Beispiele für quadratische Ungleichungen mit Lösung. Quadratische Ungleichungen. Die Methode der Intervalle. Was ist quadratische Ungleichung?

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Was "quadratische Ungleichheit"? Keine Frage!) Wenn du nimmst irgendein quadratische Gleichung und ersetze das Vorzeichen darin "=" (gleich) zu einem beliebigen Ungleichungssymbol ( > ≥ < ≤ ≠ ) erhalten wir eine quadratische Ungleichung. Zum Beispiel:

1. x 2 -8x + 12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Nun, Sie bekommen die Idee ...)

Nicht umsonst habe ich hier Gleichungen und Ungleichungen verknüpft. Der Punkt ist, dass der erste Schritt bei der Lösung irgendein quadratische Ungleichung - löse die Gleichung, aus der diese Ungleichung gebildet wird. Aus diesem Grund führt die Unfähigkeit, quadratische Gleichungen zu lösen, automatisch zu einem vollständigen Versagen der Ungleichungen. Ist der Hinweis klar?) Wenn überhaupt, sehen Sie sich an, wie Sie quadratische Gleichungen lösen können. Dort ist alles detailliert beschrieben. Und in dieser Lektion werden wir uns speziell mit Ungleichungen befassen.

Die lösungsbereite Ungleichung hat die Form: links - ein quadratisches Trinom ax 2 + bx + c, rechts - Null. Das Ungleichungszeichen kann absolut beliebig sein. Die ersten beiden Beispiele sind hier sind schon bereit für eine Lösung. Das dritte Beispiel muss noch vorbereitet werden.

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Quadratische Ungleichungen heißen, die sich auf die Form \ (ax ^ 2 + bx + c \) \ (⋁ \) \ (0 \) reduzieren lassen, wobei \ (a \), \ (b \) und \ (c \) sind beliebige Zahlen (außerdem ist \ (a ≠ 0 \)), \ (x \) ist unbekannt und \ (⋁ \) ist eines der Vergleichszeichen (\ (> \), \ (<\),\(≤\),\(≥\)).

Einfach ausgedrückt sehen solche Ungleichungen aus, aber mit einem Gleichheitszeichen.
Beispiele:

\ (x ^ 2 + 2x-3> 0 \)
\ (3x ^ 2-x≥0 \)
\ ((2x + 5) (x-1) ≤5 \)

Wie löst man quadratische Ungleichungen?

Quadratische Ungleichungen werden normalerweise gelöst. Unten ist ein Algorithmus zum Lösen von quadratischen Ungleichungen mit einer Diskriminante größer als Null. Lösung quadratischer Ungleichungen mit Diskriminante gleich Null oder kleiner Null - werden separat analysiert.

Beispiel. Lösen Sie die quadratische Ungleichung \ (≥ \) \ (\ frac (8) (15) \)
Lösung:

\ (\ frac (x ^ 2) (5) + \ frac (2x) (3) \)\ (≥ \) \ (\ frac (8) (15) \)
\ (D = 100 + 4⋅3⋅8 = 196 = 14 ^ 2 \) \ (x_1 = \ frac (-10-14) (6) = - 4 \) \ (x_2 = \ frac (-10 + 14) (6) = \ frac (2) (3) \)		Wenn die Wurzeln gefunden sind, schreiben wir die Ungleichung in Form.
\ (3 (x + 4) (x- \ frac (2) (3)) ≥0 \)		Jetzt zeichnen wir eine Zahlenachse, markieren die Wurzeln darauf und platzieren Zeichen in Abständen.
		Schreiben wir als Antwort die Intervalle auf, die uns interessieren. Da das Ungleichungszeichen \ (≥ \) ist, brauchen wir Intervalle mit \ (+ \), und wir beziehen die Wurzeln selbst in die Antwort ein (die Klammern an diesen Punkten sind quadratisch).

