion wird aufgerufen seltsam, Wenn
a) sein Definitionsbereich der Funktion ist symmetrisch um Null,
b) für „x außerhalb des Definitionsbereichs.
Der Graph einer ungeraden Funktion weist eine zentrale Symmetrie um den Ursprung auf.
Die Funktion wird aufgerufen periodisch, wenn es eine Zahl gibt T> 0 , so dass die Gleichheit gilt für „ X aus dem Bereich der Definition.
Die Zahl T wird aufgerufen Zeitraum der Funktion, und es reicht aus, seinen Graphen auf einem beliebigen Längenintervall zu konstruieren T, und dann in regelmäßigen Abständen im gesamten Definitionsbereich fortfahren.
3. Die Funktion ist stetig für alle xÎ (-¥; -1) È (-1; +¥).
Diese Funktion ist elementar und wird durch Division zweier kontinuierlicher Grundelementarfunktionen und gebildet. Gemäß den Eigenschaften stetiger Funktionen ist eine gegebene Funktion daher an allen Punkten, an denen sie definiert ist, stetig.
Punkt x = -1 ist der Bruchpunkt, weil Diese Funktion ist darin nicht definiert. Um die Art (Typ) der Diskontinuität zu bestimmen, berechnen wir . Deshalb wann x = -1 die Funktion hat eine unendliche Diskontinuität (Diskontinuität zweiter Art).
4. Asymptoten des Graphen einer Funktion.
Die vertikale Asymptote ist die Gerade x = -1(Dies ergibt sich aus der Untersuchung der Funktionsdiskontinuität).
Wir suchen nach schrägen Asymptoten mit der Gleichung , wo
Somit lautet die Gleichung der schiefen Asymptote (bei x® ±¥).
5. Wir bestimmen die Monotonie und Extrema einer Funktion anhand ihrer ersten Ableitung:
Kritische Punkte werden aus den Bedingungen ermittelt:
y max =y(-3)= .
6. Wir ermitteln die Konvexitäts- und Konkavitätsintervalle des Funktionsgraphen und seiner Wendepunkte mithilfe der zweiten Ableitung:
Beugungsverdächtige Punkte werden anhand der folgenden Bedingungen ermittelt:
Ausreichende Bedingungen für Konvexität, Konkavität und Wendepunkte:
Punkt O(0; 0) ist der Wendepunkt des Diagramms.
Häufig werden die Ergebnisse der Untersuchung einer Funktion mit der ersten und zweiten Ableitung in Form einer allgemeinen Tabelle dargestellt, die die Haupteigenschaften des Funktionsgraphen widerspiegelt:
| X | (-¥;-3) | -3 | (-3;-1) | -1 | (-1;0) | (0;+¥) | |
| + | - | existiert nicht | + | + | |||
| - | - | - | existiert nicht | - | + | ||
| erhöht, konkav | max | Abnehmend, konkav | existiert nicht | erhöht, konkav | = 0 Wendepunkt | erhöht, konvex |
Alle beim Studium einer Funktion erhaltenen Ergebnisse spiegeln sich in ihrem Diagramm wider.
Beispiel 2.
OOF: xÎ (-¥; - ) È (- ; ) È ( ;+¥).
Die Funktion ist ungerade, weil ihr Definitionsbereich symmetrisch um Null ist und für „ XÎ OOF gilt folgende Gleichheit:
Daher weist der Graph der Funktion eine zentrale Symmetrie um den Ursprung auf.
Die Funktion ist stetig für alle xÎ (-¥; - ) È (- ; ) È ( ; +¥), weil Eine Elementarfunktion ist auf ihrem OOF stetig. Die Punkte x=- und x= sind Punkte unendlicher Diskontinuität, da
Die vertikalen Asymptoten des Diagramms sind Geraden x = - Und x =.
Schräge Asymptoten: , wo
= = 0 .
Dies ist die Gleichung der schrägen Asymptote.
Intervalle der Zunahme und Abnahme einer Funktion, ihrer Extrema.
Notwendige Bedingungen für Extrema:
Þ x 1 = 0, x 2 = 3, x 3 = -3- kritische Punkte.
Ausreichende Bedingungen für Monotonie und Extrema:
y max =y(-3)= ;
y min =y(3)= .
Intervalle der Konvexität, Konkavität des Funktionsgraphen und Wendepunkte:
Punkt x = 0 verdächtig wegen Biegen.
Ausreichende Bedingungen:
Punkt O(0; 0) ist ein Wendepunkt.
Eine allgemeine Tabelle der Haupteigenschaften des Graphen für eine gegebene Funktion kann nur für xО erstellt werden)