Antworten : \ (x∈ (-∞; -4] ∪ [\ frac (2) (3); ∞) \)

Quadratische Ungleichungen mit negativer und Null-Diskriminante

Der obige Algorithmus funktioniert, wenn die Diskriminante größer als Null ist, dh sie hat \(2\) Wurzel. Was ist in anderen Fällen zu tun? Zum Beispiel solche:

Wenn \ (D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).

Das heißt der Ausdruck:
\ (x ^ 2 + 2x + 9 \) ist positiv für jedes \ (x \), weil \ (a = 1> 0 \)
\ (- x ^ 2-64 \) - negativ für jedes \ (x \), weil \ (a = -1<0\)

Wenn \ (D = 0 \), dann ist das quadratische Trinom für einen Wert \ (x \) gleich Null, und für alle anderen hat es ein konstantes Vorzeichen, das mit dem Vorzeichen des Koeffizienten \ (a \) übereinstimmt .

Das heißt der Ausdruck:
\ (x ^ 2 + 6x + 9 \) - gleich Null für \ (x = -3 \) und positiv für alle anderen x, da \ (a = 1> 0 \)
\ (- x ^ 2-4x-4 \) - gleich Null für \ (x = -2 \) und negativ für alle anderen, weil \ (a = -1<0\).

Wie finde ich das x, für das das quadratische Trinom gleich Null ist? Sie müssen die entsprechende quadratische Gleichung lösen.

Lassen Sie uns mit diesen Informationen die quadratischen Ungleichungen lösen:

Bevor wir es herausfinden, wie man quadratische Ungleichungen löst, schauen wir uns an, welche Ungleichung Quadrat genannt wird.

Erinnern!

Ungleichung heißt Quadrat wenn die höchste (höchste) Potenz des unbekannten "x" gleich zwei ist.

Lassen Sie uns anhand von Beispielen üben, die Art der Ungleichung zu bestimmen.

So lösen Sie quadratische Ungleichungen

In früheren Lektionen haben wir uns mit der Lösung linearer Ungleichungen beschäftigt. Aber im Gegensatz zu linearen Ungleichungen werden quadratische Ungleichungen ganz anders gelöst.

Wichtig!

Eine quadratische Ungleichung kann nicht wie eine lineare gelöst werden!

Um die quadratische Ungleichung zu lösen, wird eine spezielle Methode verwendet, die als bezeichnet wird Intervallmethode.

Was ist die Abstandsmethode?

Nach der Methode der Intervalle nennt man einen speziellen Weg, quadratische Ungleichungen zu lösen. Im Folgenden erklären wir, wie diese Methode verwendet wird und warum sie ihren Namen hat.

Erinnern!

Um die quadratische Ungleichung mit der Intervallmethode zu lösen, benötigen Sie:

Wir verstehen, dass die oben beschriebenen Regeln nur theoretisch schwer zu erkennen sind, daher werden wir sofort ein Beispiel für die Lösung einer quadratischen Ungleichung mit dem obigen Algorithmus betrachten.

Es ist erforderlich, die quadratische Ungleichung zu lösen.

Zeichnen Sie nun, wie in gesagt, "Bögen" über die Intervalle zwischen den markierten Punkten.

Lassen Sie uns Zeichen in die Intervalle setzen. Von rechts nach links abwechselnd, beginnend mit "+", die Schilder markieren.

Wir müssen nur ausführen, dh die erforderlichen Intervalle auswählen und als Antwort aufschreiben. Kehren wir zu unserer Ungleichung zurück.

Denn in unserer Ungleichung „ x 2 + x - 12 ", was bedeutet, dass wir negative Intervalle benötigen. Schattieren Sie alle negativen Bereiche auf der Zahlenachse und schreiben Sie sie als Antwort aus.

Es stellte sich heraus, dass nur ein negatives Intervall zwischen den Zahlen "−3" und "4" lag, also schreiben wir es als doppelte Ungleichung in die Antwort ein
"-3".

Schreiben wir die erhaltene Antwort auf die Quadratungleichung auf.

Antwort: −3

Übrigens, gerade aufgrund der Tatsache, dass wir bei der Lösung einer quadratischen Ungleichung Intervalle zwischen Zahlen betrachten, hat die Methode der Intervalle ihren Namen.

Nach Erhalt der Antwort ist es sinnvoll, diese zu überprüfen, um sicherzustellen, dass die Lösung richtig ist.

Wählen wir eine beliebige Zahl, die sich im schattierten Bereich der empfangenen Antwort befindet " −3 "und ersetzen Sie es durch" x "in der ursprünglichen Ungleichung. Wenn wir die richtige Ungleichung erhalten, dann haben wir festgestellt, dass die Antwort auf die quadratische Ungleichung richtig ist.

Nehmen wir zum Beispiel die Zahl "0" aus dem Intervall. Setzen wir es in die ursprüngliche Ungleichung "x 2 + x - 12" ein.

X2 + x - 12
0 2 + 0 - 12 −12 (wahr)

Wir erhalten die richtige Ungleichung beim Einsetzen einer Zahl aus dem Lösungsbereich, was bedeutet, dass die Antwort richtig gefunden wird.

Kurze Notation der Lösung nach der Methode der Intervalle

Eine abgekürzte Schreibweise für die Lösung der quadratischen Ungleichung " x 2 + x - 12 "mit der Abstandsmethode würde so aussehen:

X2 + x - 12
x 2 + x - 12 = 0

x 1 = 1+ 7 2

x 2 = 1 − 7 2

x 1 = 8 2

x 2 = x 1 = 1+ 1 4 x 2 = 1 − 1 4 x 1 = 2 4 x 2 = 0 4 x 1 = 1 2 x 2 = 0 Antwort: x ≤ 0; x 1 2 Betrachten Sie ein Beispiel, bei dem „x 2“ ein negativer Koeffizient in einer quadratischen Ungleichung vorangestellt ist. Die allgemeine Ansicht einer quadratischen Ungleichung nach der Übertragung aller Ausdrücke auf eine Seite der Ungleichung ist eine der folgenden Formen: $ ax ^ 2 + bx + c> 0 $ oder $ ax ^ 2 + bx + c \ geq 0 $ oder $ ax ^ 2 + bx + c Wenn $ a \ neq 0 $ sowie $ b, c \ in \ mathbb (R) $ Die Lösung für jede der obigen Ungleichungen besteht darin, alle reellen Zahlen zu finden, die $ x $ ersetzen können, sodass die Ungleichung wahr ist. Wenn wir zum Beispiel erklären, dass $ x = 1 $ eine der Wurzeln der Ungleichung $ x ^ 2 - \ frac (1) (2)> 0 $ ist. Wenn wir alle Variablen $ x $ in der Ungleichung durch 1 ersetzen, erhalten wir, dass $ 1 ^ 2 - \ frac (1) (2)> 0 \ rightarrow \ frac (1) (2)> 0 $, was immer wahr ist. Daher ist $ x = 1 $ eine der Lösungen dieser Ungleichung. Jetzt lernen wir, wie man Ungleichungen löst (1). Zuerst betrachten wir eine Gleichung mit zwei Variablen, $ y = ax ^ 2 + bx + c $ und nehmen an, dass $ ax ^ 2 + bx + c $ null ist. Dann: $ ax ^ 2 + bx + c = 0 \ rightarrow a (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a)) = 0 \ rightarrow ^ (a \ neq 0) x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \ rightarrow $ $ x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) + \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) = 0 \ rightarrow (x + \ frac (b) (2a)) ^ 2 - \ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a ^ 2) = 0 \ rightarrow $ $ (x + \ frac (b) (2a)) ^ 2 = \ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a ^ 2) \ rightarrow x + \ frac (b) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a ^ 2)) \ rightarrow x + \ frac (b) (2a) = \ pm \ frac (\ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) \ rightarrow $ $ x = \ frac (-b) (2a) \ pm \ frac (\ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) \ rightarrow x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2 - 4ac) ) (2a) $ Daraus folgt, dass der Graph der quadratischen Gleichung die x-Achse im Punkt $ x_1 = \ frac (-b + \ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) $ und $ x_2 = \ frac (-b - \ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) $ Diese Nullen teilen den Zahlenstrahl in drei Intervalle: $ (- \ infty, x_1) $, $$, $ (x_2, + \ infty) $, angenommen, dass $ x_1 Sei nun $ \ Delta = b ^ 2 - 4ac $. Wir können die folgenden drei Fälle betrachten: $ \ Delta> 0 $ $ \ Delta = 0 $ $ \ Delta Fall 1: Wenn $ \ Delta> 0 $, Dann hat $ ax ^ 2 + bx + c $ zwei verschiedene Wurzeln $ (x_1 \ neq x_2) $. Wenn nun $ a> 0 $ ist, dann ergibt sich sein Graph als in "Abbildung a". Wenn $ a "Abbildung b" ist. Wenn also $ a> 0 $ und wir haben $ ax ^ 2 + bx + c \ geq 0 (ax ^ 2 + bx + c> 0) $, dann ist die Lösungsmenge: $ (- \ infty, x_1] \ cup $ $ ((x_1, x_2)) $ Andererseits, wenn $ a 0) $, dann ist die Menge der Lösungen: $$ $ ((x_1, x_2)) $ Und wenn wir $ ax ^ 2 + bx + c \ leq 0 (ax ^ 2 + bx + c $ (- \ infty, x_1] \ cup \ cup ∪ [1 + 3 4, + ∞) oder x ≤ 1 - 3 4, x ≥ 1 + 3 4. Beispiel 3 Lösen Sie die quadratische Ungleichung - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов. Lösung Zuerst finden wir die Wurzeln des quadratischen Trinoms von der linken Seite der Ungleichung: D "= 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7 Dies ist eine strikte Ungleichung, daher verwenden wir einen "leeren" Punkt im Graphen. Mit Koordinate 7. Nun müssen wir die Vorzeichen der resultierenden Intervalle (- , 7) und (7, + ∞) bestimmen. Da die Diskriminante des quadratischen Trinoms null ist und der führende Koeffizient negativ ist, setzen wir die Vorzeichen -, -: Da wir die vorzeichenbehaftete Ungleichung lösen< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус: In diesem Fall sind die Lösungen beide Intervalle (- , 7), (7, + ∞). Antworten:(- ∞, 7) ∪ (7, + ∞) oder in anderer Schreibweise x ≠ 7. Beispiel 4 Ist die Quadratungleichung x 2 + x + 7< 0 решения? Lösung Finden Sie die Wurzeln des quadratischen Trinoms von der linken Seite der Ungleichung. Dazu finden wir die Diskriminante: D = 1 2 - 4 · 1 · 7 = 1 - 28 = - 27. Die Diskriminante ist kleiner als Null, was bedeutet, dass es keine echten Wurzeln gibt. Das Grafikbild sieht wie ein Zahlenstrahl ohne markierte Punkte aus. Bestimmen wir das Vorzeichen der Werte des quadratischen Trinoms. Wenn D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + : In diesem Fall könnten wir über den Lücken eine Schraffur mit dem "-"-Zeichen anwenden. Aber solche Lücken haben wir nicht. Daher behält die Zeichnung dieses Erscheinungsbild bei: Als Ergebnis der Berechnungen haben wir eine leere Menge erhalten. Dies bedeutet, dass diese quadratische Ungleichung keine Lösungen hat. Antworten: Nein. Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, wählen Sie ihn aus und drücken Sie Strg + Eingabetaste Ähnliche Veröffentlichungen Sprachgeschichte „Fälle Dativfall: an wen? Berechnung der Länge eines Rechtecks Akim "Erster Schnee" mit Mnemonik So extrahieren Sie die vierte Wurzel einer Zahl